Esboço - Gráfico de Função

Dúvidas/Reportar erros: [email protected]

1. FUNC
~
OES DE UMA VARI

AVEL
Exerccio)Esboce o graco def(x) =
x
2
x
1+3x
2.
1.
Domf=R
2.
Parax= 0 temosf(0) =
0
2
0
1+30
2= 0. Logo, o ponto (0;0) pertence a graff:
1
Paray= 0 temosf(x) = 0)
x
2
x
1+3x
2= 0)x= 0 oux= 1. Logo, o ponto (1;0) pertence a
graff:
3.
decrescimento
d
dx
f(x) =f
0
(x) =
(x
2
x)
0
(1 + 3x
2
)(x
2
x)(1 + 3x
2
)
0
(1 + 3x
2
)
2
=
=
(2x1)(1 + 3x
2
)(x
2
x)6x
(1 + 3x
2
)
2
=
2x+ 6x
3
13x
2
6x
3
+ 6x
2
(1 + 3x
2
)
2
)
d
dx
f(x) =f
0
(x) =
3x
2
+ 2x1
(1 + 3x
2
)
2
Igualamosf
0
(x) a 0 para obter as abscissas dos pontos de maximo e mnimo local.
f
0
(x) = 0)
3x
2
+ 2x1
(1 + 3x
2
)
2
= 0)3x
2
+ 2x1 = 0)x=1 oux=
1
3
Substituindo os valores dexencontrados acima na func~aof, achamos os pontos
P1= (1; f(1)) =

1;
1
2

eP2=

1
3
; f

1
3

=

1
3
;
1
6

Comof(1)> f(
1
3
), concluimos queP1e ponto de maximo local eP2e ponto de mnimo local.
Para determinar as regi~oes de crescimento e decrescimento da func~ao devemos estudar o sinal da
func~aof
0
(x). Esta func~ao e racional, logo precisamos estudar o sinal das func~oes do numerador
e do denominador. A func~ao do denominador (1 + 3x
2
)
2
e positiva para qualquer valor real de
x, portanto n~ao inuenciara no estudo do sinal def. Resta estudar o sinal de 3x
2
+ 2x1.
O graco desta e uma parabola com concavidade para cima, portanto, a esquerda do menor
zero (x=1) e positiva, entre os dois zeros da func~ao ela e negativa e a direita do maior zero
(x=1=6) e positiva. Resumindo e concluindo,
(a)f
0
(x)>0,x2(1;1)[

1
3
;+1

)f(x) e crescente no intervalo (1;1)[

1
3
;+1

.
(b)f
0
(x)<0,x2

1;
1
3

)f(x) e decrescente no intervalo

1;
1
3

.
4.
baixo
d
2
dx
2
f(x) =f
00
(x) =
(3x
2
+ 2x1)
0
(1 + 3x
2
)
2
(3x
2
+ 2x1)[(1 + 3x
2
)
2
]
0
[(1 + 3x
2
)
2
]
2
=
(6x+ 2)(1 + 3x
2
)
2
(3x
2
+ 2x1)2(1 + 3x
2
)6x
(1 + 3x
2
)
4
=
1
graff:=f(x; f(x)) :x2Domfg.
1

2. (1 + 3x
2
)[(6x+ 2)(1 + 3x
2
)(3x
2
+ 2x1)12x]
(1 + 3x
2
)
4
=
6x+ 18x
3
+ 2 + 6x
2
36x
3
24x
2
+ 12x
(1 + 3x
2
)
3
=
18x
3
18x
2
+ 18x+ 2
(1 + 3x
2
)
3
)
d
2
dx
2
f(x) =f
00
(x) =2
9x
3
+ 9x
2
9x1
(1 + 3x
2
)
3
Igualamosf
00
(x) a zero para descobrir os pontos de inex~ao
2
.
f
00
(x) = 0) 2
9x
3
+ 9x
2
9x1
(1 + 3x
2
)
3
= 0)9x
3
+ 9x
2
9x1 = 0
)x 1;5863 oux 0;1018 oux0;6881
Os pontos de inex~ao s~ao
(1;5863; f(1;5863)) e (0;1018; f(0;1018)) e (0;6881; f(0;6881))
5. x! 1e quandox! 1e assntotas
lim
x!1
x
2
x
1 + 3x
2
Pela regra de L'Hospital, o limite acima e igual a limx!1
2x1
6x
. Como o limite continua inde-
terminado, aplicamos novamente a regra de L'Hospital e obtemos
lim
x!1
f(x) = lim
x!1
2
6
=
1
3
:
Analogamente, conclumos que limx!1
x
2
x
1+3x
2=
1
3
.
Ha portanto uma assntota horizontal cuja equac~ao ey=
1
3
.
6.
2
Os zeros do polin^omio foram determinados computacionalmente.
2

