Estatistica exercicios resolvidos

Estatística introdutória

2. 104
Introdução ao e-learning
FMD_i.p65 15-01-2004, 10:49104

3. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 2




ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO .............................................….................................... 4
1.1 Definições Gerais ........................................................................
5
1.1.1. População 5
1.1.2. Variáveis ou atributos 5
1.1.3. Processo de amostragem 5
1.2 A Estatística Descritiva e a Estatística Indutiva .............…...... 6
2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA .............................................…................... 8
2.1 Variáveis Qualitativas ................................................................. 8
2.2 Variáveis Quantitativas Discretas ............................................. 9
2.3 Variáveis Quantitativas Contínuas ............................................ 10
2.4 Medidas de Localização ............................................................. 11
2.4.1. Média 11
2.4.2. Mediana 12
2.4.3. Moda 13
2.5 Medidas de Ordem ...................................................................... 13
2.6 Medidas de Assimetria ............................................................... 14
2.7 Medidas de Dispersão ................................................................ 15
2.7.1. Dispersão Absoluta 15
2.7.2. Dispersão Relativa 16
2.8 Análise de Concentração ........................................................... 17
2.8.1. Curva de Lorenz 17
2.8.2. Índice de Gini 18
2.9 Estatística Descritiva Bidimensional ........................................ 19

4. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 3





3. ESTATÍSTICA INDUTIVA .............................................…...................... 45
3.1 Noções básicas de probabilidades ........................................... 45
3.2 Probabilidade condicionada ...................................................... 48
3.3 Funções de Probabilidade ........................................….............. 49
3.4 Estimação por Intervalos ..........................................….............. 76
3.5 Testes de hipóteses ..................................................….............. 89
3.6 Aplicações Estatísticas: Fiabilidade ......................................... 105
3.6.1. Conceito de fiabilidade 105
3.6.2. Fiabilidade de um sistema 105
3.7 Aplicações Estatísticas: Controlo Estatístico de Qualidade .. 110
3.8 Aplicações Estatísticas: Tratamento Estatístico de Inquéritos . 114
3.8.1. Teste de independência do qui-quadrado 114

5. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 4
"A estatística é a técnica de torturar os números até que eles confessem".
Autor desconhecido




1. INTRODUÇÃO


Inicialmente, a actividade estatística surgiu como um ramo da Matemática.
Limitava-se ao estudo de medições e técnicas de contagem de fenómenos
naturais e ao cálculo de probabilidades de acontecimentos que se podiam
repetir indefinidamente. Actualmente, os métodos estatísticos são utilizados em
muitos sectores de actividade, tendo como algumas aplicações estudos de
fiabilidade, pesquisas de mercado, testes de controle de qualidade, tratamento
de inquéritos, sondagens, modelos econométricos, previsões, etc.

Exemplo de uma estatística: os valores da inflação entre 1980 e 1990
constituem uma estatística. Fazer estatística sobre estes dados poderia
consistir, por exemplo, em traçar gráficos, calcular a inflação média trimestral
ou prever a inflação para 1991.

A análise de um problema estatístico desenvolve-se ao longo de várias fases
distintas:

(i) Definição do Problema
Saber exactamente aquilo que se pretende pesquisar; estabelecer o
objectivo de análise e definição da população
(ii) Amostragem e Recolha de Dados
Fase operacional. É o processo de selecção e registo sistemático de dados,
com um objectivo determinado. Os dados podem ser primários (publicados
pela própria pessoa ou organização) ou secundários (quando são
publicados por outra organização).
(iii) Tratamento e Apresentação dos Dados
Resumo dos dados através da sua contagem e agrupamento. É a
classificação de dados, recorrendo a tabelas ou gráficos.

6. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 5
(iv) Análise e Interpretação dos Dados
A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está
ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade
principal é descrever o comportamento do fenómeno em estudo (estatística
descritiva). Na estatística indutiva a interpretação dos dados se
fundamentam na teoria da probabilidade.



1.1. Definições Gerais

1.1.1. População

Fazer estatística pressupõe o estudo de um conjunto de objectos bem
delimitado com alguma característica em comum sobre os quais observamos
um certo número de atributos designados por variáveis.
Exemplo: Empresas existentes em Portugal



1.1.2. Variáveis ou atributos

As propriedades de uma população são estudadas observando um certo
número de variáveis ou atributos. As variáveis podem ser de natureza
qualitativa ou quantitativa. As variáveis quantitativas podem ainda dividir-se
entre discretas e contínuas. As variáveis discretas assumem apenas um
número finito numerável de valores. As variáveis contínuas podem assumir um
número finito não numerável ou um número infinito de valores.
Exemplo: um conjunto de empresas pode ser analisado em termos de sector
de actividade (atributo qualitativo), número de trabalhadores (atributo
quantitativo discreto), rácio de autonomia financeira (atributo quantitativo
contínuo), etc


1.1.3. Processo de amostragem

Para conhecer de forma completa a população, podem efectuar-se:

7. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 6
- recenseamentos (indagação completa de todos os elementos da
população); este processo é, no entanto, tipicamente moroso e
dispendioso, sendo esses os motivos porque os Censos são realizados
apenas em cada 10 anos.
- estudos por amostragem (observação de apenas um subconjunto, tido
como representativo do universo). As técnicas de recolha de amostras
garantem a sua representatividade e aleatoriedade.



1.2. A Estatística Descritiva e a Estatística Indutiva

Para além do ramo de amostragem, a estatística compreende dois grandes
ramos: a estatística descritiva e a estatística indutiva.

A estatística descritiva é o ramo da estatística que se encarrega do tratamento
e análise de dados amostrais. Assim, depois de recolhida a amostra de acordo
com técnicas que garantem a sua representatividade e aleatoriedade, fica
disponível um conjunto de dados sobre o universo “em bruto” ou não
classificados. Para que seja possível retirar qualquer tipo de conclusões, torna-
se necessário classificar os dados, recorrendo a tabelas de frequências e a
representações gráficas, isto é, é preciso tratar os dados. Depois de tratados,
será possível proceder à análise dos dados através de várias medidas que
descrevem o seu comportamento: localização, dispersão, simetria dos dados,
concentração, etc. São disso exemplo indicadores numéricos bem conhecidos
como a média ou a variância.

A estatística indutiva é o ramo da estatística que se ocupa em inferir das
conclusões retiradas sobre a amostra para a população. De facto, a amostra
não é mais do que um passo intermédio e exequível de obter informações
sobre o verdadeiro objecto de estudo, que é o universo. A estatística indutiva
(ou inferência estatística) garante a ligação entre amostra e universo: se algo
se concluiu acerca da amostra, até que ponto é possível afirmar algo
semelhante para o universo? É nesta fase que se procuram validar as
hipóteses formuladas numa fase prévia exploratória. Claro que o processo de

8. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 7
indução implica um certo grau de incerteza associado à tentativa de
generalização de conclusões da “parte” (amostra) para o “todo” (universo). O
conceito de probabilidade vai ter aqui, então, um papel fundamental. Isto é, não
vai ser possível afirmar com toda a certeza que o comportamento da amostra
ilustra perfeitamente o comportamento do universo, mas apenas que o faz com
forte probabilidade. As inferências indutivas são assim elaboradas medindo, ao
mesmo tempo, o respectivo grau de incerteza. Daí que, na ficha das técnicas
das sondagens eleitorais, por exemplo, apareçam referências ao “nível de
confiança” associado aos resultados e ao “erro” cometido.

O esquema seguinte ilustra a “roda” da disciplina de estatística, relacionando
os seus diferentes ramos:

















POPULAÇÃO
OU UNIVERSO
Amostragem
TRATAMENTO E
ANÁLISE DA AMOSTRA
Estatística
Descritiva
Inferência
Estatística
INFERIR DA AMOSTRA
PARA O UNIVERSO
Gráficos; tabelas; medidas descritivas
Previsões
Estimação
Erros
AMOSTRA

9. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 8





2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA


Os resultados da observação de um atributo sobre os elementos do conjunto a
analisar constituem os dados estatísticos. O ramo da estatística que se ocupa
do tratamento, apresentação e análise de dados amostrais denomina-se de
estatística descritiva.


2.1. Variáveis Qualitativas

Os dados qualitativos são organizados na forma de uma tabela de frequências,
que representa o número n
i de elementos de cada uma das categorias ou
classes e que é chamado de frequência absoluta. A soma de todas as
frequências é igual à dimensão da amostra (n).

Numa tabela de frequências, além das frequências absolutas, também se
apresentam as frequências relativas (f
i), obtida dividindo a frequência absoluta
pelo número total de observações.


Modalidades Frequências absolutas Frequências relativas
Mod. 1 n1 f1

Mod. j nj fj

Mod. n nn fn
Total n: dimensão da amostra 1


n
ni
fi=
; ni: në de vezes que cada modalidade da variável foi observada.

10. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 9
Estes dados podem também ser representados graficamente através de:

Diagrama de barras
Para cada modalidade, desenha-se uma barra de altura igual à frequência
absoluta ou relativa (as frequências relativas são de preferir, pois permitem a
comparação de amostras de diferentes dimensões).

Diagrama sectorial ou circular
Esta representação é constituída por um círculo, em que se apresentam tantas
“fatias” quantas as modalidades em estudo. O ângulo correspondente a cada
modalidade é proporcional às frequências das classes, fazendo corresponder o
total da amostra (n) a 360ë Geralmente, juntamente com a identificação da
modalidade, indica-se a frequência relativa respectiva.




2.2. Variáveis Quantitativas Discretas

São variáveis que assumem um número finito ou infinito numerável de valores.
A apresentação destas amostras é semelhante às variáveis qualitativas,
fazendo-se uma tabela de frequências e uma representação gráfica recorrendo
ao diagrama de barras.

Valores da variável Frequências absolutas Frequências relativas
X1 n1 f1

Xj nj fj

Xn nn fn
Total n: dimensão da amostra 1


Também é possível calcular as frequências (absolutas – Ni - e relativas - Fi)
acumuladas, como se pode ver no exemplo:

Në defeituosos (X) Në embalagens (ni) % embalagens (fi) Ni Fi
0 80 40% 80 40%
1 60 30% 80+60 40%+30%
2 30 15% 170 85%
3 20 10% 190 95%
4 10 5% 200 100%
Total 200 1

11. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 10
2.3. Variáveis Quantitativas Contínuas

Como foi dito anteriormente, uma variável (ou atributo) é contínua quando
assume um número infinito não numerável de valores, isto é, podem assumir
qualquer valor dentro de um intervalo.

Neste caso, a construção da tabela compreende duas etapas:
(i) Definição de classes de valores disjuntas, correspondentes a intervalos de
números reais fechados à esquerda e abertos à direita, cuja constituição
obedece a certas regras
(ii) Contagem das observações pertencentes a cada classe


Regra de construção de classes

(pressupõe a formação de classes de igual amplitude)
- Número de classes a constituir
Depende de n = dimensão da amostra
Se n³25, o número de classes a constituir deve ser 5
Se n<25, o número de classes a constituir deve ser n
- Amplitude comum a todas as classes
Sendo a amplitude total dos dados dada pela diferença entre o valor
máximo e o valor mínimo observados, então a amplitude de cada classe
será:
Valor máximo da variável observado – Valor mínimo da variável observado
Në de classes a constituir



Classes de
valores da variável
Frequências absolutas Frequências relativas
[x1; x2[ n1 f1
[x2; x3[
[x3; x4[ nj fj

[xn-1; xn] n fn
Total n: dimensão da amostra 1


A distribuição de frequências representa-se através de um histograma.
Um histograma é uma sucessão de rectângulos adjacentes, em que a base é
uma classe e a altura a frequência (relativa ou absoluta) por unidade de
amplitude (n
i/ai ou f i/ai), sendo a amplitude de cada classe a i=ei-ei-1. A área total
do histograma é a soma das frequências relativas, isto é, 1.

12. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 11

1. Esta distribuição permite visualizar o tipo de distribuição e deve salientar
alguns aspectos mais relevantes desta (moda, classe modal, ...). Como
as classes podem ter amplitudes diferentes, para que todos os
rectângulos (colunas) sejam comparáveis é necessário corrigir as
frequências das classes (calculando as frequências que se teria se a
amplitude de todas as classes fosse igual e igual a 1)
2. É preferível representar o histograma com f i/hi do que com n i/hi uma vez
que deste modo é possível comparar distribuições com diferente número
de observações amostrais.


Também é possível calcular as frequências (absolutas – Ni - e relativas - Fi)
acumuladas.



2.4. Medidas de localização

2.4.1. Média (
X)

É a medida de localização mais usada, sobretudo pela sua facilidade de
cálculo.
Dados não-classificados (não agrupados numa tabela de frequências)

=
=
n
i
i
x
n
x
1
1
Média aritmética simples

Dados classificados (isto é, agrupados numa tabela de frequências)
Variáveis discretas


==
==
n
i
iii
n
i
i
xfxn
n
x
11
1
Média ponderada dos valores de X

Dados classificados (isto é, agrupados numa tabela de frequências)
Variáveis contínuas

==
==
n
i
iii
n
i
i
cfcn
n
x
11
1
Média ponderada dos pontos médios das classes

13. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 12
onde c i é o ponto médio de cada classe (
2
.sup.lim.inf.lim +
)
A média é uma medida de localização que, geralmente, indica o valor central
da distribuição, entendido como o valor em torno do qual se distribuem os
valores observados. Desta forma, a média é muitas vezes utilizada como valor
representativo da amostra.
No entanto, a média tem o grande inconveniente de ser sensível a valores
muito extremados ou aberrantes da distribuição (outliers). Em casos desses, a
média deixa de ser um valor que aparece na parte central da distribuição para
ser “empurrada” para os extremos. Nestes casos, é preferível recorrer à
informação complementar fornecida por outras medidas de localização, como a
moda e a mediana, que se definem a seguir.


2.4.2. Mediana (Me)

A mediana não se calcula a partir do valor de todas as observações, mas a
partir da posição dessas observações.

Dados não-classificados
Se tivermos n valores x
1, x2, ... x n
Se n fôr ímpar,
2
1+
=
n
xMe
Se n fôr par,
2
1
22
+
+
=
nnxx
Me


Dados classificados
A mediana é o valor tal que F
i = 0,5

Variáveis discretas
Se existe um valor de x
i para o qual F i = 0,5, então fala-se em intervalo
mediano.

14. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 13
Se não existe nenhum valor de x i para o qual F i = 0,5, então a mediana é
o primeiro valor para o qual F
i > 0,5.
Variáveis contínuas
Em geral, determina-se o valor para o qual F
i = 0,5 através de uma regra
de três simples, atendendo a que as frequências acumuladas variam
uniformemente dentro de cada classe.

De uma forma geral:
medianaclassexamp
FLFL
FL
LMe.
infsup
inf5.0
inf
-
-
+=


2.4.3. Moda (Mo)
Variáveis discretas
A moda é valor de X para o qual fi é máximo, isto é, é o valor mais
frequente da distribuição.
Variáveis contínuas
A classe modal é a classe de valores de X para o qual fi/hi é máximo,
isto é, é a classe a que corresponde maior frequência por unidade de
amplitude.


2.5. Medidas de ordem

Tal como se definiu para a mediana, é possível definir outros valores de
posição ou valores separadores da distribuição em partes iguais.

Chama-se quantil de ordem p ao valor de x a que corresponde F
i = p.
- Se p=0,01; 0,02;.....0,99, chama-se ao quantil percentil
- Se p=0,1; 0,2;...0,9, chama-se ao quantil decil
- Se p=0,25, 0,5, 0,75, chama-se ao quantil QUARTIL (Q1, Q2 e Q3). A
mediana é uma caso particular dos quartis (coincide com Q2)

Variável discreta
O quantil de ordem p é o primeiro valor de x para o qual
i>p.

15. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 14
Variável contínua
Calcula-se por uma regra de três simples, como a mediana.
De uma forma geral:


1.
infsup
inf25.0
inf1Qclassexamp
FLFL
FL
LQ
-
-
+=

3.
infsup
inf75.0
inf3Qclassexamp
FLFL
FL
LQ
-
-
+=

A representação gráfica destas medidas designa-se de diagrama de
extremos e quartis e serve para realçar algumas características da amostra.
Os valores da amostra compreendidos entre os 1ë e 3ë quartis são
representados por um rectângulo (caixa) com a mediana indicada por uma
barra. Seguidamente, consideram-se duas linhas que unem os meios dos
lados do rectângulo com os extremos da amostra.


A partir deste diagrama, pode reconhecer-se a simetria ou enviesamento dos
dados e a sua maior ou menor concentração:




2.6. Medidas de assimetria

A assimetria é tanto maior quanto mais afastados estiverem os valores da
média, mediana e moda. Concretamente, se:
-
X= Me = Mo, a distribuição diz-se simétrica
- X> Me > Mo, a distribuição diz-se assimétrica positiva (ou enviesada à
esquerda)
-
X< Me < Mo, a distribuição diz-se assimétrica negativa (ou enviesada à
direita)


Coeficiente de assimetria de Bowley (g’):
13
)12()23(
QQ
QQQQ
-
---

Se g’ = 0 ..............a distribuição é simétrica positiva ou equilibrada
Os quartis estão à mesma distância da mediana.
Se g’ > 0 ..............a distribuição é assimétrica positiva ou “puxada” para
25%
maiores

16. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 15
a esquerda (se fôr = 1, assimetria é máxima)
A mediana desliza para o lado do Q1,
logo Q3-Q2 > Q2-Q1
Se g’ < 0 ..............a distribuição é assimétrica negativa ou “puxada” para
a direita (se fôr = -1, assimetria é máxima)
A mediana desliza para o lado do Q3,
logo Q2-Q1 > Q3-Q2













2.7. Medidas de dispersão

Duas distribuições podem distinguir-se na medida em que os valores da
variável se dispersam relativamente ao ponto de localização (média, mediana,
moda). Apresentam-se de seguida algumas das mais utilizadas, classificadas
consoante a medida de localização usada para referenciar a dispersão das
observações:


2.7.1 Medidas de dispersão absoluta

(i)
Em relação à mediana
Amplitude inter-quartis = Q = Q3 – Q1
Significa que 50% das observações se situam num intervalo de
amplitude Q. Quanto maior (menor) a amplitude do intervalo, maior
(menor) a dispersão em torno da mediana.
(ii) Em relação à média
Variância amostral: mede os desvios quadráticos de cada valor
observado em relação à média, havendo pouca dispersão se os desvios
forem globalmente pequenos, e havendo muita dispersão se os desvios
forem globalmente grandes.

Q1 Q2 Q3
Assimétrica positiva
Assimétrica negativa
Q1 Q2
Q3

17. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 16
Dados não-classificados
( )
2
1
2
1

= -=
n
i
xxi
n
s

Dados classificados
Variáveis discretas

( ) ( )
==
-=-=
n
i
n
i
xxifixxini
n
s
1
2
2
1
2
1


Dados classificados
Variáveis contínuas

( ) ( )
==
-=-=
n
i
n
i
xcifixcini
n
s
1
2
2
1
2
1


onde c
i é o ponto médio de cada classe i.
Desvio-padrão: Medida de dispersão com significado real, mas que só é
possível calcular indirectamente, através da raiz quadrada da variância.
Está expressa nas mesmas unidades da variável.



2.7.2 Medidas de dispersão relativa

Muitas vezes, avaliar a dispersão através de um indicador de dispersão
absoluta não é conveniente, assim como comparara a dispersão de duas
distribuições, uma vez que estas medidas vêm expressas na mesma unidade
da variável – como é o caso, por exemplo, da variância. Assim, é de esperar
que os valores da variância sejam mais elevados quando os valores da variável
são maiores, o que não significa que a distribuição seja muito dispersa. Para
comparar diferentes distribuições de frequência são precisas medidas de
dispersão relativa:

definidaestáqualàrelaçãoemolocalizaçãdeMedida
absolutaDispersão
relativaDispersão =

18. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 17


Coeficiente de variação
x
s
CV=
x100%

Outras medidas
2
13Q
QQ
-


Estas medidas não estão expressas em nenhuma unidade, e permitem
comparar dispersões entre duas amostras, pois não são sensíveis à escala
(eventualmente diferente) em que as variáveis estejam expressas.



2.8. Análise da concentração

A noção de concentração apareceu associada ao estudo de desigualdades
económicas, como a repartição do rendimento ou a distribuição de salários. O
fenómeno de concentração está relacionado com a variabilidade ou dispersão
dos valores observados, apesar de não poder ser analisado através das
medidas de dispersão atrás descritas, que apenas medem a dispersão dos
valores em relação a um ponto. O objectivo é determinar como o atributo
(rendimento, salários, número de empresas) se distribui (se de forma mais ou
menos uniforme) pelos diferentes indivíduos da amostra (que devem ser
susceptíveis de serem adicionados, isto é, a análise de concentração não se
aplica a idade, altura, peso, etc).
Se o atributo estiver igualmente repartido pelos indivíduos, temos uma situação
extrema de igual distribuição; e vice-versa de o atributo estiver concentrado
num só indivíduo, temos uma situação extrema de máxima concentração. Em
geral, interessa medir o grau de concentração em situações intermédias.

Para analisar a concentração, existem dois instrumentos: a Curva de Lorenz e o Índice
de Gini.



2.8.1 Curva de Lorenz

19. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 18

O objectivo é comparar a evolução das frequências acumuladas (F i = pi) com a
evolução da soma dos valores da variável (q
i)


Quadro de dados
Classes de
valores da variável
ni
Quantidade
atributo
Freq.relativa
acumuladas
Proporção
atrib.acumul,

[x1; x2[ n1 yi p1 q1
[x2; x3[
[x3; x4[ nj yj pj qj

[xn-1; xn[ nn yn pn=1 qn=1
Total n

Os pontos (pi;qi) pertencem ao quadrado (0,1) por (0,1). A curva que os une é
a curva de Lorenz. Se houver igual distribuição, a frequência das observações
deve ter uma evolução igual à proporção do atributo correspondente, isto é,
pi=qi. Nesse caso, a curva de Lorenz coincide com a diagonal do quadrado,
que é designada de recta de igual repartição. Quanto mais a curva se afastar
da recta, maior é a concentração. A zona entre a diagonal e acurva de Lorenz
designa-se, por isso, de zona de concentração.


2.8.2 Índice de Gini


O índice de Gini é calculado pela seguinte expressão


-
=
-
=
-
=
1
1
1
1
)(
n
i
n
i
pi
qipi
G


Quando G = 0, a concentração é nula, havendo igual repartição. Caso o valor
de G seja 1, a concentração será máxima. O valor de G varia entre 0 e 1, e
quanto maior o seu valor, maior a concentração.

20. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 19
2.9. Estatística Descritiva Bidimensional

Numa situação em que se observam pares de valores (x i; yj), pode ter interesse
estudar as relações porventura existentes entre os dois fenómenos,
nomeadamente relações estatísticas. Não se trata de estudar relações
funcionais (isto é, a medida em que o valor de uma variável é determinado
exactamente pela outra), mas sim de estudar a forma como a variação de uma
variável poderá afectar a variação da outra, em média. (por exemplo, o peso e
a altura normalmente estão relacionados, mas a relação não é determinística).
Duas variáveis ligadas por uma relação estatística dizem-se correlacionadas.
Se as variações ocorrem, em média ou tendencialmente, no mesmo sentido, a
correlação diz-se positiva. Se ocorrem em sentidos opostos, a correlação diz-
se negativa.

