Espacios y vectores propios
eliecerherrera
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Resumen de vectores y valore propios. Álgebra Lineal.
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CAPÍTULO 3
Valores propios y vectores propios� Diagonalización
Este capítulo consta de cuatro secciones. Conel fin de dar una ideade lo que se hará en las dos primeras
secciones, se considerará un espacio vectorial<> U8[ y una transformación lineal<> T<> :<> U<> →<> U.8[ Ahora; si existe
una base ordenada<> �<> =<> {u
1�<> u2� . . . �<> un}8[ de<> U8[ tal que<> [T<> ]
��
es una matriz diagonal, es decir,
[T<> ]
��
=<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
n
3
7
7
7
5
�
entonces
T<> �u
i) =<> λiui;<> i<> = 1�<> 2� . . . � n �
esto es,<> T<> �u
i)8[ es un múltiplo escalarde<> u i. Este hecho da información inmediata acerca de la transformación
lineal<> T8[ . Por ejemplo, la imagen de<> T8[ es el espacio generado por los vectores<> u
ipara los cuales<> λ i�= 0�
y el núcleo de<> T8[ es el espacio generado por los restantes vectores<> u
i. En la sección 3.2 se responderán las
preguntas: ¿Para qué transformaciones lineales<> T8[ existe una tal base<> �<>?8[ y si existe, ¿Cómo en contrarla?.
Las respuestas a estaspreguntas están directamente ligadas a los conceptos de valor propioy vector propio,
los cuales serán abordados en la sección 3.1. Severá en esta sección, deque el cálculo de los valores propios y
los vectores propios deuna transformación lineal<> T8[ se reduce al cálculo delos valores propios y los vectores
propios de una cierta matriz<> A. Por otro lado, en las secciones 3.3 y 3.4 se consideraran los conceptosde valor
propio, vector propio ydiagonalización de matrices simétricas, los cuales son particularmente importantes
en la teoría y en aplicaciones del álgebra lineal.
3.1. Valores propios y vectores propios
Un problema que se presenta con frecuencia en el álgebra lineal y sus aplicaciones es el siguiente: Dado un
espacio vectorial<> U8[ y dada una transform ación lineal<> T<> :<> U<> →<> U8[ , encontrar valores de un escalar<> λ8[ para
los cuales existan vectores<> u<> �= 08[ tales que<> T<> �u<>) =<> λu. Tal problema se deno mina un problema devalores
propios (la figura 3.1 ilustra las posibles situaciones). En esta secciónse verá cómo resolver dicho problema.
3.1.<> Definición.8[ Sean<> U<> un espacio vectorial y<> T<> :<> U<> →<> U<> una transformación lin eal. Se dice que el escalar
λ<> es un valor propio de<> T<> , si existe un vector<> u<> �= 0<> de<> U<> tal que<> T<> �u<>) =<> λu.<> A dicho vector no nul o<> u<> se
le llama un vector propio de<> T<> correspondiente al valor propio<> λ<>, o se dice que es<> λ-vector<> de<> T<> .
Nota.<> Los valores propios sedenominan también eigenvalores o valores característicos y los vectores propios
se denominan tambiéneigenvectores.
3�
Valores propios y vectores propios� Diagonalización
Este capítulo consta de cuatro secciones. Conel fin de dar una ideade lo que se hará en las dos primeras
secciones, se considerará un espacio vectorial<> U8[ y una transformación lineal<> T<> :<> U<> →<> U.8[ Ahora; si existe
una base ordenada<> �<> =<> {u
1�<> u2� . . . �<> un}8[ de<> U8[ tal que<> [T<> ]
��
es una matriz diagonal, es decir,
[T<> ]
��
=<> D<> =
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λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
2· · ·<> 0
.
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0 0<> · · ·<> λ
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�
entonces
T<> �u
i) =<> λiui;<> i<> = 1�<> 2� . . . � n �
esto es,<> T<> �u
i)8[ es un múltiplo escalarde<> u i. Este hecho da información inmediata acerca de la transformación
lineal<> T8[ . Por ejemplo, la imagen de<> T8[ es el espacio generado por los vectores<> u
ipara los cuales<> λ i�= 0�
y el núcleo de<> T8[ es el espacio generado por los restantes vectores<> u
i. En la sección 3.2 se responderán las
preguntas: ¿Para qué transformaciones lineales<> T8[ existe una tal base<> �<>?8[ y si existe, ¿Cómo en contrarla?.
Las respuestas a estaspreguntas están directamente ligadas a los conceptos de valor propioy vector propio,
los cuales serán abordados en la sección 3.1. Severá en esta sección, deque el cálculo de los valores propios y
los vectores propios deuna transformación lineal<> T8[ se reduce al cálculo delos valores propios y los vectores
propios de una cierta matriz<> A. Por otro lado, en las secciones 3.3 y 3.4 se consideraran los conceptosde valor
propio, vector propio ydiagonalización de matrices simétricas, los cuales son particularmente importantes
en la teoría y en aplicaciones del álgebra lineal.
3.1. Valores propios y vectores propios
Un problema que se presenta con frecuencia en el álgebra lineal y sus aplicaciones es el siguiente: Dado un
espacio vectorial<> U8[ y dada una transform ación lineal<> T<> :<> U<> →<> U8[ , encontrar valores de un escalar<> λ8[ para
los cuales existan vectores<> u<> �= 08[ tales que<> T<> �u<>) =<> λu. Tal problema se deno mina un problema devalores
propios (la figura 3.1 ilustra las posibles situaciones). En esta secciónse verá cómo resolver dicho problema.
3.1.<> Definición.8[ Sean<> U<> un espacio vectorial y<> T<> :<> U<> →<> U<> una transformación lin eal. Se dice que el escalar
λ<> es un valor propio de<> T<> , si existe un vector<> u<> �= 0<> de<> U<> tal que<> T<> �u<>) =<> λu.<> A dicho vector no nul o<> u<> se
le llama un vector propio de<> T<> correspondiente al valor propio<> λ<>, o se dice que es<> λ-vector<> de<> T<> .
Nota.<> Los valores propios sedenominan también eigenvalores o valores característicos y los vectores propios
se denominan tambiéneigenvectores.
3�
3.1. Valores propios yvectores propios Diagonalización de matrices
u
0<λ<1
T(u)= 0
λ<0 λ=0λ>1
uT(u)= u
T(u)= u
T(u)= u
λ
λ
λ
u u
Figura 3�1�8[ Interpretación geomét rica de vector propio
3.2.<> Ejemplo.8[ Calcule los valores pr opios de la transformación lineal<> T<> :<> R
2
→<> R
2
, dada por<> T<> �<>x� y<>) =
�2x� x<> + 3y<>).
De acuerdo con la definición anterior; el escalar<> λ8[ es un vector propio<> T<> sii8[ existe un vector<> u<> = �x� y<>)<> �= 0
de<> R
2
tal que<> T<> [�<>x� y<>)] = �2x� x<> + 3y<>) =<> λ�<>x� y<>)�8[ lo que equivale a que exista un vector<> u<> = �<>x� y<>)<> �= 08[ de
R
2
que satisfaga el sistema
2x<> =<> λx
x<> + 3y<> =<> λy .
Ahora, si<> x<> �= 0, entonces se tiene que<> λ<> = 28[ y por lo tanto<> y<> =<> −x.8[ Esto quiere decir que todos los vectores
de la forma
u<> = �<>x� y<>) = �x�<> −x);<> x<> ∈<> R� x<> �= 0
son 2-vectores propiosde<> T.8[ En efecto:
T<> [�x�<> −x)] = �2x�<> −2x) = 2�x�<> −x)<> .
De otro lado, si<> x<> = 08[ y<> y<> �= 08[ entonces<> λ<> = 3.8[ Esto quiere decir que todos los vectores de laforma
u<> = �x� y<>) = �0� y<>);<> y<> ∈<> R� y<> �= 0
son 3-vectores propiosde<> T.8[ En efecto:
T<> [�0� y<>)] = �0�<> 3y<>) = 3�0� y<>)<> .<> �
La figura 3.2 ilustra elejemplo anterior.
En el ejemplo anteriorobservamos que a cada vector propio de<> T8[ le corresponde un nú mero infinito de
vectores propios (todoun subespacio de<> U<> ⊂<> R
2
�8[ sin el vector nulo). Esto es válido en general, tal como se
establece en la proposición siguiente.
3.3.<> Proposición.<> Sean<> U<> un espacio vectorial,<> T<> :<> U<> →<> U<> una transformación li neal y<> λ8[ un valor propio
de<> T8[ . El conjunto<> S<>�λ)8[ de todos los<> λ-8[vectores propios de<> T8[ junto con el vector<> �,8[ es un subespacio de<> U.
Demostración�8[ De acuerdo con la de finición de transformación lineal, así como de vector y valor
propio se tiene:
1. Si<> u
1∈<> S<>�λ)8[ y<> u 2∈<> S<>�λ)8[ entonces
T<> �u
1+<> u2) =<> T<> �u 1) +<> T<> �u 2) =<> λ�u 1+<> u2)<> .
Esto es,<> u
1+<> u2∈<> S<>�λ).
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u
0<λ<1
T(u)= 0
λ<0 λ=0λ>1
uT(u)= u
T(u)= u
T(u)= u
λ
λ
λ
u u
Figura 3�1�8[ Interpretación geomét rica de vector propio
3.2.<> Ejemplo.8[ Calcule los valores pr opios de la transformación lineal<> T<> :<> R
2
→<> R
2
, dada por<> T<> �<>x� y<>) =
�2x� x<> + 3y<>).
De acuerdo con la definición anterior; el escalar<> λ8[ es un vector propio<> T<> sii8[ existe un vector<> u<> = �x� y<>)<> �= 0
de<> R
2
tal que<> T<> [�<>x� y<>)] = �2x� x<> + 3y<>) =<> λ�<>x� y<>)�8[ lo que equivale a que exista un vector<> u<> = �<>x� y<>)<> �= 08[ de
R
2
que satisfaga el sistema
2x<> =<> λx
x<> + 3y<> =<> λy .
Ahora, si<> x<> �= 0, entonces se tiene que<> λ<> = 28[ y por lo tanto<> y<> =<> −x.8[ Esto quiere decir que todos los vectores
de la forma
u<> = �<>x� y<>) = �x�<> −x);<> x<> ∈<> R� x<> �= 0
son 2-vectores propiosde<> T.8[ En efecto:
T<> [�x�<> −x)] = �2x�<> −2x) = 2�x�<> −x)<> .
De otro lado, si<> x<> = 08[ y<> y<> �= 08[ entonces<> λ<> = 3.8[ Esto quiere decir que todos los vectores de laforma
u<> = �x� y<>) = �0� y<>);<> y<> ∈<> R� y<> �= 0
son 3-vectores propiosde<> T.8[ En efecto:
T<> [�0� y<>)] = �0�<> 3y<>) = 3�0� y<>)<> .<> �
La figura 3.2 ilustra elejemplo anterior.
En el ejemplo anteriorobservamos que a cada vector propio de<> T8[ le corresponde un nú mero infinito de
vectores propios (todoun subespacio de<> U<> ⊂<> R
2
�8[ sin el vector nulo). Esto es válido en general, tal como se
establece en la proposición siguiente.
3.3.<> Proposición.<> Sean<> U<> un espacio vectorial,<> T<> :<> U<> →<> U<> una transformación li neal y<> λ8[ un valor propio
de<> T8[ . El conjunto<> S<>�λ)8[ de todos los<> λ-8[vectores propios de<> T8[ junto con el vector<> �,8[ es un subespacio de<> U.
Demostración�8[ De acuerdo con la de finición de transformación lineal, así como de vector y valor
propio se tiene:
1. Si<> u
1∈<> S<>�λ)8[ y<> u 2∈<> S<>�λ)8[ entonces
T<> �u
1+<> u2) =<> T<> �u 1) +<> T<> �u 2) =<> λ�u 1+<> u2)<> .
Esto es,<> u
1+<> u2∈<> S<>�λ).
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Diagonalización de matrices 3.1. Valores propios yvectores propios
y
T(u ) =3 (0, y)
u = (x, −x)
T(u) =2 (x, −x)
x
,
,
u = (0, y)
Figura 3�2�8[ Vectores propios de<> T<> �<>x� y<>) = �2x� x<> + 3y<>)
2. Si<> u<> ∈<> S<>�λ)8[ y<> α<> ∈<> R8[ entonces
T<> �αu<>) =<> αT<> �u) =<> λ�α<> ·<> u)<> .
Esto es,<> αu<> ∈<> S<>�λ)8[.
De acuerdo con el teorema 1.15,<> S<>�λ)8[ es un subespacio vecto rial de<> U. �
3.4.<> Definición.8[ Sean<> U8[ un espacio vectorial,<> T<> :<> U<> →<> U8[ una transformación li neal y<> λ8[ un valor propio de
T8[ .
1.<> El subespacio de<> U� S<>�λ)<>�<> mencionado en el teor ema anterior, se denomina espacio propio asociado
al valor propio<> λ.
2. La dimensión de<> S<>�λ)8[ se denomina multiplic idad geométrica del<> valor propio<> λ.
3.5.<> Nota.<> Sean<> U<> un espacio vectorial,<> T<> :<> U<> →<> U<> una transformación l ineal,<> �<> una base ordenada
para<> U<> y<> A<> = [T<> ]
��
�<> la matriz de la transformación<> T<> referida a la base<> �<>. Entonces para cada<> u<> ∈<> U
se tiene<> [T<> �u)]
�
=<> A<> [u]
�
�ver teorema 1.42). Enparticular,<> u<> es un<> λ-<>vector propio de<> T<> si y sólo si
u<> �= 0<> y<> A<> [u]
�
= [<>T<> �u)]
�
= [<>λu]
�
=<> λ<> [u<>]
�
.<> Esto es,<> u<> es un<> λ-<>vector propio de<> T<> si y sólo si<> u<> �= 0
y<> A<> [u<>]
�
=<> λ<> [u<>]
�
.<> Por esta razón, y porque resulta en otros contextos, consideramos a continuación los
conceptos particularesde valor propio y vector propio de una matrizcuadrada<> A.
3.6.<> Definición.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada de orden<> n.
1.<> Se dice que el escalar<> λ<> es un valor propio de<> A,<> si existe un vector<> n<> ×<> 1,<> x<> �= 0<> tal que<> Ax<> =<> λx<>.
2.<> Si<> λ<> es un valor propio de<> A<> y si el vector<> n<> ×<> 1,<> x<> �= 0<> es tal que<> Ax<> =<> λx<>.<> Entonces se dice que
x<> es un vector propio de<> A<> correspondiente al val or propio<> λ, o que<> x<> es un<> λ-vector<> de<> A.
En el caso especial dela transformación lineal;<> A<> :<> R
n
→<> R
n
;<> x<> →<> y<> =<> Ax<>�8[ esta la definición ant erior
concuerda con la definición 3.1 (véase la sección 1.3). De otro lado,según la definición anterior y la nota
3.5, se puede entoncesenunciar el siguiente teorema.
3.7.<> Teorema.<> Sean<> U<> un espacio vectorial,<> T<> :<> U<> →<> U<> una transformación li neal,<> B<> una base ordenada
para<> U<> y<> A<> = [<>T<> ]
��
.
1.<> λ<> es un valor propio de<> T<> sii<> λ<> es un valor propio de<> A.
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y
T(u ) =3 (0, y)
u = (x, −x)
T(u) =2 (x, −x)
x
,
,
u = (0, y)
Figura 3�2�8[ Vectores propios de<> T<> �<>x� y<>) = �2x� x<> + 3y<>)
2. Si<> u<> ∈<> S<>�λ)8[ y<> α<> ∈<> R8[ entonces
T<> �αu<>) =<> αT<> �u) =<> λ�α<> ·<> u)<> .
Esto es,<> αu<> ∈<> S<>�λ)8[.
De acuerdo con el teorema 1.15,<> S<>�λ)8[ es un subespacio vecto rial de<> U. �
3.4.<> Definición.8[ Sean<> U8[ un espacio vectorial,<> T<> :<> U<> →<> U8[ una transformación li neal y<> λ8[ un valor propio de
T8[ .
1.<> El subespacio de<> U� S<>�λ)<>�<> mencionado en el teor ema anterior, se denomina espacio propio asociado
al valor propio<> λ.
2. La dimensión de<> S<>�λ)8[ se denomina multiplic idad geométrica del<> valor propio<> λ.
3.5.<> Nota.<> Sean<> U<> un espacio vectorial,<> T<> :<> U<> →<> U<> una transformación l ineal,<> �<> una base ordenada
para<> U<> y<> A<> = [T<> ]
��
�<> la matriz de la transformación<> T<> referida a la base<> �<>. Entonces para cada<> u<> ∈<> U
se tiene<> [T<> �u)]
�
=<> A<> [u]
�
�ver teorema 1.42). Enparticular,<> u<> es un<> λ-<>vector propio de<> T<> si y sólo si
u<> �= 0<> y<> A<> [u]
�
= [<>T<> �u)]
�
= [<>λu]
�
=<> λ<> [u<>]
�
.<> Esto es,<> u<> es un<> λ-<>vector propio de<> T<> si y sólo si<> u<> �= 0
y<> A<> [u<>]
�
=<> λ<> [u<>]
�
.<> Por esta razón, y porque resulta en otros contextos, consideramos a continuación los
conceptos particularesde valor propio y vector propio de una matrizcuadrada<> A.
3.6.<> Definición.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada de orden<> n.
1.<> Se dice que el escalar<> λ<> es un valor propio de<> A,<> si existe un vector<> n<> ×<> 1,<> x<> �= 0<> tal que<> Ax<> =<> λx<>.
2.<> Si<> λ<> es un valor propio de<> A<> y si el vector<> n<> ×<> 1,<> x<> �= 0<> es tal que<> Ax<> =<> λx<>.<> Entonces se dice que
x<> es un vector propio de<> A<> correspondiente al val or propio<> λ, o que<> x<> es un<> λ-vector<> de<> A.
En el caso especial dela transformación lineal;<> A<> :<> R
n
→<> R
n
;<> x<> →<> y<> =<> Ax<>�8[ esta la definición ant erior
concuerda con la definición 3.1 (véase la sección 1.3). De otro lado,según la definición anterior y la nota
3.5, se puede entoncesenunciar el siguiente teorema.
3.7.<> Teorema.<> Sean<> U<> un espacio vectorial,<> T<> :<> U<> →<> U<> una transformación li neal,<> B<> una base ordenada
para<> U<> y<> A<> = [<>T<> ]
��
.
1.<> λ<> es un valor propio de<> T<> sii<> λ<> es un valor propio de<> A.
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3.1. Valores propios yvectores propios Diagonalización de matrices
2.<> u<> ∈<> U<> es un<> λ-vector propio de<> T<> sii<> x<> = [u<>]
BB
es un<> λ-vector propio de<> A.
Dicho teorema garatiza entonces, que el cálculo de los valores y vectores propios de unatransformación
lineal se reduce al cálculo de los valores y vectores propios de una cierta matriz<> A.8[ En lo que sigue, se ver á
cómo calcular los valores y vectores propios de una matriz.
Sea<> A8[ una matriz<> n<> ×<> n. Por definición, el esca lar<> λ8[ es un valor propio de<> A<> sii8[ existe un vector<> n<> ×<> 1�<> x<> �= 0
tal que<> Ax<> =<> λx�8[ lo cual equivale a que el sistema homogéneode ecuaciones lineales<> �A<> −<> λI<>)x<> = 08[ tenga
una solución no trivial<> x<> �= 08[. Ahora por el teorema 1.56 del capítulo 1, elsistema de ecuacioneslineales
�A<> −<> λI<>)x<> = 08[ tiene una solución<> x<> �= 0<> sii<> |A<> −<> λI<>|<> = 0. En consecuencia, el e scalar<> λ8[ es un valor propio
de<> A<> sii
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
a
11−<> λ a12 a13 · · ·<> a 1n
a21 a22−<> λ a23 · · ·<> a 2n
a31 a32 a33−<> λ<> · · ·<> a 3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1 an2 an3 · · ·<> a nn−<> λ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
= 0
La expresión<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|8[ es un polinomio en<> λ8[ de grado<> n8[ (ejercicio 15), el cual se puede escribir en
la forma:
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =<> a 0+<> a1λ<> +<> a2λ
2
+<> · · ·<> +<> a n−1λ
n−1
+ �−<>1)
n
λ
n
.
En el caso particular de matrices<> 3<> ×<> 38[ se tiene además (ejer cicio 16), de que el polinomio característico
está dado por
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =<> −λ
3
+ Tr�A)<>λ
2
−<> �m 11+<> m22+<> m33)λ<> + det�A)�
siendo<> m
ii, (i<> = 1�<> 2�<> 3) los menores principal es de la matriz<> A8[ (definición<> ??).
3.8.<> Definición.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada
1.<> El polinomio característico de<> A<> está dado por<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|.
2.<> La ecuación característica de<> A<> está dada por<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 0.
El siguiente teorema resume buena parte de ladiscusión anterior.
3.9.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada de orden<> n
1.<> El escalar<> λ<> es un valor propio de<> A<> sii<> λ<> es una solución (real)
�
de la ecuación característica de
A.
2.<> A<> tiene a lo más<> n<> valores propios (reales )
2
.[?]
3.10.<> Definición.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada y<> λ<> un valor propio de<> A. La multiplicidad alge braica de<> λ
es<> k�<> si<> λ<> es una raíz del polinomio característico de<> A<> de multiplicidad<> k.
El siguiente algoritmo,recoge entonces un esquema para calcular losvalores propios y los vectores propios
de una matriz<> A.
Paso 1 Se determina el polinomio característico<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> .
Paso 2 Se resuelvela ecuación característica<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 08[. Las soluciones (reales ) de ésta, son
los valores propios de<> A.
�
Aunque uno puede estudiar espacios vectoriales donde los escalares son números complejos, en estas notas sólo consid-
eramos los valores propios de<> �<> como escalares reale s, salvo que se exprese lo contrario. No sobra mencionar, queen cursos
avanzados de espacios vectoriales, la única restricción paralos escalares es quesean elementos de un sistema matemático
llamado cuerpo o campo.
2
El teorema fundamental del álgebra establece que toda ecuación polinómica de grado<> n<>, con coeficientes complejos,
tiene exactamente<> n<> raí ces complejas, c ontadas con sus multiplicidades.
34
2.<> u<> ∈<> U<> es un<> λ-vector propio de<> T<> sii<> x<> = [u<>]
BB
es un<> λ-vector propio de<> A.
Dicho teorema garatiza entonces, que el cálculo de los valores y vectores propios de unatransformación
lineal se reduce al cálculo de los valores y vectores propios de una cierta matriz<> A.8[ En lo que sigue, se ver á
cómo calcular los valores y vectores propios de una matriz.
Sea<> A8[ una matriz<> n<> ×<> n. Por definición, el esca lar<> λ8[ es un valor propio de<> A<> sii8[ existe un vector<> n<> ×<> 1�<> x<> �= 0
tal que<> Ax<> =<> λx�8[ lo cual equivale a que el sistema homogéneode ecuaciones lineales<> �A<> −<> λI<>)x<> = 08[ tenga
una solución no trivial<> x<> �= 08[. Ahora por el teorema 1.56 del capítulo 1, elsistema de ecuacioneslineales
�A<> −<> λI<>)x<> = 08[ tiene una solución<> x<> �= 0<> sii<> |A<> −<> λI<>|<> = 0. En consecuencia, el e scalar<> λ8[ es un valor propio
de<> A<> sii
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =
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a
11−<> λ a12 a13 · · ·<> a 1n
a21 a22−<> λ a23 · · ·<> a 2n
a31 a32 a33−<> λ<> · · ·<> a 3n
.
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n1 an2 an3 · · ·<> a nn−<> λ
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= 0
La expresión<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|8[ es un polinomio en<> λ8[ de grado<> n8[ (ejercicio 15), el cual se puede escribir en
la forma:
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =<> a 0+<> a1λ<> +<> a2λ
2
+<> · · ·<> +<> a n−1λ
n−1
+ �−<>1)
n
λ
n
.
En el caso particular de matrices<> 3<> ×<> 38[ se tiene además (ejer cicio 16), de que el polinomio característico
está dado por
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =<> −λ
3
+ Tr�A)<>λ
2
−<> �m 11+<> m22+<> m33)λ<> + det�A)�
siendo<> m
ii, (i<> = 1�<> 2�<> 3) los menores principal es de la matriz<> A8[ (definición<> ??).
3.8.<> Definición.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada
1.<> El polinomio característico de<> A<> está dado por<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|.
2.<> La ecuación característica de<> A<> está dada por<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 0.
El siguiente teorema resume buena parte de ladiscusión anterior.
3.9.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada de orden<> n
1.<> El escalar<> λ<> es un valor propio de<> A<> sii<> λ<> es una solución (real)
�
de la ecuación característica de
A.
2.<> A<> tiene a lo más<> n<> valores propios (reales )
2
.[?]
3.10.<> Definición.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada y<> λ<> un valor propio de<> A. La multiplicidad alge braica de<> λ
es<> k�<> si<> λ<> es una raíz del polinomio característico de<> A<> de multiplicidad<> k.
El siguiente algoritmo,recoge entonces un esquema para calcular losvalores propios y los vectores propios
de una matriz<> A.
Paso 1 Se determina el polinomio característico<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> .
Paso 2 Se resuelvela ecuación característica<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 08[. Las soluciones (reales ) de ésta, son
los valores propios de<> A.
�
Aunque uno puede estudiar espacios vectoriales donde los escalares son números complejos, en estas notas sólo consid-
eramos los valores propios de<> �<> como escalares reale s, salvo que se exprese lo contrario. No sobra mencionar, queen cursos
avanzados de espacios vectoriales, la única restricción paralos escalares es quesean elementos de un sistema matemático
llamado cuerpo o campo.
2
El teorema fundamental del álgebra establece que toda ecuación polinómica de grado<> n<>, con coeficientes complejos,
tiene exactamente<> n<> raí ces complejas, c ontadas con sus multiplicidades.
34
Diagonalización de matrices 3.1. Valores propios yvectores propios
Paso 3 Para cada valor propio<> λ
∗
de la matriz<> A, se resuelve el sistema de ecuaciones<> �A<> −<> λ
∗
I<>)x<> = 0.
Las soluciones no nulas de este sistema son los<> λ
∗
−vectores propios de<> A.
3.11.<> Ejemplo.8[ Determine los valores propios y vectores propios de la matriz
A<> =
2
4
1 1<> −1
−1 3<> −1
−1 2 0
3
5.
Se determina inicialmente, el polinomio característico de<> A� p
A�λ<>) =<> |<>A<> −<> λI<>|<> .8[ Para ello se desarrolla el
determinante<> |A<> −<> λI<>|8[ por cofactores por la p rimera fila (véase el teorema 1.3)
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1<> −<> λ<> 1<> −1
−1 3<> −<> λ<> −1
−1 2<> −λ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
= �1<> −<> λ)
˛
˛
˛
˛
3<> −<> λ<> −1
2<> −λ
˛
˛
˛
˛
−<> 1
˛
˛
˛
˛
−1<> −1
−1<> −λ
˛
˛
˛
˛
−<> 1
˛
˛
˛
˛
−1 3<> −<> λ
−1 2
˛
˛
˛
˛
= �1<> −<> λ)�λ
2
−<> 3λ<> + 2)<> −<> �1<> −<> λ)<> −<> �−λ<> + 1)
= �1<> −<> λ)�λ
2
−<> 3λ<> + 2) =<> −�1<> −<> λ)
2
�λ<> −<> 2).
De aquí se tiene, que<> λ<> = 18[ ó<> λ<> = 28[ son las soluciones de la ecuación característica<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 0.<> λ<> =
18[ y<> λ<> = 28[ so pues los valores propios de<> A�8[ con multiplicidades al gebraicas<> k<> = 28[ y<> k<> = 18[ respectivamente.
Ahora se calculan losvectores propios de<> A.8[ Los<> 1−vectores propios de<> A8[ son las soluciones no nulas del
sistema de ecuacioneslineales<> �A<> −<> 1<> ·<> I<>)x<> = 0.8[ Dicho sistema se resue lve usando el método de eliminación
de Gauss-Jordan (véase el teorema 1.55 ).
A<> −<> 1<> ·<> I<> =
2
4
0 1<> −1
−1 2<> −1
−1 2<> −1
3
5≈
2
4
1 0<> −1
0 1<> −1
0 0 0
3
5=<> R
Donde<> R8[ es la forma escalonada reducida de la matriz<> A<> −<> 1<> ·<> I8[ (Teorema 1.8).
Las soluciones del sistema<> �A<> −<> 1<> ·<> I<>)x<> = 08[ son, por lo tanto, los vectores de la forma:
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
x
3
x3
x3
3
5=<> x
3
2
4
1
1
1
3
5� x
3∈<> R.
En consecuencia,
U
λ�=<> U1=
8
<
:
2
4
1
1
1
3
5
9
=
;
es una base para<> S<>�λ
1) =<> S<>�1)8[ y la multiplicidad geométrica del valor propio<> λ 1= 18[ es<> 1.
De otro lado, los<> 2−vectores propios de<> A8[ son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones lineales
�A<> −<> 2<> ·<> I<>)x<> = 0.8[ Procediendo como en el cálculo anterior, se tiene:
A<> −<> 2<> ·<> I<> =
2
4
−1 1<> −1
−1 1<> −1
−1 2<> −2
3
5≈
2
4
1 0 0
0 1<> −1
0 0 0
3
5=<> R
Donde<> R8[ es la forma escalonada reducida de la matriz<> A<> −<> 2<> ·<> I8[. Las soluciones del sis tema<> �A<> −<> 2<> ·<> I<>)x<> = 0
35
Paso 3 Para cada valor propio<> λ
∗
de la matriz<> A, se resuelve el sistema de ecuaciones<> �A<> −<> λ
∗
I<>)x<> = 0.
Las soluciones no nulas de este sistema son los<> λ
∗
−vectores propios de<> A.
3.11.<> Ejemplo.8[ Determine los valores propios y vectores propios de la matriz
A<> =
2
4
1 1<> −1
−1 3<> −1
−1 2 0
3
5.
