EQUAZIONE di TERZO GRADO - NUOVO METODO - ESEMPIO 1 con NUMERI COMPLESSI - CALCOLI e GRAFICI PASSO PASSO

EQUAZIONE di TERZO GRADO - NUOVO METODO - ESEMPIO 1 con NUMERI COMPLESSI - CALCOLI e GRAFICI PASSO PASSO - NUOVE FORMULE

1. A cura di
Enzo Exposyto

2. | SIA DATA
l'ÉQUAZIONE
SEGUENTE ...

3. a'X +tb'x +c'x+d=0

1:3+2:x2-2:x+3 = 0

con cioe:
a = +1 a>0
b = +2 b>0
c= -2 c <0
d=+3 d>0

4. CONSIDERIAMO
l'EQUAZIONE
della CUBICA
ASSOCIATA ...

5. 1:3+2:x2-2:x+3 = 0

Ye = 1x°+2x2-2x+3

y = a X +tb'x+c'x+d

6. … TRACCIAMO
il GRAFICO
della CUBICA...

7. 49-17

Ye = 1422-2043

8. ... € la SUA IMMAGINE
INGRANDITA ...

9. Ye = 1X°+2-x2-2-x+3

I

10. USIAMO a, b, c, d
PER un CONTROLLO
di MAXIMA
del GRAFICO ...

11. y =a x+b:x+c:x+d
Ye = 1x°+2x?-2x+3

10 +

USO di a:

a>0

Il grafico
della cubica,

tranne un tratto,
ha andamento
crescente ... ® Y

12. y.eza'x’+tb'xX+c'x+d
Ye = 1x°+2x2-2:x+3| |!

USO di b: ml

b>0

Poiché

Xx =-_b =- Ae), =
3a 3(1)

si ha x¢< 0

Ne deriva che

-2
3

la cubica ha +
il PUNTO diFLESSO * | %r<P
a sinistra dell'asse y © J

13. VY=a X tb'x +c'x+d
Ye = 1°x3+2'x?-2:x+3

PE Max |

5 = b? - 3ac

5 = (2)? - 3(1)(-2)
=4+6
=10 mın

Quindi 5 > 0: '

la cubica ha

Max e min relativi & V

14. y.za xX +b:x +c-

Vo = 1x°+2x?-2x+3

10 +

USO di d:
d=3

Ne deriva che 3
il grafico

+d

della cubica
interseca l'asse y & y

nel punto con y = 3

16. Yo=a'xtb'xX’+c¢

Vo = 1x°+2x2-2x+3

In particolare,
il grafico
della cubica
interseca
l'asse delle x
in -3;

ne deriva che
x= -3

10 +

:X+d

e
X2 = num. complesso
x3 = num. complesso

“x

17. COME TROVARE
X2 € X3
COMPLESSI?

18. Si ha:

1414222 x+3__ 1x+2:x2-2:x43
X - (-3) x +3

=1x2-1x+1

In altri termini,
dividendo l'equazione della cubica
per l'equazione della retta

che passa per xy = -3,

si ha l'equazione di una parabola ...

19. Infatti,

(10 - 1°x + 1)(x + 3) = 1°x34+3'x?-1'x?-3-x41-x+3

= 1°x342'x2.2'x+3 O Y

20. D'ALTRA
PARTE

Vo = 1x°+2-X?-2:x+3

21. … COL 3° METODO,
cio& la DIVISIONE
di ORDINATE
della CUBICA
per ORDINATE
della RETTA
PASSANTE per xa,
ABBIAMO VISTO

CHE ... MT"

22. … USANDO
SOLO
2 PUNTI,
CeV,
della
PARABOLA
OTTENUTA

23. C(0;c)

(0;1)

V(0,5;0,75)

r=X+3

24. ... ABBIAMO
POTUTO
CALCOLARE
la SUA
EQUAZIONE ...

25. yp=a x?+b'x+c
a=- yy-C=-.(0,75) - (1) = 0,25 = 1

Xy" (0,52 0,25
b = -2aX,
r=X+3
b = -2:(1):(0,5) = -1
c=1
= 4.92 | ET
= _ + a
de . { sn ] “ce Moers}
RIECCO l'equazione V(5:0,75)
della parabola ...

26. Calcoliamo, ora,
X1p € X2p
della parabola ...

X1p = Xy = =

I<

V

o |

Io
O1

=05-\ 7-07
Yh=1X2- 1x +100 Y 22

1
X4p =0,5- V - 0,7

X2p = 0,5 *\ [- 0,75
| 1

oa

vd sola X2p = 0,5+ \/ = 0,75

27. Quindi,
X1p € X2p

della parabola mi dy .
hanno i seguenti valori … |Yp ~ 1x - Tx +1

xp =10,5 -\/- 0,75
X1p =0,5- \/0,75i
X2p = 0,5+\/- 0,75

es) kop = 0,5+ \/0,75 1

28. NOTA: X4p = 0,5 - \/- 0,75

X1p = 0,5 - Y0,75 (-1) [y proprieta
X1p = 0,5 -\/0,75 \/-1) dei radicali

Poiché V1 =;
= unità immaginaria

lu
siha: x1) =0,5- \/0,75i

Anche

per... X2p=0,5 +\/- 0,75
siha: X2p = 0,5+ \/0,75 i

29. Si dimostra che

X1p € X2p

della parabola
sono X2 e X3
complessi
della CUBICA

che cercavamo:

