Estatica diagramas de esforcos

diagramas

1. DECivil
Secção
de Mecânica Estrutural e Estruturas






DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS EM
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS




I. Cabrita Neves


















Abril, 2002

2. 2
ÍNDICE




Pág.

1. Esforços internos em peças lineares 3

2. Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores 5

3. Relações e ntre diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos
flectores 11

4. Diagramas de esforços normais 13

5. Exemplo 14

3. 3
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS
ISOSTÁTICAS

1. Esforços internos em peças lineares

Considere-se uma superfície plana cujo centro de gravidade se desloca ao longo de
uma linha, cujo comprimento é muito superior às dimensões da superfície, por forma
que a linha e a superfície se mantenham permanentemente perpendiculares entre si
(Fig. 1). Ao sólido assim gerado dá-se o nome de peça linear
, à linha chama-se eixo
da peça linear e à superfície plana secção transversal.













Fig. 1 – Peça linear

Uma peça linear diz-se de secção constante
se as dimensões da superfície que a gera
se mantiverem constantes durante o movimento ao longo do eixo. As peças lineares
são de eixo rectilíneo ou curvilíneo consoante a forma do seu eixo. As peças lineares
de eixo rectilíneo e secção constante chamam-se peças prismáticas. Numa
representação esquemática é vulgar reduzir as peças lineares ao seu eixo.

Considere-se agora uma estrutura isostática constituída por peças lineares, em
equilíbrio sob a acção de um carregamento genérico. Se efectuarmos um corte numa
destas peças lineares por uma secção transversal S o equilíbrio rompe-se em geral,
sinal claro de que entre as duas partes que resultaram do corte se exerciam forças,
ditas forças interiores relativamente à estrutura como um todo, necessárias ao
equilíbrio. Estas forças interiores constituem dois sistemas de vectores que se
distribuem n as duas secções transversais S 1 e S 2 que resultaram do corte e que
obedecem ao princípio da acção e reacção. Cada um deles representa a acção de uma
das partes da peça sobre a outra.

Se efectuarmos a redução destes sistemas de vectores no centro de massa de cada uma
das secções S 1 e S2 obteremos vectores principais R
r
e R
r
-, e momentos resultantes
M
r
e M
r
-, iguais e opostos (Fig. 2). Estes vectores podem ser decompostos segundo
as três direcções de um qualquer referencial ortonormado. No entanto, para decompor
R
r
e M
r
adopta-se por convenção o seguinte referencial: começa-se por orientar a
peça da esquerda para a direita; isso pode ser feito designando por extremidade 1 a
sua extremidade esquerda e por extremidade 2 a sua extremidade direita, ou
Secção
transversal S

4. 4
simplesmente orientando o seu eixo da esquerda para a direita através de uma seta
(Fig. 3).













Fig. 2 – Elementos de redução das forças de interacção entre duas partes de uma
mesma peça linear

A origem do referencial localiza-se no centro de massa da secção da extremidade
direita da peça (extremidade 2, secção S2, também chamada secção positiva). O eixo z
é tangente ao eixo da peça e aponta para fora. O eixo y é vertical e orientado de cima
para baixo e obviamente o eixo x será perpendicular a ambos e formará com eles um
referencial directo (orientado para fora do papel).














Fig. 3 – Peça linear orientada e sentidos positivos dos esforços internos.

Às componentes
x
M,
yM,
z
M,
x
V,
yV e N dos elementos de redução
M
r
e R
r

neste referencial dá-se o nome de esforços internos na secção S da peça linear e serão
positivos se tiverem os sentidos indicados, concordantes com os sentidos positivos do
referencial escolhido. Repare-se que os vectores M
r
eR
r
, por um lado, e M
r
- e R
r
-,
por outro (Fig. 2), representam dois aspectos de um mesmo efeito de interacção entre
as partes esquerda e direita de uma peça linear numa secção S. Por isso, se se utilizar
como referencial para efectuar a decomposição dos elementos de redução M
r
- e R
r
-,
das forças que actuam na secção S1 (secção negativa), um referencial com origem em
G1 e cujos eixos têm sentidos opostos a os eixos do referencial anterior, as
componentes de M
r
e R
r
, e de M
r
- e R
r
- nos referenciais próprios de cada secção
R
r

