Esfuerzo cortante transversal en vigas (ejercicios resueltos)
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Jul 31, 2020
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About This Presentation
Esfuerzo cortante transversal en vigas (ejercicios resueltos) es un documento en extensión. PDF para que practiquen el tema de esfuerzo cortante en vigas.
Slide Content
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
1
]
PROBLEMA 5.1.
Una viga de acero ‘I’ de ala ancha tiene las dimensiones de la Figura 5.1a. Si está sometida a una
fuerza cortante V=80 kN, trace la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre el área de la
sección transversal de la viga.
Figura 5.1a. Sección transversal de la viga en análisis.
SOLUCIÓN.
Cálculo de la inercia en ‘x’ de la sección.
I
x=2I
x1+I
x2=
1
12
bh
3
+A
1d
y
2+
1
12bh
3
+A
2d
y 2
I
x=2�
1
12
(0.30 m)(0.02 m)
3
+(6x10
−3
m)(0.11 m)
2
�+
1
12
(0.015 m )(0.20 m)
3
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Esfuerzo cortante transversal en la parte inferior del patín (en B’).
τ
HB′=
VQ
It
=
(80 kN)(0.30 m)(0.02 m)(0.11 m)
(1.556x10
−4
m
4
)(0.30 m)
∴ ????????????
????????????????????????′=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
ESFUERZO CORTANTE TRANSVERSAL EN
VIGAS. 5
1
]
PROBLEMA 5.1.
Una viga de acero ‘I’ de ala ancha tiene las dimensiones de la Figura 5.1a. Si está sometida a una
fuerza cortante V=80 kN, trace la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre el área de la
sección transversal de la viga.
Figura 5.1a. Sección transversal de la viga en análisis.
SOLUCIÓN.
Cálculo de la inercia en ‘x’ de la sección.
I
x=2I
x1+I
x2=
1
12
bh
3
+A
1d
y
2+
1
12bh
3
+A
2d
y 2
I
x=2�
1
12
(0.30 m)(0.02 m)
3
+(6x10
−3
m)(0.11 m)
2
�+
1
12
(0.015 m )(0.20 m)
3
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Esfuerzo cortante transversal en la parte inferior del patín (en B’).
τ
HB′=
VQ
It
=
(80 kN)(0.30 m)(0.02 m)(0.11 m)
(1.556x10
−4
m
4
)(0.30 m)
∴ ????????????
????????????????????????′=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
ESFUERZO CORTANTE TRANSVERSAL EN
VIGAS. 5
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
2
Figura 5.1b. Áreas y puntos de análisis para el análisis del esfuerzo cortante.
Esfuerzo cortante transversal en la parte superior del alma (en B).
τ
HB=
VQ
It
=
(80 kN)(0.30 m)(0.02 m)(0.11 m)
(1.556x10
−4
m
4
)(0.015 m )
∴ ????????????
????????????????????????=????????????????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo cortante transversal en el eje neutro.
τ
HC=
VQ
It
w
+τ
HB=
(80 kN)(0.10 m)(0.015 m)(0.05 m)
(1.556x10
−4
m
4
)(0.015 m )
+22,622.11 kN /m
2
∴ ????????????
????????????????????????=????????????????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.1c. Áreas y puntos de análisis para el análisis del esfuerzo cortante en C.
2
Figura 5.1b. Áreas y puntos de análisis para el análisis del esfuerzo cortante.
Esfuerzo cortante transversal en la parte superior del alma (en B).
τ
HB=
VQ
It
=
(80 kN)(0.30 m)(0.02 m)(0.11 m)
(1.556x10
−4
m
4
)(0.015 m )
∴ ????????????
????????????????????????=????????????????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo cortante transversal en el eje neutro.
τ
HC=
VQ
It
w
+τ
HB=
(80 kN)(0.10 m)(0.015 m)(0.05 m)
(1.556x10
−4
m
4
)(0.015 m )
+22,622.11 kN /m
2
∴ ????????????
????????????????????????=????????????????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.1c. Áreas y puntos de análisis para el análisis del esfuerzo cortante en C.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
3
Como la viga es perfectamente simétrica, la distribución del esfuerzo también lo será, por lo tanto,
ésta queda como se muestra en la Figura 5.1d.
Figura 5.1d. Distribución del esfuerzo cortante transversal.
PROBLEMA 5.2.
Deduzca expresiones para calcular el esfuerzo cortante trasversal de la viga mostrada en la
Figura 5.2a. Considere una fuerza cortante actuante de 5 Ton. Además, determine el valor del
esfuerzo transversal en la parte inferior del patín y en el punto ubicado en el eje neutro. De
manera adicional esboce el diagrama de esfuerzo cortante transversal.
Figura 5.2a. Sección transversal de la viga en análisis.
SOLUCIÓN.
Calculando centroide de la sección.
x�=
∑Ax
∑A
=
(30 cm)(5 cm)(15 cm)+(30 cm)(5 cm)(7.50 cm)+(30 cm)(5 cm)(22.50 cm )
(30 cm)(5 cm)+2(30 cm)(5 cm)
∴ ????????????�=???????????????????????? ????????????????????????
3
Como la viga es perfectamente simétrica, la distribución del esfuerzo también lo será, por lo tanto,
ésta queda como se muestra en la Figura 5.1d.
Figura 5.1d. Distribución del esfuerzo cortante transversal.
PROBLEMA 5.2.
Deduzca expresiones para calcular el esfuerzo cortante trasversal de la viga mostrada en la
Figura 5.2a. Considere una fuerza cortante actuante de 5 Ton. Además, determine el valor del
esfuerzo transversal en la parte inferior del patín y en el punto ubicado en el eje neutro. De
manera adicional esboce el diagrama de esfuerzo cortante transversal.
Figura 5.2a. Sección transversal de la viga en análisis.
SOLUCIÓN.
Calculando centroide de la sección.
x�=
∑Ax
∑A
=
(30 cm)(5 cm)(15 cm)+(30 cm)(5 cm)(7.50 cm)+(30 cm)(5 cm)(22.50 cm )
(30 cm)(5 cm)+2(30 cm)(5 cm)
∴ ????????????�=???????????????????????? ????????????????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
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y�=
∑Ay
∑A
=
(30 cm)(5 cm)(32.50 cm)+2(30 cm)(5 cm)(15 cm)
(30 cm)(5 cm)+2(30 cm)(5 cm)
∴ ????????????�=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
Figura 5.2b. Centroide de la sección.
Calculando inercia de la sección.
I
x=
bh
3
12
+Ad
y
2 ; I
y=
hb
3
12
+Ad
x 2
I
x1=
bh
3
12
+Ad
y 2=
1
12
(0.30m)(0.05 m)
3
+(0.015 m
2
)(0.1167 m )
2
=2.07x10
−4
m
4
I
x2=
bh
3
12
+Ad
y 2=
1
12
(0.05 m)(0.30 m)
3
+(0.015 m
2
)(0.0583 m )
2
=1.63x10
−4
m
4
I
x=I
x1+2I
x2= 2.07x10
−4
m
4
+2(1.63x10
−4
)m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
4
y�=
∑Ay
∑A
=
(30 cm)(5 cm)(32.50 cm)+2(30 cm)(5 cm)(15 cm)
(30 cm)(5 cm)+2(30 cm)(5 cm)
∴ ????????????�=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
Figura 5.2b. Centroide de la sección.
Calculando inercia de la sección.
I
x=
bh
3
12
+Ad
y
2 ; I
y=
hb
3
12
+Ad
x 2
I
x1=
bh
3
12
+Ad
y 2=
1
12
(0.30m)(0.05 m)
3
+(0.015 m
2
)(0.1167 m )
2
=2.07x10
−4
m
4
I
x2=
bh
3
12
+Ad
y 2=
1
12
(0.05 m)(0.30 m)
3
+(0.015 m
2
)(0.0583 m )
2
=1.63x10
−4
m
4
I
x=I
x1+2I
x2= 2.07x10
−4
m
4
+2(1.63x10
−4
)m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
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Figura 5.2c. Distancias de centroide de cada figura al centroide de toda la figura.
Ecuación del esfuerzo transversal válida de ???????????? .????????????????????????????????????????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I t
��b
py��dy
C2
y1
=
V
I (0.30)
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C2
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V
I
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C2
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τ
H=
V
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2
|
C
2
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
???????????????????????? �????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
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Figura 5.2d. Diferencial de área para el patín.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=
5 Ton
2(5.33x10
−4
m
4
)
[(0.1417 m)
2
−(0.0917 m )
2
]
5
Figura 5.2c. Distancias de centroide de cada figura al centroide de toda la figura.
