Espacios vectoriales para principiantes.

espacios-vectoriales

1. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1
ESPACIOS VECTORIALESESPACIOS VECTORIALES
ESPACIO VECTORIALESPACIO VECTORIAL
SUBESPACIO VECTORIALSUBESPACIO VECTORIAL
BASE Y DIMENSIÓN DE UN BASE Y DIMENSIÓN DE UN
ESPACIO VECTORIALESPACIO VECTORIAL

2. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 2
Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal consistió en Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal consistió en
resolver sistemas de resolver sistemas de mm ecuaciones lineales con ecuaciones lineales con nn incógnitas, incógnitas,
comenzaremos este curso estudiando la estructura de comenzaremos este curso estudiando la estructura de espacio vectorialespacio vectorial..
Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otros Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otros
(por la “ley del paralelogramo”) y multiplicarse por un número real:(por la “ley del paralelogramo”) y multiplicarse por un número real:
Pero,Pero, ¿qué es un vector libre del plano?¿qué es un vector libre del plano?
Definimos como el conjunto de vectores con . Definimos como el conjunto de vectores con .
Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un
vector de (definición algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo, vector de (definición algebraica de vector), y viceversa. Sin embargo,
para muchas aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza, para muchas aplicaciones físicas (incluyendo las nociones de fuerza,
velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vector velocidad, aceleración y momento) es importante pensar en un vector
no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y no como un punto sino como una entidad que tiene “longitud” y
“dirección”.“dirección”.

3. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 3
en Ingeniería un vector se en Ingeniería un vector se
caracteriza por dos magnitudes caracteriza por dos magnitudes
(longitud y dirección) y se representa (longitud y dirección) y se representa
por un segmento recto dirigido. Un por un segmento recto dirigido. Un
vector en el plano puede ubicarse en vector en el plano puede ubicarse en
diferentes lugares. Sin embargo, con diferentes lugares. Sin embargo, con
independencia de dónde esté situado, independencia de dónde esté situado,
si la longitud y dirección no varían si la longitud y dirección no varían
se trata del mismo vector.se trata del mismo vector.
El conjunto de los vectores libres del plano El conjunto de los vectores libres del plano (( )) es sólo un ejemplo es sólo un ejemplo
entre los muchos ejemplos de objetos matemáticos que pueden sumarse entre los muchos ejemplos de objetos matemáticos que pueden sumarse
entre sí y multiplicarse por números reales, y que además satisfacen entre sí y multiplicarse por números reales, y que además satisfacen
unas mismas propiedades. Este ejemplo de los vectores libres del plano unas mismas propiedades. Este ejemplo de los vectores libres del plano
(o el de los vectores libres del espacio) es importante porque su (o el de los vectores libres del espacio) es importante porque su
representación geométrica ayuda a entender la definición general de representación geométrica ayuda a entender la definición general de
vector.vector.

4. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 4
Algunos ejemplos que podemos mencionar son:Algunos ejemplos que podemos mencionar son:

los propios números reales, los propios números reales,

los números complejos,los números complejos,

los vectores en el plano,los vectores en el plano,

los vectores en el espacio,los vectores en el espacio,

los polinomios de grado menor o igual que los polinomios de grado menor o igual que nn,,

las funciones reales de variable real con dominio las funciones reales de variable real con dominio DD,,

las funciones continuas en un intervalo,las funciones continuas en un intervalo,

las funciones derivables en un punto,las funciones derivables en un punto,

las funciones integrables en un intervalo,las funciones integrables en un intervalo,

..........................................................................
Un vector puede ser un número, una Un vector puede ser un número, una nn-tupla (secuencia ordenada de n -tupla (secuencia ordenada de n
elementos, donde n es un número entero no negativo), un polinomio, elementos, donde n es un número entero no negativo), un polinomio,
una función continua, etc.una función continua, etc.

5. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 5
También hay magnitudes físicas de tipo vectorial con las También hay magnitudes físicas de tipo vectorial con las
mismas propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,....mismas propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,....
Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras
similares, es conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre similares, es conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre
al ente resultante. Aunque este primer tema tiene el al ente resultante. Aunque este primer tema tiene el
inconveniente de trabajar en el mundo abstracto de los inconveniente de trabajar en el mundo abstracto de los
espacios vectoriales arbitrarios, también presenta una gran espacios vectoriales arbitrarios, también presenta una gran
ventaja. La abstracción resulta ser matemáticamente ventaja. La abstracción resulta ser matemáticamente
eficiente en el sentido de que ahora pueden demostrarse eficiente en el sentido de que ahora pueden demostrarse
resultados generales cuya validez afecta a todos los espacios resultados generales cuya validez afecta a todos los espacios
vectoriales. Es decir, una vez que se establecen los hechos vectoriales. Es decir, una vez que se establecen los hechos
sobre los espacios vectoriales en general, se pueden aplicar sobre los espacios vectoriales en general, se pueden aplicar
estos hechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo, estos hechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo,
habría que probar cada hecho una y otra vez, para cada habría que probar cada hecho una y otra vez, para cada
nuevo espacio vectorial que nos encontráramos (y existen nuevo espacio vectorial que nos encontráramos (y existen
un sin fin de ellos).un sin fin de ellos).

6. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 6
En este curso, básicamente trabajaremos con cuatro espacios En este curso, básicamente trabajaremos con cuatro espacios
vectoriales.vectoriales.
En el tema 1 definimos la estructura de espacio vectorial y trabajaremos En el tema 1 definimos la estructura de espacio vectorial y trabajaremos
con los espacios vectoriales siguientes:con los espacios vectoriales siguientes:
En el tema 2 estudiamos el espacio vectorial de las matrices reales de En el tema 2 estudiamos el espacio vectorial de las matrices reales de mm
filas y filas y nn columnas, que denotamos: columnas, que denotamos:
Así mismo también con espacios vectoriales de funciones reales de Así mismo también con espacios vectoriales de funciones reales de
variable real y continuas sobre un intervalo. variable real y continuas sobre un intervalo.
A continuación, presentamos un ejemplo introductorio que proporciona A continuación, presentamos un ejemplo introductorio que proporciona
una motivación para desarrollar las matemáticas subsecuentes.una motivación para desarrollar las matemáticas subsecuentes.
 , normalmente , normalmente n=3n=3 o o n=4n=4..
 , normalmente , normalmente n=2n=2 o o n=3n=3..

7. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 7
Un poco de historiaUn poco de historia
El matemático alemán Grassmann es reconocido como el primero que
introdujo la idea de un espacio vectorial (aunque no lo llamó de esta manera,
sino sistema de números hipercomplejos) y de independencia lineal en 1844.
Desafortunadamente su trabajo era muy difícil de leer y no recibió la atención
que merecía.
Peano en su libro Calcolo geometrico (1898) acalaró el trabajo de Grassmann y
estableció los axiomas de espacio vectorial como los conocemos en la
actualidad. En este mismo libro introdujo las operaciones de conjuntos. Sus
notaciones ,  y  son las que todavía utilizamos, aunque no fueron
aceptadas de inmediato. La definición axiomática de Peano de un espacio
vectorial también tuvo muy poca influencia durante muchos años. Su
aceptación se produjo en 1918, después de que Hermann Weyl la repitiera en
su libro Space, time, matter, una introducción a la teoría de la relatividad
general de Einstein.
También podemos mencionar a William R. Hamilton, que durante los veinte
últimos años de su vida, dedicó la mayor parte de su creación matemática a
desarrollar la tería de un tipo especial de números, los cuaterniones. Con estos
trabajos cimentó la moderna noción de vector. Todavía hoy se utiliza la notación
i, j, k de Hamilton para los vectores de la base canónica en el espacio
tridimensional.

8. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 8
ESTRUCTURA DE ESPACIO ESTRUCTURA DE ESPACIO
VECTORIAL REALVECTORIAL REAL
Sean (cjto. números reales) ySean (cjto. números reales) y

operación interna en operación interna en V

operación externa en operación externa en
V con dominio de con dominio de
operadores operadores
Definiremos cuando Definiremos cuando V es un espacio vectorial real es un espacio vectorial real

9. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 9
Como hemos visto, partimos de un conjunto Como hemos visto, partimos de un conjunto no vacíono vacío VV , cuyos , cuyos
elementos se denotan ..., y se denominan elementos se denotan ..., y se denominan vectoresvectores y del cuerpo y del cuerpo
conmutativo (estructura algebraica) de los números reales. En conmutativo (estructura algebraica) de los números reales. En
general se puede trabajar con cualquier cuerpo conmutativo general se puede trabajar con cualquier cuerpo conmutativo KK y en y en
este curso surgirán algunos ejercicios con espacios vectoriales este curso surgirán algunos ejercicios con espacios vectoriales
complejos ( complejos ( KK= ).= ).
La ley de composición interna se suele denotar con el símbolo de la La ley de composición interna se suele denotar con el símbolo de la
suma suma ( (  ) ) y se suele denominar y se suele denominar sumasuma de vectores. Es una de vectores. Es una
aplicación que a cada par de elementos de aplicación que a cada par de elementos de VV les hace les hace
corresponder el elemento, corresponder el elemento, también de también de VV, , denominado suma , , denominado suma
de e .de e .
La ley de composición externa con dominio de operadores La ley de composición externa con dominio de operadores ((en en
general, con dominio de operadores general, con dominio de operadores K)K) es una aplicación que es una aplicación que
denominamos producto por un escalar y denotamos con el símbolo denominamos producto por un escalar y denotamos con el símbolo
del producto del producto ( (  ) ) que a todo elemento de que a todo elemento de VV y a todo elemento y a todo elemento 
de de ((o o K)K) hace corresponder el elemento . hace corresponder el elemento .
OBSERVACIÓNOBSERVACIÓN.-.- ¿Es la suma de polinomios una ley de ¿Es la suma de polinomios una ley de
composición interna sobre el conjunto de los polinomios de grado composición interna sobre el conjunto de los polinomios de grado
exactamenteexactamente 2? 2?

10. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 10
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIALESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
1
.- .- Para ( + ) (operación interna) se cumple:Para ( + ) (operación interna) se cumple:
2
.-.- Para ( Para ( • • ) (op. externa con dominio ) se cumple:) (op. externa con dominio ) se cumple:

11. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 11
Los elementos de un espacio vectorial reciben el nombre genérico de
vectores y en general se utiliza la notación vectorial ( ,...) para
denotarlos. Esto no es obstáculo para que en algunos casos particulares
(polinomios, matrices, funciones,...) se utilice la notación propia en cada
caso.
Los axiomas 1.- de la definición de espacio vectorial real se refieren a la
suma de vectores, los axiomas 2.- c.- y 2.- d.- se refieren exclusivamente a
la multiplicación por escalares (números reales) y las propiedades 2.- a.- y
2.- b.- son las propiedades distributivas de una operación con respecto a
otra.
A continuación presentamos varios ejemplos de espacios vectoriales. Para
comprobar que tienen estructura de espacio vectorial deberíamos ver que
se satisfacen los 8 axiomas de la definición con las operaciones suma y
producto por un escalar definidas. Este trabajo es muy sencillo y se basa
exclusivamente en propiedades de los números reales (no olvidar que
estamos trabajando, en principio, con espacios vectoriales reales). Dado
que también es una labor muy tediosa omitiremos las comprobaciones,
pero hay que insistir en que es absolutamente necesario comprobar los 8
axiomas.

12. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 12
EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALESEJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES
--EJEMPLO 1.EJEMPLO 1.--
conjunto de los vectores libres del espacio
 ¿Cómo se suman dos vectores libres?¿Cómo se suman dos vectores libres?
 ¿Cómo se multiplica un vector por un número real?¿Cómo se multiplica un vector por un número real?
 ¿Cuál es el vector nulo?¿Cuál es el vector nulo?

13. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 13
--EJEMPLO 2.EJEMPLO 2.--
 ¿Cómo se suman dos vectores libres?¿Cómo se suman dos vectores libres?
 ¿Cómo se multiplica un vector por un número real?¿Cómo se multiplica un vector por un número real?
 ¿Cuál es el vector nulo?¿Cuál es el vector nulo?

14. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 14
--EJEMPLO 3.EJEMPLO 3.-- Conjunto de los polinomios de grado menor o Conjunto de los polinomios de grado menor o
igual que igual que nn..
 ¿Cómo se suman dos polinomios?¿Cómo se suman dos polinomios?
 ¿Cómo se multiplica un polinomio por un número real?¿Cómo se multiplica un polinomio por un número real?
 ¿Cuál es el polinomio nulo?¿Cuál es el polinomio nulo?
(coeficiente a coeficiente)(coeficiente a coeficiente)
(se multiplica cada coeficiente por el número real)(se multiplica cada coeficiente por el número real)

15. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 15
--EJEMPLO 4.EJEMPLO 4.-- Conjunto de las matrices reales de Conjunto de las matrices reales de mm filas y filas y nn
columnas. columnas.
 ¿Cómo se suman dos matrices?¿Cómo se suman dos matrices?
 ¿Cómo se multiplica una matriz por un número real?¿Cómo se multiplica una matriz por un número real?
elemento a elementoelemento a elemento
se multiplica cada elemento de la matriz por el se multiplica cada elemento de la matriz por el
número realnúmero real

16. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 16
--EJEMPLO 5.EJEMPLO 5.- - Conjunto de las funciones reales de variable Conjunto de las funciones reales de variable
real con dominioreal con dominio .
 ¿Cómo se suman dos funciones?¿Cómo se suman dos funciones?
 ¿Cómo se multiplica una función por un número real?¿Cómo se multiplica una función por un número real?
 ¿Cuál es la función nula?¿Cuál es la función nula?

17. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 17
EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALESEJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES
suma:suma:
producto por un escalar:producto por un escalar:
vector nulo:vector nulo: vector vector
opuesto:opuesto:
suma:suma:
producto por un escalar:producto por un escalar:
vector nulo:vector nulo:
vector vector
opuesto:opuesto:
suma:suma:
suma:suma:
producto por un escalar:producto por un escalar:
producto por un escalar:producto por un escalar:
vector nulo:vector nulo:
vector nulo:vector nulo: vector vector
opuesto: opuesto:
vector vector
opuesto: opuesto:

18. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 18
Propiedades.-Propiedades.- Sea V un e. v. real:Sea V un e. v. real:
1.-1.-
2.-2.-
3.-3.-
4.-4.-
5.-5.-
6.-6.-
7.-7.-
8.-8.-
Al multiplicar cualquier escalar por el Al multiplicar cualquier escalar por el
vector nulo obtenemos el vector nulo.vector nulo obtenemos el vector nulo.
Al multiplicar cualquier vector por el escalar Al multiplicar cualquier vector por el escalar
0 obtenemos el vector nulo.0 obtenemos el vector nulo.
Esta propiedadEsta propiedad
no es tan obviano es tan obvia
como puede parecer.como puede parecer.

19. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 19
COMBINACIONES LINEALESCOMBINACIONES LINEALES
Sea Sea V un espacio vectorial real: un espacio vectorial real:
COMBINACIÓN LINEAL.-COMBINACIÓN LINEAL.-
eses combinación linealcombinación lineal dede
cuando tales que:cuando tales que:

20. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 20
COMENTARIOS.-COMENTARIOS.-
Dados los vectores y los escalares Dados los vectores y los escalares 
11 , , 
22 ,..., ,..., 
n n
(números(números
reales), el vector definido por:reales), el vector definido por:
se llama se llama combinacióncombinación lineallineal de los vectores : de los vectores :
Algunas combinaciones lineales de los vectores son, por ejemplo:Algunas combinaciones lineales de los vectores son, por ejemplo:
El vector El vector (2,1,1)(2,1,1) de no es combinación lineal de los vectores de no es combinación lineal de los vectores (1,0,0)(1,0,0) y y
(1,1,0)(1,1,0) de . de .
El polinomio El polinomio xx
22
+1+1 de no es combinación lineal de los polinomios de no es combinación lineal de los polinomios xx
33
+x+x––
11 , , x+2x+2 y y 1 1 de . de .

21. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 21
Para comprobar si un vector es combinación lineal de Para comprobar si un vector es combinación lineal de mm
vectores de se plantea la ecuación vectorial siguiente:vectores de se plantea la ecuación vectorial siguiente:
Utilizando las definiciones de las operaciones suma de vectores de y Utilizando las definiciones de las operaciones suma de vectores de y
producto de un vector de por un escalar realizamos la operación:producto de un vector de por un escalar realizamos la operación:
Teniendo en cuenta que dos vectores de son iguales si Teniendo en cuenta que dos vectores de son iguales si todastodas sus sus
componentes son iguales dos a dos, tenemos el siguiente sistema de componentes son iguales dos a dos, tenemos el siguiente sistema de nn
ecuaciones lineales con ecuaciones lineales con mm incógnitas : incógnitas :
Si el sistema es compatible determinado, entonces es combinación Si el sistema es compatible determinado, entonces es combinación
lineal de los vectoreslineal de los vectores
Si el sistema es incompatible, entonces Si el sistema es incompatible, entonces NONO es combinación lineal es combinación lineal
de los vectoresde los vectores
El sistema nunca puede ser compatible indeterminado.El sistema nunca puede ser compatible indeterminado.

22. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 22
En el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menor En el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menor
o igual que o igual que nn se procede del mismo modo que en el espacio vectorial se procede del mismo modo que en el espacio vectorial
real . Tenemos que tener en cuenta que dos polinomios de grado real . Tenemos que tener en cuenta que dos polinomios de grado
menor o igual que n son iguales si coinciden todos y cada uno de sus menor o igual que n son iguales si coinciden todos y cada uno de sus
coeficientes, incluido el término independiente. De este modo coeficientes, incluido el término independiente. De este modo
tendremos un sistema de tendremos un sistema de n+1n+1 ( (ATENCIÓN!!!ATENCIÓN!!!)) ecuaciones lineales con ecuaciones lineales con
mm incógnitas. incógnitas.
A continuación resolvemos un par de ejercicios en los que trabajamos A continuación resolvemos un par de ejercicios en los que trabajamos
con el concepto de combinación lineal de vectores en los espacios con el concepto de combinación lineal de vectores en los espacios
vectoriales introducidos en los ejemplos 2 y 3 de este capítulo: y vectoriales introducidos en los ejemplos 2 y 3 de este capítulo: y
. .
Destacar que es necesario conocer las definiciones de suma de Destacar que es necesario conocer las definiciones de suma de
vectores (o polinomios) y producto de un vector (o polinomio) por un vectores (o polinomios) y producto de un vector (o polinomio) por un
escalar. Además tenemos que tener claro qué significa que dos escalar. Además tenemos que tener claro qué significa que dos
vectores de sean iguales (o que dos polinomios de sean vectores de sean iguales (o que dos polinomios de sean
iguales).iguales).
SUGERENCIASUGERENCIA.-.- Utilizar las técnicas de resolución de sistemas de Utilizar las técnicas de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales conocidas (método de Gauss), que explicaremos ecuaciones lineales conocidas (método de Gauss), que explicaremos
con detalle en el Tema 5 de este curso.con detalle en el Tema 5 de este curso.

23. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 23
SUBESPACIOS VECTORIALESSUBESPACIOS VECTORIALES
Algunos subconjuntos de un espacio vectorial Algunos subconjuntos de un espacio vectorial VV son a su vez espacios son a su vez espacios
vectoriales con las operaciones definidas en vectoriales con las operaciones definidas en VV..
Estos subconjuntos se denominanEstos subconjuntos se denominan subespacios vectoriales. subespacios vectoriales.
SUBESPACIO VECTORIAL.-SUBESPACIO VECTORIAL.-
 Subespacios vectoriales impropiosSubespacios vectoriales impropios
 Subespacios vectoriales propiosSubespacios vectoriales propios: cualquier subespacio vectorial : cualquier subespacio vectorial
de de VV distinto de y distinto de y VV..
Antes de dar ejemplos de subespacios vectoriales, es conveniente dar dos resultados Antes de dar ejemplos de subespacios vectoriales, es conveniente dar dos resultados
que hacen relativamente sencillo determinar si un subconjunto que hacen relativamente sencillo determinar si un subconjunto SS de de VV es es
subespacio vectorial de subespacio vectorial de VV..
es unes un subespacio vectorialsubespacio vectorial de de VV, si es espacio vectorial con , si es espacio vectorial con
las operaciones definidas en las operaciones definidas en VV..

24. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 24
Para demostrar que Para demostrar que   S S  V V es subespacio vectorial de es subespacio vectorial de VV, NO ES , NO ES
NECESARIO comprobar los 8 axiomas de la definición de espacio NECESARIO comprobar los 8 axiomas de la definición de espacio
vectorial.vectorial.
Para demostrar que Para demostrar que S S  V V es subespacio vectorial de es subespacio vectorial de VV, basta con , basta con
comprobar que es un comprobar que es un subconjunto no vacíosubconjunto no vacío (pues todo espacio vectorial (pues todo espacio vectorial
ha de contener al menos el vector nulo, luego es conveniente comprobar ha de contener al menos el vector nulo, luego es conveniente comprobar
que el vector nulo es un vector de que el vector nulo es un vector de SS) y que ) y que SS es cerrado bajo las es cerrado bajo las
operaciones suma de vectores y producto por un escalaroperaciones suma de vectores y producto por un escalar. El resto de las . El resto de las
propiedades son “heredadas” por propiedades son “heredadas” por SS. . Esto es lo que significan las dos Esto es lo que significan las dos
caracterizaciones de subespacio vectorial que acabamos de enunciar.caracterizaciones de subespacio vectorial que acabamos de enunciar.
•
Un subconjunto Un subconjunto SS no vacío de no vacío de VV es s.v. de es s.v. de VV si y sólo si si y sólo si
cumple:cumple:
•
Un subconjunto Un subconjunto SS no vacío de no vacío de VV es s.v. de es s.v. de VV si y sólo si si y sólo si
cumple:cumple:

25. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 25
En la práctica, para demostrar que En la práctica, para demostrar que
SS NO es s. v. de NO es s. v. de VV
oo
oo


 Basta con comprobar Basta con comprobar
una de estas tres cosasuna de estas tres cosas
Presentaremos a continuación algunos ejemplos de conjuntos con dos
operaciones (suma y producto por un escalar) que no tienen estructura de
espacio vectorial. Para demostrar que un conjunto no es espacio vectorial es
suficiente comprobar que no satisface alguno de los ocho axiomas de la
definición, pero basta con comprobar una de las tres condicionesbasta con comprobar una de las tres condiciones arriba
mencionadas.

26. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 26
--EJEMPLO 1.EJEMPLO 1.-- El conjunto de los números enteros no tiene El conjunto de los números enteros no tiene
estructura de espacio vectorial con las operaciones habituales estructura de espacio vectorial con las operaciones habituales
de suma y producto por un escalar real.de suma y producto por un escalar real.
El conjunto de todos los números enteros con las operaciones normales de
suma y producto por un escalar no tiene estructura de espacio vectorial, ya
que el producto no es una operación cerrada.
0.51 = 0.5
escalarescalarenteroenterono enterono entero
--EJEMPLO 2.EJEMPLO 2.-- El conjunto de los polinomios de grado El conjunto de los polinomios de grado
exactamente exactamente 22 no tiene estructura de espacio vectorial. no tiene estructura de espacio vectorial.
El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura
de espacio vectorial, ya que la suma no es una operación cerrada.
p(x) = x
2
q(x) = -x
2
+x+1
son polinomios de grado son polinomios de grado 22, pero , pero su suma es un su suma es un
polinomio de primer gradopolinomio de primer grado
p(x) + q(x) = x+1

27. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 27
INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES.-INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES.-
Si Si S , TS , T son subespacios vectoriales de son subespacios vectoriales de VV, entonces:, entonces:
1.1. S S  T T es subespacio vectorial de es subespacio vectorial de VV. .
2.2. S S  T T es el mayor de todos los subespacios vectoriales es el mayor de todos los subespacios vectoriales
de de VV incluidos en incluidos en SS y y TT..
La unión de subespacios vectoriales de La unión de subespacios vectoriales de VV
no es necesariamente un subespacio vectorial de no es necesariamente un subespacio vectorial de V V..
En el siguiente apartado veremos una manera de encontrar y construir En el siguiente apartado veremos una manera de encontrar y construir
subespacios de un espacio vectorial subespacios de un espacio vectorial VV. Este método nos será de gran . Este método nos será de gran
utilidad para demostrar, sin emplear las caracterizaciones de subespacio utilidad para demostrar, sin emplear las caracterizaciones de subespacio
vectorial del apartado anterior, que un subconjunto no vacío de un vectorial del apartado anterior, que un subconjunto no vacío de un
espacio vectorial espacio vectorial VV es un subespacio vectorial de es un subespacio vectorial de VV..

28. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 28
SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO
POR UNA PARTE FINITA DE UN E. V.POR UNA PARTE FINITA DE UN E. V.
Sea Sea VV un espacio vectorial real. un espacio vectorial real.
Sea Sea GG un conjunto (no vacío) de vectores de un conjunto (no vacío) de vectores de VV::
Definimos como el conjunto formado por Definimos como el conjunto formado por todastodas las las
combinaciones lineales de los vectores:combinaciones lineales de los vectores:

29. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 29
--Ejemplos.Ejemplos.--

30. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 30
En un mismo subespacio vectorial es posible encontrar En un mismo subespacio vectorial es posible encontrar
distintos sistemas de generadoresdistintos sistemas de generadores



SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO POR SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO POR
UNA COLECCIÓN FINITA DE VECTORES DE UNA COLECCIÓN FINITA DE VECTORES DE V.-.-

31. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 31
¿Cómo encontrar distintos sistemas de generadores¿Cómo encontrar distintos sistemas de generadores
de un subespacio vectorial?de un subespacio vectorial?
¿Cómo demostrar que ¿Cómo demostrar que S es s.v. de es s.v. de V??

32. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 32
--EJEMPLOEJEMPLO-- Demostrar queDemostrar que

33. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 33
Algoritmo para hallar una base del Algoritmo para hallar una base del
subespacio vectorial engendrado por una subespacio vectorial engendrado por una
familia familia GG de vectores de vectores
Sea . Para hallar una base del subespacio Sea . Para hallar una base del subespacio
vectorial podemos proceder del modo siguiente:vectorial podemos proceder del modo siguiente:
1.-1.-Formar la matriz Formar la matriz AA de de rr filas y filas y nn columnas con los vectores columnas con los vectores
de de GG como filas. como filas.
2.-2.-Realizar operaciones elementales de fila hasta llegar a una Realizar operaciones elementales de fila hasta llegar a una
matriz matriz BB escalonada y equivalente a la matriz escalonada y equivalente a la matriz AA. .
3.-3.-Las filas no nulas de Las filas no nulas de BB constituyen una base del subespacio constituyen una base del subespacio
engendrado por engendrado por GG. .

34. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 34
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEALDEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio del Álgebra Lineal, una de las ideas centrales es la En el estudio del Álgebra Lineal, una de las ideas centrales es la
de dependencia o independencia lineal entre vectores.de dependencia o independencia lineal entre vectores.
Podemos plantearnos la siguiente pregunta. ¿Existe una Podemos plantearnos la siguiente pregunta. ¿Existe una
relación especial entre los vectores y ?relación especial entre los vectores y ?

Es decir, el vector nulo se puede escribir como una Es decir, el vector nulo se puede escribir como una
combinación no trivial de y . En este caso se dice que combinación no trivial de y . En este caso se dice que
los vectores son los vectores son linealmente dependienteslinealmente dependientes. En general, se . En general, se
tienen las siguientes definiciones:tienen las siguientes definiciones:
, o escrito de otro modo:, o escrito de otro modo:

35. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 35
es un es un sistema libresistema libre (o son (o son
vectores vectores linealmente independienteslinealmente independientes) si:) si:
SISTEMA LIBRE. SISTEMA LIGADO.-SISTEMA LIBRE. SISTEMA LIGADO.-
es un es un sistema ligadosistema ligado (o son (o son
vectores vectores linealmente dependienteslinealmente dependientes) si:) si:
A continuación enunciamos algunas propiedades de los A continuación enunciamos algunas propiedades de los
sistemas libres y ligados que nos pueden resultar útiles más sistemas libres y ligados que nos pueden resultar útiles más
adelante.adelante.

36. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 36
PROPIEDADES.-PROPIEDADES.-

37. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 37
Las propiedades siguientes son resultados que se demuestran de forma Las propiedades siguientes son resultados que se demuestran de forma
inmediata a partir de los conceptos de sistema libre de vectores y sistema inmediata a partir de los conceptos de sistema libre de vectores y sistema
ligado de vectores.ligado de vectores.
1.1.Todos los vectores de un sistema libre son no nulos.Todos los vectores de un sistema libre son no nulos.
2.2. Si un sistema de vectores contiene al vector nulo, entonces Si un sistema de vectores contiene al vector nulo, entonces
es un sistema ligado.es un sistema ligado.
3.3. sistema libre siisistema libre sii
4.4. Un sistema de dos vectores es un sistema ligado si y sólo si Un sistema de dos vectores es un sistema ligado si y sólo si
uno de los vectores es “múltiplo” del otro. uno de los vectores es “múltiplo” del otro.
5.5. Si a un sistema ligado se le añaden nuevos vectores, resulta Si a un sistema ligado se le añaden nuevos vectores, resulta
otro sistema ligado.otro sistema ligado.
6.6. Todo subconjunto de un sistema libre es un sistema libre.Todo subconjunto de un sistema libre es un sistema libre.

38. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 38
PRUEBAS PARA LA DEPENDENCIA LINEALPRUEBAS PARA LA DEPENDENCIA LINEAL
La consecuencia 3.- nos permite decir cuando un conjunto La consecuencia 3.- nos permite decir cuando un conjunto
formado por un único vector de un espacio vectorial formado por un único vector de un espacio vectorial VV es un es un
sistema libre y cuando es un sistema ligado.sistema libre y cuando es un sistema ligado.
Del mismo modo, la consecuencia 4.- es una condición Del mismo modo, la consecuencia 4.- es una condición
necesaria y suficiente para que una familia formada por dos necesaria y suficiente para que una familia formada por dos
vectores de un espacio vectorial vectores de un espacio vectorial VV sea linealmente dependiente. sea linealmente dependiente.
Cuando disponemos de una colección de más de dos vectores Cuando disponemos de una colección de más de dos vectores
tendremos que recurrir necesariamente, en principio, a la tendremos que recurrir necesariamente, en principio, a la
definición para demostrar que se trata de un sistema libre o un definición para demostrar que se trata de un sistema libre o un
sistema ligado.sistema ligado.

39. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 39
Para comprobar si una familia de vectores es linealmente Para comprobar si una familia de vectores es linealmente
dependiente o linealmente independiente vamos a utilizar, en dependiente o linealmente independiente vamos a utilizar, en
muchos casos, el concepto de rango de una matriz. muchos casos, el concepto de rango de una matriz.
Hablaremos de rango de una matriz en un tema posterior, pero Hablaremos de rango de una matriz en un tema posterior, pero
como es un concepto que muchos alumnos ya conocen, como es un concepto que muchos alumnos ya conocen,
conviene decir que, en general, resulta más cómodo y más conviene decir que, en general, resulta más cómodo y más
sencillo estudiar la dependencia o independencia lineal de sencillo estudiar la dependencia o independencia lineal de
una familia de vectores utilizando el concepto de rango de una una familia de vectores utilizando el concepto de rango de una
matriz.matriz.
A partir del momento en el que definimos el concepto de A partir del momento en el que definimos el concepto de
rango de una matriz resolveremos ejercicios de sistemas rango de una matriz resolveremos ejercicios de sistemas
libres y ligados utilizando la idea del rango de una matriz.libres y ligados utilizando la idea del rango de una matriz.

40. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 40
BASES Y DIMENSIÓN DE UN BASES Y DIMENSIÓN DE UN
ESPACIO VECTORIALESPACIO VECTORIAL
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.-BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.-
En este apartado presentaremos el concepto fundamental de una base de un
espacio vectorial. Como veremos, una base es un conjunto generador
“eficiente” que no contiene vectores innecesarios. De hecho, se puede
construir una base a partir de un conjunto generador desechando algunos
vectores innecesarios. Además, conocer una base de un espacio vectorial es
muy útil para comprender el espacio y sus propiedades.
es una es una basebase del e.v. real del e.v. real V si: si:
B s. libre s. libre
B s. generador de s. generador de V

41. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 41
--EJEMPLOS DE BASES.EJEMPLOS DE BASES.--
--EJEMPLO 1.EJEMPLO 1.--
base canónicabase canónica
--EJEMPLO 2.EJEMPLO 2.--
base canónicabase canónica

42. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 42
EXISTENCIA DE BASES.-EXISTENCIA DE BASES.-
Todo e.v. Todo e.v. V engendrado por un sistema de generadores finito engendrado por un sistema de generadores finito
tiene al menos una base.tiene al menos una base.
Todas las bases del e.v. Todas las bases del e.v. V poseen el mismo número de poseen el mismo número de
elementos.elementos. Entonces:Entonces:
DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.-DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.-
El número de elementos que posee una base cualquiera de un El número de elementos que posee una base cualquiera de un
e.v. V , recibe el nombre de e.v. V , recibe el nombre de dimensión del e.v. dimensión del e.v. V ((dim V))..
Esta información resulta muy útilEsta información resulta muy útil
como se verá posteriormentecomo se verá posteriormente

43. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 43
--CONSECUENCIASCONSECUENCIAS.-.-
Si Si VV es un e.v. con es un e.v. con dim V = n, entonces:, entonces:
En un espacio vectorial de dimensión En un espacio vectorial de dimensión nn no puede haber más de no puede haber más de nn vectores linealmente independientes vectores linealmente independientes
n vectores l.i. de un e.v. n vectores l.i. de un e.v. VV de dimensión de dimensión nn constituyen una base de constituyen una base de V V
Un s.g. de Un s.g. de nn vectores de un e.v. vectores de un e.v. VV de dimensión de dimensión nn constituye una base de constituye una base de VV

44. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 44
Dos perspectivas de una baseDos perspectivas de una base
Cuando se usa el teorema de la reducción de un conjunto generador, la Cuando se usa el teorema de la reducción de un conjunto generador, la
eliminación de vectores de un conjunto generador debe terminar cuando el eliminación de vectores de un conjunto generador debe terminar cuando el
conjunto generador resulta linealmente independiente. Si se elimina otro vector, conjunto generador resulta linealmente independiente. Si se elimina otro vector,
no será combinación lineal de los vectores restantes y por lo tanto el conjunto no será combinación lineal de los vectores restantes y por lo tanto el conjunto
resultante ya no generará el mismo espacio vectorial V.resultante ya no generará el mismo espacio vectorial V.
Una base también es un conjunto linealmente independiente que es lo más Una base también es un conjunto linealmente independiente que es lo más
grande posible. Si B es una base de V y si B se agranda con un vector, grande posible. Si B es una base de V y si B se agranda con un vector,
digamos , de V, entonces el nuevo conjunto ya no puede ser linealmente digamos , de V, entonces el nuevo conjunto ya no puede ser linealmente
independiente, porque B genera V y es por lo tanto una combinación independiente, porque B genera V y es por lo tanto una combinación
lineal de los vectores de B.lineal de los vectores de B.
Ejemplo.- Los siguientes tres conjuntos de muestran cómo un conjunto Los siguientes tres conjuntos de muestran cómo un conjunto
linealmente independiente de dos vectores de puede agrandarse para linealmente independiente de dos vectores de puede agrandarse para
formar una base de y cómo un agrandamiento adicional destruye la formar una base de y cómo un agrandamiento adicional destruye la
independencia lineal del conjunto. Este mismo ejemplo lo podemos ver desde independencia lineal del conjunto. Este mismo ejemplo lo podemos ver desde
otra perspectiva: Un conjunto generador de formado por 4 vectores puede otra perspectiva: Un conjunto generador de formado por 4 vectores puede
encogerse para dar una base, pero una contracción adicional destruye la encogerse para dar una base, pero una contracción adicional destruye la
propiedad de ser generador.propiedad de ser generador.

45. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 45
Cuando se conoce la dimensión de un espacio o Cuando se conoce la dimensión de un espacio o
subespacio vectorial, la búsqueda de una base se subespacio vectorial, la búsqueda de una base se
simplifica con el resultado que damos a continuación, simplifica con el resultado que damos a continuación,
que dice que si un conjunto tiene el número correcto de que dice que si un conjunto tiene el número correcto de
elementos, entonces basta con demostrar que el conjunto elementos, entonces basta con demostrar que el conjunto
es linealmente independiente o bien que genera el es linealmente independiente o bien que genera el
espacio. El teorema es de importancia crítica en espacio. El teorema es de importancia crítica en
numerosos problemas de aplicaciones (que tienen que numerosos problemas de aplicaciones (que tienen que
ver con ecuaciones diferenciales o en diferencias, por ver con ecuaciones diferenciales o en diferencias, por
ejemplo) donde la independencia lineal es mucho más ejemplo) donde la independencia lineal es mucho más
fácil de comprobar que la propiedad de generar.fácil de comprobar que la propiedad de generar.
Según la consecuencia 3.-,Según la consecuencia 3.-, conocida la dimensión de un e.v. conocida la dimensión de un e.v.
VV ( , )( , ),, ¿cómo encontrar una ¿cómo encontrar una
base base BB de de VV?:?:

46. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 46
COORDENADAS DE UN VECTORCOORDENADAS DE UN VECTOR
Sea V e.v. real con base de V.Sea V e.v. real con base de V.
únicos tales que:únicos tales que:
A los escalares (A los escalares (únicosúnicos) se les ) se les
llama llama coordenadas del vector en la base coordenadas del vector en la base B..
Hallar las coordenadas del vectorHallar las coordenadas del vector
• en la base canónica de en la base canónica de
• en la base de en la base de

47. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 47
DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO
VECTORIALVECTORIAL
Sea S s.v. de V ySea S s.v. de V y
B base de base de S si si
: número de elementos de una base de número de elementos de una base de S
Si dim V = n, y S es un s.v. de V, entonces:Si dim V = n, y S es un s.v. de V, entonces:

48. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 48
¿Cómo encontrar una base ¿Cómo encontrar una base BB de un subespacio vectorial de un subespacio vectorial SS??
¿Cómo encontrar una base ¿Cómo encontrar una base BB de un espacio vectorial de un espacio vectorial VV??
B = G es s.g. de es s.g. de S
Hay que demostrarHay que demostrar que que B = G es s. libre es s. libre
Para encontrar una base de , basta con hallar Para encontrar una base de , basta con hallar nn
vectores l.i. de , puesvectores l.i. de , pues
Para hallar una base de , basta con hallar Para hallar una base de , basta con hallar n + 1n + 1
polinomios l.i. de , pues polinomios l.i. de , pues

49. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 49
RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORESRANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES
Sea Sea VV espacio vectorial real y espacio vectorial real y FF una colección de vectores de una colección de vectores de VV..
Se llamaSe llama rangorango de de F (( r ( F ) )) al al número máximo de número máximo de
vectores linealmente independientes de vectores linealmente independientes de F..
Volveremos a estudiar el concepto de rango de una familia de vectores dentro del Volveremos a estudiar el concepto de rango de una familia de vectores dentro del
marco de la teoría de matrices. Esto nos permitirá desarrollar métodos más marco de la teoría de matrices. Esto nos permitirá desarrollar métodos más
eficientes para calcular el rango de una familia de vectores y también para hallar eficientes para calcular el rango de una familia de vectores y también para hallar
una base de un subespacio vectorial generado por una familia de vectores.una base de un subespacio vectorial generado por una familia de vectores.
Si Si FF es un subconjunto del e.v. es un subconjunto del e.v. VV que consta de m vectores y que consta de m vectores y dim V = ndim V = n

50. Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 50
ESPACIO VECTORIALESPACIO VECTORIAL
Conceptos
preliminares
Concepto
Ejemplos básicos
Condiciones
PropiedadesESCALAR
VECTOR
SUBESPACIO VECTORIALSUBESPACIO VECTORIAL
DEPENDENCIA LINEAL
INDEPENDENCIA LINEAL
BASEBASE
Coordenadas
COMBINACIÓN LINEAL
SISTEMA GENERADOR
Resultados interesantes
Resultados interesantes
Resultados interesantes
Relación
COORDENADAS
Concepto
Condiciones
Dimensión de un
espacio vectorial
Dimensión de un
subespacio vectorial
Rango de un sistema
de vectores
S. V. PROPIO
S. V. IMPROPIO