Evaluación de proyectos
leonardohlanda
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Nov 05, 2016
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About This Presentation
Segunda parte de ingeniería económica dedicada a la evaluación de proyectos
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Evaluación de proyectos
Dr. Leonardo Gabriel Hernández Landa
FCQ, UANL
Dr. Leonardo Gabriel Hernández Landa
FCQ, UANL
La tasa mínima aceptable de rendimiento
(TMAR)
•Al momento de hacer una inversión, el inversionista necesita saber
cuanto rendimiento le generará esa aportación.
•La TMAR nos ayuda a determinar las expectativas que tenemos ese
negocio, es decir
•Es la base de comparación con respecto al rendimiento o gananacia
esperados.
•El problema se centra en determinar esta tasa.
(TMAR)
•Al momento de hacer una inversión, el inversionista necesita saber
cuanto rendimiento le generará esa aportación.
•La TMAR nos ayuda a determinar las expectativas que tenemos ese
negocio, es decir
•Es la base de comparación con respecto al rendimiento o gananacia
esperados.
•El problema se centra en determinar esta tasa.
EJEMPLO
TMAR
•Todo inversionista espera que su dinero crezca en términos reales.
Como en todos los países hay inflación, aunque su valor sea pequeño,
crecer en términos reales significa ganar un rendimiento superior a la
inflación, ya que si se gana un rendimiento igual a la inflación el
dinero no crece, sino que mantiene su poder adquisitivo.
Es ésta la razón por la cual no debe tomarse como referencia la tasa de
rendimiento que ofrecen los bancos, pues es bien sabido que la tasa
bancaria de rendimiento es siempre menor a la inflación.
•Todo inversionista espera que su dinero crezca en términos reales.
Como en todos los países hay inflación, aunque su valor sea pequeño,
crecer en términos reales significa ganar un rendimiento superior a la
inflación, ya que si se gana un rendimiento igual a la inflación el
dinero no crece, sino que mantiene su poder adquisitivo.
Es ésta la razón por la cual no debe tomarse como referencia la tasa de
rendimiento que ofrecen los bancos, pues es bien sabido que la tasa
bancaria de rendimiento es siempre menor a la inflación.
Formula
•Por lo tanto, la TMAR se puede definir como:
����=������??????�����??????ó�+����??????����??????����
•El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento del dinero, y se
le llama así porque el inversionista siempre arriesga su dinero
•Por lo tanto, la TMAR se puede definir como:
����=������??????�����??????ó�+����??????����??????����
•El premio al riesgo significa el verdadero crecimiento del dinero, y se
le llama así porque el inversionista siempre arriesga su dinero
Premio al riesgo
•Para calcular el premio al riesgo se pueden tomar como referencias
las dos situaciones siguientes:
•Si se desea invertir en empresas productoras de bienes o servicios deberá
hacerse un estudio del mercado de esos productos.
•La segunda referencia es analizar las tasas de rendimiento por sectores en la
Bolsa de Valores
•Para calcular el premio al riesgo se pueden tomar como referencias
las dos situaciones siguientes:
•Si se desea invertir en empresas productoras de bienes o servicios deberá
hacerse un estudio del mercado de esos productos.
•La segunda referencia es analizar las tasas de rendimiento por sectores en la
Bolsa de Valores
Métodos de análisis
•El método de análisis que se utilice para tomar la decisión de
inversión debe tener varias características deseables:
•ser capaz de seleccionar la mejor opción de entre un conjunto de
opciones mutuamente exclusivas, entendiéndose como tal al hecho
de tener n alternativas de inversión y, al tomar una de ellas, las demás
quedan eliminadas automáticamente.
•El método de análisis que se utilice para tomar la decisión de
inversión debe tener varias características deseables:
•ser capaz de seleccionar la mejor opción de entre un conjunto de
opciones mutuamente exclusivas, entendiéndose como tal al hecho
de tener n alternativas de inversión y, al tomar una de ellas, las demás
quedan eliminadas automáticamente.
Periodo de recuperación
•Supóngase los siguientes flujos de efectivo de dos alternativas
mutuamente exclusivas. El periodo de planeación y análisis es de seis
años.
•Supóngase los siguientes flujos de efectivo de dos alternativas
mutuamente exclusivas. El periodo de planeación y análisis es de seis
años.
El valor presente neto (VPN)
•El valor presente simplemente significa traer del futuro al presente
cantidades monetarias a su valor equivalente.
•como en el cálculo del VPN, se dice que se utiliza una tasa de
descuento; por ello, a los flujos de efectivo ya trasladados al presente
se les llama flujos descontados.
•El valor presente simplemente significa traer del futuro al presente
cantidades monetarias a su valor equivalente.
•como en el cálculo del VPN, se dice que se utiliza una tasa de
descuento; por ello, a los flujos de efectivo ya trasladados al presente
se les llama flujos descontados.
EJEMPLO
•Supóngase que se ha hecho cierto estudio que tomó en cuenta la
posibilidad de invertir en una industria metalmecánica. Se calculó una
inversión inicial de $1 000 con la posibilidad de obtener las ganancias de fin
de año que se muestran en la gráfica.
•La pregunta que se hacen los inversionistas es, ¿conviene invertir en este
proyecto dadas las expectativas de ganancia e inversión?
•Supóngase que se ha hecho cierto estudio que tomó en cuenta la
posibilidad de invertir en una industria metalmecánica. Se calculó una
inversión inicial de $1 000 con la posibilidad de obtener las ganancias de fin
de año que se muestran en la gráfica.
•La pregunta que se hacen los inversionistas es, ¿conviene invertir en este
proyecto dadas las expectativas de ganancia e inversión?
Formula VPN
•Para responder a esta pregunta se puede utilizar el VPN como criterio de
selección.
•donde:
���=flujo neto de efectivo del año n, que corresponde a la ganancia neta
después de impuestos en el año n.
�=inversión inicial en el año cero.
??????=tasa de referencia que corresponde a la TMAR.
•Para responder a esta pregunta se puede utilizar el VPN como criterio de
selección.
•donde:
���=flujo neto de efectivo del año n, que corresponde a la ganancia neta
después de impuestos en el año n.
�=inversión inicial en el año cero.
??????=tasa de referencia que corresponde a la TMAR.
Ejemplo
•Suponga que se tienen varios inversionistas y cada uno requiere de
una TMAR diferente.
