Exercícios resolvidos de máximo e mínimo de função
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Nov 10, 2018
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About This Presentation
Exercícios de máximo e mínimo de funções em uma única variável.
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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Aplicações de máximos e
mínimos
Contato: [email protected]
Escrito por Diego Oliveira Publicado em 26/05/2015 Atualizado em 19/03/2017
Exemplo 1:Um campo retangular à margem de uma parede deve ser cercado
com exceção do lado onde está a parede. Se o custo da cerca é de R$ 12 por metro
linear do lado paralelo a parede e R$ 8 nos dois extremos, ache o campo de maior
área possível que pode ser cercado com R$ 3600 de material.
Solução:
O desenho da situação é o seguinte
Paredey my mx m
A função de custo é dada por:
J+J+=
)J+=
)J+=(simplicando por 4)
)J=
Já a área do retângulo é dada por:
( J) =J
)( J) =
)() =
)() =
)() =
1
Exercícios Resolvidos: Aplicações de máximos e
mínimos
Contato: [email protected]
Escrito por Diego Oliveira Publicado em 26/05/2015 Atualizado em 19/03/2017
Exemplo 1:Um campo retangular à margem de uma parede deve ser cercado
com exceção do lado onde está a parede. Se o custo da cerca é de R$ 12 por metro
linear do lado paralelo a parede e R$ 8 nos dois extremos, ache o campo de maior
área possível que pode ser cercado com R$ 3600 de material.
Solução:
O desenho da situação é o seguinte
Paredey my mx m
A função de custo é dada por:
J+J+=
)J+=
)J+=(simplicando por 4)
)J=
Já a área do retângulo é dada por:
( J) =J
)( J) =
)() =
)() =
)() =
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Note que()é uma função do 2
grau com concavidade voltado para baixo,
assim, seu ponto de máximo pode ser determinado tanto pela fórmula:
+=
3
Como por meio da derivada.
0
() =
)
)=
Ou seja, a maior área cercada possível é de() =>
.
Exemplo 2:Um fabricante de latas sem tampa deseja usar folhas de andres
1
com dimensões de 8 cm por 15 cm, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e
dobrando os lados para cima. Qual deve ser a área desses quadrados para que a
caixa tenha volume máximo?
Solução:
O desenho a seguir ilustra o problema.
xxxxxxxx8cm15cm8cm - 2x15cm - 2x
1
A folha de andres ou simplesmente andre é um material laminado estanhado composto por ferro
e aço de baixo teor de carbono revestido com estanho.
2
Note que()é uma função do 2
grau com concavidade voltado para baixo,
assim, seu ponto de máximo pode ser determinado tanto pela fórmula:
+=
3
Como por meio da derivada.
0
() =
)
)=
Ou seja, a maior área cercada possível é de() =>
.
Exemplo 2:Um fabricante de latas sem tampa deseja usar folhas de andres
1
com dimensões de 8 cm por 15 cm, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e
dobrando os lados para cima. Qual deve ser a área desses quadrados para que a
caixa tenha volume máximo?
Solução:
O desenho a seguir ilustra o problema.
xxxxxxxx8cm15cm8cm - 2x15cm - 2x
1
A folha de andres ou simplesmente andre é um material laminado estanhado composto por ferro
e aço de baixo teor de carbono revestido com estanho.
2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
A função de volume seria:
+() = ()()
)+() =
+
Cujos pontos críticos ocorrem para: x = 5/3 ou x = 6.
Contudo, como2()(veja novamente o desenho) então x = 6 não é um
valor possível. Assim, a área de cada quadrado é de 5.8 cm
.
() =()
(Área de cada retângulo)
=cm
.
Exemplo 3:Ache a área do maior retângulo tendo dois vértices no eixo x e dois
outros vértices sobre a parábola y = 9 - x
acima do eixo x.
Solução:
A situação é representada com a imagem a seguir:
93-3x
A área do retângulo é dada por
( J) =Jcom2()eJ2()
Como os vértices estão sob a parábolaJ=
então
( J) =(
)
)() =
Cujo máximo ocorre para=
p
.
0
() =
)
=
)=
p
.
3
A função de volume seria:
+() = ()()
)+() =
+
Cujos pontos críticos ocorrem para: x = 5/3 ou x = 6.
Contudo, como2()(veja novamente o desenho) então x = 6 não é um
valor possível. Assim, a área de cada quadrado é de 5.8 cm
.
() =()
(Área de cada retângulo)
=cm
.