Se determina inicialmente, el polinomio característico de<> A� p
A�λ<>) =<> |<>A<> −<> λI<>|<> .8[ Para ello se desarrolla el
determinante<> |A<> −<> λI<>|8[ por cofactores por la p rimera fila (véase el teorema 1.3)
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
1<> −<> λ<> 1<> −1
−1 3<> −<> λ<> −1
−1 2<> −λ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
= �1<> −<> λ)
˛
˛
˛
˛
3<> −<> λ<> −1
2<> −λ
˛
˛
˛
˛
−<> 1
˛
˛
˛
˛
−1<> −1
−1<> −λ
˛
˛
˛
˛
−<> 1
˛
˛
˛
˛
−1 3<> −<> λ
−1 2
˛
˛
˛
˛
= �1<> −<> λ)�λ
2
−<> 3λ<> + 2)<> −<> �1<> −<> λ)<> −<> �−λ<> + 1)
= �1<> −<> λ)�λ
2
−<> 3λ<> + 2) =<> −�1<> −<> λ)
2
�λ<> −<> 2).
De aquí se tiene, que<> λ<> = 18[ ó<> λ<> = 28[ son las soluciones de la ecuación característica<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 0.<> λ<> =
18[ y<> λ<> = 28[ so pues los valores propios de<> A�8[ con multiplicidades al gebraicas<> k<> = 28[ y<> k<> = 18[ respectivamente.
Ahora se calculan losvectores propios de<> A.8[ Los<> 1−vectores propios de<> A8[ son las soluciones no nulas del
sistema de ecuacioneslineales<> �A<> −<> 1<> ·<> I<>)x<> = 0.8[ Dicho sistema se resue lve usando el método de eliminación
de Gauss-Jordan (véase el teorema 1.55 ).
A<> −<> 1<> ·<> I<> =
2
4
0 1<> −1
−1 2<> −1
−1 2<> −1
3
5≈
2
4
1 0<> −1
0 1<> −1
0 0 0
3
5=<> R
Donde<> R8[ es la forma escalonada reducida de la matriz<> A<> −<> 1<> ·<> I8[ (Teorema 1.8).
Las soluciones del sistema<> �A<> −<> 1<> ·<> I<>)x<> = 08[ son, por lo tanto, los vectores de la forma:
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
x
3
x3
x3
3
5=<> x
3
2
4
1
1
1
3
5� x
3∈<> R.
En consecuencia,
U
λ�=<> U1=
8
<
:
2
4
1
1
1
3
5
9
=
;
es una base para<> S<>�λ
1) =<> S<>�1)8[ y la multiplicidad geométrica del valor propio<> λ 1= 18[ es<> 1.
De otro lado, los<> 2−vectores propios de<> A8[ son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones lineales
�A<> −<> 2<> ·<> I<>)x<> = 0.8[ Procediendo como en el cálculo anterior, se tiene:
A<> −<> 2<> ·<> I<> =
2
4
−1 1<> −1
−1 1<> −1
−1 2<> −2
3
5≈
2
4
1 0 0
0 1<> −1
0 0 0
3
5=<> R
Donde<> R8[ es la forma escalonada reducida de la matriz<> A<> −<> 2<> ·<> I8[. Las soluciones del sis tema<> �A<> −<> 2<> ·<> I<>)x<> = 0
35
3.1. Valores propios yvectores propios Diagonalización de matrices
son los vectores de la forma:
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
0
x
3
x3
3
5=<> x
3
2
4
0
1
1
3
5� x
3∈<> R.
En consecuencia,
U
λ2=<> U2=
8
<
:
2
4
0
1
1
3
5
9
=
;
es una base para<> S<>�λ
2) =<> S<>�2)8[ y la multiplicidad geométrica del valor propio<> λ 2= 28[ es<> 1.
En el ejemplo anterior,la multiplicidad geométrica del valor propio<> λ
1= 18[ es menor que su correspondiente
multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica del valor propio<> λ
2= 28[ es igual que su correspondiente
multiplicidad algebraica (ver el ejercicio 3.3 de la sección de ejercicios 3.3).
3.12.<> Ejemplo.8[ Calcule los valores y vectores propios de lamatriz
A<> =
»
0 1
−1 0
–
.
Para ello se encuentrael polinomio característico de<> A� p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> .
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =
˛
˛
˛
˛
−λ<> 1
−1<> −λ
˛
˛
˛
˛
=<> λ
2
+ 1<> �
y se resuelve la ecuación característica de<> A� p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 0
p
A�λ<>) =<> λ
2
+ 1 = �λ<> +<> i)�<>λ<> −<> i)<> sii λ<> =<> i8[ ó<> λ<> =<> −i.
Puesto que las soluciones de la ecuación característica de<> A8[ no son reales, entonc es<> A8[ no tiene valores
propios y por lo tantono tiene vectores propios, en el sentido considerado en este texto.
3.13.<> Ejemplo.8[ Sea<> T<> :<> P
2→<> P2la transformación lineal definida por:
T
ˆ
a<> +<> bx<> +<> cx
2
˜
= �a<> +<> b<> −<> c) + �−a<> + 3b<> −<> c)x<> + �−a<> + 2b<>)x
2
Determine los valores ylos vectores propios dela transformación.
Sea<> �<> =
˘
1� x� x
2
¯
la base canónica de<> P
2, se tiene entonces que:
[T<> ]
��
=<> A<> =
2
4
1 1<> −1
−1 3<> −1
−1 2 0
3
5.
De acuerdo con el teorema 3.7(1); los valorespropios de la transformación lineal<> T8[ son los valores propio s
de la matriz<> A�8[ los cuales son, según e l ejemplo 3.11<> λ
1= 18[ y<> λ 2= 2.
De otro lado, del ejemplo 3.11 se sabe que<> U
λ�=<> {x 1}8[ es una base de<> S<>�λ 1)8[ y que<> U λ2=<> {x 2}8[ es
una base de<> S<>�λ
2), donde
x
1=
2
4
1
1
1
3
5 y<> x 2=
2
4
0
1
1
3
5.
Como se estableció enel teorema 3.7(2), estos son respectivamente,los vectores de coordenadas respecto a
la base<> �8[ (véase apartado 1.2.2) de los vectores de<> P
2;
u
1= 1 +<> x<> +<> x
2
y<> u2=<> x<> +<> x
2
.
36
son los vectores de la forma:
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
0
x
3
x3
3
5=<> x
3
2
4
0
1
1
3
5� x
3∈<> R.
En consecuencia,
U
λ2=<> U2=
8
<
:
2
4
0
1
1
3
5
9
=
;
es una base para<> S<>�λ
2) =<> S<>�2)8[ y la multiplicidad geométrica del valor propio<> λ 2= 28[ es<> 1.
En el ejemplo anterior,la multiplicidad geométrica del valor propio<> λ
1= 18[ es menor que su correspondiente
multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica del valor propio<> λ
2= 28[ es igual que su correspondiente
multiplicidad algebraica (ver el ejercicio 3.3 de la sección de ejercicios 3.3).
3.12.<> Ejemplo.8[ Calcule los valores y vectores propios de lamatriz
A<> =
»
0 1
−1 0
–
.
Para ello se encuentrael polinomio característico de<> A� p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> .
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =
˛
˛
˛
˛
−λ<> 1
−1<> −λ
˛
˛
˛
˛
=<> λ
2
+ 1<> �
y se resuelve la ecuación característica de<> A� p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 0
p
A�λ<>) =<> λ
2
+ 1 = �λ<> +<> i)�<>λ<> −<> i)<> sii λ<> =<> i8[ ó<> λ<> =<> −i.
Puesto que las soluciones de la ecuación característica de<> A8[ no son reales, entonc es<> A8[ no tiene valores
propios y por lo tantono tiene vectores propios, en el sentido considerado en este texto.
3.13.<> Ejemplo.8[ Sea<> T<> :<> P
2→<> P2la transformación lineal definida por:
T
ˆ
a<> +<> bx<> +<> cx
2
˜
= �a<> +<> b<> −<> c) + �−a<> + 3b<> −<> c)x<> + �−a<> + 2b<>)x
2
Determine los valores ylos vectores propios dela transformación.
Sea<> �<> =
˘
1� x� x
2
¯
la base canónica de<> P
2, se tiene entonces que:
[T<> ]
��
=<> A<> =
2
4
1 1<> −1
−1 3<> −1
−1 2 0
3
5.
De acuerdo con el teorema 3.7(1); los valorespropios de la transformación lineal<> T8[ son los valores propio s
de la matriz<> A�8[ los cuales son, según e l ejemplo 3.11<> λ
1= 18[ y<> λ 2= 2.
De otro lado, del ejemplo 3.11 se sabe que<> U
λ�=<> {x 1}8[ es una base de<> S<>�λ 1)8[ y que<> U λ2=<> {x 2}8[ es
una base de<> S<>�λ
2), donde
x
1=
2
4
1
1
1
3
5 y<> x 2=
2
4
0
1
1
3
5.
Como se estableció enel teorema 3.7(2), estos son respectivamente,los vectores de coordenadas respecto a
la base<> �8[ (véase apartado 1.2.2) de los vectores de<> P
2;
u
1= 1 +<> x<> +<> x
2
y<> u2=<> x<> +<> x
2
.
36
Diagonalización de matrices 3.1. Valores propios yvectores propios
En consecuencia;<> U
�
λ�
=<> {u 1}<> =
˘
1 +<> x<> +<> x
2
¯
es una base del espaciode vectores propios de<> T8[ correspon-
dientes al valor propio<> λ
1= 18[ y<> U
�
λ2
=<> {u 2}<> =
˘
x<> +<> x
2
¯
es una base del espaciode vectores propios de<> T
correspondientes al valor propio<> λ
2= 2.
Terminamos esta sección con dos resultados que involucran matrices semejantes. El primero deellos relaciona
los polimomios característicos de matrices semenjantes y el segundo relaciona los vectores propios de dichas
matrices.
3.14.<> Teorema.<> Si<> A<> y<> B<> son matrices semejan tes, entonces los polinomios caracterí sticos de<> A<> y<> B<> son
iguales, y por consiguiente, las matrices<> A<> y<> B<> tienen los mismos val ores propios.
Demostración�8[ Si<> A8[ y<> B8[ son matrices semejan tes, entonces existe una matriz invertible<> P8[ tal que
B<> =<> P
−1
AP.8[ De aquí:
p
B�λ<>) =<> |B<> −<> λI<>|
=
˛
˛P
−1
AP<> −<> λP
−1
P
˛
˛
=
˛
˛
P
−1
�A<> −<> λI<>)P
˛
˛
=<> |P
−1
| |A<> −<> λI<>| |P<> |
=<> |P
−1
| |P<> | |A<> −<> λI<>|
=<> |A<> −<> λI<>|
=<> p
A�λ)<>.
�
3.15.<> Nota.8[ El converso del teorem a anterior no es cierto;o sea, si<> A8[ y<> B8[ son matrices con el m ismo poli-
nomio característico, no necesariamente<> A8[ y<> B8[ son matrices semejant es. Para mostrar esto, basta considerar
el siguiente ejemplo.
3.16.<> Ejemplo.8[ Las matrices
A<> =
»
1 0
0 1
–
y<> B<> =
»
1 0
3 1
–
tienen el mismo polinomio característico; explí citamente se tieneque<> p
A�λ<>) =<> p B�λ<>) = �λ<> −<> 1)
2
.8[ Sin
embargo,<> A8[ y<> B8[ no son matrices seme jantes, pues para cualquier matriz invertible<> P8[ de orden<> 28[ se tiene
que:
P
−1
AP<> =<> P
−1
IP<> =<> P
−1
P<> =<> I<> �=<> B.
3.17.<> Proposición.<> Si<> A<> y<> B<> =<> P
−1
AP<> son matrices semejantes, entonces<> x<> es un<> λ−vector propio de<> A
sii<> P
−1
x<> es un<> λ−vector propio de<> B<>.
Demostración�8[ Por definición se tien e
Ax<> =<> λx<> ⇐⇒<> AI<>x<> =<> λx
⇐⇒<> AP P
−1
x<> =<> λx
⇐⇒<> P
−1
AP P
−1
x<> =<> λP
−1
x
Tomando<> B<> =<> P
−1
AP8[ se tiene entonces que:<> x<> �=<> �8[ es un<> λ8[-vector propio de<> A8[ si y sólo si<> P
−1
x<> �=<> �8[ es un
λ8[-vector propio de<> B<> =<> P
−1
AP. �
37
En consecuencia;<> U
�
λ�
=<> {u 1}<> =
˘
1 +<> x<> +<> x
2
¯
es una base del espaciode vectores propios de<> T8[ correspon-
dientes al valor propio<> λ
1= 18[ y<> U
�
λ2
=<> {u 2}<> =
˘
x<> +<> x
2
¯
es una base del espaciode vectores propios de<> T
correspondientes al valor propio<> λ
2= 2.
Terminamos esta sección con dos resultados que involucran matrices semejantes. El primero deellos relaciona
los polimomios característicos de matrices semenjantes y el segundo relaciona los vectores propios de dichas
matrices.
3.14.<> Teorema.<> Si<> A<> y<> B<> son matrices semejan tes, entonces los polinomios caracterí sticos de<> A<> y<> B<> son
iguales, y por consiguiente, las matrices<> A<> y<> B<> tienen los mismos val ores propios.
Demostración�8[ Si<> A8[ y<> B8[ son matrices semejan tes, entonces existe una matriz invertible<> P8[ tal que
B<> =<> P
−1
AP.8[ De aquí:
p
B�λ<>) =<> |B<> −<> λI<>|
=
˛
˛P
−1
AP<> −<> λP
−1
P
˛
˛
=
˛
˛
P
−1
�A<> −<> λI<>)P
˛
˛
=<> |P
−1
| |A<> −<> λI<>| |P<> |
=<> |P
−1
| |P<> | |A<> −<> λI<>|
=<> |A<> −<> λI<>|
=<> p
A�λ)<>.
�
3.15.<> Nota.8[ El converso del teorem a anterior no es cierto;o sea, si<> A8[ y<> B8[ son matrices con el m ismo poli-
nomio característico, no necesariamente<> A8[ y<> B8[ son matrices semejant es. Para mostrar esto, basta considerar
el siguiente ejemplo.
3.16.<> Ejemplo.8[ Las matrices
A<> =
»
1 0
0 1
–
y<> B<> =
»
1 0
3 1
–
tienen el mismo polinomio característico; explí citamente se tieneque<> p
A�λ<>) =<> p B�λ<>) = �λ<> −<> 1)
2
.8[ Sin
embargo,<> A8[ y<> B8[ no son matrices seme jantes, pues para cualquier matriz invertible<> P8[ de orden<> 28[ se tiene
que:
P
−1
AP<> =<> P
−1
IP<> =<> P
−1
P<> =<> I<> �=<> B.
3.17.<> Proposición.<> Si<> A<> y<> B<> =<> P
−1
AP<> son matrices semejantes, entonces<> x<> es un<> λ−vector propio de<> A
sii<> P
−1
x<> es un<> λ−vector propio de<> B<>.
Demostración�8[ Por definición se tien e
Ax<> =<> λx<> ⇐⇒<> AI<>x<> =<> λx
⇐⇒<> AP P
−1
x<> =<> λx
⇐⇒<> P
−1
AP P
−1
x<> =<> λP
−1
x
Tomando<> B<> =<> P
−1
AP8[ se tiene entonces que:<> x<> �=<> �8[ es un<> λ8[-vector propio de<> A8[ si y sólo si<> P
−1
x<> �=<> �8[ es un
λ8[-vector propio de<> B<> =<> P
−1
AP. �
37
3.1. Valores propios yvectores propios Diagonalización de matrices
3�1 Ejercicios
En los ejercicios 1 al 1, responda verdadero ofalso, justificando su respuesta:
1. El Polinomio<> p�λ<>) = 3+2λ<>−<>λ
2
+4λ
3
puede ser el polinomiocaracterístico de una matriz<> A<> ∈<> � 3×3.
2. Si<> p�λ<>) =<> −λ
3
+ 4λ
2
−<> 5λ<> + 28[ es el polinomio carac terístico de una matriz<> A<> ∈<> � 3×3, entonces
|A|<> = 2.
3.<> x<> =
2
4
1
1
0
3
5es un vector propio de<> M<> =
2
4
−3 1<> −1
−7 5<> −1
−6 6<> −2
3
5
4.<> λ<> = 18[ es un valor propio dela matriz<> M8[ anterior.
5. Sea<> A8[ una matriz cuadrada d e orden<> n.8[ Si<> C8[ es una matriz cuadrad a de orden<> n8[ invertible, entonces
las matrices<> A� C
−1
AC8[ y<> CAC
−1
�8[ tienen el mismo polinomio característico.
6. Si la matriz<> A8[ satisface la igualdad:<> A
2
= 3A<> −<> 2I�8[ entonces los posibles v alores propios de<> A8[ son
λ
1= 1,<> λ2= 2.
En los ejercicios 7 al 15 demuestre la afirmación correspondiente.
7. Si<> λ8[ es un valor propio de<> A, entonces<> λ
n
es un valor propio de<> A
n
� n<> = 1�<> 2�<> 3� . . ..
8. Si<> x8[ es un vector propio de<> A, entonces<> x8[ es un vector propio de<> A
n
� n<> = 1�<> 2�<> 3� . . ..
9.<> λ<> = 08[ es un valor propio deuna matriz<> A<> sii<> |A|<> = 0.
10. Si<> A8[ es una matriz invertible y<> λ8[ es un valor propio de<> A8[, entonces<> λ
−1
es un valor propio de<> A
−1
.
11. Si<> A8[ y<> C8[ son matrices cuadrada s de orden<> n8[ y si<> C8[ es invertible entonces l as matrices<> A� A
T
� C
−1
AC8[,
CAC
−1
� C
−1
A
T
C8[ y<> CA
T
C
−1
tienen el mismo polinomio característico.
12. Si<> T8[ es una matriz triangu lar superior, entonceslos valores propios de<> T8[ son los elementos de la
diagonal principal de<> T.
13. Si<> A8[ y<> B8[ son matrices cuadrad as del mismo orden, entonces<> AB8[ y<> BA8[ tienen los mismos val ores
propios (sugerencia: Analice los casos<> λ<> = 08[ es un valor propio de<> AB8[ y<> λ<> �= 08[ es un valor propio
de<> AB8[).
14. Sean<> λ
1� λ2� . . . � λnlos diferentes valores propios de una matriz<> A8[ y sean<> β 1� β2� . . . � βmson los
diferentes valores propios de una matriz<> B8[, entonces los diferente s valores propios de una matriz
de la forma
M<> =
»
A C
�<> B
–
son<> λ
1� λ2� . . . � λn,<> β1� β2� . . . � βm.
15. Si<> A8[ es una matriz cuadrad a de orden<> n, entonces<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|8[ es un polinomio de gr ado<> n
en la variable<> λ8[ que tiene la forma:
p
A�λ<>) =<> a0+<> a1λ<> +<> a2λ
2
+<> · · ·<> + �−1)
n
λ
n
.
(Sugerencia: usar inducción sobre<> n).
16. Si<> A8[ es una matriz cuadradade orden<> 3, entonces el polinomio característico de<> A,<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|,
tiene la forma
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|
=<> −λ
3
+ Tr�A)<>λ
2
−<> �m 11+<> m22+<> m33)λ<> + det�A)�
siendo<> m
ii(i<> = 1�<> 2�<> 3) los menores principa les de la matriz<> A. (Sugerencia: plantee una matriz
general<> A<> = �a
ij)3×3y use las definiciones correspondientes).
17. Para cada una de las siguientes matrices:encuentre el polinomiocaracterístico, los varolres propios
y los correspondientesespacios propios asociados.
38
3�1 Ejercicios
En los ejercicios 1 al 1, responda verdadero ofalso, justificando su respuesta:
1. El Polinomio<> p�λ<>) = 3+2λ<>−<>λ
2
+4λ
3
puede ser el polinomiocaracterístico de una matriz<> A<> ∈<> � 3×3.
2. Si<> p�λ<>) =<> −λ
3
+ 4λ
2
−<> 5λ<> + 28[ es el polinomio carac terístico de una matriz<> A<> ∈<> � 3×3, entonces
|A|<> = 2.
3.<> x<> =
2
4
1
1
0
3
5es un vector propio de<> M<> =
2
4
−3 1<> −1
−7 5<> −1
−6 6<> −2
3
5
4.<> λ<> = 18[ es un valor propio dela matriz<> M8[ anterior.
5. Sea<> A8[ una matriz cuadrada d e orden<> n.8[ Si<> C8[ es una matriz cuadrad a de orden<> n8[ invertible, entonces
las matrices<> A� C
−1
AC8[ y<> CAC
−1
�8[ tienen el mismo polinomio característico.
6. Si la matriz<> A8[ satisface la igualdad:<> A
2
= 3A<> −<> 2I�8[ entonces los posibles v alores propios de<> A8[ son
λ
1= 1,<> λ2= 2.
En los ejercicios 7 al 15 demuestre la afirmación correspondiente.
7. Si<> λ8[ es un valor propio de<> A, entonces<> λ
n
es un valor propio de<> A
n
� n<> = 1�<> 2�<> 3� . . ..
8. Si<> x8[ es un vector propio de<> A, entonces<> x8[ es un vector propio de<> A
n
� n<> = 1�<> 2�<> 3� . . ..
9.<> λ<> = 08[ es un valor propio deuna matriz<> A<> sii<> |A|<> = 0.
10. Si<> A8[ es una matriz invertible y<> λ8[ es un valor propio de<> A8[, entonces<> λ
−1
es un valor propio de<> A
−1
.
11. Si<> A8[ y<> C8[ son matrices cuadrada s de orden<> n8[ y si<> C8[ es invertible entonces l as matrices<> A� A
T
� C
−1
AC8[,
CAC
−1
� C
−1
A
T
C8[ y<> CA
T
C
−1
tienen el mismo polinomio característico.
12. Si<> T8[ es una matriz triangu lar superior, entonceslos valores propios de<> T8[ son los elementos de la
diagonal principal de<> T.
13. Si<> A8[ y<> B8[ son matrices cuadrad as del mismo orden, entonces<> AB8[ y<> BA8[ tienen los mismos val ores
propios (sugerencia: Analice los casos<> λ<> = 08[ es un valor propio de<> AB8[ y<> λ<> �= 08[ es un valor propio
de<> AB8[).
14. Sean<> λ
1� λ2� . . . � λnlos diferentes valores propios de una matriz<> A8[ y sean<> β 1� β2� . . . � βmson los
diferentes valores propios de una matriz<> B8[, entonces los diferente s valores propios de una matriz
de la forma
M<> =
»
A C
�<> B
–
son<> λ
1� λ2� . . . � λn,<> β1� β2� . . . � βm.
15. Si<> A8[ es una matriz cuadrad a de orden<> n, entonces<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|8[ es un polinomio de gr ado<> n
en la variable<> λ8[ que tiene la forma:
p
A�λ<>) =<> a0+<> a1λ<> +<> a2λ
2
+<> · · ·<> + �−1)
n
λ
n
.
(Sugerencia: usar inducción sobre<> n).
16. Si<> A8[ es una matriz cuadradade orden<> 3, entonces el polinomio característico de<> A,<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|,
tiene la forma
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|
=<> −λ
3
+ Tr�A)<>λ
2
−<> �m 11+<> m22+<> m33)λ<> + det�A)�
siendo<> m
ii(i<> = 1�<> 2�<> 3) los menores principa les de la matriz<> A. (Sugerencia: plantee una matriz
general<> A<> = �a
ij)3×3y use las definiciones correspondientes).
17. Para cada una de las siguientes matrices:encuentre el polinomiocaracterístico, los varolres propios
y los correspondientesespacios propios asociados.
38
Diagonalización de matrices 3.2. Diagonalización
�i)<> M<> =
»
1 2
2 1
–
�ii)<> M<> =
»
1 0
2 2
–
�iii<>)<> M<> =
»
1 1
0 1
–
�iv<>)<> M<> =
»
0 2
−2 0
–
�v<>)<> M<> =
2
4
1<> −3 3
3<> −5 3
6<> −6 4
3
5 �vi)<> M<> =
2
4
−3 1<> −1
−7 5<> −1
−6 6<> −2
3
5
�vii)<> M<> =
2
4
3 1<> −1
1 3<> −1
3 1<> −1
3
5 �viii)<> M<> =
2
4
2 1 0
0 1<> −1
0 2 4
3
5
�ix)<> M<> =
2
6
6
4
2 4 0 0
5 3 0 0
0 0 1 2
0 0 2<> −2
3
7
7
5
�x)<> M<> =
2
6
6
4
0 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 1
0 0<> −<>2 4
3
7
7
5
3.2. Diagonalización
En esta sección se responderan las preguntassiguientes: Dado un espacio vectorial<> U8[ y dada una transfor-
mación lineal<> T<> :<> U<> →<> U8[ ¿Existe una base<> �8[ de<> U8[ tal que<> [T<> ]
��
es una matriz diagonal? y si existe ¿cómo
encontrar una tal base?
Como se estableció enel teorema 1.48(2), si<> T<> :<> U<> →<> U8[ es una transformación lineal,<> �
1y<> �2son bases
ordenadas de<> U� A<> = [T<> ]
����
y<> P<> = [I<>]
�2��
, entonces<> D<> = [T<> ]
�2�2
=<> P
−1
AP�8[ esto es, las matrices<> A8[ y<> D
son semejantes.
Esta consideración permite formular las preguntas anteriores en términos de matrices, así: Dada una matriz
cuadrada<> A, ¿Existe una matriz di agonal<> D8[ semejante a la matriz?, en otros términos, ¿existirá una matriz
invertible<> P8[ tal que<> P
−1
AP<> =<> D8[ sea una matriz diagon al? y si existe ¿cómo encontrar una tal matriz<> P8[ ?
3.18.<> Definición.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada. Se dice que<> A<> es diagonalizable si<> A<> es semejante a una
matriz diagonal.
3.19.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada de orden<> n. Si existen<> n<> vectores propios de<> A<> linealmente
independientes, entonces<> A<> es diagonalizable; estoes, existe una matriz invertible<> P<> tal que<> P
−1
AP<> =<> D
es una matriz diagonal. Además, los vectorescolumna de<> P<> son los vectores propi os de<> A<> y los elementos
de la diagonal de<> D<> son los correspondient es valores propios de<> A.
Demostración�8[ Sean<> λ
1� λ2� . . . �λn�8[ los<> n8[ valores propios de<> A�8[ los cuales no son nec esariamente
diferentes y sean<> x
1�<> x2� . . . �<> xn, vectores propios de<> A8[ linealmente independi entes, correspondientesrespec-
tivamente a cada uno de dichos valores propios.
Sea ahora<> P8[ la matriz cuya<> j<>−ésima columna es el ve ctor propio<> x
j� j<> = 1�<> 2� . . . � n, la cual particionamos
como sigue:
P<> =
ˆ
x
1x2· · ·<> xn
˜
.
Puesto que las columnas de<> P8[ son linealmente independientes, entonces<> P8[ es invertible (teorema 1.56).
39
�i)<> M<> =
»
1 2
2 1
–
�ii)<> M<> =
»
1 0
2 2
–
�iii<>)<> M<> =
»
1 1
0 1
–
�iv<>)<> M<> =
»
0 2
−2 0
–
�v<>)<> M<> =
2
4
1<> −3 3
3<> −5 3
6<> −6 4
3
5 �vi)<> M<> =
2
4
−3 1<> −1
−7 5<> −1
−6 6<> −2
3
5
�vii)<> M<> =
2
4
3 1<> −1
1 3<> −1
3 1<> −1
3
5 �viii)<> M<> =
2
4
2 1 0
0 1<> −1
0 2 4
3
5
�ix)<> M<> =
2
6
6
4
2 4 0 0
5 3 0 0
0 0 1 2
0 0 2<> −2
3
7
7
5
�x)<> M<> =
2
6
6
4
0 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 1
0 0<> −<>2 4
3
7
7
5
3.2. Diagonalización
En esta sección se responderan las preguntassiguientes: Dado un espacio vectorial<> U8[ y dada una transfor-
mación lineal<> T<> :<> U<> →<> U8[ ¿Existe una base<> �8[ de<> U8[ tal que<> [T<> ]
��
es una matriz diagonal? y si existe ¿cómo
encontrar una tal base?
Como se estableció enel teorema 1.48(2), si<> T<> :<> U<> →<> U8[ es una transformación lineal,<> �
1y<> �2son bases
ordenadas de<> U� A<> = [T<> ]
����
y<> P<> = [I<>]
�2��
, entonces<> D<> = [T<> ]
�2�2
=<> P
−1
AP�8[ esto es, las matrices<> A8[ y<> D
son semejantes.
Esta consideración permite formular las preguntas anteriores en términos de matrices, así: Dada una matriz
cuadrada<> A, ¿Existe una matriz di agonal<> D8[ semejante a la matriz?, en otros términos, ¿existirá una matriz
invertible<> P8[ tal que<> P
−1
AP<> =<> D8[ sea una matriz diagon al? y si existe ¿cómo encontrar una tal matriz<> P8[ ?
3.18.<> Definición.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada. Se dice que<> A<> es diagonalizable si<> A<> es semejante a una
matriz diagonal.
3.19.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada de orden<> n. Si existen<> n<> vectores propios de<> A<> linealmente
independientes, entonces<> A<> es diagonalizable; estoes, existe una matriz invertible<> P<> tal que<> P
−1
AP<> =<> D
es una matriz diagonal. Además, los vectorescolumna de<> P<> son los vectores propi os de<> A<> y los elementos
de la diagonal de<> D<> son los correspondient es valores propios de<> A.
Demostración�8[ Sean<> λ
1� λ2� . . . �λn�8[ los<> n8[ valores propios de<> A�8[ los cuales no son nec esariamente
diferentes y sean<> x
1�<> x2� . . . �<> xn, vectores propios de<> A8[ linealmente independi entes, correspondientesrespec-
tivamente a cada uno de dichos valores propios.
Sea ahora<> P8[ la matriz cuya<> j<>−ésima columna es el ve ctor propio<> x
j� j<> = 1�<> 2� . . . � n, la cual particionamos
como sigue:
P<> =
ˆ
x
1x2· · ·<> xn
˜
.
Puesto que las columnas de<> P8[ son linealmente independientes, entonces<> P8[ es invertible (teorema 1.56).
39
3.2. Diagonalización Diagonalización de matrices
Ahora,
AP<> =<> A
ˆ
x
1x2· · ·<> xn
˜
=
ˆ
Ax
1Ax2· · ·<> Ax n
˜
=
ˆ
λ
1x1λ2x2· · ·<> λnxn
˜
=
ˆ
x
1x2· · ·<> xn
˜
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
3
3
7
7
7
5
=<> P D
Donde<> D8[ es la matriz diagonal indicada arriba. Por lotanto,<> P
−1
AP<> =<> D�8[ y el teorema queda de mostrado.