Inversionista TMAR $VPN
1 5%
2 10%
3 15%
4 20%
5 25%
6 30%
•Suponga que se tienen varios inversionistas y cada uno requiere de
una TMAR diferente.
Inversionista TMAR $VPN
1 5%
2 10%
3 15%
4 20%
5 25%
6 30%
Criterios VPN
•Si VPN > 0, es conveniente aceptar la inversión, ya que se estaría
ganando más del rendimiento solicitado.
•Si VPN < 0, se debe rechazar la inversión porque no se estaría
ganando el rendimiento mínimo solicitado.
•Si VPN > 0, es conveniente aceptar la inversión, ya que se estaría
ganando más del rendimiento solicitado.
•Si VPN < 0, se debe rechazar la inversión porque no se estaría
ganando el rendimiento mínimo solicitado.
Tendencia VPN
InversionistaTMAR $VPN
1 5% 538
2 10% 327
3 15% 157
4 20% 18
5 25% -95
6 30% -190
-300
-200
-100
0
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200
300
400
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5% 10% 15% 20% 25% 30%
VPN
InversionistaTMAR $VPN
1 5% 538
2 10% 327
3 15% 157
4 20% 18
5 25% -95
6 30% -190
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5% 10% 15% 20% 25% 30%
VPN
La tasa interna de rendimiento (TIR)
•La ganancia anual que tiene cada
inversionista se puede expresar
como una tasa de rendimiento o
de ganancia anual llamada tasa
interna de rendimiento.
•Según la gráfica en determinado
valor se cruza en cero, y es
precisamente en ese punto
donde se encuentra la TIR.
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
5% 10% 15% 20% 25% 30%
VPN
•La ganancia anual que tiene cada
inversionista se puede expresar
como una tasa de rendimiento o
de ganancia anual llamada tasa
interna de rendimiento.
•Según la gráfica en determinado
valor se cruza en cero, y es
precisamente en ese punto
donde se encuentra la TIR.
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
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5% 10% 15% 20% 25% 30%
VPN
TIR
•TIR es la tasa de descuento que hace el VPN = 0.
•Al igualar el VPN a cero, la única incógnita que queda es la i. Esta tasa
se obtiene por iteración o de manera gráfica. Sin embargo, con los
modernos métodos de cálculo que ahora existen, éste es el menor de
los problemas.
•TIR es la tasa de descuento que hace el VPN = 0.
•Al igualar el VPN a cero, la única incógnita que queda es la i. Esta tasa
se obtiene por iteración o de manera gráfica. Sin embargo, con los
modernos métodos de cálculo que ahora existen, éste es el menor de
los problemas.
Criterios de evaluación
•De esta manera, el criterio para tomar decisiones con la TIR es el
siguiente:
•Si ����≥�??????�es recomendable aceptar la inversión
•Si ����<�??????�es preciso rechazar la inversión
•De esta manera, el criterio para tomar decisiones con la TIR es el
siguiente:
•Si ����≥�??????�es recomendable aceptar la inversión
•Si ����<�??????�es preciso rechazar la inversión
•La ganancia esperada, ya sea que se exprese como VPN o como TIR,
se obtendrá sólo si la inversión y la operación de las instalaciones se
realizan exactamente como se planearon.
•Es necesario que los métodos de planeación sean los adecuados en el
tipo y la forma de aplicarse. No obstante, los valores de VPN y TIR
siguen siendo sólo una expectativa de ganancia.
se obtendrá sólo si la inversión y la operación de las instalaciones se
realizan exactamente como se planearon.
•Es necesario que los métodos de planeación sean los adecuados en el
tipo y la forma de aplicarse. No obstante, los valores de VPN y TIR
siguen siendo sólo una expectativa de ganancia.
Ejercicio 1
•El Departamento de Alumbrado Público de una ciudad tiene tres
propuestas mutuamente exclusivas para instalar el servicio, cada una
con diferente tecnología. Los datos de muestran en la tabla
•Si la TMAR que se aplica es de 10% anual, seleccione una alternativa
por el método del VPN
•El Departamento de Alumbrado Público de una ciudad tiene tres
propuestas mutuamente exclusivas para instalar el servicio, cada una
con diferente tecnología. Los datos de muestran en la tabla
•Si la TMAR que se aplica es de 10% anual, seleccione una alternativa
por el método del VPN
Ejercicio 2
•Una constructora desea adquirir una revolvedora móvil de mezcla
para utilizarla en sus construcciones. El periodo de planeación es de
cinco años y la TMAR de la constructora es de 8% anual. ¿Cuál
revolvedora debe seleccionarse si se calcula el VPN?
•Una constructora desea adquirir una revolvedora móvil de mezcla
para utilizarla en sus construcciones. El periodo de planeación es de
cinco años y la TMAR de la constructora es de 8% anual. ¿Cuál
revolvedora debe seleccionarse si se calcula el VPN?
Ejercicio 3
•La compañía de TV por cable pretende instalarse en la zona oriente
del país con los siguientes datos monetarios: inversión inicial en la
primera etapa del proyecto $10 000 millones; inversión en la segunda
etapa del proyecto al final de cuatro años $10 000 millones. Ingresos
anuales por venta de membresías, $2000 millones el primer año y
aumento de $500 millones en los años restantes hasta el año 8,
después del cual los ingresos permanecerán constantes. Si se planea
para un periodo de 12 años, determine el VPN de la inversión con una
TMAR de 15% anual.
•La compañía de TV por cable pretende instalarse en la zona oriente
del país con los siguientes datos monetarios: inversión inicial en la
primera etapa del proyecto $10 000 millones; inversión en la segunda
etapa del proyecto al final de cuatro años $10 000 millones. Ingresos
anuales por venta de membresías, $2000 millones el primer año y
aumento de $500 millones en los años restantes hasta el año 8,
después del cual los ingresos permanecerán constantes. Si se planea
para un periodo de 12 años, determine el VPN de la inversión con una
TMAR de 15% anual.
Ejercicio 4
•El parque de diversiones infantiles Boredkingdomestá considerando
cinco propuestas para nuevas instalaciones con qué divertir a los
niños. Los datos que ha logrado recabar la empresa se muestran en la
tabla
•Si el periodo de planeación es de cinco años y la TMAR de
Boredkingdomes de 10%, determine la mejor propuesta con base en
el cálculo del VPN
•El parque de diversiones infantiles Boredkingdomestá considerando
cinco propuestas para nuevas instalaciones con qué divertir a los
niños. Los datos que ha logrado recabar la empresa se muestran en la
tabla
•Si el periodo de planeación es de cinco años y la TMAR de
Boredkingdomes de 10%, determine la mejor propuesta con base en
el cálculo del VPN
Ejercicio 5
•Se invierten $500 con la expectativa de recibir $80 al final de cada
uno de los siguientes ocho años. ¿Cuál es la tasa interna de
rendimiento de la inversión?.
•Se invierten $500 con la expectativa de recibir $80 al final de cada
uno de los siguientes ocho años. ¿Cuál es la tasa interna de
rendimiento de la inversión?.
Búsqueda de i mediante tablas
•fórmula de interpolación
•y = parámetro para calcular la i desconocida
•�
1=valor inferior de la i;
•�
2=valor superior de la i;
•�
1=valor del factor en tablas que corresponde a �
1,
•�
2=valor del factor que corresponde a �
2
•�=valor del factor que corresponde a y
•fórmula de interpolación
•y = parámetro para calcular la i desconocida
•�
1=valor inferior de la i;
•�
2=valor superior de la i;
•�
1=valor del factor en tablas que corresponde a �
1,
•�
2=valor del factor que corresponde a �
2
•�=valor del factor que corresponde a y
Método de búsqueda local (bisección)
•ni accuracyi f(i)
•20.07575 0.0832.760432926626727
•30.038375 0.04-42.25221772637287
•40.0570625 0.06-2.610912660113548
•50.06640625 0.0715.5711674962398612
•60.061734375 0.066.6086541696233198
•70.0593984375 0.062.0315758540147702
•80.05823046875 0.06-0.281419137966606
•90.058814453125 0.0590.8771314909541566
•100.0585224609375 0.0590.2983706038973116
•110.058376464843750.0580.0086044831645652
•120.0583034667968750.0583-0.1363751219121966
•20.07575 0.0832.760432926626727
•30.038375 0.04-42.25221772637287
•40.0570625 0.06-2.610912660113548
•50.06640625 0.0715.5711674962398612
•60.061734375 0.066.6086541696233198
•70.0593984375 0.062.0315758540147702
•80.05823046875 0.06-0.281419137966606
•90.058814453125 0.0590.8771314909541566
•100.0585224609375 0.0590.2983706038973116
•110.058376464843750.0580.0086044831645652
•120.0583034667968750.0583-0.1363751219121966
Ejemplo
•En un pozo petrolero se invirtieron $500 millones durante el año cero
en las pruebas de exploración y perforación. A lo largo del primer año,
para dejar al pozo en condiciones de extracción normal, se invirtieron
adicionalmente $300 millones. Después de haber medido la presión
del pozo, se espera que éste produzca beneficios anuales de $250
millones durante los siguientes 10 años. Determínese la tasa interna
de rendimiento del pozo petrolero.
•En un pozo petrolero se invirtieron $500 millones durante el año cero
en las pruebas de exploración y perforación. A lo largo del primer año,
para dejar al pozo en condiciones de extracción normal, se invirtieron
adicionalmente $300 millones. Después de haber medido la presión
del pozo, se espera que éste produzca beneficios anuales de $250
millones durante los siguientes 10 años. Determínese la tasa interna
de rendimiento del pozo petrolero.
Ejercicio 6
•Calcúlese la TIR del diagrama de flujo de efectivo mostrado en la
gráfica
•Calcúlese la TIR del diagrama de flujo de efectivo mostrado en la
gráfica
Ejercicio 7
•Encuéntrense las i del diagrama de flujo mostrado en la gráfica
•Encuéntrense las i del diagrama de flujo mostrado en la gráfica
Ejercicio 8
•Un estudio de factibilidad arrojó las siguientes cifras: inversión inicial
$940000; beneficio neto el primer año, $105000 con incremento de
$25000 en cada uno de los años siguientes; valor de salvamento
$150000 al final del año 5. La inversión se plantea para un periodo de
cinco años. Si la TMAR considerada es de 6% anual, determínese la
conveniencia económica de hacer la inversión por medio de la TIR.
•Un estudio de factibilidad arrojó las siguientes cifras: inversión inicial
$940000; beneficio neto el primer año, $105000 con incremento de
$25000 en cada uno de los años siguientes; valor de salvamento
$150000 al final del año 5. La inversión se plantea para un periodo de
cinco años. Si la TMAR considerada es de 6% anual, determínese la
conveniencia económica de hacer la inversión por medio de la TIR.
Situaciones donde la TIR y el VPN conducen
a decisiones contrarias
•Una persona tiene dos alternativas de inversión, ambas de $15000.
Sin embargo, la primera ofrece un pago de $5500 al final a cada uno
de los próximos cuatro años; por otra parte, la segunda alternativa
ofrece un pago único de $27500 al final de los cuatro años. Si la TMAR
= 15%, decida cuál alternativa debe seleccionarse
a decisiones contrarias
•Una persona tiene dos alternativas de inversión, ambas de $15000.
Sin embargo, la primera ofrece un pago de $5500 al final a cada uno
de los próximos cuatro años; por otra parte, la segunda alternativa
ofrece un pago único de $27500 al final de los cuatro años. Si la TMAR
= 15%, decida cuál alternativa debe seleccionarse
La TMAR o costo de capital simple y mixto
•Cuando se da el caso de que la constitución de capital de una
empresa fue financiada en parte, se habla de un costo de capital
mixto. El cálculo de este costo se presenta en el siguiente ejemplo.
•Cuando se da el caso de que la constitución de capital de una
empresa fue financiada en parte, se habla de un costo de capital
mixto. El cálculo de este costo se presenta en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
•Para invertir en una empresa de productos plásticos se necesitan
$1,250 millones. Los socios sólo cuentan con $700 millones. El resto
se pedirá a dos instituciones financieras. La Financiera A aportará
$300 millones por los que cobrará un interés de 25% anual. Por su
parte, la Financiera B aportará $250 millones a un interés de 27.5%
anual. Si la TMAR de los accionistas es de 30%, ¿cuál es el costo de
capital o TMAR mixtapara esta empresa?
•Para invertir en una empresa de productos plásticos se necesitan
$1,250 millones. Los socios sólo cuentan con $700 millones. El resto
se pedirá a dos instituciones financieras. La Financiera A aportará
$300 millones por los que cobrará un interés de 25% anual. Por su
parte, la Financiera B aportará $250 millones a un interés de 27.5%
anual. Si la TMAR de los accionistas es de 30%, ¿cuál es el costo de
capital o TMAR mixtapara esta empresa?