Exemplo 3:Ache a área do maior retângulo tendo dois vértices no eixo x e dois
outros vértices sobre a parábola y = 9 - x
acima do eixo x.
Solução:
A situação é representada com a imagem a seguir:
93-3x
A área do retângulo é dada por
( J) =Jcom2()eJ2()
Como os vértices estão sob a parábolaJ=
então
( J) =(
)
)() =
Cujo máximo ocorre para=
p
.
0
() =
)
=
)=
p
.
3
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Comoxé uma medida não pode ser negativo, logo a solução ocorre para=
p
.
Assim, a maior área possível é de
p
m
.
0
(
p
) =
p
(
p
)
=
p
()
=
p
Exemplo 4:Uma ilha está num ponto A, a 6 km do ponto mais próximo B, numa
praia reta. Uma mulher na ilha deseja ir até o ponto C, a 9 Km do ponto B. A mulher
pode alugar um barco por R$ 15 o quilometro e navegar até um ponto P entre B e C
e então alugar um carro a um custo de R$ 12 por quilometro e chegar a C por uma
estrada reta. Ache o percusso mais barato de A até C.
Solução:
O problema pode ser modelado como no desenho abaixo.
ABCP6 Km9 Km
A função que desejamos minimizar é a de custo
C = 15m(AP) + 12m(PC)
Pelo desenho percebe-se que:
m(AP)
= m(AB)
+ m(BP)
)m(AP)
= 6
+ m(BP)
)m(AP) =
Æ
>(%)
+
Como m(AP) é uma medida, ou seja, não faz sentido ser um valor negativo. Então
m(AP) deve ser positivo.
4
Comoxé uma medida não pode ser negativo, logo a solução ocorre para=
p
.
Assim, a maior área possível é de
p
m
.
0
(
p
) =
p
(
p
)
=
p
()
=
p
Exemplo 4:Uma ilha está num ponto A, a 6 km do ponto mais próximo B, numa
praia reta. Uma mulher na ilha deseja ir até o ponto C, a 9 Km do ponto B. A mulher
pode alugar um barco por R$ 15 o quilometro e navegar até um ponto P entre B e C
e então alugar um carro a um custo de R$ 12 por quilometro e chegar a C por uma
estrada reta. Ache o percusso mais barato de A até C.
Solução:
O problema pode ser modelado como no desenho abaixo.
ABCP6 Km9 Km
A função que desejamos minimizar é a de custo
C = 15m(AP) + 12m(PC)
Pelo desenho percebe-se que:
m(AP)
= m(AB)
+ m(BP)
)m(AP)
= 6
+ m(BP)
)m(AP) =
Æ
>(%)
+
Como m(AP) é uma medida, ou seja, não faz sentido ser um valor negativo. Então
m(AP) deve ser positivo.
4
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
m(AP) =
Æ
>(%)
+
Colocando o valor de m(AP) na função de custo (C) e levando em conta que
m(PC) = 9 m(BP) então:
C = 15(
Æ
>(%)
+) + 12(9 >(%))
Chamando m(BP) de x podemos escrever a função de custo de forma mais
agradável.
C(x) = 15(
p
+) + 12(9 ) com2()
O gráco dessa função é uma parábola com concavidade voltada para cima (você
pode conrmar isso pelo teste da derivada segunda). Logo a solução deve ser seu
único ponto crítico.
Derivando então C(x) e igualando a zero
C(x) = 0
)15(
p
+) + 12(9 ) = 0
)15
p
+
) = 0
)=
Assim, o percusso mais barato seria de de A até P e depois de P até C, com P
estando a 8km abaixo de B.
Exemplo 5:Seja R o alcance de um projetil dado em função de sua velocidade
inicial (@)
'=
@
D6?(n)
8
n
u
ache o valor denpara que o alcance seja máximo.
Solução:
Uma vez que já temos a função resta nos somente que encontrar o seu valor
máximo.
Pela regra do quociente:
'
0
=
(
@
D6?(n))
0
8(
@
D6?(n))8
0
8
5
m(AP) =
Æ
>(%)
+
Colocando o valor de m(AP) na função de custo (C) e levando em conta que
m(PC) = 9 m(BP) então:
C = 15(
Æ
>(%)
+) + 12(9 >(%))
Chamando m(BP) de x podemos escrever a função de custo de forma mais
agradável.