Ecuación del esfuerzo transversal válida de ???????????? .????????????????????????????????????????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I t
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py��dy
C2
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V
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C2
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V
I
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C2
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τ
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V
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C
2
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
???????????????????????? �????????????
????????????
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????????????
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Figura 5.2d. Diferencial de área para el patín.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=
5 Ton
2(5.33x10
−4
m
4
)
[(0.1417 m)
2
−(0.0917 m )
2
]
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
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∴????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín referido al alma.
τ
H=
5 Ton
(5.33x10
−4
m
4
)(0.10 m)
(0.30 m)(0.05 m)(0.1167 m )(2)
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤????????????.???????????????????????? ????????????????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran tres áreas
actuantes (la del patín y las dos partes del alma superiores al eje neutro).
τ
H=
VQ
It
w
+
V
I t
w
� 2(t
wy�)dy
0.0917
y
2
=
VQ
It
w
+
2V
I
� (y�)dy=
0.0917
y
2
τ
H=
VQ
It
w
+
V
I
y�
2
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0.0917
y
2
τ
H=
VQ
It
w
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V
I
y�
2
|0.0917
2
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2
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????????????=
????????????????????????
????????????????????????
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+
????????????
????????????
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????????????
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????????????
????????????�
Figura 5.2e. Diferencial de área para la parte superior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=
(5 Ton)(0.30)(0.05 m)(0.1167 m )(2)
(5.33x10
−4
m
4
)(0.10 m)
+
5 Ton
(5.33x10
−4
m
4
)
[(0.0917 m)
2
−(0.0917 m )
2
]
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∴????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín referido al alma.
τ
H=
5 Ton
(5.33x10
−4
m
4
)(0.10 m)
(0.30 m)(0.05 m)(0.1167 m )(2)
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤????????????.???????????????????????? ????????????????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran tres áreas
actuantes (la del patín y las dos partes del alma superiores al eje neutro).
τ
H=
VQ
It
w
+
V
I t
w
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0.0917
y
2
=
VQ
It
w
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I
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0.0917
y
2
τ
H=
VQ
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V
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2
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0.0917
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2
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2
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????????????????????????
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Figura 5.2e. Diferencial de área para la parte superior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=
(5 Ton)(0.30)(0.05 m)(0.1167 m )(2)
(5.33x10
−4
m
4
)(0.10 m)
+
5 Ton
(5.33x10
−4
m
4
)
[(0.0917 m)
2
−(0.0917 m )
2
]
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
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∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=
(5 Ton)(0.30)(0.05 m)(0.1167 m )
(5.33x10
−4
m
4
)(0.10 m)
+
5 Ton
(5.33x10
−4
m
4
)
[(0.0917 m )
2
−(0)
2
]
τ
H=328.42
Ton
m
2
+78.88
kN
m
2
∴ ????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del alma (debajo del eje neutro) válida
de ????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte negativa del eje neutro, se consideran dos áreas
actuantes (las dos partes del alma inferiores al eje neutro).
τ
H=
V
I t
w
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C1
y3
=
2V
I
�(y�)dy=
C1
y3
V
I
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C
1
y
3
τ
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V
I
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2
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1
2−y
3
2∴????????????
????????????=
????????????
????????????
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????????????
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????????????
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Figura 5.2f. Diferencial de área para la parte inferior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????.
τ
H=
5 Ton
(5.33x10
−4
m
4
)
[(0.2083 m )
2
−(0.2083 m)
2
]
∴????????????
????????????=???????????? ????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
7
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=
(5 Ton)(0.30)(0.05 m)(0.1167 m )
(5.33x10
−4
m
4
)(0.10 m)
+
5 Ton
(5.33x10
−4
m
4
)
[(0.0917 m )
2
−(0)
2
]
τ
H=328.42
Ton
m
2
+78.88
kN
m
2
∴ ????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del alma (debajo del eje neutro) válida
de ????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte negativa del eje neutro, se consideran dos áreas
actuantes (las dos partes del alma inferiores al eje neutro).
τ
H=
V
I t
w
�2(t
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C1
y3
=
2V
I
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C1
y3
V
I
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C
1
y
3
τ
H=
V
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2
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1
2−y
3
2∴????????????
????????????=
????????????
????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Figura 5.2f. Diferencial de área para la parte inferior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????.
τ
H=
5 Ton
(5.33x10
−4
m
4
)
[(0.2083 m )
2
−(0.2083 m)
2
]
∴????????????
????????????=???????????? ????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
8
τ
H=
5 Ton
(5.33x10
−4
m
4
)
[(0.2083 m )
2
−(0)
2
]
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Figura 5.2g. Esfuerzo cortante transversal.
PROBLEMA 5.3.
La viga ‘T’ tiene las dimensiones de la Figura 5.3a. Trace la distribución del esfuerzo cortante que
actúa sobre el área de la sección transversal de la viga sabiendo que la fuerza cortante actuante
es V=50 kN. Resuelva este problema de la manera convencional y compruebe sus resultados
deduciendo expresiones para calcular el esfuerzo cortante en toda la sección.
Figura 5.3a. Sección transversal.
Calculando centroide de la sección.
x�=
∑Ax
∑A
=
(30 cm)(5 cm)(22.50 cm )+(20 cm)(5 cm)(10 cm)
(30 cm)(5 cm)+(20 cm)(5 cm)
∴ ????????????�=???????????????????????? ????????????????????????
8
τ
H=
5 Ton
(5.33x10
−4
m
4
)
[(0.2083 m )
2
−(0)
2
]
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Figura 5.2g. Esfuerzo cortante transversal.
PROBLEMA 5.3.
La viga ‘T’ tiene las dimensiones de la Figura 5.3a. Trace la distribución del esfuerzo cortante que
actúa sobre el área de la sección transversal de la viga sabiendo que la fuerza cortante actuante
es V=50 kN. Resuelva este problema de la manera convencional y compruebe sus resultados
deduciendo expresiones para calcular el esfuerzo cortante en toda la sección.
Figura 5.3a. Sección transversal.
Calculando centroide de la sección.
x�=
∑Ax
∑A
=
(30 cm)(5 cm)(22.50 cm )+(20 cm)(5 cm)(10 cm)
(30 cm)(5 cm)+(20 cm)(5 cm)
∴ ????????????�=???????????????????????? ????????????????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
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y�=
∑Ay
∑A
=
(30 cm)(5 cm)(22.50 cm)+(20 cm)(5 cm)(10 cm)
(30 cm)(5 cm)+(20 cm)(5 cm)
∴ ????????????�=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
Figura 5.3b. Centroide de la sección.
Calculando inercia de la sección.
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.30m)(0.05 m)
3
+(0.015 m
2
)(0.05 m)
2
=4.06x10
−5
m
4
I
x2=
bh
3
12
+A
2d
y 2=
1
12
(0.05 m)(0.20 m)
3
+(0.01 m
2
)(0.075 m )
2
=8.96x10
−5
m
4
I
x=I
x1+I
x2= 4.06x10
−5
m
4
+8.96x10
−5
m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Figura 5.3c. Centroide de la sección.
Esfuerzo cortante calculado de la manera convencional.
9
y�=
∑Ay
∑A
=
(30 cm)(5 cm)(22.50 cm)+(20 cm)(5 cm)(10 cm)
(30 cm)(5 cm)+(20 cm)(5 cm)
∴ ????????????�=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
Figura 5.3b. Centroide de la sección.
Calculando inercia de la sección.
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.30m)(0.05 m)
3
+(0.015 m
2
)(0.05 m)
2
=4.06x10
−5
m
4
I
x2=
bh
3
12
+A
2d
y 2=
1
12
(0.05 m)(0.20 m)
3
+(0.01 m
2
)(0.075 m )
2
=8.96x10
−5
m
4
I
x=I
x1+I
x2= 4.06x10
−5
m
4
+8.96x10
−5
m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Figura 5.3c. Centroide de la sección.
Esfuerzo cortante calculado de la manera convencional.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
10
τ
HA′=
VQ
It
=
(50 kN)(0.30 m)(0.05 m)(0.05 m)
(1.30x10
−4
m
4
)(0.30 m)
∴????????????
????????????????????????′=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.3d. Punto A’ Ubicado en la parte inferior del patín.
τ
HA=
VQ
It
=
(50 kN)(0.30 m)(0.05 m)(0.05 m)
(1.30x10
−4
m
4
)(0.05 m)
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.3e. Punto A ubicado en la parte inferior del patín.
τ
HC=τ
HA+
VQ
It
=5,769.23 kN/m
2
+
(50 kN)(0.05 m)(0.025 m )(0.0125 m )
(1.30x10
−4
m
4
)(0.05 m)
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
10
τ
HA′=
VQ
It
=
(50 kN)(0.30 m)(0.05 m)(0.05 m)
(1.30x10
−4
m
4
)(0.30 m)
∴????????????