Trata-se então de estudar se:
- Se existe alguma correlação entre os fenómenos ou variáveis
observadas
- A existir, se é traduzível por alguma lei matemática, nem que
tendencialmente
- A existir, se é possível medi-la


Por vezes, a representação gráfica do conjunto de dados bivariados sugere o
ajustamento de uma recta a este conjunto de pontos, indicando a existência de
uma tendencial correlação linear entre as duas variáveis, como é o caso do
exemplo atrás descrito. A essa recta chama-se recta de regressão de y sobre
x, que permite descrever como se reflectem em y (variável dependente ou
explicada) as modificações processadas em x (variável independente ou
explicativa). Essa recta torna possível, por exemplo, inferir (em média) a altura
de um indivíduo, conhecendo o respectivo peso.
Um dos métodos mais conhecidos de ajustar uma recta a um conjunto de
dados é o Método dos Mínimos Quadrados, que consiste em determinar a recta
que minimiza a soma dos quadrados dos desvios entre os verdadeiros valores
de y e os obtidos a partir da recta que se pretende ajustar. Obtém-se assim a

21. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 20
recta de regressão ou recta dos mínimos quadrados. Assim, se a recta de
regressão obedecer à seguinte fórmula geral:
y = a + bx

o método permite minimizar a soma dos desvios quadráticos y
i - (a + bx i).
Assim sendo, obtém-se:



-
-
=
2
2
xnx
yxnyx
b
i
ii
e
xbya-=

Matematicamente, b designa o declive da recta. Em termos estatísticos, b
corresponde ao coeficiente de regressão de y sobre x, que indica a variação
média de y que acompanha uma variação unitária de x.

O valor de a designa a ordenada na origem, isto é, o valor que y assume
quando x=0.



Quando, quer através do diagrama de dispersão, quer através da recta de
regressão, se verifica a existência de uma associação linear entre as variáveis,
pode-se medir a maior ou menor força com que as variáveis se associam
através do coeficiente de correlação linear r:

))((,
1
yyxxs
ss
s
r
i
n
i
ixy
yyxx
xy
--==
=



Este indicador da correlação tem a vantagem de não depender das unidades
ou da ordem de grandeza em que as variáveis estão expressas. O coeficiente
de correlação linear está sempre compreendido entre –1 e 1.
Se r > 0, então pode dizer-se que existe uma correlação positiva entre as
variáveis, isto é, as variáveis variam no mesmo sentido: um aumento
(diminuição de x) provoca um aumento (diminuição) de y, mas menos que
proporcional.

22. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 21
Se r < 0, então pode dizer-se que existe uma correlação negativa entre as
variáveis, isto é, as variáveis variam em sentidos opostos: um aumento
(diminuição de x) provoca uma diminuição (aumento) de y, mas menos que
proporcional.
Se r = 0, então pode dizer-se que as variáveis não estão correlacionadas
linearmente.
Antes de se efectuar um estudo de correlação, deve-se procurar justificação
teórica para a existência ou inexistência de correlação. Caso contrário, poderá
acontecer que variáveis sem relação de causalidade entre si, variem num certo
sentido por razões exteriores. A esta correlação ilusória, chama-se correlação
espúria.

Nos extremos, se r = 1 ou se r = -1, então pode dizer-se que existe uma
correlação positiva ou negativa perfeita, respectivamente, entre as variáveis,
isto é, uma variação numa variável provoca na outra uma variação
exactamente proporcional no mesmo sentido ou em sentido contrário. Isto é, a
correlação é máxima.


Correlação ordinal

Por vezes, as variáveis vêm expressas numa escala ordinal, isto é, interessa
mais conhecer a ordenação dos valores do que os valores observados
propriamente ditos. Neste caso, em vez do coeficiente de correlação linear,
calcula-se o coeficiente de correlação ordinal:

y
i
x
ii
n
i
i
s
RRd
nn
d
r -=
-
-=

=
,
)1(
61
2
1
2






Ordens (“ranks”) das
observações de X e
de Y, respectivamente

23. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 22
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Exercícios resolvidos

Exercício 1
Considere a distribuição de 1000 empresas de um sector de actividade
segundo os resultados líquidos (em milhares de u.m.):


Resultado Líquido Frequência. Relativa (%)
[0; 1[ 10
[1; 3[ 25
[3; 5[ 35
[5; 15[ 15
[15; 25[ 10
[25; 50[ 5
Total 100

a) Represente a distribuição graficamente.
b) Determine a média e a moda da distribuição. Qual o significado dos
valores encontrados?
c) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente.
Determine a mediana da distribuição.
d) Determine os quartis da distribuição. Faça a sua representação gráfica.
e) Analise a (as)simetria da distribuição em causa.
f) Analise a concentração através do Índice de Gini e da Curva de Lorenz.


Resolução


a)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 10 20 30 40 50 60
fi/hi

24. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 23

b) 325,7%)55.37(...%)252(%)105,0(
1
11
=+++===
==
xxxcfcn
n
x
n
i
iii
n
i
i


Em média, o resultado líquido de uma empresa é de 7325 unidades
monetárias.

A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência por unidade de
amplitude. Neste caso, o maior valor de f
i / hi é 0,175. correspondente à classe
[3; 5[, isto é, os valores de resultado líquido mais prováveis para uma empresa
situam-se entre 3000 u.m. e 5000 u.m.

c) A representação gráfica das frequências acumuladas (ver tabela) designa-se
de polígono integral:


















Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [3; 5[
3 : Fi=0,35
5 : Fi = 0,7

Fi
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100 120
X fi hi fi/hi Fi ci [0; 1[ 10% 1 0.1 10% 0.5
[1; 3[ 25% 2 0.125 35% 2
[3; 5[ 35% 2 0.175 70% 4
[5; 15[ 15% 10 0.015 85% 10
[15; 25[ 10% 10 0.01 95% 20
[25; 50] 5% 25 0.002 100% 37.5
Total 1

25. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 24
Cálculo da mediana:
0,7 - 0,35 ------------ 5 - 3
0,5 – 0,35 -------------- Me – 3
Me = 3 + ((2x0,15)/0,35) = 3,857
50% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 3857 u.m.

d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,25):
[1; 3[
1 : Fi=0,1
3 : Fi = 0,35

Cálculo do Q1:
0,35 - 0,1 ------------ 3 - 1
0,25 – 0,1 -------------- Q1 – 1
Q1 = 1 + ((2x0,15)/0,25) = 2,2
25% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 2200 u.m.



Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,75):
[5; 15[
5 : Fi=0,7
15 : Fi = 0,85

Cálculo do Q3:
0,85 - 0,7 ------------ 15 - 5
0,75 – 0,7 -------------- Q3 – 5
Q3 = 5 + ((10x0,05)/0,15) = 8,333(3)
75% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 8333 u.m.


e)
04596,0
2,2333,8
)2,2857,3()857,3333,8(
13
)12()23(
' >=
-
---
=
-
---
=
QQ
QQQQ
g

A distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda.

26. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 25
f)

X fi ni ci Atributo pi (=Fi) qi
[0; 1[ 10% 1000x10%=100 0.5 100x0.5= 50 0.1 0.007
[1; 3[ 25% 250 2 250x2= 500 0.35 0.075
[3; 5[ 35% 350 4 1400 0.7 0.266
[5; 15[ 15% 150 10 1500 0.85 0.471
[15; 25[ 10% 100 20 2000 0.95 0.744
[25; 50[ 5% 50 37.5 1875 1 1
Total 1 n=1000 7325





47,0
95,085,07,035,01,0
)744,095,0(...)007,01,0(
=
++++
-++-
=G


A distribuição dos resultados líquidos
apresenta concentração média (G=0,5
corresponde ao centro da escala
possível, entre 0 e 1). Por exemplo,
70% das empresas apresentavam
resultados até 5000 u.m., mas isso
representava apenas 26,6% do total
de resultados das empresas da
amostra, o que sugere um tecido
empresarial com muitas PMEs, mas
em que cada uma tem baixo resultado
líquido.





Exercício 2

Considere a seguinte amostra de dimensão 200, referente aos lucros obtidos
por empresas de um dado sector industrial, expressas numa determinada
unidade monetária.

Analise a concentração através do Índice de Gini e da Curva de Lorenz.


Res.Liq.Totais
7325
140050050 ++
Curva de Lorenz
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

27. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 26
Resolução

Lucros ni Lucro total pi (=Fi) qi
[0; 50[ 20 600 0.1 0.02
[50; 100[ 60 4400 0.4 0.16(6)
[100; 200[ 80 14000 0.8 0.63(3)
[200; 300[ 30 7500 0.95 0.883(3)
[300; 500] 10 3500 1 1
Total 200 30000

























243,0
25,2
)6(546,0
)(
1
1
1
1
==
-
=


-
=
-
=
n
i
n
i
pi
qipi
G



Tanto pela análise da Curva de Lorenz, como pelo valor do Índice de Gini,
conclui-se que esta amostra apresenta concentração moderada, encontrando-
se os valores razoavelmente repartidos.



Exercício 3

Considere o exemplo abaixo referente ao peso e altura de 10 indivíduos.
a) Represente o diagrama de dispersão.
b) Analise a correlação existente entre peso e altura.
c) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que
exprima as peso em função da altura.

Curva de Lorenz
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

28. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 27

Indivíduo Peso (kg) Altura (cm)
A 72 175
B 65 170
C 80 185
D 57 154
E 60 165
F 77 175
G 83 182
H 79 178
I 67 175
J 68 173


Resolução


a)












b) No exemplo, r = 0,90681871, isto é, existe uma correlação positiva forte
entre as duas variáveis, quase perfeita.


c)

















Diagrama de Dispersão
150
160
170
180
190
50 60 70 80 90
Peso (kg)
Altura (cm)
Recta de Regressão
y = 0,9016x + 109,36
150
160
170
180
190
50 60 70 80 90
Peso (kg)
Altura (cm)

29. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 28
A equação desta recta traduz-se em
Altura = 109,36 + 0,9016 x Peso
Isto é, se um indivíduo pesar 70 kg, a altura esperada será de 109,36 + 0,9016
x 70 = 172,472.
Por cada kg de peso adicional, espera-se que a altura do indivíduo aumente
0,9016 cm.


Exercício 4

O quadro abaixo apresenta as vendas e as despesas em publicidade (ambas
em milhares de u.m.) de uma empresa no período de 7 anos:

Ano Vendas Desp. Publicidade
1 10 3
2 13 3
3 18 5
4 19 6
5 25 8
6 30 9
7 35 13

a) Compare as vendas e as despesas em publicidade quanto à dispersão.
b) Analise a correlação existente entre volume e custo de produção.
c) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que
exprima as vendas em função das despesas em publicidade.



Resolução

a) Para comparar a dispersão das duas distribuições, é necessário calcular os
coeficientes de variação (medidas de dispersão relativa):


Dados não-classificados

429,21
1
1
==
=
n
i
i
x
n
x
714,6
1
1
==
=
n
i
i
y
n
y
( ) 9408,69
1
2
1
2
=-=
=
n
i
x xxi
n
s ( ) 0651,11
1
2
1
2
=-=
=
n
i
y yyi
n
s

39,0
429,21
9408,69
===
x
s
CV
x
x
<
495,0
714,6
0651,11
===
y
s
CV
y
y


A dispersão das despesas em publicidade é superior à dispersão das vendas.

30. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 29
b)
( )( ) ( )( )[ ]
98,0
0651,119408,69
714,613429,2135...714,63429,2110
7
1
=
--++--
==
xss
s
r
yyxx
xy


Existe uma correlação positiva linear forte entre as duas variáveis. Em média,
quando as despesas em publicidade aumentam (diminuem), as vendas
aumentam (diminuem) de forma quase exactamente proporcional.



c)




















Exercício 5

Considere que 10 estudantes foram sujeitos a uma prova de avaliação no início
e no final do curso. No quadro abaixo, encontram-se as ordenações desses 10
estudantes segundo as classificações obtidas em cada uma das provas:


Aluno
Prova inicial
R
i
x
Prova final
R i
y
di
R i
x - Ri
y
A 1 1 0
B 3 2 1
C 2 3 -1
D 5 4 1
E 7 6 1
F 8 8 0
G 9 7 2
H 10 9 1
I 6 10 -4
J 4 5 -1
Recta de Regressão
y = 2,4649x + 4,8782
0
10
20
30
3 8 13
Desp. Public.
Vendas

31. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 30
Resolução
Como não dispomos das classificações dos alunos, mas sim das ordenações
das classificações (do 1ë ao 10ë classificado), para avaliar a correlação
existente entre as 2 provas calcula-se o coeficiente de correlação ordinal:
8424,0
)1100(10
)11614011110(6
1
)1(
61
2
1
2
=
-
+++++++++
-=
-
-=

=
x
x
nn
d
r
n
i
i
s



A correlação é positiva e elevada (r
s varia entre –1 e 1), isto é, os alunos que
tiveram boa nota na prova inicial tiveram, em média, igualmente boa nota na
prova final.


Exercício 6

O quadro que se segue descreve a distribuição do rendimento anual (em
milhares de u.m.) de 2500 famílias da população de um país:

Rendimento anual Në de famílias
[0, 1[ 250
[1, 2[ 375
[2, 5[ 625
[5, 15[ 750
[15, 25[ 375
[25, 50[ 125

a) Represente as frequências acumuladas graficamente.
b) Determine o rendimento médio e mediano.
c) Determine os três primeiros quartis. Que indicações lhe dão sobre a
(as)simetria?
d) O que pode concluir quanto à dispersão?
e) Calcule o índice de Gini. O que conclui sobre a concentração do
rendimento?

Resolução

a)
Rendimento anual Në de famílias % de famílias Fi (%) ci
[0, 1[ 250 10 10 0.5
[1, 2[ 375 15 25 1.5
[2, 5[ 625 25 50 3.5
[5, 15[ 750 30 80 10
[15, 25[ 375 15 95 20
[25, 50[ 125 5 1 37.5

32. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 31
b) 025,9%)55.37(...%)155.1(%)105,0(
1
11
=+++===
==
xxxcfcn
n
x
n
i
iii
n
i
i


Em média, o rendimento anual de uma família é de 9025 unidades monetárias.

Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5):
[2; 5[
5 : Fi = 0,5. Logo, a mediana é 5 (50% das famílias têm rendimentos anuais até
5000 unidades monetárias).


c) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,25):
[1; 2[
3 : Fi = 0,25
25% das famílias apresentam rendimentos anuais inferiores a 2000 u.m.



Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,75):
[5; 15[
5 : Fi=0,5
15 : Fi = 0,8

Cálculo do Q3:
0,8 - 0,5 ------------ 15 - 5
0,75 – 0,5 -------------- Q3 – 5
Q3 = 5 + ((10x0,25)/0,3) = 13,333(3)
75% das famílias apresentam rendimentos anuais inferiores a 13333 u.m.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

33. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 32
047,0
2333,13
)25()5333,13(
13
)12()23(
' >=
-
---
=
-
---
=
QQ
QQQQ
g

A distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda.


d)
( ) 286875,82*
2
1
2
2
1
2
=-=-=
== xficixcifis
n
i
n
i
x


071,9286875,82
2
===
xx
ss


e)
Rendimento anual
ni ci Rend. total pi (=Fi) qi
[0, 1[ 250 0.5 125 0,1 0.00554
[1, 2[ 375 1.5 562,5 0,25 0.0305
[2, 5[ 625 3.5 2187,5 0,5 0.1274
[5, 15[ 750 10 7500 0,8 0.46
[15, 25[ 375 20 7500 0,95 0.7922
[25, 50[ 125 37.5 4687.5 1 1
Total 2500 22562,5

4555,0
6,2
18436,1
)(
1
1
1
1
==
-
=


-
=
-
=n
i
n
i
pi
qipi
G
Concentração moderada do rendimento


Exercício 7

Considere a seguinte tabela que representa a distribuição dos empregados de
uma instituição bancária segundo a remuneração bruta mensal (em milhares de
unidades monetárias):


Remuneração
Frequência. Relativa
(%)
[60; 80[ 7.8
[80; 100[ 15.2
[100; 120[ 31.2
[120; 140[ 19.5
[140; 160[ 7.2
[160; 200[ 8.1
[200; 250[ 5.4
[250, 300[ 2.6
[300; 350] 3.0
Total 100

34. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 33
a) Calcule os quartis da distribuição.
b) Analise a dispersão da distribuição em causa.
c) Analise a assimetria da distribuição em causa.



Resolução

a)
Remuneração Frequência. Relativa (%)
Fi
(%)
[60; 80[ 7.8 7.8
[80; 100[ 15.2 23
[100; 120[ 31.2 54.2
[120; 140[ 19.5 73.7
[140; 160[ 7.2 80.9
[160; 200[ 8.1 89
[200; 250[ 5.4 94.4
[250, 300[ 2.6 97
[300; 350] 3.0 100
Total 100

Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência acumulada
0,25):
[100; 120 [
1 : Fi=0,23
3 : Fi = 0,542
Cálculo do Q1:
0,542 - 0,23 ------------ 120 - 100
0,25 - 0,23 -------------- Q1 - 100
Q1 = 100 + ((20x0,02)/0,312) = 101,28
25% dos empregados auferem remunerações inferiores a 101,28 milhares u.m.

Classe a que pertence Q2 (classe a que corresponde uma frequência acumulada
0,5):
[100; 120 [
100 : Fi=0,23
120 : Fi = 0,542
Cálculo do Q2:
0,542 - 0,23 ------------ 120 - 100
0,5 - 0,23 -------------- Q2 - 100
Q2 = 100 + ((20x0,27)/0,312) = 117,3
50% dos empregados auferem remunerações inferiores a
117,3 milhares u.m.

35. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 34
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,75):
[140; 160 [
120 : Fi=0,737
140 : Fi = 0,809

Cálculo do Q3:
0,809 - 0,737 ------------ 160 - 140
0,75 – 0,737 -------------- Q3 - 140
Q3 = 140 + ((20x0,013)/0,072) = 143,61(1)
75% dos empregados auferem remunerações inferiores a 143,61(1) milhares u.m.

b) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 143,61(1) - 101,28 = 42,33
(dispersão reduzida em torno da mediana)

c)
0243,0
28,10161,143
)28,1013,117()3,11761,143(
13
)12()23(
' >=
-
---
=
-
---
=
QQ
QQQQ
g

A distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda.


Exercício 8

Os dados seguintes referem-se ao peso, expresso em gramas, do conteúdo de
uma série de 100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha
de enchimento automático:

Peso (em gramas)
Frequência. Relativa
(%)
[297; 298[ 8
[298; 299[ 21
[299; 300[ 28
[300; 301[ 15
[301; 302[ 11
[302; 303[ 10
[303; 304[ 5
[304; 305[ 1
[305; 306] 1
Total 100

a) Represente graficamente os dados acima.
b) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente.

36. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 35
c) Determine o peso médio, mediano e modal. Qual o seu significado?
d) Determine os quartis da distribuição.

e) Analise a dispersão do peso das garrafas.

Resolução

a)







b)
Peso (em gramas) Frequência Relativa (%) Fi (%)
[297; 298[ 8 8
[298; 299[ 21 29
[299; 300[ 28 57
[300; 301[ 15 72
[301; 302[ 11 83
[302; 303[ 10 93
[303; 304[ 5 98
[304; 305[ 1 99
[305; 306] 1 100
Total 100









c)
11,300%)15,305(...%)215,298(%)85,297(
1
11
=+++===
==
xxxcfcn
n
x
n
i
iii
n
i
i

O peso médio das garrafas é de 300,11 kg.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
296297298299300301302303304305306307
Histograma
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
295296297298299300301302303304305306307308309310
F*

37. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 36
Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [299;
300
[
299 : Fi = 0,29
300 : Fi = 0,57
Cálculo do Q2:
0,57 - 0,29 ------------ 300 - 299
0,5 - 0,29 -------------- Q2 - 299
Q2 = 299 + ((1x0,21)/0,28) = 299,75
50% das garrafas têm peso inferior a
299,75 kg.

A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência relativa. Neste
caso, o maior valor de f
i é 0,28 correspondente à classe [299; 300 [, isto é, os
pesos mais prováveis das garrafas situam-se entre 299 kg e 300 kg.

d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,25):
[298; 299 [
298 : Fi=0,08
299 : Fi = 0,29
Cálculo do Q1:
0,29 - 0,08 ------------ 298 - 299
0,25 - 0,08 ------------ Q1 - 299
Q1 = 299 + ((1x0,17)/0,21) = 299,0357
25% das garrafas têm peso inferior a 299,0357 kg.

Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,75):
[301; 302 [
301 : Fi=0,72
302 : Fi = 0,83
Cálculo do Q3:
0,83 - 0,72 ------------ 302 - 301
0,75 – 0,72 -------------- Q3 - 301
Q3 = 301 + ((1x0,03)/0,11) = 301,27(27)
75% das garrafas têm peso inferior a
301,27(27) kg.

38. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 37
e) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 301,27(27) - 299,0357 = 2,237
(dispersão reduzida em torno da mediana)

Exercício 8

Numa faculdade, mediram-se as alturas de 100 alunos do primeiro ano:

Altura (em metros) Në Alunos
[1,4; 1,5[ 2
[1,5; 1,55[ 10
[1,55; 1,6[ 25
[1,6; 1,65[ 13
[1,65; 1,7[ 17
[1,7; 1,75[ 20
[1,75; 1,8[ 10
[1,8; 1,9] 3
Total 100

a) Represente graficamente os dados acima.
b) Determine a altura média e a altura modal. Qual o seu significado?
c) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente.
d) Determine os quartis da distribuição e diga qual o seu significado.

e) Analise a dispersão da distribuição.
f) Analise a (as)simetria da distribuição.

Resolução

a)
Altura (em metros) ni fi ci hi fi/hi Fi
[1,4; 1,5 [ 2 0,02 1,45 0,1 0,2 0,02
[1,5; 1,55 [ 10 0,1 1,525 0,05 2 0,12
[1,55; 1,6 [ 25 0,25 1,575 0,05 5 0,37
[1,6; 1,65 [ 13 0,13 1,625 0,05 2,6 0,5
[1,65; 1,7 [ 17 0,17 1,675 0,05 3,4 0,67
[1,7; 1,75 [ 20 0,2 1,725 0,05 4 0,87
[1,75; 1,8 [ 10 0,1 1,775 0,05 2 0,97
[1,8; 1,9 ] 3 0,03 1,85 0,1 0,3 1
Total 100 1






0
1
2
3
4
5
6
1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
Histogramafi/hi

39. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 38
b) 65,1%)385,1(...%)10525,1(%)245,1(
1
11
=+++===
==
xxxcfcn
n
x
n
i
iii
n
i
i

A altura média dos alunos é de 1,65 m.

A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência por unidade de
amplitude. Neste caso, o maior valor de f
i / hi é 5. correspondente à classe
[1,55; 1,6 [, isto é, a altura mais provável de um aluno rondará 1,55m / 1,6m.

c)






d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,25):
[1,55; 1,6 [
1,55 : Fi=0,12
1,6 : Fi = 0,37
Cálculo do Q1:
0,37 – 0,12 ------------ 1,6 – 1,55
0,25 – 0,12 ------------ Q1 – 1,55
Q1 = 1,55 + ((0,05x0,13)/0,25) = 1,576
25% dos alunos têm altura inferior a 1,576 m.

Classe a que pertence Q2 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,5):
[1,6; 1,65 [
1,65 : Fi = 0,5
50% dos alunos têm altura inferior a
1,65 m.

Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,75):
[1,7; 1,75 [
1,7 : Fi=0,67
1,75 : Fi = 0,87
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
F*

40. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 39
Cálculo do Q3:
0,87- 0,67------------ 1,75 – 1,7
0,75 – 0,67-------------- Q3 – 1,7
Q3 = 1,7 + ((0,05*0,08)/0,2) = 1,72
75% dos alunos têm altura inferior a
1,72 m.

e) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 1,72 – 1,576 = 0,144
(dispersão reduzida em torno da mediana)
( ) 00536875,0*
2
1
2
2
1
2
=-=-=
== xficixcifis
n
i
n
i
x


07327,000536875,0
2
===
xx
ss
(dispersão reduzida em torno da média)

f) 0)7(027,0
576,172,1
)576,165,1()65,172,1(
13
)12()23(
' <-=
-
---
=
-
---
=
QQ
QQQQ
g

A distribuição é ligeiramente assimétrica negativa ou enviesada à direita
(quase simétrica).


Exercício 9

Em determinada central telefónica, registou-se a duração das chamadas
realizadas em Dezembro de 2001:


Duração (em minutos) Në Chamadas
[0; 5[ 2000
[5; 10[ 1500
[10; 20[ 1000
[20; 30[ 300
[30; 50] 200
Total 5000


a) Represente graficamente as frequências simples e acumuladas.
b) Determine a duração média das chamadas e respectivo desvio-padrão.
c) Qual a duração da chamada mediana? Qual o significado do valor
encontrado?

41. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 40
d) Sabe-se que as chamadas realizadas durante o ano de 2001
apresentaram uma duração média de 10 minutos, com desvio-padrão de
8,7 minutos. Compare, quanto à dispersão, as chamadas efectuadas em
Dezembro com as que tiveram lugar durante todo o ano de 2001.


Resolução

a)
Duração (em minutos) ni fi hi fi/hi Fi ci
[0; 5[ 2000 0,4 5 0,08 0,4 2,5
[5; 10[ 1500 0,3 5 0,06 0,7 7,5
[10; 20[ 1000 0,2 10 0,02 0,9 15
[20; 30[ 300 0,06 10 0,006 0,96 25
[30; 50] 200 0,04 20 0,002 1 40
Total 5000 1
















b)
35,9%)440(...%)305,7(%)405,2(
1
11
=+++===
==
xxxcfcn
n
x
n
i
iii
n
i
i

A duração média de uma chamada é de 9,35 minutos.
( ) 4525,81*
2
1
2
2
1
2
=-=-=
== xficixcifis
n
i
n
i
x


025,900536875,0
2
===
xx
ss

c) Classe mediana (classe a que corresponde frequência acumulada 0,5):
[5; 10[
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0 10 20 30 40 50 60
Histogramafi/hi
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 102030405060708090100
F*

42. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 41
5 : Fi = 0,4
10 : Fi = 0,7
Cálculo da Me:
0,7 - 0,4 ------------ 10 - 5
0,5 - 0,4 ------------ Me - 5
Me = 5 + ((5x0,1)/0,3) = 6,67
50% das chamadas têm duração a
6,67 minutos.

d)
965,0
35,9
025,9
===
x
s
CV
x
Dez
>
87,0
10
7,8
2001
===
y
s
CV
y


Exercício 10

Uma empresa coligiu dados relativos à produção de 12 lotes de um tipo especial
de rolamento. O volume de produção e o custo de produção de cada lote
apresentam-se na tabela:


Lote Volume (unidades) Custo (contos)
1 1500 3100
2 800 1900
3 2600 4200
4 1000 2300
5 600 1200
6 2800 4900
7 1200 2800
8 900 2100
9 400 1400
10 1300 2400
11 1200 2400
12 2000 3800

a) Analise a correlação existente entre volume e custo de produção.
b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que
exprima o custo em função do volume de produção.


Resolução

a)
( )( ) ( )( )[ ]
98,0
1145944520854
3,270838003,13582000...3,270831003,13581500
12
1
=
--++--
==
xss
s
r
yyxx
xy


Correlação positiva quase perfeita.

43. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 42
b)










Exercício 11
Um conjunto de empresas do sector da Construção e Obras Públicas cotadas
na Bolsa de Valores foram analisadas relativamente aos seguintes indicadores:
EPS (Earnings per Share): Resultado Líquido por Acção
PBV (Price/Book Value): Preço / Situação Líquida por Acção



Empresa EPS ($) PBV ($)
1 191 0.9
2 32 1.0
3 104 0.8
4 117 0.8
5 210 1.5
6 95 0.7
7 65 0.9
8 201 1.3
9 81 0.4

a) Analise a correlação existente entre aqueles dois indicadores.
b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que
exprima a variável EPS em função de PBV.



Resolução

a)
( )( ) ( )( )[ ]
61,0
096933,0332,3669
92,04,07,12181...92,09,07,121191
9
1
=
--++--
==
xss
s
r
yyxx
xy


Correlação positiva moderada.


y = 1,4553x + 731,6
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Volume
Custo

44. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 43
b)











Exercício 12

Recolheu-se uma amostra em 17 cidades do país relativamente aos seguintes
indicadores:
Ri: Rendimento médio mensal na cidade i (em 10
6
unidades monetárias)
Gi: Gasto médio mensal em bens de luxo na cidade i (em 10
6
u.m.)

Ri Gi Ri Gi

125 54 144 61
127 56 147 62
130 57 150 62
131 57 152 63
133 58 154 63
135 58 160 64
140 59 162 65
143 59 165 66
169 66


Dados adicionais
=2467
iR =1030
iG =361073
2
i
R
=62620
2
i
G =150270
iiGR


a) Estude a correlação entre rendimento e despesas em bens de luxo.
b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que
exprima a variável Gi em função de Ri.


y = 124,04x + 7,383
0
50
100
150
200
250
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
PBV
EPS

45. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 44
Resolução
a)
986,0
)
17
1030
*1762620)(
17
2467
*17361073(
17
1030
*
17
2467
*17150270
))((
2
22
2
2
2
2
2
=
--
-
=
--
-
=

GnGRnR
GRnGR
r
ii
ii
XY

Correlação positiva forte.

b)
y = 0,2604x + 22,801
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
100 120 140 160 180 200
Rendimento
Gasto

46. 104
Introdução ao e-learning
FMD_i.p65 15-01-2004, 10:49104

47. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 45





3. ESTATÍSTICA INDUTIVA


A estatística indutiva é o ramo da estatística que se ocupa em inferir das
conclusões retiradas sobre a amostra para a população. Claro que o processo
de indução implica um certo grau de incerteza associado à tentativa de
generalização de conclusões da “parte” (amostra) para o “todo” (universo). O
conceito de probabilidade vai ter aqui, então, um papel fundamental. Isto é, não
vai ser possível afirmar com toda a certeza que o comportamento da amostra
ilustra perfeitamente o comportamento do universo, mas apenas que o faz com
forte probabilidade.
De seguida, serão apresentadas algumas noções simples de probabilidades e
funções de probabilidade, que serão úteis a aplicações de estatística indutiva
relacionadas com controlo estatístico de qualidade e fiabilidade de
componentes e sistemas.



3.1. Noções básicas de probabilidade

A teoria das probabilidades é um ramo da matemática extremamente útil para o
estudo e a investigação das regularidades dos chamados fenómenos
aleatórios. O exemplo seguinte pretende clarificar o que vulgarmente é
designado por experiência aleatória.

Deve entender-se como
experiência qualquer processo ou conjunto de
circunstâncias capaz de produzir resultados observáveis; quando uma
experiência está sujeita à influência de factores casuais e conduz a resultados
incertos, diz-se que a experiência é
aleatória .
Fundamentalmente, as experiências aleatórias caracterizam-se por:

48. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 46
(i) poder repetir-se um grande número de vezes nas mesmas condições
ou em condições muito semelhantes
(ii) cada vez que a experiência se realiza, obtém-se um resultado
individual, mas não é possível prever exactamente esse resultado
(iii) os resultados das experiências individuais mostram-se irregulares,
mas os resultados obtidos após uma longa repetição da experiência
patenteiam uma grande regularidade estatística no seu conjunto

Alguns autores consideram inserido no conceito de experiência aleatória um
outro, o de
espaço de resultados . O espaço de resultados corresponde ao
conjunto formado por todos os resultados possíveis de uma experiência
aleatória. Por exemplo, num lançamento de um dado ordinário tem-se que o
espaço de resultados é
}{ 6,5,4,3,2,1.
A importância da definição deste conceito advém sobretudo por ser o meio
empregue para a definição de
acontecimentos , que não sei mais que
subconjuntos do espaço de resultados. Por exemplo, no lançamento de um
dado podem definir-se, para além dos 6 acontecimentos elementares
correspondentes à saída de cada uma das faces, outros como “saída de um
número ímpar” definido pelo subconjunto
}{5,3,1.
Definidos como conjuntos, aos acontecimentos é aplicável toda a construção
disponível para aqueles, isto é, existe um paralelismo perfeito entre
álgebra de
conjuntos
e álgebra de acontecimentos :
(i) O acontecimento que contem todos os elementos do espaço de
resultados chama-se
acontecimento certo
(ii) O acontecimento que não contem qualquer elemento do espaço de
resultados chama-se
acontecimento impossível
(iii) Dois acontecimentos são
mutuamente exclusivos se não têm em
comum qualquer acontecimento do espaço de resultados
(iv) A
união de dois acontecimentos A e B representa-se por A È B e é
formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois,
A ou B
(v) A
intersecção de dois acontecimentos A e B representa-se por A Ç B e
é formado pelos elementos comuns a A e B

49. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 47
Probabilidade de um acontecimento é expressa na escala de 0 a 1, sendo 0 a
probabilidade associada a um acontecimento impossível e 1 a probabilidade
associada a um acontecimento certo. A primeira definição foi proposta por
Laplace em 1812. Pode definir-se
probabilidade de um acontecimento A
como sendo:
Número de casos favoráveis ao acontecimento A
P(A) =
Número total de casos possíveis na exp. aleatória



Uma das principais críticas a esta definição é a de que ela só é aplicável
quando o espaço de resultados é finito e os seus elementos possuem igual
probabilidade; daí que ela surja muito ligada aos “jogos de azar”, que possuem
essas propriedades. É o que acontece com as duas faces de uma moeda, as
52 cartas de um baralho, as 6 faces de um dado, etc.

Para se analisar a probabilidade de ocorrência de determinados
acontecimentos, deve ter-se em atenção o seguinte:
- Dois acontecimentos são ditos mutuamente exclusivos se não puderem
acontecer ao mesmo tempo; se dois acontecimentos forem mutuamente
exclusivos, então:
P(A
Ç B) = 0
- A probabilidade de união de dois acontecimentos mutuamente
exclusivos é dada por
P (A
È B) = P(A) + P(B)
- Para dois acontecimentos quaisquer, vem que
P (A
È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)
- Dois acontecimentos dizem-se complementares se:
P(A) = 1 – P(
A)
- Dois acontecimentos são ditos independentes se a ocorrência de um
não afectar a probabilidade de ocorrência de outro; a probabilidade de
ocorrência de dois ou mais acontecimentos independentes é o produto
das probabilidades dos respectivos acontecimentos, isto é:
P(A
Ç B) = P(A) x P(B)

50. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 48
Após a apresentação desta definição, convém ainda referir que, numa outra
perspectiva, a da chamada
teoria frequencista , a probabilidade de um
acontecimento é definida como sendo o valor para o qual tende a frequência
relativa do acontecimento quando o número de repetições da experiência
aumenta.



3.2. Probabilidade condicionada

Exemplo:
Um grupo de pessoas é classificado de acordo com o seu peso e a incidência
de hipertensão. São as seguintes as proporções das várias categorias:
Obeso Normal Magro Total
Hipertenso 0,1 0,08 0,02 0,2
Não Hipertenso 0,15 0,45 0,2 0,8
Total 0,25 0,53 0,22 1,00
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser hipertensa?
b) Qual a probabilidade de uma pessoa obesa ser hipertensa?
Resolução
a) Basta ver que a proporção de hipertensos é de 20%
b) Há que tomar em atenção que o que se pretende é a proporção de
hipertensos na população de obesos, isto é 4,0
25,0
1,0
=. Por outras palavras,
pretende-se calcular a probabilidade do acontecimento “ser hipertenso”,
sabendo que ocorreu o acontecimento “ser obeso”. Repare-se que este
quociente resulta da divisão entre a probabilidade de uma pessoa ser
hipertensa e obesa e a probabilidade de uma pessoa ser obesa. Pode
escrever-se que a probabilidade pretendida é dada por:
)(
)(
)/(
OP
OHP
OHP
Ç
=
onde P(H/O) é a probabilidade de ocorrer o acontecimento “ser hipertenso”,
sabendo que ocorreu ou condicionado pelo acontecimento “ser obeso”.
Este exemplo corresponde ao cálculo de uma probabilidade condicionada .

51. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 49

Como se viu anteriormente, dois acontecimentos são ditos independentes se a
ocorrência de um não afectar a probabilidade de ocorrência de outro, isto é, se:
P(A / B) = P(A) e se P(B / A) = P(B).

Teorema de Bayes
Seja B um acontecimento que se realiza se e só se um dos acontecimentos
mutuamente exclusivos A
1, A2,…A n se verifica. Aos acontecimentos A 1, A2,…A n
dá-se o nome de acontecimentos antecedentes. O teorema de Bayes permite
calcular a probabilidade à posteriori de A
1, A2,… A n, isto é, a probabilidade de
ocorrência de A
1, A2,… A n calculadas sob a hipótese de que B (acontecimento
consequente) se realizou. De acordo com este teorema:

=
=
n
i
ii
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
1
)/().(
)/().(
)/(

Este Teorema utiliza-se em situações em que a relação causal está invertida.

=
n
i
ii
ABPAP
1
)/().( designa-se de probabilidade total de ocorrência do
acontecimento B, isto é, é a probabilidade de ocorrência do acontecimento
consequente B face a todos os possíveis acontecimentos A
1, A2,… A n que o
podem ter antecedido (ou causado a sua ocorrência).



3.3. Funções de probabilidade

A probabilidade associada aos acontecimentos possíveis numa experiência
aleatória obedecem, por vezes, a um padrão. Se associarmos a uma
experiência aleatória uma variável X (por exemplo, associar aos resultados da
experiência lançamento de um dado - que são 6 (saída de face 1 a 6) – a
variável X:“Në da face resultante do lançamento de um dado”), então pode ser
constituída uma lei ou função de probabilidade (f(x)) dessa variável X, tal que
f(x) = P(X=xi)

52. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 50
Por exemplo, para X: në da face resultante do lançamento de um dado, vem
que:
xi 1 2 3 4 5 6
f(xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

que se designa por
lei uniforme .

Algumas leis de probabilidade servem para explicar (ou aplicam-se a) um maior
número de fenómenos estatísticos do que outras. Entre estas, contam-se a lei
Binomial, a lei de Poisson e a lei Exponencial.

(i) Lei Binomial
Há alguns acontecimentos que são constituídos por um conjunto de
experiências independentes, cada uma das quais com apenas dois estados
possíveis de ocorrência e com uma probabilidade fixa de ocorrência para cada
um deles. Por exemplo, os produtos resultantes de uma fábrica podem ser
classificados como sendo defeituosos ou sendo não defeituosos, e o facto de
um ter saído (ou não) defeituoso não influencia os outros serem (ou não). A
distribuição das duas classes possíveis é discreta e do tipo binomial.
No exemplo anterior, consideremos uma amostra de
n artigos retirados da
produção total, em relação aos quais se pretende identificar a variável X: “Në de
artigos defeituosos nos n que constituem a amostra”. A probabilidade de
ocorrência do acontecimento “artigo é defeituoso” é dada por
p: incidência de
defeituosos na produção (convenientemente calculada através de métodos de
estimação). A probabilidade do acontecimento complementar “artigo é não-
defeituoso” é dada por
1 – p = q

A probabilidade associada a x artigos defeituosos é dada por p
x
(p x p x p x
p...x vezes). Se há x defeituosos, restam n-x artigos não-defeituosos, com
probabilidade dada por
q
n-x
. Para calcular o número exacto de combinações de
x artigos defeituosos com n-x artigos não-defeituosos, utiliza-se a figura
“combinações de n, x a x, oriunda das técnicas de cálculo combinatório. Vem

53. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 51
então que a probabilidade de existência de x defeituosos (e logo n-x não
defeituosos) é igual a:
xnxxnxn
x
qp
ppn
n
qpCxf
--
-
==
!)!(
!
)(


sendo que X segue Bi (n;p), sendo
n e p os parâmetros caracterizadores da lei.
Um acontecimento deve ter 4 características para que se possa associar a uma
lei binomial:
- número fixo de experiências (n)
- cada experiência ter apenas duas classes de resultados possíveis
- todas as experiências terem igual probabilidade de ocorrência (p)
- as experiências serem independentes
Em sistemas eléctricos de energia é possível, por exemplo, aplicar a
distribuição binomial quando se pretende calcular a fiabilidade de uma central
eléctrica, com várias unidades iguais e admitindo que cada unidade apenas
pode residir em dois estados, a funcionar ou avariada.


(ii) Lei de Poisson
A lei de Poisson (ou lei dos acontecimentos raros ou cadenciados) dá a
probabilidade de um acontecimento ocorrer um dado número de vezes num
intervalo de tempo ou espaço fixado, quando a taxa de ocorrência é fixa (por
exemplo, në de chamadas que chegam a uma central telefónica por minuto; në
de varias que ocorrem numa máquina por dia). Os números de acontecimentos
de “sucesso” ocorridos em diferentes intervalos são independentes. O
parâmetro caracterizador da distribuição de Poisson é
l, que corresponde ao
número médio de ocorrências por unidade de tempo ou espaço.
Como o número médio de ocorrências do acontecimento é proporcional à
amplitude do intervalo de tempo ou espaço a que se refere, a variável X: “Në de
ocorrências do acontecimento no intervalo
[0,t[” segue lei de Poisson de
parâmetro
lt (isto é, se para 1 unidade de tempo o në médio de ocorrências é
l, para t unidades de tempo o número médio de ocorrências é lt). A expressão
()
t
x
e
x
t
ll
-
!

54. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 52
dá a probabilidade de acontecerem x ocorrências no intervalo de tempo [0,t[, e
corresponde à expressão da lei de probabilidade de Poisson : Po(
lt)
Por exemplo, se X fôr o “Në de avarias que ocorrem no intervalo de tempo
[0,t[”, então a probabilidade de não ocorrerem avarias nesse intervalo, isto é, a
fiabilidade do componente/sistema como função do tempo, é dada por:
()
tt
ee
t
lll
--
=
!0
0



(iii) Lei Exponencial
Seja T a variável “Tempo ou espaço que decorre entre ocorrências
consecutivas de um acontecimento”. Então T segue lei exponencial Exp (
l),
sendo
l
1

o tempo que, em média, decorre entre ocorrências sucessivas do
acontecimento.
Note-se que é possível estabelecer uma relação entre a lei exponencial e a lei
de Poisson. Assim, se X fôr o “Në de avarias que ocorrem no intervalo de
tempo
[0,t[”, e T fôr o “Tempo que decorre entre avarias consecutivas”, então:

P (T>t) = P(tempo que decorre entre avarias exceder t)
= P(até ao instante t, não ocorre qualquer avaria)
= P (ocorrerem zero avarias no intervalo
[0,t[) = P(X=0) =
t
e
l-


A distribuição exponencial é a mais usada em estudos de fiabilidade, já que a
probabilidade de um componente sobreviver até ao instante t é dada por
t
e
l-

A probabilidade de avariar até ao instante t é dada por
t
e
l-
-1

55. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 53
(iv) Lei Normal
A lei Normal tem como parâmetros caracterizadores a média m e o desvio-
padrão
s. Isto é, os valores observados têm uma determinada tendência
central e uma determinada dispersão em torno da tendência central.

A expressão

Õ
-
-
2
2
)(
2
1
2
1
s
m
s
Xi
e

representa a função densidade de probabilidade da distribuição Normal.

Se se fizer o valor médio
m igual a zero e todos os desvios forem medidos em
relação à média, a equação será:
s
m-
=
X
Z

que corresponde a uma distribuição normal estandardizada (0;1) com os
valores tabelados, a qual é caracterizada por uma curva de Gauss:



Esta distribuição apresenta 99,73% dos valores entre os extremos –3 e 3.

Existem muitos tipos de distribuição, mas a curva normal é a forma de
distribuição mais frequente nos processos industriais para características
mensuráveis, e pode considerar-se como estabelecida pela experiência prática.

56. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 54




(v) Lei Qui-Quadrado
Considere-se um conjunto de n variáveis aleatórias Z i, obedecendo às
seguintes condições:
- cada variável Z i segue distribuição N(0,1);
- as variáveis Z i são mutuamente independentes

Então, a variável aleatória X, construída a partir da soma das n variáveis Z
i
elevadas ao quadrado, segue distribuição Qui-Quadrado com n graus de
liberdade, denotada por
22
2
2
1
1
2
...
n
n
i
iZZZZX +++==
=

2
n
XcÇ


O termo “Graus de Liberdade” (d.f: degrees of freedom) é habitualmente usado
para designar o número n de parcelas (variáveis Z
i) adicionadas. É possível
demonstrar que o valor esperado e a variância da distribuição de uma variável
Qui-Quadrado são respectivamente
n=m
n2
2
=s
A distribuição Qui-Quadrado é uma distribuição assimétrica à esquerda,
aproximando-se da distribuição Normal à medida que n cresce.

57. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 55

58. 104
Introdução ao e-learning
FMD_i.p65 15-01-2004, 10:49104

59. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 56
PROBABILIDADES
Exercícios resolvidos


Exercício 1
De um baralho ordinário (52 cartas) extrai-se ao acaso 1 carta. Determine a
probabilidade dos seguintes acontecimentos:
a) saída de Rei
b) saída de copas
c) saída de Rei ou copas
d) saída de Rei mas não de copas
e) não saída de Rei
f) não saída de Rei nem de copas
g) não saída de Rei ou não saída de copas

Resolução

A: saída de Rei
B: saída de copas
a) P(A)=1/13
b) P(B)=1/4
c) P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB) = 1/13+1/4-1/52 = 4/13 (=(13+3)/52)
d) P(A-B) = P(A) – P(AÇB) = 1/13 – 1/52 = 3/52 (= (4-1)/52)
e) P(A)= 1-1/13 = 12/13 (=(52-4)/52)
f) P( )BAÇ= P( BAÈ) = 1 – P(AÈB) = 1 – 4/13 = 9/13
g) P( )BAÈ= P( BAÇ) = 1 – P )(BAÇ = 1 – 1/52 = 51/52


Exercício 2
Um sistema electrónico é formado por dois sub-sistemas, A e B. De ensaios
anteriores, sabe-se que:
- a probabilidade de A falhar é de 20%
- a probabilidade de B falhar sozinho é 15%
- a probabilidade de A e B falharem é 15%
Determine a probabilidade de:

60. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 57
a) B falhar
b) falhar apenas A
c) falhar A ou B
d) não falhar nem A nem B
e) A e B não falharem simultaneamente

Resolução

A: o subsistema A falha
B: o subsistema B falha
P(A)=20%
P(
A)= 80%
P(B-A)=15%
P(AÇB)=15%
a) P(B) = P(B-A)+ P(AÇB) = 0,15 + 0,15 = 30%
b) P(A-B) = P(A) – P(AÇB) = 0,2 – 0,15 = 5%
c) P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB) = 0,2 + 0,3 – 0,15 = 35%
d) P( )BAÇ= P( BAÈ) = 1 – P(AÈB) = 1 – 0,35 = 65%
e) P(BAÇ) = 1 – P )(BAÇ = 1 – 0,15 = 85%

Exercício 3

Suponha que há 3 jornais, A, B e C, com as seguintes percentagens de leitura:
A: 9,8%; B: 22,9%; C: 12,1%; A e B: 5,1%; A e C: 3,7%; B e C: 6%;
A, B e C: 2,4%
Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Calcule a probabilidade dessa pessoa:
a) ler pelo menos um dos jornais
b) ler A e B mas não C
c) ler A mas não ler B nem C

Resolução

A: a pessoa escolhida lê o jornal A
B: a pessoa escolhida lê o jornal B
C: a pessoa escolhida lê o jornal C

P(A) = 9,8% P(B) = 22,9% P(C) = 12,1%
P(AÇB) = 5,1% P(AÇC) = 3,7% P(BÇC) = 6%
P(AÇBÇC) = 2,4%

61. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 58
a)
)()()()()()()()(CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP ÇÇ+Ç-Ç-Ç-++=ÈÈ
= 0,098+0,229+0,121-0,051-0,037-0,06+0,024 = 32,4%
b) P( )CBAÇÇ = P( )()CBAPBA ÇÇ-Ç = 0,051 – 0,024 = 2,7%
c) )(CBAPÇÇ = P(A) - )()()(CBAPCAPBAP ÇÇ+Ç-Ç
= 0,098-0,051-0,037+0,024 = 3,4%

Exercício 4

Um gerente de uma galeria de arte muito creditada no mercado, está
interessado em comprar um quadro de um pintor famoso para posterior venda.
O gerente sabe que há muitas falsificações deste pintor no mercado e que
algumas dessa falsificações são bastante perfeitas o que torna difícil avaliar se
o quadro que ele pretende comprar é ou não um original. De facto, sabe-se que
há 4 quadros falsos desse pintor para 1 verdadeiro.
O gerente não quer comprometer o “bom nome” da galeria para a qual trabalha
comprando um quadro falso. Para obter mais informação o gerente resolve
levar o quadro a um museu de arte e pede para que o especialista do museu o
examine. Este especialista garante-lhe que em 90% dos casos em que lhe é
pedido para examinar um quadro genuíno daquele pintor, ele identifica-o
correctamente como sendo genuíno. Mas em 15% dos casos em que examina
uma falsificação do mesmo pintor, ele identifica-o (erradamente) como sendo
genuíno.
Depois de examinar o quadro que o gerente lhe levou, o especialista diz que
acha que o quadro é uma falsificação. Qual é agora a probabilidade de o
quadro ser realmente uma falsificação?

Resolução

V: o quadro é genuíno
F: o quadro é falso
I: o quadro é identificado correctamente
P(V) = 20%
P(F) = 80%
P(I/V) = 90%
P(
)/VI= 10%
P( )/FI= 15% P(I/F) = 85%

62. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 59
P(ser realmente falsificação/especialista identificou como falsificação) =
= %1,97
7,0
68,0
1,0*2,085,0*8,0
85,0*8,0
)/(*)()/(*)(
)/(*)(==
+
=
+
VIPVPFIPFP
FIPFP


Exercício 5

Na ida para o emprego, o Sr. Óscar, polícia de profissão, tem de passar
obrigatoriamente por três cruzamentos com semáforos. No primeiro
cruzamento, o do Largo Azul, a probabilidade do semáforo se encontrar com
sinal vermelho é de 10%. Em cada um dos cruzamentos seguintes, o Sr. Óscar
fica parado devido aos sinais vermelhos em metade das vezes que lá passa.
O Sr. Óscar já descobriu que os semáforos funcionam separadamente, não
estando ligados entre si por qualquer mecanismo.
Embora goste de cumprir a lei, o guarda Óscar passa no sinal verde e acelera
no amarelo, só parando mesmo no sinal vermelho.
a) Qual a probabilidade do Sr. Óscar chegar ao emprego sem ter de parar
em qualquer sinal vermelho?
b) Qual a probabilidade do Sr. Óscar ter de parar num só semáforo?
c) Qual a probabilidade do Sr. Óscar ter parado no sinal vermelho do
cruzamento do Largo Azul, sabendo que parou num só semáforo na sua
ida para o emprego?

Resolução

A: polícia encontra sinal vermelho no 1ë cruzamento
B: polícia encontra sinal vermelho no 2ë cruzamento
C: polícia encontra sinal vermelho no 3ë cruzamento
P(A)=10%
P(
A)= 90%
P(B)=50%
P(
B)= 50%
P(C)=50%
P(
C)= 50%

a) P( )CBAÇÇ = P( A)*P(B)*P(C) = 0,9*0,5*0,5 = 22,5%
b) P( )CBAÇÇ+ P( )CBAÇÇ+P( )CBAÇÇ=
= P( A)*P(B)*P(C) + P(A)*P(B)*P(C) + P(A)*P(B)*P(C) = 47,5%

63. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 60
c) P(polícia parar no 1ë cruzamento / polícia parou num só semáforo)
%26,5
475,0
)(*)(*)(
475,0
)(==
ÇÇ
=
CPBPAPCBAP


Exercício 6

Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo, concluiu-se
que este é louco com probabilidade 60%, ladrão com probabilidade igual a 70%
e não é louco nem ladrão com probabilidade 25%. Determine a probabilidade
do indivíduo:
a) Ser louco e ladrão

b) Ser apenas louco ou apenas ladrão
c) Ser ladrão, sabendo-se que não é louco

Resolução

A: indivíduo é louco
B: indivíduo é ladrão
P(A)=60%
P(B)=70%
P( )BAÇ= 25% = P( BAÈ) P(AÈB) = 1 – 0,25 = 75%
a) P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB) 0,75 = 0,6 + 0,7 - P(AÇB)
P(AÇB) = 0,6 + 0,7 – 0,75 = 55%
b) P(A-B) + P(B-A) = (0,6-0,55) + (0,7-0,55) = 20í
c) P(B/A) = %5,37
4,0
15,0
6,01
)(
)(
)(==
-
-
=
Ç
ABP
AP
ABP


Exercício 7

Uma moeda é viciada, de tal modo que P(F) = 2/3 e P(C) = 1/3. Se aparecem
faces, então um número é seleccionado de 1 a 9. Se parecem coroas, um
número é seleccionado entre 1 e 5. Determine a probabilidade de ser
seleccionado um número par.

Resolução

P(Par) = 2/3*4/9 + 1/3*2/5 = 42,96%

64. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 61
Exercício 8
Numa fábrica, 3 máquinas, M1, M2 e M3 fabricam parafusos, sendo a produção
diária total de 10000 unidades. A probabilidade de um parafuso escolhido ao
acaso ter sido produzido por M1 é 30% da probabilidade de ter sido produzido
por M2. A incidência de defeituosos na produção de cada máquina é:
M1: 3% M2: 1% M3: 2%
Extrai-se ao acaso da produção diária um parafuso. Sabendo que a
probabilidade dele ser defeituoso é de 1,65%, determine o número de
parafusos que cada máquina produz diariamente.

Resolução

M1: o parafuso foi produzido por M1
M2: o parafuso foi produzido por M2
M3: o parafuso foi produzido por M3
D: o parafuso é defeituoso

n = 10000 unidades
P(M1) = 0,3 P(M2)
P(D / M1) = 3%
P(D / M2) = 1%
P(D / M3) = 2%
P(D) = 1,65%

Prod. 1 = P(M1)*10000 = ?
Prod. 2 = P(M2)*10000 = ?
Prod. 3 = P(M3)*10000 = ?






++=
=++
=
)3/(*)3()2/(*)2()1/(*)1()(
1)3()2()1(
)2(3,0)1(
MDPMPMDPMPMDPMPDP
MPMPMP
MPMP
Û






++=
=+
-
02,0*)3(01,0*)2(03,0*)2(3,00165,0
1)3()2(3,1
MPMPMP
MPMP
Û

65. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 62





-++=
-=
-
02,0*))2(3,11(01,0*)2(03,0*)2(3,00165,0
)2(3,11)3(
MPMPMP
MPMP Û






=
=-=-=
==
%50)2(
%355,0*3,11)2(3,11)3(
%155,0*3,0)1(
MP
MPMP
MP



Exercício 9

O João tem à sua disposição 3 meios de transporte diferentes para se deslocar
de casa para a escola: os transportes A, B ou C. Sabe-se que a probabilidade de:
- chegar atrasado à escola é 60%
- chegar atrasado utilizando o transporte A é 80%
- chegar atrasado utilizando o transporte B é 50%
- chegar atrasado utilizando o transporte C é 60%
- utilizar os transportes B e C é a mesma
a) Calcule a probabilidade de o João utilizar o transporte A
b) Sabendo que o João chegou atrasado à escola, calcule a probabilidade
de ter utilizado os transportes B ou C.

Resolução

T: O João chega atrasado
A: o João utiliza o transporte A
B: o João utiliza o transporte B
C: o João utiliza o transporte C
P(T) = 0,6
P(T/A) = 0,8
P(T/B) = 0,5
P(T/C) = 0,6
P(B) = P(C)
P(A)+P(B)+P(C) = 1
P(A) = 1- 2P(B)

a) P(T) = P(A)*P(T/A) + P(B)*P(T/B) + P(C)*P(T/C)

66. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 63
Logo
0,6 = (1-2P(B))*0,8 + P(B)*0,5 + P(B)*0,6
e vem que
P(B) = 40%
Então P(A) = 1 – 2P(B) = 1 – 2*0,4 = 20%
b) P(BÈC / T) =
)(
)/(*)()/(*)(TP
CTPCPBTPBP
+
=
6,0
6,0*4,05,0*4,0 +
=73,3%


Exercício 10

Uma empresa que se dedica à prestação de serviços de selecção de pessoal
em relação a um teste psicotécnico para uma profissão específica sabe o
seguinte:
- as percentagens de indivíduos com um quociente de inteligência (Q.I.)
elevado e médio são, respectivamente, de 30% e de 60%
- a percentagem de indivíduos com Q.I. médio que ficam aptos no teste é
de 50%
- a probabilidade de um indivíduo com Q.I. baixo ficar apto no teste é de
20%
- finalmente, sabe-se que 70% dos indivíduos com Q.I. elevado ficam
aptos no teste
a) Qual a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ficar apto no
teste?
b) Qual a probabilidade de um indivíduo ter Q.I. baixo, sabendo-se que
ficou inapto?

Resolução

A: indivíduo fica apto no teste
E: indivíduo tem QI elevado
M: indivíduo tem QI médio
B: indivíduo tem QI baixo
P(E) = 30% P(M) = 60%
P(B) = 1 –0,3 – 0,6 = 10%
P(A/M) = 50% P(A/B) = 20% P(A/E) = 70%

67. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 64
a) P(A)
=P(E)*P(A/E)+P(M)*P(A/M)+P(B)*P(A/B)
=0,3*0,7+0,6*0,5+0,1*0,2=53%
b) P(B/A) = %17
53,01
8,0*1,0
)(
)/(*)(=
-
=
AP
BAPBP


Exercício 11

Os resultados de um inquérito aos agregados familiares de uma determinada
cidade forneceram os seguintes dados:
- 35% dos agregados possuem telefone
- 50% dos agregados possuem frigorífico
- 25% dos agregados possuem automóvel
- 15% dos agregados possuem telefone e frigorífico
- 20% dos agregados possuem telefone e automóvel
- 10% dos agregados possuem frigorífico e automóvel
- 5% dos agregados possuem telefone, automóvel e frigorífico

a) Calcule a probabilidade de um agregado familiar
1. possuir telefone ou frigorífico
2. não possuir nem telefone nem automóvel
b) Calcule a probabilidade de um agregado que possui automóvel
1. possuir também frigorífico
2. possuir também telefone ou frigorífico
c) Calcule a probabilidade de um agregado familiar
1. possuir pelo menos um daqueles três objectos
2. não possuir nenhum daqueles três objectos

Resolução

A: agregado familiar possui telefone
B: agregado familiar possui frigorífico
C: agregado familiar possui automóvel
P(A) = 35%
P(B) = 50%
P(C) = 25%

68. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 65
P(AÇB) = 15%
P(AÇC) = 20%
P(BÇC) = 10%
P(AÇBÇC) = 5%

a) 1. P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB) = 0,35 + 0,5 – 0,15 = 70%
2. P( )CAÇ= P( CAÈ) = 1 – P(AÈC) = 1 – 0,4 = 60%
P(AÈC) = P(A) + P(C) - P(AÇC) = 0,35 + 0,25 – 0,2 = 40%
b) krysktsh1. P(B / C) = %40
25,0
1,0
)(
)(== Ç
CP
CBP

2. P(A
ÈB/ C) =
%100
25,0
05.01,02,0
)(
)()()(= -+
=
ÇÇ-Ç+Ç
CP
CBAPCBPCAP

c) 1.
)()()()()()()()(CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP
ÇÇ+Ç-Ç-Ç-++=ÈÈ
= 0,35+0,5+0,25-0,15-0,2-0,1+0,05 = 70%
2. 1 – P(
)CBA
ÈÈ = 1 – 0,7 = 30%

Exercício 12
Admita que 60% dos seguros no ramo automóvel respeitam a condutores com
mais de 40 anos de idade, dos quais 5% sofrem, pelo menos, um acidente por
ano. De entre os segurados com idade igual ou inferior a 40 anos, 3% têm um
ou mais acidentes no mesmo período.
a) Qual a probabilidade de um segurado não sofrer qualquer acidente
durante um ano?
b) Qual a probabilidade de um segurado que sofreu pelo menos um
acidente ter idade igual ou inferior a 40 anos?
c) Qual a probabilidade de, numa amostra de três segurados
1. todos terem idade igual ou inferior a 40 anos?
2. nenhum ter sofrido qualquer acidente durante um ano?
3. Todos terem idade igual ou inferior a 40 anos, dado que cada um
sofreu, pelo menos, um acidente durante o referido período?

69. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 66
Resolução
I1: o segurado tem mais de 40 anos de idade
I2: o segurado tem 40 anos ou menos de idade
A: o segurado sofre pelo menos 1 acidente por ano
A: o segurado não sofre nenhum acidente por ano
P(I1) = 60%
P(I2) = 1 – 0,6 = 40%
P(A/I1) = 5%
P(
A/I1) = 1 – 0,05 = 95%
P(A/I2) = 3%
P(
A/I2) = 1 – 0,03 = 97%

a) P(A) = P(I1)* P(A/I1) + P(I2)* P(A/I2) = 0,6*0,95 + 0,4*0,97 = 95,8%
b) P(I2/A) = %57,28
958,01
03,0*6,0
)(
)2/(*)2(
)(
)2(=
-
== Ç
AP
IAPIP
AP
IAP
= P(B)
c) 1. P(
)222III
ÇÇ = 0,4*0,4*0,4 = 6,4%
2. P( )AAAÇÇ= 0,958*0,958*0,958 = 87,9%
3. P(
)BBB
ÇÇ = 0,2857*0,2857*0,2857 = 2,3%

70. 104
Introdução ao e-learning
FMD_i.p65 15-01-2004, 10:49104

71. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 67
FUNÇÕES DE PROBABILIDADE
Exercícios resolvidos


Exercício 1

Se 20% das bobinas de um determinado cabo eléctrico forem defeituosas,
calcule a probabilidade de, entre as 4 bobines necessárias a um determinado
cliente, escolhidas ao acaso uma ser defeituosa.

Resolução

X: número de bobines defeituosas no conjunto de 4 bobines necessárias a um
determinado cliente (0,1,2,3,4)
n=4 p=0,2 q=1-p=0,8
P(X=1)=C
4
p
1
q
4-1
= 4*0,2*0,8
3
= 0,4096 = 41%


Exercício 2

O número médio de chamadas telefónicas a uma central, por minuto, é 5. A
central só pode atender um número máximo de 8 chamadas por minuto. Qual a
probabilidade de não serem atendidas todas as chamadas no intervalo de
tempo de 1 minuto?


Resolução

X: número de chamadas telefónicas atendidas numa central, por minuto
(0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8)
l=5 p=0,2 q=1-p=0,8
P(X
£8) =
=
-8
0
5!
5
x
xx
e
= 0,932 Logo P(X>8) = 1-0,932 = 0,06



Exercício 3

O tempo de funcionamento sem avarias de uma determinada máquina de
produção contínua segue uma lei exponencial negativa com valor esperado
igual a 4,5 horas. Imagine que a máquina é (re)colocada em funcionamento no
instante t=0 horas.
Qual a probabilidade de não ocorrerem avarias antes do instante t=6 horas?

72. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 68
Resolução
Seja
T: tempo de funcionamento sem avarias (ou entre avarias consecutivas) de
uma máquina, e
X: numero de avarias que ocorrem no intervalo
[0,6[, isto é, num período de 6h
l=1/4,5 corresponde ao número de avarias por unidade de tempo (por hora)

Logo
P(T
³6) = P(X=0)=
333,1
6*
5,4
1-
-
=ee = 0,264

Exercício 4

Considere que o comprimento médio de determinado fio condutor é 120, com
desvio padrão 0,5. Qual a percentagem de fio com comprimento superior a 121?


Resolução

X: comprimento de determinado fio condutor
Calculando a variável reduzida correspondente, vem:
2
5,0
120121=-
=Z
Consultando a tabela, verifica-se que o valor da função Z é P(X£2) = 0,9772.
Logo P(X>2) = 1-0,9772 = 2,28%.


Exercício 5

Numa praia do litoral português existe um serviço de aluguer de barcos,
destinado aos turistas que a frequentam. O número de turistas que procuram
este serviço, por hora, está associado a uma variável aleatória com distribuição
de Poisson.
Verificou-se que, em média, em cada hora, esse serviço é procurado por 8
turistas interessados em alugar barcos; sabe-se, por outro lado, que esse
serviço funciona ininterruptamente das 8 às 20 horas.
a) Qual a probabilidade de que, entre as 8 e as 9 horas, se aluguem 5
barcos?
b) Qual a probabilidade de que, entre as 9 e as 11 horas, os barcos
sejam procurados por mais de 25 turistas?

73. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 69
Resolução
X: në de turistas que procuram o serviço de aluguer de barcos por hora
X segue Po(
l=8)
a) Na tabela da Po(
l=8) vem P(X=5) = 9,16%
b) Y1: në de turistas que procuram o serviço de aluguer na 1 hora
Y2: në de de turistas que procuram o serviço de aluguer na 2 hora
Logo
Y1+Y2: në de turistas que procuram o serviço de aluguer em 2 horas
Pelo Teorema da Aditividade da Poisson, considerando Y1 e Y2
independentes e que todas seguem Po(8), vem que:
Z=Y1+Y2 segue Po(2*8=16)
Logo P(Z>25) = f(26) +... + f(33) = 0,0057 + ... + 0,0001 = 1,32%


Exercício 6

O número de navios petroleiros que chegam diariamente a certa refinaria é
uma variável com distribuição de Poisson de parâmetro 2. Nas actuais
condições, o cais da refinaria pode atender, no máximo, 3 petroleiros por dia.
Atingido este número, os restantes que eventualmente apareçam deverão
seguir para outro porto.
a) Qual a probabilidade de, num qualquer dia, ser preciso mandar
petroleiros para outro porto?
b) De quanto deveriam ser aumentadas as instalações de forma a
assegurar cais a todos os petroleiros em 99,9% dos dias?
c) Qual o número esperado de petroleiros a chegarem por dia?
d) Qual o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia?
e) Qual o número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente?
f) Qual o número esperado de petroleiros que recorrerão a outros portos
diariamente?

Resolução

X: në de petroleiros que chegam diariamente a uma certa refinaria
X segue Po (2)
Capacidade máxima de atendimento da refinaria: 3 petroleiros/dia

74. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 70
a) P(X>3) = 1 – P(X£3) = 1 – F(3) = 1 – 0,8571 =14,29%
(tab. pg.14)
b) Në máximo de petroleiros que podem chegar: 9 (informação da tabela)
Logo, a capacidade devia aumentar em 6 petroleiros/dia (9-3)
c) E(X) = 2
d) X = 1 ou X = 2, com probabilidade 27,07%
e) Y: në de petroleiros que são atendidos diariamente numa certa refinaria
(0,1, 2, 3)
g(0) = P(X=0) = 0,1353
g(1) = P(X=1) = 0,2707
g(2) = P(X=2) = 0,2707
g(3) = P(X=3) = 1 – P(X<3) = 1 – P(X£2) = 1 – 0,6767 = 0,3233
E(Y) = 0*0,1353 + … + 3*0,3233 = 1,782
São atendidos, em média, entre 1 e 2 petroleiros diariamente
f) Z: në de petroleiros que recorrem diariamente a outros portos
(0,1, 2, 3, 4, 5, 6)
Logo, Z = X - Y
E(Z) = E(X -Y) = E(X) - E(Y) = 2 - 1,782 = 0,218
Recorrem a outros portos, em média, entre 0 e 1 petroleiro por dia
g) W: në de dias em que é preciso mandar petroleiros para outro porto num
mês de 30 dias (0,1, 2,...30)
W segue Bi (n = 30; p = P(X>3) = 0,1429)
E(W) = 30*0,1429 = 4,3
Em média, é preciso enviar petroleiros para outro porto 4 a 5 dias/mês


Exercício 7

Os Serviços Municipalizados de Gás e Electricidade debitam mensalemnte aos
seus clientes um consumo teórico T de energia eléctrica calculado de tal modo
que a probabilidade de o consumo efectivo o exceder seja de 30,85%.
Suponha um cliente cujo consumo por mês segue lei normal de média 400 kwh
e desvio-padrão 40 kwh.
a) Qual o consumo teórico que lhe é mensalmente debitado?
b) 1. Qual a distribuição do consumo efectivo durante 3 meses?

75. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 71
2. Qual a probabilidade de que, ao fim de 3 meses, o consumo teórico
exceda o efectivo em mais de 100 kwh?

