Estadistica sumatoria_mtc_y_md

Sumatorias estadistica

1. Sumatoria Reglas 1

2. Reglas de sumatorias La sumatoria es un símbolo muy utilizado en matemáticas que sirve para simplificar formulas estadísticas. Una sumatoria permite representar sumas muy grandes, de n sumandos o incluso sumas infinitas y se expresa con la letra griega sigma (Σ). 2

3. Índice de la suma Límite inferior Límite superior Condición: 5 + 4 + 8 + 7 + 5 + 1 Elementos a sumar 3

4. Reglas de sumatorias Las sumatorias son útiles para expresar sumas arbitrarias de números, por ejemplo en fórmulas: así, si queremos representar la «fórmula» para hallar la media aritmética de n números: 4

5. Reglas de la sumatoria Sumatoria de los datos de una variable. Fuente: Matemáticas III, Estadística y Probabilidad, de Luis Magaña Cuéllar 5

6. Sumatoria de una constante. 6

7. Sumatoria de una variable y una constante sumada o restada. 7

8. Sumatoria de una variable con un multiplicador o un divisor constantes. 8

9. Sumatoria de potencias y raíces de una variable. 9

10. Regla para distribuir la sumatoria. 10

11. Sumatoria del producto o el cociente de dos o más variables. 11

12. Reglas de sumatorias i X Y 1 2 5 2 3 2 3 4 4 1 1 Comprobar reglas:   12

13. Reglas de sumatorias i X Y 1 2 -5 2 8 2 3 -7 1 4 3 13 Comprobar reglas:  

14. Hoja de Ejercicios 14

15. Medidas de Tendencia Central La media aritmética La mediana La moda - Datos no agrupados. - Datos agrupados. 15

16. Resumen de datos 36, 27, 21, 35, 35, 36, 27, 31, 35, 28, 24, 26, 36, 38, 22, 23, 39, 25, 21, 27, 39, 25, 33, 23, 29, 32, 23, 23, 26, 26, 39, 24, 22, 35, 25, 31, 35, 22, 32, 21, 32, 25, 34, 33, 24, 25, 36, 34, 24, 33, 26, 23, 35, 32, 23, 24, 31, 24, 35, 34, 38, 22, 23, 39, 25, 21, 27, 39, 25, 33, 23, 29, 32, 23, 23, 26, 26, 39, 24, 22, 35, 25, 31, 35, 22, 32, 21, 32, 25, 34, 33, 24, 25, 36, 34, 24, 33, 26, 23, 35, 32, 23, 24, 31, 24, 35, 34, 36, 27, 21, 35, 35, 36, 27, 31, 35, 28, 24, 26, 36, 38, 22, 23, 39, 25, 21, 27, 39, 25, 33, 23, 29, 32, 23, 23, 26, 26, 39, 24, 22, 35, 25, 31, 35, 22, 32, 21, 36, 27, 21, 35, 35, 36, 27, 31, 35, 28, 24, 26, 36, 38, 22, 23, 39, 25 Clase Marca de clase Frecuencia 30-32 31 5 32-34 33 3 34-36 35 2 36-38 37 4 Media = 35 16

17. Medidas de Tendencia Central - Generalidades Aunque las distribuciones de frecuencia sirven para propósitos útiles, existen muchas situaciones en las que se requiere otro tipo de resumen de datos. Existen situaciones en que se necesita condensar los datos a través de tan solo unas cuantas medidas descriptivas, las cuales se pueden calcular a partir de los datos de una muestra o de una población. 17

18. Medidas de Tendencia Central - Generalidades A) Una medida descriptiva calculada a partir de los datos de una muestra , se le llama estadístico . B) Una medida descriptiva calculada a partir de los datos de una población , se le llama parámetro . 18

19. Medidas de Tendencia Central - Generalidades Una medida de tendencia central es un intento de identificar la calificación más característica o central en un grupo de calificaciones. Algunas de las MTC: Media. Moda. Mediana. Media ponderada. Media móvil. Media geométrica. Más comunes Menos comunes 19

20. Media - Características Es la medida de tendencia central más usada. Se le conoce técnicamente como “media aritmética”. Es el punto de equilibrio o centro de gravedad de una serie de datos. Se define como la suma de todos los datos dividido entre el número de observaciones. 20

21. Media - Características Su fórmula es: Ejemplo: Media de edades en un grupo: 18, 20, 21, 18, 19 21

22. Media - Características Características: Es única. Para un conjunto de datos, hay una y sólo una media. Simplicidad. El cálculo y comprensión de la media son muy sencillos. Como todos y cada uno de los valores en el conjunto de datos entran en su cálculo, ésta es afectada por cada valor. Por lo tanto los valores de extremos influyen en la media y en algunos casos pueden distorsionarla y llega a ser indeseable como MTC. 22