R
r
-
M
r

M
r
-
G2 G1
parte 2
parte 1
acção da parte 1
sobre a parte 2
acção da parte 2
sobre a parte 1
S2
S1
R
r

1 2 G2
z
x
y
S2 M
r

zM
r
N
r

yM
r

xM
r

yV
r

xV
r

5. 5
terão sempre os mesmos sinais. Quando as primeiras forem positivas as segundas
também o serão, e vice versa. Ficam assim definidos de forma inequívoca os sinais
dos esforços internos numa secção S de uma peça linear. Obviamente que basta
considerar os esforços que actuam numa das duas secções, e na prática usa-se
unicamente a secção positiva e o referencial correspondente.

Às componentes
x
V e
yV chamam-se esforços transversos segundo x e segundo y,
respectivamente. Elas representam a tendência para o corte da peça na secção S. À
componente Ndá-se o nome de esforço normal, dado tratar-se de uma força
perpendicular à secção transversal da peça. O seu efeito é o de comprimir ou
traccionar a peça. De acordo com a convenção anterior um esforço normal positivo
será de tracção e um negativo será de compressão. Às componentes
x
M e
yM dá-se
o nome de momentos flectores segundo x e segundo y, e o seu efeito é o de flectirem a
peça nos planos yz e xz, respectivamente. A
z
M chama-se momento torsor e o seu
efeito, como o nome indica, é o de produzir torção da peça em torno do seu eixo.

Se uma peça linear se encontra em equilíbrio plano, isto é, se se encontra sujeita a
forças existentes num único plano, que também contém o seu eixo, só existirão três
esforços internos. Esforço normal N, momento flector segundo x, que se designará
simplesmente por M, e esforço transverso segundo y, que se representará
simplesmente por V. Os seus sentidos positivos nas extremidades esquerda e direita
de um troço da peça linear encontram-se representados na Fig. 4.







Fig. 4 – Sentidos positivos dos esforços internos nas extremidades direita e esquerda
de um troço de uma peça linear

2. Diagramas de esforços transversos e de momentos flectores

Considere-se, a título de exemplo, o caso da viga simplesmente apoiada AB sujeita a
uma carga uniformemente distribuída de densidade de distribuição q (Fig. 5).










Fig. 5 – Viga simplesmente apoiada
M M
V
V
N N
+
q
A
B
S
z
L RA RB
z
y

6. 6
As reacções nos apoios A e B, arbitradas de baixo para cima, podem ser determinadas
a partir das equações de equilíbrio seguintes, tomando para sentido positivo de
momentos o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

0
2
L
qLLR0M
BA =´-´Þ=å (1)

0qLRR0F
BAy =+--Þ=å (2)

AB R
2
L
qR == (3)

Corte-se a viga pela secção S, à distância genérica z do apoio A, e trace-se o diagrama
de corpo livre da parte AS (Fig. 6), explicitando os esforços internos em S, que
representam a acção da parte SB da viga sobre a parte AS. Estes esforços internos
foram arbitrados com o sentido positivo, de acordo com a convenção de sinais
estabelecida anteriormente para os esforços internos numa secção.








Fig. 6 – Diagrama de corpo livre do troço AS.

A partir deste diagrama de corpo livre e recorrendo às respectivas equações de
equilíbrio podem determinar-se os esforços internos na secção S.

0N0F
z
=Þ=å (4)
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=Þ=++-Þ=å z
2
L
qV0VzqR0F
SSAy (5)
2
z
qz
2
L
qM0zR
2
z
zqM0M
2
SASS -=Þ=-+Þ=å (6)

Os resultados obtidos nas Eqs. (5) e (6) mostram que tanto o esforço transverso VS
quanto o momento flector MS variam com a posição da secção S considerada. Se
representarmos graficamente as funções dadas pelas Eqs. (5) e (6) poderemos ter uma
ideia da forma como estes esforços internos variam ao longo do eixo da viga. A esta
representação gráfica dá-se o nome de diagramas de esforços internos, neste caso,
diagrama de esforços transversos e diagrama de momentos flectores.

