Estrutura de Dados - Grafos

Slides da aula de Estrutura de Dados

1. # Pesquisa e Ordenação #
Aula Apoio -Grafos
Prof. Leinylson Fontinele Pereira

2. 17:20 2
TEOREMA
Pesquisa e Ordenação -Aula Apoio -Grafos

3. 17:20 3
Um grafo conexo G é um grafo de
Euler se e somente se todos os seus
vértices são de grau par.
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4. 17:20 4
Grafos?
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5. Grafo Não é Algo Recente
17:20
Quemselembradasaulasdeestruturadedados?
Vetores(arrays);
Fila;
Pilha;
Árvores;
Grafos...
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6. O Mundo Não Gira Apenas no Banco Relacional
17:20
Muitagenteaindaestáviciada
nosRDBMs,quandopensaemum
novoprojeto,jácomeçaimaginara
estruturadetabelas;
Umarquitetoprecisapensarna
melhorsoluçãoparacadacasoe
saberqueomundodapersistência
nãotemapenasosRDBMs.
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7. Pensar Fora da Caixa 
17:20
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8. SerEficiente
17:20
Usaratecnologiacertanomomentocertovaitornarseutrabalho
absurdamenteeficiente!
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9. Grafos?
17:20
LeonhardEuler
Inventordateoriadegrafos(1736)
Qualapossibilidadedeatravessartodasas
pontesdacidadesemrepetirnenhuma?
GrafoEuleriano
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10. Exemplo Clássico: Rede Social
17:20
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11. Isso é um Grafo?
17:20
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12. Isso é um Grafo?
17:20
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13. Isso é um Grafo?
17:20
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14. Isso é um Grafo?
17:20
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15. Isso é um Grafo?
17:20
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16. Isso é um Grafo?
17:20
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17. Isso é um Grafo?
17:20
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18. Isso é um Grafo?
17:20
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19. Isso é um Grafo?
17:20
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20. Isso é um Grafo?
17:20
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21. Isso é um Grafo?
17:20
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22. Isso é um Grafo?
17:20
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23. Isso é um Grafo?
17:20
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24. Isso é um Grafo?
17:20
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25. Exemplos de Grafos
17:20
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26. Grafo Regular
17:20
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27. Grafo Regular
17:20
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28. Multigrafo
17:20
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29. Subgrafo
17:20
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30. Grafos Estrela
17:20
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31. Teoria dos Grafos
17:20
Ateoriadosgrafoséumramodamatemáticaqueestuda
asrelaçõesentreosobjetosdeumdeterminadoconjunto.
Paratalsãoempregadasestruturaschamadasdegrafos,
G(V,A),ondeVéumconjuntonãovaziodeobjetos
denominadosvérticeseAéumconjuntodeparesnão
ordenadosdeV,chamadoarestas.
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32. Representaçãode Grafos
17:20
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33. Para queusarGrafos?
17:20
Sistemasderecomendação
Catálogodeprodutos
Filtragemcolaborativa
Redessociais(oclássico)
Sistemasgeoespaciais
emuitomais...
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34. Quaisas Opçõespara usarGrafos?
17:20
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35. Neo4J
17:20
PersistênciaapenasemGrafos;
ImplementaçãoemJava;
ÉobancomaispopularemGrafos;
GPL;
CypherQueryLanguage
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36. Neo4J
17:20
MATCH(keanu:Person{name:'KeanuReeves'})-
[:ACTED_IN]-(movie:Movie)
RETURNmovie
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37. ArangoDB
17:20
MultiModelagem:
Grafos
Documentos
QueryLanguagepoderosa(AQL);
DesenvolvidoemC++
InterfaceRESTHTTP;
FOXX→Frameworkqueauxiliadesenvolvimentoweb;
Driversnativosparaquasetodasaslinguagens;
Livre,maspossuisuportecomercial.
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38. ArangoShell
17:20
arangosh>vargraph_module=require("org/arangodb/general-graph");
arangosh>vargraph=graph_module._create("myGraph");
arangosh>graph;
[GraphmyGraphEdgeDefinitions:[]VertexCollections:[]]
arangosh>graph._addVertexCollection("shop");
arangosh>graph._addVertexCollection("customer");
arangosh>graph._addVertexCollection("pet");
arangosh>graph
arangosh>varrel=graph_module._directedRelation("isCustomer",["shop"],["customer"]);
arangosh>graph._extendEdgeDefinitions(rel);
arangosh>graph;
[GraphmyGraphEdgeDefinitions:[
"isCustomer:[shop]->[customer]"
]VertexCollections:[]]
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39. OrientDB
17:20
AssimcomoArangoDB,émulti-modelagem:
Documento
Grafos
DesenvolvidoemJava;
SuportatransaçõesACID;
PossuilinguagemsemelhanteaSQL;
Livre,maspossuisuportecomercialtambém.
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40. Query Language -Exemplos
17:20
orientdb>insertintoVsetname='Jay'
createrecordwithRID#9:0
orientdb>createvertexVsetname='Jay'
createvertexwithRID#9:1
orientdb>createedgeEatfrom(selectfromPersonwherename=
'Luca')to(selectfromRestaurantwherename='Dante')
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41. Definição
17:20
Comorepresentarumconjuntodeobjetoseassuasrelações?
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Diversostiposdeaplicaçõesnecessitamdisso
Umgrafoéummodelomatemáticoque
representaasrelaçõesentreobjetosdeum
determinadoconjunto.