Ejercicio 9
•Una empresa metalmecánica ha crecido en los últimos años y ha sido
financiada a partir del segundo con $100 millones anuales durante
dos años y con $50 millones al siguiente año. La TMAR de la empresa
es de 20% y en todos los préstamos la financiera siempre ha cobrado
12% de interés anual. Determínese la TMAR mixta del año 1 al 4, si la
aportación inicial de la empresa fue de $900 millones.
•Una empresa metalmecánica ha crecido en los últimos años y ha sido
financiada a partir del segundo con $100 millones anuales durante
dos años y con $50 millones al siguiente año. La TMAR de la empresa
es de 20% y en todos los préstamos la financiera siempre ha cobrado
12% de interés anual. Determínese la TMAR mixta del año 1 al 4, si la
aportación inicial de la empresa fue de $900 millones.
Costo anual uniforme equivalente (CAUE)
•En ocasiones es necesario seleccionar la mejor
alternativa desde el punto de vista económico, pero
no existen ingresos en el análisis.
•Algunas de las situaciones donde sólo se presentan
costos para el análisis económico son
•En ocasiones es necesario seleccionar la mejor
alternativa desde el punto de vista económico, pero
no existen ingresos en el análisis.
•Algunas de las situaciones donde sólo se presentan
costos para el análisis económico son
CAUE
•Seleccionar entre dos o más equipos alternativos para un proceso
industrial o comercial, que elabora una parte de un producto o servicio.
El equipo no elabora un producto o servicio final que se pueda vender
para obtener ingresos.
•Seleccionar entre dos o más procesos alternativos para el tratamiento
de contaminantes producidos por una industria. Es forzoso instalar el
proceso de tratamiento, ya que así lo exige la ley, pero esa inversión no
producirá ingresos.
•Se requiere reemplazar un sistema de procesamiento manual de datos
por un sistema computarizado. O bien, se requiere sustituir el
procesamiento de datos, que actualmente se realiza con computadoras
personales, por un procesamiento en red. La inversión que este cambio
requiere no producirá ingresos; no obstante, son inversiones necesarias
en muchas industrias y negocios.
•Seleccionar entre dos o más equipos alternativos para un proceso
industrial o comercial, que elabora una parte de un producto o servicio.
El equipo no elabora un producto o servicio final que se pueda vender
para obtener ingresos.
•Seleccionar entre dos o más procesos alternativos para el tratamiento
de contaminantes producidos por una industria. Es forzoso instalar el
proceso de tratamiento, ya que así lo exige la ley, pero esa inversión no
producirá ingresos.
•Se requiere reemplazar un sistema de procesamiento manual de datos
por un sistema computarizado. O bien, se requiere sustituir el
procesamiento de datos, que actualmente se realiza con computadoras
personales, por un procesamiento en red. La inversión que este cambio
requiere no producirá ingresos; no obstante, son inversiones necesarias
en muchas industrias y negocios.
Valor de salvamento
•Los conceptos valor de salvamento (VS), valor de rescate (VR) o valor
de recuperación (VR) son sinónimos que significan el valor de
mercado de un activo, en cualquier momento de su vida útil. A su vez,
valor de mercado significa el valor monetario al que puede ser
vendido un activo en el año n.
•Los conceptos valor de salvamento (VS), valor de rescate (VR) o valor
de recuperación (VR) son sinónimos que significan el valor de
mercado de un activo, en cualquier momento de su vida útil. A su vez,
valor de mercado significa el valor monetario al que puede ser
vendido un activo en el año n.
Valor de salvamento
•Si se está determinando sobre un activo que ya se
posee y se desea reemplazar, entonces el valor de
salvamento es el valor monetario que se puede
obtener por la venta de ese activo en el mercado
•Si por el contrario, el activo no se posee, se pretende
adquirir y el horizonte de análisis es por ejemplo de
siete años, entonces la toma de una decisión deberá
estimar, con ciertas bases, cuál será el valor de
mercado del activo al término de siete años.
La
determinación
del valor de
salvamento
puede tener
varios
aspectos:
•Si se está determinando sobre un activo que ya se
posee y se desea reemplazar, entonces el valor de
salvamento es el valor monetario que se puede
obtener por la venta de ese activo en el mercado
•Si por el contrario, el activo no se posee, se pretende
adquirir y el horizonte de análisis es por ejemplo de
siete años, entonces la toma de una decisión deberá
estimar, con ciertas bases, cuál será el valor de
mercado del activo al término de siete años.
La
determinación
del valor de
salvamento
puede tener
varios
aspectos:
Vida útil del activo
•La vida útil puede definirse simplemente como el periodo (expresado
usualmente en años), que un activo sirve o está disponible en la
actividad para la que fue diseñado.
•Sin embargo, un activo puede estar en servicio muchos años y tener
diferentes propietarios, de manera que, para efectos de tomar
decisiones económicas, la vida útil de un activo debe considerarse
como el número de años que ese activo estará en servicio para el
propietario que tomará la decisión económica sobre ese activo
•La vida útil puede definirse simplemente como el periodo (expresado
usualmente en años), que un activo sirve o está disponible en la
actividad para la que fue diseñado.
•Sin embargo, un activo puede estar en servicio muchos años y tener
diferentes propietarios, de manera que, para efectos de tomar
decisiones económicas, la vida útil de un activo debe considerarse
como el número de años que ese activo estará en servicio para el
propietario que tomará la decisión económica sobre ese activo
Ejemplo
•Se tienen dos alternativas mutuamente exclusivas para un nuevo proceso
de producción. La primera alternativa es semiautomática, con una
inversión inicial de $1500. Los costos de mano de obra son elevados y
ascienden a $3100 al final del primer año; se espera que se incrementen
10% al año, siempre respecto del costo obtenido en el año previo. Los
costos de mantenimiento son de $1 600 al año.
•El equipo se puede vender en $300 al final del periodo de análisis de cinco
años. El proceso alternativo, mucho más automatizado, tiene un costo
inicial de $6300, pero los costos de mano de obra son de tan sólo $900 al
final del primer año y también tendrán incrementos anuales de 10% sobre
el valor obtenido en el año previo. Los costos de mantenimiento son de
$2800 al año. El equipo se puede vender en $1100 al final de su vida útil de
cinco años. Con una TMAR = 10% anual, selecciónese la mejor alternativa
desde el punto de vista económico.
