Esferas

Trabalho de Matemática sobre Esferas

1. Esferas

2. A Esfera na Geometria Espacial A Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos estudos de geometria espacial. A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo. É composto por uma superfície fechada na medida que todos os pontos estão equidistantes do centro (O). Alguns exemplos de esfera são o planeta, uma laranja, uma melancia, uma bola de futebol, dentre outros.

3. Componentes da Esfera Superfície Esférica Cunha Esférica Fuso Esférico Calota Esférica

4. Superfície Esférica É a parte superficial de uma esfera, justamente o conjunto de pontos cuja distância do centro é igual ao raio. Essa superfície pode ser obtida pela rotação de uma circunferência em torno do diâmetro. A área da superfície esférica pode ser calculada por meio da fórmula a seguir: A = 4πr2 *r é o raio da esfera, e A é a medida da área.

5. Veja um exemplo: Suponha que o raio de uma laranja seja de 6 cm. A área de sua superfície esférica (casca) será: A = 4πr 2 A = 4·3,14·6 2 A = 12,56·36 A = 452,16 cm 2 Polos : são os pontos de encontro entre a superfície esférica e o eixo de rotação. Sendo assim, os polos são os dois pontos extremos do diâmetro da esfera. Paralelo : circunferência na superfície da esfera formada pela intersecção de qualquer plano perpendicular ao eixo de rotação e à superfície esférica. O paralelo que possui o maior comprimento é chamado de equador. Meridiano : circunferência na superfície da esfera formada pela intersecção de qualquer plano que contém o eixo de rotação com a superfície esférica.

6. Secção em uma esfera Uma secção é um “corte” realizado por um plano, ou seja, é a intersecção entre um plano e a figura que sofre a secção. Dessa maneira, toda secção em uma esfera é um círculo. Para qualquer secção, vale a seguinte expressão: s 2  = r 2  – d 2 s = raio do círculo formado pela secção; d = distância entre o plano da secção e o centro da esfera; r = raio da esfera. O plano que faz uma secção em uma esfera é chamado de plano secante. Se esse plano secante passa pelo centro da esfera, o círculo formado na secção é chamado de círculo máximo.

7. Fuso esférico O fuso esférico é a parte da superfície de uma esfera formada pelo giro de uma semicircunferência em α graus em torno do diâmetro da esfera. Um fuso esférico é equivalente a um fuso horário. O fuso horário é a divisão de uma esfera em 24 partes e, assim, configura um fuso esférico formado por uma semicircunferência que girou apenas 15°. A intersecção de um fuso esférico com o equador de uma esfera é um arco de circunferência e é chamado de arco equatorial. Para calcular a área do fuso esférico a partir do ângulo do giro da semicircunferência que o gerou, basta usar regra de três. Considere que o ângulo seja α, a área do fuso seja A e que a área total da esfera é dada por 4πr2 e que é resultado de uma volta de 360°, podemos escrever: 360  =  4π r 2   α        A  Multiplicando cruzado, teremos: 360A = 4πr 2 α A =  4πr 2 α       360 A =  πr 2 α       90

8. Cunha esférica Um semicírculo que gira α graus ao redor de algum eixo forma uma cunha esférica. O volume da cunha esférica também pode ser calculado por meio de regra de três. Considere que o ângulo descrito pelo semicírculo que gera uma cunha esférica é β, que seu volume é V, que o volume da esfera é determinado pela expressão 4/3πr3 e que, para esse volume, o semicírculo dá uma volta completa, de 360°, o volume da cunha esférica pode ser calculado da seguinte maneira: 4/3π r 3   =  360   V         β Fazendo os cálculos, teremos: V =  βπ r 3         270

9. Fórmulas da Esfera Área da Esfera Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a fórmula: Donde: A e = área da esfera П  ( Pi ): 3,14 r : raio A e  = 4.п.r 2

10. Exercício Resolvido Calcule a área das superfícies esféricas: a) esfera de raio 7 cm Ae = 4.π.r2 Ae = 4.π.7 Ae = 4.π.49 Ae = 196π cm2

11. Volume da Esfera Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a fórmula: Donde: V e : volume da esfera П  ( Pi ): 3,14 r : raio V e  = 4.п.r 3 /3

12. Exercício Resolvido Um reservatório esférico possui um raio interno de 2m. Quantos litros de gás cabe nesse reservatório? Utilize o valor de π = 3,14. Ve = 4.π.r​3/3 Ve = 4/3 π . 23 Ve = 32 π/3 m3 Ve = 32 . 3,14/3 Ve = 33, 49 m3 Logo, esse reservatório pode conter 33 490 litros de gás.

13. Componentes Byanca Geovana Célia Dorcione Adrieli Daniele Juciara