23. Mediana - Características Es aquel valor que divide al conjunto de datos en dos partes iguales. De manera que el 50% de los datos tenga un valor mayor que la mediana, y el 50% de los datos tenga un valor menor. Teniendo todos los datos ordenados de menor a mayor, la mediana sería: En caso de datos impares: valor a la mitad. En caso de datos pares: promedio de los dos valores que quedan a la mitad de los datos. 23

24. Mediana - Ejemplo Obtener la mediana de: 10, 54, 21, 33, 53. 15, 10, 25, 30, 28, 21. 24 Ojo! No es una f órmula!

25. Moda - Características Es aquel valor que ocurre con mayor frecuencia. Si todos los valores son diferentes, no hay moda. En un conjunto de datos puede haber más de una moda: Dos modas: bimodal. Más de dos modas: multimodal. Se puede utilizar para datos cualitativos (ej. Diagnósticos). 25

26. Moda - Ejemplo 26 Edades de cinco empleados: 30, 55, 47, 21, 18 Edades de seis empleados: 21, 20, 21, 21, 21, 18 Edades de diez empleados: 20, 21, 20, 34, 22, 24, 20, 27, 27 y 27.

27. Posición en la gráfica 27

28. Media ponderada A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. 28

29. Media ponderada 29

30. Media ponderada Ejemplo: 30 Parcial Peso (p) Calificación obtenida (X) (p) (X) 1er Parcial 2do Parcial 3er Parcial 4to Parcial Sumas: Parcial Peso (p) Calificación obtenida (X) (p) (X) 1er Parcial 2do Parcial 3er Parcial 4to Parcial Sumas:

31. Media móvil El método de las medias móviles en estadística es un método utilizado para analizar un conjunto de datos en modo de puntos para crear series de promedios. Así las medias móviles son una lista de números en la cual cada uno es el promedio de un subconjunto de los datos originales. 31

32. Media móvil Por ejemplo, si se tiene un conjunto de 100 datos el primer valor de la serie de medias móviles podría ser el promedio de los primeros 25 términos, luego el promedio de los términos 2 al 26, el tercer elemento de los términos 3 al 27 y así, hasta por último el promedio de los últimos 25 números del 76 al 100. 32

33. Media móvil 33

34. Media geométrica El empleo más frecuente de la media geométrica es el de promediar variables tales como porcentajes, tasas, números índices, etc., es decir, en los casos en los que se supone que la variable presenta variaciones acumulativas. 34

35. Media geométrica Ventajas e inconvenientes: En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución. Los valores extremos tienen menor influencia que en la media aritmética. Es única. Su cálculo es más complicado que el de la media aritmética. Cuando la variable toma al menos un x = 0 entonces G se anula. 35

36. Media geométrica Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería 36

37. Media geométrica Ejemplo: Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 18% y 3%. La media geométrica es = 1.0847. La media aritmética es (5 + 7 + 4)/3 = 1.0867. La MG da una cifra de ganancia más conservadora porque no tiene una ponderación alta para la tasa de 18%. 37

38. Hoja de ejercicios Media, mediana y moda 38

39. Medidas de posición “Cuantiles”: Cuartil, Decil y Percentil 39

40. Un conjunto de puntuaciones o mediciones puede dividirse en un cierto número de partes iguales mediante la selección de valores que correspondan a una posición determinada en dicho conjunto. Ejemplo: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 50% 50% 11 40

41. Cuantil - Definición Término estadístico que designa parámetros de posiciones que subdividen en partes iguales el conjunto de valores ordenados (según el criterio asumido previamente) de menor a mayor. 41

42. Cuartil (cuartila) Cada uno de los 3 puntos o valores que dividen al grupo de datos en 4 partes iguales. Se representan por Q 1 , Q 2 , Q 3 : 42

43. Decil (decila) Cada uno de los 9 puntos o valores que dividen al grupo de datos en 10 partes iguales. Se pueden representar: 43

44. Percentil (porcentil, o centil) Cada una de las 99 puntuaciones o valores que dividen al grupo de datos en 100 partes iguales. El percentil indica el porcentaje de valores del conjunto que queda por debajo de ese valor en particular. Ejemplo, Percentil 70, significa que ese valor es más alto que el 70% de los datos, y menor que el 30%. 44