Resolução

X: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente por mês (em kwh)
T: consumo teórico (valor fixo) debitado ao cliente por mês (em kwh)
T: P(X>T) = 0,3085
X segue N(400; 1600)
a) P(X>T) = 0,3085 Û P( 3085,0)
40
400
40
400
=
-
>
- TX
Û
P(N(0,1) 4205,0
40
400
6915,0)
40
400
=Û=
-
Û=
-
£ T
TT
b) 1.
X1: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 1ëmês (em kwh)
X2: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 2ëmês (em kwh)
X3: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 3ëmês (em kwh)
Logo
X1+X2+X3: consumo efectivo de energia eléctrica em 3 meses (em kwh)
Pelo Teorema da Aditividade da Normal, considerando X1, X2 e X3
independentes e que todas seguem N(400, 1600), vem que:
Y=X1+X2+X3 segue N(400*3; 1600*3), isto é, N(1200; 4800)
2. P(3*420-Y > 100) = P(Y < 1160) = P(N(0,1)<
)
4800
12001160-
=
= P(N(0,1)<-0,58) = 28,1%


Exercício 8

Num determinado processo de fabrico, existem 2 cadeias de montagem A e B,
com funcionamento independente.
A cadeia A opera a um ritmo médio de 2 montagens por hora, e a probabilidade
da cadeia B efectuar pelo menos uma montagem numa hora é de 98,71%.
Admitindo que o número de montagens efectuadas por hora em ambas as
cadeias é uma v.a. Poisson, determine:
a) a probabilidade de se efectuarem mais de 6 montagens numa hora com
a cadeia B

76. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 72
b) a probabilidade de, em 3 horas de trabalho, se efectuarem no máximo
10 montagens com a cadeia B
c) a probabilidade de, numa hora, a cadeia A efectuar o dobro de
montagens de B
d) o número médio de montagens efectuadas num dia de trabalho de 8
horas com ambas as cadeiras

Resolução

X: në de montagens da cadeia A por hora X segue Po(2)
Y: në de montagens da cadeia B por hora
a) Y segue Poisson, mas desconhece-se a média (=parâmetro
l)
No entanto, como se sabe que P(Y
³1) = 0,9817, vem que
P(Y<1) = 1 – 0,9817 = 0,0183
Na tabela da Poisson, percorrendo as linhas de valor = 0, vem que o
valor 0,0183 pode ser encontrado no cruzamento da linha 0 com a
coluna 4. Logo,
l = 4.
Na tabela da Po(4), P(Y>6) = 1–P(Y
£6) = 1–F(6) = 1-0,8893=11,07%
b)
Y1: në de montagens da cadeia B na 1 hora
Y2: në de montagens da cadeia B na 2 hora
Y3: në de montagens da cadeia B na 3 hora
Logo
Y1+Y2+Y3: në de montagens da cadeia B em 3 horas
Pelo Teorema da Aditividade da Poisson, considerando Y1, Y2 e Y3
independentes e que todas seguem Po(4), vem que:
Z=Y1+Y2+Y3 segue Po(4*3=12)
P(Z£10) = f(0) + f(1) +... + f(10) = 0 + 0,0001 + … + 0,1048 = 34,72%
c) P(X=2Y) = P(X=0ÇY=0) + P(X=2ÇY=1) + P(X=4ÇY=2) +
P(X=6ÇY=3) + P(X=8ÇY=4) = 0,1353*0,0183 + 0,2707*0,0753 +
0,0902*0,1465 + 0,012*0,1954 + 0,0009*0,1954 = 3,8%
d) W: në de montagens das 2 cadeias num dia de trabalho de 8 horas
W =
)(
8
1
i
i
i
YX+
=

onde X
i + Yi corresponde ao në de montagens das 2 cadeias por hora

77. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 73
Pelo Teorema da Aditividade de Poisson, sendo as variáveis
independentes e seguindo Po(2) e Po(4) respectivamente, vem que
X
i + Yi segue também Po(2+4=6).
E Z , também pelo mesmo Teorema, segue Po(6*8=48)
Logo, o número médio de montagens efectuado pelas 2 cadeias num dia
de trabalho de 8 horas é de 48.


Exercício 9

Uma companhia de tabacos recebeu em dada altura um elevado número de
queixas quanto à qualidade dos cigarros de certa marca que comercializa.
Numa rápida análise às condições de produção, constata-se que 1% dos filtros
que compõem o cigarro saem defeituosos. Nestas condições, determine:
a) a probabilidade de um maço acabado de formar
1. conter 1 cigarro com filtro defeituoso
2. conter 0 cigarros com filtro defeituoso
b) o número de maços que, num volume que contém 20, a companhia
espera poder aproveitar se utilizar o critério:
1. maço é aproveitável se não contiver cigarros defeituosos
2. maço é aproveitável se contiver no máximo 1 cigarro defeituoso

Resolução

X: në de cigarros com filtro defeituoso em 20 cigarros de um maço
X segue Bi(n=20; p=0,01)
a) 1. P(X=1) = 20*0,01*0,99
19
= 16,52%
2. P(X=0) = 0,01
0
*0,99
20
= 81,79%
b) 1. Crit. 1: maço é aproveitável se não contiver cigarros defeituosos
Y: në de maços aproveitáveis num volume que contem 20 maços
Y segue Bi(n=20; p=P(X=0) = 0,8179)
Logo E(Y) = 20*0,8179 = 16,36
2. Crit. 2: maço é aproveitável se contiver no máximo 1 cigarro defeituoso
Y: në de maços aproveitáveis num volume que contem 20 maços
Y segue Bi(n=20; p=P(X=0)+P(X=1)= 0,8179+0,1652 = 0,9831)
Logo E(Y) = 20*0,9831 = 19,66

78. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 74
Exercício 10
O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma v.a. Normal
com média
m e variância s
2
. Uma peça defeituosa se o seu comprimento diferir
do valor médio mais do que
s. Sabemos que 50% das peças produzidas têm
comprimento inferior a 0,25 mm e 47,5% têm comprimento entre 0,25 mm e
0,642 mm.
a) Calcule a média e o desvio-padrão do comprimento das peças.
b) Determine a probabilidade de uma peça não ser defeituosa.

Resolução

X: comprimento das peças produzidas por uma máquina
X segue N(
m; s
2
)
Peça defeituosa se X>
m + s ou se X< m - s
P(X<0,25) = 50%
P(0,25<X<0,642) = 47,5%

a) Como P(X<0,25) = 50% vem que
P(
%50)
25,0= -
<
-
s
m
s
mX

Na tabela,
s
m-25,0
tem que ser =0, logo mmmm = 0,25
E como
P(0,25<X<0,642) = 47,5% vem que
=<<=
-
<
-
<
-
)
392,0
)1,0(0()
25,0642,025,025,025,0
(
ssss
NP
X
P
)0()
392,0
(q
s
q -= = 0,475
Sendo q(0)=0,5, vem que 975,05,0475,0)
392,0
(=+=
s
q
Na tabela 3B da Normal, vem que 96,1
392,0=
s
e logo ssss = 0,2
b) P(peça não defeituosa) = P( m - s < X < m + s) = P(0,05 < X < 0,45) =
P(X<0,45) – P(X<0,05) =
%13,84)1()1()1()
2,0
25,005,0
()
2,0
25,045,0
(==--=
-
-
-
Dqqqq

79. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 75
Exercício 11
Sabe-se que a probabilidade de cura de uma certa doença é 20%. Põe-se à
prova um novo medicamento, que eleva a probabilidade de cura para 40%,
ministrando-o a um grupo de 20 doentes. Admite-se que o medicamento é
eficaz no caso de contribuir para a cura de, pelo menos, 8 doentes em 20.
Calcule a probabilidade de se concluir pela ineficácia do medicamento, ainda
que este eleve de facto a probabilidade de cura para 40%.

Resolução

X: número de doentes curados no grupo de 20 a que é ministrado o novo
medicamento (0,1,2...19, 20)
n=20 p=0,4 q=1-p=0,6 X segue Bi (20; 0,4)
P(X
³8)=1- F(7) = 41,58%


Exercício 12

Sabe-se por via experimental que, por cada período de 5 minutos, chegam, em
média, 4 veículos a determinado posto abastecedor de combustíveis. Um
empregado entra ao serviço às 8 horas. Qual a probabilidade de ter de
aguardar mais de 10 minutos até à chegada de um veículo?

Resolução

X: në de veículos que chegam ao posto abastecedor por período de 5 minutos
X segue Po(4)
Se
X1: në de veículos que chegam ao posto no 1ë período de 5 minutos
X2: në de veículos que chegam ao posto no 2ë período de 5 minutos
então
X1+X2: në de veículos que chegam ao posto abastecedor em 10 minutos
Pelo Teorema da Aditividade de Poisson, considerando X1 e X2 independentes
e que ambas seguem Po(4), vem que X1+X2 também segue Po(4+4=8)

Logo P(X1+X2=0) na tabela da Po(8) vem igual a 0,03%.

80. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 76
3.4. Estimação por intervalos

Conhecendo-se uma amostra em concreto, é possível estimar os valores dos
seus parâmetros caracterizadores através de métodos probabilísticos.
Por exemplo, suponhamos que numa fábrica produtora de açúcar se pretende
averiguar se o peso dos pacotes produzidos está, em média, dentro das
normas de qualidade exigíveis. Na impossibilidade de medição do peso de
todos os pacotes, pela morosidade e dispêndio de recursos que tal implicaria, a
estatística permite que, a partir da observação de uma única amostra, seja
possível inferir entre que valores varia o peso médio com um grau de confiança
ou probabilidade elevado. Assim, ao recolher um determinado número de
pacotes da produção total aleatoriamente, é possível calcular o peso médio de
acordo com as técnicas de estatística descritiva apreendidas atrás. Claro que
nada nos garante que esse valor coincide com o valor do parâmetro da
população em estudo. De facto, é até provável que não coincida e, mais, se
recolhermos outro conjunto idêntico de pacotes, o valor seja diferente. Isto é,
para cada amostra de dimensão n recolhida, a estimativa do parâmetro
assumiria valores distintos. Então, como retirar conclusões? Como garantir
algum nível de rigor?

O método a estudar neste capítulo – a estimação por intervalos – permite, a
partir da recolha de uma única amostra, aferir entre que valores seria de
esperar que variasse o parâmetro de interesse se nos empenhássemos a
recolher um número infinito de amostras. Isto é, por exemplo, caso o valor
amostral fosse de 1,02 kg, este método poderia, por exemplo, permitir afirmar
que seria altamente provável que o peso dos pacotes produzidos estivesse a
variar entre 0,92 kg e 1,12 kg. E esse resultado tem um determinado nível de
confiança associado: por exemplo, se dissermos que o nível de confiança ou
certeza implicado é de 95%, tal significa que, se nos fosse possível observar
um número infinito de amostras, o intervalo de valores apresentado
corresponderia aos resultados obtidos em 95% delas (os valores mais
usualmente utilizados são 90%, 95% ou 99% de confiança). Caberia depois à
empresa julgar se esses seriam ou não valores aceitáveis e proceder aos
eventuais reajustes necessários.

81. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 77
A partir do conceito de intervalo de confiança para um parâmetro, é fácil
concluir que a sua especificação implica conhecer:
- o estimador do parâmetro em causa
- a sua distribuição de probabilidade
- uma estimativa particular daquele parâmetro
Como parâmetros de interesse e para efeitos de exemplificação, vão
considerar-se duas tipologias de intervalo: o intervalo de confiança para a
média de uma população normal e o intervalo de confiança para a proporção
de uma população binomial. Para efeitos de simplificação, vão considerar-se
apenas exemplos relativos a amostras de grande dimensão (na prática, n³100)

(i) Intervalo de confiança para a média mmmm de uma população normal

Seja
X (média amostral) o estimador da média da população. Porque a
distribuição é Normal, a
distribuição deste estimador será:
);(
n
NX
s
mÇ

Uma vez que apenas se encontra tabelada a distribuição N(0,1), torna-se
necessário calcular a variável reduzida correspondente:
)1;0(N
n
X
ZÇ
-
=
s
m

Esta variável permitirá deduzir a fórmula geral do intervalo de confiança para a
média
m de uma população normal:






+-
n
cX
n
cX
ss
;

Isto é, em torno do valor do estimador, é definido um intervalo de variação onde
é possível afirmar que o parâmetro a estimar está contido com um grau de
confiança
d. Esse intervalo de variação depende:
- da dimensão da amostra (n): quanto maior a dimensão da amostra,
menor a amplitude do intervalo. Este resultado explica-se facilmente: no
limite, se fosse possível observar todo o universo de dados (n=¥), o
valor amostral calculado corresponderia ao valor da população.

82. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 78
- do desvio - padrão da população (s): quanto maior o desvio - padrão,
maior a amplitude do intervalo. Como se sabe, o desvio - padrão é uma
medida que caracteriza a dispersão da distribuição. Quanto maior o seu
valor, maior a variabilidade apresentada pelos dados, sendo natural que
a margem de variação de prever em torno do valor amostral recolhido
seja também, naturalmente, maior.
- do valor crítico (c): quanto maior o valor c, maior a amplitude do
intervalo. O valor crítico reflecte o nível de confiança adoptado.
Naturalmente, para que aumente a confiança de que o valor do
parâmetro a estimar está contido no intervalo, a sua amplitude deve
aumentar também (no limite, se o intervalo se alongasse de -
¥ a +¥ a
confiança seria total ou 100%). É possível encontrar o valor c na tabela
da normal (pois esta é a lei do estimador), da seguinte forma:
d=££- )(cZcP
já que assim é possível definir a fórmula geral do intervalo,
resolvendo a inequação em ordem ao parâmetro, m:
d
s
m
s
d
s
m=-££-Û=£
-
£-)()(
n
cX
n
cXPc
n
X
cP


Se o desvio - padrão da população fôr desconhecido, utiliza-se este intervalo
considerando-se como estimativa de
s o desvio - padrão corrigido da amostra,
ou seja, s’=
1
)(
2
-
-

n
xx
i
, tal que:






+-
n
s
cX
n
s
cX
''
;

(ii) Intervalo de confiança para a proporção p de uma população binomial

Seja p
ˆ (proporção amostral ou frequência observada na amostra) o estimador
da proporção p de uma população binomial. Sendo a amostra de grande
dimensão, a
distribuição deste estimador será:
)
)1(
;(ˆ
n
pp
pNp
-
Ç

83. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 79

Uma vez que apenas se encontra tabelada a distribuição N(0,1), torna-se
necessário calcular a variável reduzida correspondente:
)1;0(
)1(
ˆN
n
pp
pp
ZÇ
-
-
=
Esta variável permitirá deduzir a fórmula geral do intervalo de confiança para a
proporção p de uma população binomial:






-
+
-
-
n
pp
cp
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ

(como estimativa de
)1(pp
- foi utilizado ))ˆ1(ˆpp-

Como é óbvio, pretende-se que o resultado possua o máximo de confiança
possível. No entanto, se uma maior confiança é pretendida na estimação, esta
conduz a possibilidades de erro maiores, dado que um elevado nível de
confiança conduz a um intervalo maior e, como tal, a precisão da estimação
diminui.

Exemplo:
Consideremos 3 afirmações de alunos que aguardam a saída das pautas de
um exame de Estatística:
Afirm. 1: “Tenho a sensação que as pautas serão afixadas durante a manhã”
Afirm. 2: “Tenho quase a certeza que as pautas serão afixadas entre as 10h e
as 11h
Afirm. 3: “Tenho a certeza absoluta que as pautas ou são afixadas às 10h30 ou
já não são afixadas hoje”

Estas 3 afirmações permitem constatar facilmente que se se pretende maior
confiança na estatística, se tem que permitir que a possibilidade de erro
aumente. Por outro lado, se se permitir que o erro diminua, os extremos do
intervalo aumentam, embora o resultado perca alguma precisão. No entanto,
há que ter em atenção que, se um intervalo de confiança tem uma amplitude
demasiado grande, a estimativa não tem utilidade. Cabe ao investigador gerir
este “trade-off”.

84. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 80
Isto leva a uma questão importante: o dimensionamento de amostras. Até aqui,
sempre se assumiu que as dimensões são conhecidas à partida, sem referir
como se determinam. No entanto, a resolução deste problema tem um enorme
interesse prático, já que (i) recolher e tratar uma amostra demasiado grande
para os resultados que se pretendem obter constitui um evidente desperdício
de recursos e (ii) recolher uma amostra cuja dimensão é insuficiente para
retirar conclusões constitui um erro.
A dimensão das amostras aumentará se se pretender garantir maior precisão
ao intervalo e/ou maior grau de confiança.


No capítulo dedicado a aplicações estatísticas, será possível ver como é
possível utilizar o conceito de intervalo de confiança ao controlo estatístico de
processos de qualidade.

85. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 81
INTERVALOS DE CONFIANÇA
Exercícios


Exercício 1

Suponha-se que se tem uma população normal com média m desconhecida e
desvio - padrão 3, N (
m, 9) e uma amostra de 121 observações. Deduza um
intervalo de confiança para a
m com 95% de confiança.

Resolução

Para os dados deste exercício, vem:
n=121
s=3
c:
96,1%95)(%95)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
e logo
[ ]535,0;535,0
11
396,1
;
11
396,1
;+-=






--=






+- XX
x
X
x
X
n
cX
n
cX
ss

O intervalo
[ ]535,0;535,0+-XX contém o verdadeiro valor do parâmetro m
com probabilidade ou confiança de 95%. Conhecida uma estimativa particular
daquele parâmetro, torna-se possível calcular entre que valores seria de
esperar que, com 95% de confiança, variasse m.

Exercício 2

Numa cidade pretende-se saber qual a proporção da população favorável a
certa modificação de trânsito. Faz-se um inquérito a 100 pessoas, e 70
declaram-se favoráveis.
Determine um intervalo de confiança a 95% para a proporção de habitantes
dessa cidade favoráveis à modificação de trânsito.

Resolução

n=100
pˆ= 7,0
100
70
=
c:
96,1%95)(%95)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
e logo

86. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 82
=




--=





-
+
-
-
100
3,07,0
96,17,0;
100
3,07,0
96,17,0
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ
xx
n
pp
cp
n
pp
cp
[ ]7898,0;6102,0=
O intervalo [ ]7898,0;6102,0 contém o verdadeiro valor do parâmetro p com
probabilidade ou confiança de 95%.
Ou seja, a proporção de habitantes favoráveis à modificação de trânsito está
situada entre 61,02% e 78,98%, com probabilidade de 95%.


Exercício 3

Uma máquina fabrica cabos cuja resistência à ruptura (em kg/cm2) é uma
variável com distribuição Normal de média 100 e desvio - padrão 30. Pretende-
se testar uma nova máquina que, segundo indicações do fabricante, produz
cabos com resistência média superior. Para isso, observam-se 100 cabos
fabricados pela nova máquina, que apresentam uma resistência média de 110
kg/cm2. Admita que o novo processo não altera o desvio padrão da resistência
à ruptura dos cabos.
a) Determine um intervalo de confiança a 95% para a resistência média à
ruptura dos cabos produzidos pela nova máquina.
b) Suponha que pretendíamos obter um intervalo de confiança com a
mesma amplitude do anterior, mas com nível de confiança de 99%.
Quantos cabos deveriam ser observados?

Resolução

a)
X segue N(100; 30
2
)
n=100
x=110 s=30 g=95%
c:
96,1%95)(%95)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
e logo
[ ] 88,115;12,104
10
3096,1
110;
10
3096,1
110;=






--=






+-
xx
n
cX
n
cXss

Estima-se, com 95% de confiança, que a resistência média à ruptura dos cabos
produzidos pela nova máquina se situa entre 104,12 kg/cm2 e 115,88 kg/cm2.

87. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 83
b) Amplitude = 115,88 – 104,12 = 11,76
Amplitude = Lim.Sup. - Lim.Inf. = (
n
cX
s
+ ) -(
n
cX
s
- ) =
n
c
s
2
Logo
n
c
s
2 =11,76
Sendo que

x=110 s=30
c: 576,2%99)(%99)( =Û=Û=££- ccDcZcP
vem que
n = 173 cabos


Exercício 4

Uma amostra de 20 cigarros é analisada para determinar o conteúdo de
nicotina, observando-se um valor médio de 1,2 mg. Sabendo que o desvio -
padrão do conteúdo de nicotina de um cigarro é 0,2 mg, diga, com 99% de
confiança, entre que valores se situa o teor médio de nicotina de um cigarro.

Resolução

X segue N( m; 0,2
2
)
n=20 x=1,2 s=0,2 g=99%
c:
576,2%99)(%99)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
e logo
[ ] 315,1;085,1
20
2,0576,2
2,1;
20
2,0576,2
2,1;=






--=






+-
xx
n
cX
n
cXss

Estima-se, com 99% de confiança, que o teor médio de nicotina de um cigarro
se situa entre 1,085 mg e 1,315 mg.


Exercício 5

Admita-se que a altura dos alunos de uma escola segue distribuição Normal
com variância conhecida e igual a 0,051. Admita-se ainda que foi recolhida
uma amostra aleatória com dimensão n=25 alunos e calculada a respectiva
média amostral, tendo-se obtido o valor de 1,70m. Defina um intervalo que,
com probabilidade 95%, contenha o valor esperado da altura
m.

88. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 84
Resolução
X segue N( m; 0,051)
n=25 x=1,70 s
2
=0,051 g=95%
c:
96,1%95)(%95)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
e logo
[ ] 788,1;611,1
25
051,096,1
2,1;
25
051,096,1
7,1;=








--=






+-
xx
n
cX
n
cXss

Estima-se, com 95% de confiança, que o teor médio de nicotina de um cigarro
se situa entre 1,085 mg e 1,315 mg.


Exercício 6

Numa fábrica, procura conhecer-se a incidência de defeituosos na produção de
uma máquina. Para tanto, colhe-se uma amostra de dimensão suficientemente
grande (1600 artigos), onde 10% dos artigos são defeituosos. Determine o
intervalo de confiança para a referida proporção com 90% de confiança.

Resolução

n=1600
pˆ=10%
c:
645,1%90)(%90)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
e logo
=




--=





-
+
-
-
1600
9,01,0
645,11,0;
1600
9,01,0
645,11,0
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ
xx
n
pp
cp
n
pp
cp
[ ]1123,0;0876,0=
Estima-se, com 90% de confiança, que a proporção de artigos defeituosos na
produção se situa entre 8,76% e 11,23%.


Exercício 7

O director fabril de uma empresa industrial que emprega 4000 operários emitiu
um novo conjunto de normas internas de segurança. Passada uma semana,
seleccionou aleatoriamente 300 operários e verificou que apenas 75 deles
conheciam suficientemente bem as normas em causa. Construa um intervalo

89. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 85
de confiança a 95% para a proporção de operários que conheciam
adequadamente o conjunto das normas uma semana após a sua emissão.

Resolução

n=300
pˆ= 25,0
300
75
=
c:
96,1%95)(%95)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
e logo
=




--=





-
+
-
-
300
75,025,0
96,125,0;
300
75,025,0
96,125,0
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ
xx
n
pp
cp
n
pp
cp
[ ]299,0;201,0=
Estima-se, com 95% de confiança, que a proporção de operários que
conheciam adequadamente o conjunto das normas se situa entre 20,1% e
29,9%.


Exercício 8

A Direcção de Marketing de uma empresa pretende conhecer a notoriedade da
marca de determinado produto. Nesse sentido, efectuou um inquérito junto de
1200 pessoas escolhidas aleatoriamente, verificando que 960 a conheciam.
a) Estime a proporção de pessoas conhecedoras da marca através de
um intervalo de confiança a 90%.
b) Se se pretender que a amplitude do intervalo de confiança da alínea
anterior não seja superior a 0,034, qual deve ser a dimensão mínima
da amostra?
c) Sabendo que o intervalo de confiança determinado pela Direcção de
Marketing foi [0,767; 0,833], calcule o nível de confiança utilizado

Resolução

a) n=1200
pˆ= 8,0
1200
960
=
c:
645,1%90)(%90)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
e logo

90. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 86
=




--=





-
+
-
-
1200
2,08,0
645,18,0;
1200
2,08,0
645,18,0
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ
xx
n
pp
cp
n
pp
cp
[ ]819,0;781,0=
Estima-se, com 90% de confiança, que a proporção de indivíduos
conhecedores da marca se situa entre 78,1% e 81,9%.

b) Amp.=Lim.Sup.-Lim.Inf. = (
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ
-
+
) – (
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ
-
-
) =
n
pp
c
)ˆ1(ˆ
2
-

Logo
1499034,0
2,0*8,0
*645,1*2
)ˆ1(ˆ
2³Û£=
-n
nn
pp
c

c)
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ
-
+
= 0,833
Logo 86,2833,0
1200
2,0*8,0
8,0=Û=+cc
E D(2,86) na tabela N(0,1) vem igual a 99,6%, a que corresponde o nível de
confiança utilizado

Exercício 9

O gabinete de projectos de uma empresa de material de construção civil
pretende estimar a tensão de ruptura do material usado num determinado tipo
de tubos.
Com base num vasto conjunto de ensaios realizados no passado, estima-se
que o desvio - padrão da tensão de ruptura do material em causa é de 70 psi.
Deseja-se definir um intervalo de confiança a 99% para o valor esperado da
tensão de ruptura, pretendendo-se que a sua amplitude não exceda 60 psi.
Qual o número de ensaios necessário para definir tal intervalo?

