Estrutura de Dados Aula 13 - Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Slides da aula de Estrutura de Daddos

1. # Estrutura de Dados #
Aula 13 –Árvores
conceito, elementos, tipos e utilizações
Prof. Leinylson Fontinele Pereira

2. Na aula anterior...
Listas Duplamente Encadeadas
#Propriedades
#Operações fundamentais
12:17
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3. Introdução
12:17 3
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4. O que vamos aprender?
Árvores
#Conceito
#Componentes
#Tipos de árvores
#Onde são utilizadas?
12:17
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5. Vamos começar?
12:17 5
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6. 12:17
O que é uma Árvore?
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7. 12:18
Algumas Árvores... 
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8. O que é uma Árvore?
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Sãoumtipoespecialdegrafo
Qualquerpardevértices(nós)está
conectadoaapenasumaaresta
Grafoconexo(todosestãoconectados)
Acíclico(nãopossuiciclos)
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9. Formas de Representação
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Grafo
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Diagrama de Venn

10. O que é uma Árvore?
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11. Árvores
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Asárvoressãoumadasestruturadedados
maisimportantesdaáreadacomputação
Utilizadaemmuitasaplicaçõesdomundoreal
Osrelacionamentoslógicosentreosdados
representamalgumadependênciadehierarquia
oucomposiçãoentreosnodos;
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12. Árvores: Conceitos Básicos
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As linhas que unem 2 nodos representam os relacionamentos lógicos e as
dependências de subordinação existentes entre eles
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13. Árvores: Conceitos Básicos
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Relacionamentosdesubordinação,formandohierarquias,podem
apresentardiferentessignificados
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14. Hierarquia de Especialização
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15. Hierarquia de Composição
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16. Hierarquia de Dependência
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17. Representação Gráfica de uma Árvore
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18. Terminologia
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Aterminologianãoépadronizada;
Existemnomesdiferentesparaos
mesmosconceitosemdiferentes
publicações.

19. Terminologia
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Raiz(root)
Todososoutrosnósdaárvoresãosubordinadosaele
Oacessoatodososnósésempreapartirdele
Nósdescendentes:
Relaçãodedependênciacomonómaisacima

20. Terminologia
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Casoonúmerodenóssejadiferente
dezero,existesempreumaraiz;
Casoonúmerodenóssejazero,é
denominadavazia.

21. Terminologia
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22. Terminologia
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Subárvore
Conjuntodenóssubordinadosaumúniconó,externoaestasubárvore

23. Terminologia
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GraudeUmNó
Númerodesubárvoresquesãosubordinadasdiretamenteaessenó.
GraudeumaÁrvore
Éomaiorvalordentreosgrausdetodososseusnós.

24. Terminologia
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25. Terminologia
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FolhaouTerminal(externo)
Sãoosnósdegrauzero
Nódederivação(interno)
Nósdegraumaiordoquezeroequeapresentamumasubárvore

26. Terminologia
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27. Terminologia
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NíveldeumNó
Númerodeligaçõesentreestenóearaizdaárvoremaisum
Caminho
Sequênciadenósconsecutivosdistintosentredoisnós
ComprimentodoCaminho
Númerodeníveisentreosdoisnósmenosum

28. Terminologia
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29. Terminologia
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AlturaouProfundidade
Éonúmerodenósdomaiorcaminhodestenóatéumde
seusdescendentes-folha
Aalturadeumaárvoreéigualaomaiorníveldeseusnós
Todososnósfolhatemaltura1.

30. Terminologia
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Floresta
Conjuntodezerooumaisárvoresdisjuntas
Árvoreordenada
Quandoaordemdesuassubárvoresérelevanteparaa
aplicaçãoqueestásendorepresentadaatravésdesta
estruturadedados.