Comecemos por fazer a representação do diagrama de esforços transversos V , dado
pela Eq. (5) (Fig. 7).



q
A
S
z
MS
A
R
N
VS
z
y

7. 7











Fig. 7 – Diagrama de esforços transversos

O diagrama de momentos flectores será obtido pela representação gráfica da Eq. 6.
Nesta representação iremos inverter, por razões que serão justificadas a seguir, o
sentido positivo do eixo das ordenadas M (Fig. 8).









Fig. 8 – Diagrama de momentos flectores

A razão pela qual se inverte o sentido do eixo das ordenadas no caso dos diagramas de
momentos flectores reside no facto de que ao procedermos deste modo o diagrama
nos dá imediatamente uma ideia de como a peça se vai deformar por flexão, isto é, a
flexão da peça é concordante com o andamento do diagrama de momentos flectores.
Na verdade, se um troço de uma peça linear se encontrar submetido a momentos
positivos nas suas extremidades, esse troço flectirá para baixo, isto é, apresentará
convexidade para o lado onde são representados os momentos flectores, e vice versa
(Fig. 9).













Fig. 9 – Concordância entre deformada e diagrama de momentos flectores
M M
deformada da peça
diagrama de
momentos flectores
M M
M
M +
z
+
M
M -
z
+
A
B
z
V
+
-
2
qL
+
2
qL
-
+
A
B
+
8
qL
2

M
z
+

8. 8
Repare-se que os diagramas das Figs. 7 e 8 foram obtidos com base no diagrama de
corpo livre da Fig. 6 o qual, neste caso, é válido qualquer que seja z . Se existir uma
carga concentrada aplicada num determinado ponto da peça o diagrama de esforços
transversos apresentará u ma discontinuidade nesse ponto. Analogamente, se num
determinado ponto estiver aplicado um momento, o diagrama de momentos flectores
apresentará uma discontinuidade nesse ponto. Vejamos porquê. Suponhamos que num
determinado ponto C da viga anterior actua uma carga concentrada P (Fig. 10).













Fig. 10 . Viga simplesmente apoiada com carga concentrada

Calculando momentos das forças que actuam na viga relativamente ao ponto B
facilmente se conclui que a reacção em A vale

÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
L
a
1PR
A (7)

O diagrama de corpo livre do troço AS da viga será (Fig. 11)








Fig. 11 – Diagrama de corpo livre do troço AS.

Pelo equilíbrio de forças segundo a vertical conclui-se imediatamente que

÷
ø
ö
ç
è
æ
-==
L
a
1PRV
AS (8)

Esta conclusão será válida enquanto for válido o diagrama de corpo livre da Fig. 11
em que se baseou, isto é, enquanto for az£. Para az> o diagrama de corpo livre do
troço AS terá que incluir a força P (Fig. 12).


C
A
B
S
z
a
L
P
z
y
RA
RB
A
S
z
MS
A
R
N
VS
z
y

9. 9








Fig. 12 – Diagrama de corpo livre do troço AS.

Por soma de forças verticais obtém-se neste caso

L
Pa
PRV
AS
-=-= (9)

expressão que será válida para Lza£< .

O diagrama completo de esforços transversos será então (Fig. 13)












Fig. 13 – Diagrama de esforços transversos.

Repare-se que o valor do esforço transverso numa secção S de uma peça de eixo
rectilíneo corresponde à soma das componentes segundo a normal ao eixo de todas
forças à esquerda de S (ou à direita de S), afectadas do correspondente sinal, de
acordo com a convenção de sinais acima adoptada para os esforços transversos.

Vejamos agora o caso em que existe um momento aplicado num determinado ponto
da peça (Fig. 14).










Fig. 14 – Viga com momento aplicado.
+

A
B
z
V
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
L
a
P1
L
Pa
-
C
A
S
z
MS
A
R
N
VS
P
a
z
y
D
A
B
S
z
b
L
MD
RA RB
z
y

10. 10
Calculando momentos das forças aplicadas na viga AB relativamente ao ponto B
conclui-se facilmente que a reacção em A, arbitrada com o sentido de baixo para
cima, vale

L
M
R
D
A
= (10)

O diagrama de corpo livre do troço AS da viga permite-nos obter a expressão p ara o
momento flector à esquerda de D, (Fig. 15).







