Espacios y Subespacios Vectoriales

Definición de espacio vectorial. Definición de subespacio vectorial y ejemplos útiles.

2. ESPACIOS YSUBESPACIOSVECTORIALES
Braian Moreno Cifuentes
Departamento de Matem´aticas, f´sica y Estad´stica
Universidad de La Sabana

3. CONTENIDO
1
INTRODUCCI´ON
Motivaci´on
Algo de Conjuntos
2
ESPACIOSVECTORIALES
3
SUBESPACIOSVECTORIALES

4. En esta presentaci´on se hace la denici´on de espacio vectorial, con propieda-
des y algunos ejemplos. Tambi´en, se dene subespacio vectorial con algunos
teoremas importantes.

5. IN T ROMOT I VAC I´O N
MOTIVACI´ON Es evidente hacer pensar al estudiante que el mundo de las matem´aticas
no es s´olo el mundo de los realesR
n
. Existen muchos m´as espacios que
se pueden trabajar de forma similar.
Se hace latente la necesidad de pensar diferente con el n de poder
pensar en aplicaciones sobre espacios diferentes.
As´, se llega al hecho que se puede hacer matem´atica en cualquier lado.

6. IN T ROAL G O D ECO N J U N TO S
Existen conjuntos.
ALGUNOSCONJUNTOSFINITOS f0g.
fx: 0x10;x2Ng.
fAmarillo, Azul, Rojog.
ALGUNOSCONJUNTOSINFINITOS R.
N´umero de estrellas.
N´umero de granos de arena.

7. IN T ROAL G O D ECO N J U N TO S
¿C´omo pensar en otros conjuntos para hacer una estructura similar a la de los
reales?

8. ES PAC I O SVE C TO R I A L E S
Se hace necesario dotar a un conjunto una serie de operaciones que cumplan
con ciertas caracter´sticas.
FIGURA:

9. ES PAC I O SVE C TO R I A L E S
Existen algunas estructuras algebraicas que son mas sencillas, pero hacen en-
tender que los espacios vectoriales son estructuras complejas. Algunas de estas
estructuras son:
Grupos: Un conjunto con una operaci´on.
Anillos: Un conjunto con dos operaciones.
Campos: Un conjunto con dos operaciones y conmutatividad con una de
ellas dos.

10. ES PAC I O SVE C TO R I A L E S
Para hacer un conjunto m´as robusto, se hace necesario agregar dos operaciones.
Una vez agregadas, se dene el espacio vectorial(V;+;).
DEFINICI´ON SeaVun conjunto (nito o innito), y sean+;dos operaciones binarias. La
operaci´on+recibe el nombre de suma y la operaci´onrecibe el nombre de
producto por escalar.

11. ES PAC I O SVE C TO R I A L E S
(V;+;)se dice espacio vectorial si cumple las siguientes propiedades:
OPERACI´ON SUMA+
1
Cerradura: Six2Vyv2V, entoncesx+y2V.
2
Conmutatividad: six,y2V, entoncesx+y=y+x.
3
Asociatividad: Para todox,yyzenV,(x+y) +z=x+ (y+z).
4
Elemento neutro: Existe02Vtal que8x2V,x+ 0 = 0 +x=x.
5
Inverso aditivo: Six2V, existex2Vtal quex+ (x) = 0.

12. ES PAC I O SVE C TO R I A L E S
OPERACI´ON PRODUCTO POR ESCALAR
1
Cerradura: Six2Vyes un escalar, entoncesx2V.
2
Ley distributiva (i): Sixyy2Vyes un escalar, entonces
(x+y) =x+y.
3
Ley distributiva (ii): Six2Vyyson escalares, entonces
(+)x=x+x.
4
Asociatividad: Six2Vyyson escalares, entonces(x) = ()x.
5
Elemento neutro: Para todox2V,1x=x.

13. ES PAC I O SVE C TO R I A L E S
Es importante tener en cuenta que en algunos libros (Kolman, Strang,
Gerber), solo aparecen4propiedades para la suma y4propiedades para
el producto por escalar, ya que dan por hecho la propiedad de la
cerradura bajo las dos operaciones.
Se puede observar que se conocen estas propiedades y que han sido
trabajadas en los reales durante todo el tiempo de estudio de
matem´aticas.
Se puede deducir entonces que es posible aplicar estas propiedades en
cualquier grupo bajo las operaciones establecidas.

14. ES PAC I O SVE C TO R I A L E S
Algunos espacios vectoriales son:
(R
n
;+;).
(Amn;+;).
(0;+;). (Conjunto unitario).
(Pn(x);+;).
(
d
dx
f(x)2C[0;1];+;).
(
R
1
0
f(x)dx2C[0;1];+;).
Esto se puede vericar con las propiedades nombradas anteriormente. Se deben
cumplir todas las condiciones con las operaciones establecidas en el conjunto.