�
El recí proco de este resultado también es válido y está dado por elsiguiente teorema. La demostración se
deja como ejercicio.
3.20.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada de orden<> n. Si<> A<> es diagonalizable, es decir, si existe una
matriz invertible<> P<> tal que<> P
−1
AP<> =<> D<> es una matriz diagona l, entonces existen<> n<> vectores propios de<> A
linealmente independientes. Además, los vectores columna de<> P<> son vectores propios d e<> A<> y los elementos
de la diagonal de<> D<> son los correspondient es valores propios de<> A.
3.21.<> Ejemplo.8[ Verifique que la matr iz<> A<> =
2
4
4<> −1 2
−6 5<> −6
−6 3<> −4
3
5es diagonalizable y encuentre una matriz
invertible<> P8[ tal que<> P
−1
AP<> =<> D8[ sea una matriz diago nal. Para tal fin, veamos que<> A8[ tiene<> 38[ vectores
propios linealmente independientes. En efecto:
El polinomio característico de<> A�8[ está dado por
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
4<> −<> λ<> −<>1 2
−6 5<> −<> λ<> −6
−6 3<> −4<> −<> λ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=<> −�λ<> −<> 2)
2
�λ<> −<> 1).
La ecuación característica de<> A� p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 08[ tiene entonces como s olución a<> λ<> = 28[ (de multiplici-
dad 2) y a<> λ<> = 18[ (de multiplicidad 1). E stos escalares son pues, los valores propios de<> A.
El paso siguiente es determinar los vectores propios asociados:
Los 2-vectores propiosde<> A8[ son las soluciones nonulas del sistema de ecuaciones<> �A<> −<> 2I<>)x<> = 0�8[ y los
1-vectores propios de<> A8[ son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones<> �A<> −<> 1I<>)x<> = 0.8[ Es decir, se
debe resolver sistemashomogéneos de ecuaciones cuyas matrices decoeficientes son respectivamente:
A<> −<> 2I<> =
2
4
2<> −1 2
−6 3<> −6
−6 3<> −6
3
5y<> A<> −<> 1I<> =
2
4
3<> −1 2
−6 4<> −6
−6 3<> −5
3
5.
Es fácil verificar que las soluciones del sistema homogéneo<> �A<> −<> 2I<>)x<> = 08[ son los vectores de la forma
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
1
2
x2−<> x3
x2
x3
3
5
=
1
2
x
2
2
4
1
2
0
3
5+<> x
3
2
4
−1
0
1
3
5� x
2� x3∈<> R�
40
Ahora,
AP<> =<> A
ˆ
x
1x2· · ·<> xn
˜
=
ˆ
Ax
1Ax2· · ·<> Ax n
˜
=
ˆ
λ
1x1λ2x2· · ·<> λnxn
˜
=
ˆ
x
1x2· · ·<> xn
˜
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
3
3
7
7
7
5
=<> P D
Donde<> D8[ es la matriz diagonal indicada arriba. Por lotanto,<> P
−1
AP<> =<> D�8[ y el teorema queda de mostrado.
�
El recí proco de este resultado también es válido y está dado por elsiguiente teorema. La demostración se
deja como ejercicio.
3.20.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada de orden<> n. Si<> A<> es diagonalizable, es decir, si existe una
matriz invertible<> P<> tal que<> P
−1
AP<> =<> D<> es una matriz diagona l, entonces existen<> n<> vectores propios de<> A
linealmente independientes. Además, los vectores columna de<> P<> son vectores propios d e<> A<> y los elementos
de la diagonal de<> D<> son los correspondient es valores propios de<> A.
3.21.<> Ejemplo.8[ Verifique que la matr iz<> A<> =
2
4
4<> −1 2
−6 5<> −6
−6 3<> −4
3
5es diagonalizable y encuentre una matriz
invertible<> P8[ tal que<> P
−1
AP<> =<> D8[ sea una matriz diago nal. Para tal fin, veamos que<> A8[ tiene<> 38[ vectores
propios linealmente independientes. En efecto:
El polinomio característico de<> A�8[ está dado por
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
4<> −<> λ<> −<>1 2
−6 5<> −<> λ<> −6
−6 3<> −4<> −<> λ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=<> −�λ<> −<> 2)
2
�λ<> −<> 1).
La ecuación característica de<> A� p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 08[ tiene entonces como s olución a<> λ<> = 28[ (de multiplici-
dad 2) y a<> λ<> = 18[ (de multiplicidad 1). E stos escalares son pues, los valores propios de<> A.
El paso siguiente es determinar los vectores propios asociados:
Los 2-vectores propiosde<> A8[ son las soluciones nonulas del sistema de ecuaciones<> �A<> −<> 2I<>)x<> = 0�8[ y los
1-vectores propios de<> A8[ son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones<> �A<> −<> 1I<>)x<> = 0.8[ Es decir, se
debe resolver sistemashomogéneos de ecuaciones cuyas matrices decoeficientes son respectivamente:
A<> −<> 2I<> =
2
4
2<> −1 2
−6 3<> −6
−6 3<> −6
3
5y<> A<> −<> 1I<> =
2
4
3<> −1 2
−6 4<> −6
−6 3<> −5
3
5.
Es fácil verificar que las soluciones del sistema homogéneo<> �A<> −<> 2I<>)x<> = 08[ son los vectores de la forma
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
1
2
x2−<> x3
x2
x3
3
5
=
1
2
x
2
2
4
1
2
0
3
5+<> x
3
2
4
−1
0
1
3
5� x
2� x3∈<> R�
40
Diagonalización de matrices 3.2. Diagonalización
en consecuencia,
U
λ�=<> U2=
8
<
:
2
4
1
2
0
3
5�
2
4
−1
0
1
3
5
9
=
;
es una base para<> S<>�λ
1) =<> S<>�2).
De otra parte, se encuentra que las solucionesdel sistema<> �A<> −<> 1I<>)x<> = 08[ son los vectores de la forma
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
−
1
3
x3
x3
x3
3
5=
1
3
x
3
2
4
−1
3
3
3
5� x
3∈<> R.
En consecuencia,
U
λ2=<> U1=
8
<
:
2
4
−1
3
3
3
5
9
=
;
es una base para<> S<>�λ
2) =<> S<>�1).
Ahora, los vectores
x
1=
2
4
1
2
0
3
5�<> x 2=
2
4
−1
0
1
3
5y<> x 3=
2
4
−1
3
3
3
5
son vectores propios de<> A8[ correspondientes a los valores propios<> 2�<> 28[ y<> 1, respectivamente, y so n linealmente
independientes como se comprueba fácilmente.
De acuerdo con el teorema 3.19, la matriz<> A8[ es diagonalizable. Por otro lado, según la demostración del
teorema, la matriz
P<> =
ˆ
x
1x2x3
˜
=
2
4
1<> −1<> −1
2 0 3
0 1 3
3
5
es invertible y es tal que:
P
−1
AP<> =<> D<> =
2
4
2 0 0
0 2 0
0 0 1
3
5.
3.22.<> Ejemplo.8[ La matriz del ejemplo 3.11,
A<> =
2
4
1 1<> −1
−1 3<> −1
−1 2 0
3
5
no es diagonalizable, pues vimos en dicho ejemplo, que la matriz<> A8[ tiene dos valores prop ios:<> λ
1= 18[ y
λ
2= 2, y que
U
1=
8
<
:
2
4
1
1
1
3
5
9
=
;
y<> U 2=
8
<
:
2
4
0
1
1
3
5
9
=
;
son bases para los espacios propios asociados, respectivamente. Así que<> A8[ sólo tiene dos vectores propios
linealmente independientes.
3.23.<> Teorema.<> Si<> λ
1� λ2� . . . � λkson los valores propiosdiferentes de una matriz<> A<> y si<> x 1�<> x2� . . . �<> xk
son vectores propios de<> A<> correspondientes a los valores propios<> λ 1� λ2� . . . � λk, respectivamente, entonces
C<> =<> {x
1� �<> x2� . . . �<> x k}<> es un conjunto linealmente independiente.
41
en consecuencia,
U
λ�=<> U2=
8
<
:
2
4
1
2
0
3
5�
2
4
−1
0
1
3
5
9
=
;
es una base para<> S<>�λ
1) =<> S<>�2).
De otra parte, se encuentra que las solucionesdel sistema<> �A<> −<> 1I<>)x<> = 08[ son los vectores de la forma
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
−
1
3
x3
x3
x3
3
5=
1
3
x
3
2
4
−1
3
3
3
5� x
3∈<> R.
En consecuencia,
U
λ2=<> U1=
8
<
:
2
4
−1
3
3
3
5
9
=
;
es una base para<> S<>�λ
2) =<> S<>�1).
Ahora, los vectores
x
1=
2
4
1
2
0
3
5�<> x 2=
2
4
−1
0
1
3
5y<> x 3=
2
4
−1
3
3
3
5
son vectores propios de<> A8[ correspondientes a los valores propios<> 2�<> 28[ y<> 1, respectivamente, y so n linealmente
independientes como se comprueba fácilmente.
De acuerdo con el teorema 3.19, la matriz<> A8[ es diagonalizable. Por otro lado, según la demostración del
teorema, la matriz
P<> =
ˆ
x
1x2x3
˜
=
2
4
1<> −1<> −1
2 0 3
0 1 3
3
5
es invertible y es tal que:
P
−1
AP<> =<> D<> =
2
4
2 0 0
0 2 0
0 0 1
3
5.
3.22.<> Ejemplo.8[ La matriz del ejemplo 3.11,
A<> =
2
4
1 1<> −1
−1 3<> −1
−1 2 0
3
5
no es diagonalizable, pues vimos en dicho ejemplo, que la matriz<> A8[ tiene dos valores prop ios:<> λ
1= 18[ y
λ
2= 2, y que
U
1=
8
<
:
2
4
1
1
1
3
5
9
=
;
y<> U 2=
8
<
:
2
4
0
1
1
3
5
9
=
;
son bases para los espacios propios asociados, respectivamente. Así que<> A8[ sólo tiene dos vectores propios
linealmente independientes.
3.23.<> Teorema.<> Si<> λ
1� λ2� . . . � λkson los valores propiosdiferentes de una matriz<> A<> y si<> x 1�<> x2� . . . �<> xk
son vectores propios de<> A<> correspondientes a los valores propios<> λ 1� λ2� . . . � λk, respectivamente, entonces
C<> =<> {x
1� �<> x2� . . . �<> x k}<> es un conjunto linealmente independiente.
41
3.2. Diagonalización Diagonalización de matrices
Demostración�8[ La demostración se h ará utilizando inducción sobre el número<> k8[ de vectores del con-
junto<> C.
Si<> C<> =<> {x
1}, entonces<> C8[ es linealmente indepe ndiente, pues<> x 1�= 0.
El teorema es cierto para cuando<> k<> = 2.8[ En efecto: Si
(3.1) α
1x1+<> α2x2= 0�
premultiplicando (3.1)por el escalar<> λ
2se obtiene:
(3.2) λ
2α1x1+<> λ2α2x2= 0.
De otra parte; premultiplicando (3.1) por la matriz<> A8[ se llega a:
(3.3) λ
1α1x1+<> λ2α2x2= 0.
Restando (3.3) de (3.2) se obtiene:
�λ
2−<> λ1)α1x1= 0.
Puesto que<> x
1�= 0�8[ entonces<> �λ 2−<> λ1)α1= 0. Dado que<> λ 1�=<> λ2se tiene entonces que<> α 1= 0.8[ Reemplazan-
do este valor de<> α
1en (3.1) se llega a que<> α 2x2= 0�8[ pero<> x 2�= 0�8[ entonces<> α 2= 0.
Suponga ahora que elteorema es cierto paracuando<> k<> =<> j8[ y verifique que el te orema es cierto para
cuando<> k<> =<> j8[+1. Si
(3.4) α
1x1+<> α2x2+<> . . .<> +<> α jxj+<> αj<>+1xj<>+1= 0�
premultiplicando (3.4)por el escalar<> λ
j<>+1se obtiene:
(3.5)<> λ
j<>+1α1x1+<> λj<>+1α2x2+<> . . .<> +<> λ j<>+1αjxj+<> λj<>+1αj<>+1xj<>+1= 0�
De otra parte; premultiplicando (3.4) por la matriz<> A8[ se llega a:
(3.6)<> λ
1α1x1+<> λ2α2x2+<> . . .<> +<> λ jαjxj+<> λj<>+1αj<>+1xj<>+1= 0.
Restando (3.6) de (3.5) se obtiene:
�λ
j<>+1−<> λ1)α1x1+ �λ j<>+1−<> λ2)α2x2+<> . . .<> + �λ j<>+1−<> λj)αjxj= 0.
Por hipótesis de inducción se tiene
�λ
j<>+1−<> λ1)α1= �λ j<>+1−<> λ2)α2=<> . . .<> = �λ j<>+1−<> λj)αj= 0<> .
De otro lado, por hipótesis del teorema los escalares<> λ
1� . . . � λj� λj<>+1son diferentes, entonces se obtiene que
α
1=<> α2=<> . . .<> =<> α j= 0. Reemplazando estosvalores en 3.4 se llegaa que<> α j<>+1xj<>+1= 0�8[ pero<> x j<>+1�= 0�
entonces<> α
j<>+1= 0. El teorema queda entonces demostrado. �
La prueba del siguiente corolario es consecuencia inmediata de los teoremas 3.23 y 3.19.
3.24.<> Corolario.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada de orden<> n.<> Si<> A<> posee<> n<> valores propios distint os, entonces
A<> es diagonalizable.
3.25.<> Ejemplo.8[ La matriz
A<> =
2
4
1 2 3
0 4 5
0 0 6
3
5
3×3
es diagonalizable. En efecto, la ecuación característica de<> A8[ es:
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = �−<>1)
3
�λ<> −<> 1)�λ<> −<> 4)�λ<> −<> 6) = 0.
De esto se sigue que<> A8[ tiene tres valores prop ios distintos, a saber:<> λ
1= 1� λ2= 48[ y<> λ 3= 6.
42
Demostración�8[ La demostración se h ará utilizando inducción sobre el número<> k8[ de vectores del con-
junto<> C.
Si<> C<> =<> {x
1}, entonces<> C8[ es linealmente indepe ndiente, pues<> x 1�= 0.
El teorema es cierto para cuando<> k<> = 2.8[ En efecto: Si
(3.1) α
1x1+<> α2x2= 0�
premultiplicando (3.1)por el escalar<> λ
2se obtiene:
(3.2) λ
2α1x1+<> λ2α2x2= 0.
De otra parte; premultiplicando (3.1) por la matriz<> A8[ se llega a:
(3.3) λ
1α1x1+<> λ2α2x2= 0.
Restando (3.3) de (3.2) se obtiene:
�λ
2−<> λ1)α1x1= 0.
Puesto que<> x
1�= 0�8[ entonces<> �λ 2−<> λ1)α1= 0. Dado que<> λ 1�=<> λ2se tiene entonces que<> α 1= 0.8[ Reemplazan-
do este valor de<> α
1en (3.1) se llega a que<> α 2x2= 0�8[ pero<> x 2�= 0�8[ entonces<> α 2= 0.
Suponga ahora que elteorema es cierto paracuando<> k<> =<> j8[ y verifique que el te orema es cierto para
cuando<> k<> =<> j8[+1. Si
(3.4) α
1x1+<> α2x2+<> . . .<> +<> α jxj+<> αj<>+1xj<>+1= 0�
premultiplicando (3.4)por el escalar<> λ
j<>+1se obtiene:
(3.5)<> λ
j<>+1α1x1+<> λj<>+1α2x2+<> . . .<> +<> λ j<>+1αjxj+<> λj<>+1αj<>+1xj<>+1= 0�
De otra parte; premultiplicando (3.4) por la matriz<> A8[ se llega a:
(3.6)<> λ
1α1x1+<> λ2α2x2+<> . . .<> +<> λ jαjxj+<> λj<>+1αj<>+1xj<>+1= 0.
Restando (3.6) de (3.5) se obtiene:
�λ
j<>+1−<> λ1)α1x1+ �λ j<>+1−<> λ2)α2x2+<> . . .<> + �λ j<>+1−<> λj)αjxj= 0.
Por hipótesis de inducción se tiene
�λ
j<>+1−<> λ1)α1= �λ j<>+1−<> λ2)α2=<> . . .<> = �λ j<>+1−<> λj)αj= 0<> .
De otro lado, por hipótesis del teorema los escalares<> λ
1� . . . � λj� λj<>+1son diferentes, entonces se obtiene que
α
1=<> α2=<> . . .<> =<> α j= 0. Reemplazando estosvalores en 3.4 se llegaa que<> α j<>+1xj<>+1= 0�8[ pero<> x j<>+1�= 0�
entonces<> α
j<>+1= 0. El teorema queda entonces demostrado. �
La prueba del siguiente corolario es consecuencia inmediata de los teoremas 3.23 y 3.19.
3.24.<> Corolario.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada de orden<> n.<> Si<> A<> posee<> n<> valores propios distint os, entonces
A<> es diagonalizable.
3.25.<> Ejemplo.8[ La matriz
A<> =
2
4
1 2 3
0 4 5
0 0 6
3
5
3×3
es diagonalizable. En efecto, la ecuación característica de<> A8[ es:
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = �−<>1)
3
�λ<> −<> 1)�λ<> −<> 4)�λ<> −<> 6) = 0.
De esto se sigue que<> A8[ tiene tres valores prop ios distintos, a saber:<> λ
1= 1� λ2= 48[ y<> λ 3= 6.
42
Diagonalización de matrices 3.2. Diagonalización
De acuerdo con los teoremas 3.19 y 3.20, dadala matriz cuadrada<> A8[ de orden<> n; existe una matriz inve rtible
P8[ tal que<> P
−1
AP<> =<> D8[ es una matriz diagona l<> sii<> A8[ tiene<> n8[ vectores propios linea lmente independientes.
Además, si existe una tal matriz<> P8[ , los vectores columna de<> P8[ son vectores propios de<> A8[ y los elementos de
la diagonal de<> D8[ son los valores propios de<> A.8[ Quedan así contestadas las preguntas propuestas al comienzo
de esta sección sobre la diagonalización de matrices. El siguiente teorema responde a las preguntas sobre
diagonalización pero formuladas en el contexto de las transformaciones lineales.
3.26.<> Teorema.<> Sea<> U<> un espacio de dimens ión<> n<> y sea<> T<> :<> U<> →<> U<> una transformación l ineal. Existe
una base ordenada<> �
2de<> U<> tal que<> [T<> ]
�2�2
=<> D<> es una matriz diagonal sii<> T<> tiene<> n<> vectores propios
linealmente independientes. Además, si<> �
2=<> {u 1�<> u2� . . . �<> un}<> es una base ordenadade<> U<> tal que
[T<> ]
�2�2
=<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
n
3
7
7
7
5
es una matriz diagonal, entonces<> u
ies un<> λ i-vector propio de T, osea<> T<> �u i) =<> λiui� i<> = 1�<> 2� . . . � n.
Demostración�8[ Puesto que las matri ces asociadas a transformaciones lineales yreferidas a bases
arbitrarias son semejantes, y puesto que el polinomio característico de matrices semejantes es el mismo (ver
teorema 3.14), se puede considerar una basearbitraria<> �
1para<> U8[ .
Sea pues<> A<> = [T<> ]
����
�8[ la matriz de la transformación<> T8[ referida a dicha base<> � 1, Existe una base ordenada
�
2de<> U8[ tal que<> D<> = [T<> ]
�2�2
= [I<>]
−1
�
2��
A<> [I<>]
�2��
es una matriz diagonal<> sii<> A8[ es semejante a una matriz
diagonal. Ahora por los teoremas 3.19 y 3.20;<> A8[ es semejante a una m atriz diagonal si y sólosi<> A8[ tiene<> n
vectores propios linealmente independientes, locual equivale a que<> T8[ tenga<> n8[ vectores propios linea lmente
independientes (ver elapartado 1.2.2)
Además, si<> �
2=<> {u 1�<> u2� . . . �<> un}8[ es una base ordenadade<> U8[ tal que
[T<> ]
�2�2
=<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
1· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
1
3
7
7
7
5
es una matriz diagonal, entonces, de acuerdocon la definición de lamatriz<> [T<> ]
�2�2
� T<> �u i) =<> λiui; o sea,
u
ies un<> λi-vector propio de<> T8[ ,<> i<> = 1�<> 2� . . . � n. �
3.27.<> Ejemplo.8[ Considere la transform ación lineal<> T<> :<> P
3→<> P3definida por:
T
ˆ
a<> +<> bx<> +<> cx
2
˜
= �4a<> −<> b<> + 2c) + �−6a<> + 5b<> −<> 6c)x<> + �−6a<> + 3b<> −<> 4c)x
2
.
Encuentre una base ordenada<> �
2de<> U<> =<> P 2tal que<> [T<> ]
�2�2
=<> D8[ es una matriz diagonal.
Sea<> �
1=<> {1� x� x²}8[ la llamada base canón ica de<> P 2entonces:
A<> = [T<> ]
����
=
2
4
4<> −1 2
−6 5<> −6
−6 3<> −4
3
5�
que es la matriz del ejemplo 3.21. De dicho ejemplo se sabe que
x
1=
2
4
1
2
0
3
5�<> x 2=
2
4
−1
0
1
3
5y<> x 3=
2
4
−1
3
3
3
5�
43
De acuerdo con los teoremas 3.19 y 3.20, dadala matriz cuadrada<> A8[ de orden<> n; existe una matriz inve rtible
P8[ tal que<> P
−1
AP<> =<> D8[ es una matriz diagona l<> sii<> A8[ tiene<> n8[ vectores propios linea lmente independientes.
Además, si existe una tal matriz<> P8[ , los vectores columna de<> P8[ son vectores propios de<> A8[ y los elementos de
la diagonal de<> D8[ son los valores propios de<> A.8[ Quedan así contestadas las preguntas propuestas al comienzo
de esta sección sobre la diagonalización de matrices. El siguiente teorema responde a las preguntas sobre
diagonalización pero formuladas en el contexto de las transformaciones lineales.
3.26.<> Teorema.<> Sea<> U<> un espacio de dimens ión<> n<> y sea<> T<> :<> U<> →<> U<> una transformación l ineal. Existe
una base ordenada<> �
2de<> U<> tal que<> [T<> ]
�2�2
=<> D<> es una matriz diagonal sii<> T<> tiene<> n<> vectores propios
linealmente independientes. Además, si<> �
2=<> {u 1�<> u2� . . . �<> un}<> es una base ordenadade<> U<> tal que
[T<> ]
�2�2
=<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
n
3
7
7
7
5
es una matriz diagonal, entonces<> u
ies un<> λ i-vector propio de T, osea<> T<> �u i) =<> λiui� i<> = 1�<> 2� . . . � n.
Demostración�8[ Puesto que las matri ces asociadas a transformaciones lineales yreferidas a bases
arbitrarias son semejantes, y puesto que el polinomio característico de matrices semejantes es el mismo (ver
teorema 3.14), se puede considerar una basearbitraria<> �
1para<> U8[ .
Sea pues<> A<> = [T<> ]
����
�8[ la matriz de la transformación<> T8[ referida a dicha base<> � 1, Existe una base ordenada
�
2de<> U8[ tal que<> D<> = [T<> ]
�2�2
= [I<>]
−1
�
2��
A<> [I<>]
�2��
es una matriz diagonal<> sii<> A8[ es semejante a una matriz
diagonal. Ahora por los teoremas 3.19 y 3.20;<> A8[ es semejante a una m atriz diagonal si y sólosi<> A8[ tiene<> n
vectores propios linealmente independientes, locual equivale a que<> T8[ tenga<> n8[ vectores propios linea lmente
independientes (ver elapartado 1.2.2)
Además, si<> �
2=<> {u 1�<> u2� . . . �<> un}8[ es una base ordenadade<> U8[ tal que
[T<> ]
�2�2
=<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
1· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
1
3
7
7
7
5
es una matriz diagonal, entonces, de acuerdocon la definición de lamatriz<> [T<> ]
�2�2
� T<> �u i) =<> λiui; o sea,
u
ies un<> λi-vector propio de<> T8[ ,<> i<> = 1�<> 2� . . . � n. �
3.27.<> Ejemplo.8[ Considere la transform ación lineal<> T<> :<> P
3→<> P3definida por:
T
ˆ
a<> +<> bx<> +<> cx
2
˜
= �4a<> −<> b<> + 2c) + �−6a<> + 5b<> −<> 6c)x<> + �−6a<> + 3b<> −<> 4c)x
2
.
Encuentre una base ordenada<> �
2de<> U<> =<> P 2tal que<> [T<> ]
�2�2
=<> D8[ es una matriz diagonal.
Sea<> �
1=<> {1� x� x²}8[ la llamada base canón ica de<> P 2entonces:
A<> = [T<> ]
����
=
2
4
4<> −1 2
−6 5<> −6
−6 3<> −4
3
5�
que es la matriz del ejemplo 3.21. De dicho ejemplo se sabe que
x
1=
2
4
1
2
0
3
5�<> x 2=
2
4
−1
0
1
3
5y<> x 3=
2
4
−1
3
3
3
5�
43
3.2. Diagonalización Diagonalización de matrices
son vectores propios linealmente independientes de<> A, correspondientes respectivamente a los valores propios
2�<> 28[ y<> 1. Tales vectores<> x
1�<> x2y<> x3son los correspondientes vectores de coordenadas, respecto a la base<> � 1,
de los vectores<> u
1�<> u2y<> u3de<> P2para
u
1= 1 + 2x;<> u 2=<> −1 +<> x
2
y<> u3=<> −1 + 3x<> + 3x
2
.
Ahora, los valores propios de<> T8[ son los valores propi os de<> A8[ (ver teorema 3.7), esto es, los diferentes
valores propios de<> T8[ son<> λ
1= 28[ y<> λ 2= 1.8[ De otro lado, por lo establecido en el apartado 1.2.2,<> u 1�<> u2y
u
3son vectores propios de<> T8[ linealmente independientes, correspondientes a los valores propios<> 2�<> 28[ y<> 1,
respectivamente. En consecuencia, de acuerdocon el teorema anterior,<> �
2=<> {u 1�<> u2�<> u3}8[ es una base para
P
2tal que:
[T<> ]
�2�2
=<> D<> =
2
4
2 0 0
0 2 0
0 0 1
3
5.
Como se ha visto, dadauna matriz cuadrada<> A8[ de orden<> n�8[ existe una matriz inve rtible<> P8[ tal que<> P
−1
AP<> =
D8[ es una matriz diagonal<> sii8[ existen<> n8[ vectores propios de<> A8[ linealmente independ ientes. En el caso en
que<> A8[ no posea<> n8[ vectores propios lineal mente independientes,es posible, bajo ciertacondición, que<> A8[ sea
semejante a una matriztriangular superior<> T<> ;8[ es decir, que<> A8[ sea semejante a una m atriz<> T<> = [t
ij]
n×n
para
la cual<> t
ij= 08[ si<> i > j.8[ El siguiente teorema e xplicita esta afirmación.
3.28.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada (real) de orden<> n<>. Todas las soluciones de la ecuación car-
acterística de<> A<> son reales sii existe u na matriz invertible<> P<> (real) tal que<> P
−1
AP<> =<> T<> es una matriz
triangular superior. Además, si existe una talmatriz<> P<> , entonces los elementos de la diagonal de<> T<> son los
valores propios de<> A.
Demostración�<> �=<>⇒)8[ La demostración en e ste sentido se hará, utilizando inducción sobre el orden
n8[ de la matriz<> A.8[ Para cuando<> n<> = 2�8[ la implicación es verd adera. En efecto, de lahipótesis se sigue que
A8[ tiene dos valores propios (reales) los cuales no son necesariamente distintos. Sea<> λ
1un valor propio de
A. Existe por lo tanto unvector<> 2<> ×<> 1�<> x
1�= 08[ tal que<> Ax 1=<> λ1x1.8[ Por el teorema1.21(3), existe un vector
2<> ×<> 1�<> x
2�= 08[ tal que<> �<> =<> {x 1�<> x2}8[ es una base para<> � 2×1. Ahora, la matriz<> P<> = [ x 1x2]8[ es invertible;
escribamos a<> P
−1
particionada por filas así:
P
−1
=
»
y
1
y2
–
�<> y
1�<> y2∈<> �1×2�
entonces se tiene que
P
−1
AP<> =
»
y
1
y2
–
A
ˆ
x
1x2
˜
=
»
λ<> y
1Ax2
0<> y2Ax2
–
=<> T
es una matriz triangular superior.
Supongamos ahora que la implicación es verdadera para cuando<> n<> =<> j<> −<> 18[ y demostremos que é sta es
verdadera cuando<> n<> =<> j� j<> ≥<> 3.8[ Sea<> A8[ una matriz cuadrada de orden<> j8[ para la cual todas las soluciones
de su ecuación característica son reales. De ésto se sigue que<> A8[ tiene<> j8[ valores propios (reale s) los cuales
no son necesariamentedistintos. Sea<> λ
1un valor propio de<> A. Existe por lo tanto u n vector<> j<> ×<> 1�<> x 1�= 0
tal que<> Ax
1=<> λ1x1.8[ Por el teorema 1.21(3), existen<> j<> −<> 18[ vectores<> x 2�<> x3� . . . �<> xjde<> �j<>×1tales que
�<> =<> {x
1�<> x2�<> x3� . . . �<> xj}8[ es una base para<> � j<>×1. Ahora por el teorema1.56, la matriz
P
1=
ˆ
x 1x2· · ·<> xj
˜
=
ˆ
x
1M
˜
es invertible. Escribamos la inversa<> P
−1
así:
P
−1
1
=
»
y
1
N
–
�<> y
1∈<> �1×j�8[ y<> N<> ∈<> � �j<>−1)×j .
44
son vectores propios linealmente independientes de<> A, correspondientes respectivamente a los valores propios
2�<> 28[ y<> 1. Tales vectores<> x
1�<> x2y<> x3son los correspondientes vectores de coordenadas, respecto a la base<> � 1,
de los vectores<> u
1�<> u2y<> u3de<> P2para
u
1= 1 + 2x;<> u 2=<> −1 +<> x
2
y<> u3=<> −1 + 3x<> + 3x
2
.