Fig. 15 – Diagrama de corpo livre do troço AS.

Calculando momentos em relação a S vem

z
L
M
M0zRM
D
SAS
=Þ=- (11)

Para secções S à direita de D o diagrama de corpo livre de AS será (Fig. 16)







Fig. 16 – Diagrama de corpo livre do troço AS.

e o momento flector em S será obtido através de

÷
ø
ö
ç
è
æ
-=Þ=-+Þ=å 1
L
z
MM0zRMM0M
DSADSS (12)

A partir das Eqs. 11 e 12 pode então obter-se o diagrama de momentos flectores
completo (Fig. 17). Tal como acontecia no caso do diagrama de esforços transversos
também aqui o valor do momento flector numa secção S pode ser obtido através da
soma de todos os momentos aplicados à esquerda de S (ou à direita) com os
momentos produzidos relativamente a S por todas as forças à esquerda de S (ou à
direita), tendo em conta o correspondente sinal, de acordo com a convenção de sinais
anteriormente estabelecida para os momentos flectores.




A
S
z
MS
A
R
N
VS
z
y
D
z
MD A
A
R
S
MS
N
VS
z
y

11. 11










Fig. 17 – Diagrama de momentos flectores.


3. Relações entre diagramas de carga, de esforços transversos e de momentos
flectores

Destaque-se um troço elementar de uma peça linear em equilíbrio e trace-se o seu
diagrama de corpo livre (Fig. 18). Note-se que, sendo elementar o comprimento deste
troço, e na hipótese de as funções que representam os esforços internos serem
contínuas no troço em causa, os esforços que actuam nas suas extremidades esquerda
e direita distinguem-se entre si por variações elementares dessas funções. Os esforços
foram arbitrados com sentidos positivos, de acordo com a convenção estabelecida, e
representou-se por p a densidade de distribuição de carga.










Fig. 18 – Diagrama de corpo livre de um troço elementar de uma peça linear.


Teremos para equações de equilíbrio

( )0dVVdzpV0F
y =+++-Þ=å (13)
0dzVM
2
dz
dzpdMM0M
B =--++Þ=å (14)

A partir da Eq. 13 obtém-se

dz
dV
p-= (15)

Desprezando a terceira parcela da Eq. 14, atendendo a que representa um infinitésimo
de ordem superior relativamente às restantes, chega-se a
D
÷
ø
ö
ç
è
æ
-1
L
b
M
D
A B
+
M
z
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-1
L
b
M
D
p(z)
M+dM
M
V V+dV
z
dz
A
B
y

12. 12

dz
dM
V= (16)

As Eqs. 15 e 16 traduzem as relações que devem existir entre os diagramas de carga,
de esforços transversos e de momentos flectores. Se o diagrama de carga for
representado por um polinómio de um determinado grau, o diagrama de esforços
transversos será representado por um polinómio de um grau acima, e o diagrama de
momentos flectores por um polinómio de dois graus acima. Em cada ponto o valor do
esforço transverso poderá ser obtido pela tangente ao diagrama de momentos
flectores. Em cada ponto a densidade de carga poderá ser obtida através do valor da
tangente ao diagrama de esforços transversos com o sinal trocado. Note-se que na Eq.
14 p representa o módulo da densidade de carga de um carregamento que actue com o
sentido considerado na Fig. 18, isto é, no sentido positivo do eixo y . Portanto, para
efeitos de utilização da Eq. 15, um carregamento será positivo se actuar de cima para
baixo.

