Espacios Y Subespacios Vectoriales

Te habla sobre las condiciones que debe cumplirse para que un conjunto de vectores sea espacio o subespacio vectorial

1. Espacios y subespacios vectoriales Realizado por : Jhimmy González

2. ESPACIOS VECTORIALES   Es un conjunto V no vacio cuyos elementos reciben el nombre de vectores conformado de dos operaciones:   La primera.- Una interna llamada suma que cumple las siguientes propiedades:   I . Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) II . Conmutativa: u + v = v + u III . Elemento neutro, Hay un elemento en V tal que u + 0 = u IV . Elemento opuesto, Cada elemento u tiene su elemento opuesto –u tal que u + (-u) = 0 , es decir (V, +) es un grupo conmutativo.   La segunda.- Una operación externa llamada producto de números reales por vectores que asocia a cada número real α y a cada vector u el vector αu y que verifica las siguientes propiedades:   I . Distributiva respecto a la suma de escalares : (α + β).u = αu + βu II . Distributiva respecto a la suma de vectores: α.(u + v) = αu +αv III . Asociativa para escalares: α.(βu)= (αβ)u. IV . Elemento neutro: 1.u = u A los números reales se les llama escalares. Por cumplir las propiedades mencionadas diremos que la terna (V, +, ・ ) “ es un espacio vectorial .”

3. SUBESPACIOS VECTORIALES Un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir varias características.   La definición es la siguiente. Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V . S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo ( +) y ( *) las mismas operaciones definidas en V . Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.   Condición de existencia del subespacio. El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V , es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K ) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S. Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicacion para los vectores. Para ello se definen 4 axiomas que garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si : 1. S no es un conjunto vacío. 2. S es igual o está incluido en V . 3. La suma es ley de composición interna. 4. El producto es ley de composición externa. Si estas condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio vectorial.