????????????????????????′=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.3d. Punto A’ Ubicado en la parte inferior del patín.
τ
HA=
VQ
It
=
(50 kN)(0.30 m)(0.05 m)(0.05 m)
(1.30x10
−4
m
4
)(0.05 m)
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.3e. Punto A ubicado en la parte inferior del patín.
τ
HC=τ
HA+
VQ
It
=5,769.23 kN/m
2
+
(50 kN)(0.05 m)(0.025 m )(0.0125 m )
(1.30x10
−4
m
4
)(0.05 m)
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
11
Figura 5.3f. Punto C ubicado en el centroide de la sección.
τ
HB=0
Ecuación del esfuerzo cortante válida de ???????????? .???????????????????????? ????????????????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I (0.30)
�(0.30y�)dy
C2
y1
=
V
I
�(y�)dy=
C2
y1
V
I
�y� dy
C2
y1
τ
H=
V
2I
y�
2
|
C
2
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
???????????????????????? �????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????.
Figura 5.3g. Diferencial de área para la parte superior del patín.
τ
H=
50 kN
2(1.30x10
−4
m
4
)
[(0.075 m )
2
−(0.025 m )
2
]
11
Figura 5.3f. Punto C ubicado en el centroide de la sección.
τ
HB=0
Ecuación del esfuerzo cortante válida de ???????????? .???????????????????????? ????????????????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I (0.30)
�(0.30y�)dy
C2
y1
=
V
I
�(y�)dy=
C2
y1
V
I
�y� dy
C2
y1
τ
H=
V
2I
y�
2
|
C
2
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
???????????????????????? �????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????.
Figura 5.3g. Diferencial de área para la parte superior del patín.
τ
H=
50 kN
2(1.30x10
−4
m
4
)
[(0.075 m )
2
−(0.025 m )
2
]
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
12
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤????????????.???????????????????????? ????????????????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran dos áreas
actuantes (la del patín y la parte del alma superior al eje neutro).
Figura 5.3h. Diferencial de área para la parte inferior del patín.
τ
H=τ
HA+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.025 m
y
2
=τ
HA+
V
I
� (y�)dy=
0.025 m
y
2
τ
HA+
V
2I
y�
2
|
0.025
y
2
τ
H=τ
HA+
V
2I
y�
2
|0.025
2
−y
2
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+
????????????
???????????????????????? �????????????.????????????????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte superior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=5,769.23 kN/m
2
+
50 kN
2(1.30x10
−4
m
4
)
[(0.025 m )
2
−(0.025 m )
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=5,769.23 kN/m
2
+
50 kN
2(1.30x10
−4
m
4
)
[(0.025 m )
2
−(0)
2
]
τ
H=5,769.23
kN
m
2
+120.19
kN
m
2
∴ ????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
12
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤????????????.???????????????????????? ????????????????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran dos áreas
actuantes (la del patín y la parte del alma superior al eje neutro).
Figura 5.3h. Diferencial de área para la parte inferior del patín.
τ
H=τ
HA+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.025 m
y
2
=τ
HA+
V
I
� (y�)dy=
0.025 m
y
2
τ
HA+
V
2I
y�
2
|
0.025
y
2
τ
H=τ
HA+
V
2I
y�
2
|0.025
2
−y
2
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+
????????????
???????????????????????? �????????????.????????????????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte superior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=5,769.23 kN/m
2
+
50 kN
2(1.30x10
−4
m
4
)
[(0.025 m )
2
−(0.025 m )
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=5,769.23 kN/m
2
+
50 kN
2(1.30x10
−4
m
4
)
[(0.025 m )
2
−(0)
2
]
τ
H=5,769.23
kN
m
2
+120.19
kN
m
2
∴ ????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
13
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del alma (debajo del eje neutro) válida
de ????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I t
w
�(t
wy�)dy
C1
y3
=
V
I
�(y�)dy=
C1
y3
V
2I
y�
2
|
C
1
y
3
τ
H=
V
2I
y�
2
|C
1
2−y
3
2∴????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Figura 5.3i. Diferencial de área para la parte inferior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=
50 kN
2(1.30x10
−4
m
4
)
[(0.175 m )
2
−(0.175 m )
2
]
∴????????????
????????????=???????????? ????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=
50 kN
2(1.30x10
−4
m
4
)
[(0.175 m )
2
−(0 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????,???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
13
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del alma (debajo del eje neutro) válida
de ????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I t
w
�(t
wy�)dy
C1
y3
=
V
I
�(y�)dy=
C1
y3
V
2I
y�
2
|
C
1
y
3
τ
H=
V
2I
y�
2
|C
1
2−y
3
2∴????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Figura 5.3i. Diferencial de área para la parte inferior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=
50 kN
2(1.30x10
−4
m
4
)
[(0.175 m )
2
−(0.175 m )
2
]
∴????????????
????????????=???????????? ????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=
50 kN
2(1.30x10
−4
m
4
)
[(0.175 m )
2
−(0 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????,???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
14
Figura 5.3j. Esfuerzo cortante transversal.
PROBLEMA 5.4.
La viga en voladizo de acero ‘I’ de ala ancha tiene las dimensiones de la Figura 5.4a y 5.4b. Trace
la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre el área de la sección transversal de la viga
en la zona de fuerza cortante máxima. Además, deduzca las expresiones para calcular el
esfuerzo cortante en cualquier punto de la sección transversal.
Figura 5.4a. Viga en análisis.
Figura 5.4b. Sección transversal de la viga en análisis.
Calculando inercia de la sección.
14
Figura 5.3j. Esfuerzo cortante transversal.
PROBLEMA 5.4.
La viga en voladizo de acero ‘I’ de ala ancha tiene las dimensiones de la Figura 5.4a y 5.4b. Trace
la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre el área de la sección transversal de la viga
en la zona de fuerza cortante máxima. Además, deduzca las expresiones para calcular el
esfuerzo cortante en cualquier punto de la sección transversal.
Figura 5.4a. Viga en análisis.
Figura 5.4b. Sección transversal de la viga en análisis.
Calculando inercia de la sección.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
15
Figura 5.4c. Distancias necesarias para el cálculo de la inercia.
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.30m)(0.06 m)
3
+(0.018 m
2
)(0.13 m)
2
=3.10x10
−4
m
4
I
x2=
bh
3
12
+A
2d
y 2=
1
12
(0.045 m )(0.20 m)
3
=3x10
−5
m
4
I
x=2I
x1+I
x2= 2(3.10x10
−4
m
4
)+3x10
−5
m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Equilibrio en la viga.
Figura 5.4d. Diagrama de cuerpo libre.
�M
A=0;−�7.50
Ton
m
�(4.50 m)(1.50 m)+M
A=0 ∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????.????????????
�F
y=0;−�7.50
Ton
m
�(4.50 m)+R
A=0 ∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????
15
Figura 5.4c. Distancias necesarias para el cálculo de la inercia.
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.30m)(0.06 m)
3
+(0.018 m
2
)(0.13 m)
2
=3.10x10
−4
m
4
I
x2=
bh
3
12
+A
2d
y 2=
1
12
(0.045 m )(0.20 m)
3
=3x10
−5
m
4
I
x=2I
x1+I
x2= 2(3.10x10
−4
m
4
)+3x10
−5
m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Equilibrio en la viga.
Figura 5.4d. Diagrama de cuerpo libre.
�M
A=0;−�7.50
Ton
m
�(4.50 m)(1.50 m)+M
A=0 ∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????.????????????
�F
y=0;−�7.50
Ton
m
�(4.50 m)+R
A=0 ∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
16
Figura 5.4e. Diagrama de elementos mecánicos.
Esfuerzo cortante calculado de la manera convencional.
τ
HA′=
VQ
It
=
(33.75 Ton )(0.30 m)(0.06 m)(0.13 m)
(6.50x10
−4
m
4
)(0.30 m)
∴????????????
????????????????????????′=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.4f. Punto A’, A y C en donde se determinan los esfuerzos cortantes.
16
Figura 5.4e. Diagrama de elementos mecánicos.
Esfuerzo cortante calculado de la manera convencional.
τ
HA′=
VQ
It
=
(33.75 Ton )(0.30 m)(0.06 m)(0.13 m)
(6.50x10
−4
m
4
)(0.30 m)
∴????????????
????????????????????????′=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.4f. Punto A’, A y C en donde se determinan los esfuerzos cortantes.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
17
τ
HA=
VQ
It
=
(33.75 Ton )(0.30 m)(0.06 m)(0.13 m)
(6.50x10
−4
m
4
)(0.045 m )
∴????????????