As Eqs. 15 e 16 podem ainda ser escritas na forma

dzpdV
-= (17)

dzVdM= (18)

Considerando um troço finito de uma peça linear compreendido entre dois pontos A e
B escrever-se-á

òò
-=
B
A
B
A
x
x
V
V
dzpdV (19)

òò
=
B
A
B
A
x
x
M
M
dzVdM (20)

ou ainda

ò
-=
B
A
x
x
AB dzpVV (21)

ò
+=
B
A
x
x
AB dzVMM (22)

A Eq. 22 mostra que o momento flector num ponto B pode ser obtido adicionando ao
momento flector num ponto A a área abaixo da curva que representa o diagrama de
esforços transversos, compreendida entre os pontos A e B. Analogamente, a Eq. 21
indica-nos que o esforço transverso na secção B pode ser obtido subtraindo ao esforço
transverso em A a área abaixo do diagrama de carga, compreendida entre os pontos A
e B.

13. 13


4. Diagramas de esforços normais

Considere-se uma vez mais um troço elementar de uma peça linear, mas desta vez em
equilíbrio sob a acção de uma carga distribuída actuando na direcção do eixo da peça,
com densidade de distribuição q. Esta carga distribuída pode representar a
componente segundo a direcção do eixo da peça de uma carga distribuída actuando
com outra orientação qualquer. Trace-se o seu diagrama de corpo livre (Fig. 19).










Fig. 19 – Diagrama de corpo livre de um troço elementar de uma peça linear sujeita a
uma carga distribuída actuando segundo o seu eixo.


Teremos para equação de equilíbrio

0NdzqdNN0F
z
=-++Þ=å (23)

ou

dz
dN
q-= (24)

Esta equação é semelhante à Eq. 15 e pressupõe um sentido positivo de q da esquerda
para a direita (o sentido positivo do eixo z). Diz-nos que o valor da densidade de carga
distribuída segundo o eixo da peça num determinado ponto pode ser obtido a partir do
valor da tangente ao diagrama de esforços normais depois de multiplicado por menos
um. Para um troço de dimensão finita AB pode ainda escrever-se, de forma análoga à
Eq. 21, a expressão

ò
-=
B
A
x
x
AB dzqNN (25)

que nos mostra que o esforço normal num ponto B se pode obter subtraindo ao
esforço normal num ponto A a área abaixo do diagrama de carga axial compreendida
entre A e B.

Naturalmente, o esforço normal numa secção S de uma peça linear de eixo rectilíneo
representa a soma das componentes segundo o eixo da peça de todas as forças à
esquerda de S (ou à direita), tendo em conta a convenção de sinais estabelecida para
os diagramas de esforços normais.
N+dN
N
z
q(z)
dz
A B
y

14. 14
5. Exemplo

Pretende-se traçar os diagramas de momentos flectores, de esforços transversos e de
esforços normais em todas as barras da estrutura representada na Fig. 20, sujeita ao
carregamento indicado.



















Fig. 20 – Estrutura com carregamento

Resolução

Trata-se de uma estrutura exteriormente hiperestática do 2º grau, globalmente
isostática, relativamente à qual se sabe desde já que o diagrama de momentos
flectores passará necessariamente pelos pontos B, D e G, já que as articulações
existentes nestes pontos não impedem, por natureza, as rotações relativas entre as
peças que se lhes ligam. O primeiro passo da resolução consiste na determinação das
reacções exteriores.

Cálculo das reacções exteriores

O diagrama de corpo livre da barra DG (Fig. 21) irá permitir-nos determinar a reacção
vertical em G com a escrita de uma única equação de equilíbrio.

kN5,121R0482841516R80M
GyGyD
=Þ=´´-´--Þ=å (26)

Com base no diagrama de corpo livre do troço BDG (Fig. 22) calcula-se a
componente horizontal da reacção em G.

kN7,462R
061228815165,1R125,1210M
Gx
GxB
-=
Þ=´´-´--´-´Þ=å
(27)

A
B
C D E F
G
1,5 m
3,0 m
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m
22 kN/m
28 kN/m
16 kN.m
15 kN

15. 15
Finalmente, as três equações d e equilíbrio da estrutura como um todo permitem-nos
determinar as reacções no encastramento A (Fig. 23).

kN7,429R07,462
2
322
R0F
AxAxx =Þ=-
´
+Þ=å (28)











Fig. 21 – Diagrama de corpo livre do troço DG

















Fig. 22 – Diagrama de corpo livre do troço BDG


kN5,229R05,121151228R0F
AyAyy
=Þ=+-´-Þ=å (29)

m.kN2,1355M05,47,462125,121
16815612281
2
322
M0M
A
AA
-=Þ=´+´
+-´-´´-´
´
-Þ=å
(30)

Estamos agora em condições de traçar os diagramas de esforços nas várias barras que
constituem a estrutura. Começamos por orientar todas as barras da estrutura (Fig. 24).
Tracemos seguidamente os diagramas de esforços, começando pela barra AB (Fig.
25).