3. Exerccio)Esboce o graco def(x) = (x
2
1)
3
.
1.
Domf=R
2.
Parax= 0 temosf(0) = (0
2
1)
3
=1. Logo, o ponto (0;1) pertence a graff.
Paray= 0 temosf(x) = 0)(x
2
1)
3
= 0)x=1 oux= 1. Logo, os ponto (1;0) e (1;0)
pertencem a graff:
3.
d
dx
f(x) =f
0
(x) = 3(x
2
1)
2
2x= 6x(x
2
1)
2
Igualandof
0
(x) a zero
f
0
(x) = 0)6x(x
2
1)
2
= 0)6x= 0 ou (x
2
1)
2
= 0)x= 0 oux=1 oux= 1:
Como (x
2
1)
2
e positivo para qualquer valor real dex, conclumos que o sinal def
0
(x) depende
apenas de 6x. Logo,
(a)f
0
(x)<0,x2(1;0))fe decrescente em (1;0),
(b)f
0
(x)>0,x2(0;1))fe crescente em (0;1).
4.
d
2
dx
2
f(x) =f
00
(x) = (6x)
0
(x
2
1)
2
+ 6x[(x
2
1)
2
]
0
= 6(x
2
1)
2
+ 6x[2(x
2
1)2x]
= 6f(x
2
1)
2
+x[2(x
2
1)2x]g= 6f(x
2
1)
2
+ 4x
2
(x
2
1)g= 6f(x
2
1)[(x
2
1) + 4x
2
]g
)
d
2
dx
2
f(x) =f
00
(x) = 6(x
2
1)(5x
2
1)
Igualandof
00
(x) a zero
6(x
2
1)(5x
2
1) = 0)(x
2
1) = 0 ou (5x
2
1) = 0)x=1 oux= 1 oux=
1
p
5
oux=
1
p
5
:
Estadando o sinal def
00
(x), por meio do estudo das func~oes (x
2
1) e (5x
2
1), conclumos que
(a)f
00
(x)<0,x2I1=

1;
1
p
5

[

1
p
5
;1

)ftem concavidade voltada para baixo emI1,
(b)f
00
(x)>0,x2I2= (1;1)[


1
p
5
;
1
p
5

[(1;+1))ftem concavidade voltada para
cima emI2.
5.
Podemos submeter os pontos crticos da func~aof(os pontos cuja derivada se anula) ao teste da
segunda derivada. Id est, calcularemos crticos defemf
00
(x). Parax= 0,
f
00
(0) = 6(0
2
1)(50
2
1) = 6>0)x= 0 e abscissa de um ponto de mnimo
3
3
Sef
0
(c) = 0 ef
00
(c)>0,ce ponto de mnimo local; Sef
0
(c) = 0 ef
00
(c)<0,ce ponto de maximo local.
3

4. Parax=1 ex= 1,
f
00
(1) =f
00
(1) = 0)x= 1 ex=1 n~ao s~ao abscissas de ponto de maximo nem de mnimo
4
Substituindox= 0 na func~aof, encontramosf(0) =1. Portanto (0;1) e ponto de mnimo
local.
6.
no item 4. Substituindo-as emf, obtemos os pontos de inex~ao
(1;0);(1;0);


1
p
5
;
64
125

e

1
p
5
;
64
125

7. x! 1e quandox! 1e assntotas
lim
x!1
(x
2
1)
3
=1
e
lim
x!1
(x
2
1)
3
=1
Logo, n~ao ha assntotas.
8.
4
Essa conclus~ao poderia ser tirada observando-se que n~ao ha mudanca no sinal def
0
(x) no pontox= 1 nem no ponto
x=1, logo n~ao podem ser nem ponto de maximo nem de mnimo, pois estes est~ao necessariamente entre um pedaco
crescente e um decrescente de uma func~ao.
4