????????????????????????=????????????,???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.4g. Esfuerzos cortantes en los puntos A’, A y C.
τ
HC=τ
HA+
VQ
It
=2,700 Ton /m
2
+
(33.75 Ton )(0.045 m )(0.10 m)(0.05 m)
(6.50x10
−4
m
4
)(0.045 m )
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
Ecuación del esfuerzo cortante válida de ???????????????????????? ???????????????????????? ≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I (0.30)
�(0.30y�)dy
C1
y1
=
V
I
�(y�)dy=
C1
y1
V
I
�y� dy
C1
y1
τ
H=
V
2I
y�
2
|
C
1
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
17
τ
HA=
VQ
It
=
(33.75 Ton )(0.30 m)(0.06 m)(0.13 m)
(6.50x10
−4
m
4
)(0.045 m )
∴????????????
????????????????????????=????????????,???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.4g. Esfuerzos cortantes en los puntos A’, A y C.
τ
HC=τ
HA+
VQ
It
=2,700 Ton /m
2
+
(33.75 Ton )(0.045 m )(0.10 m)(0.05 m)
(6.50x10
−4
m
4
)(0.045 m )
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
Ecuación del esfuerzo cortante válida de ???????????????????????? ???????????????????????? ≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I (0.30)
�(0.30y�)dy
C1
y1
=
V
I
�(y�)dy=
C1
y1
V
I
�y� dy
C1
y1
τ
H=
V
2I
y�
2
|
C
1
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
18
Figura 5.4h. Diferencial de área para la parte superior del patín.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ????????????.
τ
H=
33.75 Ton
2(6.50x10
−4
m
4
)
[(0.16 m)
2
−(0.10 m)
2
]
∴????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤???????????????????????? ????????????????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran dos áreas
actuantes (la del patín y la parte del alma superior al eje neutro).
Figura 5.4i. Diferencial de área para la parte superior del alma.
τ
H=τ
HA+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.10 m
y2
=τ
HA+
V
I
� (y�)dy=
0.10 m
y2
τ
HA+
V
2I
y�
2
|
0.10
y
2
18
Figura 5.4h. Diferencial de área para la parte superior del patín.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ????????????.
τ
H=
33.75 Ton
2(6.50x10
−4
m
4
)
[(0.16 m)
2
−(0.10 m)
2
]
∴????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤???????????????????????? ????????????????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran dos áreas
actuantes (la del patín y la parte del alma superior al eje neutro).
Figura 5.4i. Diferencial de área para la parte superior del alma.
τ
H=τ
HA+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.10 m
y2
=τ
HA+
V
I
� (y�)dy=
0.10 m
y2
τ
HA+
V
2I
y�
2
|
0.10
y
2
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
19
τ
H=τ
HA+
V
2I
y�
2
|0.10
2
−y
2
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+????????????
????????????????????????
�????????????.????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte superior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ????????????.
τ
H=2,700 Ton /m
2
+
33.75 Ton
2(6.50x10
−4
m
4
)
[(0.10 m)
2
−(0.10 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????,???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=2,700 Ton /m
2
+
33.75 Ton
2(6.50x10
−4
m
4
)
[(0.10 m)
2
−(0 m)
2
]
τ
H=2,700
Ton
m
2
+259.62
Ton
m
2
∴ ????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Como la sección es simétrica respecto al eje ‘x’, la variación del esfuerzo cortante calculados de
????????????≤????????????≤???????????????????????? ???????????????????????? será la misa que de ????????????≤????????????≤−???????????????????????? ????????????????????????, como se muestra en la Figura 5.4j.
Figura 5.4j. Esfuerzo cortante transversal.
PROBLEMA 5.5.
Una viga de madera tiene las dimensiones de la Figura 5.5a y 5.5b. Trace la distribución del
esfuerzo cortante que actúa sobre el área de la sección transversal de la viga en la zona de
fuerza cortante máxima.
19
τ
H=τ
HA+
V
2I
y�
2
|0.10
2
−y
2
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+????????????
????????????????????????
�????????????.????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte superior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ????????????.
τ
H=2,700 Ton /m
2
+
33.75 Ton
2(6.50x10
−4
m
4
)
[(0.10 m)
2
−(0.10 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????,???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=2,700 Ton /m
2
+
33.75 Ton
2(6.50x10
−4
m
4
)
[(0.10 m)
2
−(0 m)
2
]
τ
H=2,700
Ton
m
2
+259.62
Ton
m
2
∴ ????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Como la sección es simétrica respecto al eje ‘x’, la variación del esfuerzo cortante calculados de
????????????≤????????????≤???????????????????????? ???????????????????????? será la misa que de ????????????≤????????????≤−???????????????????????? ????????????????????????, como se muestra en la Figura 5.4j.
Figura 5.4j. Esfuerzo cortante transversal.
PROBLEMA 5.5.
Una viga de madera tiene las dimensiones de la Figura 5.5a y 5.5b. Trace la distribución del
esfuerzo cortante que actúa sobre el área de la sección transversal de la viga en la zona de
fuerza cortante máxima.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
20
Figura 5.5a. Viga en análisis.
Figura 5.5b. Sección transversal de la viga en análisis.
Calculando centroide de la sección.
y�=
∑Ay
∑A
=
(50 cm)(6 cm)(53 cm)+(50 cm)(6 cm)(25 cm)
2(50 cm)(6 cm)
∴ ????????????�=???????????????????????? ????????????????????????
20
Figura 5.5a. Viga en análisis.
Figura 5.5b. Sección transversal de la viga en análisis.
Calculando centroide de la sección.
y�=
∑Ay
∑A
=
(50 cm)(6 cm)(53 cm)+(50 cm)(6 cm)(25 cm)
2(50 cm)(6 cm)
∴ ????????????�=???????????????????????? ????????????????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
21
Figura 5.5c. Centroide de la sección.
Calculando inercia de la sección.
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.50 m)(0.06 m)
3
+(0.03 m
2
)(0.14 m)
2
=5.97x10
−4
m
4
I
x2=
bh
3
12
+A
2d
y 2=
1
12
(0.06 m)(0.50 m)
3
+(0.03 m
2
)(0.14 m)
2
=1.21x10
−3
m
4
I
x=I
x1+I
x2= 5.97x10
−4
m
4
+1.21x10
−3
m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Equilibrio en la viga.
Figura 5.5d. Diagrama de cuerpo libre.
�M
A=0;−�12
kN
m
�(2.75 m)(1.375 m)−�15
kN
m
�(2.75 m)(2.75 m +1.375 m )
+R
B(5.50 m)=0
∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
21
Figura 5.5c. Centroide de la sección.
Calculando inercia de la sección.
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.50 m)(0.06 m)
3
+(0.03 m
2
)(0.14 m)
2
=5.97x10
−4
m
4
I
x2=
bh
3
12
+A
2d
y 2=
1
12
(0.06 m)(0.50 m)
3
+(0.03 m
2
)(0.14 m)
2
=1.21x10
−3
m
4
I
x=I
x1+I
x2= 5.97x10
−4
m
4
+1.21x10
−3
m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Equilibrio en la viga.
Figura 5.5d. Diagrama de cuerpo libre.
�M
A=0;−�12
kN
m
�(2.75 m)(1.375 m)−�15
kN
m
�(2.75 m)(2.75 m +1.375 m )
+R
B(5.50 m)=0
∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
22
�F
y=0;−�12
kN
m
�(2.75 m)−�15
kN
m
�(2.75 m)+39.19 kN +R
A=0
∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
x
2.06
=
2.75−x
39.19
; 39.19x=2.06(2.75−x);39.19x=5.665−2.06x;
41.25x=5.665 ∴????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????;????????????.????????????????????????−????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
Figura 5.5e. Diagrama de elementos mecánicos.
Esfuerzo cortante calculado de la manera convencional.
22
�F
y=0;−�12
kN
m
�(2.75 m)−�15
kN
m
�(2.75 m)+39.19 kN +R
A=0
∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
x
2.06
=
2.75−x
39.19
; 39.19x=2.06(2.75−x);39.19x=5.665−2.06x;
41.25x=5.665 ∴????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????;????????????.????????????????????????−????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
Figura 5.5e. Diagrama de elementos mecánicos.
Esfuerzo cortante calculado de la manera convencional.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
23
τ
HA′=
VQ
It
=
(39.19 kN)(0.50 m)(0.06 m)(0.14 m)
(1.81x10
−3
m
4
)(0.50 m)
∴????????????
????????????????????????′=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.5f. Punto A’ y A Ubicado en la parte inferior del patín.