D E F
G
2,0 m 2,0 m 4,0 m
28 kN/m
16 kN.m
15 kN
VD
ND
RG
RGx
x
y
B
C D E F G
1,5 m
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m
28 kN/m
16 kN.m
15 kN
121,5 kN
RBy
RBx
RGx
x
y

16. 16





















Fig. 23 – Diagrama de corpo livre da estrutura como um todo














Fig. 24 – Orientação das barras da estrutura, da esquerda para a direita

Tracemos agora os diagramas de esforços na barra BC (Fig. 26). Por a barra ser
inclinada teremos o cuidado de decompor as forças que nela actuam em componentes
segundo o eixo da barra e segundo a perpendicular antes de traçar os diagramas de
esforços. A carga distribuída dá assim origem a duas outras, uma actuando na
direcção do eixo da barra e a outra na direcção perpendicular. As reacções em C
calculam-se a partir das três equações de equilíbrio das forças que actuam na barra
BC.

Para traçar os diagramas de esforços no troço CDEG (Fig. 27), começa-se por traçar o
diagrama de corpo livre deste troço, colocando em C reacções iguais e de sentido
oposto às que actuavam na extremidade C da barra BC.
A
B
C D E F
G
A
B
C D E F G
1,5 m
3,0 m
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m
22 kN/m
28 kN/m
16 kN.m
15 kN
121,5 kN
MA
RAy
RAx
462,7 kN
x
y

17. 17












































Fig. 25 – Diagramas de esforços na barra AB.



A

B
Diagrama de esforços
transversos na barra AB -
429,7 kN
462,7 kN
Polinómio
do 2º grau
Tangente
horizontal
A
B
Diagrama de momentos
flectores na barra AB
+ 1355,2 kN.m
Polinómio
do 3º grau
A
B Diagrama de esforços
normais na barra AB - 229,5 kN
A B
22 kN/m
229,5 kN
429,7 kN
1355,2 kN.m
Diagrama de corpo
livre da barra AB
Polinómio
do 1º grau
462,7 kN
229,5 kN

18. 18












































Fig. 26 – Diagramas de esforços na barra BC.





1,5 m
2,0 m
462,7 kN
229,5 kN
B
C
291,1 kN.m
173,5 kN
462,7 kN
28 kN/m
Diagrama de corpo
livre da barra BC
C
B
507,9 kN
94 kN
17,92 kN/m
291,0 kN.m
13,44 kN/m
2,5 m
138,8 kN
474,3 kN
Diagrama de corpo
livre da barra BC
94 kN
138,8 kN
B C
-
Diagrama de esforços
transversos na barra BC
Diagrama de momentos
flectores na barra BC
B C
-
291,0 kN.m
B C
-
Diagrama de esforços
normais na barra BC 507,9 kN
474,3 kN
Polinómio
do 1º grau
Polinómio
do 2º grau

19. 19












































Fig. 27 – Diagramas de esforços no troço CDEG.

C D E F
G
2,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m
28 kN/m
16 kN.m
15 kN
121,5 kN
291,1 kN.m
462,7 kN
173,5 kN
Diagrama de
corpo livre do
troço CDEG
462,7 kN
C D E
F
G
173,5 kN
121,5 kN
+
-
Diagrama de
esforços
transversos no
troço CDEG
5,5 kN
9,5 kN
C D E
F
G
291,0 kN.m
246,0 kN.m
+
-
Diagrama de
momentos
flectores no
troço CDEG
187,0 kN.m
171,0 kN.m
C D E
F
G
-
Diagrama de
esforços
normais no
troço CDEG
462,7 kN
Polinómio
do 1º grau
Polinómio
do 2º grau