Ahora, los valores propios de<> T8[ son los valores propi os de<> A8[ (ver teorema 3.7), esto es, los diferentes
valores propios de<> T8[ son<> λ
1= 28[ y<> λ 2= 1.8[ De otro lado, por lo establecido en el apartado 1.2.2,<> u 1�<> u2y
u
3son vectores propios de<> T8[ linealmente independientes, correspondientes a los valores propios<> 2�<> 28[ y<> 1,
respectivamente. En consecuencia, de acuerdocon el teorema anterior,<> �
2=<> {u 1�<> u2�<> u3}8[ es una base para
P
2tal que:
[T<> ]
�2�2
=<> D<> =
2
4
2 0 0
0 2 0
0 0 1
3
5.
Como se ha visto, dadauna matriz cuadrada<> A8[ de orden<> n�8[ existe una matriz inve rtible<> P8[ tal que<> P
−1
AP<> =
D8[ es una matriz diagonal<> sii8[ existen<> n8[ vectores propios de<> A8[ linealmente independ ientes. En el caso en
que<> A8[ no posea<> n8[ vectores propios lineal mente independientes,es posible, bajo ciertacondición, que<> A8[ sea
semejante a una matriztriangular superior<> T<> ;8[ es decir, que<> A8[ sea semejante a una m atriz<> T<> = [t
ij]
n×n
para
la cual<> t
ij= 08[ si<> i > j.8[ El siguiente teorema e xplicita esta afirmación.
3.28.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada (real) de orden<> n<>. Todas las soluciones de la ecuación car-
acterística de<> A<> son reales sii existe u na matriz invertible<> P<> (real) tal que<> P
−1
AP<> =<> T<> es una matriz
triangular superior. Además, si existe una talmatriz<> P<> , entonces los elementos de la diagonal de<> T<> son los
valores propios de<> A.
Demostración�<> �=<>⇒)8[ La demostración en e ste sentido se hará, utilizando inducción sobre el orden
n8[ de la matriz<> A.8[ Para cuando<> n<> = 2�8[ la implicación es verd adera. En efecto, de lahipótesis se sigue que
A8[ tiene dos valores propios (reales) los cuales no son necesariamente distintos. Sea<> λ
1un valor propio de
A. Existe por lo tanto unvector<> 2<> ×<> 1�<> x
1�= 08[ tal que<> Ax 1=<> λ1x1.8[ Por el teorema1.21(3), existe un vector
2<> ×<> 1�<> x
2�= 08[ tal que<> �<> =<> {x 1�<> x2}8[ es una base para<> � 2×1. Ahora, la matriz<> P<> = [ x 1x2]8[ es invertible;
escribamos a<> P
−1
particionada por filas así:
P
−1
=
»
y
1
y2
–
�<> y
1�<> y2∈<> �1×2�
entonces se tiene que
P
−1
AP<> =
»
y
1
y2
–
A
ˆ
x
1x2
˜
=
»
λ<> y
1Ax2
0<> y2Ax2
–
=<> T
es una matriz triangular superior.
Supongamos ahora que la implicación es verdadera para cuando<> n<> =<> j<> −<> 18[ y demostremos que é sta es
verdadera cuando<> n<> =<> j� j<> ≥<> 3.8[ Sea<> A8[ una matriz cuadrada de orden<> j8[ para la cual todas las soluciones
de su ecuación característica son reales. De ésto se sigue que<> A8[ tiene<> j8[ valores propios (reale s) los cuales
no son necesariamentedistintos. Sea<> λ
1un valor propio de<> A. Existe por lo tanto u n vector<> j<> ×<> 1�<> x 1�= 0
tal que<> Ax
1=<> λ1x1.8[ Por el teorema 1.21(3), existen<> j<> −<> 18[ vectores<> x 2�<> x3� . . . �<> xjde<> �j<>×1tales que
�<> =<> {x
1�<> x2�<> x3� . . . �<> xj}8[ es una base para<> � j<>×1. Ahora por el teorema1.56, la matriz
P
1=
ˆ
x 1x2· · ·<> xj
˜
=
ˆ
x
1M
˜
es invertible. Escribamos la inversa<> P
−1
así:
P
−1
1
=
»
y
1
N
–
�<> y
1∈<> �1×j�8[ y<> N<> ∈<> � �j<>−1)×j .
44
Diagonalización de matrices 3.2. Diagonalización
Entonces se tiene
P
−1
1
AP1=
»
y
1
N
–
A
ˆ
x
1M
˜
=
»
λ
1y1AM
0<> N AM
–
=
»
λ 1B
0<> C
–
=<> T
1
es una matriz triangular superior por bloques.
Ahora, las matrices<> A8[ y<> T
1tienen el mismo polinomio característico (teorema 3.14):
p
A�λ<>) =<> p
�
�
�λ<>) = �λ 1−<> λ)<> |C<> −<> λI<>|<> .
De ésto se sigue, que todas las soluciones de laecuación característicade la matriz cuadradade orden<> j<> −<> 1,
C8[, son reales. Por hipótesis de inducción, existeuna matriz invertible<> Q8[ tal que<> Q
−1
CQ<> =<> T 2es una matriz
triangular superior. Sea ahora:
P
2=
»
1<> �
�<> Q
–
�
entonces se tiene que la matriz invertible<> P<> =<> P
1P2es tal que
P
−1
AP<> =<> P
−1
2
P
−1
1
AP1P2=
»
1<> �
�<> Q
−1
– »
λ
1B
�<> C
– »
1<> �
�<> Q
–
=
»
λ
1 BQ
�<> Q
−1
CQ
–
=
»
λ
1BQ
�<> T
2
–
=<> T
es una matriz triangular superior.
La demostración de laotra implicación y dela segunda afirmacióndel teorema quedan como ejercicio
para el lector. �
3.29.<> Ejemplo.8[ Todas las soluciones d e la ecuación característica de la matriz del ejemplo 3.22
A<> =
2
4
1 1<> −1
−1 3<> −1
−1 2 0
3
5
3×3
son reales, pues:
p
A�λ<>) =<> −�λ<> −<> 1)
2
�λ<> −<> 2) = 0<> sii λ 1= 18[ ó<> λ 2= 2<> .
De otro lado, como loestablecimos en el ejemplo 3.22, la matriz A no es diagonalizable, pues<> A8[ sólo posee
dos vectores propios linealmente independientes. En particular:
x
1=
2
4
1
1
1
3
5 y<> x 2=
2
4
0
1
1
3
5
son vectores propios linealmente independientes correspondientes alos valores propios<> λ
1= 18[ y<> λ 2= 2,
respectivamente.
Por el teorema anterior, existe una matriz invertible<> P8[ tal que<> P
−1
AP<> =<> T8[ es una matriz triang ular
superior. Para encontrar una tal matriz<> P8[ , basta proporcionar u n vector<> x
3tal que<> �<> =<> {x 1�<> x2�<> x3}8[ sea
una base para<> �
3×1; el vector
x
3=
2
4
0
2
3
3
5
sirve para tal efecto. Ahora bien, la matriz
P<> =
ˆ
x
1x2x3
˜
=
2
4
1 0 0
1 1 2
1 1 3
3
5
45
Entonces se tiene
P
−1
1
AP1=
»
y
1
N
–
A
ˆ
x
1M
˜
=
»
λ
1y1AM
0<> N AM
–
=
»
λ 1B
0<> C
–
=<> T
1
es una matriz triangular superior por bloques.
Ahora, las matrices<> A8[ y<> T
1tienen el mismo polinomio característico (teorema 3.14):
p
A�λ<>) =<> p
�
�
�λ<>) = �λ 1−<> λ)<> |C<> −<> λI<>|<> .
De ésto se sigue, que todas las soluciones de laecuación característicade la matriz cuadradade orden<> j<> −<> 1,
C8[, son reales. Por hipótesis de inducción, existeuna matriz invertible<> Q8[ tal que<> Q
−1
CQ<> =<> T 2es una matriz
triangular superior. Sea ahora:
P
2=
»
1<> �
�<> Q
–
�
entonces se tiene que la matriz invertible<> P<> =<> P
1P2es tal que
P
−1
AP<> =<> P
−1
2
P
−1
1
AP1P2=
»
1<> �
�<> Q
−1
– »
λ
1B
�<> C
– »
1<> �
�<> Q
–
=
»
λ
1 BQ
�<> Q
−1
CQ
–
=
»
λ
1BQ
�<> T
2
–
=<> T
es una matriz triangular superior.
La demostración de laotra implicación y dela segunda afirmacióndel teorema quedan como ejercicio
para el lector. �
3.29.<> Ejemplo.8[ Todas las soluciones d e la ecuación característica de la matriz del ejemplo 3.22
A<> =
2
4
1 1<> −1
−1 3<> −1
−1 2 0
3
5
3×3
son reales, pues:
p
A�λ<>) =<> −�λ<> −<> 1)
2
�λ<> −<> 2) = 0<> sii λ 1= 18[ ó<> λ 2= 2<> .
De otro lado, como loestablecimos en el ejemplo 3.22, la matriz A no es diagonalizable, pues<> A8[ sólo posee
dos vectores propios linealmente independientes. En particular:
x
1=
2
4
1
1
1
3
5 y<> x 2=
2
4
0
1
1
3
5
son vectores propios linealmente independientes correspondientes alos valores propios<> λ
1= 18[ y<> λ 2= 2,
respectivamente.
Por el teorema anterior, existe una matriz invertible<> P8[ tal que<> P
−1
AP<> =<> T8[ es una matriz triang ular
superior. Para encontrar una tal matriz<> P8[ , basta proporcionar u n vector<> x
3tal que<> �<> =<> {x 1�<> x2�<> x3}8[ sea
una base para<> �
3×1; el vector
x
3=
2
4
0
2
3
3
5
sirve para tal efecto. Ahora bien, la matriz
P<> =
ˆ
x
1x2x3
˜
=
2
4
1 0 0
1 1 2
1 1 3
3
5
45
3.2. Diagonalización Diagonalización de matrices
es invertible y es tal que
P
−1
AP<> =<> T<> =
2
4
1 0<> −1
0 2 2
0 0 1
3
5
es una matriz triangular superior.
De acuerdo con el teorema anterior, si<> A8[ es una matriz cuadrad a (real) cuyos valores propios no son todos
reales entonces, no puede existir una matriz invertible<> P8[ (real) tal que<> P
−1
AP<> =<> T8[ sea una matriz triangular
superior. Ahora bien,como se ha mencionado se pueden estudiar espacios vectoriales donde los escalares
sean números complejos (ver piés de página de la página 34) y se pueden obtener resultadosmás generales.
En particular, se tieneque para toda matrizcuadrada<> A8[ (real o compleja) exis te una matriz invertible<> P
(real o compleja) tal que<> P
−1
AP<> =<> T8[ sea una matriz triangular superior. Este resultado se tiene, gracias
a la propiedad importante del sistema de los números complejos que establece, que todopolinomio de
grado<> n8[ con coeficientes reales o complejos tiene exactamente<> n8[ raíces reales o compl ejas, contadas sus
multiplicidades. En elteorema siguiente se establece este resultado sin demostración. Quiendesee estudiar
sobre éste, puede consultar las secciones 5.5 y5.6 de [1].
3.30.<> Teorema.<> Para toda matriz cua drada<> A<> (real o compleja) existe una matriz invertible<> P<> (real o
compleja) tal que<> P
−1
AP<> =<> T<> es una matriz triangular superior. Además,los elementos de la diagonal de
T<> son las soluciones dela ecuación característica de<> A.
3.31.<> Ejemplo.8[ Considere la matriz ( real)
A<> =
2
4
1 0 0
0 0 1
0<> −1 0
3
5.
La ecuación característica de<> A8[ es
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =<> −�λ<> −<> 1)�λ
2
+ 1)
=<> −�λ<> −<> 1)�λ<> −<> i)�<>λ<> +<> i<>) = 0<> .
De esto se sigue que<> A8[ sólo tiene un valor pro pio real, a saber,<> λ
1= 1.
En este caso no es posible que exista una matriz invertible<> P8[ (real) tal que<> P
−1
AP<> =<> T8[ sea una ma-
triz triangular superior. Sin embargo, en elcontexto de los espacios vectoriales donde los escalares son
números complejos, sepuede decir, que<> A8[ tiene tres valores prop ios complejos<> λ
1= 1� λ 2=<> i8[ y<> λ 3=<> −i8[ .
Efectuando, en este contexto, los cálculos pertinentes, se encuentraque
x
1=
2
4
1
0
0
3
5�<> x 2=
2
4
0
−i
1
3
5 y<> x 3=
2
4
0
i
1
3
5
son tres vectores propios complejos de<> A8[ linealmente independi entes correspondientesa los valores propios
complejos<> λ
1= 1� λ2=<> i8[ y<> λ3=<> −i8[ respectivamente. Así que la matriz compleja:
P<> =
ˆ
x
1x2x3
˜
=
2
4
1 0 0
0<> −i i
0 1 1
3
5
46
es invertible y es tal que
P
−1
AP<> =<> T<> =
2
4
1 0<> −1
0 2 2
0 0 1
3
5
es una matriz triangular superior.
De acuerdo con el teorema anterior, si<> A8[ es una matriz cuadrad a (real) cuyos valores propios no son todos
reales entonces, no puede existir una matriz invertible<> P8[ (real) tal que<> P
−1
AP<> =<> T8[ sea una matriz triangular
superior. Ahora bien,como se ha mencionado se pueden estudiar espacios vectoriales donde los escalares
sean números complejos (ver piés de página de la página 34) y se pueden obtener resultadosmás generales.
En particular, se tieneque para toda matrizcuadrada<> A8[ (real o compleja) exis te una matriz invertible<> P
(real o compleja) tal que<> P
−1
AP<> =<> T8[ sea una matriz triangular superior. Este resultado se tiene, gracias
a la propiedad importante del sistema de los números complejos que establece, que todopolinomio de
grado<> n8[ con coeficientes reales o complejos tiene exactamente<> n8[ raíces reales o compl ejas, contadas sus
multiplicidades. En elteorema siguiente se establece este resultado sin demostración. Quiendesee estudiar
sobre éste, puede consultar las secciones 5.5 y5.6 de [1].
3.30.<> Teorema.<> Para toda matriz cua drada<> A<> (real o compleja) existe una matriz invertible<> P<> (real o
compleja) tal que<> P
−1
AP<> =<> T<> es una matriz triangular superior. Además,los elementos de la diagonal de
T<> son las soluciones dela ecuación característica de<> A.
3.31.<> Ejemplo.8[ Considere la matriz ( real)
A<> =
2
4
1 0 0
0 0 1
0<> −1 0
3
5.
La ecuación característica de<> A8[ es
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =<> −�λ<> −<> 1)�λ
2
+ 1)
=<> −�λ<> −<> 1)�λ<> −<> i)�<>λ<> +<> i<>) = 0<> .
De esto se sigue que<> A8[ sólo tiene un valor pro pio real, a saber,<> λ
1= 1.
En este caso no es posible que exista una matriz invertible<> P8[ (real) tal que<> P
−1
AP<> =<> T8[ sea una ma-
triz triangular superior. Sin embargo, en elcontexto de los espacios vectoriales donde los escalares son
números complejos, sepuede decir, que<> A8[ tiene tres valores prop ios complejos<> λ
1= 1� λ 2=<> i8[ y<> λ 3=<> −i8[ .
Efectuando, en este contexto, los cálculos pertinentes, se encuentraque
x
1=
2
4
1
0
0
3
5�<> x 2=
2
4
0
−i
1
3
5 y<> x 3=
2
4
0
i
1
3
5
son tres vectores propios complejos de<> A8[ linealmente independi entes correspondientesa los valores propios
complejos<> λ
1= 1� λ2=<> i8[ y<> λ3=<> −i8[ respectivamente. Así que la matriz compleja:
P<> =
ˆ
x
1x2x3
˜
=
2
4
1 0 0
0<> −i i
0 1 1
3
5
46
Diagonalización de matrices 3.2. Diagonalización
es invertible y es tal que
P
−1
AP<> =
2
4
1 0 0
0<> i/2<> i/2
0<> −i/2<> i/2
3
5
2
4
1 0 0
0 0 1
0<> −1 0
3
5
2
4
1 0 0
0<> −i i
0 1 1
3
5
=
2
4
1 0 0
0<> i<> 0
0 0<> −i
3
5=<> D
es una matriz diagonal, y por lo tanto, es unamatriz triangular superior.
3�2 Ejercicios
En los ejercicios 1 al 1responda verdadero o falso, justificando su respuesta:
1. Si una matriz cuadrada<> A8[ es diagonalizable, entonces existen infinitas matrices invertibles<> P8[ tales
que<> P
−1
AP<> =<> D8[ es una matriz diagona l.
2. Si<> A8[ es una matriz<> 3<> ×<> 3con valores propios<> λ
1=<> −1� λ 2= 28[ y<> λ3= 38[ entonces<> A8[ es diagonalizable,
det<> A<> =<> −68[ y<> Tr�A<>) = 4.
3. Si<> A8[ es una matriz invertible y<> λ8[ es un valor propio de<> A8[ entonces<> λ<> �= 08[ y<> �1/λ)8[es un valor propio
de<> A
−1
.
En los ejercicios 4 al 7demuestre la afirmación correspondiente
4. Sea<> A<> ∈<> �
n×ntal que<> p A�λ<>) = �−1)
n
�λ<> −<> λ1)�λ<> −<> λ 2)<> · · ·<> �λ<> −<> λ n), Demuestre que: (i)<> |<>A|<> =
λ
1λ2· · ·<> λny (ii)<> Tr<> A<> =<> λ 1+<> λ2+<> · · ·<> +<> λ n.
5. Sea<> A8[ una matriz cuadrada<> n<> ×<> n8[ tal que
|a
ii|<> >
n
X
j<>�=i�j<>=1
|aij|�
para todo<> i<> = 1�<> 2� . . . n, entonces<> A8[ es invertible. (Sugeren cia: suponga que existe un vector<> x<> =
[x
1x2· · ·<> xn]
T
�= 08[ tal que<> Ax<> = 08[ y que<> |x i|<> = m´ax{|<>x 1|�<> |x2|<>� . . .<> |x n|}. Despeje<> a iixien
la<> i-8[ésima ecuación del sistema<> Ax<> = 08[, tome valor absoluto y llegue a una contradicción).
6. Sean<> A<> ∈<> �
n×n;<> B<> ∈<> � m×m;<> C<> ∈<> � n×my<> M<> =
»
A C
�<> B
–
.
a8[) Describa el conjuntode valores propios de<> M8[ en términos de los val ores propios de<> A8[ y de<> B.
(Sugerencia: calcule<> p
A�λ<>) = det�M<> −<> λI<>)).
b8[) Demuestre que si<> x
1es un<> λ8[-vector propio de<> A8[ entonces<> x<> =
»
x
1
�
–
es un<> λ8[-vector propio
de<> M.
7. Si<> A8[ es una matriz<> n<> ×<> n8[ tal que<> A
2
=<> mA�8[ entonces
Tr<> A<> =<> mρ�A).
(Sug.: considere (i)<> ρ�A<>) = 0�8[ (ii)<> ρ�A) =<> n8[ y (ii)<> 0<> < ρ�A)<> < n8[, use el teorema 3.28)
8. Considere cada unade las matrices<> M8[ del problema 17 de la sección de ejercicios 3.1. Encuentre,
si es posible, una matriz invertible<> P8[ tal que<> P
−1
M P8[ sea una matriz diagonal
9. Sea<> T<> :<> P
2→<> P2la transformación lineal definida por
T<> [a<> +<> bx<> +<> cx
2
] = �a<> −<> b<> + 4c) + �3a<> + 2b<> −<> c)x<> + �2a<> +<> b<> −<> c)x
2
.
a8[) Calcule los valores propios y los vectores propios.
b8[) Dé, si existe, una base ordenada<> C8[ de<> P
2tal que<> [T<> ]
C C
sea una matriz diagonal.
47
es invertible y es tal que
P
−1
AP<> =
2
4
1 0 0
0<> i/2<> i/2
0<> −i/2<> i/2
3
5
2
4
1 0 0
0 0 1
0<> −1 0
3
5
2
4
1 0 0
0<> −i i
0 1 1
3
5
=
2
4
1 0 0
0<> i<> 0
0 0<> −i
3
5=<> D
es una matriz diagonal, y por lo tanto, es unamatriz triangular superior.
3�2 Ejercicios
En los ejercicios 1 al 1responda verdadero o falso, justificando su respuesta:
1. Si una matriz cuadrada<> A8[ es diagonalizable, entonces existen infinitas matrices invertibles<> P8[ tales
que<> P
−1
AP<> =<> D8[ es una matriz diagona l.
2. Si<> A8[ es una matriz<> 3<> ×<> 3con valores propios<> λ
1=<> −1� λ 2= 28[ y<> λ3= 38[ entonces<> A8[ es diagonalizable,
det<> A<> =<> −68[ y<> Tr�A<>) = 4.
3. Si<> A8[ es una matriz invertible y<> λ8[ es un valor propio de<> A8[ entonces<> λ<> �= 08[ y<> �1/λ)8[es un valor propio
de<> A
−1
.
En los ejercicios 4 al 7demuestre la afirmación correspondiente
4. Sea<> A<> ∈<> �
n×ntal que<> p A�λ<>) = �−1)
n
�λ<> −<> λ1)�λ<> −<> λ 2)<> · · ·<> �λ<> −<> λ n), Demuestre que: (i)<> |<>A|<> =
λ
1λ2· · ·<> λny (ii)<> Tr<> A<> =<> λ 1+<> λ2+<> · · ·<> +<> λ n.
5. Sea<> A8[ una matriz cuadrada<> n<> ×<> n8[ tal que
|a
ii|<> >
n
X
j<>�=i�j<>=1
|aij|�
para todo<> i<> = 1�<> 2� . . . n, entonces<> A8[ es invertible. (Sugeren cia: suponga que existe un vector<> x<> =
[x
1x2· · ·<> xn]
T
�= 08[ tal que<> Ax<> = 08[ y que<> |x i|<> = m´ax{|<>x 1|�<> |x2|<>� . . .<> |x n|}. Despeje<> a iixien
la<> i-8[ésima ecuación del sistema<> Ax<> = 08[, tome valor absoluto y llegue a una contradicción).
6. Sean<> A<> ∈<> �
n×n;<> B<> ∈<> � m×m;<> C<> ∈<> � n×my<> M<> =
»
A C
�<> B
–
.
a8[) Describa el conjuntode valores propios de<> M8[ en términos de los val ores propios de<> A8[ y de<> B.
(Sugerencia: calcule<> p
A�λ<>) = det�M<> −<> λI<>)).
b8[) Demuestre que si<> x
1es un<> λ8[-vector propio de<> A8[ entonces<> x<> =
»
x
1
�
–
es un<> λ8[-vector propio
de<> M.
7. Si<> A8[ es una matriz<> n<> ×<> n8[ tal que<> A
2
=<> mA�8[ entonces
Tr<> A<> =<> mρ�A).
(Sug.: considere (i)<> ρ�A<>) = 0�8[ (ii)<> ρ�A) =<> n8[ y (ii)<> 0<> < ρ�A)<> < n8[, use el teorema 3.28)
8. Considere cada unade las matrices<> M8[ del problema 17 de la sección de ejercicios 3.1. Encuentre,
si es posible, una matriz invertible<> P8[ tal que<> P
−1
M P8[ sea una matriz diagonal
9. Sea<> T<> :<> P
2→<> P2la transformación lineal definida por
T<> [a<> +<> bx<> +<> cx
2
] = �a<> −<> b<> + 4c) + �3a<> + 2b<> −<> c)x<> + �2a<> +<> b<> −<> c)x
2
.
a8[) Calcule los valores propios y los vectores propios.
b8[) Dé, si existe, una base ordenada<> C8[ de<> P
2tal que<> [T<> ]
C C
sea una matriz diagonal.
47
3.3. Matrices simétricas Diagonalización de matrices
3.3. Diagonalización de matrices simétricas
En esta sección se limitará el estudio de losconceptos de valor propio, vector propio y diagonalización a
matrices simétricas. Dos resultados importantes que se verán en esta sección son los siguientes:<> (i)8[ Todas
las soluciones de la ecuación característica de toda matriz simétrica (real) son reales, y<> (ii)8[ Toda matriz
simétrica (real) es diagonalizable, y más aún,diagonalizable en unaforma especial.
Como se verá en el capítulo 4, los valores propios de una matriz simétrica se utilizan como criterio para
decidir cuándo una forma cuadrática es positivamente (negativamente)definida (semidefinida)o indefinida.
Como se estableció alfinal de la sección anterior, uno puede estudiar espacios vectorialesdonde los es-
calares son números complejos. únicamente en la demostración delteorema 3.32, se utilizarán los hechos
siguientes que involucran números complejos.
1. El conjugado del número complejo<> z<> =<> a<> +<> bi� a� b<> ∈<> R, se denota por z8[ y se define así:z<> =<> a<> −<> bi.
2. Un número complejo<> z8[ es real<> sii z<> =<> z8[.
3. La matriz conjugada de la matriz compleja<> n<> ×<> n,<> A8[, se de nota por A8[ y cuyos componentesson
�Aij�<> =�A�
ij
� i� j<> = 1�<> 2� . . . � n.
4. Para todo vector complejo<> n<> ×<> 1�<> x, se tiene: x
T
x<> =<> x
T
x8[ yx
T
x<> = 0<> sii<> x<> = 0.
5. Para toda matriz cuadrada<> A8[ con componentes com plejas;<> |A|<> = 0<> sii8[ existe un vector<> x<> �= 0�8[ con
componentes complejas, tal que<> Ax<> = 0.
3.32.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz (real) cua drada de orden<> n. Si<> A<> es una matriz simétr ica, entonces
todas las soluciones dela ecuación característica de<> A:<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 0�<> son reales. Esto es,<> A<> tiene
n<> valores propios (reales) los cuales no son necesariamente diferentes.
Demostración�8[ Si<> p
A�λ<>) =<> |<>A<> −<> λI<>|<> = 0�8[ entonces por (5), exist e un vector<> x<> �= 08[ tal que:
(3.1) Ax<> =<> λx
de esto se sigue que, (ver (3) y (2)):
(3.2) A
x<> =λx<> .
Ahora, premultiplicando (3.1) porx
T
y (3.2) por<> x
T
se tiene
(3.3) x
T
Ax<> =<> λx
T
x8[ y<> x
T
Ax<> =λx
T
x<> �
puesto quex
T
Ax<> = �x
T
Ax)
T
=<> x
T
A
T
x<> =<> x
T
Ax�8[ de (3.3) se sigue que:
(3.4) λx
T
x<> =λx
T
x<> .
De (4) se tiene quex
T
x<> =<> x
T
x�8[ por lo tanto, de (3.4)se concluye que :
�λ<> −λ)x
T
x<> = 0.
Ya que<> x<> �= 08[, de (4) se tiene que
�λ<> −λ) = 08[ o sea,<> λ<> = λ.
en consecuencia, por (2),<> λ8[ es un número real. �
En lo que resta de estas notas, no se hará más referencia al sistemade números complejos.
El teorema 3.23 establece que, para cada matriz cuadrada<> A8[, los vectores propios co rrespondientes a valores
propios diferentes son linealmente independientes. Para matrices simétricas se tiene un resultado más fuerte.
Este resultado se establece en el teorema siguiente.
48
3.3. Diagonalización de matrices simétricas
En esta sección se limitará el estudio de losconceptos de valor propio, vector propio y diagonalización a
matrices simétricas. Dos resultados importantes que se verán en esta sección son los siguientes:<> (i)8[ Todas
las soluciones de la ecuación característica de toda matriz simétrica (real) son reales, y<> (ii)8[ Toda matriz
simétrica (real) es diagonalizable, y más aún,diagonalizable en unaforma especial.
Como se verá en el capítulo 4, los valores propios de una matriz simétrica se utilizan como criterio para
decidir cuándo una forma cuadrática es positivamente (negativamente)definida (semidefinida)o indefinida.
Como se estableció alfinal de la sección anterior, uno puede estudiar espacios vectorialesdonde los es-
calares son números complejos. únicamente en la demostración delteorema 3.32, se utilizarán los hechos
siguientes que involucran números complejos.
1. El conjugado del número complejo<> z<> =<> a<> +<> bi� a� b<> ∈<> R, se denota por z8[ y se define así:z<> =<> a<> −<> bi.
2. Un número complejo<> z8[ es real<> sii z<> =<> z8[.
3. La matriz conjugada de la matriz compleja<> n<> ×<> n,<> A8[, se de nota por A8[ y cuyos componentesson
�Aij�<> =�A�
ij
� i� j<> = 1�<> 2� . . . � n.
4. Para todo vector complejo<> n<> ×<> 1�<> x, se tiene: x
T
x<> =<> x
T
x8[ yx
T
x<> = 0<> sii<> x<> = 0.
5. Para toda matriz cuadrada<> A8[ con componentes com plejas;<> |A|<> = 0<> sii8[ existe un vector<> x<> �= 0�8[ con
componentes complejas, tal que<> Ax<> = 0.
3.32.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz (real) cua drada de orden<> n. Si<> A<> es una matriz simétr ica, entonces
todas las soluciones dela ecuación característica de<> A:<> p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> = 0�<> son reales. Esto es,<> A<> tiene
n<> valores propios (reales) los cuales no son necesariamente diferentes.
Demostración�8[ Si<> p
A�λ<>) =<> |<>A<> −<> λI<>|<> = 0�8[ entonces por (5), exist e un vector<> x<> �= 08[ tal que:
(3.1) Ax<> =<> λx
de esto se sigue que, (ver (3) y (2)):
(3.2) A
x<> =λx<> .
Ahora, premultiplicando (3.1) porx
T
y (3.2) por<> x
T
se tiene
(3.3) x
T
Ax<> =<> λx
T
x8[ y<> x
T
Ax<> =λx
T
x<> �
puesto quex
T
Ax<> = �x
T
Ax)
T
=<> x
T
A
T
x<> =<> x
T
Ax�8[ de (3.3) se sigue que:
(3.4) λx
T
x<> =λx
T
x<> .
De (4) se tiene quex
T
x<> =<> x
T
x�8[ por lo tanto, de (3.4)se concluye que :
�λ<> −λ)x
T
x<> = 0.
Ya que<> x<> �= 08[, de (4) se tiene que
�λ<> −λ) = 08[ o sea,<> λ<> = λ.
en consecuencia, por (2),<> λ8[ es un número real. �
En lo que resta de estas notas, no se hará más referencia al sistemade números complejos.
