Exercícios Resolvidos: Regra da cadeia

Exercícios resolvidos de cálculo um sobre a regra da cadeia para derivada de funções de uma variável.

1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Regra da Cadeia
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Escrito por Diego Oliveira ­ Publicado em 14/12/2014 ­ Atualizado em 17/08/2017
O que preciso saber?
Sejaš(‘) =9(8(‘))(outra notação seriaš(‘) = (98)(‘)), então:
D‘f(x)= [D‘h(x)g(x) ]D‘8(‘)
A fórmula acima é conhecida comoRegra da Cadeia.
Exemplo 1:Encontre a derivada deš(‘)= sen(‘).
Solução
Seja9(‘)= sen(‘) e8(‘) =‘entãoš(‘) =9(8(‘)).
Como: D‘h(‘) = cos(‘) e D‘8(‘)= 3
e pela regra da cadeia
D‘š(‘)= (D‘9(‘)8(‘))D‘8(‘)
Então:
D‘š(‘)= (cos(‘)‘)3
D‘š(‘)= 3cos(‘)
Exemplo 2:Encontre a derivada de f(x) =
‚
‘

D6?(‘)
‘

Œ
Solução
f(x) = h(g(x)) onde:
h(x) = x

e g(x) =
‚
‘

D6?(‘)
‘

Œ
a derivada de9e8são:
1

2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
D‘(h(x)) =‘
D‘(g(x)) =
‘

+D6?(‘)‘4@D(‘)
‘

Usando então a regra da cadeia
D‘f(x) =
‚
‘
‚
‘

D6?(‘)
‘

ŒŒ

‚
‘

+D6?(‘)‘4@D(‘)
‘

Œ
=
(‘

D6?(‘))(‘

+D6?(‘)‘4@D(‘))
‘

Exemplo 3:Encontre a derivada deš(‘)= sen(sen(‘)1)
Solução
š(‘) =9(8(‘)), onde9(‘)= sen(‘) e8(‘)= sen(‘)1.
A derivada de9e8são:
D‘9(‘)= cos(‘)
D‘8(‘)= cos(‘)
Usando então a regra da cadeia
D‘š(‘)= (cos(‘)(sen(‘)1))cos(‘)
D‘š(‘)= cos(sen(‘)1)cos(‘)
Exemplo 4:Encontre a derivada deš(‘)= (‘

‘

+)

Solução
Sejaš(‘) =9(8(‘)), onde9(‘) =‘

e8(‘) =‘

‘

+então pela regra da
cadeia.
D‘š(‘)= (D‘9(‘)8(‘))D‘8(‘)
=(‘(‘

‘

+))D‘(‘

‘

+)
=(‘(‘

‘

+))(‘

‘)
2

3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
=‘(‘

‘

+)(‘

‘)
Exemplo 5:Encontre a derivada deš(‘)= e
D6?n
Solução
Fazendo9(‘)= e
‘
e8(‘)= sen(n) então pela regra da cadeia:
Dnš(‘)= (Dn(e
n
)D6?(n))Dn(D6?(n))
= e
D6?(n)
Dn(D6?(n))
= e
D6?(n)
(Dn(D6?(n))n)Dn(2n)
= e
D6?(n)
((4@D(n))n))
= 2e
D6?(n)
(4@D(n))
Exemplo 6:Seš() =,8() =,š
0
() =e8
0
() =, encontre a derivada
de9(‘) =š(‘)8

(‘)para‘=.
Solução
Para resolver esse problema temos de recordar a propriedade do produto para
derivada.
Se9(‘) =š(‘)8(‘)então9
0
(‘) =š
0
(‘)8(‘) +š(‘)8
0
(‘)(Regra do produto)
O que desejamos é determinar a derivada de 9(‘) =š(‘)8

(‘)quando‘=.
Usando aregra do produtoentão:
9
0
(‘) =š
0
(‘)8

(‘) + (8

(‘))
0
š(‘)(Equação 1)
Note que8

(‘) =‘

8(‘)(composição de função). Assim usando a regra da
cadeia:
(8

(‘))
0
=

(‘

)
0
8(‘)

8
0
(‘) = (‘8(‘))8
0
(‘) =8(‘)8
0
(‘)(Equação 2)
Usando a equação 2 na equação 1.
9
0
(‘) =š
0
(‘)8

(‘) +8(‘)8
0
(‘)š(‘)
3

4. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
)9
0
() =š
0
()8

() +8()8
0
()š()
)9
0
() =š
0
()(8())

+8()8
0
()š()
Substituindo os valores cedidos no enunciado.
9
0
() =()

+()()()
)9
0
() =+
)9
0
() =
Ou seja, a resposta é 80.
4

5. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
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