Espacio vectorial

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1. Instituto Universitario Politécnico "Santiago Mariño“ Estado. Anzoátegui Barcelona Participante: MONCAYO, LEONARDO C.I: 27.949.514 Octubre, 2017 ESPACIO VECTORIAL

2. En esta sección se introducen los conceptos básicos referentes a los espacio vectoriales . Definiremos cuándo se especifica un espacio vectorial y sus propiedades dadas internas y externamente. Por consiguientes los subespacios vectoriales son subconjuntos de los vectores, además se evidenciara la conceptualización de combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal. Así mismo se desglosara lo que son los espacios nulos y rangos de una matriz.

3. ESPACIO VECTORIAL En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares. Moncayo Leonardo

4. PROPIRDADES Moncayo Leonardo 1) Propiedades de la suma de vectores: Sean u ,v ,w vectores en V 1 ) La suma u + v = z es otro vector en V 2 ) u + v = v + u , es decir, la suma es conmutativa 3 ) (u + v) + w = u + (v + w) , es decir, la suma es asociativa 4 ) Existe un vector cero en V, tal que u+0 =0+u=u 5) Para todo vector u existe un vector -u, tal que u+(-u)= 0 , y se denomina el inverso aditivo

5. Moncayo Leonardo 2) Propiedades de la multiplicación por un escalar : Sean y vectores en V, c y d constantes (escalares ) 1 ) El vector cu es un vector en V 2) c (u + v) = cu + cv 3) (c + d) u = cu + du. Los incisos 2 y 3 representan la propiedad distributiva . 4) c ( du ) = ( cd ) u 5) Para todo vector u, 1u=u , tal que u + (-u) = 0 , y se denomina el inverso aditio

6. Moncayo Leonardo Ejemplo 1 Como la suma y la multiplicación por un escalar de todos los vectores con dos componentes satisfacen las 10 propiedades anteriores, decimos que R con estas propiedades es un espacio vectorial . El lector puede probar lo anterior con cualesquiera vectores u , v ,w , y constantes c y d. Dado que lo mismo se puede decir para vectores con tres, cuatro o n componentes, entonces R , R y R, con las propiedades correspondientes, son espacios vectoriales.

7. Moncayo Leonardo Ejemplo 2 El conjunto de puntos en R que están en la recta y=3x, ¿es un espacio vectorial ? Este conjunto de vectores lo podemos escribir de la forma V = ( 3x ). Sea u = ( x 3x ) y v=( x 3x ) , el lector puede ahora comprobar si se cumplen las 10 propiedades arriba mencionadas, y responder si es o no un espacio vectorial. Desde luego que si es un espacio vectorial.

8. Ejemplo 3 . Considere el conjunto M de las matrices 2x2 de y las operaciones convencionales de suma de matrices y producto de una matriz por un escalar . Verifica que se cumplen las 10 propiedades para que M sea espacio vectorial.

9. SUBESPACIO VECTORIAL En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

10. COMBINACION LINEAL En matemática, particularmente en álgebra lineal, una combinación lineal es una expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de determinados conjuntos, multiplicados entre sí.

11. En particular, la combinación lineal de un sistema de vectores se trata de un vector de la forma V= K V + K V ....... K V = K V i=1 con los Ki elementos de un cuerpo. La definición, provista de esta manera, da lugar a otras definiciones y herramientas importantes, como son los conceptos de independencia lineal y base de un espacio vectorial.

12. DEPENDENCIA LINEAL Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

13. Moncayo Leonardo INDEPENDENCIA LINEAL La independencia lineal puesta en palabras: Un conjunto de vectores (diferentes de cero) de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si y sólo si, algún vector del conjunto es una combinación lineal de los demás.

14. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente

15. DIMENCION DE UN ESPACIO VECTORIAL La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial.

16. ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ Un espacio nulo (NA) es uno o un conjunto de vectores que anula la matriz, es decir, los vectores solución de la matriz. Para que se entienda mejor, haga de cuenta la solución de las variables de una ecuación sencilla, pero en este caso por tratarse de matrices y espacios vectoriales, se hablara de vectores.

17. RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. El rango fila y el rango columna siempre son iguales: este número es llamado simplemente rango de A (prueba más abajo). Comúnmente se expresa como rg (A).

18. Los espacios vectoriales de acuerdo a lo anteriormente explicado se concluye que son elementos vectoriales y en este puede realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición, así también como es la combinación lineal y su dependencia e independencia

19. https:// es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal https://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_de_un_espacio_vectorial https://tutorias.co/espacio-nulo-nulidad-imagen-y-base-matriz-3x4/

20. Equipo investigador: Juan Olivier Rotceh Álvarez Jenifer Rodriguez Ciencias Administrativas GRACIAS…