Equação de 2º grau - Resumo e fórmula resolutiva

Apresentação sobre equações de segundo grau e sua resolução através da fórmula resolutiva.

1. Equações de 2º Grau Profº Rodrigo            

2. Equações As equações são expressões algébricas que ajudam a resolver alguns tipos de problemas; Uma equação possui uma ou mais incógnitas (letras ou símbolos que representam valores desconhecidos); Resolver uma equação é determinar qual é o valor (ou valores) que devem assumir o lugar da(s) incógnita(s) para que a expressão seja verdadeira; Vamos começar trabalhando com equações com apenas uma incógnita (normalmente a letra x); Uma equação é de 1º grau se a incógnita (x) é de grau 1 ( ex : x +3 = 8), de 2º grau se a incógnita é de grau 2 ( ex : x² -7x+9=3) ,de 3º grau se a incógnita é de grau 3 ( ex : x³ +9x²-12x-45=8) e assim por diante.

3. Forma geral da equação de 2º grau com uma incógnita Uma equação de 2º grau possui três termos básicos: Um termo com a incógnita em grau 2 (x²); um termo com a incógnita em grau 1 (x) e um termo sem incógnita (ou também chamado grau 0). Assim, podemos estruturar uma equação de 2º grau com uma incógnita (digamos x) da seguinte forma: Onde as letras a, b, c são números reais e o número a deve ser diferente de 0 (zero). Escrevemos assim: Convencionamos que o termo a sempre acompanha o x² , o termo b sempre acompanha o x e o termo c é o termo independente, isto é, está sempre sem incógnita.  

4. Identificando os termos da equação Exemplos: Nas equações abaixo temos:   Não é uma equação de 2º grau, pois a=0  

5. Raízes de uma equação de 2º grau A raiz de uma equação é o valor de x que faz com que esta equação se iguale, isto é, os dois membros da equação sejam iguais. Pensando em uma equação de 2º grau na forma geral, isto fará com que a equação fique com resultado 0 (zero). Vamos ver um exemplo: Exemplo: Vamos verificar se x=6 é uma raiz da equação de 2º grau abaixo: Para verificar se x=6 é uma raiz da equação, vamos substituir x por 6; Logo x=6 é uma raiz da equação.  

6. Revisando: Equações de 2º grau são aquelas em que a incógnita do termo de grau mais alto é 2; A forma geral de uma equação de 2º grau possui três termos a, que acompanha o termo de x² ; b, que acompanha o termo de x; e c, que é chamado de termo independente, e não tem incógnita; A raiz de uma equação de 2º grau é o valor que devemos substituir pelo x, que faz com que a equação fique com valor 0 (zero) nos dois membros.  

7. Equações Incompletas Uma equação de 2º grau é chamada de incompleta quando um ou mais de seus coeficientes não determinantes (b e c) são 0 (zero). Assim, vamos separar em três casos para resolver: Quando o termo linear (b) for igual a zero; Quando o termo independente (c) for zero; Quando os dois termos (b e c) forem zero; Lembrando que resolver uma equação é determinar qual é o valor (ou valores) que devem assumir o lugar da(s) incógnita(s) para que a expressão seja verdadeira, ou seja resolver uma equação de 2º grau é determinar suas raízes; Uma equação de 2º grau sempre terá duas soluções. As duas soluções podem ser : reais e diferentes; reais e iguais; não-reais (também chamados de complexas).