El teorema 3.23 establece que, para cada matriz cuadrada<> A8[, los vectores propios co rrespondientes a valores
propios diferentes son linealmente independientes. Para matrices simétricas se tiene un resultado más fuerte.
Este resultado se establece en el teorema siguiente.
48
Diagonalización de matrices 3.3. Matrices simétricas
3.33.<> Teorema.<> Si<> λ 1� λ2� . . . � λkson los valores propiosdiferentes de una matriz simétrica<> A<> y si<> x 1�<> x2� . . . �<> xk
son vectores propios de<> A<> correspondientes a los valores propios<> λ 1� λ2� . . . � λk, respectivamente, entonces
el conjunto de vectores<> C<> =<> {x
1�<> x2� . . . �<> xk}<> es ortogonal.
Demostración�8[ Se debe demostrar qu e<> �x
i;<> xj�<> =<> x
T
i
xj= 08[ si<> i<> �=<> j�8[ para<> i� j<> = 1�<> 2� . . . k
Por la hipótesis se tiene que:
Ax
i=<> λixi�8[ y(3.5)
Ax
j=<> λjxj.(3.6)
Ahora, premultiplicando (3.5) por<> x
T
j
y a (3.6) por<> x
T
i
�8[ se obtiene
(3.7) x
T
j
Axi=<> λix
T
j
xi y<> x
T
i
Axj=<> λjx
T
i
xj�
puesto que<> x
T
j
Axi= �x
T
j
Axi)
T
=<> x
T
i
A
T
xj=<> x
T
i
Axj�8[ de (3.7) se sigue que:
(3.8) λx
T
j
xi=<> λjx
T
i
xj.
Ya que<> x
T
j
xi=<> x
T
i
xjde (3.8) se concluye que:
�λ
i−<> λj)x
T
i
xj= 0.
Ahora bien, los valorespropios son distintos, entonces<> x
T
i
xj= 08[, si<> i<> �=<> j� i� j<> = 1�<> 2� . . . k8[.<> �
3.34.<> Definición.<> Se dice que una matr iz cuadrada<> P<> es ortogonal, si<> P<> es invertible y<> P
−1
=<> P
T
.
3.35.<> Ejemplo.8[ La matriz
P<> =
1
3
2
4
1<> −2 2
2 2 1
2<> −1<> −2
3
5
es ortogonal, pues:
P P
T
=<> P<> =
1
3
2
4
1<> −2 2
2 2 1
2<> −1<> −2
3
5
1
3
2
4
1 2 2
−2 2<> −1
2 1<> −2
3
5=
2
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
5=<> I.
3.36.<> Proposición.<> Una matriz<> P<> =
ˆ
x
1x2· · ·<> xn
˜
es ortogonal sii el conjunto<> �<> =<> {x
1�<> x2� . . . �<> xn}
constituye una base ortonormal de<> �
n×1.
Demostración�8[ La matriz<> P<> =
ˆ
x
1x2· · ·<> xn
˜
es ortogonal<> sii<> P
T
P<> =<> I8[. Ahora bien,
P
T
P<> =
2
6
6
6
6
6
6
6
4
x
T
1
x
T
2
.
.
.
x
T
n
3
7
7
7
7
7
7
7
5
[x
1x2· · ·<> xn] =
2
6
6
6
6
6
6
6
4
x
T
1
x1x
T
1
x2· · ·<> x
T
1
xn
x
T
2
x1x
T
2
x2· · ·<> x
T
2
xn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
T
n
x1x
T
n
x2· · ·<> x
T
n
xn
3
7
7
7
7
7
7
7
5
Es fácil entonces observar, que<> P
T
P<> =<> I8[ si y sólo si se cumpleque:
x
T
i
xj=
(
1<> si i<> �=<> j
0<> si i<> =<> j
;<> i� j<> = 1�<> 2� . . . � n �
lo cual equivale a que<> �<> =<> {x
1�<> x2� . . . �<> xn}8[ es una base ortonormal de<> � n×1(ver sección 1.2.3).<> �
49
3.33.<> Teorema.<> Si<> λ 1� λ2� . . . � λkson los valores propiosdiferentes de una matriz simétrica<> A<> y si<> x 1�<> x2� . . . �<> xk
son vectores propios de<> A<> correspondientes a los valores propios<> λ 1� λ2� . . . � λk, respectivamente, entonces
el conjunto de vectores<> C<> =<> {x
1�<> x2� . . . �<> xk}<> es ortogonal.
Demostración�8[ Se debe demostrar qu e<> �x
i;<> xj�<> =<> x
T
i
xj= 08[ si<> i<> �=<> j�8[ para<> i� j<> = 1�<> 2� . . . k
Por la hipótesis se tiene que:
Ax
i=<> λixi�8[ y(3.5)
Ax
j=<> λjxj.(3.6)
Ahora, premultiplicando (3.5) por<> x
T
j
y a (3.6) por<> x
T
i
�8[ se obtiene
(3.7) x
T
j
Axi=<> λix
T
j
xi y<> x
T
i
Axj=<> λjx
T
i
xj�
puesto que<> x
T
j
Axi= �x
T
j
Axi)
T
=<> x
T
i
A
T
xj=<> x
T
i
Axj�8[ de (3.7) se sigue que:
(3.8) λx
T
j
xi=<> λjx
T
i
xj.
Ya que<> x
T
j
xi=<> x
T
i
xjde (3.8) se concluye que:
�λ
i−<> λj)x
T
i
xj= 0.
Ahora bien, los valorespropios son distintos, entonces<> x
T
i
xj= 08[, si<> i<> �=<> j� i� j<> = 1�<> 2� . . . k8[.<> �
3.34.<> Definición.<> Se dice que una matr iz cuadrada<> P<> es ortogonal, si<> P<> es invertible y<> P
−1
=<> P
T
.
3.35.<> Ejemplo.8[ La matriz
P<> =
1
3
2
4
1<> −2 2
2 2 1
2<> −1<> −2
3
5
es ortogonal, pues:
P P
T
=<> P<> =
1
3
2
4
1<> −2 2
2 2 1
2<> −1<> −2
3
5
1
3
2
4
1 2 2
−2 2<> −1
2 1<> −2
3
5=
2
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
5=<> I.
3.36.<> Proposición.<> Una matriz<> P<> =
ˆ
x
1x2· · ·<> xn
˜
es ortogonal sii el conjunto<> �<> =<> {x
1�<> x2� . . . �<> xn}
constituye una base ortonormal de<> �
n×1.
Demostración�8[ La matriz<> P<> =
ˆ
x
1x2· · ·<> xn
˜
es ortogonal<> sii<> P
T
P<> =<> I8[. Ahora bien,
P
T
P<> =
2
6
6
6
6
6
6
6
4
x
T
1
x
T
2
.
.
.
x
T
n
3
7
7
7
7
7
7
7
5
[x
1x2· · ·<> xn] =
2
6
6
6
6
6
6
6
4
x
T
1
x1x
T
1
x2· · ·<> x
T
1
xn
x
T
2
x1x
T
2
x2· · ·<> x
T
2
xn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
T
n
x1x
T
n
x2· · ·<> x
T
n
xn
3
7
7
7
7
7
7
7
5
Es fácil entonces observar, que<> P
T
P<> =<> I8[ si y sólo si se cumpleque:
x
T
i
xj=
(
1<> si i<> �=<> j
0<> si i<> =<> j
;<> i� j<> = 1�<> 2� . . . � n �
lo cual equivale a que<> �<> =<> {x
1�<> x2� . . . �<> xn}8[ es una base ortonormal de<> � n×1(ver sección 1.2.3).<> �
49
3.3. Matrices simétricas Diagonalización de matrices
3.37.<> Teorema.<> Si<> λ
∗
es un valor propio de una matriz simétrica, entonces las multiplicidades algebraica
y geométrica de<> λ
∗
son iguales.
Demostración�8[ Sea<> A8[ una matriz simétrica d e orden<> n8[ y sea<> λ
∗
un valor propio de<> A.8[ Supongamos que
la multiplicidad geométrica de<> λ
∗
es<> r.8[ Por el teorema 1.33, existe una base ortonormal<> �<> =<> {x 1�<> x2� . . . �<> xr}
del espacio de vectores propios asociados a<> λ
∗
� S<>�λ
∗
). Si<> r<> =<> n�8[ la matriz<> P<> = [ x 1x2· · ·<> xn]es
ortogonal (proposición3.36), y de acuerdo conel teorema 3.19,
P
T
AP<> =<> P
−1
AP<> =<> D<> =<> λ
∗
I .
Ahora, las matrices<> A8[ y<> D8[ tienen igual polinomio característico:
p
A�λ<>) =<> pD�λ<>) =<> |<>λ
∗
I<> −<> λI<>|<> = �λ
∗
−<> λ)
n
.
De esto se sigue que<> λ
∗
es un valor propio de<> A8[ con multiplicidad alge braica<> r<> =<> n.
De otra parte, si<> r < n, existen<> n−r8[ vectores<> y
1�<> y2� . . . �<> yn−rde<> �n×1tales que<> �<> =<> {x 1� . . . �<> xr�<> y1� . . . �<> yn−r}
es una base ortonormal de<> �
n×1(teorema 1.34). Por laproposición 3.36, la matriz
P<> =
ˆ
x
1x2· · ·<> xry1y2· · ·<> yn−r
˜
=
ˆ
X Y
˜
es ortogonal. Considere ahora la matriz<> T<> =<> P
T
AP<> =<> P
−1
AP�8[ es decir, la matriz:
T<> =
»
X
T
Y
T
–
A
ˆ
X Y
˜
=
»
λ
∗
I X
T
AY
�<> Y
T
AY
–
=
»
λ
∗
I B
�<> C
–
.
Puesto que<> A8[ es simétrica,<> T
T
= �P
T
AP<> )
T
=<> P
T
A
T
P<> =<> P
T
AP<> =<> T�8[ o sea
»
λ
∗
I B
�<> C
–
=
»
λ
∗
I<> �
B C
T
–
�
por lo tanto<> B<> =<> �8[ y
T<> =
»
λ
∗
I<> �
�<> C
–
.
Puesto que las matrices<> A8[ y<> T8[ son semejantes, entonces tienen el mismo polinomio característico:
p
A�λ<>) =<> pT�λ<>) =<> |<>T<> −<> λI<>|<> = �λ
∗
−<> λ)
r
|C<> −<> λI<>|<> .
De esto se sigue, que<> λ
∗
es un valor propio de<> A8[ con multiplicidad alge braica<> k<> ≥<> r8[. Veamos que<> k<> =<> r8[. Si
k > r�8[ entonces se debe tenerque<> |C<> −<> λ
∗
I<>|<> = 0�8[ y por lo tanto existe un vector<> �n<> −<> r<>)<> ×<> 1�<> w<> �= 08[ tal que
C<>w<> =<> λ
∗
w8[.
50
3.37.<> Teorema.<> Si<> λ
∗
es un valor propio de una matriz simétrica, entonces las multiplicidades algebraica
y geométrica de<> λ
∗
son iguales.
Demostración�8[ Sea<> A8[ una matriz simétrica d e orden<> n8[ y sea<> λ
∗
un valor propio de<> A.8[ Supongamos que
la multiplicidad geométrica de<> λ
∗
es<> r.8[ Por el teorema 1.33, existe una base ortonormal<> �<> =<> {x 1�<> x2� . . . �<> xr}
del espacio de vectores propios asociados a<> λ
∗
� S<>�λ
∗
). Si<> r<> =<> n�8[ la matriz<> P<> = [ x 1x2· · ·<> xn]es
ortogonal (proposición3.36), y de acuerdo conel teorema 3.19,
P
T
AP<> =<> P
−1
AP<> =<> D<> =<> λ
∗
I .
Ahora, las matrices<> A8[ y<> D8[ tienen igual polinomio característico:
p
A�λ<>) =<> pD�λ<>) =<> |<>λ
∗
I<> −<> λI<>|<> = �λ
∗
−<> λ)
n
.
De esto se sigue que<> λ
∗
es un valor propio de<> A8[ con multiplicidad alge braica<> r<> =<> n.
De otra parte, si<> r < n, existen<> n−r8[ vectores<> y
1�<> y2� . . . �<> yn−rde<> �n×1tales que<> �<> =<> {x 1� . . . �<> xr�<> y1� . . . �<> yn−r}
es una base ortonormal de<> �
n×1(teorema 1.34). Por laproposición 3.36, la matriz
P<> =
ˆ
x
1x2· · ·<> xry1y2· · ·<> yn−r
˜
=
ˆ
X Y
˜
es ortogonal. Considere ahora la matriz<> T<> =<> P
T
AP<> =<> P
−1
AP�8[ es decir, la matriz:
T<> =
»
X
T
Y
T
–
A
ˆ
X Y
˜
=
»
λ
∗
I X
T
AY
�<> Y
T
AY
–
=
»
λ
∗
I B
�<> C
–
.
Puesto que<> A8[ es simétrica,<> T
T
= �P
T
AP<> )
T
=<> P
T
A
T
P<> =<> P
T
AP<> =<> T�8[ o sea
»
λ
∗
I B
�<> C
–
=
»
λ
∗
I<> �
B C
T
–
�
por lo tanto<> B<> =<> �8[ y
T<> =
»
λ
∗
I<> �
�<> C
–
.
Puesto que las matrices<> A8[ y<> T8[ son semejantes, entonces tienen el mismo polinomio característico:
p
A�λ<>) =<> pT�λ<>) =<> |<>T<> −<> λI<>|<> = �λ
∗
−<> λ)
r
|C<> −<> λI<>|<> .
De esto se sigue, que<> λ
∗
es un valor propio de<> A8[ con multiplicidad alge braica<> k<> ≥<> r8[. Veamos que<> k<> =<> r8[. Si
k > r�8[ entonces se debe tenerque<> |C<> −<> λ
∗
I<>|<> = 0�8[ y por lo tanto existe un vector<> �n<> −<> r<>)<> ×<> 1�<> w<> �= 08[ tal que
C<>w<> =<> λ
∗
w8[.
50
Diagonalización de matrices 3.3. Matrices simétricas
Considere ahora el vector no nulo<> u<> ∈<> � n×1dado por<> u<> =<> P
»
�
w
–
.8[ Es decir,
u<> =<> P
»
�
w
–
= [<>x
1x2· · ·<> xry1y2· · ·<> yn−r]
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
0
0
.
.
.
0
w
1
w2
.
.
.
w
n−r
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
=<> w
1y1+<> w2y2+<> · · ·<> wn−ryn−r.
Esto es, el vector<> u<> ∈ �y
1�<> y2� . . . �<> yn−r�8[ y<> u<> /<>∈ �x 1�<> x2� . . . �<> xr�
De otro lado, el vector<> u8[, es un<> λ
∗
-vector propio de<> A.8[ En efecto,
Au<> =<> P
»
λ
∗
I<> �
�<> C
–
P T
P
»
�
w
–
=<> P
»
λ
∗
I<> �
�<> C
– »
�
w
–
=<> P
»
�
C<>w
–
=<> P
»
�
λ
∗
w
–
=<> λ
∗
P
»
�
w
–
=<> λ
∗
u<> .
Esto indica, que<> B<> =<> {x
1�<> x2� . . . �<> xr�<> ur<>+1}8[ es un conjunto de<> r<> + 18[ vectores propios lineal mente indepen-
dientes correspondientes al valor propio<> λ
∗
, lo cual contradice elhecho de que la multiplicidad geométrica
de<> λ
∗
sea<> r. �
3.38.<> Teorema.<> Si<> A<> es una matriz simétric a de orden<> n�<> entonces<> A<> tiene<> n<> vectores propios ortogo nales,
y por tanto, linealmente independientes.
Demostración�8[ Sean<> λ
1� λ2� . . . � λklos diferentes valores propios de<> A.8[ Supongamos que la m ultipli-
cidad algebraica de<> λ
ies<> mi�mi= 1�<> 2� . . . � k<>;8[ esto es, supongamos q ue
p
A�λ<>) = �−1)
n
�λ<> −<> λ1)
m�
�λ<> −<> λ2)
m2
· · ·<> �λ<> −<> λ k)
m
k
�
donde<> m
1+<> m2+<> · · ·<> +<> m k=<> n.
Por el teorema anterior, la multiplicidad geométrica de<> λ
ies<> mi,<> i<> = 1<>� . . . � k.8[ Sean ahora:
U
1=<> {x
1
1
� . . . �<> x
1
m
�
}�<> · · ·<> � Uk=<> {x
k
1
� . . . �<> x
k
m
k
}
bases ortogonales de<> S<>�λ
1)�<> · · ·<> � S<>�λ k)8[ respectivamente. Entonces por el teorema3.33, el conjunto de<> n
vectores propios de<> A:
U<> =<> U
1∪<> U2∪ · · · ∪<> U k
=<> {x
1
1
� . . . �<> x
1
m
�
�<> x
2
1
� . . . �<> x
2
m
2
� . . . �<> x
k
1
� . . . �<> x
k
m
k
}
es ortogonal. �
La demostración del siguiente corolario es consecuencia inmediata del teorema 3.38 y del teorema 3.19.
3.39.<> Corolario.<> Toda matriz simétrica es diagonalizable.
3.40.<> Definición.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada. Se dice que<> A<> es ortogonalmente dia gonalizable si existe un
matriz ortogonal<> P<> tal que<> P
T
AP<> =<> D<> es una matriz diagona l.
51
Considere ahora el vector no nulo<> u<> ∈<> � n×1dado por<> u<> =<> P
»
�
w
–
.8[ Es decir,
u<> =<> P
»
�
w
–
= [<>x
1x2· · ·<> xry1y2· · ·<> yn−r]
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
0
0
.
.
.
0
w
1
w2
.
.
.
w
n−r
3
7
7
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7
7
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7
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7
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7
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7
5
=<> w
1y1+<> w2y2+<> · · ·<> wn−ryn−r.
Esto es, el vector<> u<> ∈ �y
1�<> y2� . . . �<> yn−r�8[ y<> u<> /<>∈ �x 1�<> x2� . . . �<> xr�
De otro lado, el vector<> u8[, es un<> λ
∗
-vector propio de<> A.8[ En efecto,
Au<> =<> P
»
λ
∗
I<> �
�<> C
–
P T
P
»
�
w
–
=<> P
»
λ
∗
I<> �
�<> C
– »
�
w
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=<> P
»
�
C<>w
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=<> P
»
�
λ
∗
w
–
=<> λ
∗
P
»
�
w
–
=<> λ
∗
u<> .
Esto indica, que<> B<> =<> {x
1�<> x2� . . . �<> xr�<> ur<>+1}8[ es un conjunto de<> r<> + 18[ vectores propios lineal mente indepen-
dientes correspondientes al valor propio<> λ
∗
, lo cual contradice elhecho de que la multiplicidad geométrica
de<> λ
∗
sea<> r. �
3.38.<> Teorema.<> Si<> A<> es una matriz simétric a de orden<> n�<> entonces<> A<> tiene<> n<> vectores propios ortogo nales,
y por tanto, linealmente independientes.
Demostración�8[ Sean<> λ
1� λ2� . . . � λklos diferentes valores propios de<> A.8[ Supongamos que la m ultipli-
cidad algebraica de<> λ
ies<> mi�mi= 1�<> 2� . . . � k<>;8[ esto es, supongamos q ue
p
A�λ<>) = �−1)
n
�λ<> −<> λ1)
m�
�λ<> −<> λ2)
m2
· · ·<> �λ<> −<> λ k)
m
k
�
donde<> m
1+<> m2+<> · · ·<> +<> m k=<> n.
Por el teorema anterior, la multiplicidad geométrica de<> λ
ies<> mi,<> i<> = 1<>� . . . � k.8[ Sean ahora:
U
1=<> {x
1
1
� . . . �<> x
1
m
�
}�<> · · ·<> � Uk=<> {x
k
1
� . . . �<> x
k
m
k
}
bases ortogonales de<> S<>�λ
1)�<> · · ·<> � S<>�λ k)8[ respectivamente. Entonces por el teorema3.33, el conjunto de<> n
vectores propios de<> A:
U<> =<> U
1∪<> U2∪ · · · ∪<> U k
=<> {x
1
1
� . . . �<> x
1
m
�
�<> x
2
1
� . . . �<> x
2
m
2
� . . . �<> x
k
1
� . . . �<> x
k
m
k
}
es ortogonal. �
La demostración del siguiente corolario es consecuencia inmediata del teorema 3.38 y del teorema 3.19.
3.39.<> Corolario.<> Toda matriz simétrica es diagonalizable.
3.40.<> Definición.<> Sea<> A<> una matriz cuadrada. Se dice que<> A<> es ortogonalmente dia gonalizable si existe un
matriz ortogonal<> P<> tal que<> P
T
AP<> =<> D<> es una matriz diagona l.
51
3.3. Matrices simétricas Diagonalización de matrices
3.41.<> Teorema.<> Si<> A<> es una matriz simétric a, entonces<> A<> es ortogonalmente dia gonalizable; esto es, existe
una matriz ortogonal<> P<> tal que<> P
T
AP<> =<> D<> es una matriz diagona l. Más aún, las columnas de la matriz<> P
son los vectores propios de<> A<> y los elementos de ladiagonal de<> D<> son los valores propio s de<> A.
Demostración�8[ Sea<> A8[ es una matriz simétr ica de orden<> n, entonces<> A8[ tiene<> n8[ vectores propios
ortonormales<> x
1�<> x2� . . . �<> xn(teorema 3.38). Supongamos que éstos corresponden a los valorespropios
λ
1� λ2� . . . � λn�8[ respectivamente. La matriz<> P<> = [ x 1x2· · ·<> xn]es ortogonal (proposición 3.36), y de
acuerdo con la demostración del teorema 3.19, se tiene que
P
T
AP<> =<> P
−1
AP<> =<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
n
3
7
7
7
5
.
�
El recíproco del teorema 3.41 también es válido y está dado por el siguiente
3.42.<> Teorema.<> Si una matriz<> A<> es ortogonalmente dia gonalizable, entonces<> A<> es simétrica.
Demostración�8[ Por hipótesis, existe u na matriz ortogonal<> P8[ que diagonaliza a la m atriz<> A�8[ esto es,
se tiene que<> P
T
AP<> =<> D8[, siendo<> D8[ una matriz diagonal. De aquí que:
A<> =<> P DP
T
= �P D
T
P
T
)
T
= �<>P DP
T
)
T
=<> A
T
�
o sea,<> A8[ es una matriz simétrica. �
3.43.<> Ejemplo.8[ Para la matriz simétr ica:
A<> =
2
4
5 2 2
2 2<> −4
2<> −4 2
3
5
3×3
encontre una matriz ortogonal<> P8[ tal que<> P
T
AP<> =<> D8[ sea una matriz diagon al.
Para ello se debe encontrar tres vectores propios de<> A8[ ortonormales. El poli nomio característico de<> A�
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|8[ está dado por:
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
5<> −<> λ<> 2 2
2 2<> −<> λ<> −4
2<> −<>4 2<> −<> λ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=<> −�λ<> + 3)�λ<> −<> 6)
2
.
Se requiere ahora resolver la ecuación característica de<> A� p
A�λ<>) =<> |<>A<> −<> λI<>|<> = 0.8[ Pero dado que
p
A�λ<>) =<> −�λ<> + 3)�λ<> −<> 6)
2
= 0<> sii λ<> =<> −38[ ó<> λ<> = 6
se tiene entonces, quelos diferentes valores propios de<> A8[ son<> λ
1=<> −38[ y<> λ 2= 6.
Por definición, los<> �−3)-vectores propios de<> A8[ son las soluciones no n ulas del sistema de ecuaciones lineales
�A<> + 3I<>)<> x<> = 08[ y los<> 6-vectores propios de<> A8[ son las soluciones no n ulas del sistema de ecuaciones lineales
�A<> −<> 6I<>)x<> = 0.8[ Se tiene entonces:
A<> + 3I<> =
2
4
8 2 2
2 5<> −4
2<> −4 5
3
5 y A<> −<> 6I<> =
2
4
−1 2 2
2<> −4<> −4
2<> −4<> −4
3
5.
52
3.41.<> Teorema.<> Si<> A<> es una matriz simétric a, entonces<> A<> es ortogonalmente dia gonalizable; esto es, existe
una matriz ortogonal<> P<> tal que<> P
T
AP<> =<> D<> es una matriz diagona l. Más aún, las columnas de la matriz<> P
son los vectores propios de<> A<> y los elementos de ladiagonal de<> D<> son los valores propio s de<> A.
Demostración�8[ Sea<> A8[ es una matriz simétr ica de orden<> n, entonces<> A8[ tiene<> n8[ vectores propios
ortonormales<> x
1�<> x2� . . . �<> xn(teorema 3.38). Supongamos que éstos corresponden a los valorespropios
λ
1� λ2� . . . � λn�8[ respectivamente. La matriz<> P<> = [ x 1x2· · ·<> xn]es ortogonal (proposición 3.36), y de
acuerdo con la demostración del teorema 3.19, se tiene que
P
T
AP<> =<> P
−1
AP<> =<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
n
3
7
7
7
5
.
�
El recíproco del teorema 3.41 también es válido y está dado por el siguiente
3.42.<> Teorema.<> Si una matriz<> A<> es ortogonalmente dia gonalizable, entonces<> A<> es simétrica.
Demostración�8[ Por hipótesis, existe u na matriz ortogonal<> P8[ que diagonaliza a la m atriz<> A�8[ esto es,
se tiene que<> P
T
AP<> =<> D8[, siendo<> D8[ una matriz diagonal. De aquí que:
A<> =<> P DP
T
= �P D
T
P
T
)
T
= �<>P DP
T
)
T
=<> A
T
�
o sea,<> A8[ es una matriz simétrica. �
3.43.<> Ejemplo.8[ Para la matriz simétr ica:
A<> =
2
4
5 2 2
2 2<> −4
2<> −4 2
3
5
3×3
encontre una matriz ortogonal<> P8[ tal que<> P
T
AP<> =<> D8[ sea una matriz diagon al.
Para ello se debe encontrar tres vectores propios de<> A8[ ortonormales. El poli nomio característico de<> A�
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|8[ está dado por:
p
A�λ<>) =<> |A<> −<> λI<>|<> =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
5<> −<> λ<> 2 2
2 2<> −<> λ<> −4
2<> −<>4 2<> −<> λ
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=<> −�λ<> + 3)�λ<> −<> 6)
2
.
Se requiere ahora resolver la ecuación característica de<> A� p
A�λ<>) =<> |<>A<> −<> λI<>|<> = 0.8[ Pero dado que
p
A�λ<>) =<> −�λ<> + 3)�λ<> −<> 6)
2
= 0<> sii λ<> =<> −38[ ó<> λ<> = 6
se tiene entonces, quelos diferentes valores propios de<> A8[ son<> λ
1=<> −38[ y<> λ 2= 6.
Por definición, los<> �−3)-vectores propios de<> A8[ son las soluciones no n ulas del sistema de ecuaciones lineales
�A<> + 3I<>)<> x<> = 08[ y los<> 6-vectores propios de<> A8[ son las soluciones no n ulas del sistema de ecuaciones lineales
�A<> −<> 6I<>)x<> = 0.8[ Se tiene entonces:
A<> + 3I<> =
2
4
8 2 2
2 5<> −4
2<> −4 5
3
5 y A<> −<> 6I<> =
2
4
−1 2 2
2<> −4<> −4
2<> −4<> −4
3
5.
52
Diagonalización de matrices 3.3. Matrices simétricas
Es fácil verificar, que las soluciones del sistema homogéneo<> �A<> + 3I<>)x<> = 08[ son los vectores de la forma:
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
−
1
2
x3
x3
x3
3
5=
1
2
x
3
2
4
−1
2
2
3
5;<> x
3∈<> R.
En consecuencia,
b
U
λ�=
b
U−3=
8
<
:
2
4
−1
2
2
3
5
9
=
;
�
es una base para<> S<>�λ
1) =<> S<>�−3).8[ Aplicando el proceso de ortogonalización deGram-Scmidt a esta base
(vea el teorema 1.33),se llega a que:
b
U
λ�=
b
U−3=
8
<
:
1
3
2
4
−1
2
2
3
5
9
=
;
�
es una base ortonormal de<> S<>�λ
1) =<> S<>�−3).
De otra parte, se encuentra que las solucionesdel sistema homogéneo<> �A<> −<> 6I<>)x<> = 08[ son los vectores de la
forma:
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
2x
2+ 2x 3
x2
x3
3
5
=<> x
2
2
4
2
1
0
3
5+x
3
2
4
2
0
1
3
5;<> x
2� x3∈<> R.
En consecuencia,
b
U
λ2=
b
U6=
8
<
:
2
4
2
1
0
3
5�
2
4
2
0
1
3
5
9
=
;
�
es una base para<> S<>�λ
2) =<> S<>�6).8[ Aplicando el proceso de ortogonalización deGram-Schmidt a esta base se
llega a que:
b
U
λ2=
b
U6=
8
<
:
1
√
5
2
4
2
1
0
3
5�
1
3
√
5
2
4
2
−4
5
3
5
9
=
;
�
es una base ortonormal de<> S<>�λ
2) =<> S<>�6).
Según la demostracióndel teorema 3.38,
U<> =
b
U
λ�∪
b
Uλ2=
8
<
:
1
3
2
4
−1
2
2
3
5�
1
√
5
2
4
2
1
0
3
5�
1
3
√
5
2
4
2
−4
5
3
5
9
=
;
�
es un conjunto ortonormal de vectores propios de<> A.8[ Ahora, según la demo stración del teorema 3.41, la
matriz,
P<> =
2
6
6
6
6
6
6
4
−
1
3
2
√
5
2
3
√
5
2
3
1
√
5
−
4
3
√
5
2
3
0
2
3
√
5
3
7
7
7
7
7
7
5
53
Es fácil verificar, que las soluciones del sistema homogéneo<> �A<> + 3I<>)x<> = 08[ son los vectores de la forma:
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
−
1
2
x3
x3
x3
3
5=
1
2
x
3
2
4
−1
2
2
3
5;<> x
3∈<> R.
En consecuencia,
b
U
λ�=
b
U−3=
8
<
:
2
4
−1
2
2
3
5
9
=
;
�
es una base para<> S<>�λ
1) =<> S<>�−3).8[ Aplicando el proceso de ortogonalización deGram-Scmidt a esta base
(vea el teorema 1.33),se llega a que:
b
U
λ�=
b
U−3=
8
<
:
1
3
2
4
−1
2
2
3
5
9
=
;
�
es una base ortonormal de<> S<>�λ
1) =<> S<>�−3).