45. Percentil (centil) P 55 P 70 P 7 P 95 45

46. Comparación entre cuantiles 46

47. Comparación entre cuantiles Q 1 = P 25 Q 2 = D 5 = P 50 = Mediana Q 3 = P 75 47

48. Ejemplo: Calcular cuartiles y deciles: 56, 64, 67, 78, 79, 88, 89, 90, 94, 95 20, 21, 20, 34, 22, 24, 20, 27, 27, 27 Ordenar de menor a mayor, luego dividir en partes iguales. 48

49. Medidas de dispersión Rango, Varianza y Desviación estándar 49

50. Importancia de una medida de dispersión Caso 1: 50, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 56 Media = 53 Desviación estándar = 2.3979 Caso 2: 1, 2, 5, 10, 53, 96, 101, 104, 105 Media = 53 Desviación estándar = 48.6261 50

51. Importancia de una medida de dispersión Caso 1: Media = 24.5 Caso 2: Media = 24.5 Li - Ls X F 10 – 19 14.5 10 20 – 29 24.5 11 30 – 39 34.5 10 Li - Ls X F 10 – 19 14.5 1 20 – 29 24.5 30 30 – 39 34.5 1 51

52. Generalidades Las medidas de dispersión nos permitirán ver cuánto se alejan de la media una serie de datos. Es decir, si los valores son parecidos o varían mucho entre sí. 52

53. Tipos Rango. Desviación media. Varianza. Desviación estándar. 53

54. Rango Es la diferencia entre el valor máximo de los datos, y el valor mínimo. Fórmula 54

55. Desviación media Es el promedio de la desviación en números absolutos de un conjunto de datos respecto de su media. Fórmula: 55

56. Varianza Da una medida de la variación de los datos respecto a la media (los valores están elevados al cuadrado). Fórmula 56

57. Desviación estándar (típica) Nos da la medida típica en que los datos se desvían de la media. A mayor el valor, mayor la distancia entre cada dato y la media. Fórmula 57

58. Ejemplo: Obtener Rango, Varianza y Desviación estándar. Edades de cinco empleados: 20, 21, 20, 34, 22. 58

59. Soluci ón: 59 X 20 23.4 -3.4 11.56 21 23.4 -2.4 5.76 20 23.4 -3.4 11.56 34 23.4 10.6 112.36 22 23.4 -1.4 1.96 143.2 X 20 23.4 -3.4 11.56 21 23.4 -2.4 5.76 20 23.4 -3.4 11.56 34 23.4 10.6 112.36 22 23.4 -1.4 1.96 143.2 = 5.98331    

60. Fórmula simplificada de Varianza y Desviación estándar 60

61. Ejemplo: Obtener Rango, Varianza y Desviación estándar. Edades de cinco empleados: 20, 21, 20, 34, 22. 61

62. Soluci ón: 62 20 400 21 441 20 400 34 1156 22 484 20 400 21 441 20 400 34 1156 22 484 = 5.98331    

63. Hoja de ejercicios Rango , varianza y desviaci ón estándar 63

64. 64

65. Medidas de Tendencia Central con Datos agrupados 65

66. Datos agrupados “ Datos no agrupados ” le llamamos a los datos “ crudos ” o “en bruto ”, es decir , a los datos dispersos . Ej . 5, 7, 5, 4, 7 ( años de niños en un grupo ). “ Datos agrupados ” le llamamos a los datos organizados en tablas o en distribuciones de frecuencias . La diferencia en la presentación de los datos hace que el procedimiento para calcular las medidas sea diferente . 66

67. Media en Datos Agrupados f = Frecuencia de cada clase. X = Marca de clase (de cada clase). n = Total de datos. 67

68. Mediana en Datos Agrupados Li = Límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana . n = Total de datos . FAa = Frecuencia Acumulada de la clase anterior. f = Frecuencia de la clase de la mediana . T.C. = Tamaño de la clase de la mediana . 68

69. Moda en Datos Agrupados Li = Límite inferior de la clase donde se encuentra la moda . d1 = Resta entre la frecuencia de la clase donde se encuentra la moda , y la clase anterior. d2 = Resta entre la frecuencia de la clase donde se encuentra la moda , y la clase siguiente . T.C. = Tamaño de la clase de la moda . 69

70. Medidas de Dispersión con Datos agrupados 70

71. Rango Fórmula: Límite superior de la última clase, menos Límite inferior de la primera clase. 71

72. Varianza Fórmula 72

73. Desviación estándar Fórmula 73

74. Fórmula simplificada 74

75. Ejercicio Li - Ls LRi - LRs X F Fr F. A. 5 – 8 4.5 – 8.5 6.5 3 0.215 3 9 – 12 8.5 – 12.5 10.5 5 0.357 8 13 – 16 12.5 – 16.5 14.5 4 0.206 12 17 – 20 16.5 – 20.5 18.8 2 0.142 14 75