•Se tienen dos alternativas mutuamente exclusivas para un nuevo proceso
de producción. La primera alternativa es semiautomática, con una
inversión inicial de $1500. Los costos de mano de obra son elevados y
ascienden a $3100 al final del primer año; se espera que se incrementen
10% al año, siempre respecto del costo obtenido en el año previo. Los
costos de mantenimiento son de $1 600 al año.
•El equipo se puede vender en $300 al final del periodo de análisis de cinco
años. El proceso alternativo, mucho más automatizado, tiene un costo
inicial de $6300, pero los costos de mano de obra son de tan sólo $900 al
final del primer año y también tendrán incrementos anuales de 10% sobre
el valor obtenido en el año previo. Los costos de mantenimiento son de
$2800 al año. El equipo se puede vender en $1100 al final de su vida útil de
cinco años. Con una TMAR = 10% anual, selecciónese la mejor alternativa
desde el punto de vista económico.
beneficio anual uniforme equivalente (BAUE).
•Puede existir la situación complementaria del método donde no sólo
existen costos, sino también ingresos. Además, se desea expresar
ambas cantidades como una anualidad.
•Si existen ingresos en el problema, entonces se omite el acuerdo de
signos, y los ingresos son positivos y los costos negativos.
•Puede existir la situación complementaria del método donde no sólo
existen costos, sino también ingresos. Además, se desea expresar
ambas cantidades como una anualidad.
•Si existen ingresos en el problema, entonces se omite el acuerdo de
signos, y los ingresos son positivos y los costos negativos.
Ejemplo
•Una estación ferroviaria actualmente carga y descarga los costales de
grano (trigo, maíz y frijol) de forma manual y está considerando la
posibilidad de utilizar bandas transportadoras. Esto provocaría un
ahorro de mano de obra equivalente a $150000 al año. A cambio de
esto, es necesario invertir $435000 y, además, habrá costos de
mantenimiento de los transportadores por $38000 al año.
•Con una TMAR = 15%, un periodo de análisis de ocho años y un valor
de salvamento de cero para los transportadores al final de ese
periodo, determínese la conveniencia económica de su instalación.
•Una estación ferroviaria actualmente carga y descarga los costales de
grano (trigo, maíz y frijol) de forma manual y está considerando la
posibilidad de utilizar bandas transportadoras. Esto provocaría un
ahorro de mano de obra equivalente a $150000 al año. A cambio de
esto, es necesario invertir $435000 y, además, habrá costos de
mantenimiento de los transportadores por $38000 al año.
•Con una TMAR = 15%, un periodo de análisis de ocho años y un valor
de salvamento de cero para los transportadores al final de ese
periodo, determínese la conveniencia económica de su instalación.
Ejercicio 10
•Se tiene una máquina blíster que fue comprada hace cuatro años. Los
costos anuales de operación de la máquina son de $60800. El valor de
la máquina usada en el mercado es de $1 000, y su valor de
salvamento al final de ocho años también se estima en $1000. Como
genera un alto porcentaje de desperdicio de envase se ha pensado en
reemplazarla por una máquina nueva, la cual tiene un costo de
$145000, se ha calculado que reducirá los costos de operación a tan
sólo $33 700 anuales y tiene un valor de salvamento de $14000 al
final de ocho años.
•La TMAR de la empresa es 10%. Para un periodo de análisis de 8 años,
determínese la conveniencia económica del reemplazo.
•Se tiene una máquina blíster que fue comprada hace cuatro años. Los
costos anuales de operación de la máquina son de $60800. El valor de
la máquina usada en el mercado es de $1 000, y su valor de
salvamento al final de ocho años también se estima en $1000. Como
genera un alto porcentaje de desperdicio de envase se ha pensado en
reemplazarla por una máquina nueva, la cual tiene un costo de
$145000, se ha calculado que reducirá los costos de operación a tan
sólo $33 700 anuales y tiene un valor de salvamento de $14000 al
final de ocho años.
•La TMAR de la empresa es 10%. Para un periodo de análisis de 8 años,
determínese la conveniencia económica del reemplazo.
Ejercicio 11
•La tabla contiene los siguientes datos para decidir cuál máquina elegir
si la tasa de interés es de 10%.
•La tabla contiene los siguientes datos para decidir cuál máquina elegir
si la tasa de interés es de 10%.
Ejercicio 12
•Hay tres propuestas mutuamente exclusivas para un nuevo proceso
de teñido en una fábrica textil. Los datos económicos se presentan en
la tabla
•Hay tres propuestas mutuamente exclusivas para un nuevo proceso
de teñido en una fábrica textil. Los datos económicos se presentan en
la tabla
Ejercicio 13
•Se invirtieron $15 000 en el sistema de refrigeración de una planta. Se
han calculado los costos de mantenimiento en $600 el primer año, y
que aumentarán a razón de $300 al año durante un periodo de ocho
años. Si la TMAR de esta empresa es de 10% anual, determínese el
CAUE del sistema de refrigeración.
•Se invirtieron $15 000 en el sistema de refrigeración de una planta. Se
han calculado los costos de mantenimiento en $600 el primer año, y
que aumentarán a razón de $300 al año durante un periodo de ocho
años. Si la TMAR de esta empresa es de 10% anual, determínese el
CAUE del sistema de refrigeración.
Ejercicio 14
•Las canchas deportivas de un club social tienen un costo de
mantenimiento anual de $12 000. Como se considera que el costo es
alto se ha pensado en cambiar algunos materiales en la construcción
de las canchas con una inversión de $25500, con lo cual, el costo de
mantenimiento, se asegura, disminuirá a $6762 anuales. Si la TMAR
que se considera es de 10% y se planea para un periodo de siete
años, determine la conveniencia de hacer la inversión adicional.
•Las canchas deportivas de un club social tienen un costo de
mantenimiento anual de $12 000. Como se considera que el costo es
alto se ha pensado en cambiar algunos materiales en la construcción
de las canchas con una inversión de $25500, con lo cual, el costo de
mantenimiento, se asegura, disminuirá a $6762 anuales. Si la TMAR
que se considera es de 10% y se planea para un periodo de siete
años, determine la conveniencia de hacer la inversión adicional.
Uso de flujos constantes y flujos inflados para
el cálculo de la TIR.