30. CONTROLLIAMO
SE x4, X2, X3
SONO SOLUZIONI
dell'EQUAZIONE
DATA

1x°+2.x2-2x+3 = 0

31. Uso di xy = -3
1:x°+2.x2-2x+3 = 0
1-(-3)?+2-(-3)?-2:(-3)+3 = 0
1:(-27)+2:(9)+6+3 = 0
-27+18+6+3 = 0
-27+27 =0
0=0 GV

32. Uso di x2= 0,5-\/0,75 i
1'x°+2'x2-2x+3 = 0
1'(0,5-V0,75 i)?+2 (0,5-\/0,75 i)?-2 (0,5-\/0,75 i)+3=0
1:(0,5-V0,75 i)? (0,5-\/0,75 i)+2'(0,5-\/0,75 i)2-2 (0,5-\/0,75 i)+3=0
1-(0,5-\/0,75 i)? [(0,5-\/0,75 i)+2]-1+2\/0,75 i+3=0 Quadrato di Binomio
1-1(0,5)2+(/0,75 i)2+2(0,5)(-V/0,75 i)] [2,5-V0,75 i]-1+2\/0,75 i+3=0
1:[(0,25)+(0,75) i244 (-\/0,75 i)] [2,5/0,75 i]+2\/0,75 i+2=0
1:[(0,25)+(0,75)(1)-V0,75 i] [2,5-\/0,75 i]+2\/0,75 i+2=0 Vedi NOTA
1-[0,25-0,75-\/0,75 i] [2,5-\/0,75 i]+2\/0,75 i+2=0
1-[-0,50-\/0,75 i] [2,5-\/0,75 i]+2\/0,75 i+2=0
1-[-1,25+0,5V0,75 i-2,5\/0,75 i+(\/0,75)2(i)2]+2\/0,75 i+2=0
1-[-1,25-2\/0,75 i+(0,75)(-1)]+2\/0,75 i+2=0
1[-1,25-2\/0,75 i-0,75]+2\/0,75 i+2=0
1:[-2V/0,75 i-2]+2V/0,75 i+2=0

-2VB775 1-2 +2 8775 1+2=0

0=0 EV

33. Uso di x3 = 0,5+\/0,75 i
1'x°+2'x2-2'x+3 = 0
1'(0,5+V/0,75 i)?+2'(0,5+\/0,75 i)2-2'(0,5+V/0,75 i)+3=0
1:(0,5+V0,75 i)? (0,5+V0,75 i)+2 (0,5+\/0,75 i)?-2 (0,5+\/0,75 i)+3=0
1-(0,5+\/0,75 i)? [(0,5+\/0,75 i)+2]-1-2\/0,75 i+3=0 Quadrato di Binomio
1'[(0,5)2+(V0,75 1)?+2(0,51(V0,75 i)] [2,5+V/0,75 i]-1-2\/0,75 i+3=0
4-[(0,25)+(0,75) i2+1(\/0,75 i)] [2,5+V0,75 i]-2V/0,75 i+2=0
1:[(0,25)+(0,75)(-1)+V0,75 i] [2,5+V0,75 i]-2 V0,75 i+2=0 Vedi NOTA
1:[0,25-0,75+V/0,75 i] [2,5+\/0,75 i]-2\/0,75 i+2=0
1:[-0,50+V0,75 i] [2,5+V0,75 i]-2\/0,75 i+2=0
1[-1,25-0,5V0,75 i+2,5\/0,75 i+(\/0,75)2(i)2]-2\/0,75 i+2=0
1-[-1,25+2\/0,75 i+(0,75)(-1)]-2\/0,75 i+2=0
1:[-1,25+2V/0,75 i-0,75]-2\/0,75 i+2=0
112V0,75 i-2]-2\/0,75 i+2=0

2\/0775 i-2 -2\/0775 i+2=0

0=0 EV

34. NOTA:

Poiché VA =i
= unita immaginaria

si ha: (i)? = (VA)? = -1

35. IN CONCLUSIONE ...

36. 1:3+2:x2-2:x+3 = 0

ha
le 3 soluzioni
seguenti:

x4 = -3

x2 = 0,5- \/0,75 i

x3 = 0,5+ \/0,75 ¡

37. Possiamo
riscrivere,
allora,
l'equazione
anche
nella forma
seguente ...

38. 1:3+2:x2-2:x+3 = 0

a (x - x4) (X - x2) (x - X3) = 0

1 [x - (-3)] [x - (0,5 - V0,75 i)] [x - (0,5 + V0,75 i)] = 0

39. PER X41, X2, X3
"PASSA"

40. … la CUBICA
di RIFERIMENTO,
con a= 1...

T T
-5 5

ve = 1 [x - (-B)] [x - (0,5 - 0,75 i)] [x - (0,5 + V0,75 i)]

41. ... € il FASCIO
di CUBICHE,

con a < > 0:
Yc = a [x - (-3)] [x - (0,5 - V0,75 i)] [x - (0,5 +

Le cubiche
del grafico
hanno a>0

42. Esempio:
la cubica, con a = 2,
Yo = 2 [x - (-3)] [x - (0,5 - V0,75 i)] [x - (0,5 +
"PASSA"

per X4, X2, X3

cosi come

la parabola, con a = 2,
Yp =2 [122 -1:x+ 1]
"PASSA"

per Xa, X3