31. Terminologia
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32. Árvore Binária (BinaryTree)
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Quandoapresentarnomáximograu2emcadanó
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33. Árvore Binária (BinaryTree)
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Ograudecadanópodeser0,1ou2
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34. Árvore Estritamente Binária
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Cadanópossui0ou2subárvores
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35. Árvore Binária (BinaryTree)
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Quandoapresentarnomáximograu2emcadanó
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36. Árvore Binária: Varredura esquerda‐raiz‐direita
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Conhecidacomoinordertraversal,ouvarredura
central,ouvarredurainfixa.
Navarredurae‐r‐dvisitamos
1.Asubárvoreesquerdadaraiz,emordeme‐r‐d
2.Araiz
3.Finalmenteasubárvoredireitadaraiz,emordeme‐r‐d
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37. Árvore Binária: Varredura esquerda‐raiz‐direita
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38. Árvore Binária: Varredura esquerda‐raiz‐direita
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39. Árvore Binária: Varredura raiz‐esquerda‐direita
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Conhecidacomopreordertraversal,ouvarreduraem
pré‐ordem,ouvarreduraprefixa.
Navarredurar‐e‐dvisitamos
1.Visitaaraiz
2.Percorreasubárvoreesquerdaempré-ordem
3.Percorreasubárvoredireitaempré-ordem
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40. Árvore Binária: Varredura esquerda‐direita‐raiz
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Conhecidacomopostordertraversal,ouvarreduraem
pós‐ordem,ouvarreduraposfixa.
Navarredurae‐d‐rvisitamos
1.Percorreasubárvoreesquerdaempós-ordem
2.Percorreasubárvoredireitaempós-ordem
3.Visitaaraiz
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41. Árvore Binária: Tipos de Varreduras
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42. Árvore Binária: Contagem dos Nós
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43. Árvores Binárias de Busca
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Considereumaárvorebinária
cujosnóstêmumcampochave
deumtipolinearmente
ordenado,ouseja,deumtipo
(comonúmeros,caracteres,e
strings)queadmite
comparações.
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44. Árvores Binárias de Busca
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Umaárvorebináriaédebusca(emrelaçãoaocampochave)
secadanóXtemaseguintepropriedade:
AchavedeXémaiorouigualàchavedequalquernónasubárvore
esquerdadeXemenorouigualàchavedequalquernónasubárvore
direitadeX.
Emoutraspalavras,sexéumnóqualquerentãoy->chave≤
x->chave≤z->chaveparatodonóynasubárvoreesquerda
dexetodonóznasubárvoredireitadex.
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45. Árvores Binárias de Busca
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46. Árvores Binárias de Busca: versão recursiva
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47. Árvores Binárias de Busca: versão iterativa
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48. Árvores Binárias de Busca: versão iterativa
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Nopiorcaso,abuscaconsometempoproporcionalàaltura
daárvore.Seaárvoreforbalanceada,oconsumoserá
proporcionalalogn,sendononúmerodenós.
Essetempoédamesmaordemqueabuscabinárianumvetor
ordenado.

49. Árvores Binárias de Busca: Inserção
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Considereoseguinteproblema:Inserirumnovonó,comchavek,em
umaárvoredebusca.Éclaroqueaárvoreresultantedevetambémser
debusca.Onovonótemaformadeumafolhaavulsaepodesercriado
assim:

50. Árvores Binárias de Busca: Inserção
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51. Árvores Binárias de Busca: Remoção
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Problema:Removerumnódeumaárvoredebuscadetal
formaqueaárvorecontinuesendodebusca.
Comecemostratandodocasoemqueonóaserremovidoéa
raizdaárvore.Searaiznãotemumdosfilhos,bastaqueo
outrofilhoassumaopapelderaiz.Senão,façacomqueonó
anterioràraiznaordeme-r-dassumaopapelderaiz.

52. Árvores Binárias de Busca: Remoção
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53. Árvores Binárias de Busca: Remoção
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54. Árvores Binárias de Busca: Remoção
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Aexclusãodeumnóéumprocessomaiscomplexo.Paraexcluirumnódeuma
árvorebináriadebusca,hádeseconsiderartrêscasosdistintosparaaexclusão:

55. Árvores Binárias de Busca: Remoção
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Exclusãonafolha
Aexclusãonafolhaéamaissimples,bastaremovê-lodaárvore.

56. Árvores Binárias de Busca: Remoção
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Exclusãodeumnócomumfilho
Excluindo-o,ofilhosobeparaaposiçãodopai.

57. Árvores Binárias de Busca: Remoção
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Exclusãodeumnócomdoisfilhos
Nestecaso,pode-seoperardeduasmaneirasdiferentes.Pode-sesubstituiro
valordonóaserretiradopelovalorsucessor(onómaisàesquerdadasubárvore
direita)
Oupelovalorantecessor(onómaisàdireitadasubárvoreesquerda),
removendo-seaíonósucessor(ouantecessor).