•Un punto que se debate en la evaluación de proyectos es la forma de
trabajar con el estado de resultados para obtener los FNE y calcular
con ellos la TIR. Existen dos formas básicas de hacerla: considerar los
FNE del primer año como constantes a lo largo del horizonte de
planeación y considerar los efectos inflacionarios sobre los FNE de
cada año.
el cálculo de la TIR.
•Un punto que se debate en la evaluación de proyectos es la forma de
trabajar con el estado de resultados para obtener los FNE y calcular
con ellos la TIR. Existen dos formas básicas de hacerla: considerar los
FNE del primer año como constantes a lo largo del horizonte de
planeación y considerar los efectos inflacionarios sobre los FNE de
cada año.
FNE constante vs FNE inflados
•Es evidente que un cálculo de TIR con FNE constantes, y con FNE
inflados, hará variar en gran medida el valor de la TIR. Entonces,
¿cuál es el procedimiento correcto?
•Es evidente que un cálculo de TIR con FNE constantes, y con FNE
inflados, hará variar en gran medida el valor de la TIR. Entonces,
¿cuál es el procedimiento correcto?
Inflación
•Proceso económico provocado por el desequilibrio existente entre la
producción y la demanda; causa una subida continuada de los precios
de la mayor parte de los productos y servicios, y una pérdida del valor
del dinero para poder adquirirlos o hacer uso de ellos.
•Proceso económico provocado por el desequilibrio existente entre la
producción y la demanda; causa una subida continuada de los precios
de la mayor parte de los productos y servicios, y una pérdida del valor
del dinero para poder adquirirlos o hacer uso de ellos.
Comportamiento Inflación
Subyacentes
Mercancías
Servicios
No subyacentes
Agropecuarios
Energéticos
Inflación México un año
Acumulado inflación Venezuela 2016
Cálculo de la TIR con flujos constantes sin
inflación
•Se analiza en primera instancia el cálculo de la TIR sin inflación, con
producción constante. Bajo esta consideración no varían a lo largo de
los cinco años los FNE, ya que se supone que cada año se venderían
1,050 toneladas y como no se considera inflación, entonces los
ingresos y costos permanecerían constantes a lo largo de los años.
inflación
•Se analiza en primera instancia el cálculo de la TIR sin inflación, con
producción constante. Bajo esta consideración no varían a lo largo de
los cinco años los FNE, ya que se supone que cada año se venderían
1,050 toneladas y como no se considera inflación, entonces los
ingresos y costos permanecerían constantes a lo largo de los años.
Cálculo de la TIR con flujos constantes sin
inflación
Los datos para el cálculo de la TIR son los siguientes:
• Inversión inicial es P = $5 935.
• Los FNE del primer año son A = $1967.
• TMAR sin inflación del 15%.
• Valor de salvamento es VS = $3 129.
• Periodo de análisis considerado, n = 5 años.
inflación
Los datos para el cálculo de la TIR son los siguientes:
• Inversión inicial es P = $5 935.
• Los FNE del primer año son A = $1967.
• TMAR sin inflación del 15%.
• Valor de salvamento es VS = $3 129.
• Periodo de análisis considerado, n = 5 años.
Cálculo de la TIR con producción constante y
considerando inflación
•Ahora se procederá a calcular la TIR considerando a la inflación de
20% anual constante. Se mantiene la consideración de que no varía la
producción anual de 1 050 toneladas en cada uno de los cinco años.
Los datos de los FNE se tomaron de la tabla del ejemplo, pero a
diferencia de esa tabla y para fines de demostración, ahora no se
redondean las cifras, aunque estén expresadas en miles.
considerando inflación
•Ahora se procederá a calcular la TIR considerando a la inflación de
20% anual constante. Se mantiene la consideración de que no varía la
producción anual de 1 050 toneladas en cada uno de los cinco años.
Los datos de los FNE se tomaron de la tabla del ejemplo, pero a
diferencia de esa tabla y para fines de demostración, ahora no se
redondean las cifras, aunque estén expresadas en miles.
•Por tanto, para calcular las cifras de los FNE con inflación, basta tomar
la cantidad determinada en el periodo cero que es de $1 967 y
afectarla cada año por la inflación que se fijó en 20% anual constante
cada año
la cantidad determinada en el periodo cero que es de $1 967 y
afectarla cada año por la inflación que se fijó en 20% anual constante
cada año
•Por tanto, para calcular las cifras de los FNE con inflación, basta tomar
la cantidad determinada en el periodo cero que es de $1 967 y
afectarla cada año por la inflación que se fijó en 20% anual constante
cada año
la cantidad determinada en el periodo cero que es de $1 967 y
afectarla cada año por la inflación que se fijó en 20% anual constante
cada año
•Otro cálculo que se debe modificar es el valor de salvamento (VS), ya
que éste también sufrirá los efectos de la inflación y su determinación
es:
��=3129(1.2)5=$7785.9533
que éste también sufrirá los efectos de la inflación y su determinación
es:
��=3129(1.2)5=$7785.9533
•la TMAR fue definida como: �����=??????+�+??????�donde i es el
premio al riesgo sin inflación, y f la inflación anual. De acuerdo con los
datos de se tiene:
����=0.15+0.2+0.15×0.2=0.38
premio al riesgo sin inflación, y f la inflación anual. De acuerdo con los
datos de se tiene:
����=0.15+0.2+0.15×0.2=0.38
Conclusiones TIR
•Observe las diferencias obtenidas, primero sin inflación; mientras la
TMAR es de 15%, el proyecto arrojó un valor de 27.6734469%, es
decir, se obtuvo una ganancia por arriba de la TMAR de 12.6734469
puntos porcentuales.
•Considerando inflación se podría esperar que la TMAR con inflación,
que es de 38%, se vea superada por los mismos 12.6734469 puntos,
pero la diferencia es: 53.20813628 − 38 = 15.20813628. En apariencia
la diferencia es un poco mayor; sin embargo, al observar que
15.20813628 = 12.6734469 ×1.2 se verá que existe una clara
explicación para la aparente diferencia observada.
•Observe las diferencias obtenidas, primero sin inflación; mientras la
TMAR es de 15%, el proyecto arrojó un valor de 27.6734469%, es
decir, se obtuvo una ganancia por arriba de la TMAR de 12.6734469
puntos porcentuales.