8. Resolvendo uma equação de 2º grau incompleta com b=0 Quando uma equação de 2º grau é incompleta com b=0, temos a forma geral: Esta equação só terá solução real se , isto é, se c e a tiverem sinais opostos. Para resolver, vamos isolar o termo de x² e a seguir extrair a raiz quadrada de ambos os termos da igualdade. Vamos ver um exemplo:   S={-6,+ 6 }   S={-4,+4}   S o u S   S={ , }  

9. Resolvendo uma equação de 2º grau incompleta com c=0 Quando uma equação de 2º grau é incompleta com c=0, temos a forma geral: Esta equação terá solução para qualquer a e b que considerarmos. Para resolvê-la, vamos colocar um termo de x em evidência, ficando com uma equação de 1º grau multiplicada por x. Vamos ver um exemplo:   S={0, 3}   8 S={0,-6}   S={ , }  

10. Resolvendo uma equação de 2º grau incompleta com b e c=0 Quando uma equação de 2º grau é incompleta com b e c=0, temos a forma geral: Neste caso a equação só possui uma solução possível: x= 0. Vamos ver a resolução de um caso genérico:   S={0}  

11. Equações C ompletas Uma equação de 2º grau é chamada de completa quando todos seus coeficientes são diferentes de 0. Lembrando que resolver uma equação de 2º grau é determinar suas raízes; Uma equação de 2º grau sempre terá duas soluções. As duas soluções podem ser : reais e diferentes; reais e iguais; não-reais (também chamados de complexas). Para descobrir como serão as raízes de uma equação de 2º grau, existe um valor chamado discriminante (  [delta]) que é obtido por uma expressão envolvendo os coeficientes da equação. Temos que: Se o > , ela terá duas raízes diferentes; Se o = , ela terá duas raízes iguais; Se o < , ela terá duas raízes complexas (dizemos que não existem raízes reais.

12. O Discriminante ( ) Para calcular o discriminante ( ), utilizamos os coeficientes da equação de 2º grau : Esses coeficientes são usados na seguinte fórmula do : Vamos ver alguns exemplos:        

13. A Fórmula Resolutiva da Equação de 2º Grau Para obter as raízes de uma equação de 2º grau qualquer, podemos utilizar a fórmula resolutiva ( Bhaskara ), que também usa os coeficientes da equação e o  . Assim, dada a equação abaixo: Temos a seguinte fórmula resolutiva: Devemos resolver a expressão, cuidando a sequência das operações. Vamos ver um exemplo:           S={3,-1}

14. A Fórmula Resolutiva da Equação de 2º Grau Vamos ver outros exemplos:             S={-1,-1} S= ou  

15. O Discriminante  = b² - 4.a.c                

16. A Fórmula Reso-lutiva da Equa-ção de 2º Grau           S={8,- 5 }         S={-1,-9}

17. A Fórmula Reso-lutiva da Equa-ção de 2º Grau           S={2,-6}         S={3,-1}

18. A Fórmula Reso-lutiva da Equa-ção de 2º Grau           S={-1,-2}

19. Revisando: Equações de 2º grau são aquelas em que a incógnita do termo de grau mais alto é 2; A forma geral de uma equação de 2º grau possui três termos a, que acompanha o termo de x² ; b, que acompanha o termo de x; e c, que é chamado de termo independente, e não tem incógnita; A raiz de uma equação de 2º grau é o valor que devemos substituir pelo x, que faz com que a equação fique com valor 0 (zero) nos dois membros. Equações de 2º grau incompletas são aquelas em que um ou mais de seus coeficientes não essências é ; Quando b=0, devemos isolar o x² para poder extrair a raiz quadrada de ambos os membros. Se a equação não possui solução. Quando houver solução, elas serão simétricas; Quando c=0, devemos colocar um termo de x em evidência para resolver uma equação de 1º grau. Uma das soluções será sempre 0 (zero). Quando b e c=0, a única solução para esta equação é x=0 .  

20. Revisando: Equações de 2º grau completas são aquelas em que todos seus coeficientes são diferentes de ; O discriminante  nos ajuda a verificar se uma equação de 2º grau possui raízes reais ou não ; Se >0 a equação têm duas raízes distintas; Se =0 a equação têm duas raízes iguais; Se <0 a equação não tem raízes reais. Podemos resolver qualquer equação de 2º grau pela fórmula resolutiva: