Esfuerzos en Flexion

Viga simplemente apoyada, viga en voladizo, solicitaciones del tipo: carga puntual, carga uniformemente distribuida, distribuida triangularmente. Reacciones en apoyos. Diagrama de fuerzas cortantes. Diagramas de momentos flexionantes. Flexión. Esfuerzo normal de flexión. Esfuerzo cortante horizontal. módulo de la sección. Momento de Inercia

1. Esfuerzos en Flexión
Ejemplos de Esfuerzos Normales
y Esfuerzos Cortantes
José Luis Morales Ayala
Universidad de América Latina
UDAL

2. Cálculo del esfuerzo normal en una
viga simplemente apoyada con
volados en ambos extremos y perfil
con simetría en eje y, con varias
solicitaciones
•Cálculo de reacciones en apoyos
•Ecuaciones de fuerzas cortantes y momentos flexionantes
•Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flexionantes
•Cálculo del momento de inercia
•Cálculo del módulo de sección
•Cálculo del esfuerzo normal
•Cálculo del esfuerzo cortante horizontal máximo

3. Ejemplo 1: Viga simplemente apoyada
con volados en ambos extremos y
perfil con simetría en eje y
•La viga ABCD tiene apoyos simples en
BC, dos voladizos, uno en AB y otro
en CD. La longitud del claro es de 4.0
m y las longitudes del voladizo son de
1.5 m. En el voladizo AB tiene una
carga uniforme con intensidad w=3.2
kN/m que actúa en esa longitud.
�
1
� �
�
2
�
1 �
2
Del lado derecho del apoyo B inicia una carga triangular uniforme hasta alcanzar una
intensidad máxima de w=4 kN/m a los 2 m de dicho apoyo. Existen 2 cargas puntuales una
que actúa a 0.5 m a la izquierda del apoyo C y otra que actúa el extremo del voladizo CD,
con intensidades de 5 kN y 4 kN respectivamente.
La viga tiene una sección transversal rectangular con ancho b= 15 cm y altura h= 30 cm.
Determine los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la viga debidos a las
solicitaciones externas.
� �

4. �
1=4 ��/�
�
�=?
1.5 �
�
− +
�
�=?
�
Σ�
�=0
4
????????????
??????
1.5 �(0.75 �)−
1
2
3
????????????
??????
2 �(
2
3
2�)−5 ��3.5 �+�
�4 �−4 ��(5.5 �)= 0
REALIZAR SUMA DE MOMENTOS, EN EL APOYO B, E IGUALAR A CERO.
OBSERVACIONES:
a)Fuerzas para cargas distribuidas: Es equivalente al área de su representación. Por ejemplo,
para la carga uniformemente distribuida (rectángulo) es longitud de la carga por su
intensidad de carga(���??????×�??????����); para la carga triangularmente distribuida (triángulo)
es (
�
�
���??????�??????����).
b)Distancia donde se concentran las cargas distribuidas: Es en el centro de gravedad, que
para el rectángulo es a la mitad de su base y para el triángulo está a dos tercios de la base
con respecto al ángulo agudo (
2
3
�), en este ejemplo, L=2 m.
0.5 � 2 � 1.5 � 1.5 �
1. CÁLCULO DE REACCIONES EN APOYOS:
�
�
�
2=3 ��/�
�
1=5 ��
�
1=4 ��
1
3
�
2
3
�

5. 4.5 ���−4 ���−17.5 ���+�
�4 �−22 ���= 0
−39 ���+�
�4 �= 0
�
�=
39 ���
4 �

�
�=9.75 ��
Σ�
�=0
−4
????????????
??????
1.5 �+�
�−
1
2
3
????????????
??????
2 �−5 ��+9.75 ��−4 ��= 0
−6 ��+�
�−3 ��−5 ��+9.75 ��−4��=0
−8.25 ��+�
�=0
�
�=8.25 ��
Para hallar la reacción en el apoyo B es más fácil realizar la primera condición de equilibrio:
REALIZAR SUMA DE FUERZAS EN Y, E IGUALAR A CERO.
-
+
OBSERVACIONES:
Para este ejemplo, debido a que no hay fuerzas inclinadas u horizontales externas actuando
sobre la viga, se toma por entendido que la suma de fuerzas en eje x es cero y por lo tanto
�
��=0

6. 2. IDENTIFICAR CORTES Y POSICIÓN DE ANÁLISIS DE
CORTANTES Y MOMENTOS
De la figura, la forma más simple puede ser tomando los cortes a y b hacia la izquierda
y los cortes c, d y e hacia la derecha. NOTA: Las cargas distribuidas llevan un corte
sobre la carga . Las puntuales llevan un corte antes y otro después de la carga. Las
reacciones en apoyos se consideran cargas puntuales
�
1
�
�
�
�
�
�
�
2
�
2
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
ANÁLISIS POR IZQUIERDA ANÁLISIS POR DERECHA
SIGNOS PARA ANÁLISIS
POR IZQUIERDA
SIGNOS PARA ANÁLISIS
POR IZQUIERDA
+�
�
�
�=
�
��
(�)
Viga
Corte
+�
�
�
�=−
�
��
(�)
Viga
Corte
� �
�
1

7. �
2

2. OBTENCIÓN DE ECUACIONES DE CORTANTES Y MOMENTOS
CORTE a-a (porción de viga del volado AB).
�
1=4 ��/�
+�
�
�
� �
�
OBSERVACIONES:
a)Siempre escribir M que es el momento interno.
b)Los análisis de momentos siempre se evalúan en el
corte. Por ejemplo, la distancia requerida significa que
empieza en cero en el corte y aumenta positivamente
hacia la izquierda hasta encontrar la fuerza (o en el caso
de una carga distribuida, aumenta hasta encontrar la
distancia al centro del gravedad)
c)La distancia x siempre empieza en el corte y siempre
termina en el extremo de la viga (en este ejemplo en A).
d)Se omitirán las unidades físicas con la finalidad de que
los resultados sean expresados como ecuaciones.
Σ�
�−�=0
�+4 �∙
�
2
= 0

�+2�
2
= 0

�=−2�
2
��∙�
c.g.
.
Aquí:
������=�×�=�×4
��
�
=4 �
���������=�� ����� ����� �.�.=
�
2

c.g.=centro de gravedad para una carga distribuida.
�=
�
��
(�)
�=
�
��
(−2�
2
)
�=−4� ��

8. �
3

�
′
=�−1.5 �
CORTE b-b (incluye volado AB y porción de viga BC).
�
�=8.25 ��
�=
�
2�′
�

�
1=4 ��/�
+�
�
�
�=
�
��
(�)
�
.
c.g1.
1.5 �
�−0.75 �
0
.75
�

Aquí:
Carga triangularmente distribuida.
Para obtener la nueva carga máxima en el triángulo,
w, usar L y W2 del triángulo inicial:
�=
??????2�′
??????
=
3
????????????
??????
(�−1.5)
2 ??????
=
3(�−1.5)
2

������=
1
2
��=
1
2
�′×�=
=
1
2
(�−1.5)×
3(�−1.5)
2
=
3
4
(�−1.5)
2

���������=�� ����� ����� �.�2.=
1
3
�=
1
3
(�−1.5)
c.g2.
.
Para el análisis del momento la distancia
L es relativa a la porción del triángulo:
Σ�
�−�=0
�+41.5�−0.75−8.25�−1.5+
3
4
(�−1.5)
2
1
3
(�−1.5)= 0
�+6 �−0.75−8.25�+12.375+
1
4
�−1.5
3
= 0
�+6�−4.5−8.25�+12.375+
1
4
�
3
−3�
2
1.5+3�1.5
2
−3.375=0
�+6�−4.5−8.25�+12.375+0.25�
3
−1.125�
2
+1.6875�−0.84375=0
�+0.25�
3
−1.125�
2
−0.5625�+7.03125=0

�=−0.25�
3
+1.125�
2
+0.5625�−7.03125 ;��∙�

9. OBSERVACIONES: Para este análisis es análogo al análisis por
derecha
a)Siempre escribir M que es el momento interno, siendo
positivo el signo que se indica.
b)Los análisis de momentos siempre se evalúan en el
corte. Por ejemplo, la distancia requerida significa que
empieza en cero en el corte y aumenta positivamente
hacia la derecha hasta encontrar la fuerza (o en el caso
de una carga distribuida, aumenta hasta encontrar la
distancia al centro del gravedad)
c)La distancia x siempre empieza en el corte y siempre
termina en el extremo de la viga (en este ejemplo en D).
d)Se omitirán las unidades físicas con la finalidad de que
los resultados sean expresados como ecuaciones.
�=
�
��
(�)
�=
�
��
(−0.25�
3
+1.125�
2
+0.5625�−7.03125)
�=−0.75�
2
+2.25�+0.5625 ��
CORTE c-c, d-d y e-e (incluye porción de viga BC y volado CD).
SIGNOS PARA ANÁLISIS
POR IZQUIERDA
+�
�
�
�=−
�
��
(�)

10. CORTE c-c (incluye porción de viga BC y volado CD).
+�
�
�
�=−
�
��
(�)
�
�=9.75 ��
� �
�
1=5 ��
�
2=4 ��
0.5 � 1.5 �
�
Σ�
�−�=0
�+5�−2−9.75 �−1.5+4�= 0
�+5�−10−9.75�+14.625+4�= 0
�−0.75�+4.625=0