42. Definição
17:20
Grafosemcomputação
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Formadesolucionarproblemascomputáveis
Buscamodesenvolvimentodealgoritmosmais
eficientes
Qualamelhorrotadaminhacasaatéo
restaurante?
Duaspessoastemamigosemcomum?

43. Definição
17:20
UmgrafoG(V,A)édefinidopordoisconjuntos
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ConjuntoVdevértices(nãovazio)
Itensrepresentadosemumgrafo;
ConjuntoAdearestas
Utilizadasparaconectarparesdevértices,usando
umcritériopreviamenteestabelecido.

44. Definição
17:20
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45. Conceitos Básicos
17:20
Vérticeécadaumdositensrepresentadosnografo.
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Oseusignificadodependedanatureza
doproblemamodelado
Pessoas,umatarefaemumprojeto,
lugaresemummapa,etc.

46. Conceitos Básicos
17:20
Arestaligadoisvértices
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Dizqualarelaçãoentreeles
Doisvérticessãoadjacentesseexistir
umaarestaligandoeles.
Pessoas(parentescoentreelasouamizade),tarefas
deumprojeto(pré-requisitoentreastarefas),
lugaresdeummapa(estradasqueexistemligando
oslugares),etc.

47. Conceitos Básicos
17:20
Praticamentequalquerobjetopodeser
representadocomoumgrafo.
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48. Conceitos Básicos
17:20
Praticamentequalquerobjetopodeser
representadocomoumgrafo.
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49. Conceitos Básicos
17:20
Asarestaspodemounãoterdireção
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50. Conceitos Básicos
17:20
Asarestaspodemounãoterdireção
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51. Conceitos Básicos
17:20
Grau
Indicaonúmerodearestasqueconectamumvérticedo
grafoaoutrosvértices
•númerodevizinhosqueaquelevérticepossuinografo
Nocasodosdígrafos,temosdoistiposdegrau:
•graudeentrada:númerodearestasquechegamaovértice;
•graudesaída:númerodearestasquepartemdovértice
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52. Conceitos Básicos
17:20
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53. Conceitos Básicos
17:20
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54. Conceitos Básicos
17:20
Laço
Umaarestaéchamadadelaço
seseuvérticedepartidaéo
mesmoqueodechegada
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55. Conceitos Básicos
17:20
Caminho
Umcaminhoentredoisvérticeséumasequênciadevérticesondecada
vérticeestáconectadoaovérticeseguintepormeiodeumaaresta.
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56. Conceitos Básicos
17:20
Ciclo
Caminhoondeovérticeinicialeofinalsãoomesmovértice.
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57. Tipos de Grafos
17:20
Grafotrivial
Possuiumúnicovérticeenenhumaaresta
Grafosimples
Grafonãodirecionado,semlaçosesemarestas
paralelas
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58. Tipos de Grafos
17:20
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59. Tipos de Grafos
17:20
Grafocompleto
Grafosimplesondecadavérticeseconectaatodosos
outrosvérticesdografo.
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60. Tipos de Grafos
17:20
Graforegular
Grafoondetodososseusvérticespossuemomesmograu
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61. Tipos de Grafos
17:20
Subgrafo
Gs(Vs,As)éumsubgrafodeG(V,A)seoconjuntodevérticesVsforumsubconjunto
deV,Vs⊆V,eseoconjuntodearestasAsforumsubconjuntodeA,As⊆A.
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62. Tipos de Grafos
17:20
Grafoconexoedesconexo
Grafoconexo:existeumcaminholigandoquaisquerdoisvértices.
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63. Tipos de Grafos