C(x) = 15(
p
+) + 12(9 ) com2()
O gráco dessa função é uma parábola com concavidade voltada para cima (você
pode conrmar isso pelo teste da derivada segunda). Logo a solução deve ser seu
único ponto crítico.
Derivando então C(x) e igualando a zero
C(x) = 0
)15(
p
+) + 12(9 ) = 0
)15
p
+
) = 0
)=
Assim, o percusso mais barato seria de de A até P e depois de P até C, com P
estando a 8km abaixo de B.
Exemplo 5:Seja R o alcance de um projetil dado em função de sua velocidade
inicial (@)
'=
@
D6?(n)
8
n
u
ache o valor denpara que o alcance seja máximo.
Solução:
Uma vez que já temos a função resta nos somente que encontrar o seu valor
máximo.
Pela regra do quociente:
'
0
=
(
@
D6?(n))
0
8(
@
D6?(n))8
0
8
5
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Como8é uma constante (constante gravitacional) então sua derivada é zero de
modo que'
0
pode ser escrito como:
'
0
=
(
@
D6?(n))
0
8
8
Pela regra do produto para derivadas sabemos que:
(
@
D6?(n))
0
=
@
'D6?(n) +
@
D6?
0
(n)
=D6?(n) +
@
4@D(n)
=
@
4@D(n)
)'
0
=
€
@
4@D(n)
Š
8
8
)'
0
=
@
4@D(n)
8
Igualando a derivada de'igual a zero:
'
0
=
)
@
4@D(n)
8
=
)
@
4@D(n) =
)4@D(n) =
)n=
)n=
Assim o alcance é máximo paran=
.
6
Como8é uma constante (constante gravitacional) então sua derivada é zero de
modo que'
0
pode ser escrito como:
'
0
=
(
@
D6?(n))
0
8
8
Pela regra do produto para derivadas sabemos que:
(
@
D6?(n))
0
=
@
'D6?(n) +
@
D6?
0
(n)
=D6?(n) +
@
4@D(n)
=
@
4@D(n)
)'
0
=
€
@
4@D(n)
Š
8
8
)'
0
=
@
4@D(n)
8
Igualando a derivada de'igual a zero:
'
0
=
)
@
4@D(n)
8
=
)
@
4@D(n) =
)4@D(n) =
)n=
)n=
Assim o alcance é máximo paran=
.
6
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 6: Uma excursão de uma escola que pode acomodar até 250 estu-
dantes custará R$ 15 por estudante, se no máximo 150 zerem a viagem, contudo,
o custo por estudante será reduzido em R$ 0.05 para cada estudante que exceder
150, até que o custo caia para R$ 10 por estudante. Quantos alunos devem ser
acomodados na excursão para que a renda da escola seja máxima?
Solução:
Vamos imaginar que a função L(x) do lucro é contínua, então podemos descreve-
la assim:
!() =
§
2[]
(())2[]
Para encontrar o lucro máximo para a escola devemos determinar o valor de
que resulte no maior valor de L(x).
No intervalo [0, 150] a função!()não possui ponto critico, pois não existe
nenhum valor paratal que L'(x) seja nulo.
L'(x) = 15
Assim o valor de máximo absoluto nesse intervalo é o extremos direito do próprio
intervalo.
Já no intervalo [151, 250] a função L(x) têm ponto um ponto crítico em x = 225.
L'(x) = 0
)=
)=
Testando os valores de fronteira dos dois intervalos e do ponto crítico encontrado
chegamos à:
L(150) = 2.250;
L(151) = 2.257,45;
e L(225) = 2.531,25;
e L(250) = 2.500
Como podemos ver o valor de máximo de L(x) ocorre para =. Logo são
necessário 225 estudantes para fornecer o máximo de lucro a escola de excursão.
7
Exemplo 6: Uma excursão de uma escola que pode acomodar até 250 estu-
dantes custará R$ 15 por estudante, se no máximo 150 zerem a viagem, contudo,
o custo por estudante será reduzido em R$ 0.05 para cada estudante que exceder
150, até que o custo caia para R$ 10 por estudante. Quantos alunos devem ser
acomodados na excursão para que a renda da escola seja máxima?
Solução:
Vamos imaginar que a função L(x) do lucro é contínua, então podemos descreve-
la assim:
!() =
§
2[]
(())2[]
Para encontrar o lucro máximo para a escola devemos determinar o valor de
que resulte no maior valor de L(x).
No intervalo [0, 150] a função!()não possui ponto critico, pois não existe
nenhum valor paratal que L'(x) seja nulo.