Resolução

n=? s=70 g=99%
c:
576,2%99)(%99)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
Amplitude =
n
c
s
2 Logo 3660
70
*576,2*2602³Û£Û£n
nn
c
s

91. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 87
Exercício 10
A empresa SCB controla regularmente a resistência à ruptura dos cabos por si
produzidos. Recentemente, foram analisadas as tensões de ruptura de 10
cabos SCB-33R, seleccionados aleatoriamente a partir de um lote de grandes
dimensões, tendo sido obtida uma média de 4537 kg/cm2. Existe uma norma
de 112 kg/cm2 em relação à variância, que é respeitada. O director comercial
pretende saber qual o intervalo de confiança, a 95%, para o valor esperado da
tensão de ruptura dos cabos do lote em causa. Defina esse intervalo.

Resolução

X segue N( m; 112)
n=10 x=4537 s=10,58 g=95%
c:
96,1%95)(%95)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
e logo
[ ] 5,4543;5,4530
10
58,1096,1
4537;
10
58,1096,1
4537;=






--=






+-
xx
n
cX
n
cXss

Estima-se, com 95% de confiança, que o tensão média de ruptura dos cabos
se situa entre 4530,5 kg/cm2 e 4543,5 kg/cm2.


Exercício 11

Uma amostra de 50 capacetes de protecção, usados por trabalhadores de uma
empresa de construção civil, foram seleccionados aleatoriamente e sujeitos a
um teste de impacto, e em 18 foram observados alguns danos.
Construa um intervalo de confiança, a 95%, para a verdadeira proporção p de
capacetes que sofre danos com este teste. Interprete o resultado obtido.

Resolução

a) n=50
pˆ= 36,0
50
18
=
c:
96,1%95)(%95)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
e logo

92. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 88
=




--=





-
+
-
-
50
64,036,0
96,136,0;
50
64,036,0
96,136,0
)ˆ1(ˆ
ˆ;
)ˆ1(ˆ
ˆ
xx
n
pp
cp
n
pp
cp
[ ]49305,0;22695,0=
Estima-se, com 95% de confiança, que a proporção de capacetes que sofre
danos se situa entre 22,7% e 49,3%.


Exercício 12

Qual deve ser o número de habitantes da cidade do Porto a seleccionar
aleatoriamente para estudar a proporção de portuenses que usam óculos, de
modo a garantir que um intervalo de confiança a 95% para essa proporção
tenha uma amplitude não superior a 8 pontos percentuais?

Resolução

n = ?
Amp.= (
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ
-
+
) – (
n
pp
cp
)ˆ1(ˆ
ˆ
-
-
) =
n
pp
c
)ˆ1(ˆ
2
-
< 0,08
c:
96,1%95)(%95)(
=Û=Û=££- ccDcZcP
Considerando que a proporção amostral é a que maximiza a amplitude (pior
dos casos), isto é, que a proporção amostral é 50% (
0ˆ21)'ˆ1(ˆ=-=-ppp), vem
que:
60008,0
5,0*5,0
*96,1*2
)ˆ1(ˆ
2>Û<=
-n
nn
pp
c

93. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 89
3.5. Testes de hipóteses

Todos os dias temos de tomar decisões respeitantes a determinadas
populações, com base em amostras das mesmas (decisões estatísticas). Nesta
tomada de decisões, é útil formular hipóteses sobre as populações, hipóteses
essas que podem ou não ser verdadeiras. A essas hipóteses chamamos
hipóteses estatísticas, as quais geralmente se baseiam em afirmações sobre
as distribuições de probabilidade das populações ou sobre alguns dos seus
parâmetros. Uma hipótese pode então ser definida como uma conjectura
acerca de uma ou mais populações.
Desta forma, os testes de hipóteses podem considerar-se uma segunda
vertente da inferência estatística, tendo por objectivo verificar, a partir de dados
observados numa amostra, a validade de certas hipóteses relativas à
população. O resultado do teste corresponde inevitavelmente a uma das duas
respostas possíveis para cada questão: afirmativa ou negativa. Em ambos os
casos corre-se o risco de errar. Uma das características do teste de hipóteses
é, justamente, a de permitir controlar ou minimizar tal risco.
Nos testes de hipóteses, e ao contrário dos intervalos de confiança, em vez de
procurar uma estimativa ou um intervalo para um parâmetro, admite-se ou
avança-se um valor hipotético para o mesmo, utilizando depois a informação da
amostra para confirmar ou rejeitar esse mesmo valor. A hipótese a testar
denomina-se, pois, de H
0 ou de hipótese nula. O objectivo é verificar se os
factos observados a contradizem, levando a optar pela hipótese alternativa H
1.
Isto é, a estratégia básica seguida no método de teste de hipóteses consiste
em tentar suportar a validade H
1 de uma vez provada a inverosimilhança de H 0.

Exemplo:
Registos efectuados durante vários anos permitiram estabelecer que o nível de
chuvas numa determinada região, em milímetros por ano, segue uma lei
normal N(600;100). Certos cientistas afirmavam poder fazer aumentar o nível
médio mmmm das chuvas em 50 mm. O seu processo foi posto à prova e anotaram-
se os valores referentes a 9 anos:
510 614 780 512 501 534 603 788 650
Que se pode concluir? Adopte um nível de significância de 5%.

94. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 90
Resolução:
Duas hipóteses se colocavam: ou o processo proposto pelos cientistas não
produzia qualquer efeito, ou este aumentava de facto o nível médio das chuvas
em 50 mm. Estas hipóteses podem formalizar-se do modo seguinte:
H0: m=600 mm
H1: m=650 mm

Este é um problema clássico de teste de hipóteses, em que está em causa
aceitar ou rejeitar a hipótese nula, em função dos resultados de uma amostra.
Ao utilizar uma amostra de uma população, estamos a lidar com leis de
probabilidades, logo não é possível de saber se a hipótese nula é verdadeira
ou falsa, mas apenas medir as probabilidades envolvidas na tomada de
decisão.

Podem-se definir 2 formas de especificar H
o e H 1:
(i) hipótese simples contra hipótese simples
H
o: q = q0
H
1: q = q1
(ii) hipótese simples contra hipótese composta
H
o: q = q0
H
1: q > q0 ou q < q0 ou q
¹ q0
Estes testes designam-se respectivamente de teste unilateral à
direita, teste unilateral à esquerda e teste bilateral

Sendo os testes de hipóteses, portanto, um processo de inferência estatística
onde se procuram tomar decisões sobre a população com base numa amostra,
é natural que envolvam alguma margem de erro e que ocorram em situação de
incerteza. Estes erros não podem ser completamente evitados mas, no
entanto, pode-se manter pequena a probabilidade de os cometer. Compete ao
investigador decidir qual a dose de risco de se enganar em que está disposto a
incorrer. Vamos supor uma probabilidade de erro de, por exemplo, 5%. Nesse
caso, e avançada a hipótese nula H
o, o investigador só estaria disposto a
rejeitá-la se o resultado obtido na amostra fizesse parte de um conjunto de
resultados improváveis que teriam apenas, por exemplo, 5 chances em 100 de

95. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 91
se produzir. Este tipo de formulação é conhecida como postura conservadora.
Ou seja, estamos mais propensos a achar que o novo processo não tem
qualquer efeito sobre o nível das chuvas (isto é, que tudo se mantém igual) do
que investir no novo processo (mudar), arriscando apenas quando houver
evidências da amostra muito fortes a favor do novo. Para que esta decisão
possa ser tomada de uma forma controlada, é conveniente pois que, à partida,
se fixe o valor a partir do qual se considera improvável a validade da hipótese
nula. Tal fixação corresponde à fixação da regra de decisão do teste.

A formalização desta regra passa pela especificação de uma região de região
de rejeição. A essa região, isto é, ao conjunto de valores “improváveis” que
conduzem à rejeição da hipótese nula dá-se o nome de
Região Crítica . Ao
limite superior de risco, que na maior parte dos casos é de 10%, 5% ou 1%, dá-
se o nome de
Nível de Significância do teste, sendo este que permite definir a
condição de rejeição de H
o. O Nível de Significância designa-se de a e
corresponde, então, à probabilidade de o resultado amostral levar à rejeição de
H
o, supondo H o verdadeira, isto é, à probabilidade de se estar a cometer aquilo
a que se convenciona chamar de erro de 1ª espécie.
Como veremos no exemplo, existem também erros de 2 espécie, cuja
probabilidade se designa pela letra
b. Em resumo:

Quadro de decisão em condição de incerteza

Hipótese nula H
o

Decisão Hipótese H o ser verdadeira:

Hipótese H o ser falsa
Aceitar H o

Decisão correcta (1- a) Erro de tipo II
Beta ( b)
Rejeitar H o

Erro de tipo I
Alfa (a)
Decisão correcta (1-
b)


Como decidir? Visto que se trata de testar o valor de
m, a variável de decisão
será X. Considerando H o verdadeira vem que
)
9
100
;600(NXÇ .

96. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 92
Em princípio, grandes valores de X são improváveis, pelo que se opta pela
seguinte regra de decisão:
Se X fôr demasiado grande, isto é, superior a um valor crítico c que tem
apenas 5 chances em 100 de ser ultrapassado, opta-se por H 1 com
probabilidade 5% de se estar a cometer um erro. Se tal não acontecer,
conserva-se H o, por falta de provas suficientes para não o fazer.

Logo, sendo
P(Rejeitar Ho / Ho) = a = 5%, vem que
Û=
-
>
-
Û==> 05,0)
9
100
600
(05,0)600/(
c
n
X
PcXP
s
m
m

)3(83,654
3
100
645,1600 =+=Û xc


A regra de decisão é, então, a seguinte:
- rejeitar H 0 em favor de H 1, se o valor amostral fôr superior a 654,83(3)
- conservar H 0 em detrimento de H 1 se fôr inferior a 654,83(3)

Isto é, a Região Crítica deste teste, isto é, o conjunto de acontecimentos que
levam à rejeição de H 0 corresponde a todos os valores de X>654,83(3).











Os dados recolhidos indicavam X=610,2 mm, pelo que a decisão é conservar
H0 , isto é, considerar que o processo científico não produz efeitos.


RR: Região
Crítica ou de
Rejeição
RA: Região
de Aceitação

Xmmmm = 600
RA=(1-aaaa)
RR=aaaa
654,83(3)

97. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 93
No entanto, os erros incorridos não se ficam apenas pelos de 1 espécie.
Existem também erros de 2ª espécie . Isto é, à partida parte-se do princípio
que H 0 é verdadeira e só se rejeitará essa hipótese se ocorrerem
acontecimentos pouco prováveis.
No entanto, é possível alternativamente partir do princípio que é H 1 que é
verdadeira, ou seja, considerar que o processo científico é realmente eficaz no
aumento do nível médio das chuvas, mas que, infelizmente, o número de
valores observado não permite observar resultados ou esses resultados foram
insuficientes.
Supondo então que H 1 é verdadeira ( m=650 mm), então vem que:
)
9
100
;650(NXÇ












A probabilidade de rejeitar H 1 erradamente, isto é, de se cometer um erro de 2
espécie, vem então igual a:
P(Rejeitar H 1 / H1)=b
%57,55)14,0)1,0(()
9
100
650)3(83,654
()650/)3(83,654(=£=
-
£
-
==£NP
n
X
PXP
s
m
m



É através das probabilidades
a e b que se procura o melhor teste de hipóteses,
sendo o teste ideal o que minimiza simultaneamente ambos os valores. No
entanto, e como
a e b se referem a realidades opostas e variam em sentido
contrário, tal não é possível. O que na maior parte dos casos se faz é fixar o
a
(para amostras de dimensão n) e tentar minimizar
b.
1-bbbb
RR
bbbb
RA
mmmm = 650 X

98. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 94
Região de rejeição e de aceitação da hipótese nula

Unilateral Bilateral Unilateral
à esquerda à direita
H
1: mmmm < 600 H 1: mmmm ¹ 600 H 1: mmmm > 600




Chama-se potência de um teste à probabilidade de rejeitar H 0 quando esta é
falsa. Esta é uma decisão certa, não implica erro, e é complementar do erro de
2 espécie. Logo, quanto menor o erro de 2 espécie, maior será o valor da
potência do teste e, logo, maior a sua qualidade (diz-se que o teste é mais
potente) . Quando H
1 é uma hipótese composta (>, < ou
¹), a potência do teste
é variável, dependendo do valor do parâmetro que não é fixo. Nesse caso fala-
se em função potência do teste = 1 -
b (m1)


Resumindo:
passos para construção de um teste de hipóteses :

Passo N
o
1: Formular as hipóteses nula e alternativa
Passo N
o
2: Decidir qual estatística (estimador) será usada para julgar a H o e a
variável de decisão
Passo N
o
3: Definir a forma da Região Crítica, em função da hipótese H 1
Passo Në 4: Fixar o nível de significância
Passo Në 5: Construir a Região Crítica em função do nível de significância
Passo Në 6: Cálculo (eventual) da potência do teste
Passo Në 7: Calcular a estatística da amostra
Passo N
o
8: Tomar a decisão: rejeição ou não de H o





RA RA

RA
RR
aaaa
RR
aaaa/2
RR
aaaa
RR
aaaa/2
1-a1-a1-a1-a 1-a1-a1-a1-a 1-a1-a1-a1-a

99. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 95
TESTES DE HIPÓTESES
Exercícios


Exercício 1

Suponha que o director de qualidade pretende averiguar se o peso dos pacotes
de arroz produzidos corresponde ao valor assinalado na embalagem. Seja X a
variável que representa o peso de um pacote de arroz. Suponha que
)01,0;(
2
mNXÇ e que se conhece a seguinte amostra:
1,02 0,98 0,97 1,01 0,97 1,02 0,99 0,98 1,00

Será que, para um nível de significância de 5% se pode dizer que o peso médio
corresponde ao peso de 1 kg assinalado na embalagem?

Resolução

Passo 1
Formular as hipóteses:
H
o: mmmm = 1
H
1: mmmm < 1

Passo 2
A estatística a ser utilizada será a média amostral
Passo 3
A região crítica é formada por todos os valores menores ou iguais a c
Passo 4
Assumir um nível de significância de 5%
Passo 5
Para
a=5%, determinar a região de rejeição e aceitação. Logo, sendo
P(Rejeitar Ho / Ho) =
a = 5%, vem que
Û=
-
<
-
Û==< 05,0)
9
01,0
1
(05,0)1/(
c
n
X
PcXP
s
m
m

9945,0
3
01,0
645,11 =-=Û xc

Logo,
] ]9945,0;¥-=RC

100. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 96
Passo 6
Calcular a estatística ==9933,0
9
1
i
xX

Passo 7
Tomar a decisão
Como o valor da amostra foi 0,9933 e é menor que o valor crítico 0,9945,
rejeita-se H
o
Ou seja, considera-se que o arroz contido em cada pacote era inferior ao
indicado. No entanto, há o risco de se mandar parar a produção para revisão
do equipamento sem necessidade. Reduzindo a probabilidade de isso ocorrer
de 5% para 1%, vem:

-
¥ 0 + ¥
0,9922 0.9945

Valor da amostra: 0,9933

A única mudança será no Valor Crítico, que de 0,9945 para 0,9922. Neste
caso, aceitaremos H
o, ou seja, consideraremos que não há qualquer anomalia
na produção.

Exercício 2

Numa cidade, pretende-se saber se metade da população é favorável à
construção de um centro comercial. Faz-se um inquérito a 200 pessoas, e 45%
declaram-se favoráveis. Estes valores contradizem a hipótese?

Resolução

Passo 1
Formular as hipóteses:
H
o: p = 0,5
H
1: p < 0,5
a=1% a=5%
RA: Continuar a
produção

RR: Parar a
produção

101. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 97
Passo 2
A estatística a ser utilizada será a proporção amostral, onde o cuidado deve ser
trabalhar com grandes amostras.
Passo 3
A região crítica é formada por todos os valores menores ou iguais a c
Passo 4
Assumir um nível de significância de 5%
Passo 5
Para
a=5%, determinar a região de rejeição e aceitação.
Logo, sendo
P(Rejeitar Ho / Ho) =
a = 5%, vem que
Û=
-
-
<
-
-
Û==< 05,0)
200
)5,01(5,0
5,0
)1(
ˆ
(05,0)5,0/ˆ(
c
n
pp
pp
PpcpP
442,0
200
)5,01(5,0
645,15,0 =
-
-=Û xc Logo, ] ]442,0;¥-=RC

Passo 6
pˆ=0,45
Passo 7
Como o valor amostral 0,45 é maior que o valor crítico 0,442, não se rejeita H
o
-¥ 0 + ¥
Valor amostral: 0,45
0,442

Ou seja, apesar de apenas 45% dos habitantes se terem manifestado a favor
da construção do centro comercial, essa margem não é suficiente para decidir
deixar de o construir.

RR: Não
construir o
centro comercial
a=5%
RA: Decidir pela
construção

RR: Parar a
construção

102. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 98
Exercício 3
O peso dos pacotes de farinha de 1 kg, produzidos por uma fábrica, é uma
variável normalmente distribuída, com desvio padrão 0,01. Da produção de
determinado dia é retirada uma amostra de 49 pacotes, com peso médio de
0,998 Kg.
Pode-se afirmar, a um nível de significância de 1%, que o peso médio dos
pacotes de farinha nesse dia não está de acordo com o peso indicado?

Resolução

X segue N( m; 0,01
2
)
n = 49
x = 0,998
a = 1%
H
0: m = 1
H
1: m < 1
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) =
a = 1%
997,0326,2
49
01,0
1
01,0)
49
01,0
1
(01,0)1/(=Û-=
-
Û=
-
£
-
Û==£c
cc
n
X
PcXP
s
m
m

Como
x = 0,998 > c = 0,997, não pertence à região crítica, logo não se rejeita
Ho a um nível de significância de 1% (não se pode afirmar que o peso médio
não esteja de acordo com o indicado).


Exercício 4

Numa região onde existem entre os maiores de 18 anos 50% de fumadores, é
lançada uma intensa campanha anti-tabaco.
Ao fim de três meses, realiza-se um mini-inquérito junto de 100 cidadãos com
mais de 18 anos, registando-se 45 fumadores.
a) Com 1% de significância, pode concluir-se que a campanha surtiu
efeito?
b) Em caso negativo, qual seria a dimensão da amostra a partir da qual
aquela percentagem permitiria afirmar que a cmapnha atingiu o fim em
vista?

103. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 99
Resolução
a) n = 100
pˆ= 0,45
a = 1%
H
0: p = 0,5 (a campanha não surtiu efeito)
H
1: p < 0,5 (a campanha surtiu efeito)
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) =
a = 1%
384,0326,2
100
5,0*5,0
5,0
01,0)
100
5,0*5,0
5,0
)1(
ˆ
(01,0)5,0/(=Û-=
-
Û=
-
£
-
-
Û==£ c
cc
n
pp
pp
PpcXP

Como
p
ˆ= 0,45 > c = 0,384, não pertence à região crítica, logo não se rejeita
Ho a um nível de significância de 1% (a campanha não surtiu efeito).


b)
Û=
-
£
-
-
Û==£ 01,0)
5,0*5,0
5,045,0
)1(
ˆ
(01,0)5,0/45,0(
nn
pp
pp
PpXP
Û 541326,2
5,0*5,0
5,045,0=Û-= -
n
n

Exercício 5

Um fabricante afirma que o tempo médio de vida de um certo tipo de bateria é
de 240 horas, com desvio-padrão de 20 horas. Uma amostra de 18 baterias
forneceu os seguintes valores:
237 242 232
242 248 230
244 243 254
262 234 220
225 236 232
218 228 240

Supondo que o tempo de vida das baterias se distribui normalmente, poder-se-á
concluir, a 5% de significância, que as especificações não estão a ser cumpridas?

104. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 100
Resolução
X segue N( m; 20
2
)
n = 18
x = = 05,237
18
1
i
x
a = 5%
H
0: m = 240
H
1: m < 240
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) =
a = 1%
25,232645,1
18
20
240
05,0)
18
20
240
(05,0)240/(=Û-=
-
Û=
-
£
-
Û==£c
cc
n
X
PcXP
s
m
m

Como
x = 237,05 > c = 232,25, não pertence à região crítica, logo não se
rejeita Ho a um nível de significância de 1% (não se pode afirmar que as
especificações não estão a ser cumpridas).


Exercício 6

Uma empresa de cerâmica tem, em dada secção, fornos controlados por
termóstatos para manter a temperatura no interior dos fornos a 600 graus
centígrados. A experiência tem demonstrado que a variância dos valores da
temperatura no interior desses fornos é de 360.
A empresa fornecedora dos fornos comercializa agora um novo tipo de
controlador, que é anunciado como garantindo que as temperaturas se mantêm
dentro do limite desejado. Foram registadas 5 medidas de temperatura de
fornos regulados para 600ë, utilizando novos controladores:
620ë 595ë 585ë 602ë 608ë
Para 5% de significância, poder-se-á concluir que a temperatura não se afasta
significativamente do valor desejado?

Resolução

X segue N( m;360)
n = 5

105. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 101
x = =602
5
1
i
x
a = 5%
H
0: m = 600
H
1: m > 600
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) =
a = 5%
96,613645,1
5
97,18
600
95,0)
5
360
600
(05,0)600/(=Û=
-
Û=
-
£
-
Û==³c
cc
n
X
PcXP
s
m
m

Como
x = 602 < c = 613,96, não pertence à região crítica, logo não se rejeita
Ho a um nível de significância de 1% (a temperatura não se afasta
significativamente do valor desejado).


Exercício 7

O peso dos ovos de chocolate produzidos numa fábrica segue distribuição
normal com variância 90,25.
a) O fabricante diz que o peso médio é de 160 g. Foi recolhida uma
amostra de 100 ovos, cujo peso médio foi de 158, 437 g. Teste, a um
nível de significância de 1%, se a afirmação do fabricante pode ser
considerada verdadeira, ou se, pelo contrário, o verdadeiro peso dos
ovos será menor.
b) Qual o nível de significância a partir do qual a conclusão seria diferente?

Resolução

a) X segue N( m; 90,25)
n = 100
x = 158,437
a = 1%
H
0: m = 160
H
1: m < 160
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) =
a = 1%

106. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 102
79,157326,2
100
5,9
1
01,0)
100
25,90
160
(01,0)160/(=Û-=
-
Û=
-
£
-
Û==£c
cc
n
X
PcXP
s
m
m

Como
x = 158,437 > c = 157,79, não pertence à região crítica, logo não se
rejeita Ho a um nível de significância de 1% (a afirmação do fabricante pode
ser considerada verdadeira).

b)
%5)645,1()
100
25,90
160437,158
()160/437,158( =Û=-Û=
-
£
-
Û==£aaa
s
m
amF
n
X
PXP


Exercício 8

Um jornal semanário afirma ter atingido, numa região, a percentagem, até
então nunca atingida por qualquer semanário, de 60% de leitores que
regularmente compram um jornal desse tipo.
Efectuando um inquérito junto de 600 leitores, 55% declararam adquirir, por
hábito, o semanário em causa.
Adoptando um nível de significância de 1%, pronuncie-se quanto à projecção
que o semanário reclama.