17:20
Grafosisomorfos
Doisgrafos,G1(V1,A1)eG2(V2,A2),
sãoditosisomorfosseexisteumafunçãoque
façaomapeamentodevérticesearestasde
modoqueosdoisgrafossetornemcoincidentes.
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64. Tipos de Grafos
17:20
Grafosisomorfos
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65. Tipos de Grafos
17:20
Grafoponderado
Éumgrafoquepossuipesosassociadosacadaumadesuasarestas.
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66. Tipos de Grafos
17:20
GrafoEuleriano
Grafoquepossuiumcicloquevisitatodasassuasarestasapenas
umavez,iniciandoeterminandonomesmovértice.
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67. Tipos de Grafos
17:20
GrafoSemi-Euleriano
Grafoquepossuiumcaminhoabertoquevisitatodasas
suasarestasapenasumavez.
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68. Tipos de Grafos
17:20
GrafoHamiltoniano
Grafoquepossuiumcaminhoquevisitatodososseus
vérticesapenasumavez.
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69. Tipos de Representação
17:20
Comorepresentarumgrafonocomputador?
MatrizdeAdjacência
ListadeAdjacência
Qualarepresentaçãoquedeveserutilizada?
Dependedaaplicação!
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70. Tipos de Representação
17:20
Matrizdeadjacência
UtilizaumamatrizNxNparaarmazenarografo,onde
Néonúmerodevértices
•Altocustocomputacional,O(N
2
)
Umaarestaérepresentadaporumamarcanaposição
(i,j)damatriz
•Arestaligaovérticeiaoj
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71. Tipos de Representação
17:20
Matrizdeadjacência
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72. Tipos de Representação
17:20
Listadeadjacência
Utilizaumalistadevérticesparadescreverasrelaçõesentre
osvértices.
•UmgrafocontendoNvérticesutilizaumarraydeponteirosde
tamanhoNparaarmazenarosvérticesdografo
•Paracadavérticeécriadaumalistadearestas,ondecada
posiçãodalistaarmazenaoíndicedovérticeaqualaquele
vérticeseconecta
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73. Tipos de Representação
17:20
Listadeadjacência
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74. Tipos de Representação
17:20
Qualrepresentaçãoutilizar?
Listadeadjacênciaémaisindicadaparaumgrafoque
possuimuitosvérticesmaspoucasarestasligando-os.
Amedidaqueonúmerodearestascresceenãohavendo
nenhumaoutrainformaçãoassociadaaaresta,ousode
umamatrizdeadjacênciasetornamaiseficiente
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75. Material: https://sites.google.com/site/leinylsonuespi
17:20
Material baseado nas aulas de:
ChristianoAnderson,Grafos-Umaabordagemdivertida
MatemáticacomoGoogleEarth,ProfessorFernandoBrito
LinguagemCDescomplicada,Dr.AndréR.Backes
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76. 17:20 76
Desafio!
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77. Desafio Matematicamente Impossível!!
17:20
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78. Do que Trata o Desafio?
17:20
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79. Explicação do Desafio
17:20
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80. 17:20 80
Atividade
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81. 17:20 81
KonigsbergBridges
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82. Situação-problema
17:20
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PormuitotempoosmoradoresdacidadedeKönigsberg
(atualmenteKaliningrado,naRússia)perguntavam-seseera
possívelfazerumpasseionacidadecruzandotodasassete
pontesquecortavamorioPregel.
Passandoapenasumavezporcadaponte,retornandoao
pontodepartida,ouseja,percorrendoumcaminhofechado.