De otra parte, se encuentra que las solucionesdel sistema homogéneo<> �A<> −<> 6I<>)x<> = 08[ son los vectores de la
forma:
x<> =
2
4
x
1
x2
x3
3
5=
2
4
2x
2+ 2x 3
x2
x3
3
5
=<> x
2
2
4
2
1
0
3
5+x
3
2
4
2
0
1
3
5;<> x
2� x3∈<> R.
En consecuencia,
b
U
λ2=
b
U6=
8
<
:
2
4
2
1
0
3
5�
2
4
2
0
1
3
5
9
=
;
�
es una base para<> S<>�λ
2) =<> S<>�6).8[ Aplicando el proceso de ortogonalización deGram-Schmidt a esta base se
llega a que:
b
U
λ2=
b
U6=
8
<
:
1
√
5
2
4
2
1
0
3
5�
1
3
√
5
2
4
2
−4
5
3
5
9
=
;
�
es una base ortonormal de<> S<>�λ
2) =<> S<>�6).
Según la demostracióndel teorema 3.38,
U<> =
b
U
λ�∪
b
Uλ2=
8
<
:
1
3
2
4
−1
2
2
3
5�
1
√
5
2
4
2
1
0
3
5�
1
3
√
5
2
4
2
−4
5
3
5
9
=
;
�
es un conjunto ortonormal de vectores propios de<> A.8[ Ahora, según la demo stración del teorema 3.41, la
matriz,
P<> =
2
6
6
6
6
6
6
4
−
1
3
2
√
5
2
3
√
5
2
3
1
√
5
−
4
3
√
5
2
3
0
2
3
√
5
3
7
7
7
7
7
7
5
53
3.3. Matrices simétricas Diagonalización de matrices
es ortogonal tal que
P
T
AP<> =<> P
−1
AP<> =<> D<> =
2
4
−3 0 0
0 6 0
0 0 6
3
5.
3.44.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz simétrica de orden<> n. Supongamos que<> A<> que tiene<> p<> (0<> ≤<> p<> ≤<> n)
valores propios, no necesariamente diferentes, estrictamente positivos y<> η<> (0<> ≤<> η<> ≤<> n)<> valores propios, no
necesariamente diferentes, estrictamente negativos. Entonces existeuna matriz invertible<> P<> tal que:
P
T
AP<> =
2
4
I
p� �
�<> −I
η�
� � �
3
5.
Si además existe otra matriz invertible<> Q<> tal que
Q
T
AQ<> =
2
4
I
p
�� �
�<> −I
η
��
� � �
3
5�
entonces<> p<> =<> p
�
y<> η<> =<> η
�
.
Demostración�8[ Sean<> λ
1� λ2� . . . � λρlos valores propios de<> A8[ estrictamente positivo s (no necesaria-
mente distintos) y sean<> x
1�<> x2� . . . �<> x pvectores propios ortonormales de<> A8[ asociados respectivam ente a
tales valores propios. Sean además<> β
1� β2� . . . � βηlos valores propios de<> A8[ estrictamente negativo s (no nece-
sariamente distintos) y<> y
1�<> y2� . . . �<> yηvectores propios ortonormales de<> A8[ asociados a dichos valo res propios
negativos y sean<> z
1�<> z2� . . . �<> zγ� γ<> =<> n<>−<>�p<>+<>η<>)8[, vectores propios orton ormales de<> A8[ asociados al valor prop io
nulo (0). Según la demostración del teorema3.41, la matriz<> M8[ , cuyas columnas son los correspondientes
vectores propios organizados adecuadamente,es ortogonal. Es decir,la matriz
M<> = [x
1x2· · ·<> xpy1y2· · ·<> yηz1z2· · ·<> zγ]
es ortogonal. De otro lado, se tiene que<> M
T
AM<> =<> D8[ es una matriz diagona l con los valores propios en su
diagonal y dispuestos así:
M
T
AM<> =<> D<> =
2
4
D
p� �
�<> D
η�
� � �
3
5
donde:
D
ρ=
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
p
3
7
7
7
5
y D
η=
2
6
6
6
4
β
10<> · · ·<> 0
0<> β
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> β
η
3
7
7
7
5
.
Sea ahora<> D
∗
la matriz diagonal:
D
∗
=
2
4
D
∗
p
� �
�<> D
∗
η
�
� �<> I
γ
3
5
donde
D
∗
ρ
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
1
√
λ1
0<> · · ·<> 0
0
1
√
λ2
· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·
1
p
λp
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
y.
54
es ortogonal tal que
P
T
AP<> =<> P
−1
AP<> =<> D<> =
2
4
−3 0 0
0 6 0
0 0 6
3
5.
3.44.<> Teorema.<> Sea<> A<> una matriz simétrica de orden<> n. Supongamos que<> A<> que tiene<> p<> (0<> ≤<> p<> ≤<> n)
valores propios, no necesariamente diferentes, estrictamente positivos y<> η<> (0<> ≤<> η<> ≤<> n)<> valores propios, no
necesariamente diferentes, estrictamente negativos. Entonces existeuna matriz invertible<> P<> tal que:
P
T
AP<> =
2
4
I
p� �
�<> −I
η�
� � �
3
5.
Si además existe otra matriz invertible<> Q<> tal que
Q
T
AQ<> =
2
4
I
p
�� �
�<> −I
η
��
� � �
3
5�
entonces<> p<> =<> p
�
y<> η<> =<> η
�
.
Demostración�8[ Sean<> λ
1� λ2� . . . � λρlos valores propios de<> A8[ estrictamente positivo s (no necesaria-
mente distintos) y sean<> x
1�<> x2� . . . �<> x pvectores propios ortonormales de<> A8[ asociados respectivam ente a
tales valores propios. Sean además<> β
1� β2� . . . � βηlos valores propios de<> A8[ estrictamente negativo s (no nece-
sariamente distintos) y<> y
1�<> y2� . . . �<> yηvectores propios ortonormales de<> A8[ asociados a dichos valo res propios
negativos y sean<> z
1�<> z2� . . . �<> zγ� γ<> =<> n<>−<>�p<>+<>η<>)8[, vectores propios orton ormales de<> A8[ asociados al valor prop io
nulo (0). Según la demostración del teorema3.41, la matriz<> M8[ , cuyas columnas son los correspondientes
vectores propios organizados adecuadamente,es ortogonal. Es decir,la matriz
M<> = [x
1x2· · ·<> xpy1y2· · ·<> yηz1z2· · ·<> zγ]
es ortogonal. De otro lado, se tiene que<> M
T
AM<> =<> D8[ es una matriz diagona l con los valores propios en su
diagonal y dispuestos así:
M
T
AM<> =<> D<> =
2
4
D
p� �
�<> D
η�
� � �
3
5
donde:
D
ρ=
2
6
6
6
4
λ
10<> · · ·<> 0
0<> λ
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> λ
p
3
7
7
7
5
y D
η=
2
6
6
6
4
β
10<> · · ·<> 0
0<> β
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·<> β
η
3
7
7
7
5
.
Sea ahora<> D
∗
la matriz diagonal:
D
∗
=
2
4
D
∗
p
� �
�<> D
∗
η
�
� �<> I
γ
3
5
donde
D
∗
ρ
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
1
√
λ1
0<> · · ·<> 0
0
1
√
λ2
· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·
1
p
λp
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
y.
54
Diagonalización de matrices 3.3. Matrices simétricas
D
∗
η
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
1√
−β1
0<> · · ·<> 0
0
1
√
−β2
· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·
1
p
−βη
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
La matriz<> D
∗
es invertible y es tal que:
D
∗
DD
∗
=<> D
∗<> T
M
T
AM D
∗
=
2
4
D
∗
p
DpD
∗
p
� �
�<> D
∗
η
DηD
∗
η
�
� �<> I
γ�<> Iγ
3
5
=
2
4
I
p� �
�<> −I
η�
� � �
3
5.
En consecuencia, la matriz invertible<> P<> =<> M D
∗
es tal que:
P
T
AP<> =
2
4
I
p� �
�<> −I
η�
� � �
3
5.
Para la unicidad suponga ahora que las matrices invertibles<> P8[ y<> Q8[ son tales que:
P
T
AP<> =
2
4
I
p� �
�<> −I
η�
� � �
3
5 y Q
T
AQ<> =
2
4
I
p
�� �
�<> −I
η
��
� � �
3
5.
Lo que se quiere probar ahora es que<> ρ<> =<> ρ
�
y<> η<> =<> η
�
.
Para ello se escribe lasmatrices<> P8[ y<> Q8[ particionadas por colu mnas así:
P<> = [x
1x2· · ·<> xpxp+1· · ·<> xn]8[ y
Q<> = [y
1y2· · ·<> yp
�yp
�
+1· · ·<> yn]
Por hipótesis se tiene que:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
x
T
i
Axi= 1<> si i<> = 1�<> 2<> . . . � p
x
T
i
Axj= 0<> si i<> �=<> j�<> �i� j<> = 1�<> 2<> . . . � n)
y
T
i
Ayi≤<> 0<> si i<> =<> p
�
+ 1<>� p
�
+ 2<> . . . � n
y
T
i
Ayj= 0<> si i<> �=<> j�<> �i� j<> = 1�<> 2<> . . . � n).
Ahora, el conjunto devectores de<> �
n×1:
C<> =<> {x
1�<> x2� . . . �<> xp�<> yp
�
+1�<> yp
�
+2� . . . �<> yn}
es linealmente independiente. En efecto, si
λ
1x1+<> . . .<> +<> λ pxp+<> β1yp
�
+1+<> . . .<> +<> β n−p
�yn= 0
entonces el vector
U<> =<> λ
1x1+<> λ2x2+<> . . .<> +<> λ pxp
=<> −β 1yp
�
+1−<> β2yp
�
+2−<> . . .<> −<> β n−p
�yn
55
D
∗
η
=
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
1√
−β1
0<> · · ·<> 0
0
1
√
−β2
· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · ·
1
p
−βη
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
La matriz<> D
∗
es invertible y es tal que:
D
∗
DD
∗
=<> D
∗<> T
M
T
AM D
∗
=
2
4
D
∗
p
DpD
∗
p
� �
�<> D
∗
η
DηD
∗
η
�
� �<> I
γ�<> Iγ
3
5
=
2
4
I
p� �
�<> −I
η�
� � �
3
5.
En consecuencia, la matriz invertible<> P<> =<> M D
∗
es tal que:
P
T
AP<> =
2
4
I
p� �
�<> −I
η�
� � �
3
5.
Para la unicidad suponga ahora que las matrices invertibles<> P8[ y<> Q8[ son tales que:
P
T
AP<> =
2
4
I
p� �
�<> −I
η�
� � �
3
5 y Q
T
AQ<> =
2
4
I
p
�� �
�<> −I
η
��
� � �
3
5.
Lo que se quiere probar ahora es que<> ρ<> =<> ρ
�
y<> η<> =<> η
�
.
Para ello se escribe lasmatrices<> P8[ y<> Q8[ particionadas por colu mnas así:
P<> = [x
1x2· · ·<> xpxp+1· · ·<> xn]8[ y
Q<> = [y
1y2· · ·<> yp
�yp
�
+1· · ·<> yn]
Por hipótesis se tiene que:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
x
T
i
Axi= 1<> si i<> = 1�<> 2<> . . . � p
x
T
i
Axj= 0<> si i<> �=<> j�<> �i� j<> = 1�<> 2<> . . . � n)
y
T
i
Ayi≤<> 0<> si i<> =<> p
�
+ 1<>� p
�
+ 2<> . . . � n
y
T
i
Ayj= 0<> si i<> �=<> j�<> �i� j<> = 1�<> 2<> . . . � n).
Ahora, el conjunto devectores de<> �
n×1:
C<> =<> {x
1�<> x2� . . . �<> xp�<> yp
�
+1�<> yp
�
+2� . . . �<> yn}
es linealmente independiente. En efecto, si
λ
1x1+<> . . .<> +<> λ pxp+<> β1yp
�
+1+<> . . .<> +<> β n−p
�yn= 0
entonces el vector
U<> =<> λ
1x1+<> λ2x2+<> . . .<> +<> λ pxp
=<> −β 1yp
�
+1−<> β2yp
�
+2−<> . . .<> −<> β n−p
�yn
55
3.3. Matrices simétricas Diagonalización de matrices
es tal que:
U
T
AU<> = �λ 1x1+<> . . .<> +<> λ pxp)
T
A�λ1x1+<> . . .<> +<> λ pxp)
=<> λ
2
1
+<> λ
2
2
+<> . . .<> +<> λ
2
p
≥<> 0
y
U
T
AU<> = �β 1yp
�
+1+<> . . .<> +<> β n−p
�yn)
T
A�β1yp
�
+1+<> . . .<> +<> β n−p
�yn)
=<> β
2
1
y
T
p
�
+1Ayp
�
+1+<> β
2
2
y
T
p
�
+2Ayp
�
+2+<> . . .<> +<> β
2
n−p
�y
T
n
Ayn≤<> 0
Por lo tanto<> U
T
AU<> = 0. De esto se sigue que<> λ 1=<> λ2=<> . . .<> =<> λ p= 08[. En consecuencia,
β
1yp
�
+1+<> β2yp
�
+2+<> . . .<> +<> β n−p
�yn= 0<> .
Puesto que la matriz<> Q8[ es invertible, los vecto res<> y
p
�
+1�<> yp
�
+2� . . . �<> ynson linealmente independientes, y
por lo tanto,<> β
1=<> β2=<> . . .<> =<> β n−p
�= 0.
Ahora bien, como ladimensión del espaciovectorial<> �
n×1es<> n8[ y<> C8[ es un conjunto linea lmente inde-
pendiente de<> p<> + �n<> −<> p
�
)8[ vectores en<> � n×1, entonces por el teorema 1.42(2):
p<> + �n<> −<> p
�
)<> ≤<> n �
o sea,<> p<> ≤<> p
�
.8[ Argumentando en forma similar se demuestraque<> p
�
≤<> p�8[ de donde<> p<> =<> p
�
.
De otro lado, de la hipótesis, se tiene que
ρ�A) =<> p<> +<> η<> =<> p
�
+<> η
�
por lo tanto<> η<> =<> η
�
. �
Nota.<> En la parte (1) del teorema anterior se tiene que<> P
T
AP<> es igual a:
(i)<> I
n�<> si<> p<> =<> n.
(ii)<> −I
n�<> si<> η<> =<> n.
(iii)
»
I
p�
� �
–
�<> si<> 0<> < p < n<> y<> η<> = 0.
(iv)
»
−I
η�
� �
–
�<> si<> 0<> < η < n<> y<> p<> = 0.
(v)
»
I
p�
�<> −I
η
–
�<> si<> 0<> < p < n<> y<> 0<> < η < n<> y<> p<> +<> η<> =<> n.
(vi)
2
4
I
p� �
�<> −I
η�
� � �
3
5�<> si<> 0<> < p < n<> y<> 0<> < η < n<> y<> p<> +<> η < n.
(vii)<> ��<> sii<> A<> =<> �.
3.45.<> Ejemplo.8[ Para la matriz simétr ica
A<> =
2
4
1<> −2 0
−2 0<> −2
0<> −2<> −1
3
5
encuentre una matrizinvertible<> P8[ tal que<> P
T
AP8[ sea una matriz diagonal con las características que se
establecen en el teorema anterior.
56
es tal que:
U
T
AU<> = �λ 1x1+<> . . .<> +<> λ pxp)
T
A�λ1x1+<> . . .<> +<> λ pxp)
=<> λ
2
1
+<> λ
2
2
+<> . . .<> +<> λ
2
p
≥<> 0
y
U
T
AU<> = �β 1yp
�
+1+<> . . .<> +<> β n−p
�yn)
T
A�β1yp
�
+1+<> . . .<> +<> β n−p
�yn)
=<> β
2
1
y
T
p
�
+1Ayp
�
+1+<> β
2
2
y
T
p
�
+2Ayp
�
+2+<> . . .<> +<> β
2
n−p
�y
T
n
Ayn≤<> 0
Por lo tanto<> U
T
AU<> = 0. De esto se sigue que<> λ 1=<> λ2=<> . . .<> =<> λ p= 08[. En consecuencia,
β
1yp
�
+1+<> β2yp
�
+2+<> . . .<> +<> β n−p
�yn= 0<> .
Puesto que la matriz<> Q8[ es invertible, los vecto res<> y
p
�
+1�<> yp
�
+2� . . . �<> ynson linealmente independientes, y
por lo tanto,<> β
1=<> β2=<> . . .<> =<> β n−p
�= 0.
Ahora bien, como ladimensión del espaciovectorial<> �
n×1es<> n8[ y<> C8[ es un conjunto linea lmente inde-
pendiente de<> p<> + �n<> −<> p
�
)8[ vectores en<> � n×1, entonces por el teorema 1.42(2):
p<> + �n<> −<> p
�
)<> ≤<> n �
o sea,<> p<> ≤<> p
�
.8[ Argumentando en forma similar se demuestraque<> p
�
≤<> p�8[ de donde<> p<> =<> p
�
.
De otro lado, de la hipótesis, se tiene que
ρ�A) =<> p<> +<> η<> =<> p
�
+<> η
�
por lo tanto<> η<> =<> η
�
. �
Nota.<> En la parte (1) del teorema anterior se tiene que<> P
T
AP<> es igual a:
(i)<> I
n�<> si<> p<> =<> n.
(ii)<> −I
n�<> si<> η<> =<> n.
(iii)
»
I
p�
� �
–
�<> si<> 0<> < p < n<> y<> η<> = 0.
(iv)
»
−I
η�
� �
–
�<> si<> 0<> < η < n<> y<> p<> = 0.
(v)
»
I
p�
�<> −I
η
–
�<> si<> 0<> < p < n<> y<> 0<> < η < n<> y<> p<> +<> η<> =<> n.
(vi)
2
4
I
p� �
�<> −I
η�
� � �
3
5�<> si<> 0<> < p < n<> y<> 0<> < η < n<> y<> p<> +<> η < n.
(vii)<> ��<> sii<> A<> =<> �.
3.45.<> Ejemplo.8[ Para la matriz simétr ica
A<> =
2
4
1<> −2 0
−2 0<> −2
0<> −2<> −1
3
5
encuentre una matrizinvertible<> P8[ tal que<> P
T
AP8[ sea una matriz diagonal con las características que se
establecen en el teorema anterior.
56
Diagonalización de matrices 3.3. Matrices simétricas
Efectuando los cálculos pertinentes se encuentra que los valores propios de<> A8[ son:<> λ 1= 3<>� λ2=<> −38[ y
λ
3= 0�8[ y que la matriz ortogonal:
M<> =
1 3
2
4
2 1<> −2
−2 2<> −1
1 2 2
3
5
es tal que
M
T
AM<> =<> D<> =
2
4
3 0 0
0<> −3 0
0 0 0
3
5.
Ahora, la matriz diagonal
D
∗
=
2
6
6
6
4
1
√
3
0 0
0
1
√
3
0
0 0 1
3
7
7
7
5
es invertible y es tal que:
D
∗
DD
∗
=<> D
∗T
M
T
AM D
�
=
2
6
6
6
4
1
√
3
0 0
0
1
√
3
0
0 0 1
3
7
7
7
5
2
6
6
6
6
4
3 0 0
0<> −3 0
0 0 0
3
7
7
7
7
5
2
6
6
6
4
1
√
3
0 0
0
1
√
3
0
0 0 1
3
7
7
7
5
=
2
4
1 0 0
0<> −1 0
0 0 0
3
5�
o sea, la matriz invertible<> P<> =<> M D
∗
es tal que
P
T
AP<> =
2
4
I
1 0 0
0<> −I
10
0 0 0
3
5.
En relación con la primera parte del teorema3.44 (ver su demostración) y tal como aparece en el ejemplo
anterior, un método para calcular una de tales matrices<> P8[ consiste en encontrar una matriz ortogonal<> M
que diagonalice a la matriz<> A�8[ y después postmultip licar a<> M8[ por una matriz diago nal conveniente<> D
∗
.
A continuación damosotro método para calcular, simultáneamente, una de tales matrices<> P8[ y la matriz
P
T
AP.8[ El método se basa enel hecho de que la matriz<> P8[ es invertible y por ende se puede expresar como
producto de un número finito de matrices elementales (véase teorema 1.9(2)); esto es,<> P<> =<> E
1E2· · ·<> Ek�
donde<> E 1� E2�<> · · ·<> � Ek�son matrices elementales. Así que una formade calcular la matriz
P
T
AP<> =<> E
T
k
· · ·<> E
T
2
E
T
1
A E1E2· · ·<> Ek�
consiste en efectuar una sucesión de operaciones elementales en lasfilas de<> A8[ y la �misma� sucesió n de
operaciones elementales en las columnas de<> A8[ (véase teorema 1.6), hasta lograr lo deseado. Esta misma
sucesión de operaciones elementales en las filas de la matriz identidad<> I8[ da<> P
T
.8[ El siguiente ejemplo ilustra
el método para encontrar una tal matriz<> P8[ .
3.46.<> Ejemplo.8[ Para la matriz simétr ica
A<> =
2
4
1 2<> −3
2 5<> −4
−3<> −<>4 9
3
5
57
Efectuando los cálculos pertinentes se encuentra que los valores propios de<> A8[ son:<> λ 1= 3<>� λ2=<> −38[ y
λ
3= 0�8[ y que la matriz ortogonal:
M<> =
1 3
2
4
2 1<> −2
−2 2<> −1
1 2 2
3
5
es tal que
M
T
AM<> =<> D<> =
2
4
3 0 0
0<> −3 0
0 0 0
3
5.
Ahora, la matriz diagonal
D
∗
=
2
6
6
6
4
1
√
3
0 0
0
1
√
3
0
0 0 1
3
7
7
7
5
es invertible y es tal que:
D
∗
DD
∗
=<> D
∗T
M
T
AM D
�
=
2
6
6
6
4
1
√
3
0 0
0
1
√
3
0
0 0 1
3
7
7
7
5
2
6
6
6
6
4
3 0 0
0<> −3 0
0 0 0
3
7
7
7
7
5
2
6
6
6
4
1
√
3
0 0
0
1
√
3
0
0 0 1
3
7
7
7
5
=
2
4
1 0 0
0<> −1 0
0 0 0
3
5�
o sea, la matriz invertible<> P<> =<> M D
∗
es tal que
P
T
AP<> =
2
4
I
1 0 0
0<> −I
10
0 0 0
3
5.
En relación con la primera parte del teorema3.44 (ver su demostración) y tal como aparece en el ejemplo
anterior, un método para calcular una de tales matrices<> P8[ consiste en encontrar una matriz ortogonal<> M
que diagonalice a la matriz<> A�8[ y después postmultip licar a<> M8[ por una matriz diago nal conveniente<> D
∗
.
A continuación damosotro método para calcular, simultáneamente, una de tales matrices<> P8[ y la matriz
P
T
AP.8[ El método se basa enel hecho de que la matriz<> P8[ es invertible y por ende se puede expresar como
producto de un número finito de matrices elementales (véase teorema 1.9(2)); esto es,<> P<> =<> E
1E2· · ·<> Ek�
donde<> E 1� E2�<> · · ·<> � Ek�son matrices elementales. Así que una formade calcular la matriz
P
T
AP<> =<> E
T
k
· · ·<> E
T
2
E
T
1
A E1E2· · ·<> Ek�
consiste en efectuar una sucesión de operaciones elementales en lasfilas de<> A8[ y la �misma� sucesió n de
operaciones elementales en las columnas de<> A8[ (véase teorema 1.6), hasta lograr lo deseado. Esta misma
sucesión de operaciones elementales en las filas de la matriz identidad<> I8[ da<> P
T
.8[ El siguiente ejemplo ilustra
el método para encontrar una tal matriz<> P8[ .
3.46.<> Ejemplo.8[ Para la matriz simétr ica
A<> =
2
4
1 2<> −3
2 5<> −4
−3<> −<>4 9
3
5
57
3.3. Matrices simétricas Diagonalización de matrices
encontre una matriz invertible<> P8[ tal que<> P
T
AP8[ sea una matriz diagonal con las características que se
establecen en el teorema 3.44.
Se forma entonces la matriz
[<> A<> |<> I<> ] =
2
4
1 2<> −31 0 0
2 5<> −4 0 1 0
−3<> −<>4 9 0 0 1
3
5.
Se efectua entonces, enlas filas de la matriz
ˆ
A<> |<> I
˜
, las operaciones elementales;<> E
T
1
;8[ multiplicar
los elementos de la primera fila por<> α<> =<> −28[ y sumar los resultado s con los correspondientes elementos de
la segunda fila,<> E
T
2
;8[ multiplicar los elementos de la primera fila por<> α<> = 38[ y sumar los resultado s con los
correspondientes elementos de la tercera fila.Así se obtiene la matriz
[E
T
2
E
T
1
A<> |<> E
T
2
E
T
1
I] = [A 1|<> B1]<> �
luego se efectuan las �mismas� operaciones elementales en las columnas de la matriz<> A
1�8[ para obtener:
[E
T
2
E
T
1
A E1E2|<> E
T
2
E
T
1
I] = [A
�
1|<> B1]<> .
Se tiene:
[<> A
1|<> B1] =
2
4
1 2<> −3
1 0 0
0 1 2 −2 1 0
0 2 0 3 0 1
3
5
y
[<> A
�
1
|<> B1] =
2
4
1 0 0
1 0 0
0 1 2 −2 1 0
0 2 0 3 0 1
3
5.
Se efectua ahora, enlas filas de la matriz<> [ A
�
1|<> B1], la operación elemental;<> E
T
3
;8[ multiplicar los
elementos de la segunda fila por<> α<> =<> −28[ y sumar los resultado s con los correspondientes elementos de la
tercera fila. Así se obtiene la matriz
[E
T
3
E
T
2
E
T
1
AE1E2|<> E
T
3
E
T
2
E
T
1
I] = [A 2|<> B2]�
luego se realiza la �misma� operación elemental en las columnas de la matriz<> A
2�8[ para obtener:
[E
T
3
E
T
2
E
T
1
AE1E2E3|<> E
T
3
E
T
2
E
T
1
I] = [A
�
2|<> B2].
Se tiene entonces:
[<> A
2|<> B2] =
2
4
1 0 0
1 0 0
0 1 2 −2 1 0
0 0<> −4 7<> −2 1
3
5
y
[<> A
�
2
|<> B2] =
2
4
1 0 0
1 0 0
0 1 0 −2 1 0
0 0<> −4 7<> −2 1
3
5.
Finalmente, se efectuaen las filas de la matriz<> [A
�
2|<> B2]8[ la operación elemental;<> E
T
4
;8[ multiplicar los
elementos de la tercerafila por<> α<> = 1/2. Así se obtiene la mat riz
[E
T
4
E
T
3
E
T
2
E
T
1
AE1E2E3|<> E
T
4
E
T
3
E
T
2
E
T
1
I] = [A 3|<> B3]<> �
luego se realiza la �misma� operación elemental en las columnas de la matriz<> A
3�8[ para obtener:
[E
T
4
E
T
3
E
T
2
E
T
1
AE1E2E3E4|<> E
T
4
E
T
3
E
T
2
E
T
1
I] =
h
A
�
3|<> B3
i
.
Se tiene:
[<> A
3|<> B3] =
2
6
4
1 0 0
1 0 0
0 1 0 −2 1 0
0 0<> −2
7
2
−1
1
2
3
7
5
58
encontre una matriz invertible<> P8[ tal que<> P
T
AP8[ sea una matriz diagonal con las características que se
establecen en el teorema 3.44.
Se forma entonces la matriz
[<> A<> |<> I<> ] =
2
4
1 2<> −31 0 0
2 5<> −4 0 1 0
−3<> −<>4 9 0 0 1
3
5.
Se efectua entonces, enlas filas de la matriz
ˆ
A<> |<> I
˜
, las operaciones elementales;<> E
T
1
;8[ multiplicar
los elementos de la primera fila por<> α<> =<> −28[ y sumar los resultado s con los correspondientes elementos de
la segunda fila,<> E
T
2
;8[ multiplicar los elementos de la primera fila por<> α<> = 38[ y sumar los resultado s con los
correspondientes elementos de la tercera fila.Así se obtiene la matriz
[E
T
2
E
T
1
A<> |<> E
T
2
E
T
1
I] = [A 1|<> B1]<> �
luego se efectuan las �mismas� operaciones elementales en las columnas de la matriz<> A
1�8[ para obtener:
[E
T
2
E
T
1
A E1E2|<> E
T
2
E
T
1
I] = [A
�
1|<> B1]<> .
Se tiene:
[<> A
1|<> B1] =
2
4
1 2<> −3
1 0 0
0 1 2 −2 1 0
0 2 0 3 0 1
3
5
y
[<> A
�
1
|<> B1] =
2
4
1 0 0
1 0 0
0 1 2 −2 1 0
0 2 0 3 0 1
3
5.
Se efectua ahora, enlas filas de la matriz<> [ A
�
1|<> B1], la operación elemental;<> E
T
3
;8[ multiplicar los
elementos de la segunda fila por<> α<> =<> −28[ y sumar los resultado s con los correspondientes elementos de la
tercera fila. Así se obtiene la matriz
[E
T
3
E
T
2
E
T
1
AE1E2|<> E
T
3
E
T
2
E
T
1
I] = [A 2|<> B2]�
luego se realiza la �misma� operación elemental en las columnas de la matriz<> A
2�8[ para obtener:
[E
T
3
E
T
2
E
T
1
AE1E2E3|<> E
T
3
E
T
2
E
T
1
I] = [A
�
2|<> B2].
Se tiene entonces:
[<> A
2|<> B2] =
2
4
1 0 0
1 0 0
0 1 2 −2 1 0
0 0<> −4 7<> −2 1
3
5
y
[<> A
�
2
|<> B2] =
2
4
1 0 0
1 0 0
0 1 0 −2 1 0
0 0<> −4 7<> −2 1
3
5.
Finalmente, se efectuaen las filas de la matriz<> [A
�
2|<> B2]8[ la operación elemental;<> E
T
4
;8[ multiplicar los
elementos de la tercerafila por<> α<> = 1/2. Así se obtiene la mat riz
[E
T
4
E
T
3
E
T
2
E
T
1
AE1E2E3|<> E
T
4
E
T
3
E
T
2
E
T
1
I] = [A 3|<> B3]<> �
luego se realiza la �misma� operación elemental en las columnas de la matriz<> A
3�8[ para obtener:
[E
T
4
E
T
3
E
T
2
E
T
1
AE1E2E3E4|<> E
T
4
E
T
3
E
T
2
E
T
1
I] =
h
A
�
3|<> B3
i
.
