Exercícios de trigonometria

Exercícios de trigonometria

1. Exercícios de Trigonometria
PROF.: LIMA
1.A semi-circunferência de centro O tem raio 2 cm e AÔF = 40º
F
C
B
A
ED O
Determinea área do triângulo [ABC] arredondado
ao cm
2
(em cálculos intermédios usa 2 c.d.)
2. Prove que:
a) 1 + tg
2
x =
x
2
cos
1
b) 1 – 


sen
sen

1
cos
2
c)




cos
2
cos
1
1
cos




sen
sen
d)
  
xtg
x
xx
2
2
cos
cos1cos1



3. Sem recorrer à calculadora, indique o valor de:
a) sen
π+ sen
2
3
b) sen
4

+ cos
4




c) tg
4

+ tg
3
4

d) sen
3

. cos
6

4.Sabendo-se que sen
3 1
2 3
x
 

 
 
e x
 , 2 , calcule o valor exato de
cos
 
2cos
2
x x


 
 
 
 
5.Resolva em |R, as equações:
a) sen (2x) = 1 b) cos
3
t
 

 
 
= 0 c) 4 + 8sen
2
x 
 
 
= 0
d)
cos1
22
a
= 0 e)
1 1
3 3
tg x f)
2
1 3
1 4tg x


g) sen x- 1 = 0 h) sen
1
x
= 0 i) cos x + cos
2
x = 0
j) 5 – 10 cos
3
t


= 0 k) sen x + cos x = 0 l) cos (2x) = sen
3
4
x
 

 
 
m) 3 cos = 2 sen
2
 n)
2
cos2 2sen  
6. Resolva a condição 2 sen x + 1 > 0 no intervalo:
a)  0, 2 b)  , 

2. Exercícios de Trigonometria
PROF.: LIMA
7. Resolva a condição | sen x | <
1
2
no intervalo:
a)  0, 2 b)  , 
8. Em um intervalo, sabe-se que a tangente é negativa e o co-seno é crescente. Nesse intervalo:
(A)O seno e o co-seno são negativos
(B)O co-seno é negativo e o seno é crescente
(C)O seno é negativo e crescente
(D)O seno é positivo e o co-seno é negativo
9. Sabendo-se que sen
α = -
1
3
, qual das afirmações é necessariamente verdadeira?
a)cos α = -
8
3

b)sen   = -
1
3
c)sen   = -
1
3
d)cos
2


 

 
 
= -
1
3
10. Prove que a equação x = sen x tem, pelo menos, uma solução em [-1, 1]
11. Prove que existe pelo menos um número real x tal que sen x = x – 2
12. Relativamente à função f(x) = cos
2
x, proveque: f(x + π) = f(x), x
 
13. A partir do gráfico da função f(x) = sen x, determine o gráfico da função g(x) = -3 + f(x –)

3. Exercícios de Trigonometria
PROF.: LIMA
Soluções:
1. 8 cm
2

3. a) -1; b)
2; c) 0; d)
3
4
4.
1 2 8
3

5. a) x = ,
4
kk

  ; b) t = -,
6
kk

  ; c) x = -
5
4 4,
3 3
k x kk
 
     ;
d) a =
3 5
2 2,
4 4
k a kk
 
    ; e) x = ,
3
kk

  ;
f) x =
5
,
6 6
k x kk
 
    ; g)
1 5
2 2 ,
6 6
k x k k   ;
h) x = 
1
, \ 0k
k
 i) x = 2,
2
k x kk

     ;
j) t = 1 + 6k
1 6 ,t k k
     ; k) x =
3
,
4
kk

  ;
l) x =
2
2,
123 4
k
x kk
  
   ; m)2,
3
kk

    ; n)2,
2
kk

  
6. a) x
7 11
0, , 2
6 6
 

  
 
  
  
; b) x
5
, ,
6 6
 
 
  
   
  
  
7. a) x
57 11
0, , , 2
6 66 6
  

  
  
  
  
; b) x
5 5
, , ,
6 6 6 6
   
 
   
    
   
   
8. C
9. C
10.
Sen x – x = 0
Sen (-1) < 0
Sen (1) > 0
Como a função é continua e o produto das imagens de -1 e 1 é inferior a zero; podemos aplicar o
corolário do Teorema de Bolzano e provar que existe pelo menos uma solução no intervalo pretendido.

4. Exercícios de Trigonometria
PROF.: LIMA
11.
Como se vê na imagem é possível que sen x seja
igual a x – 2.
Mas se fizermos sen x – x + 2 = 0 e provarmos
que existe uma imagem negativa e outra positiva;
podemos aplicar o corolário do Teorema de
Bolzano e sabendo que se trata de uma função
contínua por se tratar de operações entre funções
contínuas (trigonométrica e polinomial);
Assim:
 

2limxxsen
x
 

2limxxsen
x
Como o produto das imagens é negativo, prova-
se que é verdadeiro.
12.
F(x +
Π) = cos
2
(x + Π) = cos
2
x, porque como x + Π é um ângulo do 3º quadrante e nesse quadrante o
cosseno é negativo, mas como a função está ao quadrado fica positiva.
13.
4
2
-2
-4
-6
-5 5
sx = -3+sinx-
rx = s inx-
qx = sinx
4
2
-2
-4
-5 5
h x= x-2
g x= sinx