•Considerando inflación se podría esperar que la TMAR con inflación,
que es de 38%, se vea superada por los mismos 12.6734469 puntos,
pero la diferencia es: 53.20813628 − 38 = 15.20813628. En apariencia
la diferencia es un poco mayor; sin embargo, al observar que
15.20813628 = 12.6734469 ×1.2 se verá que existe una clara
explicación para la aparente diferencia observada.
Cálculo de la TIR con financiamiento
•Como se ha señalado, los FNE cambian de una situación sin
financiamiento a otra con financiamiento.
•Cuando se calcula la TIR y hay financiamiento, es que sólo es posible
utilizar el estado de resultados con flujos y costos inflados, ya que
éstos se encuentran definitivamente influidos por los intereses
pagados (costos financieros), pues la tasa del préstamo depende casi
directamente de la tasa inflacionaria vigente en el momento del
préstamo, por lo que sería un error usar FNE constantes (inflación
cero) y aplicarles pago a principal y costos financieros, alterados con
la inflación.
•Como se ha señalado, los FNE cambian de una situación sin
financiamiento a otra con financiamiento.
•Cuando se calcula la TIR y hay financiamiento, es que sólo es posible
utilizar el estado de resultados con flujos y costos inflados, ya que
éstos se encuentran definitivamente influidos por los intereses
pagados (costos financieros), pues la tasa del préstamo depende casi
directamente de la tasa inflacionaria vigente en el momento del
préstamo, por lo que sería un error usar FNE constantes (inflación
cero) y aplicarles pago a principal y costos financieros, alterados con
la inflación.
•La segunda consideración importante es que para calcular la TIR, la
inversión considerada no es la misma. Ahora es necesario restar a la
inversión total la cantidad que ha sido obtenida en préstamo.
•Otra consideración importante es que ahora la nueva TIR deberá
compararse contra una TMAR mixta.
•La TMAR mixta no sólo servirá como punto de comparación contra la
TIR sino que también es útil para calcular el VPN con financiamiento
inversión considerada no es la misma. Ahora es necesario restar a la
inversión total la cantidad que ha sido obtenida en préstamo.
•Otra consideración importante es que ahora la nueva TIR deberá
compararse contra una TMAR mixta.
•La TMAR mixta no sólo servirá como punto de comparación contra la
TIR sino que también es útil para calcular el VPN con financiamiento
Métodos de evaluación que no toman
en cuenta el valor del dinero a través
del tiempo
•Existen técnicas que no toman en cuenta el valor del dinero a través
del tiempo y que no se relacionan en forma directa con el análisis de
la rentabilidad económica, sino con la evaluación financiera de la
empresa.
en cuenta el valor del dinero a través
del tiempo
•Existen técnicas que no toman en cuenta el valor del dinero a través
del tiempo y que no se relacionan en forma directa con el análisis de
la rentabilidad económica, sino con la evaluación financiera de la
empresa.
Razones financieras
•El análisis de las tasas o razones financieras es el método que no toma
en cuenta el valor del dinero a través del tiempo. Esto es válido, ya
que los datos que toma para su análisis provienen de la hoja de
balance general.
•El análisis de las tasas o razones financieras es el método que no toma
en cuenta el valor del dinero a través del tiempo. Esto es válido, ya
que los datos que toma para su análisis provienen de la hoja de
balance general.
Razones financieras
•Existen cuatro tipos básicos de razones financieras. La información
que surja de éstas puede ser de interés para personas o entidades
externas o internas a la empresa. Por ejemplo, a la institución
bancaria que prestará el dinero para el proyecto le interesará si en
éste existe suficiente liquidez como para que su restitución monetaria
no peligre.
•Existen cuatro tipos básicos de razones financieras. La información
que surja de éstas puede ser de interés para personas o entidades
externas o internas a la empresa. Por ejemplo, a la institución
bancaria que prestará el dinero para el proyecto le interesará si en
éste existe suficiente liquidez como para que su restitución monetaria
no peligre.
Razones de liquidez
•Miden la capacidad de la empresa para cumplir con sus obligaciones
(pagos) a corto plazo. Entre ellas figuran
•Miden la capacidad de la empresa para cumplir con sus obligaciones
(pagos) a corto plazo. Entre ellas figuran
a) Tasa circulante
•Se obtiene dividiendo los activos circulantes sobre los pasivos
circulantes. Los activos circulantes incluyen efectivo, acciones
vendibles, cuentas por cobrar e inventarios; los pasivos circulantes
incluyen cuentas por pagar, notas por pagar a corto plazo,
vencimientos a corto plazo de deudas a largo plazo, así como
impuestos y salarios retenidos.
����?????��������=
���??????���??????��������
���??????���??????��������
•Se obtiene dividiendo los activos circulantes sobre los pasivos
circulantes. Los activos circulantes incluyen efectivo, acciones
vendibles, cuentas por cobrar e inventarios; los pasivos circulantes
incluyen cuentas por pagar, notas por pagar a corto plazo,
vencimientos a corto plazo de deudas a largo plazo, así como
impuestos y salarios retenidos.
����?????��������=
���??????���??????��������
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b) Prueba del ácido
•Se calcula al restar los inventarios de los activos circulantes y dividir
•el resto entre los pasivos circulantes. Esto se hace así porque los
inventarios son los activos menos líquidos. Así, esta razón mide la
capacidad de la empresa para pagar las obligaciones a corto plazo sin
recurrir a la venta de inventarios.
•Se considera que 1 es un buen valor para la prueba del ácido.
�������������������??????��=
���??????���??????��������−??????�������??????�
??????��??????���??????��������
•Se calcula al restar los inventarios de los activos circulantes y dividir
•el resto entre los pasivos circulantes. Esto se hace así porque los
inventarios son los activos menos líquidos. Así, esta razón mide la
capacidad de la empresa para pagar las obligaciones a corto plazo sin
recurrir a la venta de inventarios.
•Se considera que 1 es un buen valor para la prueba del ácido.
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2. Tasas de apalancamiento
•Miden el grado en que la empresa se ha financiado por medio de la
deuda.
•Miden el grado en que la empresa se ha financiado por medio de la
deuda.
a) Razón de deuda total a activo total
•También llamada tasa de deuda. Mide el porcentaje total de fondos
provenientes de instituciones de crédito. La deuda incluye los pasivos
circulantes. Un valor aceptable de esta tasa es 33%, ya que los
acreedores difícilmente prestan a una empresa muy endeudada por
el riesgo que corren de no recuperar su dinero.