Se tiene:
[<> A
3|<> B3] =
2
6
4
1 0 0
1 0 0
0 1 0 −2 1 0
0 0<> −2
7
2
−1
1
2
3
7
5
58
Diagonalización de matrices 3.3. Matrices simétricas
y
[<> A
�
3
|<> B3] =
2
6
4
1 0 0
1 0 0
0 1 0 −2 1 0
0 0<> −1
7
2
−1
1
2
3
7
5
.
Así que la matriz invertible
P
T
=<> B3=<> E
T
4
E
T
3
E
T
2
E
T
1
=
2
6
4
1 0 0
−2 1 0
7
2
−1
1
2
3
7
5
es tal que
P
T
AP<> =<> D<> =<> A
�
3=
2
4
1 0 0
0 1 0
0 0<> −1
3
5.
Se puede decir entonces, que la matriz<> A8[ tiene dos valores estric tamente positivos y unvalor propio estric-
tamente negativo.
3.47.<> Nota.8[ En relación con el mét odo ilustrado en el ejemplo anterior, si todos los elementos de la diagonal
principal de la matriz simétrica<> A<> = [a
ij]n×nson nulos y si<> a ij�= 0<>� i<> �=<> j8[, entonces sumando la fila<> j8[ a la fila
i8[ y la columna<> j8[ a la columna<> i�8[ se obtiene una matriz simétrica<> A
�
=<> M
T
AM8[ con<> 2a ijen el lugar<> i−ésimo
de la diagonal principal de<> A
�
. Una vez hecho esto, se sigue el proceso descrito en el ejemplo anterior.
3.48.<> Ejemplo.8[ Para la matriz simétr ica
A<> =
»
0 1
1 0
–
�
encuentre una matrizinvertible<> P8[ tal que<> P
T
AP8[ sea una matriz diagonal con las características que se
establecen en el teorema 3.44.
Se forma ahora la matriz:
[<> A<> |<> I<> ] =
»
0 1
1 0
1 00 1
–
.
Se efectua, en las filasde la matriz,<> [ A<> |<> I ]8[ la operación elemental<> M
T
;8[ sumar los elementos de la
segunda fila con los correspondientes elementos de la primera fila. Así se obtiene la matriz
[M
T
A<> |<> M
T
I]<> �
luego se efectua la �misma� operación elemental en las columnas de lamatriz<> M
T
A�8[ para obtener la matriz:
ˆ
M
T
AM<> |<> M
T
I
˜
=
ˆ
A
�
|<> M
T
˜
�
Se tiene:
[<> M
T
A<> |<> M
T
I<> ] =
»
1 1
1 1
1 00 1
–
y
[<> A
�
|<> M
T
] =
»
2 1
1 1
1 00 1
–
59
y
[<> A
�
3
|<> B3] =
2
6
4
1 0 0
1 0 0
0 1 0 −2 1 0
0 0<> −1
7
2
−1
1
2
3
7
5
.
Así que la matriz invertible
P
T
=<> B3=<> E
T
4
E
T
3
E
T
2
E
T
1
=
2
6
4
1 0 0
−2 1 0
7
2
−1
1
2
3
7
5
es tal que
P
T
AP<> =<> D<> =<> A
�
3=
2
4
1 0 0
0 1 0
0 0<> −1
3
5.
Se puede decir entonces, que la matriz<> A8[ tiene dos valores estric tamente positivos y unvalor propio estric-
tamente negativo.
3.47.<> Nota.8[ En relación con el mét odo ilustrado en el ejemplo anterior, si todos los elementos de la diagonal
principal de la matriz simétrica<> A<> = [a
ij]n×nson nulos y si<> a ij�= 0<>� i<> �=<> j8[, entonces sumando la fila<> j8[ a la fila
i8[ y la columna<> j8[ a la columna<> i�8[ se obtiene una matriz simétrica<> A
�
=<> M
T
AM8[ con<> 2a ijen el lugar<> i−ésimo
de la diagonal principal de<> A
�
. Una vez hecho esto, se sigue el proceso descrito en el ejemplo anterior.
3.48.<> Ejemplo.8[ Para la matriz simétr ica
A<> =
»
0 1
1 0
–
�
encuentre una matrizinvertible<> P8[ tal que<> P
T
AP8[ sea una matriz diagonal con las características que se
establecen en el teorema 3.44.
Se forma ahora la matriz:
[<> A<> |<> I<> ] =
»
0 1
1 0
1 00 1
–
.
Se efectua, en las filasde la matriz,<> [ A<> |<> I ]8[ la operación elemental<> M
T
;8[ sumar los elementos de la
segunda fila con los correspondientes elementos de la primera fila. Así se obtiene la matriz
[M
T
A<> |<> M
T
I]<> �
luego se efectua la �misma� operación elemental en las columnas de lamatriz<> M
T
A�8[ para obtener la matriz:
ˆ
M
T
AM<> |<> M
T
I
˜
=
ˆ
A
�
|<> M
T
˜
�
Se tiene:
[<> M
T
A<> |<> M
T
I<> ] =
»
1 1
1 1
1 00 1
–
y
[<> A
�
|<> M
T
] =
»
2 1
1 1
1 00 1
–
59
3.3. Matrices simétricas Diagonalización de matrices
Ahora se realiza, en las filas de la matriz<> [ A
�
|<> M
T
]8[, la operación elemental;<> E
T
1
;8[ multiplicar los
elementos de la primera fila por<> α<> =<> −
1
2
y sumar los resultadoscon los correspondientes elementos de la
segunda fila. Así se obtiene la matriz
[E
T
1
A
�
|<> E
T
1
M
T
] = [A 1|<> B1]<> �
luego se realiza la �misma� operación elemental en las columnas de la matriz<> A
1�8[ para obtener:
[E
T
1
A
�
E1|<> E
T
1
M
T
] = [A
�
1|<> B1]<> .
Se tiene:
[<> A
1|<> B1] =
"
2 1
1 1
0<> −
1
2
−
1
2
1
2
#
y
[<> A
�
1
|<> B1] =
"
2 0
1 1
0<> −
1
2
−
1
2
1
2
#
Se efectua ahora en las filas de la matriz
h
A
�
1|<> B1
i
las operaciones elementales;<> E
T
2
;8[ multiplicar los
elementos de la primera fila por<> α<> =
1
√
2
, y,<> E
T
3
;8[ multiplicar los elementos de la segunda fila por<> β<> =
√28[ .
Así se obtiene la matriz
ˆ
E
T
3
E
T
2
E
T
1
A
�
E1|<> E
T
3
E
T
2
E
T
1
M
T
˜
=
ˆ
A
2|<> B2
˜
�
luego se realizan las �mismas� operaciones elementales en las columnas de la matriz<> A
2�8[ para obtener:
[E
T
3
E
T
2
E
T
1
A
�
E1E2E3|<> E
T
3
E
T
2
E
T
1
M
T
] = [A
�
2|<> B2]<> .
Se tiene:
[<> A
2|<> B2] =
2
6
6
6
4
√
2 0
1
√
2
1
√
2
0<> −
1
√
2
−
1
√
2
1
√
2
3
7
7
7
5
y
[<> A
�
2
|<> B2] =
2
6
6
6
4
1 0
1
√
2
1
√
2
0<> −1 −
1
√
2
1
√
2
3
7
7
7
5
Así que la matriz invertible
P
T
=<> B2=<> E
T
3
E
T
2
E
T
1
M
T
=
2
6
6
6
4
1
√
2
1
√
2
−
1
√
2
1
√
2
3
7
7
7
5
es tal que
P
T
AP<> =<> D<> =<> A
�
3=
2
4
1 0
0<> −1
3
5.
Se puede decir, que lamatriz<> A8[ tiene un valor estrictamente positivo y unvalor propio estrictamente
negativo.
60
Ahora se realiza, en las filas de la matriz<> [ A
�
|<> M
T
]8[, la operación elemental;<> E
T
1
;8[ multiplicar los
elementos de la primera fila por<> α<> =<> −
1
2
y sumar los resultadoscon los correspondientes elementos de la
segunda fila. Así se obtiene la matriz
[E
T
1
A
�
|<> E
T
1
M
T
] = [A 1|<> B1]<> �
luego se realiza la �misma� operación elemental en las columnas de la matriz<> A
1�8[ para obtener:
[E
T
1
A
�
E1|<> E
T
1
M
T
] = [A
�
1|<> B1]<> .
Se tiene:
[<> A
1|<> B1] =
"
2 1
1 1
0<> −
1
2
−
1
2
1
2
#
y
[<> A
�
1
|<> B1] =
"
2 0
1 1
0<> −
1
2
−
1
2
1
2
#
Se efectua ahora en las filas de la matriz
h
A
�
1|<> B1
i
las operaciones elementales;<> E
T
2
;8[ multiplicar los
elementos de la primera fila por<> α<> =
1
√
2
, y,<> E
T
3
;8[ multiplicar los elementos de la segunda fila por<> β<> =
√28[ .
Así se obtiene la matriz
ˆ
E
T
3
E
T
2
E
T
1
A
�
E1|<> E
T
3
E
T
2
E
T
1
M
T
˜
=
ˆ
A
2|<> B2
˜
�
luego se realizan las �mismas� operaciones elementales en las columnas de la matriz<> A
2�8[ para obtener:
[E
T
3
E
T
2
E
T
1
A
�
E1E2E3|<> E
T
3
E
T
2
E
T
1
M
T
] = [A
�
2|<> B2]<> .
Se tiene:
[<> A
2|<> B2] =
2
6
6
6
4
√
2 0
1
√
2
1
√
2
0<> −
1
√
2
−
1
√
2
1
√
2
3
7
7
7
5
y
[<> A
�
2
|<> B2] =
2
6
6
6
4
1 0
1
√
2
1
√
2
0<> −1 −
1
√
2
1
√
2
3
7
7
7
5
Así que la matriz invertible
P
T
=<> B2=<> E
T
3
E
T
2
E
T
1
M
T
=
2
6
6
6
4
1
√
2
1
√
2
−
1
√
2
1
√
2
3
7
7
7
5
es tal que
P
T
AP<> =<> D<> =<> A
�
3=
2
4
1 0
0<> −1
3
5.
Se puede decir, que lamatriz<> A8[ tiene un valor estrictamente positivo y unvalor propio estrictamente
negativo.
60
Diagonalización de matrices 3.3. Matrices simétricas
3�3 Ejercicios
Para los ejercicios 1 al7 responda verdadero ofalso, justificando su respuesta:
1. Si<> A8[ y<> B8[ son matrices simétrica s de orden<> n�8[ entonces la matriz<> AB8[ es simétrica.
2. Sean<> A8[ y<> B8[ matrices simétricas de orden<> n. AB8[ es simétrica<> sii<> AB<> =<> BA.
3. Si<> P8[ es una matriz ortogonal, entonces<> P
−1
también es ortogonal.
4. Si<> P8[ es una matriz ortogonal, entonces<> P
T
también es ortogonal.
5. Si<> P8[ es una matriz ortogonal, entonces<> |P<> |<> =<> ±1.
6. Una matriz<> P8[ de tamaño<> n<>×<>n8[ es ortogonal<> sii8[ los vectores fila de<> P8[ conforman una base or tonormal
de<> R
n
.
7. La matriz<> P<> =
»
1 1
−1 1
–
es ortogonal.
En los ejercicios 8 al 1demuestre la afirmación da correspondiente
8. Si<> λ8[ es un valor propio deuna matriz<> A�8[ entonces la multiplici dad geométrica de<> λ8[ es menor o
igual que la multiplicidad algebraica de<> λ.8[ (sugerencia: vea la dem ostración del teorema3.37).
9. Sean<> A� B<> ∈<> �
n×n� M<> =
»
A B
B A
–
y<> P<> =
»
I
n In
In−In
–
a8[) Verifique que<> P
−1
=
1
2
P8[ .
b8[) Calcule<> P
−1
M P8[ y concluya que<> det<> M<> = det�A<> +<> B<>)<> ·<> det�A<> −<> B<>).
c8[) Use (b) para mostrar que
p
M�λ<>) = det�M<> −<> λI<>) = det��A<> +<> B<>)<> −<> λI<>)<> ·<> det��A<> −<> B<>)<> −<> λI<>)<> .
10. Si<> P8[ y<> Q8[ son matrices ortogona les, entonces<> P Q8[ es una matriz ortogon al.
11. Si<> Q
1� Q2� . . . � Qmson matrices ortogonales, entonces la matriz
Q<> =
2
6
6
6
4
Q
10<> · · ·<> 0
0<> Q
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · · · · ·<> Q
m
3
7
7
7
5
.
es también ortogonal .
12. Sea<> x8[ un<> λ8[-vector propio de<> A8[ y sea<> y8[ un<> β8[-vector propio de<> A
T
, donde<> λ<> �=<> β�8[ entonces<> x�<> y8[ son
vectores ortogonales (sugerencia: vea la demostración del teorema 3.33).
13. Si<> A8[ es una matriz simétrica idempotente<> n<> ×<> n8[ entonces:
ρ�A) = Tr<> A<> =
n
X
i=1
n
X
j<>=1
�aij)
2
.
(Sugerencia: Utilice elteorema 3.44 y el corolario 2.17)
14. Sea<> a<> ∈<> �
n×1un vector no nulo. Entonces<> A<> = �a
T
a)
−1
aa
T
es una matriz simétricade rango 1 y
es tal que<> A
2
=<> A.
15. Si<> A8[ es una matriz simétri ca tal que todos los valores propios son positivos, entonces existe una
matriz invertible<> M8[ tal que<> A<> =<> M
T
M.8[ (Sugerencia: utilice elteorema 3.44(1))
16. Si<> A8[ es una matriz simétri ca tal que todos los valores propios son positivos, entonces existe una
matriz triangular superior e invertible,<> T8[ , tal que<> A<> =<> T
T
T.8[ (Sugerencia: utilice inducción sobre el
orden<> n8[ de la matriz<> A).
17. Si<> A8[ es una matriz simétrica de orden<> n8[ que tiene<> p8[ valores propios positiv os<> �<>p < n)8[ y<> n<> −<> p8[ valores
propios nulos, entoncesexiste una matriz no invertible<> M8[ tal que<> A<> =<> M
T
M.8[ (Sugerencia: utilice
el teorema 3.44(1)).
61
3�3 Ejercicios
Para los ejercicios 1 al7 responda verdadero ofalso, justificando su respuesta:
1. Si<> A8[ y<> B8[ son matrices simétrica s de orden<> n�8[ entonces la matriz<> AB8[ es simétrica.
2. Sean<> A8[ y<> B8[ matrices simétricas de orden<> n. AB8[ es simétrica<> sii<> AB<> =<> BA.
3. Si<> P8[ es una matriz ortogonal, entonces<> P
−1
también es ortogonal.
4. Si<> P8[ es una matriz ortogonal, entonces<> P
T
también es ortogonal.
5. Si<> P8[ es una matriz ortogonal, entonces<> |P<> |<> =<> ±1.
6. Una matriz<> P8[ de tamaño<> n<>×<>n8[ es ortogonal<> sii8[ los vectores fila de<> P8[ conforman una base or tonormal
de<> R
n
.
7. La matriz<> P<> =
»
1 1
−1 1
–
es ortogonal.
En los ejercicios 8 al 1demuestre la afirmación da correspondiente
8. Si<> λ8[ es un valor propio deuna matriz<> A�8[ entonces la multiplici dad geométrica de<> λ8[ es menor o
igual que la multiplicidad algebraica de<> λ.8[ (sugerencia: vea la dem ostración del teorema3.37).
9. Sean<> A� B<> ∈<> �
n×n� M<> =
»
A B
B A
–
y<> P<> =
»
I
n In
In−In
–
a8[) Verifique que<> P
−1
=
1
2
P8[ .
b8[) Calcule<> P
−1
M P8[ y concluya que<> det<> M<> = det�A<> +<> B<>)<> ·<> det�A<> −<> B<>).
c8[) Use (b) para mostrar que
p
M�λ<>) = det�M<> −<> λI<>) = det��A<> +<> B<>)<> −<> λI<>)<> ·<> det��A<> −<> B<>)<> −<> λI<>)<> .
10. Si<> P8[ y<> Q8[ son matrices ortogona les, entonces<> P Q8[ es una matriz ortogon al.
11. Si<> Q
1� Q2� . . . � Qmson matrices ortogonales, entonces la matriz
Q<> =
2
6
6
6
4
Q
10<> · · ·<> 0
0<> Q
2· · ·<> 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0<> · · · · · ·<> Q
m
3
7
7
7
5
.
es también ortogonal .
12. Sea<> x8[ un<> λ8[-vector propio de<> A8[ y sea<> y8[ un<> β8[-vector propio de<> A
T
, donde<> λ<> �=<> β�8[ entonces<> x�<> y8[ son
vectores ortogonales (sugerencia: vea la demostración del teorema 3.33).
13. Si<> A8[ es una matriz simétrica idempotente<> n<> ×<> n8[ entonces:
ρ�A) = Tr<> A<> =
n
X
i=1
n
X
j<>=1
�aij)
2
.
(Sugerencia: Utilice elteorema 3.44 y el corolario 2.17)
14. Sea<> a<> ∈<> �
n×1un vector no nulo. Entonces<> A<> = �a
T
a)
−1
aa
T
es una matriz simétricade rango 1 y
es tal que<> A
2
=<> A.
15. Si<> A8[ es una matriz simétri ca tal que todos los valores propios son positivos, entonces existe una
matriz invertible<> M8[ tal que<> A<> =<> M
T
M.8[ (Sugerencia: utilice elteorema 3.44(1))
16. Si<> A8[ es una matriz simétri ca tal que todos los valores propios son positivos, entonces existe una
matriz triangular superior e invertible,<> T8[ , tal que<> A<> =<> T
T
T.8[ (Sugerencia: utilice inducción sobre el
orden<> n8[ de la matriz<> A).
17. Si<> A8[ es una matriz simétrica de orden<> n8[ que tiene<> p8[ valores propios positiv os<> �<>p < n)8[ y<> n<> −<> p8[ valores
propios nulos, entoncesexiste una matriz no invertible<> M8[ tal que<> A<> =<> M
T
M.8[ (Sugerencia: utilice
el teorema 3.44(1)).
61
3.3. Matrices simétricas Diagonalización de matrices
18. Sean<> A� B8[ matrices simétricas d e igual orden. Suponga además que<> A
2
=<> A8[ y que los valores
propios de<> B8[ son positivos, entonce s:
ρ�ABA<>) =<> ρ�A) = Tr<> A
(sugerencia: Utilice losejercicios (15) y (13) yel Teorema 1.53(4)).
19. Si<> A<> = [<>a
ij]
n×n
es una matriz simétrica tal que
a
ii>
n
X
�j<>=1� j<>�=i
|aij|
para todo<> i<> = 1�<> 2� . . . n�8[ entonces todos los valo res propios de<> A8[ son positivos. (Sugeren cia: supon-
ga<> λ<> ≤<> 08[ es un valor propio de<> A8[ y utilice el ejercicio ( 5) de la sección 3.2 para llegar a una
contradicción).
20. Para cada una delas siguientes matricesencuentre una matrizortogonal<> P8[ , tal que<> P
T
M P8[ sea
una matriz diagonal. Dé en cada caso<> Tr<> M8[ y<> ρ�A).
�i)<> M<> =
»
1<> −2
−2 5
–
�ii)<> M<> =
2
4
1<> −1 0
−1 0 0
0 0 1
3
5
�iii<>)<> M<> =
2
4
2 1 1
1 2 1
1 1 2
3
5�iv<>)<> M<> =
2
4
1<> −1<> −1
−1 1<> −1
−1<> −<>1 1
3
5
�v<>)<> M<> =
2
4
4 2 2
2 3 0
2 0 5
3
5�vi)<> M<> =
2
4
4 4 2
4 4 2
2 2 1
3
5
21. Para cada una de las siguientes matrices encuentre una matriz invertible<> Q, tal que<> Q
T
M Q8[ sea de
la forma
2
4
I
p0 0
0<> −I
η0
0 0 0
3
5.
�i)<> M<> =
2
4
1<> −1 0
−1 1 0
0 0 1
3
5�ii)<> M<> =
2
4
0 1 1
1<> −2 2
1 2<> −1
3
5
�iii<>)<> M<> =
2
4
1 2 0
2 0 0
0 0 1
3
5 �iv<>)<> M<> =
2
4
1 0<> −1
0 2 1
−1 1 1
3
5
�v<>)<> M<> =
2
4
2 1 1
1 1<> −1
1<> −1 5
3
5�vi)<> M<> =
2
4
1 2<> −1
2 4<> −2
−1<> −<>2 8
3
5
22. Considere las matrices del ejercicio anterior:
a8[) Si<> Q
T
M Q<> =<> I8[, encuentre una matriz invertible<> P�8[ tal que<> M<> =<> P
T
P.
b8[) Si<> Q
T
M Q<> =
»
I
p0
0 0
–
�8[ encuentre una matrizno invertible<> P�8[ tal que<> M<> =<> P
T
P.
62
18. Sean<> A� B8[ matrices simétricas d e igual orden. Suponga además que<> A
2
=<> A8[ y que los valores
propios de<> B8[ son positivos, entonce s:
ρ�ABA<>) =<> ρ�A) = Tr<> A
(sugerencia: Utilice losejercicios (15) y (13) yel Teorema 1.53(4)).
19. Si<> A<> = [<>a
ij]
n×n
es una matriz simétrica tal que
a
ii>
n
X
�j<>=1� j<>�=i
|aij|
para todo<> i<> = 1�<> 2� . . . n�8[ entonces todos los valo res propios de<> A8[ son positivos. (Sugeren cia: supon-
ga<> λ<> ≤<> 08[ es un valor propio de<> A8[ y utilice el ejercicio ( 5) de la sección 3.2 para llegar a una
contradicción).
20. Para cada una delas siguientes matricesencuentre una matrizortogonal<> P8[ , tal que<> P
T
M P8[ sea
una matriz diagonal. Dé en cada caso<> Tr<> M8[ y<> ρ�A).
�i)<> M<> =
»
1<> −2
−2 5
–
�ii)<> M<> =
2
4
1<> −1 0
−1 0 0
0 0 1
3
5
�iii<>)<> M<> =
2
4
2 1 1
1 2 1
1 1 2
3
5�iv<>)<> M<> =
2
4
1<> −1<> −1
−1 1<> −1
−1<> −<>1 1
3
5
�v<>)<> M<> =
2
4
4 2 2
2 3 0
2 0 5
3
5�vi)<> M<> =
2
4
4 4 2
4 4 2
2 2 1
3
5
21. Para cada una de las siguientes matrices encuentre una matriz invertible<> Q, tal que<> Q
T
M Q8[ sea de
la forma
2
4
I
p0 0
0<> −I
η0
0 0 0
3
5.
�i)<> M<> =
2
4
1<> −1 0
−1 1 0
0 0 1
3
5�ii)<> M<> =
2
4
0 1 1
1<> −2 2
1 2<> −1
3
5
�iii<>)<> M<> =
2
4
1 2 0
2 0 0
0 0 1
3
5 �iv<>)<> M<> =
2
4
1 0<> −1
0 2 1
−1 1 1
3
5
�v<>)<> M<> =
2
4
2 1 1
1 1<> −1
1<> −1 5
3
5�vi)<> M<> =
2
4
1 2<> −1
2 4<> −2
−1<> −<>2 8
3
5
22. Considere las matrices del ejercicio anterior:
a8[) Si<> Q
T
M Q<> =<> I8[, encuentre una matriz invertible<> P�8[ tal que<> M<> =<> P
T
P.
b8[) Si<> Q
T
M Q<> =
»
I
p0
0 0
–
�8[ encuentre una matrizno invertible<> P�8[ tal que<> M<> =<> P
T
P.
62
Diagonalización de matrices 3.4. Diagonalización simultánea
3.4. Diagonalización simultánea de matrices simétricas
En esta sección se veráun par de teoremas sobre diagonalización simultánea de matrices simétricas, los cuales
son útiles en estadística. En particular el teorema 3.51 se utiliza en la demostración de la independencia de
dos ciertas formas cuadráticas (ver teorema 4.5.3 de [4]).
3.49.<> Teorema8[ (Diagonalización simu ltánea)<>.<> Sean<> A<> y<> B<> matrices simétricas d e orden<> n.<> Si todos los
valores propios de<> A<> son estrictamente posi tivos, entonces existe una matriz invertible<> Q<> tal que<> Q
T
AQ<> =<> I n
y<> Q
T
BQ<> =<> D<> es una matriz diagona l. Además, los elementos de la diagonal de D, son las soluciones dela
ecuación<> |B<> −<> λA|<> = 0�<> las cuales son reales.
Demostración�8[ Puesto que todos los valores propios de<> A8[ son estrictamente pos itivos, se sigue del
teorema 3.41, que existe una matriz invertible<> P8[ tal que<> P
T
AP<> =<> I n.8[ Sea ahora<> C<> =<> P
T
BP.8[ La matriz
C8[ es simétrica pues,<> C
T
= �P
T
BP<> )
T
=<> P
T
B
T
P<> =<> P
T
BP<> =<> C8[. Ahora bien, en virtud del teorema 3.32,
existe una matriz ortogonal<> M8[ tal que<> M
T
CM<> =<> D8[ es una matriz diagona l con los valores propios de<> C
en su diagonal principal. En consecuencia:
M
T
P
T
AP M<> =<> M
T
InM<> =<> M
T
M<> =<> In
y
M
T
P
T
BP M<> =<> M
T
CM<> =<> D<> ;
esto es, la matriz<> Q<> =<> P M8[ es tal que<> Q
T
AQ<> =<> I ny<> Q
T
BQ<> =<> D8[ es una matriz diagonal. De otro lado, como
se ha expresado, los elementos de la diagonal de<> D8[ son los valores propiosde<> C8[, los cuales según el teorema
3.32 son reales. Esto es, los elementos de ladiagonal de<> D8[ son la soluciones de l a ecuación<> |C<> −<> λI<>|<> = 0.
En vista de que la matriz<> P8[ es invertible se tiene:
|C<> −<> λI<>|<> =<> |P
T
BP<> −<> λP
T
AP<> |
=<> |P
T
| |B<> −<> λA| |<>P<> |<> = 0
9
=
;
sii<> |B<> −<> λA|<> = 0�
lo cual termina la demostración del teorema. �
3.50.<> Ejemplo.8[ Considere las matrice s simétricas
A<> =
2
4
1 0 0
0 4 2
0 2 2
3
5 y<> B<> =
2
4
5 4 4
4 8<> −4
4<> −4<> −4
3
5.
Efectuando los cálculoscorrespondientes se encuentra que los valores propios de<> A8[ son:<> λ
1= 1<>� λ2= 3 +
√
5
y<> λ
3= 3<> −
√
5, los cuales son estrictamente positivos y quela matriz invertible
P<> =
2
6
6
6
4
1 0 0
0
1
2
−
1
2
0 0 1
3
7
7
7
5
es tal que
P
T
AP<> =<> I 3 y<> C<> =<> P
T
BP<> =
2
4
5 2 2
2 2<> −4
2<> −4 2
3
5.
63
3.4. Diagonalización simultánea de matrices simétricas
En esta sección se veráun par de teoremas sobre diagonalización simultánea de matrices simétricas, los cuales
son útiles en estadística. En particular el teorema 3.51 se utiliza en la demostración de la independencia de
dos ciertas formas cuadráticas (ver teorema 4.5.3 de [4]).
3.49.<> Teorema8[ (Diagonalización simu ltánea)<>.<> Sean<> A<> y<> B<> matrices simétricas d e orden<> n.<> Si todos los
valores propios de<> A<> son estrictamente posi tivos, entonces existe una matriz invertible<> Q<> tal que<> Q
T
AQ<> =<> I n
y<> Q
T
BQ<> =<> D<> es una matriz diagona l. Además, los elementos de la diagonal de D, son las soluciones dela
ecuación<> |B<> −<> λA|<> = 0�<> las cuales son reales.
Demostración�8[ Puesto que todos los valores propios de<> A8[ son estrictamente pos itivos, se sigue del
teorema 3.41, que existe una matriz invertible<> P8[ tal que<> P
T
AP<> =<> I n.8[ Sea ahora<> C<> =<> P
T
BP.8[ La matriz
C8[ es simétrica pues,<> C
T
= �P
T
BP<> )
T
=<> P
T
B
T
P<> =<> P
T
BP<> =<> C8[. Ahora bien, en virtud del teorema 3.32,
existe una matriz ortogonal<> M8[ tal que<> M
T
CM<> =<> D8[ es una matriz diagona l con los valores propios de<> C
en su diagonal principal. En consecuencia:
M
T
P
T
AP M<> =<> M
T
InM<> =<> M
T
M<> =<> In
y
M
T
P
T
BP M<> =<> M
T
CM<> =<> D<> ;
esto es, la matriz<> Q<> =<> P M8[ es tal que<> Q
T
AQ<> =<> I ny<> Q
T
BQ<> =<> D8[ es una matriz diagonal. De otro lado, como
se ha expresado, los elementos de la diagonal de<> D8[ son los valores propiosde<> C8[, los cuales según el teorema
3.32 son reales. Esto es, los elementos de ladiagonal de<> D8[ son la soluciones de l a ecuación<> |C<> −<> λI<>|<> = 0.
En vista de que la matriz<> P8[ es invertible se tiene:
|C<> −<> λI<>|<> =<> |P
T
BP<> −<> λP
T
AP<> |
=<> |P
T
| |B<> −<> λA| |<>P<> |<> = 0
9
=
;
sii<> |B<> −<> λA|<> = 0�
lo cual termina la demostración del teorema. �
3.50.<> Ejemplo.8[ Considere las matrice s simétricas
A<> =
2
4
1 0 0
0 4 2
0 2 2
3
5 y<> B<> =
2
4
5 4 4
4 8<> −4
4<> −4<> −4
3
5.
Efectuando los cálculoscorrespondientes se encuentra que los valores propios de<> A8[ son:<> λ
1= 1<>� λ2= 3 +
√
5
y<> λ
3= 3<> −
√
5, los cuales son estrictamente positivos y quela matriz invertible
P<> =
2
6
6
6
4
1 0 0
0
1
2
−
1
2
0 0 1
3
7
7
7
5
es tal que
P
T
AP<> =<> I 3 y<> C<> =<> P
T
BP<> =
2
4
5 2 2
2 2<> −4
2<> −4 2
3
5.