L'(x) = 15
Assim o valor de máximo absoluto nesse intervalo é o extremos direito do próprio
intervalo.
Já no intervalo [151, 250] a função L(x) têm ponto um ponto crítico em x = 225.
L'(x) = 0
)=
)=
Testando os valores de fronteira dos dois intervalos e do ponto crítico encontrado
chegamos à:
L(150) = 2.250;
L(151) = 2.257,45;
e L(225) = 2.531,25;
e L(250) = 2.500
Como podemos ver o valor de máximo de L(x) ocorre para =. Logo são
necessário 225 estudantes para fornecer o máximo de lucro a escola de excursão.
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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 7:Laranjeiras da califórnia produzem 600 laranjas por ano, se forem
plantadas no máximo 20 árvores por acre (4km
) cada árvore plantada a mais causa
um decréscimo de 15 laranjas por pé. Quantas árvores devem ser plantadas por
acre para se obter o maior número de laranjas?
Solução:
Sendo?()o número de laranjas quando são plantadasárvores por acre então:
?() =
§
2[]
(())2[ 3]
Para determinar o valor de de3basta fazer n(x) = 0 considerando.
n(x) = 0
)(()) =
)=.
Assim3=e então:
?() =
§
2[]
()2[]
No primeiro intervalo a função não têm ponto(s) crítico(s) de modo que o valor
de máximo é o extremo do próprio intervalo.
n(20) = 12.000
Já no segundo intervalo existe um ponto critico em=.
?
0
() =
)=
)=
Calculando?()para os extremos do intervalo e para o ponto crítico encontrado
chegamos à:
n(20) = 1.200;
n(21) = 12.285;
n(30) = 13.500;
n(60) = 0.
8
Exemplo 7:Laranjeiras da califórnia produzem 600 laranjas por ano, se forem
plantadas no máximo 20 árvores por acre (4km
) cada árvore plantada a mais causa
um decréscimo de 15 laranjas por pé. Quantas árvores devem ser plantadas por
acre para se obter o maior número de laranjas?
Solução:
Sendo?()o número de laranjas quando são plantadasárvores por acre então:
?() =
§
2[]
(())2[ 3]
Para determinar o valor de de3basta fazer n(x) = 0 considerando.
n(x) = 0
)(()) =
)=.
Assim3=e então:
?() =
§
2[]
()2[]
No primeiro intervalo a função não têm ponto(s) crítico(s) de modo que o valor
de máximo é o extremo do próprio intervalo.
n(20) = 12.000
Já no segundo intervalo existe um ponto critico em=.
?
0
() =
)=
)=
Calculando?()para os extremos do intervalo e para o ponto crítico encontrado
chegamos à:
n(20) = 1.200;
n(21) = 12.285;
n(30) = 13.500;
n(60) = 0.
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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Assim, como podemos ver o maior número de laranjas é obtido com 30 arvores.
Exemplo 8:Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior área de super-
fície lateral que possa ser inscrito em uma esfera com um raio de 6 cm.
Solução:
Uma representação do problema é feita a seguir.
6h/2r
A área lateral do cilindro é calculada por(C 9) =uC9
Pelo desenho observamos que
=C
+
9
)9=
p
C
Assim:
(C 9) =uC
p
C
)(C) =uC
p
C
Levando em conta que o gráco dessa função é uma parábola voltada para baixo,
então, seu ponto de máximo pode ser encontrado calculando
0
(C)e igualando a
zero. Onde chegamos aC=
p
.
Como o raio é uma medida deve, portanto, ser sempre maior que zero. O que
resulta em entãoC=
p
.
Como9=
p
C
eC=
p
então9=
p
.
Logo o raio do cilindro é
p
cm e sua altura
p
cm.
9
Assim, como podemos ver o maior número de laranjas é obtido com 30 arvores.
Exemplo 8:Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior área de super-
fície lateral que possa ser inscrito em uma esfera com um raio de 6 cm.
Solução:
Uma representação do problema é feita a seguir.
6h/2r
A área lateral do cilindro é calculada por(C 9) =uC9
Pelo desenho observamos que
=C
+
9
)9=
p
C
Assim:
(C 9) =uC
p
C
)(C) =uC
p
C
Levando em conta que o gráco dessa função é uma parábola voltada para baixo,
então, seu ponto de máximo pode ser encontrado calculando
0
(C)e igualando a
zero. Onde chegamos aC=
p
.