τ
HA=
VQ
It
=
(39.19 kN )(0.50 m)(0.06 m)(0.14 m)
(1.81x10
−3
m
4
)(0.06 m)
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
τ
HC=τ
HA+
VQ
It
=5,769.23 kN/m
2
+
(39.19 kN )(0.06 m)(0.11 m)(0.055 m )
(1.81x10
−3
m
4
)(0.06 m)
1,515.64
kN
m
2
+130.99
kN
m
2
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
23
τ
HA′=
VQ
It
=
(39.19 kN)(0.50 m)(0.06 m)(0.14 m)
(1.81x10
−3
m
4
)(0.50 m)
∴????????????
????????????????????????′=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.5f. Punto A’ y A Ubicado en la parte inferior del patín.
τ
HA=
VQ
It
=
(39.19 kN )(0.50 m)(0.06 m)(0.14 m)
(1.81x10
−3
m
4
)(0.06 m)
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
τ
HC=τ
HA+
VQ
It
=5,769.23 kN/m
2
+
(39.19 kN )(0.06 m)(0.11 m)(0.055 m )
(1.81x10
−3
m
4
)(0.06 m)
1,515.64
kN
m
2
+130.99
kN
m
2
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
24
Figura 5.5g. Punto C ubicado en el centroide de la sección.
Ecuación del esfuerzo cortante válida de ???????????????????????? ???????????????????????? ≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I (0.50)
�(0.50y�)dy
C2
y1
=
V
I
�(y�)dy=
C2
y1
V
I
�y� dy
C2
y1
τ
H=
V
2I
y�
2
|
C
2
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
???????????????????????? �????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ????????????.
Figura 5.5h. Diferencial de área para el patín.
τ
H=
39.19 kN
2(1.81x10
−3
m
4
)
[(0.17 m)
2
−(0.11 m)
2
]
24
Figura 5.5g. Punto C ubicado en el centroide de la sección.
Ecuación del esfuerzo cortante válida de ???????????????????????? ???????????????????????? ≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I (0.50)
�(0.50y�)dy
C2
y1
=
V
I
�(y�)dy=
C2
y1
V
I
�y� dy
C2
y1
τ
H=
V
2I
y�
2
|
C
2
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
???????????????????????? �????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ????????????.
Figura 5.5h. Diferencial de área para el patín.
τ
H=
39.19 kN
2(1.81x10
−3
m
4
)
[(0.17 m)
2
−(0.11 m)
2
]
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
25
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤???????????????????????? ????????????????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran dos
áreas actuantes (la del patín y la parte del alma superior al eje neutro).
Figura 5.5i. Diferencial de área para la parte superior del alma.
τ
H=τ
HA+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.11 m
y
2
=τ
HA+
V
I
� (y�)dy=
0.11 m
y
2
τ
HA+
V
2I
y�
2
|
0.11
y
2
τ
H=τ
HA+
V
2I
y�
2
|0.11
2
−y
2
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+
????????????
???????????????????????? �????????????.????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte superior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=1,515.64 kN /m
2
+
39.19 kN
2(1.81x10
−3
m
4
)
[(0.11 m)
2
−(0.11 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=1,515.64 kN /m
2
+
39.19 kN
2(1.81x10
−3
m
4
)
[(0.11 m)
2
−(0 m)
2
]
τ
H=1,515.64 kN /m
2
+130.99 kN /m
2
∴ ????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
25
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤???????????????????????? ????????????????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran dos
áreas actuantes (la del patín y la parte del alma superior al eje neutro).
Figura 5.5i. Diferencial de área para la parte superior del alma.
τ
H=τ
HA+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.11 m
y
2
=τ
HA+
V
I
� (y�)dy=
0.11 m
y
2
τ
HA+
V
2I
y�
2
|
0.11
y
2
τ
H=τ
HA+
V
2I
y�
2
|0.11
2
−y
2
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+
????????????
???????????????????????? �????????????.????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte superior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=1,515.64 kN /m
2
+
39.19 kN
2(1.81x10
−3
m
4
)
[(0.11 m)
2
−(0.11 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=1,515.64 kN /m
2
+
39.19 kN
2(1.81x10
−3
m
4
)
[(0.11 m)
2
−(0 m)
2
]
τ
H=1,515.64 kN /m
2
+130.99 kN /m
2
∴ ????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
26
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del alma (debajo del eje neutro) válida
de ????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I t
w
�(t
wy�)dy
C1
y3
=
V
I
�(y�)dy=
C1
y3
V
2I
y�
2
|
C
1
y
3
τ
H=
V
2I
y�
2
|C
1
2−y
3
2∴????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Figura 5.5j. Diferencial de área para la parte inferior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ????????????.
τ
H=
39.19 kN
2(1.81x10
−3
m
4
)
[(0.39 m)
2
−(0.39 m)
2
]
∴????????????
????????????=???????????? ????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=
39.19 kN
2(1.81x10
−3
m
4
)
[(0.39 m)
2
−(0 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
26
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del alma (debajo del eje neutro) válida
de ????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I t
w
�(t
wy�)dy
C1
y3
=
V
I
�(y�)dy=
C1
y3
V
2I
y�
2
|
C
1
y
3
τ
H=
V
2I
y�
2
|C
1
2−y
3
2∴????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Figura 5.5j. Diferencial de área para la parte inferior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ????????????.
τ
H=
39.19 kN
2(1.81x10
−3
m
4
)
[(0.39 m)
2
−(0.39 m)
2
]
∴????????????
????????????=???????????? ????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=
39.19 kN
2(1.81x10
−3
m
4
)
[(0.39 m)
2
−(0 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
27
Figura 5.5k. Esfuerzo cortante transversal.
PROBLEMA 5.6.
Esboce el diagrama de esfuerzo cortante en el punto D para la viga de latón mostrada en la
Figura 5.6a; además, deduzca expresiones para calcular lo en cualquier punto de la sección
transversal. Finalmente, determine el esfuerzo cortante máximo que puede soportar la viga.
Figura 5.6a. Viga de latón.
Figura 5.6b. Sección transversal de viga de latón.
Calculando centroide de la sección.
27
Figura 5.5k. Esfuerzo cortante transversal.
PROBLEMA 5.6.
Esboce el diagrama de esfuerzo cortante en el punto D para la viga de latón mostrada en la
Figura 5.6a; además, deduzca expresiones para calcular lo en cualquier punto de la sección
transversal. Finalmente, determine el esfuerzo cortante máximo que puede soportar la viga.
Figura 5.6a. Viga de latón.
Figura 5.6b. Sección transversal de viga de latón.
Calculando centroide de la sección.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
28
y�=
∑Ay
∑A
=
(40 cm)(5 cm)(47.50 cm )+(40 cm)(5 cm)(25 cm)+(40 cm )(5 cm)(2.50 cm)
3(40 cm)(5 cm)
∴ ????????????�=???????????????????????? ????????????????????????
Figura 5.6c. Centroide de la sección.
Calculando inercia de la sección.
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.40 m)(0.05 m)
3
+(0.02 m
2
)(0.225 m )
2
=1.017x10
−3
m
4
I
x2=
bh
3
12
+A
2d
y 2=
1
12
(0.05 m)(0.40 m)
3
=2.67x10
−4
m
4
I
x=2I
x1+I
x2= 2(1.017x10
−3
m
4
)+2.67x10
−4
m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Equilibrio en la viga.
Figura 5.6d. Diagrama de cuerpo libre.
28
y�=
∑Ay
∑A
=
(40 cm)(5 cm)(47.50 cm )+(40 cm)(5 cm)(25 cm)+(40 cm )(5 cm)(2.50 cm)
3(40 cm)(5 cm)
∴ ????????????�=???????????????????????? ????????????????????????
Figura 5.6c. Centroide de la sección.
Calculando inercia de la sección.
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.40 m)(0.05 m)
3
+(0.02 m
2
)(0.225 m )
2
=1.017x10
−3
m
4
I
x2=
bh
3
12
+A
2d
y 2=
1
12
(0.05 m)(0.40 m)
3
=2.67x10
−4
m
4
I
x=2I
x1+I
x2= 2(1.017x10
−3
m
4
)+2.67x10
−4
m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Equilibrio en la viga.
Figura 5.6d. Diagrama de cuerpo libre.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
29
�M
A=0;−(45 kN)(3 m)−(20 kN/m)(9 m)(4.50 m)−(45 kN)(6 m)+R
B(6 m)
=0
∴ ????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
�F
y=0;−(45 kN)−(20 kN/m)(9 m)−(45 kN)+202.50 kN+R
A=0
∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
Figura 5.6e. Diagrama de elementos mecánicos.
Esfuerzo cortante calculado de la manera convencional en el punto D de la viga.