�=0.75�−4.625 ��∙�
�=−
�
��
(�)
�=−
�
��
(0.75�−4.625)
�=− (0.75)
�=−0.75 ��

11. CORTE d-d (incluye porción de viga BC y volado CD).
Σ�
�−�=0
�−9.75 �−1.5+4�= 0
�−9.75�+14.625+4�= 0
�−5.75�+14.625=0

�=5.75�−14.625 ��∙�
�=−
�
��
(�)
�=−
�
��
(5.75�−14.625)
�=− (5.75)
�=−5.75 ��
+�
�
�
�=−
�
��
(�)
�
�=9.75 ��
�
�
�
2=4 ��
1.5 �
�
�−1.5
CORTE e-e (incluye porción de volado CD).
+�
�
�
�=−
�
��
(�)
�
�
2=4 ��
�
Σ�
�−�=0
�+4�= 0

�=−4� ��∙�
�=−
�
��
(�)
�=− (−4)
�=4 ��
�=−
�
��
(−4�)

12. 3. OBTENCIÓN DE DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y
MOMENTOS FLEXIONANTES
Para graficar, las ecuaciones obtenidas deberán evaluarse para cada corte que implica la
longitud de una carga distribuida o la longitud de la viga hasta encontrar una carga puntual. Si
el análisis se realizó por izquierda entonces el cero estará ubicado en el extremo izquierdo de la
viga, en este caso en A. Si el análisis se realizó por derecha entonces el cero estará ubicado en
el extremo derecho de la viga, en este caso en D.
�
1=4 ��/�
�
�=9.75 ��
1.5 �
�
�
�=8.25 ��
�
0.5 � 2 � 1.5 � 1.5 �
�
�
�
2=3 ��/�
�
1=5 ��
�
1=4 ��
1
3
�
2
3
�
0 1.5 m 3.5 m
0 1.5 m 2 m 3.5 m Rango para
corte a-a
Rango para
corte b-b
Rango para
corte c-c
Rango para
corte d-d
Rango para
corte e-e

13. EVALUACIÓN DE CORTES PARA FUERZAS CORTANTES
Rango para
corte a-a
Rango para
corte d-d
Rango para
corte e-e
Rango para
corte b-b
Rango para
corte c-c
Ecuación:

�=−4�; ��
Rango:

�=0 � �=1.5�
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�0=−40=�

�1.5=−41.5
=−� �??????
Rango:

�=1.5 � �=3.5�
Ecuación:

�=−0.75�
2
+
2.25+0.5625 ��
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�1.5=−0.75(1.5)
2

2.251.5+0.5625
=�.�� �??????
�3.5=−0.75(3.5)
2

2.253.5+0.5625
=−�.�� �??????

Rango:

�=3.5 � �=2 �
Ecuación:

�=−0.75; ��
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�3.5=−�.�� �??????

�2=−�.�� �??????
Rango:

�=2 � �=1.5 �
Ecuación:

�=−5.75; ��
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�2=−�.�� �??????

�1.5=−�.�� �??????
Rango:

�=1.5 � �=0 �
Ecuación:

�=4; ��
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�1.5=� �??????

�0=� �??????

14. EVALUACIÓN DE CORTES PARA MOMENTOS FLEXIONANTES
Rango para corte a-a
Rango para corte b-b
Ecuación:

�=−2�
2
; ��∙�
Rango:

�=0 � �=1.5�
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�0=−20
2
=�

�1.5=−21.5
2
=−�.� �??????∙�

Rango:

�=1.5 � �=3.5 �
Ecuación:
�=−0.25�
3
+1.125�
2
+0.5625�
−7.03125
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�1.5=−0.251.5
3
+1.1251.5
2
+0.56251.5−7.03125
=−�.� �??????∙�
�(3.5)=−0.253.5
3
+1.1253.5
2
+0.56253.5−7.03125
=−� �??????∙�

15. EVALUACIÓN DE CORTES PARA MOMENTOS FLEXIONANTES
Rango para corte c-c Rango para corte d-d
Ecuación:

�=0.75�−4.625; ��∙�
Rango:

�=3.5 � �=2 �
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�3.5=0.753.5−4.625=
−� �??????∙�

�2=0.752−4.625=
−�.��� �??????∙�
Rango:

�=2 � �=1.5 �
Ecuación:

�=5.75�−14.625 ; ��∙�
Rango para corte e-e
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�2=5.752−14.625
=−�.��� �??????∙�

�1.5=5.751.5−14.625
=−� �??????∙�
Rango:

�=1.5 � �=0
Ecuación:

�=−4� ; ��∙�
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�1.5=−41.5=−� �??????∙�

�0=−40=�
OBSERVACIÓN: Se han tomado los dos puntos extremos del rango, pero puede tomarse
puntos intermedios con la finalidad de obtener una tabulación y poder graficar con ella
cuando no es fácil «visualizar» la forma de la curva

16. DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES
�
1=4 ��/�
�
�=9.75 ��
1.5 �
�
�
�=8.25 ��
�
0.5 � 2 � 1.5 � 1.5 �
�
�
�
2=3 ��/�
�
1=5 ��
�
1=4 ��
1
3
�
2
3
�
0
−6 ��
−0.75 ��
2.25 ��
−5.75 kN
4
�
�
0
−4.5 �� �
−2�� �
−3.125
−6�� �

17. 15 ��
30 ��
4. CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA CON RESPECTO AL EJE X
Para una sección rectangular:
??????
�=
��
3
12
=
15 �� (30 ��)
3
12
=33 750 ��
4

1×10
−8
�
4
=1��
4

??????
�=33 750×10
−8
�
4

5. CÁLCULO DE MÓDULOS DE SECCIÓN
�
1
�
2
�
1=
??????
�
�
1
=
33 750×10
−8
�
4
15×10
−2
�
=2 250×10
−6
�
3

Por simetría �
1=�
2:
�
2=−
??????
�
�
2
=−�
1=−2 250×10
−6
�
3

El signo se debe a que y2 es
negativo (hacia abajo)

18. 4.1. CÁLCULO DEL ESFUERZO NORMAL POR FLEXIÓN
Se deben calcular los esfuerzos con la grafica de momentos flexionantes para
compresión y tensión, tanto de los valores positivos así como de los negativos de la
gráfica. En este ejemplo, la gráfica sólo tiene momentos negativos por lo tanto sólo
tomamos el valor mayor negativo. En la gráfica se ve que el momento máximo es de
M=-6 KN·m
??????
�=−
��
1
??????
�
=−
�
�
1
=
−6 ��∙�
2 250×10
−6
�
3
=−0.00267×10
6
��; ??????
�=−2.67 ���
El esfuerzo a compresión es:
El esfuerzo a tensión es:
??????
??????=−
��
2
??????
�
=−
�
�
2
=
−6 ��∙�
−2 250×10
−6
�
3
=0.00267×10
6
�� ; ??????
??????=2.67 ���

19. 4.2. CÁLCULO DEL ESFUERZO CORTANTE POR FLEXIÓN
15 ��
30 ��
�=�.� ��
�
�
�
�
�
CÁLCULO DEL MOMENTO ESTÁTICO
??????=199.9 ���
�=��=7.5 ��×15 ��×15 ��=1687 ��
3

??????=
��
??????�
=
6 ��×1687 ��
3
33 750 ��
4
×15 ��

??????=
6×10
3
�×1687 ×10
−6
�
3
33 750×10
−8
�
4
×15×10
−2
�

??????=
6×1687×10
3−6+8+2
33 750×15
��=0.01999×10
7
��
NOTA:
1 ��=1×10
3
�
1 ��
3
=1×10
−6
�
3

1 ��
4
=1×10
−8
�
3

1 ��=1×10
−2
�

20. Ejemplo 2: Viga en voladizo con carga puntual y
carga uniformemente distribuida y perfil T
•La viga AB está empotrada en B. La longitud del
voladizo es de 12 pies, en el extremo A de la viga
tiene una carga uniformemente distribuida de 3
klb/pie y a los 4 pies del empotramiento una carga
puntual de 6 klb. El perfil transversal es T. Hallar los
esfuerzos normales y cortantes.
�
�=6 ���
�
�
OBSERVACIONES:
El sentido de las reacciones es sugerido:
a)�
�� está dirigida hacia arriba porque las
cargas externas W y P están hacia abajo.
b)El giro del momento �
� es horario porque
las cargas generan un momento antihorario.
c)�
�� debe coincidir con �
�� en puntas de
flecha o coincidir con inicio de las flechas en
el empotramiento
�
�
12 ����
�=3 ���/���
5′ 3′ 4′
�
�
��
�
��
�
� �
El apóstrofe (‘) es el símbolo para
representar la unidad «pie».
1.a. CÁLCULO DE REACCIONES EXTERNAS EN APOYOS:
1. DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS
FLEXIONANTES

21. Σ�
�=0
−3
���
���
(5′)9.5′−6 ���4′+�
�=0
−142.5 ��� ���−24 ��� ���+�
�=0


�
??????=���.� ���∙�????????????

REALIZAR CONDICIONES DE LA ESTÁTICA, EN EL EMPOTRAMIENTO B, E IGUALAR A CERO.
Antes de aplicar las condiciones de la estática se deben ubicar las distancias que se
utilizarán en el cálculo de momentos para cada carga; en este caso la distancia de B hasta
la carga puntual y la carga B hasta el centro de gravedad de la carga distribuida.
+ −
SIGNOS DEL MOMENTO
Σ�
�=0
�
��−6 ���−3
���
���
(5′)=0
�
��−6 ���−15 ���=0

??????
??????�=�� ���
Σ�
�=0
�
��=0



??????
??????�=�
��
�
��
�
�
�
6 ���
3 ���/���
3′ 4′
�
1
�
2
.
c.g.=centro de gravedad para una carga distribuida.
5′
c.g.
De la figura puede observarse que el
valor de las distancias es:
�
1=4 ����
�
2=9.5 ����
� �

22. De la figura, debido a las cargas puntuales, debe hacerse un corte antes y después de la
carga puntual y un corte sobre la carga distribuida. Por otro lado, pueden elegirse los cortes
en el análisis por derecha o izquierda para disminuir el número de ecuaciones, sin embargo
se ha decidido hacer todos los análisis hacia la derecha del extremo A de la viga (VER
FIGURAS INFERIORES).
SIGNOS PARA ANÁLISIS
POR DERECHA
SIGNOS PARA ANÁLISIS
POR IZQUIERDA
+�
�
�
�=
�
��
(�)
Viga
Corte
+�
�
�
�=−
�
��
(�)
Viga
Corte
12 ����
21 ���
6 ���
3 ���/��� 166.5 ���∙���
�
�
�
�
�
�
�
�
(a) IDENTIFICAR CORTES Y POSICIÓN DE ANÁLISIS DE CORTANTES Y MOMENTOS
1.b. ECUACIONES DE FUERZAS CORTANTES Y
MOMENTOS FLEXIONANTES

23. (b). OBTENCIÓN DE ECUACIONES DE CORTANTES Y MOMENTOS
CORTE a-a
OBSERVACIONES:
a)Siempre escribir M que es el momento interno (flecha
curva roja sentido antihorario).
b)Siempre escribir el cortante V (flecha roja hacia abajo). Por
simplicidad se obtiene como la derivada del momento
c)La distancia x siempre empieza en el corte y siempre
termina en el extremo de la viga (en este caso en A).
d)Los análisis de momentos siempre se evalúan en el corte.
En este caso, la distancia es cero en el corte y aumenta
positivamente hacia la izquierda hasta encontrar la
distancia al centro del gravedad de la primera carga.
e)Se omitirán las unidades físicas con la finalidad de que los
resultados sean expresados como ecuaciones.
Σ�
�−�=0
�+3 �∙
�
2
=0
�+
3�
2
2
=0

�=−1.5�
2
���∙���
�=
�
��
(�)
�=
�
��
−1.5�
2

�=−3 � ���
3 ���/���
�
�
�
+�
�=
�
��
(�)
c.g.
�
2

�
Estas ecuaciones deben evaluarse de 0 a 5’ (longitud de la carga uniformemente distribuida)

24. CORTE b-b
Σ�
�−�=0
�+3∙5∙(�−2.5)=0
�+15�−37.5=0

�=−15�+37.5 ���∙���
�=
�
��
(�)
�=
�
��
−15�+37.5
�=−15 ���
�
�
+�
�=
�
��
(�)
Estas ecuaciones deben evaluarse de 5’ a 8’ (longitud del final de la carga uniformemente distribuida al
inicio de la carga puntual)
3 ���/���
�
1
.
5′
c.g.
�
�
Antes de realizar el análisis hay que
encontrar la distancia d1 (distancia que inicia
en el corte y termina en el c.g. de la carga
distribuida) y expresarla en términos de x. De
la figura puede verse que:
�
1=�−
5
2
=�−2.5
OBSERVACIONES:
a)Siempre escribir M que es el momento interno (flecha
curva roja sentido antihorario).
b)Siempre escribir el cortante V (flecha roja hacia abajo). Por
simplicidad se obtiene como la derivada del momento

25. CORTE c-c
Σ�
�−�=0
�+3∙5∙�−2.5+6(�−8)=0
�+15�−37.5+6�−48=0

�=−21�+85.5 ���∙���
�=
�
��
(�)
�=
�
��
−21�+85.5
�=−21 ���
�
+�
�=
�
��
(�)
Estas ecuaciones deben evaluarse de 8’ a 12’ (longitud de la carga puntual al empotramiento)
Antes de realizar el análisis hay que encontrar
la distancia d1 (distancia que inicia en el corte y
termina en el c.g. de la carga distribuida) y d2
(distancia que inicia en el corte y termina en la
carga puntual) y expresarlas en términos de x.
De la figura puede verse que:
�
1=�−
5
2
=(�−2.5)
6 ���
3 ���/���
3′
�
2
�
1
.
5′
c.g.
�
�
�
�
2=�−8
OBSERVACIONES:
a)Siempre escribir M que es el momento interno (flecha curva
roja sentido antihorario).
b)Siempre escribir el cortante V (flecha roja hacia abajo). Por
simplicidad se obtiene como la derivada del momento

26. 21 ���
6 ���
3 ���/��� 166.5 ���∙���
�
�
3′ 4′
5′
0
Rango para
corte a-a
Rango para
corte c-c
Rango para
corte b-b
IDENTIFICACIÓN DE RANGOS
1.c. OBTENCIÓN DE DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS
FLEXIONANTES
Para graficar, las ecuaciones obtenidas deberán evaluarse para cada corte, en
este caso se hicieron 3 cortes por lo tanto habrá tres rangos. De acuerdo a la
figura:
5′
8′ 12′

27. EVALUACIÓN DE CORTES PARA FUERZAS CORTANTES
Ecuación:

�=−3 � ; ���
Rango:

�=0 � �=5′
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�0=−3(0)=�

�5=−35=−�� ���
Rango:

�=7′ � �=4′
Ecuación:

�=−15 ; ���
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�7=−�� ���

�4=−�� ���
Rango:

�=4′ � �=0
Ecuación:

�=−21 ; ���
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�4=−�� ���

�0=−�� ���
OBSERVACIÓN: Se han tomado los dos puntos extremos del rango, pero puede tomarse
puntos intermedios con la finalidad de obtener una tabulación y poder graficar con ella
cuando no es fácil «visualizar» la forma de la curva
Rango para corte a-a Rango para corte b-b Rango para corte c-c

28. EVALUACIÓN DE CORTES PARA MOMENTOS FLEXIONANTES
Ecuación:

�=−1.5�
2
���∙���
Rango:

�=0 � �=5′
Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�0=−1.50
2
=�

�5=−1.55
2
=−��.� ���∙�????????????
Rango:

�=5′ � �=8′
Ecuación:

Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�5=−155+37.5
=−��.� ���∙�????????????

�8=−158+37.5
=−��.� ���∙�????????????
Rango:

�=8′ � �=12′
Ecuación:

Sustituyendo
cada rango en
ecuación:

�8=−218+85.5
=−��.� ���∙�????????????

�12=−2112+85.5
=−���.� ���∙�????????????
OBSERVACIÓN: Se han tomado los dos puntos extremos del rango, pero puede tomarse
puntos intermedios con la finalidad de obtener una tabulación y poder graficar con ella
cuando no es fácil «visualizar» la forma de la curva
Rango para corte a-a Rango para corte b-b Rango para corte c-c
�=−15�+37.5 ���∙��� �=−21�+85.5 ���∙���

29. 6 ���
0
� ���∙���
−37.5
−82.5
−166.5
−21
−15
� ���
� �
3 ���/���
5′ 3′ 4′
21 ���
6 ���
3 ���/��� 166.5 ���∙���
DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES

30. PERFIL DE LA VIGA

2. CÁLCULO DEL CENTROIDE

OBSERVACIONES:
a)Para el cálculo del centroide es necesario
ubicar ejes de simetría para simplificar operaciones
a)Puede verse que el perfil tiene simetría en el eje «y», entonces por ese eje se
encuentra el «centroide compuesto».
b)Representar el perfil compuesto por rectángulos en donde es posible ubicar los
centroides individuales y las áreas A
1 y A
2…

c)Ubicar en la parte inferior de la viga, y en el eje de simetría, el cero para ubicar las
distancias de 0 al centroide de cada rectángulo (�
1 y �
2) .
(�
1)
(�
2)

31. (�
1)=
(�
2)=
�
1=0.32 ��×4 ��=1.28 ��
2

�
2=0.25 ��×6.5 ��=1.62 ��
2

VALOR DE LA COORDENADA DEL CENTROIDE COMPUESTO
�
�=
�
1�
1+�
2�
2
�
1+�
2
=
6.7 ��×1.28 ��
2
+3.25 ��×1.62 ��
2
1.28 ��
2
+1.62 ��
2
�
�=4.8 ��

32. 3. CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA

OBSERVACIONES:
a)Para el cálculo del momento de
inercia de un perfil compuesto, hay
que aplicar el teorema de ejes
paralelos para cada área.
b) donde es necesario conocer las
distancias del centroide compuesto a
los centroides individuales (flechas
verdes, �
1y �
2)
c)Y es necesario conocer los momentos
de inercias individuales. Para perfiles
rectangulares es : ??????
??????=
�
??????ℎ
??????
12

donde b=base del rectángulo y
h=altura del rectángulo
??????
�1=??????
1+�
1
2
�
1
Momento de inercia que
aporta el segmento 1 en
el centroide compuesto
del TEOREMA DE EJES
PARALELOS
??????
�2=??????
2+�
2
2
�
2
??????
�=??????
�1+??????
�2
MOMENTO DE INERCIA
COMPUESTOEN CENTROIDE
Momento de inercia que
aporta el segmento 2 en
el centroide compuesto
del TEOREMA DE EJES
PARALELOS

33. Momento de inercia del TEOREMA DE EJES PARALELOS
??????
�1=
�
1�
1
12
+�
1
2
�
1=
4 ��×0.32 ��
3
12
+1.86 ��
2
×4 ��×0.32 ��=4.44 ��
4

??????
�2=
�
2�
2
12
+�
2
2
�
2=
0.25 ��×6.5 ��
3
12
+1.55 ��
2
×0.25 ��×6.5 ��=9.63 ��
4

??????
�=??????
�1+??????
�2=4.44 ��
4
+9.63 ��
4

??????
�=14.07 ��
4

MOMENTO DE INERCIA DEL PERFIL COMPUESTO

34. 4.a. CÁLCULO DE ESFUERZOS NORMALES

??????
??????=�������� ������
�=������� ���� ��������(�������� ��� �������� �� �������� ������������)
??????=������� �� ??????������ �� ���������
�
??????=��������� ��� ��������� ����� �� ����� ������� �� �� ����

35. ESFUERZO NORMAL A COMPRESIÓN
??????
1=−
1998 ���∙��×2.02 ��
14.07 ��
4

�=166.5 ���∙���∙
12 ��
1 ���
=1998 ���∙��
ESFUERZO NORMAL A TENSIÓN
??????
2=−
1998 ���∙��×(−4.8 ��)
14.07 ��
4

OBSERVACIONES:
a)Tomar de la gráfica de momentos flexionantes
el valor máximo absoluto. En este ejemplo
habrá que realizar una conversión de unidades


b)El signo de c
1 es positivo y el de c
2 negativo
??????
1=−286.8 ���/��
2

??????
2=685.5 ���/��
2

36. 4.a. CÁLCULO DE ESFUERZOS CORTANTES HORIZONTALES

OBSERVACIONES:
Para el cálculo de fuerza cortantes en perfil se han hecho
cortes horizontales como se menciona a continuación:
a)Del eje neutro hacia arriba se realizaron 5 cortes: el
patín se dividió en dos partes iguales de 0.16 in.
Para el elemento vertical se dividió en tres partes
iguales de 0.57 in.
b)Del eje neutro hacia abajo se han realizado tres
cortes de 1.6 in.
ESFUERZO CORTANTE HORIZONTAL
??????=
��
??????�

OBSERVACIONES:
a)La fórmula de cortante debe realizase a partir de la parte superior del perfil hasta cada corte.
b)V=el valor del cortante máximo del diagrama de fuerzas cortantes
c)Q=momento estático (yA). Donde y= distancia del eje neutro al centroide de la figura obtenida en cada
corte y A=área de la figura.
d)I=momento de inercia del perfil compuesto
e)b= base comprendida en cada corte.

37. Primer corte horizontal
OBSERVACIONES:
a)El cortante en la superfice externa es cero.
b)El valor de y= 1.94 se obtuvo de la distancia medida a partir del centroide hasta la mitad
del primer corte, es decir, 2.02-(0.16/2)
c)Recordar que I=14.07 in
4
.
d)Recordar que V=21 klb (diagrama de fuerzas cortantes)
CÁLCULO DEL MOMENTO ESTÁTICO
�=��=1.94 ��×4 ��×0.16 ��=0.3104 ��
3

??????=
��
??????�
=
21 ���×0.3104 ��
3
14.07 ��
4
×4 ��

CÁLCULO DEL CORTANTE HORIZONTAL EN EL PRIMER CORTE
??????=0.11 ���/��
2

38. Segundo corte horizontal
OBSERVACIONES:
a)En el segundo corte existen 2 bases (una del patín de 4 in y otra de 0.25 in del alma de la
viga), por lo tanto hay 2 cortantes
b)El valor de y= 1.86 in se obtuvo de la distancia medida a partir del centroide hasta la mitad
del ancho del patín, es decir, 2.02-(0.32/2)
c)Recordar que I=14.07 in
4
.
d)Recordar que V=21 klb (diagrama de fuerzas cortantes)
CÁLCULO DEL MOMENTO ESTÁTICO
�
1=��
1=1.86 ��×4 ��×0.32 ��=2.38 ��
3

??????=
��
1
??????�
=
21 ���×2.38 ��
3
14.07 ��
4
×4 ��

CÁLCULO DEL PRIMER CORTANTE HORIZONTAL EN EL SEGUNDO
CORTE (CON PATÍN DE 4in):
??????=0.888 ���/��
2

CÁLCULO DEL SEGUNDO CORTANTE HORIZONTAL EN EL
SEGUNDO CORTE (CON ALMA DE 0.25 in)
??????=
��
1
??????�
=
21 ���×2.38 ��
3
14.07 ��
4
×0.25 ��
??????=14.21 ���/��
2

39. Tercer corte horizontal
CÁLCULO DEL MOMENTO ESTÁTICO
??????=
��
??????�
=
21 ���×2.58 ��
3
14.07 ��
4
×0.25 ��

CÁLCULO DEL CORTANTE HORIZONTAL EN EL TERCER CORTE
??????=15.4 ���/��
2

OBSERVACIONES:
a)En el tercer corte existen 2 areas por lo que el momento estático será la suma de los
momentos estáticos individuales
b)El valor de y= 1.86 in se obtuvo de la distancia medida a partir del centroide hasta la mitad
del ancho del patín, es decir, 2.02-(0.32/2) y y2=1.42 se obtuvo desde el centroide hasta la
mitad del rectángulo de altura 0.57 in del alma
c)Recordar que I=14.07 in
4
.
d)Recordar que V=21 klb (diagrama de fuerzas cortantes)
�
1=�
1�
1=1.86 ��×4 ��×0.32 ��=2.38 ��
3

�
2=�
2�
2=1.42 ��×0.25 ��×0.57 ��=0.202 ��
3

�=�
1+�
2=2.38+0.202=2.58 ��
3

40. Cuarto corte horizontal
CÁLCULO DEL MOMENTO ESTÁTICO
??????=
��
??????�
=
21 ���×2.70 ��
3
14.07 ��
4
×0.25 ��

CÁLCULO DEL CORTANTE HORIZONTAL EN EL TERCER CORTE
??????=16.1 ���/��
2

OBSERVACIONES:
a)En el tercer corte existen 2 áreas por lo que el momento estático será la suma de los
momentos estáticos individuales
b)El valor de y= 1.86 in se obtuvo de la distancia medida a partir del centroide hasta la mitad
del ancho del patín, es decir, 2.02-(0.32/2) y y2=1.13se obtuvo desde el centroide hasta la
mitad del rectángulo de altura 1.14 in del alma
c)Recordar que I=14.07 in
4
.
d)Recordar que V=21 klb (diagrama de fuerzas cortantes)
�
1=�
1�
1=1.86 ��×4 ��×0.32 ��=2.38 ��
3

�
2=�
2�
2=1.13 ��×0.25 ��×1.14 ��=0.322 ��
3

�=�
1+�
2=2.38+0.322=2.70 ��
3

41. Quinto corte horizontal
CÁLCULO DEL MOMENTO ESTÁTICO
??????=
��
??????�
=
21 ���×2.74 ��
3
14.07 ��
4
×0.25 ��

CÁLCULO DEL CORTANTE HORIZONTAL EN EL TERCER CORTE
??????=16.4���/��
2

OBSERVACIONES:
a)En el tercer corte existen 2 áreas por lo que el momento estático será la suma de los
momentos estáticos individuales
b)El valor de y= 1.86 in se obtuvo de la distancia medida a partir del centroide hasta la mitad
del ancho del patín, es decir, 2.02-(0.32/2) y y2=0.85 se obtuvo desde el centroide hasta la
mitad del rectángulo de altura 1.7 in del alma
c)Recordar que I=14.07 in
4
.
d)Recordar que V=21 klb (diagrama de fuerzas cortantes)
�
1=�
1�
1=1.86 ��×4 ��×0.32 ��=2.38 ��
3

�
2=�
2�
2=0.85 ��×0.25 ��×1.7 ��=0.36 ��
3

�=�
1+�
2=2.38+0.322=2.74 ��
3

42. Sexto corte horizontal
CÁLCULO DEL MOMENTO ESTÁTICO
??????=9.55���/��
2

OBSERVACIONES:
a)El cortante en la superfice externa es cero.
b)El valor de y= 4.0 in se obtuvo de la distancia medida a partir del centroide hasta la mitad
del primer corte, es decir, 4.8-(0.16/2)
c)Recordar que I=14.07 in
4
.
d)Recordar que V=21 klb (diagrama de fuerzas cortantes)
�=��=4.0 ��×0.25 ��×1.6 ��=1.6 ��
3

??????=
��
??????�
=
21 ���×1.6 ��
3
14.07 ��
4
×0.25 ��

CÁLCULO DEL CORTANTE HORIZONTAL EN EL SEXTO CORTE
De manera análoga se procede en los demás cortes que faltan

43. DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES EN SECCIÓN TRANSVERSAL
??????
??????��

44. REFERENCIAS
1.Gere, J.M., & Goodno, B.J.(2009). Mecánica de
Materiales. México: Cengage Learning.
2.Fitzgerald, R.W. (1996). Mecánica de Materiales.
México: Alfaomega.