Como o raio é uma medida deve, portanto, ser sempre maior que zero. O que
resulta em entãoC=
p
.
Como9=
p
C
eC=
p
então9=
p
.
Logo o raio do cilindro é
p
cm e sua altura
p
cm.
9
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 9: Dado a circunferência de equação
+J
=, ache o ponto da
circunferência mais próximo ao ponto (4, 5).
Solução:
O desenho a seguir deixa claro a situação.
(4,5)(x,y)(4,y)d
Pelo teorema de Pitágoras o quadrado da distância (5) entre os pontos (x,y) e
(4,5) é:
5
= ()
+ (J)
()
Usando a equação da circunferência (
+J
=) encontramos oJ.
J=
p
Como o ponto mais próximo de (4, 5) está obviamente no primeiro quadrante
(reveja o desenho) então ca evidente queJé positivo, ou seja:
J=
p
()
Substituindo (2) em (1) chegamos a expressão denitiva para a distância.
5
= ()
+
€
p
Š
)5=
s
()
+
€
p
Š
Fazendo a derivada de5():
10
Exemplo 9: Dado a circunferência de equação
+J
=, ache o ponto da
circunferência mais próximo ao ponto (4, 5).
Solução:
O desenho a seguir deixa claro a situação.
(4,5)(x,y)(4,y)d
Pelo teorema de Pitágoras o quadrado da distância (5) entre os pontos (x,y) e
(4,5) é:
5
= ()
+ (J)
()
Usando a equação da circunferência (
+J
=) encontramos oJ.
J=
p
Como o ponto mais próximo de (4, 5) está obviamente no primeiro quadrante
(reveja o desenho) então ca evidente queJé positivo, ou seja:
J=
p
()
Substituindo (2) em (1) chegamos a expressão denitiva para a distância.
5
= ()
+
€
p
Š
)5=
s
()
+
€
p
Š
Fazendo a derivada de5():
10
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
5
0
() =
p
+
s
()
+
€
p
+
Š
p
e igualando-a a zero determinamos que d'(x) = 0 apenas para x = 1.87 aproxi-
madamente.
Como o ponto mais próximo deve estar no 1
quadrante entãodeve variar
entre 0 e 3 (2[]). Testando então os extremos desse intervalo e o ponto
crítico encontrado
5() =
5() =
5() =
descobrimos que a menor distância é 3,4.
Exemplo 10:Um pedaço de o de 16 cm de comprimento será cortado em duas
partes. Uma delas será usada para fazer um quadrado e a outra para formar um
círculo. Como deverá ser feito o corte de modo a minimizar a área total das guras?
Solução:
A função que deve ser minimizada é a da área total A(x,r) tal que:
A(x,r) = Área do quadrado + Área do círculo.
Supondo que o quadrado têm lado e a circunferência raioCentão:
A(x,r) =
+uC
(1)
De acordo com o enunciado o o têm 16 centímetros e não deve haver sobras
após o seu uso, assim o perímetro do quadrado somado ao do círculo deve ser
também igual a 16.
4x +uC= 16 cm)x =
uC
Substituindo esse último resultado na equação (1)
A(r) =
uC
+uC
Derivando a função emCchega-se à:
11
5
0
() =
p
+
s
()
+
€
p
+
Š
p
e igualando-a a zero determinamos que d'(x) = 0 apenas para x = 1.87 aproxi-
madamente.
Como o ponto mais próximo deve estar no 1
quadrante entãodeve variar
entre 0 e 3 (2[]). Testando então os extremos desse intervalo e o ponto
crítico encontrado
5() =
5() =
5() =
descobrimos que a menor distância é 3,4.
Exemplo 10:Um pedaço de o de 16 cm de comprimento será cortado em duas
partes. Uma delas será usada para fazer um quadrado e a outra para formar um
círculo. Como deverá ser feito o corte de modo a minimizar a área total das guras?
Solução:
A função que deve ser minimizada é a da área total A(x,r) tal que:
A(x,r) = Área do quadrado + Área do círculo.
Supondo que o quadrado têm lado e a circunferência raioCentão:
A(x,r) =
+uC
(1)
De acordo com o enunciado o o têm 16 centímetros e não deve haver sobras
após o seu uso, assim o perímetro do quadrado somado ao do círculo deve ser
também igual a 16.
4x +uC= 16 cm)x =
uC
Substituindo esse último resultado na equação (1)
A(r) =
uC
+uC
Derivando a função emCchega-se à:
11
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
A'(r) =
u
Cu+uC
cujo zero ocorre somente paraC=
u+
.