63
3.4. Diagonalización simultánea Diagonalización de matrices
Por el ejemplo 3.43 sesabe que
M<> =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
−
1
3
2
√
5
2
3
√
5
2
3
1
√
5
−
4
3
√
5
2
3
0
2
3
√
5
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
es ortogonal y es tal que
M
T
CM<> =<> D<> =
2
4
−3 0 0
0 6 0
0 0 6
3
5.
En consecuencia, la matriz invertible
Q<> =<> P M<> =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
−
1
3
2
√
5
2
3
√
5
0
1
2
√
5
−
3
3
√
5
2
3
0
5
3
√
5
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
es tal que
Q
T
AQ<> =
2
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
5 y<> Q
T
BQ<> =<> D<> =
2
4
−3 0 0
0 6 0
0 0 6
3
5.
El siguiente teorema indica, que cuando dosmatrices simétricas del mismo orden conmutan entre si, se
puede incluso encontrar una diagonalización simultánea ortogonal, en forma más precisa tenemos.
3.51.<> Teorema8[ (Diagonalización ortog onal simultánea)<>.<> Sean<> A<> y<> B<> matrices simétricas de orden<> n. AB<> =
BA<> sii existe una matriz ortogonal<> P<> tal que<> P
T
AP<> y<> P
T
BP<> son matrices diagonales, cuyos elementos de
la diagonal son respectivamente los valores propios de<> A<> y<> B<>.
Demostración�<> �=<>⇒)8[ En virtud del teorema 3.41, existe una matrizortogonal<> R8[ tal que:
R
T
AR<> =<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
1Ik� �<> · · ·<> �
�<> λ
2Ik2· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> . . . λ
mIkm
3
7
7
7
5
�
donde los<> λ
ison los diferentes valores propios de<> A8[ y<> k ies la multiplicidad geométrica (algebraica) del valor
propio<> λ
i,<> i<> = 1�<> 2� . . . � m.
Sea ahora<> C<> =<> R
T
BR8[. Puesto que por hipótesis<> AB<> =<> BA�8[ entonces
DC<> =<> R
T
ARR
T
BR<> =<> R
T
BAR<> =<> R
T
BRR
T
AR<> =<> CD.
Particionando la matriz<> C8[ convenientemente se puede escribir:
64
Por el ejemplo 3.43 sesabe que
M<> =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
−
1
3
2
√
5
2
3
√
5
2
3
1
√
5
−
4
3
√
5
2
3
0
2
3
√
5
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
es ortogonal y es tal que
M
T
CM<> =<> D<> =
2
4
−3 0 0
0 6 0
0 0 6
3
5.
En consecuencia, la matriz invertible
Q<> =<> P M<> =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
−
1
3
2
√
5
2
3
√
5
0
1
2
√
5
−
3
3
√
5
2
3
0
5
3
√
5
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
es tal que
Q
T
AQ<> =
2
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
5 y<> Q
T
BQ<> =<> D<> =
2
4
−3 0 0
0 6 0
0 0 6
3
5.
El siguiente teorema indica, que cuando dosmatrices simétricas del mismo orden conmutan entre si, se
puede incluso encontrar una diagonalización simultánea ortogonal, en forma más precisa tenemos.
3.51.<> Teorema8[ (Diagonalización ortog onal simultánea)<>.<> Sean<> A<> y<> B<> matrices simétricas de orden<> n. AB<> =
BA<> sii existe una matriz ortogonal<> P<> tal que<> P
T
AP<> y<> P
T
BP<> son matrices diagonales, cuyos elementos de
la diagonal son respectivamente los valores propios de<> A<> y<> B<>.
Demostración�<> �=<>⇒)8[ En virtud del teorema 3.41, existe una matrizortogonal<> R8[ tal que:
R
T
AR<> =<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
1Ik� �<> · · ·<> �
�<> λ
2Ik2· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> . . . λ
mIkm
3
7
7
7
5
�
donde los<> λ
ison los diferentes valores propios de<> A8[ y<> k ies la multiplicidad geométrica (algebraica) del valor
propio<> λ
i,<> i<> = 1�<> 2� . . . � m.
Sea ahora<> C<> =<> R
T
BR8[. Puesto que por hipótesis<> AB<> =<> BA�8[ entonces
DC<> =<> R
T
ARR
T
BR<> =<> R
T
BAR<> =<> R
T
BRR
T
AR<> =<> CD.
Particionando la matriz<> C8[ convenientemente se puede escribir:
64
Diagonalización de matrices 3.4. Diagonalización simultánea
DC<> =
2
6
6
6
4
λ
1Ik� �<> · · ·<> �
�<> λ
2Ik2· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · ·<> λ
mIkm
3
7
7
7
5
2
6
6
6
4
C
11C12· · ·<> C1m
C21C22· · ·<> C2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
m1Cm2· · ·<> Cmm
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
λ
1C11 λ1C12· · ·<> λ1C1m
λ2C21λ2C22· · ·<> λ2C2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λ
mCm1λmCm2· · ·<> λmCmm
3
7
7
7
5
�
CD<> =
2
6
6
6
4
C
11C12· · ·<> C1m
C21C22· · ·<> C2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
m1Cm2· · ·<> Cmm
3
7
7
7
5
2
6
6
6
4
λ
1Ik� �<> · · ·<> �
�<> λ
2Ik2· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · ·<> λ
mIkm
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
λ
1C11λ2C12· · ·<> λmC1m
λ1C21λ2C22· · ·<> λmC2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λ
1Cm1λ2Cm2· · ·<> λmCmm
3
7
7
7
5
.
Ya que<> DC<> =<> CD8[ y<> λ
i�=<> λj, si<> i<> �=<> j8[, entonces se tiene que<> C ij= 08[, si<> i<> �=<> j8[ y por tanto
C<> =
2
6
6
6
4
C
11�<> · · ·<> �
�<> C
22· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · · · · ·<> C
mm
3
7
7
7
5
.
Como la matriz<> C8[ es simétrica, cada una de las matrices<> C
ii� i<> = 1�<> 2<> . . . � m8[, es simétrica, por tant o existe
una matriz ortogonal<> Q
ital que<> Q
T
i
CiiQi=<> Dies una matriz diagonal. Sea a hora:
Q<> =
2
6
6
6
4
Q
1�<> · · ·<> �
�<> Q
2· · · · · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · · · · ·<> Q
m
3
7
7
7
5
.
La matriz<> Q8[ es ortogonal (véase eje rcicio 11) y es tal que<> Q
T
CQ<> =<> D
∗
es una matriz diagonal. También se
tiene que<> Q
T
DQ<> =<> D8[; es decir,
Q
T
R
T
ARQ<> =<> D8[ y<> Q
T
R
T
BRQ<> =<> D
∗
.
Ya que las matrices<> R8[ y<> Q8[ son ortogonales, enton ces la matriz<> P<> =<> RQ8[ es ortogonal (vea el ej ercicio 10) y
es tal que<> P
T
AP8[ y<> P
T
BP8[ son matrices diagonales semejantes a<> A8[ y a<> B8[ respectivamente.
�⇐<>=)8[ Supongamos que existe una matriz ortogonal<> P8[ tal que<> P
T
AP<> =<> D 1y<> P
T
BP<> =<> D 2son matri-
ces diagonales. Puestoque<> D
1D2=<> D2D1�8[ entonces:
P
T
AP P
T
BP<> =<> P
T
BP P
T
AP �
de donde<> AB<> =<> BA. �
3.52.<> Ejemplo.8[ En este ejemplo se si guen los pasos hechosen la demostración delteorema anterior en el
sentido<> �=<>⇒)8[. La verificación de los cálculos numéricos queda a cargo del lector.
65
DC<> =
2
6
6
6
4
λ
1Ik� �<> · · ·<> �
�<> λ
2Ik2· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · ·<> λ
mIkm
3
7
7
7
5
2
6
6
6
4
C
11C12· · ·<> C1m
C21C22· · ·<> C2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
m1Cm2· · ·<> Cmm
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
λ
1C11 λ1C12· · ·<> λ1C1m
λ2C21λ2C22· · ·<> λ2C2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λ
mCm1λmCm2· · ·<> λmCmm
3
7
7
7
5
�
CD<> =
2
6
6
6
4
C
11C12· · ·<> C1m
C21C22· · ·<> C2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
m1Cm2· · ·<> Cmm
3
7
7
7
5
2
6
6
6
4
λ
1Ik� �<> · · ·<> �
�<> λ
2Ik2· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · ·<> λ
mIkm
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
λ
1C11λ2C12· · ·<> λmC1m
λ1C21λ2C22· · ·<> λmC2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
λ
1Cm1λ2Cm2· · ·<> λmCmm
3
7
7
7
5
.
Ya que<> DC<> =<> CD8[ y<> λ
i�=<> λj, si<> i<> �=<> j8[, entonces se tiene que<> C ij= 08[, si<> i<> �=<> j8[ y por tanto
C<> =
2
6
6
6
4
C
11�<> · · ·<> �
�<> C
22· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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mm
3
7
7
7
5
.
Como la matriz<> C8[ es simétrica, cada una de las matrices<> C
ii� i<> = 1�<> 2<> . . . � m8[, es simétrica, por tant o existe
una matriz ortogonal<> Q
ital que<> Q
T
i
CiiQi=<> Dies una matriz diagonal. Sea a hora:
Q<> =
2
6
6
6
4
Q
1�<> · · ·<> �
�<> Q
2· · · · · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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m
3
7
7
7
5
.
La matriz<> Q8[ es ortogonal (véase eje rcicio 11) y es tal que<> Q
T
CQ<> =<> D
∗
es una matriz diagonal. También se
tiene que<> Q
T
DQ<> =<> D8[; es decir,
Q
T
R
T
ARQ<> =<> D8[ y<> Q
T
R
T
BRQ<> =<> D
∗
.
Ya que las matrices<> R8[ y<> Q8[ son ortogonales, enton ces la matriz<> P<> =<> RQ8[ es ortogonal (vea el ej ercicio 10) y
es tal que<> P
T
AP8[ y<> P
T
BP8[ son matrices diagonales semejantes a<> A8[ y a<> B8[ respectivamente.
�⇐<>=)8[ Supongamos que existe una matriz ortogonal<> P8[ tal que<> P
T
AP<> =<> D 1y<> P
T
BP<> =<> D 2son matri-
ces diagonales. Puestoque<> D
1D2=<> D2D1�8[ entonces:
P
T
AP P
T
BP<> =<> P
T
BP P
T
AP �
de donde<> AB<> =<> BA. �
3.52.<> Ejemplo.8[ En este ejemplo se si guen los pasos hechosen la demostración delteorema anterior en el
sentido<> �=<>⇒)8[. La verificación de los cálculos numéricos queda a cargo del lector.
65
3.4. Diagonalización simultánea Diagonalización de matrices
Las matrices simétricas:
A<> =
2
6
6
4
1<> −1 0 0
−1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
y<> B<> =
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2<> −2
0 0<> −2 5
3
7
7
5
son tales que<> AB<> =<> BA.8[ Los valores propios de la matriz<> A8[ son<> λ
1= 08[ de multiplicidad algebraica<> k 1= 1�
λ
2= 18[ de multiplicidad algebraica<> k 2= 28[ y<> λ 3= 28[ de multiplicidad algebraica<> k 3= 1.8[ La matriz ortogonal
R<> =
2
6
6
6
6
6
6
4
1/
√
2 0 0<> −1/
√
2
1/
√
2 0 0 1/
√
2
0 1 0 0
0 0 1 0
3
7
7
7
7
7
7
5
es tal que:
R
T
AR<> =<> D<> =
2
6
6
4
0
0 00
01 00
00 10
00 02
3
7
7
5
=
2
6
6
4
λ
1I<> � �
�<> λ
2I<> �
� �<> λ
3I
3
7
7
5
y
R
T
BR<> =<> C<> =
2
6
6
4
1
0 0 0
02<> −2 0
0−2 5 0
00 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
C
11� �
�<> C
22�
� �<> C
33
3
7
7
5
.
La matriz ortogonal
Q<> =
2
6
6
6
6
6
6
4
1
0 0 0
02/
√
5<> −1/
√
50
01/
√
5 2/
√
50
0 0 0 1
3
7
7
7
7
7
7
5
=
2
6
6
4
Q
1� �
�<> Q
2�
� �<> Q
3
3
7
7
5
�
es tal que
Q
T
CQ<> =
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 6 0
0 0 0 1
3
7
7
5
=<> Q
T
R
T
BRQ<> =<> D
∗
y
Q
T
DQ<> =
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2
3
7
7
5
=<> Q
T
R
T
ARQ<> =<> D .
En consecuencia, la matriz ortogonal
P<> =<> RQ<> =
2
6
6
6
6
6
6
4
1/
√
2 0 0<> −1/
√
2
1/
√
2 0 0 1/
√
2
0 2/
√
5<> −1/
√
5 0
0 1/
√
5 2/
√
5 0
3
7
7
7
7
7
7
5
66
Las matrices simétricas:
A<> =
2
6
6
4
1<> −1 0 0
−1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
7
7
5
y<> B<> =
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2<> −2
0 0<> −2 5
3
7
7
5
son tales que<> AB<> =<> BA.8[ Los valores propios de la matriz<> A8[ son<> λ
1= 08[ de multiplicidad algebraica<> k 1= 1�
λ
2= 18[ de multiplicidad algebraica<> k 2= 28[ y<> λ 3= 28[ de multiplicidad algebraica<> k 3= 1.8[ La matriz ortogonal
R<> =
2
6
6
6
6
6
6
4
1/
√
2 0 0<> −1/
√
2
1/
√
2 0 0 1/
√
2
0 1 0 0
0 0 1 0
3
7
7
7
7
7
7
5
es tal que:
R
T
AR<> =<> D<> =
2
6
6
4
0
0 00
01 00
00 10
00 02
3
7
7
5
=
2
6
6
4
λ
1I<> � �
�<> λ
2I<> �
� �<> λ
3I
3
7
7
5
y
R
T
BR<> =<> C<> =
2
6
6
4
1
0 0 0
02<> −2 0
0−2 5 0
00 0 1
3
7
7
5
=
2
6
6
4
C
11� �
�<> C
22�
� �<> C
33
3
7
7
5
.
La matriz ortogonal
Q<> =
2
6
6
6
6
6
6
4
1
0 0 0
02/
√
5<> −1/
√
50
01/
√
5 2/
√
50
0 0 0 1
3
7
7
7
7
7
7
5
=
2
6
6
4
Q
1� �
�<> Q
2�
� �<> Q
3
3
7
7
5
�
es tal que
Q
T
CQ<> =
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 6 0
0 0 0 1
3
7
7
5
=<> Q
T
R
T
BRQ<> =<> D
∗
y
Q
T
DQ<> =
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2
3
7
7
5
=<> Q
T
R
T
ARQ<> =<> D .
En consecuencia, la matriz ortogonal
P<> =<> RQ<> =
2
6
6
6
6
6
6
4
1/
√
2 0 0<> −1/
√
2
1/
√
2 0 0 1/
√
2
0 2/
√
5<> −1/
√
5 0
0 1/
√
5 2/
√
5 0
3
7
7
7
7
7
7
5
66
Diagonalización de matrices 3.4. Diagonalización simultánea
es tal que<> P
T
AP<> =<> D8[ y<> P
T
BP<> =<> D
∗
son matrices diagonales.
3.53.<> Corolario.<> Sean<> A
1� A2� . . . � Akmatrices simétricas deorden<> n. Una condición necesa ria y suficiente
para que exista una matriz ortogonal<> P<> tal que<> P
T
AiP<> sea una matriz diagonal para cada<> i<> = 1�<> 2� . . . � k<> es
que<> A
iAj=<> AjAipara cada<> i<> y<> j<>;<> i� j<> = 1�<> 2� . . . � k<>.
Demostración�8[ (=<>⇒) La demostración de e sta parte del teorema se hará utilizando inducción sobre
el número de matrices<> k.8[ Para cuando<> k<> = 28[ el corolario es cierto p or el teorema anterior.Suponga ahora
que el corolario es cierto para cuando<> k<> =<> s; se quiere demostrar que el corolario es cierto para cuando
k<> =<> s<> + 1. Sean pues<> A
1� A2� . . . � As+1matrices simétricas deorden<> n8[ tales que<> A iAj=<> AjAipara cada<> i
y<> j<>;<> i� j<> = 1�<> 2� . . . � s<> + 18[. Por el teorema 3.41 e xiste una matriz ortogonal<> R8[ tal que
R
T
A1R<> =<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
1Ik� �<> · · ·<> �
�<> λ
2Ik2· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · ·<> λ
mIkm
3
7
7
7
5
�
donde los<> λ
τ,<> τ<> = 1�<> 2� . . . � m�8[ son los diferentes valo res propios de<> A 1y<> kτes la multiplicidad geométrica
(algebraica) del valor propio<> λ
τ.
Ahora, para cada<> i8[ (i<> = 2�<> 3� . . . � s<> + 1)�8[ se toma la matriz<> C
i=<> R
T
AiR8[. Puesto que por hipótesis
A
1Ai=<> AiA1, entonces
C
iD<> =<> R
T
AiRR
T
A1R<> =<> R
T
AiA1R<> =<> R
T
A1AiR
=<> R
T
A1RR
T
AiR<> =<> DCi�
para<> i<> = 2<>�<> 3� . . . � s<> + 1.8[ De esto se sigue que:
C
i=
2
6
6
6
4
C
i1�<> · · ·<> �
�<> C
i2 · · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · · · · ·<> C
im
3
7
7
7
5
� i<> = 2�<> 3� . . . � s<> + 1<> .
Ahora, como<> A
iAj=<> AjAipara todo<> i8[ y todo<> j<>;<> i� j<> = 2�<> 3� . . . � s<> + 1, entonces:
C
iCj=<> R
T
AiRR
T
AjR<> =<> R
T
AiAjR
=<> R
T
AjAiR<> =<> R
T
AjRR
T
AiR<> =<> CjCi.
De esto se sigue que para cada<> τ� τ<> = 1�<> 2� . . . � m.
C
iτCjτ=<> CjτCiτ.
De otra parte, como lamatriz<> C
ies simétrica, entonces la matriz<> C iτes simétrica para cada<> i<> = 2�<> 3<> . . . � s<>+1
y cada<> τ<> = 1�<> 2� . . . � m.8[ Por lo anterior y por la hipótesis de inducción; para cada<> τ8[ , existe una matriz
ortogonal<> Q
τtal que
Q
T
i
CiτQi=<> Dτ
es una matriz diagonal. Sea ahora:
Q<> =
2
6
6
6
4
Q
1�<> · · ·<> �
�<> Q
2· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · ·<> Q
m
3
7
7
7
5
.
La matriz<> Q8[ es ortogonal y es tal q ue<> Q
T
CiQ<> =<> D
∗
i
es una matriz diagonal. También se tiene que<> Q
T
DQ<> =
D8[. Así que:
Q
T
R
T
AiRQ<> =<> D
∗
i
� i<> = 2�<> 3<> . . . � s<> + 1�8[ y<> Q
T
R
T
A1RQ<> =<> D
∗
.
67
es tal que<> P
T
AP<> =<> D8[ y<> P
T
BP<> =<> D
∗
son matrices diagonales.
3.53.<> Corolario.<> Sean<> A
1� A2� . . . � Akmatrices simétricas deorden<> n. Una condición necesa ria y suficiente
para que exista una matriz ortogonal<> P<> tal que<> P
T
AiP<> sea una matriz diagonal para cada<> i<> = 1�<> 2� . . . � k<> es
que<> A
iAj=<> AjAipara cada<> i<> y<> j<>;<> i� j<> = 1�<> 2� . . . � k<>.
Demostración�8[ (=<>⇒) La demostración de e sta parte del teorema se hará utilizando inducción sobre
el número de matrices<> k.8[ Para cuando<> k<> = 28[ el corolario es cierto p or el teorema anterior.Suponga ahora
que el corolario es cierto para cuando<> k<> =<> s; se quiere demostrar que el corolario es cierto para cuando
k<> =<> s<> + 1. Sean pues<> A
1� A2� . . . � As+1matrices simétricas deorden<> n8[ tales que<> A iAj=<> AjAipara cada<> i
y<> j<>;<> i� j<> = 1�<> 2� . . . � s<> + 18[. Por el teorema 3.41 e xiste una matriz ortogonal<> R8[ tal que
R
T
A1R<> =<> D<> =
2
6
6
6
4
λ
1Ik� �<> · · ·<> �
�<> λ
2Ik2· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · ·<> λ
mIkm
3
7
7
7
5
�
donde los<> λ
τ,<> τ<> = 1�<> 2� . . . � m�8[ son los diferentes valo res propios de<> A 1y<> kτes la multiplicidad geométrica
(algebraica) del valor propio<> λ
τ.
Ahora, para cada<> i8[ (i<> = 2�<> 3� . . . � s<> + 1)�8[ se toma la matriz<> C
i=<> R
T
AiR8[. Puesto que por hipótesis
A
1Ai=<> AiA1, entonces
C
iD<> =<> R
T
AiRR
T
A1R<> =<> R
T
AiA1R<> =<> R
T
A1AiR
=<> R
T
A1RR
T
AiR<> =<> DCi�
para<> i<> = 2<>�<> 3� . . . � s<> + 1.8[ De esto se sigue que:
C
i=
2
6
6
6
4
C
i1�<> · · ·<> �
�<> C
i2 · · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · · · · ·<> C
im
3
7
7
7
5
� i<> = 2�<> 3� . . . � s<> + 1<> .
Ahora, como<> A
iAj=<> AjAipara todo<> i8[ y todo<> j<>;<> i� j<> = 2�<> 3� . . . � s<> + 1, entonces:
C
iCj=<> R
T
AiRR
T
AjR<> =<> R
T
AiAjR
=<> R
T
AjAiR<> =<> R
T
AjRR
T
AiR<> =<> CjCi.
De esto se sigue que para cada<> τ� τ<> = 1�<> 2� . . . � m.
C
iτCjτ=<> CjτCiτ.
De otra parte, como lamatriz<> C
ies simétrica, entonces la matriz<> C iτes simétrica para cada<> i<> = 2�<> 3<> . . . � s<>+1
y cada<> τ<> = 1�<> 2� . . . � m.8[ Por lo anterior y por la hipótesis de inducción; para cada<> τ8[ , existe una matriz
ortogonal<> Q
τtal que
Q
T
i
CiτQi=<> Dτ
es una matriz diagonal. Sea ahora:
Q<> =
2
6
6
6
4
Q
1�<> · · ·<> �
�<> Q
2· · ·<> �
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
� �<> · · ·<> Q
m
3
7
7
7
5
.
La matriz<> Q8[ es ortogonal y es tal q ue<> Q
T
CiQ<> =<> D
∗
i
es una matriz diagonal. También se tiene que<> Q
T
DQ<> =
D8[. Así que:
Q
T
R
T
AiRQ<> =<> D
∗
i
� i<> = 2�<> 3<> . . . � s<> + 1�8[ y<> Q
T
R
T
A1RQ<> =<> D
∗
.
67
3.4. Diagonalización simultánea Diagonalización de matrices
Puesto que<> R8[ y<> Q8[ son matrices ortogona les, entonces la matriz<> P<> =<> RQ8[ es ortogonal. En conse cuencia, la
matriz ortogonal<> P8[ es tal que<> P
T
AiP8[ es una matriz diagonal para<> i<> = 2�<> 3<> . . . � s<> + 1.
(Necesidad:) Supongamos ahora que existe una matriz ortogonal<> P8[ tal que<> P
T
AiP<> =<> D ies una ma-
triz diagonal para cada<> i<> = 1�<> 2� . . . � k8[. Puesto que<> D
iDj=<> DjDi�8[ para todo<> i8[ y todo<> j8[,<> i� j<> = 1�<> 2� . . . � k8[,
entonces
P
T
AiP P
T
AjP<> =<> P
T
AjP P
T
AiP�
de donde se tiene que<> A
iAj=<> AjAipara todo<> i8[ y todo<> j<>;<> i� j<> = 1�<> 2� . . . � k. �
3.54.<> Ejemplo.8[ Las matrices simétric as
A
1=
»
2 1
1 2
–
� A 2=
»
3 4
4 3
–
y<> A 3=
»
5 6
6 5
–
son tales que<> A
iAj=<> AjAi,<> i<> = 1�<> 2.
La matriz ortogonal
R<> =
1
√
2
2
4
1 1
−1 1
3
5
es tal que
R
T
A1R<> =<> D 1=
»
1 0
0 3
–
R
T
A2R<> =<> D 2=
»
−1 0
0 7
–
R
T
A3R<> =<> D 3=
»
−1
11
–
�
es decir, la matriz ortogonal<> R8[ diagonaliza de manera simultánea a las matrices<> A
1� A2y<> A3.
3�4 Ejercicios
1. Si<> A8[ y<> B8[ son dos matrices simé tricas invertibles de igual orden tales que<> AB<> =<> BA8[, demuestre
entonces existe una matriz ortogonal<> P8[ tal que<> P
T
AP� P
T
BP� P
T
ABP� P
T
AB
−1
P� P
T
A
−1
BP8[ y
P
T
A
−1
B
−1
P8[ son matrices diagonales.
2. Sean<> A<> =
2
4
1<> −2<> −3
−2 5 5
−3 5 11
3
5 y<> B<> =
2
4
1<> −4<> −1
−4 14 4
−1 4 6
3
5
a8[) Verifique que todoslos valores propios de<> A8[ son positivos, encontr ando una matriz invertible
P8[ tal que<> P
T
AP<> =<> I.
b8[) En una matriz invertible<> M8[ tal que<> M
T
AM<> =<> I8[ y<> M
T
BM<> =<> D8[ sea una matriz diagon al.
3. Considere la matrices
S
1=
2
4
1<> −2 0
−2 5 0
0 0 4
3
5� S 2=
2
4
2<> −3 0
−3 6 0
0 0<> −4
3
5
68
Puesto que<> R8[ y<> Q8[ son matrices ortogona les, entonces la matriz<> P<> =<> RQ8[ es ortogonal. En conse cuencia, la
matriz ortogonal<> P8[ es tal que<> P
T
AiP8[ es una matriz diagonal para<> i<> = 2�<> 3<> . . . � s<> + 1.
(Necesidad:) Supongamos ahora que existe una matriz ortogonal<> P8[ tal que<> P
T
AiP<> =<> D ies una ma-
triz diagonal para cada<> i<> = 1�<> 2� . . . � k8[. Puesto que<> D
iDj=<> DjDi�8[ para todo<> i8[ y todo<> j8[,<> i� j<> = 1�<> 2� . . . � k8[,
entonces
P
T
AiP P
T
AjP<> =<> P
T
AjP P
T
AiP�
de donde se tiene que<> A
iAj=<> AjAipara todo<> i8[ y todo<> j<>;<> i� j<> = 1�<> 2� . . . � k. �
3.54.<> Ejemplo.8[ Las matrices simétric as
A
1=
»
2 1
1 2
–
� A 2=
»
3 4
4 3
–
y<> A 3=
»
5 6
6 5
–
son tales que<> A
iAj=<> AjAi,<> i<> = 1�<> 2.
La matriz ortogonal
R<> =
1
√
2
2
4
1 1
−1 1
3
5
es tal que
R
T
A1R<> =<> D 1=
»
1 0
0 3
–
R
T
A2R<> =<> D 2=
»
−1 0
0 7
–
R
T
A3R<> =<> D 3=
»
−1
11
–
�
es decir, la matriz ortogonal<> R8[ diagonaliza de manera simultánea a las matrices<> A
1� A2y<> A3.
3�4 Ejercicios
1. Si<> A8[ y<> B8[ son dos matrices simé tricas invertibles de igual orden tales que<> AB<> =<> BA8[, demuestre
entonces existe una matriz ortogonal<> P8[ tal que<> P
T
AP� P
T
BP� P
T
ABP� P
T
AB
−1
P� P
T
A
−1
BP8[ y
P
T
A
−1
B
−1
P8[ son matrices diagonales.
2. Sean<> A<> =
2
4
1<> −2<> −3
−2 5 5
−3 5 11
3
5 y<> B<> =
2
4
1<> −4<> −1
−4 14 4
−1 4 6
3
5
a8[) Verifique que todoslos valores propios de<> A8[ son positivos, encontr ando una matriz invertible
P8[ tal que<> P
T
AP<> =<> I.
b8[) En una matriz invertible<> M8[ tal que<> M
T
AM<> =<> I8[ y<> M
T
BM<> =<> D8[ sea una matriz diagon al.
3. Considere la matrices
S
1=
2
4
1<> −2 0
−2 5 0
0 0 4
3
5� S 2=
2
4
2<> −3 0
−3 6 0
0 0<> −4
3
5
68
Diagonalización de matrices 3.4. Diagonalización simultánea
S3=
2
4
3<> −2 0
−2<> −<>2 0
0 0 8
3
5
a8[) Verifique que todoslos valores propios de<> S
1son positivos, encontrando una matriz invertible
P8[ tal que<> P
T
S1P<> =<> I.
b8[) Haga<> A<> =<> P
T
S2P8[ y<> B<> =<> P
T
S3P8[ .. Verifique que<> AB<> =<> BA8[ y encuentre una matr iz ortogonal
Q8[ tal que<> Q
T
AQ<> =<> D 1y<> Q
T
BQ<> =<> D 2son matrices diagonales.
c8[) Concluya que la matriz invertible<> M<> =<> P Q, siendo<> P8[ y<> Q8[ como antes, es tal que<> M
T
S1M<> =<> I
y<> M
T
AM<> =<> D 1y<> M
T
BM<> =<> D 2son matrices diagonales.
69
S3=
2
4
3<> −2 0
−2<> −<>2 0
0 0 8
3
5
a8[) Verifique que todoslos valores propios de<> S
1son positivos, encontrando una matriz invertible
P8[ tal que<> P
T
S1P<> =<> I.
b8[) Haga<> A<> =<> P
T
S2P8[ y<> B<> =<> P
T
S3P8[ .. Verifique que<> AB<> =<> BA8[ y encuentre una matr iz ortogonal
Q8[ tal que<> Q
T
AQ<> =<> D 1y<> Q
T
BQ<> =<> D 2son matrices diagonales.
c8[) Concluya que la matriz invertible<> M<> =<> P Q, siendo<> P8[ y<> Q8[ como antes, es tal que<> M
T
S1M<> =<> I
y<> M
T
AM<> =<> D 1y<> M
T
BM<> =<> D 2son matrices diagonales.
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