83. Mapa de Königsbergde 1652
17:20
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84. KonigsbergBridges
17:20
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Muitostentaramfazerumpercurso,
masastentativasforamsempre
falhas.
Atéqueomatemáticosuíço
LeonhardEuler(1707−1783),
usandoargumentosmuitosimples,
provouem1736quenãoera
possívelrealizartalfeito.

85. KonigsbergBridges
17:20
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Eleusouumdiagrama,chamadodegrafo2,parareproduzirosprincipais
elementosdomapa,ondedesenhoupontos(vértices)representandoasporçõesde
terraelinhas(arestas)representandoospercursospelassetepontes.

86. KonigsbergBridges
17:20
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DaíEulerpercebeuquesóseriapossívelfazerotrajeto
passandoumaúnicavezemcadaponteeretornandoaoponto
departida,sehouvesse,partindodecadavértice,umnúmero
pardearestas
Istoé,todososvérticesdeveriamserdegraupar.
Assim,essefamosoproblemamatemáticotornou-sepontode
partidaparaodesenvolvimentodaTeoriadosGrafos.

87. KonigsbergBridges
17:20
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Damesmaforma,outrassituaçõesreaispodemser
representadasporgrafoscomo,porexemplo:
Esquemasdecircuitosintegrados;rotasotimizadasparaempresasdetransporte
sistemasdeengenhariadetráfego;
Distribuiçãodeserviçosdeenergia,água,etelefone.
Alémdisso,tambémépossívelmodelarrelaçõesde
hierarquia,amizadeetrabalho.

88. KonigsbergBridges
17:20
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89. KonigsbergBridges –Várias Abstrações
17:20
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90. Modelo do Problema
17:20
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??????={�|�é���??????�ℎ������������}
�={(�1,�2,�}|�????????????��������������??????������������/??????�ℎ���1��2}
??????={�,�,�,�}
�={(�,�,�),(�,�,�),(�,�,�),(�,�,�),(�,�,�),(�,�,�),(�,�,�)}

91. Kaliningrado-Federação Russa (Atualmente)
17:20
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92. KonigsbergBridges (Atualmente)
17:20
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93. Relação do Desafio com KonigsbergBridges
17:20
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94. Teoria dos Grafos
17:20
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UmCaminhoEulerianoéumcaminhoemum
grafoquevisitacadaarestaapenasumavez.
Comcasoespecial,umCircuitoEulerianoéum
caminhoEulerianoquecomeçaeterminano
mesmovértice.

95. Grafo de Königsberg
17:20
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96. Teoria dos Grafos
17:20
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PelaanálisedografomodeloGparaoproblemadaspontes
deKönigsberg,observa-sequeParaTodovEV,gr(v)éímpar.
Logo,ografoGnãoéumgrafodeEuler.
Issosignificaqueoproblemanãopossuisolução.Noteque
nãoénecessárioquetenhamosParaTodovEV,gr(v)éimpar,
bastaqueExistaPeloMenosUmvEV|gr(v)éimparpara
concluirmosqueografoemquestãonãoéumgrafodeEuler.