Como+uC=eC=
u+
então,=
u+
.
Logo o corte deve ser feito a
u+
unidades de comprimento de um dos ex-
tremos do o.
Exemplo 11: Pretende-se construir um campo de futebol (gura verde) com
a forma de um retângulo e com uma região semi-circular, em cada uma de suas
extremidades, conforme a gura a seguir.
ahr
O perímetro da região deve ser uma pista de 440m. Determine as dimensões da
região pra que a parte retangular tenha área máxima.
Solução:
A função da área retangular que desejamos maximizar é:
( 9) =9
Por hipótese o perímetro é igual a 440 então:
uC++uC=)=uC()
Usando esse último resultado em( 9)chega-se á
(9 C) =9(uC)
12
A'(r) =
u
Cu+uC
cujo zero ocorre somente paraC=
u+
.
Como+uC=eC=
u+
então,=
u+
.
Logo o corte deve ser feito a
u+
unidades de comprimento de um dos ex-
tremos do o.
Exemplo 11: Pretende-se construir um campo de futebol (gura verde) com
a forma de um retângulo e com uma região semi-circular, em cada uma de suas
extremidades, conforme a gura a seguir.
ahr
O perímetro da região deve ser uma pista de 440m. Determine as dimensões da
região pra que a parte retangular tenha área máxima.
Solução:
A função da área retangular que desejamos maximizar é:
( 9) =9
Por hipótese o perímetro é igual a 440 então:
uC++uC=)=uC()
Usando esse último resultado em( 9)chega-se á
(9 C) =9(uC)
12
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Como9é o diâmetro então, assim como pode ser visto pelo desenho, ele deve
ser o dobro do valor do raio (9=C), sendo assim:
(9) =9
u
9
cujo ponto crítico ocorre apenas para9=
u
(2).
0
(9) =
)u9=
)9=
u
Sabendo que9=Ce usando (2) chega-se aC=
u
. Usando agora (1) e o valor
que obtemos paraCencontramos=
Assim,9=
u
m e=m.
Exemplo 12:Silos para conter cimento têm a forma de um cilindro de alturah
e raiorsobreposto a um cone de altura e raio iguais ar.
Para silos com volume total de 100 m
, determinerde modo que a área lateral
seja a menor possível, a m de minimizar o custo de cada silo.
ghrr
13
Como9é o diâmetro então, assim como pode ser visto pelo desenho, ele deve
ser o dobro do valor do raio (9=C), sendo assim:
(9) =9
u
9
cujo ponto crítico ocorre apenas para9=
u
(2).
0
(9) =
)u9=
)9=
u
Sabendo que9=Ce usando (2) chega-se aC=
u
. Usando agora (1) e o valor
que obtemos paraCencontramos=
Assim,9=
u
m e=m.
Exemplo 12:Silos para conter cimento têm a forma de um cilindro de alturah
e raiorsobreposto a um cone de altura e raio iguais ar.
Para silos com volume total de 100 m
, determinerde modo que a área lateral
seja a menor possível, a m de minimizar o custo de cada silo.
ghrr
13
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Solução:
A função que desejamos minimizar é a da área lateral do silo que é a soma da
área lateral do cilindro com a área lateral do cone.
=uC9+uC8
Pelo desenho8=C
p
(teorema de Pitágoras), então:
=uC9+uC(C
p
)
=uC
€
9+C
p
Š
()
Para colocar9em função deCusamos a equação do volume (+=uC
9+
uC
C).
=uC
9+ ()uC
C
)9= (uC
)C()
substituindo (2) em (1)
=uC
uC
C
+C
p
comC2
0
@
v
u
t
u
1
A
)=
C
uC
+C
u
p
Finalmente fazendo
0
=chega-seC=
v
u
u
t
€
+
p
Š
u
m que é aproximada-
mente igual a 3.5 m.
Como esse ponto é de mínimo absoluto no intervalo chegamos a solução.
14
Solução:
A função que desejamos minimizar é a da área lateral do silo que é a soma da
área lateral do cilindro com a área lateral do cone.
=uC9+uC8
Pelo desenho8=C
p
(teorema de Pitágoras), então:
=uC9+uC(C
p
)
=uC
€
9+C
p
Š
()
Para colocar9em função deCusamos a equação do volume (+=uC
9+
uC
C).