58. Árvores Binárias de Busca: Remoção
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59. Árvore ??????-ária
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Quandoapresentarnomáximograu??????emcadanó
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60. Árvore Isomorfa
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Quandoépossívelquesetornemcoincidentes
atravésdeumapermutaçãonaordemdas
subárvoresdeseusnós
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61. Árvores Balanceadas (Equilibrada)
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Éaquelanaqualexisteuma
distribuiçãoequilibradaentre
osnósdaárvore
Existeumadiferençamínima
entretodasasfolhasearaiz.
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62. Árvores Cheia ou Completamente Balanceada
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Éaquelaemquetodasasfolhasestãoauma
distânciaigualdaraiz.
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63. Árvore Binária Quase Completa
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Adiferençadealturaentreassubárvoresde
qualquernóénomáximo1.
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64. Árvores AVL
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Árvorebalanceadapelaaltura
Asalturasdasduassubárvoresapartirdecada
nódiferemnomáximoemumaunidade
Asoperaçõesdebusca,inserçãoeremoçãode
elementospossuemcomplexidadeO(logn)
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65. Árvores AVL
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66. Árvores AVL: Rotação
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Umarotaçãosimplesocorrequandoumnóestá
desbalanceadoeseufilhoestivernomesmo
sentidodainclinação,formandoumalinhareta.
Umarotação-duplaocorrequandoumnóestiver
desbalanceadoeseufilhoestiverinclinadono
sentidoinversoaopai,formandoum“joelho”.
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67. Árvores AVL: Rotação
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Paragarantirmosaspropriedadesdaárvore
AVLrotaçõesdevemserfeitasconformenecessário
apósoperaçõesderemoçãoouinserção.
SejaPonópai,FEofilhodaesquerda
dePeFDofilhodadireitadePpodemosdefinir4
tiposdiferentesderotação:
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68. Árvores AVL: Rotação à Direita
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69. Árvores AVL: Rotação à Esquerda
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70. Árvores AVL: Rotação Dupla à Direita
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71. Árvores AVL: Rotação Dupla à Esquerda
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72. Árvore Rubro Negra
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Nasárvoresrubro-negras,osnósfolhasnãosão
relevantesenãocontémdados.
Estasfolhasnãoprecisamsermantidasem
memóriadecomputador,bastaapenasum
ponteiroparanuloparaidentificá-las.
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73. Árvore Rubro Negra
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74. Árvore Rubro Negra
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Umnóévermelhooupreto.
Araizépreta.
Todasasfolhas(nil)sãopretas.
Ambososfilhosdetodososnósvermelhossãopretos.
Todocaminhodeumdadonóparaqualquerdeseusnós
folhasdescendentescontemomesmonúmerodenóspretos.
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75. Operações Básicas
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Criaçãodeumaárvore
Alocaçãodasvariáveisnecessáriasparaadefiniçãodaárvore
Asdemaisoperaçõessãohabilitadasdepoisdisso
Inserçãodeumnovonó
Comoraiz
Comofolha
Comoumaposiçãointermediária
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76. Operações Básicas
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ExclusãodeumNó
Quandonãoserealizasobreumafolha,precisareorganizaraárvore
AcessoaumNó
Destruiçãodeumaárvore
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77. Operações Básicas
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Pai
Dadoumdeterminadonó,retornaoendereçodonó
imediatamentesuperior
Tamanho
Retornaonúmerototaldenósdeumaárvore
Altura
Retornaaalturadaárvore
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78. Árvores Usando Contiguidade Física
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Não é intuitiva como era no caso das Listas Lineares
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79. Árvores Usando Contiguidade Física
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A(3)B(1)C(0)D(4)E(0)F(0)G(0)H(0)I(0)
A(3)B(1)E(0)C(0)D(4)F(0)G(0)H(0)I(0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

80. Vantagens Usando Contiguidade Física
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Eficienteemtermosdeespaço,
principalmentequandoograunãovaria
muito
Implementaçãoémaissimplesseexistir
limitaçãodonúmerodedescendentes.
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81. Desvantagens Usando Contiguidade Física
12:18
Implementaçãonãoconstituiumaboa
representaçãofísicadeárvores
Dificuldadedeseguirahierarquiaimplícita
nestasestruturasaomanipularaárvore
InserçãoeRemoçãodemorada
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82. Árvore Ternária Usando Contiguidade Física
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A B C D ʎ E ʎ ʎ ʎ ʎ F G ...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