�����������=
����������
���??????�������
•También llamada tasa de deuda. Mide el porcentaje total de fondos
provenientes de instituciones de crédito. La deuda incluye los pasivos
circulantes. Un valor aceptable de esta tasa es 33%, ya que los
acreedores difícilmente prestan a una empresa muy endeudada por
el riesgo que corren de no recuperar su dinero.
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b) Número de veces que se gana el interés
•Se obtiene dividiendo las ganancias antes del pago de interés e
impuestos. Mide el grado en que pueden disminuir las ganancias sin
provocar un problema financiero a la empresa, al grado de no cubrir
los gastos anuales de interés.
•Un valor aceptado de esta tasa es 8.0 veces
��.����������������??????������=
??????�����������
��������??????������
•Se obtiene dividiendo las ganancias antes del pago de interés e
impuestos. Mide el grado en que pueden disminuir las ganancias sin
provocar un problema financiero a la empresa, al grado de no cubrir
los gastos anuales de interés.
•Un valor aceptado de esta tasa es 8.0 veces
��.����������������??????������=
??????�����������
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3. Tasas de actividad
•Este tipo de tasas no se deben aplicar en la evaluación de un
proyecto, ya que como su nombre lo indica, mide la efectividad de la
actividad empresarial y cuando se realiza el estudio no existe tal
actividad. La primera tasa es rotación de inventarios y se obtiene al
dividir las ventas entre los inventarios, ambas expresadas en pesos.
•El valor comúnmente aceptado de esta tasa es 9.
�����??????�??????�������??????�=
������
??????�������??????�
•Este tipo de tasas no se deben aplicar en la evaluación de un
proyecto, ya que como su nombre lo indica, mide la efectividad de la
actividad empresarial y cuando se realiza el estudio no existe tal
actividad. La primera tasa es rotación de inventarios y se obtiene al
dividir las ventas entre los inventarios, ambas expresadas en pesos.
•El valor comúnmente aceptado de esta tasa es 9.
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a) Periodo promedio de recolección
•Es la longitud promedio de tiempo que la empresa debe esperar
después de hacer una venta antes de recibir el pago en efectivo.
•Un valor aceptado para esta tasa es de 45 días.
????????????�=
����������������
����������í�
•Es la longitud promedio de tiempo que la empresa debe esperar
después de hacer una venta antes de recibir el pago en efectivo.
•Un valor aceptado para esta tasa es de 45 días.
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b) Rotación de activo total
•Es la tasa que mide la actividad final de la rotación de todos los
activos de la empresa.
•Un valor aceptado para esta tasa es de 2.0.
�����??????����??????����������=
�������������
���??????����������
•Es la tasa que mide la actividad final de la rotación de todos los
activos de la empresa.
•Un valor aceptado para esta tasa es de 2.0.
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4. Tasas de rentabilidad
•La rentabilidad es el resultado neto de un gran número de políticas y
decisiones. En realidad, las tasas de este tipo revelan cuán
efectivamente se administra la empresa.
•La rentabilidad es el resultado neto de un gran número de políticas y
decisiones. En realidad, las tasas de este tipo revelan cuán
efectivamente se administra la empresa.
a) Tasa de margen de beneficio sobre ventas
•Se calcula dividiendo el ingreso neto después de impuestos entre las
ventas. En realidad, tanto el ingreso neto como las ventas son una
corriente de flujos de efectivo a lo largo de un periodo de un año y
aquí está implícita la suposición de que ambas se dan en un mismo
momento.
•Un valor promedio aceptado en la industria es de entre 5 y 10%.
�����������������??????�??????�=
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��������������������
•Se calcula dividiendo el ingreso neto después de impuestos entre las
ventas. En realidad, tanto el ingreso neto como las ventas son una
corriente de flujos de efectivo a lo largo de un periodo de un año y
aquí está implícita la suposición de que ambas se dan en un mismo
momento.
•Un valor promedio aceptado en la industria es de entre 5 y 10%.
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��������������������
b) Rendimiento sobre activos totales
•Se obtiene dividiendo la utilidad neta libre de impuestos entre los
activos totales. Este cálculo es uno de los más controvertidos.
•Se pregunta qué valor se dará a los activos para validar la división con
una cantidad de dinero que se da en el futuro, como en la utilidad.
•Se obtiene dividiendo la utilidad neta libre de impuestos entre los
activos totales. Este cálculo es uno de los más controvertidos.
•Se pregunta qué valor se dará a los activos para validar la división con
una cantidad de dinero que se da en el futuro, como en la utilidad.
c) Tasa de rendimiento sobre el valor neto de
la empresa
•Es la tasa que mide el rendimiento sobre la inversión de los
accionistas, llamada valor neto o capital. Tiene exactamente la misma
desventaja que la tasa anterior, porque el único valor que se le puede
dar al capital es el que tiene en términos corrientes o valor de uso de
la moneda; sin embargo, este valor se suma algebraicamente al de los
años anteriores y se pierde el valor real de la inversión de los
accionistas.
la empresa
•Es la tasa que mide el rendimiento sobre la inversión de los
accionistas, llamada valor neto o capital. Tiene exactamente la misma
desventaja que la tasa anterior, porque el único valor que se le puede
dar al capital es el que tiene en términos corrientes o valor de uso de
la moneda; sin embargo, este valor se suma algebraicamente al de los
años anteriores y se pierde el valor real de la inversión de los
accionistas.
Bibliografía
•BACA, Urbina Gabriel.Evaluación de proyectos. McGraw-Hill, 2001.
•URBINA, Baca; URBINA, Gabriel GabrielBaca.Fundamentos de
ingeniería económica. 2003.
•BLANK, LELAND. TARQUIN, ANTHONY.“IngenieríaEconómica”. 1992.
•SULLIVAN, William G.; WICKS, ElinM.; LUXHOJ, James T.Ingeniería
económica de DeGarmo. Pearson Educación, 2004.
•BACA, Urbina Gabriel.Evaluación de proyectos. McGraw-Hill, 2001.
•URBINA, Baca; URBINA, Gabriel GabrielBaca.Fundamentos de
ingeniería económica. 2003.
•BLANK, LELAND. TARQUIN, ANTHONY.“IngenieríaEconómica”. 1992.
•SULLIVAN, William G.; WICKS, ElinM.; LUXHOJ, James T.Ingeniería
económica de DeGarmo. Pearson Educación, 2004.
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