Esfuerzos cortantes grupo 6

Resistencia de materiales

1. .EL ESFUERZO CORTANTE POR FLEXIÓN EN VIGAS SE OBTIENE DEL DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES. .LAS FÓRMULAS PARA LOS ESFUEROS CORTANTES QUE SE PRESENTARÁN A CONTINUACIÓN SÓLO SON VÁLIDAS DE MATERIALES LINEALMENTE ELÁSTICOS CON DEFLEXIÓN PEQUEÑAS Y APLICABLES SÓLO A BARRAS PRISMÁTICAS. .LOS ESFUERZOS ACTÚAN EN LA MISMA DIRECCIÓN QUE LA PROPIA FUERZA CORTANTE V ESFUERZO CORTANTE POR FLEXIÓN EN VIGAS CON SECCIÓN TRANSVERSAL RECTANGULAR CUANDO LAS VIGAS SE SOMETEN A CARGAS MOMENTOS FLEXIONANTES FUERZAS CORTANTES ESFUERZOS NORMALES ESFUERZOS CORTANTES FLEXIÓN NO UNIFORME

2. ESFUERZO CORTANTE POR FLEXIÓN EN VIGAS CON SECCIÓN TRANSVERSAL RECTANGULAR X Y Z Z X Y V Ƭ Ƭ Ƭ Ƭ

3. FÓRMULA DEL ESFUERZO CORTANTE:   Donde: V: FUERZA CORTANTE Q: MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA I: MOMENTO DE INERCIA b: Ancho de la Viga b             Eje neutro Sección Transversal de Viga

4. DEMOSTRACIÓN DE LA FORMULA GENERAL PARA EL ESFUERZO CORTANTE Ƭ P P

5. 1)           2)                                    

6. 3) Flexión pura: ( σ 1 =σ2)→τ=0 Flexión no uniforme: ( σ 1 ≠σ2)→τ=¿?                                

7. 4) b dx Definamos el área donde actúa el cortante:   Comparamos la fuerza 3 que es la incógnita:         Despejamos las expresiones para encontrar el cortante:        

8. CÁLCULO DEL MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA (Q): A Y Z     b     Eje Neutro     Se obtiene multiplicando el área superior del punto donde queremos hallar el esfuerzo cortante por la distancia desde su propio centroide hasta el eje neutro.

9. Sustituyendo la expresión Q en la fórmula del cortante, obtenemos: Z     b     Eje Neutro Y Z   b     Eje Neutro Y      

10.           Y Z   b     Eje Neutro

11. DIAGRAMA DE DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA RECTANGULAR: Y Z   b     Eje Neutro Se muestra que los esfuerzos cortantes en una viga rectangular varían de manera cuadrática con la distancia desde el eje neutro. Por tanto, cuando se diagrama a lo largo de la altura la viga, esfuerzo varía como se muestra en la figura  

12. DIAGRAMA DE DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS CON SECCION CIRCULAR: Y Z   r q m Eje Neutro Libre de esfuerzos Hayamos los esfuerzos cortante en el eje neutro.             p  

13. DIAGRAMA DE DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS CON SECCION CIRCULAR HUECA:                      

14. Esfuerzos cortantes en las almas de vigas con patines y x z Alma Patín t ℎ z b           O   𝜏 mín 𝜏 mín 𝜏 máx Y Punto a evaluar

15. Resumen de ecuaciones t ℎ z b           O   Y Punto a evaluar     Ecuaciones para calcular esfuerzo cortante máximo y mínimo   Momento estático   Momento de inercia de la sección transversal.   Esfuerzo cortante para un punto en el alma es la distancia del punto a evaluar hacia el eje neutro.  

16. 6.5 kN/m 4m 4m 150mm N A 30 mm 150mm 30 mm La figura mostrada en la figura mostrada está construida con dos tablas. Determine el esfuerzo cortante máximo en el pegamento necesario para mantener las tablas juntas, a lo largo del borde en el que están unidas. EJERCICIO 1: CORTANTE EN SECCIÓN RECTANGULAR: 26 kN 6m 2m Solución: V (kN) 6.5 4 5 8 -19.5 X(m) 6.5 kN 19.5 kN

17.   6m 2m 26 kN =0.120 m   + =27.0(   Se tiene t=0.03m = 0.2025(   6.5 kN 19.5 kN

18. ESFUERZO CORTANTE: De los datos anteriores =4.88MPa ……………………….. Resp   4.88MPa Plano que contiene el pegamento V=19.5kN

19. EJERCICIO 2 .-Una viga de patín ancho se somete a una fuerza cortante vertical V = 45 kN. Las dimensiones de la sección transversal de la viga son b = 165 mm, t = 7.5 mm, h = 320 mm y h1 = 290 mm. Determine el esfuerzo cortante máximo, el esfuerzo cortante mínimo y la fuerza cortante total en el alma. (No tome en cuenta las áreas de los filetes al hacer sus cálculos.) ℎ =320mm z ℎ 1 =290 mm b =165 mm t =7.5mm y O 𝜏 mín 𝜏 máx 𝜏 mín

20.     Calculamos el momento de inercia: Calculamos el momento estático: ℎ =320mm z ℎ 1 =290 mm b =165 mm t =7.5mm y O 𝜏 mín 𝜏 máx   Punto que deseo evaluar 𝜏 mín

21.   :   :       Calculando el esfuerzo que actúa a una determinada distancia del eje neutro:   Evaluando: L a f uerza cortante v ertical soportada sólo por el al m a se puede d e t e r m in a r m ultiplicando el área del dia g r a m a de f uerza cortante por el espesor t del al m a. Para calcular el área, se divide en dos secciones: una rectangular de área y una parabólica de área ( . La ecuación de la fuerza cortante total en el alma es:     Reemplazando datos: Reemplazando datos:       𝜏 mín 𝜏 mín ℎ 1 A rec A parb Rpt Rpt Rpt

22. ℎ =320mm z ℎ 1 =290 mm b =165 mm t =7.5mm y O 𝜏 mín =17.4MPa 𝜏 máx =21.0MPa

23. Una viga simplemente apoyada de 120 mm de ancho por 180 mm de alto y 6 m de longitud, soporta una carga uniforme de 4KN/m. Determinar el esfuerzo cortante horizontal en los sucesivos planos horizontales trazados cada 30mm desde la parte superior de la viga. En una sección que dista 1 m del apoyo izquierdo. Calcular el máximo esfuerzo cortante. EJERCICIO 3: CORTANTE EN SECCIÓN RECTANGULAR: 4 kN/m 6 m 6 m 0.12m 0.18m      

24. 4 kN/m 6 m                         1 1 CORTE 1-1 X   0 < X < 6   M  

25. 4 kN/m 6 m                 M   M  

28. b) Cortante máxima :                

29. EJERCICIO 4 .-Una viga con sección transversal en T está sometida a una fuerza cortante vertical V = 10,000 lb. Las dimensiones de la sección transversal son b = 4 in, t = 1.0 in, h = 8.0 in y h1 = 7.0 in. Determine el esfuerzo cortante t1 en la parte superior del alma (nivel mn ) y el esfuerzo cortante máximo 𝜏 máx . (No tome en cuenta las áreas de los filetes.) C2 h1     b = 4.0 in h1 = 7.0 in h = 8.0 in t = 1.0 in a a z y O

30. C2 h1     b = 4.0 in h1 = 7.0 in h = 8.0 in t = 1.0 in C2 C1 n n a a z y O Primero, dividimos la sección transversal en dos rectángulos, el patín y el alma. Luego calculamos el momento estático Qaa de estos dos rectángulos con respecto a la línea aa en la parte inferior de la viga. La distancia c2 es igual a Qaa dividida entre el área A de toda la sección transversal. = 11.0 in 2     Hallando la ubicación del eje neutro:

31. Calculando momento de inercia por teorema de los ejes paralelos:   Calculando el momento estático del área arriba del nivel nn :     Sustituyendo y calculando el esfuerzo cortante en la parte superior del alma: =     Rpt Cálculo del esfuerzo cortante  

32. Calculando el esfuerzo cortante máximo que ocurre en el alma en el eje neutro: Calculando el momento estático del área debajo del eje neutro:     Sustituyendo y calculando el esfuerzo cortante máximo que actúa en el eje neutro: =     Rpt C2 h1 =1760 psi   1460 psi   b = 4.0 in h1 = 7.0 in h = 8.0 in t = 1.0 in a a z y O

33. y b = 1.0 in 1.0 in Y= 1.0 in c o z h = 2.0 in 2 h= 2.0 in 2 3in 4in C . A B 8in L=3ft q= 160 1b/in EJERCICIO 5 .-Una viga metálica con claro L = 3 ft está simplemente apoyada en los puntos A y B. La carga uniforme sobre la viga (incluyendo su propio peso) es q = 160 lb/in. La sección transversal de la viga es rectangular con ancho b = 1 in y altura h = 4 in. La viga está apoyada de manera adecuada contra el pandeo lateral. Determine el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante en el punto C, que está ubicado a 1 in debajo de la superficie superior de la viga y a 8 in del apoyo derecho.  

34.       Calculando la fuerza cortante V y el momento flexionante tomando la sección AC:     A L=28 in q= 160 lb/in V C R=2880 lb y     Calculando el momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje neutro: y b = 1.0 in 1.0 in Y= 1.0 in c o z h = 2.0 in 2 h= 2.0 in 2 28 in -1600 lb X (in) + - V (lb) DFC  

35.       Calculando el esfuerzo normal en el punto C con la fórmula de la flexión: Calculando el esfuerzo cortante en el punto C: Calculando el momento estático del área de la sección transversal arriba del punto C:   Sustituyendo, el esfuerzo cortante sería: Rpt Rpt

36. EJERCICIO 6 .-El eje sólido y el tubo que se muestran en la figura están sometidos a la fuerza cortante de 4 kN. Determine el esfuerzo cortante que actúa sobre el diámetro de cada sección transversal. 50 mm 4kN A 50 mm 20 mm 4kN B

37. Calculamos el momento de inercia, tanto del eje sólido como del tubo:     Calculamos el momento estático del área por encima del diámetro en ambos casos.    

38. Calculamos los esfuerzos cortantes, reemplazando los valores de momentos de inercia y momento estáticos en la ecuación de esfuerzo cortante: A B   Rpt   Rpt

39. En la figura se muestra un eje de una transmisión. En los puntos A, C y E van montados engranajes y en B y D los cojinetes de apoyo. Las fuerzas sobre los engranajes son todas verticales, el eje es simétrico y las dimensiones están en centímetros. Se pide calcular los esfuerzos normales de flexión y de corte máximos EJERCICIO 7: CORTANTE EN SECCIÓN CIRCULAR: 10 cm 15 cm 30 cm 10 cm 15 cm 45 kg 60 kg 45 kg     3 cm 4.5 cm 6 cm

40. 10 cm 15 cm 30 cm 10 cm 15 cm 45 kg 60 kg 45 kg     3 cm 4.5 cm 6 cm              

41. Corte 1-1 1 1       v   x     45 kg 60 kg   3 cm 4.5 cm 6 cm v       x 40     45 kg 1 1       v   x 5    

42. 45 kg 60 kg 45 kg     3 cm 4.5 cm 6 cm 5cm- 15 cm 15 cm – 15 cm 10 cm 15 cm 5cm             5cm- 15 cm 15 cm – 15 cm 10 cm 15 cm 5cm   3   -3   -  

43. Para el eje 3 cm:   Para una sección circular: Para el eje 4.5 cm:             3 cm   4.5 cm  

44. Para el eje 6 cm:       6 cm

45. EJERCICIOS 8 (CORTANTE EN SECCIÓN CIRCULAR: Un poste vertical que consiste de un tubo circular con diámetro exterior d2=4.0 in y diámetro interior d1=3.2in está sometido a una fuerza horizontal P=1500Lb A)Determine el esfuerzo cortante máximo en el poste. B)Para la misma carga P y el mismo esfuerzo cortante máximo, ¿Cuál es el diámetro d0 de un poste circular sólido? d1 d0 d2 (A) (B) P P

46. SOLUCIÓN: (A) d1 d2   P Sustituye: V=P     P= 1500lb       Para A

47.   d0 (B) P Para B Se utiliza: Sustitución: V = P r =            

48. EJERCICIOS: Un poste de madera con sección transversal circula ( d= diámetro) esta sometido a unas fuerzas horizontales con distribución triangular con intensidad pico = 20 lb/in. La longitud del poste es L=72 in y los esfuerzos permisibles en la madera son 1900 psi en flexión y 120 psi en cortante. Determine el diámetro mínimo requerido del poste.   EJERCICIOS 9 (CORTANTE EN SECCIÓN CIRCULAR:

49. SOLUCIÓN: Interpretamos el gráfico como una viga Horizontal: d 72 in A M         x y     d 48 in A x CORTES EN EL GRAFICO: 34560 lb.in 24 in 720 lb 720 lb   34560 lb.in 720 lb x q         X = 0 ; 720   X = 72 ;   X = 0 ; -34560   X = 72 ;  

50. X = 0 ; 720   X = 72 ;   X = 0 ; -34560   X = 72 ;   Interpretamos el Cortante Máximo y el Momento Flector Máximo: 720   34560   d 48 in A 34560 lb.in 24 in 720lb B 720 -34560 - x = 0 x = 72 - x = 0 + x = 72 720lb

51. Diseñamos en función de la cortante y la flexión.     120 Psi   d =3,192 in d= 5,700 in     1900 Psi   d =5,700 in

52. EJERCICIO 10: Una placa de acero de 160 mm. de ancho y 8mm de espesor se dobla para formar el canal mostrado en la figura si se sabe que la carga vertical P actúa en un punto del plano medio del alma del canal determine: • El esfuerzo cortante máximo en el canal ejercido por la carga P.

53. 100mm 30mm 8 mm     8 mm 8 mm

54. 100mm 30mm 8 mm 8 mm 8 mm