29
�M
A=0;−(45 kN)(3 m)−(20 kN/m)(9 m)(4.50 m)−(45 kN)(6 m)+R
B(6 m)
=0
∴ ????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
�F
y=0;−(45 kN)−(20 kN/m)(9 m)−(45 kN)+202.50 kN+R
A=0
∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
Figura 5.6e. Diagrama de elementos mecánicos.
Esfuerzo cortante calculado de la manera convencional en el punto D de la viga.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
30
τ
HA′=
VQ
It
=
(37.50 kN)(0.40 m)(0.05 m)(0.225 m)
(2.30x10
−3
m
4
)(0.40 m)
∴????????????
????????????????????????′=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.6f. Punto A’ y A Ubicado en la parte inferior del patín.
τ
HA=
VQ
It
=
(37.50 kN )(0.40 m)(0.05 m)(0.225 m)
(2.30x10
−3
m
4
)(0.05 m)
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
τ
HC=τ
HA+
VQ
It
=1,467.39 kN/m
2
+
(37.50 kN )(0.05 m)(0.20 m)(0.10 m)
(2.30x10
−3
m
4
)(0.05 m)
=1,467.39 kN/m
2
+326.09 kN/m
2
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.6g. Punto C ubicado en el centroide de la sección.
Ecuación del esfuerzo cortante válida de ???????????????????????? ????????????????????????≤????????????
????????????≤????????????
???????????? para el punto D.
30
τ
HA′=
VQ
It
=
(37.50 kN)(0.40 m)(0.05 m)(0.225 m)
(2.30x10
−3
m
4
)(0.40 m)
∴????????????
????????????????????????′=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.6f. Punto A’ y A Ubicado en la parte inferior del patín.
τ
HA=
VQ
It
=
(37.50 kN )(0.40 m)(0.05 m)(0.225 m)
(2.30x10
−3
m
4
)(0.05 m)
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
τ
HC=τ
HA+
VQ
It
=1,467.39 kN/m
2
+
(37.50 kN )(0.05 m)(0.20 m)(0.10 m)
(2.30x10
−3
m
4
)(0.05 m)
=1,467.39 kN/m
2
+326.09 kN/m
2
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.6g. Punto C ubicado en el centroide de la sección.
Ecuación del esfuerzo cortante válida de ???????????????????????? ????????????????????????≤????????????
????????????≤????????????
???????????? para el punto D.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
31
τ
H=
V
I (0.50)
�(0.50y�)dy
C2
y1
=
V
I
�(y�)dy=
C2
y1
V
I
�y� dy
C2
y1
τ
H=
V
2I
y�
2
|
C
2
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
???????????????????????? �????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ???????????? para el punto D.
Figura 5.6h. Diferencial de área para el patín.
τ
H=
37.50 kN
2(2.30x10
−3
m
4
)
[(0.25 m)
2
−(0.20 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤???????????????????????? ???????????????????????? para el punto D.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran dos áreas
actuantes (la del patín y la parte del alma superior al eje neutro).
31
τ
H=
V
I (0.50)
�(0.50y�)dy
C2
y1
=
V
I
�(y�)dy=
C2
y1
V
I
�y� dy
C2
y1
τ
H=
V
2I
y�
2
|
C
2
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
???????????????????????? �????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ???????????? para el punto D.
Figura 5.6h. Diferencial de área para el patín.
τ
H=
37.50 kN
2(2.30x10
−3
m
4
)
[(0.25 m)
2
−(0.20 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤???????????????????????? ???????????????????????? para el punto D.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran dos áreas
actuantes (la del patín y la parte del alma superior al eje neutro).
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
32
Figura 5.6i. Diferencial de área para la parte superior del alma.
τ
H=τ
HA+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.20 m
y
2
=τ
HA+
V
I
� (y�)dy=
0.20 m
y
2
τ
HA+
V
2I
y�
2
|
0.20
y
2
τ
H=τ
HA+
V
2I
y�
2
|0.20
2
−y
2
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+
????????????
???????????????????????? �????????????.????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte superior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=1,467.39 kN/m
2
+
37.50 kN
2(2.30x10
−3
m
4
)
[(0.20 m)
2
−(0.20 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=1,467.39 kN/m
2
+
37.50 kN
2(2.30x10
−3
m
4
)
[(0.20 m)
2
−(0 m)
2
]
τ
H=1,467.39 kN/m
2
+326.09 kN/m
2
∴ ????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del alma (debajo del eje neutro) válida
de ????????????≤????????????
????????????≤????????????
???????????? en el punto D.
τ
H=
V
I t
w
�(t
wy�)dy
C2
y3
=
V
I
�(y�)dy=
C2
y3
V
2I
y�
2
|
C
2
y
3
τ
H=
V
2I
y�
2
|C
2
2−y
3
2∴????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
32
Figura 5.6i. Diferencial de área para la parte superior del alma.
τ
H=τ
HA+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.20 m
y
2
=τ
HA+
V
I
� (y�)dy=
0.20 m
y
2
τ
HA+
V
2I
y�
2
|
0.20
y
2
τ
H=τ
HA+
V
2I
y�
2
|0.20
2
−y
2
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+
????????????
???????????????????????? �????????????.????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte superior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=1,467.39 kN/m
2
+
37.50 kN
2(2.30x10
−3
m
4
)
[(0.20 m)
2
−(0.20 m)
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=1,467.39 kN/m
2
+
37.50 kN
2(2.30x10
−3
m
4
)
[(0.20 m)
2
−(0 m)
2
]
τ
H=1,467.39 kN/m
2
+326.09 kN/m
2
∴ ????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del alma (debajo del eje neutro) válida
de ????????????≤????????????
????????????≤????????????
???????????? en el punto D.
τ
H=
V
I t
w
�(t
wy�)dy
C2
y3
=
V
I
�(y�)dy=
C2
y3
V
2I
y�
2
|
C
2
y
3
τ
H=
V
2I
y�
2
|C
2
2−y
3
2∴????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
33
Figura 5.5j. Diferencial de área para la parte inferior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ???????????? en el punto D y
esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
Como la sección transversal es perfectamente simétrica respecto al eje ‘x’, entonces la distribución de esfuerzos cortantes igualmente lo será, por lo tanto, dicha distribución queda como
se muestra en la Figura 5.6k.
Figura 5.6k. Esfuerzo cortante transversal.
Calculando el esfuerzo cortante máximo en la viga.
El esfuerzo cortante máximo se sitúa sobre el eje neutro de la sección transversal y se considera
la fuerza cortante máxima en la viga que es V=97.50 kN , por lo tanto, se calcula como sigue:
33
Figura 5.5j. Diferencial de área para la parte inferior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ???????????? en el punto D y
esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
Como la sección transversal es perfectamente simétrica respecto al eje ‘x’, entonces la distribución de esfuerzos cortantes igualmente lo será, por lo tanto, dicha distribución queda como
se muestra en la Figura 5.6k.
Figura 5.6k. Esfuerzo cortante transversal.
Calculando el esfuerzo cortante máximo en la viga.
El esfuerzo cortante máximo se sitúa sobre el eje neutro de la sección transversal y se considera
la fuerza cortante máxima en la viga que es V=97.50 kN , por lo tanto, se calcula como sigue:
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
34
τ
Hmáx=
V
máxQ
I t
=
�97.50
kN
m
�(0.40 m)(0.05 m)(0.225 m)
(2.30x10
−3
m
4
)(0.05 m)
+
�97.50
kN
m
�(0.05 m)(0.20 m)(0.10 m)
(2.30x10
−3
m
4
)(0.05 m)
τ
Hmáx=3,815.22 kN /m
2
+847.83 kN /m
2
∴????????????
????????????????????????á????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
PROBLEMA 5.7.
Dibuje la gráfica de distribución del esfuerzo cortante en la zona de fuerza cortante máxima de la
viga de aluminio mostrada en la Figura 5.7a; además, deduzca expresiones para calcularlo en
cualquier punto de la sección transversal . Adicionalmente, calcule el esfuerzo máximo en el punto
D.
Figura 5.7a. Viga de aluminio de análisis.
Figura 5.7b. Sección transversal.
Calculando centroide de la sección.
34
τ
Hmáx=
V
máxQ
I t
=
�97.50
kN
m
�(0.40 m)(0.05 m)(0.225 m)
(2.30x10
−3
m
4
)(0.05 m)
+
�97.50
kN
m
�(0.05 m)(0.20 m)(0.10 m)
(2.30x10
−3
m
4
)(0.05 m)
τ
Hmáx=3,815.22 kN /m
2
+847.83 kN /m
2
∴????????????
????????????????????????á????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
PROBLEMA 5.7.
Dibuje la gráfica de distribución del esfuerzo cortante en la zona de fuerza cortante máxima de la
viga de aluminio mostrada en la Figura 5.7a; además, deduzca expresiones para calcularlo en
cualquier punto de la sección transversal . Adicionalmente, calcule el esfuerzo máximo en el punto
D.