Resolução

n = 600 pˆ= 0,55 a = 1%
H
0: p = 0,6
H
1: p < 0,6
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) =
a = 1%
5535,0326,2
600
4,0*6,0
6,0
01,0)
600
4,0*6,0
6,0
)1(
ˆ
(01,0)6,0/(=Û-=
-
Û=
-
£
-
-
Û==£ c
cc
n
pp
pp
PpcXP

Como
p
ˆ= 0,55 < c = 0,5535, pertence à região crítica, logo rejeita-se Ho a um
nível de significância de 1% (o semanário não atingiu a projecção que
reclama).

107. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 103
Exercício 9
Um molde de injecção tem produzido peças de um determinado material
isolante térmico com uma resistência à compressão com valor esperado de
5,18 kg/cm
2
e variância 0,0625 (kg/cm
2
)
2
. As últimas 12 peças produzidas
nesse molde foram recolhidas e ensaiadas, tendo-se obtido para a resistência
média à compressão o valor de 4,95 kg/cm
2
.
a) Poder-se-á afirmar, a um nível de significância de 5%, que as peças
produzidas recentemente são menos resistentes do que o habitual?
b) Qual a potência do teste efectuado anteriormente, admitindo que o valor
esperado da resistência à compressão das peças produzidas
recentemente é de 4,90 kg/cm
2
?

Resolução

a) X segue N( m; 0,0625)
n = 12
x = 4,95
a = 5%
H
0: m = 5,18
H
1: m < 5,18
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) =
a = 5%
061,5645,1
12
25,0
18,5
05,0)
12
0625,0
18,5
(05,0)18,5/(=Û-=
-
Û=
-
£
-
Û==£c
cc
n
X
PcXP
s
m
m

Como
x = 5,18 > c = 5,061, não pertence à região crítica, logo não se rejeita
Ho a um nível de significância de 1% (as peças produzidas recentemente não
são menos resistentes do que o habitual).

b) Potência = 1-
b
b = (Conservar Ho/H1 verdadeira)
%6,495040,01)01,0(1)
12
0625,0
9,4061,5
()9,4/061,5( =-=-=
-
>
-
==> F
n
X
PXP
s
m
m

108. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 104
Exercício 10
Um jornal desportivo noticiou que o número de espectadores de um programa
desportivo que é apresentado na televisão aos domingos à noite está
igualmente dividido entre homens e mulheres.
De uma amostra aleatória de 400 pessoas que vêem regularmente o referido
programa, concluiu-se que 240 são homens.
Pode-se concluir, para um nível de significância de 10%, que a notícia é falsa?

Resolução

n = 400 pˆ= 0,6 a = 10%
H
0: p = 0,5
H
1: p > 0,5
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) =
a = 10%
53205,0282,1
400
5,0*5,0
5,0
9,0)
400
5,0*5,0
5,0
)1(
ˆ
(1,0)5,0/(=Û=
-
Û=
-
£
-
-
Û==³ c
cc
n
pp
pp
PpcXP

Como
p
ˆ= 0,6 > c = 0,53205, pertence à região crítica, logo rejeita-se Ho a um
nível de significância de 1% (a notícia é falsa).

109. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 105

3.6. Aplicações estatísticas
Fiabilidade de componentes e sistemas


3.6.1 Conceito de fiabilidade

Define-se fiabilidade como sendo a probabilidade de um sistema (ou
componente) desempenhar a função para a qual foi concebido, nas condições
previstas e nos intervalos de tempo em que tal é exigido.
A análise da fiabilidade será, então, um método de quantificar o que se espera
que aconteça e pode ser usada para indicar méritos relativos de sistemas,
tendo em atenção um pré-definido nível de fiabilidade.
A fiabilidade de um componente pode ser obtida a partir da sua taxa de
avarias. Se um sistema fôr constituído por vários componentes, então a
fiabilidade será dependente da fiabilidade dos componentes que compõem
esse mesmo sistema.
É necessário, quando se apresentam os resultados de um estudo de fiabilidade
saber expô-los, pois os interpretadores poderão não ter a noção daquilo que se
está a querer transmitir. Assim, dizer que a fiabilidade de um sistema ou
componente é de 0,998 pode não significar muito; no entanto, se tal facto fôr
traduzido em que, por ano, o sistema em questão estará fora de serviço por
avaria num período de 9 horas já significa alguma coisa.

Como o estudo da fiabilidade se trata de um estudo extremamente importante,
pois que muitas vezes estão em jogo vidas humanas, é importante desenvolver
um estudo de probabilidade relativo ao funcionamento adequado de um
componente ou sistema.




3.6.2 Fiabilidade de um sistema

Ao analisar a fiabilidade de um sistema constituído por vários componentes, é
necessário estudar a fiabilidade desses componentes e a forma como estão
ligados (estrutura do sistema e definição do funcionamento do sistema). De
seguida, são apresentados 3 casos: (i) as associações de componentes em

110. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 106
paralelo; (ii) a associação de n unidades idênticas em paralelo em que é
apenas necessário o funcionamento de m (m<=n) para o sistema funcionar; (iii)
e as associações em série.


(i) Associação em paralelo
Consideremos vários componentes redundantes e independentes:













Uma vez que os componentes são redundantes, basta apenas um para que o
sistema funcione. Considerando um sistema composto por apenas 2
componentes, se cada um dos componentes estiver no seu período de vida útil,
a fiabilidade do sistema (R
s) é dada por:

R
s = P (funcionar pelo menos um componente)
= P (funcionarem 1 ou 2 componentes)
= 1 – P (não funcionar nenhum)
= 1 – P (não funcionar comp.1 e não funcionar comp.2)
= 1 - P (não funcionar comp.1) x P(não funcionar comp.2)
pois o funcionamento é independente
= 1 – q
1 x q2

onde q 1 e q 2 são, respectivamente as indisponibilidades (isto é, as
probabilidades de não funcionamento) das componentes 1 e 2. Se houver n
componentes ligadas em paralelo, a fiabilidade do sistema é dada por
R
s = 1 - q 1 x q2 x q3 x … x q n = 1 -
Õ
i
i
q
1
2
3
4

111. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 107
Veja-se que, no caso de sistemas redundantes, a fiabilidade do sistema
aumenta à medida que aumenta o número de componentes ligadas ao sistema
(que representam como garantias de funcionamento adicionais).


(ii) Associação em paralelo de componentes não redundantes
Se o sistema não fôr redundante, as condições de funcionamento e de avaria
para o sistema têm de ser definidos, isto é, é necessário saber qual o número
mínimo de componentes que necessitam de estar em funcionamento para que
o sistema sobreviva.
Para o efeito, vai considerar-se de novo um sistema composto por quatro
componentes em paralelo. Se as componentes forem todas iguais, com
probabilidade de funcionamento
p e de indisponibilidade q, a probabilidade
associada a cada um dos estados possíveis (1, 2, 3 ou 4 componentes, no
mínimo, a funcionar), a fiabilidade do sistema é dada pelo quadro seguinte:

Në mínimo de componentes
necessárias ao funcionamento do
sistema
Probabilidade de o sistema funcionar
4 p
4
3 p
4
+ 4p
3
q
2 p
4
+ 4p
3
q + 6p
2
q
2

1 p
4
+ 4p
3
q + 6p
2
q
2
+ 4pq
3


Ou seja, a fiabilidade do sistema funcionar pode ser calculada recorrendo à lei
binomial. Assim, por exemplo, para um në mínimo de 3 componentes
necessárias, vem:
R
s = P(pelo menos 3 componentes a funcionar)
= P(funcionarem as 4) + P (funcionarem 3)
=
3434
3
4444
4
--
+ qpCqpC
=
qpp
34
4+

Por exemplo, se todos os componentes tivessem fiabilidade 0,9 (p=0.9), então
a fiabilidade de um sistema deste tipo seria 94,77%.

112. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 108
(iii) Associação em série
Quando os componentes se encontram associados em série, para que o
sistema funcione torna-se necessário que todos os componentes se encontrem
em bom estado de funcionamento.





No caso mais vulgar de os componentes serem independentes, a fiabilidade do
sistema é dada por
R
s = p1 x p2 x p3 x ... x p n

No caso de todas as componentes serem iguais
R
s = p
n

Facilmente se depreende que a fiabilidade do sistema diminui à medida que
aumenta o número de componentes ligadas em série.
A distribuição exponencial é a mais usada em estudos de fiabilidade, já que a
probabilidade de um componente sobreviver até ao instante t é dada por
t
e
l-

A probabilidade de avariar até ao instante t é dada por
t
e
l-
-1

Num sistema com várias componentes em série, em que o componente se
encontra a funcionar no seu período de vida útil, a fiabilidade do sistema é
dada por

=
=
-
n
i
i
t
s
eR
1
l



(iv) Outros sistemas
Quando a estrutura do sistema não puder ser enquadrada em nenhuma das
anteriores, terão que ser analisadas técnicas mais gerais, tais como a
árvore
de avarias
. O método consiste basicamente em identificar todos os modos
possíveis de avaria e controlá-los. Assim, supondo que se pretende analisar a
fiabilidade da iluminação de uma sala com uma lâmpada.
1 2 3

113. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 109
Se o objectivo fôr calcular a probabilidade de falta de energia (acontecimento
secundário) vem
P (avaria) = P (A
È B) = P (A) + P(B) + P(A)xP(B)

Para o acontecimento prioritário (sala às escuras) vem:
P(sala às escuras) = P(falta de energia
È lâmpada estragada)
Esta metodologia pode ser aplicada a estudos de fiabilidade de sistemas de
protecção e esquemas de comando (fiabilidade de mísseis e reactores
nucleares, por exemplo).

















Sala às
escuras
Falta de
energia
Lâmpada
estragada
Avaria na
rede
Actuação da
protecção

114. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 110

3.7. Aplicações estatísticas
Controlo Estatístico de Qualidade


É do conhecimento geral que nenhum processo de produção executa dois
produtos iguais. Os processos industriais são caracterizados por produzirem
peças cujas características variam dentro de certos valores toleráveis. As
variações são inevitáveis, podendo ser grandes, pequenas, muito ou pouco
dispersas. O conhecimento do tipo, da extensão e da evolução dessas
variações é extremamente importante para podermos garantir que nos é
possível produzir produtos que vão cumprir as especificações, para eles
definidas, a um nível aceitável.

Os testes descritos anteriormente referiam-se em situações em que o estudo
não era cronológico. É simples imaginar situações onde, pelo contrário, o
processo a analisar deva ser monitorado ao longo do tempo. Situações deste
tipo ocorrem em linhas de fabrico de produtos, estudos de conservação de
materiais e máquinas, qualidade de serviços. Duma forma geral, entende-se
por controle de qualidade a monitorização de um processo, cujos resultados de
natureza quantitativa se devem encontrar dentro de determinados limites. Um
processo está sob controle se os resultados estão em conformidade com os
limites impostos; caso contrário, o processo deve ser investigado para que
sejam detectadas as causas do desvio. A "qualidade" pode referir-se a um
valor fixo, que constitui o objectivo desejado (por exemplo, a conformidade da
média relativamente a "limites normais"). A avaliação do processo implica, que
em certos intervalos de tempo se proceda a uma amostragem.
O controlo estatístico de qualidade permite uma intervenção nos processos, no
sentido de se ajustarem e corrigirem os processos, antes de qualquer alteração
não natural passar a fazer efeito de forma contínua. As cartas de controlo são
um instrumento poderoso que permite identificar as causas de variação não
natural nos processos.

Ao definir uma carta de controle para a média, é necessário começar por definir
a norma para
m (m0) e 2 níveis de controle: os de vigilância “garantida” (limites

115. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 111
inferior e superior de vigilância: LIV e LSV) e os de controle (limites inferior e
superior de controle: LIC e LSC). Se a média amostral cair fora da área de
tolerância definida pelos LIC e LSC, é por que há alguma anomalia e deve
haver paragem da produção.
Supõe-se que a variável em estudo segue Distribuição Normal, sendo os LIC e
LSC calculados da seguinte forma:


LIC / LSC = m
0 +/-
n
cs

(metodologia baseada na estimação por intervalos estudada atrás)



Ao definir uma carta de controle para a proporção, por exemplo, de
defeituosos, é necessário começar por definir a norma para p (p
0) e 2 níveis de
controle: os de vigilância “garantida” (limites inferior e superior de vigilância: LIV
e LSV) e os de controle (limites inferior e superior de controle: LIC e LSC). Se
a proporção amostral cair fora da área de tolerância definida pelos LIC e LSC,
é por que há alguma anomalia e deve haver paragem da produção.
Os LIC e LSC calculados da seguinte forma:

116. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 112
LIC / LSC = p 0 +/-
n
pp )ˆ1(ˆ
-

(metodologia baseada na estimação por intervalos estudada atrás)
As cartas de controlo são instrumentos fáceis e simples de aplicar pelos
executantes, no sentido de se obter o controlo contínuo do processo. Podem
ser traçadas nos próprios locais de trabalho, dando informações preciosas
sobre os momentos em que são necessárias acções correctivas.
Desde que o processo esteja sob controlo estatístico, as cartas de controlo
permitem prever de forma adequada o comportamento do processo, e melhorar
os processos, com base na informação disponível nas cartas, no sentido de
reduzir a sua variabilidade.

As cartas são elaboradas a partir de medições efectuadas de uma
característica do processo (a média, por exemplo). Os dados são obtidos de
amostras de tamanho constante, geralmente 3 ou 5 unidades, recolhidas
consecutivamente em intervalos de tempo constantes. Deve ser elaborado um
plano de recolha de dados, que deverá ser usado como base para a colheita,
registo e marcação dos dados no gráfico. As amostras a utilizar devem ser de
tamanho racional, isto é, devem ser eficazes para o controlo sem acarretar
esforço demasiado e desnecessário na colheita.

A interpretação dos limites de controlo é a seguinte: se a variabilidade peça a
peça do processo permanecesse constante e nos níveis encontrados, seria
legítimo concluir que na base de um ponto fora dos limites de controlo estariam
causas que importa conhecer e sanear. Um ponto fora do controlo deve
merecer uma análise imediata quanto à causa.

Pode ser mantido um registo das médias amostrais por meio de uma carta
como a representada na figura abaixo, denominada carta de controle de
qualidade.
Cada vez que for calculada uma média amostral, ela será representada por um
ponto particular. Enquanto eles caírem entre o limite inferior e o superior, o
processo está sob controle. Quando um ponto estiver fora desses limites de

117. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 113
controle (como ocorreu com a terceira amostra tomada na quinta-feira), há a
possibilidade de haver alguma anomalia, o que justifica uma investigação.
Os limites de controlo especificados são denominados de limites de confiança.
A escolha, em cada caso, depende das circunstâncias particulares de cada
processo.


Média
Amostral
(cm)
Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira

·
·

·

·

·
·

·

·

·

·
·

·

·
·

·


·

·

·

·

·

·

·

·

·

· ·



50
LSuperior
LInferior

118. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 114

3.8. Aplicações estatísticas
Tratamento estatístico de inquéritos


3.8.1 Teste de independência do qui-quadrado

O teste do
é muito eficiente para avaliar a associação existente entre
variáveis qualitativas. Trata-se de um teste de hipóteses semelhante aos
anteriormente estudados, mas que se inclui na categoria dos testes não-
paramétricos, isto é, aqueles que não incidem explicitamente sobre um
parâmetro de uma ou mais populações (por exemplo, o valor esperado ou a
proporção, como os estudados anteriormente). No entanto, a lógica de
formulação das hipóteses e de definição de uma regra de decisão é
equivalente aos testes paramétricos. O princípio básico deste método não-
paramétrico é comparar as divergências entre as frequências observadas e as
esperadas.

Este teste encontra aplicabilidade no tratamento estatístico de inquéritos. De
facto, para além do tratamento frequencista dos inquéritos, é por vezes
interessante aferir da existência de relações estatísticas relevantes entre as
diversas questões (por exemplo, testar se há alguma coerência entre quem
respondeu à opção 1 da pergunta X e à opção 2 da pergunta Y). O estudo
destas relações encontra aplicabilidade no campo das análises de mercado,
em que o objectivo é proceder à sua segmentação. A existência de
associações entre as questões permite determinada um vector comum entre
grupos de inquiridos que responderam de forma semelhante a certo tipo de
questões (concluir algo como que os habitantes de uma dada área foram
sempre os que assinalaram determinado tipo de respostas e constituem, por
isso, um segmento geográfico autónomo e com características próprias de
entre o total dos inquiridos).

De uma maneira geral, pode dizer-se que dois grupos se comportam de modo
semelhante se as diferenças entre as frequências observadas e as esperadas
em cada categoria forem muito pequenas ou próximas de zero.

119. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 115
Exemplo:
Um pesquisador deseja verificar se há associação entre três cursos de uma
universidade e dependência de drogas. Entrevistou 120 alunos, sendo 25 de
Medicina, 35 de Farmácia e 60 de Biologia, perguntando sobre o uso de
drogas, admitindo somente duas respostas: sim ou não. Após o processamento
dos dados, chegou-se à seguinte tabela de distribuição de frequências:

Medicina Farmácia Biologia Total
Usa drogas 10 20 30 60
Não usa drogas 15 15 30 60
Total 25 35 60 120



As tabelas como aquela na qual se apresentam os resultados referentes ao
exemplo são habitualmente designadas de
tabelas de contingência . Admita-
se que os resultados que nela figuram resultam de amostras aleatórias. Tais
resultados representam o número de observações incluídas nas diferentes
combinações das classes nas quais as duas variáveis em estudo se exprimem.

Mod. 1 Mod. 2 … Mod. n
Total
Modalidade 1 n 11 n 12 … … n1.
Modalidade 2 n 21 n 22 … … n2.
… … … … … …
Modalidade n … … … n nn ni.
Total n.1 n.2 … n.j n

onde
n
ij: frequência observada na célula ij
n.
j: frequência marginal observada na modalidade j
n
i.: frequência marginal observada na modalidade i
n: dimensão da amostra

120. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 116
O objectivo do teste é o de verificar se as duas variáveis em questão são ou
não relacionadas. As hipóteses nula e alternativa são então as seguintes:
H
o: As variáveis são independentes
H
1: As variáveis não são independentes

As frequências observadas são obtidas directamente dos dados da amostra,
enquanto que as frequências esperadas são calculadas a partir destas, sob o
pressuposto de que H
o é verdadeira, isto é, admitindo a hipótese de
independência.
Na prática, a frequência esperada é calculada pela multiplicação do total da
coluna respectiva pelo total da linha a que pertence, dividindo-se o produto pela
dimensão total da amostra:
n
nn
e
ji
ij..
*
=

O
é calculado da seguinte forma:
=
-
ij ij
ijij e
en
2
)(


Note-se que o numerador faz referência à diferença entre frequência observada
e frequência esperada, que deverá ser calculada para cada célula da tabela.
Quando as frequências observadas são muito próximas das esperadas, o valor
do numerador é pequeno; no entanto, quando as discrepâncias são grandes, o
valor do numerador passa a ser grande e, consequentemente, o
assume
valores altos. Ou seja, quando há fortes discrepâncias entre o que de facto foi
observado e o que seria de esperar sob a hipótese de independência, a
variável de decisão assume um valor elevado e há motivos ou significância
estatística para rejeitar H
o.

No teste qui-quadrado compara-se o valor
calculado com o valor crítico
fornecido em uma tabela, considerando o nível de significância adoptado e os
graus de liberdade GL ou d.f. (obtidos por (número de linhas-1)*(número de
colunas-1)).

121. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 117
Tome-se o caso de GL (d.f.) = 4:

Para o nível de significância de 5%, obtém-se da
tabela de valores críticos da (ver página seguinte):

Rejeita-se a hipótese nula se for maior que o valor crítico fornecido na
tabela.
Resolução:
Como pode ser observado, entre os 120 alunos incluídos no estudo há um
número igual (60) que afirma usar e não usar drogas. No entanto, a distribuição
entre os vários cursos não ocorre de forma homogénea.

Medicina Farmácia Biologia Total
Usa drogas 10 20 30 60
Não usa drogas 15 15 30 60
Total 25 35 60 120

Os dados são do tipo qualitativo, pois cada aluno entrevistado foi classificado
sob uma determinada categoria. Neste caso, pode usar-se o teste do qui-
quadrado com duas hipóteses de trabalho:
Ho: Não há associação entre tipo de curso e dependência de drogas
H1: Há associação entre tipo de curso e dependência de droga

122. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 118
Se o obtido fôr maior ou igual ao crítico, H o deverá ser rejeitada.
Para o cálculo do recomendam-se os seguintes passos:

1. Calcular as frequências esperadas
n
nn
e
ji
ij..
*
=
Por exemplo, se as duas variáveis fossem independentes, seria de esperar que
o número de estudantes de Medicina a admitir usar drogas fosse de:
5,12
120
60*25*..
===
n
nn
e
ji
ij

2. As frequências esperadas deverão ser anotadas nas correspondentes
células:
Medicina Farmácia Biologia Total
Usa drogas n ij 10 20 30 60
e ij 12,5 17,5 30,0
Não usa drogas n ij 15 15 30 60
e ij 12,5 17,5 30,0
Total 25 35 60 120

3. A seguir aplica-se a fórmula =
-
ij ij
ijij e
en
2
)(
= …=1,7
4. Determinam-se os graus de liberdade na tabela
Os graus de liberdade da tabela são calculados multiplicando
(número de linhas-1)*(número de colunas-1)= (2-1)*(3-1)=2 GL
5. Por último, compara-se o valor do observado obtido (1,7) com o valor do
crítico, considerando os graus de liberdade (GL) e o nível de significância
adoptado (ver tabela anexa).
Vem que o obsv.=1,7 é menor do que o valor obtido a partir da tabela, que
é 5,991 (cruzamento da linha 2 com a coluna 0,05). Assim sendo, a hipótese H o
não pode ser rejeitada, concluindo-se que, no grupo estudado, não há
associação entre as variáveis. Em média, a proporção de alunos que usam ou
não drogas não varia entre os cursos.

123. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 119
Observação:
Caso 20% ou mais das células tenham frequências esperadas menores que 5,
ou haja uma ou mais frequências esperadas com valores menores ou igual a 1,
não se deve usar o teste do . Uma boa alternativa para estes casos é o
agrupamento de linhas e colunas adjacentes, desde que tenha algum sentido
lógico, de modo a diminuir os graus de liberdade associados.

124. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 120
! " ! # $&%' ($ )"*+, -./0120
0.9950.9750.9 0.5 0.10.050.0250.010.0050.001
10.0000.0010.0160.4552.7063.8415.0246.6357.87910.827
20.0100.0510.2111.3864.6055.9917.3789.21010.59713.815
30.0720.2160.5842.3666.2517.8159.34811.34512.83816.266
40.2070.4841.0643.3577.7799.48811.14313.27714.86018.466
50.4120.8311.6104.3519.23611.07012.83215.08616.75020.515
60.6761.2372.2045.34810.64512.59214.44916.81218.54822.457
70.9891.6902.8336.34612.01714.06716.01318.47520.27824.321
81.3442.1803.4907.34413.36215.50717.53520.09021.95526.124
91.7352.7004.1688.34314.68416.91919.02321.66623.58927.877
102.1563.2474.8659.34215.98718.30720.48323.20925.18829.588
112.6033.8165.57810.34117.27519.67521.92024.72526.75731.264
123.0744.4046.30411.34018.54921.02623.33726.21728.30032.909
133.5655.0097.04112.34019.81222.36224.73627.68829.81934.527
144.0755.6297.79013.33921.06423.68526.11929.14131.31936.124
154.6016.2628.54714.33922.30724.99627.48830.57832.80137.698
165.1426.9089.31215.33823.54226.29628.84532.00034.26739.252
175.6977.56410.08516.33824.76927.58730.19133.40935.71840.791
186.2658.23110.86517.33825.98928.86931.52634.80537.15642.312
196.8448.90711.65118.33827.20430.14432.85236.19138.58243.819
207.4349.59112.44319.33728.41231.41034.17037.56639.99745.314
218.03410.28313.24020.33729.61532.67135.47938.93241.40146.796
228.64310.98214.04121.33730.81333.92436.78140.28942.79648.268
239.26011.68914.84822.33732.00735.17238.07641.63844.18149.728
249.88612.40115.65923.33733.19636.41539.36442.98045.55851.179
2510.52013.12016.47324.33734.38237.65240.64644.31446.92852.619
2611.16013.84417.29225.33635.56338.88541.92345.64248.29054.051
2711.80814.57318.11426.33636.74140.11343.19546.96349.64555.475
2812.46115.30818.93927.33637.91641.33744.46148.27850.99456.892
2913.12116.04719.76828.33639.08742.55745.72249.58852.33558.301
3013.78716.79120.59929.33640.25643.77346.97950.89253.67259.702

125. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 121
FIABILIDADE
Exercícios


Exercício 1

Num centro comercial, está instalado um sistema de 10 máquinas para
utilização de cartão multibanco. Diz-se que o sistema está em funcionamento
se pelo menos uma das máquinas funciona. Suponha que cada máquina
funciona independentemente das outras e a probabilidade de funcionamento de
cada máquina é 85%. Calcule a probabilidade do sistema estar em
funcionamento.

Resolução

P(avaria) = 1-0,85 = 15%
P(sistema estar em funcionamento) = 1 – P(sistema avariar)
= 1 – P(nenhuma das máquinas funcionar)
= 1 – P(maq1 não funcionar e...e maq 10 não funcionar)
= 1 – 0,15*0,15*...*0,15 = 1 (aproximadamente)


2. Quatro componentes de um sistema encontram-se associados de acordo
com a figura junta. Estão no seu período de vida útil e as taxas médias de
avarias são 10
-4
avarias/hora (A), 2x10
-5
avarias/hora (B e C) e 5x10
-5

avarias/hora (D).

Calcule a probabilidade do sistema estar em funcionamento após 5 000 horas.

Resolução

A: ===
--
-
5,05000*10
4
eeR
s 60,6531%
D:
===
--
-
25,05000*10*5(
)5
eeR
s 77,8801%
A
B
C
DA
B
C
D

126. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 122
B e C: ===
--
-
1,05000*10*2(
)5
eeR
s 90,4837%
P(funcionar 1 ou 2) = 1-P(funcionar nenhuma) = 1 – (1-0,904837)
2
= 99,0944%
Logo, P(sistema estar em funcionamento após 5 000 horas) =
= 0,606531*0,990944*0,778801 = 46,8%


Exercício 3

Foram ensaiadas durante 3 000 horas, sem que se verificasse qualquer avaria,
cinco unidades idênticas de um equipamento que se sabe ter uma curva de
sobrevivência que obedece a uma distribuição exponencial, com um MTBF de
17 500 horas.
Calcule a fiabilidade do equipamento.

Resolução

X: tempo de funcionamento sem avarias da máquina (em horas)
(isto é, tempo que decorre entre avarias consecutivas (em horas))
X segue Exp(
a=1/17500) MTBF = 17500
Y: në de avarias no intervalo
[0,3000 ] horas
===
-
-
171429,017500
3000
eeR
s 84,25%

Exercício 4

O tempo de funcionamento sem avarias de uma determinada máquina de
produção contínua segue uma lei exponencial negativa com valor esperado
igual a 4,5 horas. Imagine que a máquina é (re)colocada em funcionamento no
instante t=0 horas.
a) Qual a probabilidade de não ocorrerem avarias antes do instante t=6
horas?
b) Admitindo que a máquina se encontrava em funcionamento no instante
t=4 horas, qual a probabilidade de não ocorrerem avarias até t=6 horas?

c)
Qual a probabilidade de se verificarem 2 avarias durante as primeiras 6
horas de funcionamento da máquina?

127. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 123
Resolução
a) X: tempo de funcionamento sem avarias da máquina (em horas)
(isto é, tempo que decorre entre avarias consecutivas (em horas))
X segue Exp(
a=1/4,5) MTBF = 4,5
P(X
³6) = %4,26
5,4
1
1)6(1
5,4
6
5,4
1
6
0
==-=<-
--

edxeXP
Ou considerando Y: në de avarias no intervalo
[0,6] horas, como Y segue
Po(1/4,5), vem que P(X
³6) = P(Y=0) = e
-lt
= e
-(1/4,5)t
= e
-(6/4,5)
= 26,4%

b) P(X³6/ X³4) = )2(%1,64
)4(
)6(
)4(
)46(
5,4
4
5,4
6
³===
³
³
=
³
³Ç³
-
-
XP
e
e
XP
XP
XP
XXP

c) Y: në de avarias no intervalo
[0,6] horas
P(Y=2) =
%4,23
!2
)5,4/6(
25,4
6
=
-
xe


Exercício 5

Sabe-se que um determinado modelo de lâmpadas apresenta no período de
vida útil (3625 horas) um MTBF de 12 000 horas. Calcular:

a) A probabilidade de falha de uma ou mais lâmpadas, num conjunto de 10,
no período de vida útil.
b) Quantas lâmpadas, de um conjunto de 1 000, estarão provavelmente em
funcionamento após 2 000 horas de utilização.


Resolução

a) ===
-
-
302,012000
3625
eeR
s 73,9%
Em 10, 1 - P(falhar nenhuma) = 1 - 0,739
10
= 1 – 0,0488 = 95,12%
b)
===
-
-
1667,012000
2000
eeR
s 84,6% Logo, 0,846x1000 lâmpadas = 846

128. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 124
Exercício 6
Num grande centro comercial existem 3 telefones públicos, colocados
estrategicamente a fim de satisfazer adequadamente os utentes. A observação
prolongada do funcionamento dos telefones levou a concluir que as
probabilidades dos 3 telefones, T1, T2 e T3 se encontrarem avariados são,
respectivamente, 0,15, 0,2 e 0,25 e que as avarias são independentes. O grupo
de telefones satisfaz minimamente o serviço se pelo menos 2 estiverem sem
avarias. Qual a probabilidade de pelo menos dois destes telefones estarem
sem avarias?

Resolução

P(pelo menos dois destes telefones estarem sem avarias ) = P(2 ou 3 estarem
sem avarias) = 0,095+0,51=60,5%
P(2 sem avarias) = 0,15*0,2*0,75+0,85*0,2*0,25+0,15*0,8*0,25=9,5%
P(3 sem avarias) = 0,85*0,8*0,75=51%


Exercício 7

Um sistema é constituído por 5 componentes iguais, sendo 0.05 a
probabilidade de um elemento falhar ao longo de qualquer dia da semana. No
caso de nenhum elemento avariar o sistema funciona normalmente; se um dos
elementos avariar o sistema funciona com probabilidade 0.7; se mais de um
elemento avariar o sistema não funciona. Calcule:
a) a probabilidade do sistema funcionar ao longo do dia.
b) a função de probabilidade do në de falhas registadas nos seus
componentes ao longo de um dia, indicando o valor médio de tal
distribuição.

Resolução

a) P(sist. funcionar) = P(0 avariar e funcionar) + P(1 avariar e funcionar)
= (0,95
5
)* 1 + (5*0,95
4
*0,05)*0,7 = 0,7738 + 0,1425 = 91,63%
b) Bi(n=5;p=0,05) Valor médio=5*0,05=0,25

129. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 125
CONTROLE ESTATÍSTICO DE QUALIDADE
Exercícios


Exercício 1

Uma empresa fabrica e comercializa condutores eléctricos cujas condições de
controlo da produção e aceitabilidade a seguir se indicam (relativos à
resistência de um componente em
W):
- Característica sob controlo: m
- LIC: 49,8775
- LSC: 50,1225
- n=16
- s=0,25
- Proceder-se-á à paragem da produção sempre que os limites de controlo
sejam desrespeitados
- Um condutor é considerado não defeituoso se a sua resistência em W
estiver compreendida entre
[49,530; 50, 470 ]

Nestas condições, determine:
a) O valor da norma
m0
b) A probabilidade de se proceder a uma paragem indevida da produção
c) A probabilidade de, estando a norma a ser cumprida, se produzir um
artigo defeituoso.

Resolução

X: resistência de um componente em W
))25,0(;(
2
mNXÇ
a) LIC = 8775,49=-
n
c s
m
LSC = 1225,50=+
n
c s
m
Como LIC + LSC = 100 vem que 1002==








++








- m
s
m
s
m
n
c
n
c

Logo
m=100/2 = 50 W

130. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 126
b)
P (parar indevidamente o processo produtivo) =
P(Xcair fora dos limites de controlo quando m=m0) =
1 - P(49,8775£X£50,1225 sendo m=50) =
1 - P(
16
25,0
508775,49 -
£X£
16
25,0
501225,50 -
) =
1- P(-1,96£X£1,96) =

Na tabela da Normal, vem D(1,96) = 0,95 donde
1 – 0,95 = 5%


c) P(produzir um artigo defeituoso, sendo a norma respeitada) =
1 – P(49,53
£X£50,47 sendo m=50) =
1 - P(
16
25,0
5053,49-
£X£
16
25,0
5047,50-
) =
1 - P(-1,88£X£1,88) =

Na tabela da Normal, vem D(1,88) = 0,9399 donde
1 – 0,9399 = 6,01%



Exercício 2

A empresa “TRADECHO, SA” mantém um diferendo com os seus principais
clientes, que afirmam que os produtos produzidos (em série) por esta empresa
não obedecem às normas de qualidade estabelecidas e que são:
- a norma para o comprimento médio das peças é de 20 cm;
- a norma para a variância é de 4 e está a ser cumprida;
- a amplitude do intervalo de controle para a média deve ser de 1,96;
- a dimensão das amostras a extrair é de 16
Afirmam os clientes que a probabilidade de parar indevidamente o processo
produtivo é superior àquela que decorre das normas.

131. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 127
a) Determine a probabilidade referida.
b) Represente a carta de controle para a média
c) A recolha de 5 amostras forneceu os seguintes resultados para a média:

20,05 19,90 20,00 20,30 20,15

Qual a medida a tomar?

Resolução

X: comprimento das peças em cm
)4;(mNXÇ
a) P (parar indevidamente o processo produtivo) =
P(Xcair fora dos limites de controlo quando m=m0) =
1 - P(20-1,96/2£X£20+1,96/2 sendo m=20) =
1 - P(
16
2
98,0-
£X£
16
2
98,0
) =
1- P(-1,96
£X£1,96) =

Na tabela da Normal, vem D(1,96) = 0,95 donde
1 – 0,95 = 5%


b) e c)

Média
Amostral
(cm)
Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 Amostra 4 Amostra 5

·
·20,5

·

·

·
·

·

·

·

·20,3
·

·

·20,15
·

·

19,90
·

·

·

·

·

·

·

·

·

· ·


Não é necessário parar o processo produtivo (valores dentro dos limites de
controlo).
20
20,98
19,02
20

132. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 128
Exercício 3
Numa empresa procede-se ao exame das condições de produção relativas à
duração (em horas) das lâmpadas fabricadas (produção em série). Sabe-se
que o desvio-padrão da duração de uma lâmpada é de 100 horas.
O Departamento de Produção construiu o seguinte intervalo para a duração
média de uma lâmpada, a partir de uma amostra de dimensão 100:

[983,55; 1016,45 ]

parando-se o processo produtivo se o valor médio amostral se situar fora deste
intervalo.
a) Calcule o valor adoptado para a norma (
m0)
b) Determine a probabilidade de se parar indevidamente o processo
produtivo.

Resolução

X: duração das lâmpadas em horas
))100(;(
2
mNXÇ
a) LIC = 55,983=-
n
c s
m
LSC = 45,1016=+
n
c s
m
Como LIC + LSC = 2000 vem que 20002==








++








- m
s
m
s
m
n
c
n
c

Logo
m=2000/2 = 1000 h

b) P (parar indevidamente o processo produtivo) =
P(
Xcair fora dos limites de controlo quando m=m0) =
1 - P(983,55£X£1016,45 sendo m=1000) =
1 - P(
100
100
100055,983-
£X£
100
100
100045,1016-
) =
1- P(-1,645£X£1,645) =

133. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 129
Na tabela da Normal, vem D(1,645) = 0,9 donde
1 – 0,9 = 10%

Exercício 4

O novo Conselho de Administração da empresa de componentes eléctricas
“Alta Tensão, SA” resolveu efectuar um estudo aprofundado sobre o controle
estatístico de qualidade das peças produzidas. Assim, definiu com o director de
produção os aspectos considerados relevantes no controle da duração média
das componentes:
- o limite superior de qualidade (LSC) deve ser de 10,8 milhares de horas
- a amplitude do intervalo não deve exceder 1,96 milhares de horas
- a probabilidade de se parar indevidamente a produção é de 5%
Sabe-se ainda que o desvio padrão da duração de uma componente é de 4 mil
horas.

a) Determine a dimensão da amostra que é necessário recolher para
cumprir as condições definidas.
b) Calcule a norma.

Resolução

X: duração das componentes em milhares de horas
))4(;(
2
mNXÇ
a) LSC = 8,10=+
n
c s
m
D(c)= 5% logo c= 1,96
2
96,1£
n
cs
logo 2 6496,1
4*96,1
³Û£n
n
b) LSC =
8,10=+
n
c s
m logo m = 10,8 -
64
4*96,1
= 9,82

Exercício 5

O director de produção da empresa DISLIX, SA pretende implementar um
sistema de controle interno de qualidade de um determinado tipo de geradores
fabricados em série. Para tal, procede à verificação da produção de energia

134. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 130
eléctrica (em kws/hora) tendo e vista a construção de um intervalo de controle
para a produção média de energia de um gerador que cumpra os seguintes
objectivos:
- Norma de produção para a média: 10
- A amplitude do intervalo não deve exceder 3,92
- A probabilidade de se parar indevidamente a produção não deve
exceder 5%
Sabe-se que o desvio padrão da produção da energia eléctrica de um gerador
é de 4 kws/hora e que a variável segue distribuição Normal.

a) Determine a dimensão mínima da amostra a utilizar para o controle de
produção.
b) Represente a carta de controle para a média.

Resolução

X: energia eléctrica produzida em kws/hora
))4(;(
2
mNXÇ
a) D(c)= 5% logo c= 1,96
2
92,3£
n
cs
logo 2 1692,3
4*96,1
³Û£n
n
b)

Média
Amostral
(cm)
Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 Amostra 4 Amostra 5

·
·

·

·

·
·

·

·

·

·
·

·

·
·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·
·

LIC = 04,8
16
4*96,1
10 =-=-
n
c s
m
LSC = 96,11
16
4*96,1
10 =+=+
n
c s
m
10
11,96
8,04

135. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 131
TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE INQUÉRITOS
Exercícios

Exercício 1
A empresa BrasFruta Lda está a instalar-se em Portugal com um produto
inovador, um concentrado de fruta semelhante a um sumo de fruta natural. A
intenção é vender o produto em cafés, esplanadas e bares que passariam a
dispor de uma imitação perfeita de um sumo acabado de fazerva um preço
vantajoso.
Através de um estudo qualitativo com consumidores, conseguiu-se apurar que
existia uma grande sensibilidade ao preço. Apesar de haver uma preferência
generalizada por sumos naturais face a refrigerantes, os consumidores
mostravam-se cépticos em relação à qualidade quando se falav em preços
baixos.
Entendeu-se então levantar a seguinte questão: “a sensibilidade ao preço é
afectada pelo poder de compra dos clientes?” Numa sondagem efectuada a
1973 clientes potenciais, confrontaram-se os inquiridos com três alternativas:
adquirir sumo natural a preço elevado, adquirir sumo natural a preço baixo ou
adquirir refrigerantes. A sondagem revelou que, dos clientes classes A/B/C1,
598 pagariam um preço mais elevado pelo sumo natural, enquanto 212 não
estariam dispostos a gastar tanto. Em relação aos 977 clientes das classes
C2/D/E, 164 só consumiriam sumo natural se o preço fosse baixo e 285
preferiam refrigerante.
Represente adequadamente e interprete a informação contida nestes dados.
Utilize um nível de significância de 1%.

Resolução

Preço Elevado Preço Baixo Refrigerante Total
A/B/C1 598 212 186 996
C2/D/E 528 164 285 977
Total 1126 376 471 1973

As conclusões foram retiradas pelo recurso à análise correlacionada através do
teste do qui-quadrado. Estes testes foram elaborados sobretudo com o intuito

136. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 132
de segmentar o mercado. As frequências foram utilizadas para analisar o
mercado como um todo e para interpretar o resultado dos testes de correlação,
para os quais se convencionou a adopção de um nível de significância de 5%,
considerado razoável face aos valores normalmente utilizados.

Para o cálculo das frequências esperadas, procedeu-se à aplicação de
n
nn
e
ji
ij..
*
= ,
de que resultou a seguinte tabela:
Preço Elevado Preço Baixo Refrigerante
Total
A/B/C1 n ij 598 212 186 996
e ij 568.4 189.8 237.8
C2/D/E nij 528 164 285 977
e ij 557.6 186.2 233.2
Total 1126 376 471 1973

H
o: As variáveis são independentes
H
1: As variáveis não são independentes

crítico (GL=2; a=0,05)=5,991
observado = 31,141

Vem que o obsv.=31,141 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,
que é 5,991 (cruzamento da linha 2 com a coluna 0,05). Assim sendo, a
hipótese H
o será rejeitada, concluindo-se que, no grupo estudado, há
associação entre as variáveis. Em média, o poder de compra do consumidor
influencia a sensibilidade ao preço.

Exercício 2

Aos exames de primeira época de determinada disciplina compareceram 105
alunos, dos quais 20 não tinham prestado qualquer prova durante o ano. O
número de aprovações foi de 33, das quais 3 foram de alunos que não tinham
efectuado provas durante o ano.

137. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 133
Diga, com base nestes elementos, se, para um nível de significância de 5%, se
pode afirmar que existe independência entre a comparência (ou não) a provas
durante o ano de aprovação (ou não) em exame.

Resolução


Aprovações
Comparecem
Aprovado Reprovado Total
Sim 30 55 85
Não 3 17 20
Total 33 72 105

Ho: As variáveis são independentes
H
1: As variáveis não são independentes
crítico (GL=2; a=0,05)=3,84
observado = 3,122

Vem que o obsv.= 3,122 é menor do que o valor obtido a partir da tabela.
Logo, a hipótese H
o não será rejeitada (há independência).


Exercício 3

Com o objectivo de testar se existe relação entre a formação do gerente de
uma dependência bancária e a respectiva “performance”, construiu-se a
seguinte tabela de contingência, relativa a 300 balcões de diferentes bancos:

Formação

Gerente
Vol. Negócios

Média

Superior
Baixo 44 52
Médio 55 43
Elevado 51 55

Que conclui, a um nível de significância de 1%?

Resolução

H
o: As variáveis são independentes
H
1: As variáveis não são independentes

138. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 134
Valores esperados:
Formação
Gerente
Vol. Negócios

Média

Superior
Baixo 48 48
Médio 49 49
Elevado 53 53

crítico (GL=2; a=0,01)=9,21
observado = 2,2876

Valor obsv. est. teste = 21,92876,2
53
)5355(
...
48
)4844(
22
>=
-
++
-
Vem que o
obsv.= 2,2876 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,
Assim sendo, a hipótese H
o será rejeitada, concluindo-se que há associação
entre as variáveis.

Exercício 4

Pretendendo-se analisar o comportamento do volume de divisas ao longo do
ano, deu-se particular atenção à influência exercida pelas remessas de
emigrantes. Assim, o ano foi dividido em duas épocas: Época de Ponta,
compreendendo os meses de vinda de emigrantes (Verão e Natal) e Época
Normal (restantes meses).
Assim, observou-se o nível de Disponibilidades Líquidas sobre o Exterior (DLX)
para cada mês, tendo-se obtido:

Volume DLX

Época
Baixo/Médio Elevado
Normal 150 50
Ponta 20 80

A um nível de significância de 5%, que pode concluir?


Resolução

H
o: As variáveis são independentes
H
1: As variáveis não são independentes

139. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 135
Valores esperados:
Volume DLX
Época
Baixo/Médio Elevado
Normal 113,33 86,66
Ponta 6,66 43,33

crítico (GL=1; a=0,05)=5,991
observado = 85,069
Valor obsv. est. teste = 84,3069,85
33,43
)33,4380(
...
33,113
)33,113150(
22
>=
-
++
-
Vem que o
obsv.= 85,069 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,
Assim sendo, a hipótese H
o será rejeitada, concluindo-se que há associação
entre as variáveis.


Exercício 5

Num estudo que pretendia averiguar a existência de relação entre a procura de
moeda e a taxa de juro, procedeu-se à recolha periódica de elementos sobre
essas variáveis, construindo-se a seguinte tabela de contingência:

Taxa juro

Proc. Moeda
Reduzida Média Elevada
0-10 20 30 200
10-45 20 400 30
45-70 250 30 20

Utilizando um nível de significância de 5%, que conclusão pode tirar?

Resolução

H
o: As variáveis são independentes
H
1: As variáveis não são independentes

Valores esperados:
Taxa juro

Proc. Moeda
Reduzida Média Elevada
0-10 72.5 115 62.5
10-45 130.5 207 112.5
45-70 87 138 75

140. Manual de Exercícios
Estatística Aplicada 136
crítico (GL=4; a=0,05)=9,49
observado = 1183,7

Vem que o obsv.= 1183,7 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,
Assim sendo, a hipótese H
o será rejeitada, concluindo-se que há associação
entre as variáveis.


Exercício 6

Um investigador seleccionou três amostras de estudantes, A, B e C, que fazem
parte de um determinado projecto de estudo e aplicou-lhes uma escala de
atitudes com o objectivo de conhecer as suas opiniões em relação ao projecto.
Os resultados de uma amostra de 140 estudantes foram os seguintes:

Grupo de
Tipo est
udantes
de atitude

A

B

C
Atitude negativa 30 30 10
Atitude positiva 10 20 40

Utilizando um nível de significância de 5%, que conclusão pode tirar?

Resolução

H
o: As variáveis são independentes
H
1: As variáveis não são independentes
Valores esperados:
Grupo de
Tipo estudantes
de atitude

A

B

C
Atitude negativa 20 25 25
Atitude positiva 20 25 25

crítico (GL=2; a=0,05)=3,84
observado = 30
Vem que o obsv.= 30 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,
Assim sendo, a hipótese H
o será rejeitada, concluindo-se que há associação
entre as variáveis.