Et mcm y mcd fracciones algebraicas

1. M.C. D. - M.C. M. - FRACCIONES
ALGEBRAICAS

1) MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( M.C.D.):
El M.C.D. de dos o más expresiones
algebraicas es aquella expresión algebraica,
del mayor coeficiente y del mayor grado
posible, que divide exactamente y a la vez a
las primeras.
Por ejemplo, dados:
P = 12(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Q = 9x(x + 1)(x + 2)
Las expresiones que dividen exactamente a
P y a Q son: 1; 3; (x + 1); (x + 2); 3(x + 1);
3(x + 2); 3(x + 1)(x + 2).
De todas ellas, 3(x + 1)(x + 2) es la de mayor
coeficiente y de mayor grado, luego es el
M.C.D. de P y Q.

2) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( M.C.M.):
El M.C.M. de dos o más expresiones
algebraicas es aquella expresión algebraica,
del menor coeficiente y del menor grado
posible, que es múltiplo a la vez de las
primeras.
Por ejemplo, dados:
P = 12(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Q = 9x(x + 1)(x + 2)
Las expresiones que son múltiplos de P y Q
a la vez son infinitas, pero un pequeño
análisis nos hace notar que han de ser
múltiplos de 12 y 9, y además contener a los
factores x; (x + 1); (x + 2); (x + 3); por lo que
tendrán la siguiente forma:
(36k)x
m
(x + 1)
n
(x + 2)
p
(x + 3)
q

Donde: k, m, n, p, q 
De todas las posibles combinaciones, la de
menor coeficiente y de menor grado es la
siguiente: 36x(x + 1)(x + 2)(x + 3), luego es el
M.C.M. de P y Q.

Forma Práctica para hallar el M.C. D. y el
M.C. M. de Expresiones Algebraicas

1. Factorizar las expresiones dadas.
2. Para el M.C.D., tomar únicamente todos
los factores comunes, pero elevados a su
menor exponente.
3. Para el M.C.M., tomar todos los factores,
comunes o no, pero elevados a su mayor
exponente.
Ejemplo: Halle el MCD y el MCM de P y Q
P = 8x
3
– 96x
2
+ 360x – 400
Q = 20x
3
– 180x
2
+ 480x – 400

Solución:
Factorizando ambas expresiones tendremos:
P = 8(x – 5)
2
(x – 2)
Q = 20(x – 5)(x – 2)
2


MCD(P,Q) = 4(x – 5)(x – 2)
MCM(P,Q) = 40(x – 5)
2
(x – 2)
2


PROPIEDADES

1. Si las expresiones son primas entre sí, el
MCD será igual a 1.
2. Si las expresiones son primas entre sí dos
a dos, el MCM será el producto de dichas
expresiones.
3. Para dos expresiones se cumple que:



3) FRACCIONES ALGEBRAICAS:

Una fracción algebraica es la división
indicada de dos polinomios, donde el
denominador debe tener al menos una
variable.

CLASIFICACIÓN

1A) Propias: Si el grado del numerador es
menor que el del denominador.
1B) Impropias: Si el grado del numerador es
mayor que el del denominador.

2A) Homogéneas: Si sus denominadores
son iguales.
2B) Heterogéneas: Si sus denominadores
son diferentes.

3A) Irreductibles: Si sus términos son PESI;
en consecuencia, no pueden simplificarse.
3C) Reductibles: Si sus términos no son
PESI, luego admiten ser simplificadas o
reducidas.

FRACCIONES EQUIVALENTES : Aquellas
que, para cualquier valor que se le dé sus
variables, resultan teniendo el mismo valor
numérico.

FRACCIONES COMP LEJAS: También
llamadas fracciones compuestas, son
aquellas cuyo numerador y/o denominador
es a su vez otra fracción algebraica.

Ejercicios

I. Halle el MCM y el MCD de:

1. A = 28x
2
y
3
z
4

B = 35x
3
y
4
z
5

C = 4x
2
y
5
z
6


2. A = 3(x + 1)
B = 2(x
2
– x + 1)
C = 6x
3
+ 6

3. A = 20x
4
+ x
2
– 1
B = 25x
4
+ 5x
3
– x – 1
C = 25x
4
– 10x
2
+ 1

4. A = x
2
+ 5x + 6
ÁLGEBRA

MCD(A,B)  MCM(A,B) = A  B

2. B = 2x
2
+ 12x + 18
C = 4x
2
+ 4x – 24

5. A = 2x
4
– 10x
2
+ 8
B = x
2
+ x – 2
C = x
6
+ 7x
3
– 8

6. A = x
3
+ 5x
2
+ 8x + 4
B = x
3
+ 3x
2
– 4
C = x
3
+ 6x
2
+ 12x + 8

7. A = x
4
+ a
2
x
2
+ a
4

B = x
3
– ax
2
+ a
2
x

8. A = x
2
+ 3x – 10
B = x
2
– 25
C = x
2
+ 5x

II. Simplifique las fracciones algebraicas:

1. x
2
– x – 20
x
2
– 7x + 10

2. 3x
2
– 4x – 15
x
2
– 5x + 6

3. 1 + 4x + 4x
2

1 – 4x
2


4. n
2
– 2 – n
2n
2
– n
3


5. x
2
– 4 .
5px + 10p

6. x
4
– x
3
+ x – 1
x
3
+ 1

7. m
2
+ m – mn – n
m
2
– 2mn + n
2


8. x
3
– 25x .
2x
3
– 8x
2
– 10x

9. (n
2
– 3n – 4)(n
2
– 5n + 6)
(n
2
– 6n + 8)(n
2
– 2n – 3)

Problemas

1. Calcule el MCM de:

A = a
2
– b
2

B = a
2
– 2ab + b
2

C = a
2
+ 2ab + b
2


a) (a – b)
2
b) (a + b)
3
c) (a
2
– b
2
)
2

d) (a
2
– b
2
)
3
e) (a – b)
3


2. Dé el MCD de:

A = x
3
– xy
2
+ x
2
y – y
3

B = x
3
– xy
2
– x
2
y + y
3

C = x
4
– 2x
2
y
2
+ y
4


a) x + y b) x – y c) x
2
– y
2

d) (x + y)
2
e) (x – y)
2


3. Si:
A(x;y) = 12x
n – 1
y
m + 1

B(x;y) = 16x
n + 1
y
m – 1


Son tales que:
MCM(A;B) = cx
a
y
4

MCD(A;B) = dx
5
y
b


Calcule:
d + b – n
c + a – m

a) 1 b) – 1 c) 0
d) 2 e) 4

4. El producto de dos polinomios es (x
2
– 1)
2
,
y el cociente de su MCM y MCD es (x – 1)
2
.
Calcule el MCD de dichos polinomios.

a) x + 1 b) x
2
+ 1 c) (x + 1)
2

d) (x – 1)
2
e) x – 1

5. Simplifique:
x
6
y – 25x
4
y .
x
5
y – x
4
y – 30x
3
y

a) x
2
+ 5x b) x
2
+ 5x c) x
2
– 5x
x – 6 x + 6 x – 6
d) x
2
– 5x e) x .
x + 6 x + 6

6. Reduzca la siguiente expresión:
1
x
1 –
x
2

x –
1
x –
x

a) x b) 1 / 2 c) x
- 1

d) x
- 2
e) x + 1