=uC
9+ ()uC
C
)9= (uC
)C()
substituindo (2) em (1)
=uC
uC
C
+C
p
comC2
0
@
v
u
t
u
1
A
)=
C
uC
+C
u
p
Finalmente fazendo
0
=chega-seC=
v
u
u
t
€
+
p
Š
u
m que é aproximada-
mente igual a 3.5 m.
Como esse ponto é de mínimo absoluto no intervalo chegamos a solução.
14
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exemplo 13: Todas as manhãs, à mesma hora sai um barco do ponto P para
o leste, a 20km/h, e outro do ponto Ppara o norte, a 40Km/h. A boia B, no cruza-
mento das rotas, dista 100 Km de Pe 60Km de P.
PBP100 km20 km/h60 km40 km/h
A que horas os barcos estarão mais próximos um do outro?
Solução:
Pelo teorema de Pitágoras a distância entre os barcos do ponto%e%é dada
pela equação:
(%%)
= (%)
+ (%)
Se ambos os barcos se movem com velocidade constante então a medida de
cada segmento varia de acordo com o tempo que pela física é dado por:
(%%)
= (E)
+ (E)
comE2[/)
)(%%)
= (
+
E
) + (
+
E
)
)%%=
E
E+
Fazendo a derivada de%%
5
0
%%
=
E
p
E
E+
e igualando-a a zero
=
E
p
E
E+
)E=
)E=
Conclui-se que a função têm somente um ponto crítico em E=. Como o
gráco da função é uma parábola sabemos que esse ponto é um ponto de mínimo
15
Exemplo 13: Todas as manhãs, à mesma hora sai um barco do ponto P para
o leste, a 20km/h, e outro do ponto Ppara o norte, a 40Km/h. A boia B, no cruza-
mento das rotas, dista 100 Km de Pe 60Km de P.
PBP100 km20 km/h60 km40 km/h
A que horas os barcos estarão mais próximos um do outro?
Solução:
Pelo teorema de Pitágoras a distância entre os barcos do ponto%e%é dada
pela equação:
(%%)
= (%)
+ (%)
Se ambos os barcos se movem com velocidade constante então a medida de
cada segmento varia de acordo com o tempo que pela física é dado por:
(%%)
= (E)
+ (E)
comE2[/)
)(%%)
= (
+
E
) + (
+
E
)
)%%=
E
E+
Fazendo a derivada de%%
5
0
%%
=
E
p
E
E+
e igualando-a a zero
=
E
p
E
E+
)E=
)E=
Conclui-se que a função têm somente um ponto crítico em E=. Como o
gráco da função é uma parábola sabemos que esse ponto é um ponto de mínimo
15
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
absoluto de modo que podemos armar que os barcos estarão mais próximos 2.2
horas depois de iniciarem juntos o seus movimentos.
Exemplo 14: Uma cerca de 8m de altura corre paralela a um edifício a uma
distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o
edifício quando inclinada sobre a cerca?
Solução:
Considere o desenho a seguir.
48zprédioyx
Usando semelhança de triângulos encontramos a relação:
J
=
)J=
()
Pelo mesmo desenho tiramos que:
K( J)
=
+J
()
Substituindo (1) em (2)
K()
=
+
16
absoluto de modo que podemos armar que os barcos estarão mais próximos 2.2
horas depois de iniciarem juntos o seus movimentos.
Exemplo 14: Uma cerca de 8m de altura corre paralela a um edifício a uma
distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o
edifício quando inclinada sobre a cerca?
Solução:
Considere o desenho a seguir.
48zprédioyx
Usando semelhança de triângulos encontramos a relação:
J
=
)J=
()
Pelo mesmo desenho tiramos que:
K( J)
=
+J
()
Substituindo (1) em (2)
K()
=
+
16
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
K() =
v
u
t
+
Para determinar os pontos críticos deK()fazemosK
0
() =
)K
0
() =+
()
()
=
)K
0
() =+
()
=
)K
0
() =
()
=
)K
0
() =
()
=
O primeiro zero desta ultima função ocorre para x = 0. O segundo ocorre quando:
()
=
que implica em'veja:
()
=
)=
p
+
Fazendo entãoK()chegamos ao resultado deK=>. Logo a menor
escada que pode ser apoiada deve ter 16.65 m de comprimento.
Exemplo 15:Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um
triângulo com catetos 3cm e 4cm se dois lados do retângulo estão sobre os catetos.
Solução:
Considere o desenho.