83. Árvores Implementadas por Encadeamento
12:18
Oacessosedásemprepelaraiz
Osdemaisnóssãoalcançadossomentepelosendereçosdoselos
Ahierarquiadesubordinação,implícitanasárvores,fica
perfeitamenterepresentada.
Todososnósdaárvoredeveapresentaramesmaestrutura.
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84. Árvores Implementadas por Encadeamento
12:18
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A
B/ / C/// D /
E/// F/// G///

85. Vantagens da Implementação por Encadeamento
12:18
ÉbastanteIntuitiva
InserçãoeRemoçãosãosimples,constituindo
basicamentenaatualizaçãodeendereçosnos
camposdeelodealgunsnós.
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86. Desvantagens da Implementação por Encadeamento
12:18
Árvorescujosnóstêmgrauvariadoapresentam
geralmentemuitoscamposdeeloociosos
OAcessoaosnóspodeserdificultadodevidoà
necessidadedeacessarqualquernóssempre
atravésdaraiz.
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87. Concluindo ...
12:18 87
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88. Exercício 1
12:18
Considereaárvorecomrepresentaçãoaninhada
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( A ( B ) ( C ( F ( H ) ( I ) )) ( D) ( E ( G ) ) )

89. Exercício 2
12:18
Quantassubárvoresestaárvorecontém?
Quaisosnós-folha?
Qualograudecadanó?
Qualograudaárvore?
ListeosancestraisdosnósB,GeI.
ListeosnósdequemCéancestralpróprio.
ListeosnósdequemDédescendentepróprio.
DêoníveleaalturadonóFeA.
Qualaalturadaárvore?
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90. Nesta aula aprendemos...
Árvores
#Conceito
#Componentes
#Tipos de árvores
#Onde são utilizadas?
12:18
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91. Material: https://sites.google.com/site/leinylsonnassau
12:18
Material baseado nas aulas de:
Árvores, Cristiano Pires Martins
Árvores binárias, Paulo Feofiloff
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92. Na próxima aula veremos...
Técnicas de Pesquisa e Ordenação
#Conceitos
#Algoritmos
12:18
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93. Alguma Dúvida?
12:18
Até a próxima aula...
[email protected]

94. Prática 
12:18 94
As aulas práticas foram baseadas no material de
Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes.
Disponível em: https://programacaodescomplicada.wordpress.com/
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95. 12:18 95
Árvore Binária
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96. Árvore Binária: Implementação
12:18
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EmumaÁrvoreBináriapodemosrealizarasseguintesoperações
Criaçãodaárvore
Inserçãodeumelemento
Remoçãodeumelemento
Acessoaumelemento
Destruiçãodaárvore
Essasoperaçõesdependemdotipodealocaçãodememóriausada
Estática(heap)
Dinâmica(listaencadeada)

97. Árvore Binária: Alocação Estática
12:18
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Usodeumarray
Usaduasfunçõespararetornaraposiçãodosfilhosàesquerdaeà
direitadeumpai

98. Árvore Binária: Alocação Dinâmica
12:18
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Cadanódaárvoreétratadocomoumponteiroalocadodinamicamente
amedidaqueosdadossãoinseridos

99. Árvore Binária: Alocação Dinâmica
12:18
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Paraguardaroprimeironódaárvoreutilizamosumponteiropara
ponteiro.Assim,ficafácilmudarqueméaraízdaárvore(senecessário)

100. Árvore Binária
12:18
ArvoreBinaria.h
Osprotótiposdasfunções
Otipodedadoarmazenadonaárvore
Oponteiroárvore
ArvoreBinaria.c
Otipodedadosárvore
Implementarassuasfunções
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

101. 12:18 101
Definindo a Árvore
Binária
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102. Definindo a Árvore Binária
12:18
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

103. 12:18 103
Criando a Árvore
Binária
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

104. Criando a Árvore Binária
12:18
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

105. 12:18 105
Destruindo a Árvore
Binária
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

106. Destruindo a Árvore Binária
12:18
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

107. Destruindo a Árvore Binária
12:18
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

108. 12:18 108
Árvore Vazia?
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

109. Árvore Vazia?
12:18
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

110. 12:18 110
Altura da Árvore
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

111. Altura da Árvore
12:18
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

112. Altura da Árvore
12:18
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

113. 12:18 113
Número de nós
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114. Número de nós
12:18
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

115. Número de nós
12:18
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

116. 12:18 116
Árvores Balanceadas
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117. Árvores Balanceadas
12:18
Estrutura de Dados: Aula 13 –Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

118. Árvores Balanceadas
12:18
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