15. ES PAC I O SVE C TO R I A L E S
Los siguientesnoson espacios vectoriales:
(N;+;).
(1;+;).
Rectas que no pasan por el origen.
El conjunto de las matrices invertibles.
El conjunto deja de ser espacio vectorial si no se cumple al menos una de las
condiciones dadas en la denici´on de espacio vectorial.

16. ES PAC I O SVE C TO R I A L E S
TEOREMA SeaVun espacio vectorial. Entonces:
0 = 0,2R.
0x= 0,x2V.
SiX= 0, entonces= 0ox= 0(o ambos).
(1)x=x,x2V.

17. ES PAC I O SVE C TO R I A L E S
Con lo anterior, se debe tener claridad en el signicado de un espacio vectorial.
Adem´as, tenga en cuenta que no siempre las operaciones que acompa˜nan al
conjunto ser´an las de suma y producto por escalar. Esa es, precisamente, la
ventaja que tiene el estudio de´estos con el n de poder hacer´algebra en objetos
diferentes al de los reales.

18. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
DEFINICI´ON Se dice queHes un subespacio vectorial deVsiHes un subconjunto no
vac´o deV, yHes un espacio vectorial, junto con las operaciones de suma
entre vectores y multiplicaci´on por un escalar denidas paraV.
Es decir,Hhereda las propiedades deV.

19. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
TEOREMA Un subconjunto no vac´oHde un espacio vectorialVes un subespacio deV
si se cumplen las dos propiedades de cerradura:
Six2Hyy2H, entoncesx+y2H.
Six2H, entoncesx2Hpara todo escalar.

20. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
Algunos subespacios vectoriales son:
Conjunto de rectas que pasan por el origen y sean subconjunto deR
n
.
Planos metidos en el espacio y que contengan a0.
Subconjunto en si mismo (subespacios propios).
Polinomios de orden5.
Matrices triangulares superiores.
Es importante tener en cuenta que el conjunto con las operaciones dadas son
subespacios vectoriales si cumplen las propiedades de cerradura.

21. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
Para tener en cuenta: Un conjunto siempre tiene un subconjunto propio; es
decir, si quiere mostrar que cierto conjunto es un espacio vectorial, basta con
mostrar las propiedades de cerradura, teniendo claro que´este est´a contenido en
si mismo.Aes subconjunto propio deBsi todo elemento deAest´a contenido
enB.

22. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
EJEMPLO
Considerar el conjuntoWde matrices23que tienen la forma dada por:
W=

a b0
0c d

Dondea,b,cydson n´umeros reales arbitrarios.Wes un subespacio vectorial
deMmnya que cumple las condiciones del teorema.

23. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
¿Qu´e subconjuntos deR
2
, con las operaciones usuales de suma y producto por
escalar?

24. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
EJEMPLO
Considerar el sistema homog´eneoAx= 0, dondeAmnyx2R
n
. SeaHel
subconjunto deR
n
formado por todas las soluciones de dicho sistema.Hes
un subespacio deR
n
ya que cumple con las dos propiedades del teorema.

25. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
EJEMPLO
Se supone quexyyson soluciones; es decirAx= 0yAy= 0.
Entonces:
A(x+y) =Ax+Ay= 0 + 0 = 0
y cumple con la condici´on.
Por otro lado, si se supone quees un escalar, entonces:
A(x) =(Ax) =0 = 0
As´,xtambi´en es soluci´on.
As´, se concluye queHes un subespacio deR
n
.

26. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
El subespacioHdel ejemplo anterior recibe el nombre de ´on
sistema homog´eneoAx= 0, o Amn.
PARA TENER EN CUENTA El conjunto de soluciones del sistema linealAx=b, dondeAmnyx2R
n
no es un subespacio deR
n
, sib6= 0. (Ejercicio propuesto).

27. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
TEOREMA SeanH1yH2dos subespacios de un espacio vectorialV. EntoncesH1\H2
es un subespacio deV.

28. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
EJEMPLO
Para ilustrar un ejemplo del teorema anterior, se considera enR
3
:
H1=f(x; y; z) : 2xyz= 0g
H2=f(x; y; z) :x+ 2y+ 3z= 0g
H1yH2son subespacios vectoriales deR
3
(¿por qu´e?).H1\H2es la
intersecci´on de los dos planos que se calcula:

1 2 3 j0
211j0

!

1 2 3 j0
057j0

!
!

1 0
1
5
j0
0 1
7
5
j0

29. SU B E S PAC I O SVE C TO R I A L E S
EJEMPLO
As´, las soluciones al sistema homog´eneo est´an dadas por


1
5
z;
7
5
z; z

Al considerarz=t, se obtienen las ecuaciones param´etricas de la recta
L2R
3
:
x=
1
5
t;
y=
7
5
t;
z=t:
Formando un subespacio enR
3
.