Exemplo resolvido-teorema-de-castigliano

Exemplo resolvido-teorema-de-castigliano

1. MÉTODO DE ENERGIA/TEOREMA DE CASTIGLIANO – VIGAS

1) Determinar a energia de deformação (??????) para a viga abaixo. Em seguida, determinar (b) a deflexão no
ponto (??????
�) e (c) a rotação (??????
�)no ponto ??????. Considere (??????�)
��=2(??????�)
��, �
0=10 ��.�, ??????=2 �, ??????=
210 ?????????????????? e �=160×10
6
��
4
.

O método de energia aplicado a vigas nos
diz que:

??????=∫
�
2
��
2??????�


Onde:

?????? – Energia de deformação;
� – Função de momento na viga;
?????? – Módulo de elasticidade do material;
� – Momento de inércia da seção
transversal.


a) Iniciando pela energia de deformação, temos:

�
??????1
=−5�
2
(0≤�≤2 �)

�
??????1
2
=25�
4


�
??????2
=−2×10×(�−1)−18 → �
??????2
=−20�+2 (2 �≤�≤4 �)

�
??????2
2
=400�
2
−80�+4

OBS: A análise dos momentos realizada acima, foi feita partindo da ponta de balanço.
Assim:
??????=
1
4??????�
∫25�
4
��
2
0
+
1
2??????�
∫(400�
2
−80�+4)
4
2
��
??????=
1
4??????�
[5�
5
]
0
2
+
1
2??????�
[
400�
3
3
−40�
2
+4�]
2
4


??????=
1
4??????�
[5(2)
5
]+
1
2??????�
[(
400(4)
3
3
−40(4)
2
+4(4))−(
400(2)
3
3
−40(2)
2
+4(2))]

2. ??????=
80
4??????�
+
1
2??????�
(
23728
3
−
2744
3
) ∴ ??????=
10552
3??????�


Como:
??????=210 ??????????????????=210×10
6
���²⁄
�=160×10
6
��
4
=160×10
6
×(
1
1000
)
4
=160×10
−6
�
4


Temos:
??????=
10552
3×210×10
6
×160×10
−6
→ ??????=104,68×10
−3
�� → ??????=104,68 �

OBS: Devemos lembrar que a energia de deformação ?????? é denotada por �.� (�????????????��) e corresponde a energia
associada à deformação de flexão da barra.

b) Para a determinação da deflexão, utilizaremos o Teorema de Castigliano modificado:

O método de Castigliano aplicado a vigas nos diz que:


??????=∫(
�
??????�
)(
??????�
????????????
)��

Onde:

?????? – Deflexão;
?????? – Carga aplicada;
� – Função de momento na viga;
?????? – Módulo de elasticidade do material;
� – Momento de inércia da seção transversal.

Para a determinação de deflexão pelo teorema de Castigliano, é obrigatória a presença de uma carga concentrada
no ponto de interesse. No nosso caso, a carga fictícia ?????? foi aplicada no ponto ??????.

Daí:

�
??????1
=−5�
2
(0≤�≤2 �)
??????�
??????1
????????????
=0

�
??????2
=−10×2×(�−1)−18−??????(�−2) ∴ �
??????2
=−20�+2−??????�+2??????
??????�
??????2
????????????
=−�+2

3. ??????=
1
2??????�
∫(−5�
2
)×(0)��+
1
??????�
2
0
∫(−20�+2−??????�+2??????)
4
2
×(−�+2)��

??????=
1
??????�
∫(20�
2
+??????�
2
−42�−4??????�+4??????+4)
4
2
��

??????=
1
??????�
[
20�
3
3
+
??????�
3
3
−21�
2
−2??????�
2
+4??????�+4�]
2
4


Como ?????? é uma força fictícia, utilizada apenas como recurso para obtenção da deflexão, seu valor é zero, portanto:

??????=
1
??????�
[
20�
3
3
−21�
2
+4�]
2
4

??????=
1
??????�
[(
20(4)
3
3
−21(4)
2
+4(4))−(
20(2)
3
3
−21(2)
2
+4(2))] ∴ ??????=
388
3??????�


Daí:
??????=
388
3×210×160
→ ??????=3,85×10
−3
� → ??????=3,85 ��

c) Para a determinação da rotação, utilizaremos o Teorema de Castigliano modificado:

O método de Castigliano aplicado a vigas nos diz
que:


??????=∫(
�
??????�
)(
??????�
??????�
0
)��

Onde:

?????? – Rotação;
�
0 – Momento aplicado;
� – Função de momento na viga;
?????? – Módulo de elasticidade do material;
� – Momento de inércia da seção transversal.

Para a determinação da rotação pelo teorema de Castigliano, é obrigatória a presença de um momento aplicado
no ponto de interesse. No nosso caso, já existe um momento aplicado nesse ponto, portanto, não será necessário
utilizar momento fictício. Chamaremos o momento de 18��� por �
0. Logo:

�
??????1
=−5�
2
(0≤�≤2 �)

4. ??????�
??????1
??????�
0
=0


�
??????2
=−10×2×(�−1)−�
0 → �
??????2
=−20�+20−�
0 (2 �≤�≤4 �)
??????�
??????2
??????�
0
=−1

Daí:
??????=
1
2??????�
∫(−5�
2
)
2
0
(0)��+
1
??????�
∫(−20�+20−�
0)
4
2
(−1)��
??????=
1
??????�
∫(20�−20+�
0)
4
2
�� → ??????=
1
??????�
[10�
2
−20�+�
0�]
2
4


??????=
1
??????�
[(80+4�
0)−(2�
0)] ∴ ??????=
80+2�
0
??????�


Como �
0=18 ���, temos:

??????=
116
210×160
→ ??????=3,45×10
−3
????????????�

Verificando os resultados no FTOOL, obtemos:


DISCUSSÕES:

Observamos que podemos desenvolver o problema de forma literal ou numérica. A solução literal fornece um
volume muito grande de cálculos, porém facilita a detecção e correção de eventuais erros cometidos. Já a solução
literal é mais simples, mas não permite detectar erros, ou seja, se o resultado final estiver errado, só nos restará
iniciar o exercício novamente. Caberá ao aluno resolver da maneira que lhe parecer mais confortável.