97. Grafo Euleriano
17:20
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98. Caminho Hamiltoniano
17:20
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Umcaminhohamiltonianoéumcaminhoquepermitepassar
portodososvérticesdeumgrafoG,nãorepetindonenhum,ou,
seja,passarportodosumaeumasóvezporcada.

99. Caminho Hamiltoniano
17:20
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100. Matriz de Adjacência
17:20
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Umamatrizdeadjacênciaéumadasformasdeserepresentarumgrafo.
DadoumgrafoGcomnvértices,podemosrepresentá-loemumamatriz�??????�
�(??????)=[�
��](ousimplesmente�).

101. Lista de Adjacência
17:20
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102. Problema do Caixeiro-Viajante –(PCV)
17:20
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Éumproblemaquetentadeterminaramenorrotapara
percorrerumasériedecidades(visitandoumaúnicavezcada
umadelas),retornandoàcidadedeorigem.
Trata-sedeumproblemadeotimizaçãoinspiradona
necessidadedosvendedoresemrealizarentregasemdiversos
locais(ascidades)percorrendoomenorcaminhopossível,
reduzindootemponecessárioparaaviagemeospossíveis
custoscomtransporteecombustível.

103. Problema do Caixeiro-Viajante –(PCV)
17:20
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104. Algoritmo ACO (AntColonyOptimization)
17:20
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NosalgoritmosACO,asformigassãosimplesagentesque,nocaso
doPCV,constroemcircuitosatravésdomovimentoentrecidades
nografodoproblema.
Asoluçãoconstruídapelasformigaséelaboradaportrilhosde
feromonas(artificiais)epeladisponibilidadedeinformação
heurística,àpriori.
QuandooalgoritmoACOéaplicado,éassociadaumaforçada
feromona,onde??????
��(�)éumainformaçãonuméricaqueé
modificadaduranteoalgoritmo,etéocontadordasiterações

105. Algoritmo ACO (AntColonyOptimization)
17:20
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106. Algoritmo ACO (AntColonyOptimization)
17:20
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107. Teorema das Quatro Cores
17:20
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108. Teorema das Quatro Cores
17:20
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109. Teorema das Quatro Cores
17:20
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110. 17:20 110
Agora é sua vez!
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111. Atividade com o Google Maps
17:20
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AsSetePontesdeKönigsberb
Construaografonoquadro(indicandoascoordenadas)e
determineumpercursooptimizadodotrechodescritoaseguir:
Partindodasuaresidência,traceomenorpercursoparachegarà
FaculdadeMauríciodeNASSAU.Seutrajetodeveincluirumavisitaà
CatedraldeN.S.dasGraças,RodoviáriadeMunicipaleParnaíba
Shopping,retornandoàsuaresidência,semrepetirnenhumaruaou
ponte,nãonecessariamentenestaordem.

112. Atividade com o Google Maps
17:20
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113. Atividade com o Google Maps
17:20
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114. Alguma Dúvida?
17:20
Até a prova!
[email protected]

115. Prática 
17:20 115
As aulas práticas foram baseadas no material de
Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes.
Disponível em: https://programacaodescomplicada.wordpress.com/
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116. Lista Estática Sequencial
17:20
ListaSequencial.h
Osprotótiposdasfunções
Otipodedadoarmazenadonalista
Oponteirolista
Tamanhodovetorusadonalista
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117. Lista Estática Sequencial
17:20
ListaSequencial.c
Otipodedadoslista
Implementarassuasfunções
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118. 17:20 118
Definindo o Grafo
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119. Definindo o Grafo: TAD Grafo
17:20
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120. 17:20 120
Criando o Grafo
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121. Criando o Grafo
17:20
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122. Criando o Grafo
17:20
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123. 17:20 123
Destruindo o Grafo
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124. Destruindo o Grafo
17:20
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125. Destruindo o Grafo
17:20
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126. 17:20 126
Inserindo uma
Aresta no Grafo
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127. Inserindo uma Aresta no Grafo
17:20
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128. Inserindo uma Aresta no Grafo
17:20
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