Estabilidad de sistemas discretos

1. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS
La estabilidad se puede determinar a partir de la localización
de los polos de lazo cerrado en el plano Z o por las raíces de la
ecuación característica.
+ )(ZC
)(ZHG)(ZD
)(
)(
)()(1
)()(
)(
)(
ZQ
ZP
ZHGZD
ZHGZD
ZR
ZC
=
+
=
)(ZHG
)(ZD F. de T. del controlador.
F. De T. de pulso del sistema.
0)()(1)( =+= ZHGZDZQ

2. De la siguiente forma:
1. El sistema es estable, si los polos
de lazo cerrado las raíces de la
ecuación característica quedan
localizados dentro del círculo unitario
en el plano Z.
1-1
Región Inestable
)(ZR
e
)(ZI
m
2. Si un polo simple está ubicado en Z=1 o en Z=-1, el sistema
es marginalmente estable, lo mismo sucede si un par de polos
conjugados complejos está sobre el círculo unitario. Polos
múltiples localizados sobre el círculo unitario dan como
resultado un sistema inestable.
3. Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del
sistema y pueden estar ubicados en cualquier parte del plano Z.

3. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY
Método sencillo que determina si algunas de las raíces de la
ecuación característica están sobre o fuera del circulo unitario,
sin necesidad de encontrar las raíces de Q(Z).
Para aplicar el criterio de JURY se considera la ecuación
característica de la siguiente forma:
0...)(
01
1
1 =++++=
-
- bZbZbZbZQ
n
n
m
n
Donde todos los coeficientes son reales y b
n
> 0.

4. J Fila Z
0
Z
1
Z
2
..Z
n-j
Z
n-1
Z
m
0
2J+1=1b
0
b
1
b
2
b
n-J
b
n-1
b
n
2J+2=2b
m
b
n-1
b
n-2
b
J
b
1
b
0
1
2J+1=3C
0
C
1
C
2
C
n-J
C
n-1
2J+2=4C
n-1
C
n-2
C
n-3
C
J
C
0
2
2J+1=5d
0
d
1
d
2
d
n-2
2J+2=6D
n-2
d
n-3
d
n-4
d
0
n-3
2J+1=2n-5P
0
P
1
P
2
P
3
2J+2=2n-4P
3
P
2
P
1
P
0
n-2
2J+1=2n-3V
0
V
1
V
2
2J+2=2n-2V
2
V
1
V
0
La tabla de JURY queda conformada así.


5. Donde:
Jni
i
i
Jin
in
i
Jin
in
i
Jin
n
i
VV
VV
V
dd
dd
C
CC
CC
d
bb
bb
C
-
-
=-
--
=-
--
=
-
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
3
30
32
20
21
10
1
10
Para que Q(Z) = 0, no tenga raíces fuera o sobre el círculo
unitario en el plano Z se requiere el cumplimiento de las
siguientes condiciones:
m
bb
Q
Q
<
î
í
ì
<
>
-
>
0
.2
imparn para0
parn para0
)1(
0)1(.1
20
20
10
.
.4
.3
VVn
dd
CC
n
n
<
>
>
-
-


6. El procedimiento de prueba es el siguiente:
Paso 1: Determinar si se cumplen las condiciones 1 y 2. Si no
se cumplen el sistema es inestable. Si se cumplen se efectúa
el paso 2.
Paso 2: Determinar el máximo valor de J
1
, así:
Jmax=n-2
Si Jmax=0, no se continúa el procedimiento por que la
información del paso 1 es suficiente para determinar la
estabilidad del sistema.
Paso 3: El máximo número de filas que ha de tener el arreglo
está dado por:
Fmax = 2Jmax + 1
Paso 4: Se completa el arreglo. A cada fila se le aplica la
restricción. Si esta no se cumple, no se continúa, dado que el
sistema ya es inestable.