Figura 5.7a. Viga de aluminio de análisis.
Figura 5.7b. Sección transversal.
Calculando centroide de la sección.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
35
y�=
∑Ay
∑A
=
(55 cm)(5.50 cm)(57.75 cm )+(49.50 cm )(5.50 cm)(30.25 cm)
+(60.50 cm )(5.50 m)(2.75 cm)
(55 cm)(5.50 cm)+(49.50 cm )(5.50 cm)+(60.50 cm )(5.50 cm)
∴ ????????????�=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
Figura 5.7c. Centroide de la sección.
Calculando inercia de la sección.
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.55m) (0.055 m )
3
+(0.03025 m
2
)(0.2042 m )
2
=1.27x10
−3
m
4
I
x2=
bh
3
12
+A
2d
y 2=
1
12
(0.055 m )(0.495 m)
3
+(0.027 m
2
)(0.0092 m )
2
=5.58x10
−4
m
4
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.605m)(0.055 m )
3
+(0.0333 m
2
)(0.2858 m )
2
=2.73x10
−3
m
4
I
x=I
x1+I
x2+I
x3= 1.27x10
−3
m
4
+5.58x10
−4
m
4
+2.73x10
−3
m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Equilibrio en la viga.
35
y�=
∑Ay
∑A
=
(55 cm)(5.50 cm)(57.75 cm )+(49.50 cm )(5.50 cm)(30.25 cm)
+(60.50 cm )(5.50 m)(2.75 cm)
(55 cm)(5.50 cm)+(49.50 cm )(5.50 cm)+(60.50 cm )(5.50 cm)
∴ ????????????�=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
Figura 5.7c. Centroide de la sección.
Calculando inercia de la sección.
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.55m) (0.055 m )
3
+(0.03025 m
2
)(0.2042 m )
2
=1.27x10
−3
m
4
I
x2=
bh
3
12
+A
2d
y 2=
1
12
(0.055 m )(0.495 m)
3
+(0.027 m
2
)(0.0092 m )
2
=5.58x10
−4
m
4
I
x1=
bh
3
12
+A
1d
y
2=
1
12(0.605m)(0.055 m )
3
+(0.0333 m
2
)(0.2858 m )
2
=2.73x10
−3
m
4
I
x=I
x1+I
x2+I
x3= 1.27x10
−3
m
4
+5.58x10
−4
m
4
+2.73x10
−3
m
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
Equilibrio en la viga.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
36
Figura 5.7d. Diagrama de cuerpo libre.
�M
A=0;−(15 kN)(8 m)−(15 kN)(6 m)−(30 kN)(4.67 m)−(60 kN)(3 m)
−(30 kN)(1.33)+R
B(6 m)=0
∴ ????????????
????????????=???????????????????????? ????????????????????????. ????????????
�F
y=0;95 kN+−(15 kN)−(15 kN)−(30 kN)−(60 kN)−(30 kN)+R
A=0
∴ ????????????
????????????=???????????????????????? ????????????????????????
x
25
=
2−x
35
; 35x=25(2−x);35x=50−25x;
60x=50 ∴????????????=????????????.???????????????????????? ????????????; ????????????−????????????=????????????.???????????????????????? ????????????
Corte 1’ -1’.
Figura 5.7e. Corte 1’-1’.
h′
30 kN/m
=
x
2 m
∴????????????′=????????????????????????????????????
36
Figura 5.7d. Diagrama de cuerpo libre.
�M
A=0;−(15 kN)(8 m)−(15 kN)(6 m)−(30 kN)(4.67 m)−(60 kN)(3 m)
−(30 kN)(1.33)+R
B(6 m)=0
∴ ????????????
????????????=???????????????????????? ????????????????????????. ????????????
�F
y=0;95 kN+−(15 kN)−(15 kN)−(30 kN)−(60 kN)−(30 kN)+R
A=0
∴ ????????????
????????????=???????????????????????? ????????????????????????
x
25
=
2−x
35
; 35x=25(2−x);35x=50−25x;
60x=50 ∴????????????=????????????.???????????????????????? ????????????; ????????????−????????????=????????????.???????????????????????? ????????????
Corte 1’ -1’.
Figura 5.7e. Corte 1’-1’.
h′
30 kN/m
=
x
2 m
∴????????????′=????????????????????????????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
37
�M
1−1=0; +(15x)�
x
3
��
x
2
�−(55 kN)(x)+M=0
∴ ????????????=−????????????.????????????????????????????????????
????????????
+????????????????????????????????????
Para x=2 m.
????????????=???????????????????????? ????????????????????????. ????????????
Corte 1- 1.
Figura 5.7f. Corte 1-1.
h
30 kN/m
=
x
2 m
∴????????????=????????????????????????????????????
�M
1−1=0;−(15x)�
x
3
��
x
2
�−(15 kN)(x)+(95 kN)(x)−(15 kN)(x+2)−M
=0
∴ ????????????=−????????????.????????????????????????????????????
????????????
−????????????????????????????????????+????????????????????????????????????−????????????????????????(????????????+????????????)
Para x=2 m
????????????=???????????????????????? ????????????????????????. ????????????
Para x=0 m
????????????=−???????????????????????? ????????????????????????.????????????
37
�M
1−1=0; +(15x)�
x
3
��
x
2
�−(55 kN)(x)+M=0
∴ ????????????=−????????????.????????????????????????????????????
????????????
+????????????????????????????????????
Para x=2 m.
????????????=???????????????????????? ????????????????????????. ????????????
Corte 1- 1.
Figura 5.7f. Corte 1-1.
h
30 kN/m
=
x
2 m
∴????????????=????????????????????????????????????
�M
1−1=0;−(15x)�
x
3
��
x
2
�−(15 kN)(x)+(95 kN)(x)−(15 kN)(x+2)−M
=0
∴ ????????????=−????????????.????????????????????????????????????
????????????
−????????????????????????????????????+????????????????????????????????????−????????????????????????(????????????+????????????)
Para x=2 m
????????????=???????????????????????? ????????????????????????. ????????????
Para x=0 m
????????????=−???????????????????????? ????????????????????????.????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
38
Figura 5.7g. Diagramas de elemento mecánicos.
Esfuerzo cortante en la zona de fuerza cortante máxima calculado de la manera
convencional.
τ
HA′=
VQ
It
=
(65 kN)(0.55 m)(0.055 m )(0.2842 m )
(4.56x10
−3
m
4
)(0.55 m)
∴????????????
????????????????????????′=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
38
Figura 5.7g. Diagramas de elemento mecánicos.
Esfuerzo cortante en la zona de fuerza cortante máxima calculado de la manera
convencional.
τ
HA′=
VQ
It
=
(65 kN)(0.55 m)(0.055 m )(0.2842 m )
(4.56x10
−3
m
4
)(0.55 m)
∴????????????
????????????????????????′=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
39
Figura 5.7h. Punto A’ y A Ubicado en la parte inferior del patín.
τ
HA=
VQ
It
=
(65 kN)(0.55 m)(0.055 m)(0.2842 m)
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
τ
HC=τ
HA+
VQ
It
=2,228.10 kN /m
2
+
(65 kN)(0.055 m)(0.2567 m)(0.2567/2 m)
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
=2,228.10 kN /m
2
+469.65 kN /m
2
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.7i. Área para calcular el esfuerzo cortante en el punto C ubicado en el centroide
de la sección.
Como la sección transversal de la viga no es perfectamente simétrica, como en los problemas
anteriores, el esfuerzo cortante se calcula en la parte inferior del eje neutro, como se muestra a
continuación.
τ
HB′=
VQ
It
=
(65 kN)(0.605 m)(0.055 m )(0.2658 m )
(4.56x10
−3
m
4
)(0.605 m )
39
Figura 5.7h. Punto A’ y A Ubicado en la parte inferior del patín.
τ
HA=
VQ
It
=
(65 kN)(0.55 m)(0.055 m)(0.2842 m)
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
τ
HC=τ
HA+
VQ
It
=2,228.10 kN /m
2
+
(65 kN)(0.055 m)(0.2567 m)(0.2567/2 m)
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
=2,228.10 kN /m
2
+469.65 kN /m
2
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Figura 5.7i. Área para calcular el esfuerzo cortante en el punto C ubicado en el centroide
de la sección.
Como la sección transversal de la viga no es perfectamente simétrica, como en los problemas
anteriores, el esfuerzo cortante se calcula en la parte inferior del eje neutro, como se muestra a
continuación.
τ
HB′=
VQ
It
=
(65 kN)(0.605 m)(0.055 m )(0.2658 m )
(4.56x10
−3
m
4
)(0.605 m )
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
40
∴????????????