17
K() =
v
u
t
+
Para determinar os pontos críticos deK()fazemosK
0
() =
)K
0
() =+
()
()
=
)K
0
() =+
()
=
)K
0
() =
()
=
)K
0
() =
()
=
O primeiro zero desta ultima função ocorre para x = 0. O segundo ocorre quando:
()
=
que implica em'veja:
()
=
)=
p
+
Fazendo entãoK()chegamos ao resultado deK=>. Logo a menor
escada que pode ser apoiada deve ter 16.65 m de comprimento.
Exemplo 15:Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um
triângulo com catetos 3cm e 4cm se dois lados do retângulo estão sobre os catetos.
Solução:
Considere o desenho.
17
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
x3 cmy4 cm
Usando a semelhança de triângulos
J
=
J
Que implica em=
J
A área do retângulo é:
'=
J
J
)'=
JJ
Fazendo
0
'
() =chega-se à:
0
'
=
J
=
)
J
=
)J=)J=4
Fazendo'()chegamos á'=. Ou seja, o maior retângulo que pode ser
inscrito têm altura de 2cm e largura de 1.5 cm (ou vice e versa).
Exemplo 16:Encontre o ponto da parábolaJ
=que está mais próximo do
ponto().
Solução:
Não se sabe ainda qual ponto é esse, mas podemos expressá-lo por ( ()).
18
x3 cmy4 cm
Usando a semelhança de triângulos
J
=
J
Que implica em=
J
A área do retângulo é:
'=
J
J
)'=
JJ
Fazendo
0
'
() =chega-se à:
0
'
=
J
=
)
J
=
)J=)J=4
Fazendo'()chegamos á'=. Ou seja, o maior retângulo que pode ser
inscrito têm altura de 2cm e largura de 1.5 cm (ou vice e versa).
Exemplo 16:Encontre o ponto da parábolaJ
=que está mais próximo do
ponto().
Solução:
Não se sabe ainda qual ponto é esse, mas podemos expressá-lo por ( ()).
18
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
ComoJ
=entãoJ=
p
. Como o ponto()ca no primeiro quadrante a
parte da função que iremos considerar é somente a parte positiva, isto é:J=
p
.
Assim a distância entre os pontos( ())e()será:
5=
q
()
+ (())
=
Ç
()
+ (
p
)
Fazendo a derivada de5igual a zero conseguimos determinar os pontos críticos
da função.
5
0
=
()
p
(
p
)
q
()
+ (
p
)
=
)5
0
=()
p
€
p
Š
=
)
p
+=
)
p
=
)
p
=
Chamando
p
de y então:
J
p
J=
)J(J
p
) =
Acima percebemos que um zero da função ocorre para y = 0 e consequente-
mente x = 0.
Outro zero deve ocorrer quandoJ
p
=
J=
v
u
t
p
que implica em x = 2.
)J=
v
u
t
p
=
p
)
p
=
Æ
p
)=
19
ComoJ
=entãoJ=
p
. Como o ponto()ca no primeiro quadrante a
parte da função que iremos considerar é somente a parte positiva, isto é:J=
p
.
Assim a distância entre os pontos( ())e()será:
5=
q
()
+ (())
=
Ç
()
+ (
p
)
Fazendo a derivada de5igual a zero conseguimos determinar os pontos críticos
da função.
5
0
=
()
p
(
p
)
q
()
+ (
p
)
=
)5
0
=()
p
€
p
Š
=
)
p
+=
)
p
=
)
p
=
Chamando
p
de y então:
J
p
J=
)J(J
p
) =
Acima percebemos que um zero da função ocorre para y = 0 e consequente-
mente x = 0.
Outro zero deve ocorrer quandoJ
p
=
J=
v
u
t
p
que implica em x = 2.
)J=
v
u
t
p
=
p
)
p
=
Æ
p
)=
19
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Como f(0)f(2) então a distância mínima ocorre para o ponto ( ())da
função.
20
Como f(0)f(2) então a distância mínima ocorre para o ponto ( ())da
função.
20
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Este trabalho está licenciado com uma
Licença Creative Commons -
Atribuição-NãoComercial-
CompartilhaIgual 4.0 Internacional.
Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por
isso, certique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do
mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos
de matemática, acesse:www.number890.wordpress.com
Para aulas particulares, digitação de texto em LAT
E
Xe resolução de listas de exer-
cícios entre em contato.
?336568@8>4@> 463@@<4@>E96#>36C)JA6?>36C@C5AC6DD4@>
21
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