????????????????????????′=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
τ
HB=
VQ
It
=
(65 kN)(0.605 m )(0.055 m)(0.2658 m )
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
τ
HC=τ
HB+
VQ
It
=2,292.23 kN /m
2
+
(65 kN)(0.055 m )(0.2383 m )(0.2383/2 m)
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
=2,292.23 kN /m
2
+404.73 kN /m
2
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Se comprueba que el esfuerzo cortante en el eje neutro es igual si se refiere a cualquiera de sus
partes (superior o inferior).
Figura 5.7j. Área para calcular el esfuerzo cortante en el punto B y B’.
Ecuación del esfuerzo cortante válida de ????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I (0.55)
�(0.55y�)dy
C2
y1
=
V
I
�(y�)dy=
C2
y1
V
I
�y� dy
C2
y1
τ
H=
V
2I
y�
2
|
C
2
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
???????????????????????? �????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????.
40
∴????????????
????????????????????????′=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
τ
HB=
VQ
It
=
(65 kN)(0.605 m )(0.055 m)(0.2658 m )
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
τ
HC=τ
HB+
VQ
It
=2,292.23 kN /m
2
+
(65 kN)(0.055 m )(0.2383 m )(0.2383/2 m)
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
=2,292.23 kN /m
2
+404.73 kN /m
2
∴????????????
????????????????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Se comprueba que el esfuerzo cortante en el eje neutro es igual si se refiere a cualquiera de sus
partes (superior o inferior).
Figura 5.7j. Área para calcular el esfuerzo cortante en el punto B y B’.
Ecuación del esfuerzo cortante válida de ????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I (0.55)
�(0.55y�)dy
C2
y1
=
V
I
�(y�)dy=
C2
y1
V
I
�y� dy
C2
y1
τ
H=
V
2I
y�
2
|
C
2
y
1
∴????????????
????????????=
????????????
???????????????????????? �????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Esfuerzo transversal en la parte inferior del patín ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
41
Figura 5.7k. Diferencial de área para el patín superior.
τ
H=
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.3117 m)
2
−(0.2567 m )
2
]
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran dos áreas
actuantes (la del patín y la parte del alma superior al eje neutro).
Figura 5.7l. Diferencial de área para la parte superior del alma.
τ
H=τ
HA+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.2567 m
y
2
=τ
HA+
V
I
� (y�)dy=
0.2567 m
y
2
τ
HA+
V
2I
y�
2
|
0.2567
y
2
τ
H=τ
HA+
V
2I
y�
2
|0.2567
2
−y
2
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+
????????????
???????????????????????? �????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
41
Figura 5.7k. Diferencial de área para el patín superior.
τ
H=
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.3117 m)
2
−(0.2567 m )
2
]
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte superior del alma (arriba del eje neutro)
válida de ???????????? ≤????????????
????????????≤????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????.
Como se elige un diferencial de área en la parte positiva del eje neutro, se consideran dos áreas
actuantes (la del patín y la parte del alma superior al eje neutro).
Figura 5.7l. Diferencial de área para la parte superior del alma.
τ
H=τ
HA+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.2567 m
y
2
=τ
HA+
V
I
� (y�)dy=
0.2567 m
y
2
τ
HA+
V
2I
y�
2
|
0.2567
y
2
τ
H=τ
HA+
V
2I
y�
2
|0.2567
2
−y
2
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+
????????????
???????????????????????? �????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
42
Esfuerzo transversal en la parte superior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=2,228.10 kN /m
2
+
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.2567 m )
2
−(0.2567 m )
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=2,228.10 kN /m
2
+
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.2567 m )
2
−(0)
2
]
τ
H=2,228.10
kN
m
2
+469.65
kN
m
2
∴ ????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del patín (debajo del eje neutro)
válida de ????????????????????????. ???????????????????????? ????????????????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I (0.605)
�(0.605y�)dy
C1
y3
=
V
I
�(y�)dy=
C1
y3
V
2I
y�
2
|
C
1
y
3
τ
H=
V
2I
y�
2
|C
1
2−y
3
2∴????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Figura 5.7m. Diferencial de área para la parte inferior del patín.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
τ
H=
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.2933 m)
2
−(0.2383)
2
]
????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
42
Esfuerzo transversal en la parte superior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????.
τ
H=2,228.10 kN /m
2
+
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.2567 m )
2
−(0.2567 m )
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
Esfuerzo transversal en el eje neutro ????????????
????????????=????????????.
τ
H=2,228.10 kN /m
2
+
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.2567 m )
2
−(0)
2
]
τ
H=2,228.10
kN
m
2
+469.65
kN
m
2
∴ ????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del patín (debajo del eje neutro)
válida de ????????????????????????. ???????????????????????? ????????????????????????≤????????????
????????????≤????????????
????????????.
τ
H=
V
I (0.605)
�(0.605y�)dy
C1
y3
=
V
I
�(y�)dy=
C1
y3
V
2I
y�
2
|
C
1
y
3
τ
H=
V
2I
y�
2
|C
1
2−y
3
2∴????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
????????????�
Figura 5.7m. Diferencial de área para la parte inferior del patín.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????
τ
H=
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.2933 m)
2
−(0.2383)
2
]
????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
43
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del alma (debajo del eje neutro) válida
de ????????????≤????????????
????????????≤????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????.
τ
H=τ
HB+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.2383 m
y
4
=τ
HB+
V
I
� (y�)dy=τ
HB+
0.2383 m
y
4
V
2I
y�
2
|
0.2383
y
4
τ
H=τ
HB+
V
2I
y�
2
|0.2383
2
−y
4
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+
????????????
???????????????????????? �????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Figura 5.7n. Diferencial de área para la parte inferior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
τ
H=2,292.23 kN /m
2
+
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.2383 m )
2
−(0.2383 m )
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????
τ
H=2,292.23 kN /m
2
+
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.2383 m )
2
−(0)
2
]
τ
H=2,292.23 kN /m
2
+404.73 kN /m
2
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
43
Ecuación del esfuerzo transversal en la parte inferior del alma (debajo del eje neutro) válida
de ????????????≤????????????
????????????≤????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????.
τ
H=τ
HB+
V
I t
w
� (t
wy�)dy
0.2383 m
y
4
=τ
HB+
V
I
� (y�)dy=τ
HB+
0.2383 m
y
4
V
2I
y�
2
|
0.2383
y
4
τ
H=τ
HB+
V
2I
y�
2
|0.2383
2
−y
4
2∴????????????
????????????=????????????
????????????????????????+
????????????
???????????????????????? �????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????
−????????????
????????????
????????????�
Figura 5.7n. Diferencial de área para la parte inferior del alma.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
τ
H=2,292.23 kN /m
2
+
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.2383 m )
2
−(0.2383 m )
2
]
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Esfuerzo transversal en la parte inferior del alma ????????????
????????????=????????????
τ
H=2,292.23 kN /m
2
+
65 kN
2(4.56x10
−3
m
4
)
[(0.2383 m )
2
−(0)
2
]
τ
H=2,292.23 kN /m
2
+404.73 kN /m
2
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses. [email protected]
44
Figura 5.7o. Esfuerzo cortante transversal en la zona de fuerza cortante máxima.
Calculando el esfuerzo cortante máximo en el punto D de la viga.
El esfuerzo cortante máximo se sitúa sobre el eje neutro de la sección transversal y se considera
la fuerza cortante en el punto D en la viga que es V=35 kN, por lo tanto, se calcula como sigue:
τ
HDmáx=
V
máxQ
I t
=
(35 kN)(0.55 m)(0.055 m)(0.2842 m)
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
+
(35 kN)(0.055 m)(0.2567 m )(0.2567/2 m)
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
τ
HDmáx=1,199.75
kN
m
2
+252.89
kN
m
2
∴????????????
????????????????????????????????????á????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
44
Figura 5.7o. Esfuerzo cortante transversal en la zona de fuerza cortante máxima.
Calculando el esfuerzo cortante máximo en el punto D de la viga.
El esfuerzo cortante máximo se sitúa sobre el eje neutro de la sección transversal y se considera
la fuerza cortante en el punto D en la viga que es V=35 kN, por lo tanto, se calcula como sigue:
τ
HDmáx=
V
máxQ
I t
=
(35 kN)(0.55 m)(0.055 m)(0.2842 m)
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
+
(35 kN)(0.055 m)(0.2567 m )(0.2567/2 m)
(4.56x10
−3
m
4
)(0.055 m )
τ
HDmáx=1,199.75
kN
m
2
+252.89
kN
m
2
∴????????????
????????????????????????????????????á????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????/????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????.
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