Exercícios sobre conjuntos

atividades 8º ano

1. 1. Seja A = { 1, {2}, {1,2} }. Considere as afirmações:
(I) 1A
(II) 2A
(III)A
(IV) {1,2}A
Estão corretas as afirmações:
A) I e II
B) I e III
C) III e IV
D) III
E) I
2. Sabendo que A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} e C= {1, 6, 7, 8, 9}, podemos
afirmar que o conjunto (AB)C é:
A) {1, 4}
B) {1, 4, 6, 7}
C) {1, 4, 5, 6}
D) {1, 4, 6, 7, 8, 9}
3. José Carlos e Marlene são os pais de Valéria. A família quer viajar nas férias
de julho. José Carlos conseguiu tirar suas férias nafábrica do dia 2 ao dia 28.
Marlene obteve licença no escritório de 5 a 30. As férias de Valéria na escola
vão de 1 a 25. Durante quantos dias a família poderá viajar sem faltar as suas
obrigações?
A) 19
B) 20
C) 21
D) 22
4.(UNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20 gostam
de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e
História é:
A) exatamente 16

2. B) exatamente 10
C) no máximo 6
D) no mínimo 6
E) exatamente 18
5.(PUC) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15pessoas utilizam pelo
menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10 destas pessoas não usam o
produto B e que 2 destas pessoas não usam o produto A, qual é o número de
pessoas que utilizam os produtos A e B?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

3. Soluções dos Exercícios
Exercício 1.
Um ponto importante para chegar a resposta correta desta questão é ter em
mente o que é relação de pertinência e sobre a relação entre um subconjunto e
conjunto.
Arelação de pertinênciaé usada somente para relacionar o elemento e seu
conjunto. Utilizamos para isso o símbolo(lê-se: pertence).
Pararelacionar subconjunto e conjunto, usamos o símbolo(lê-se: está
contido), ou seja, sempre que um conjunto está contido em outro, utilizamos tal
símbolo.
Claro que o contexto envolvendo a questão deve ser analisado antes, como
veremos a seguir na resolução
Analisaremos item por item.
(I) Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado (pertence) para relacionar
está correto, então o item I é verdadeiro.
(II) Repare que 2 não é elemento do conjunto A, então ele não pertence a A,
logo o item II não está correto. Observe que {2} é elemento de A. Nesse ponto,
chamamos a atenção para o fato de que {2} é um conjunto, já que está entre
chaves, que é um elemento de A.
Há uma diferença entre 2 e {2}, espero que tenha percebido. O item IV é
semelhante.
(III) Uma das propriedades de inclusão (por definição de subconjunto) diz o
seguinte: o(vazio) está contido em qualquer conjunto. Portanto, o item III
está correto.
(IV) Mais uma vez temos que {1,2} é um elemento de A e não um subconjunto,
logo a afirmação não está correta, pois deveria ser usado o símbolo de
pertence. Neste caso, o símbolo estaria correto se, ao invés de {1,2}
tivéssemos {{1,2}} (subconjunto 1,2).
Temos que somente os itens I e III estão corretos.
Observação: caso você tenha dificuldade para compreender as relações que
existem entre um conjunto, elemento e subconjunto estude um pouco mais
sobre relação de pertinência e subconjuntos.
Exercício 2.
O exercício pede o conjunto (AB)C, “A interseção B união C”.

4. Sendo que a relação entre parênteses (interseção) precede a que está fora
(união), deve ser realizada antes.
(AB), o conjunto “A interseção B” é o conjunto formado pelos elementos que
pertencem a A e a B, que são comuns aosdois conjuntos.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6}.
(AB) = { 4 }.
Como já obtemos o conjunto “A interseção B”, {4}. Vamos agora realizar a
uniãocom C.
O conjunto união (reunião) é formado por todos os elementos que pertencem a
um ou a outro conjunto. Todos os elementos dos conjuntos fazem para do
conjunto união e não precisa repetir o mesmo elemento.
(AB) = { 4 } e C = {1, 6, 7, 8, 9}.
(AB)C = {1, 4, 6, 7, 8, 9}.
Exercício 3.
A resposta para a pergunta deste problema será dada pela interseção dos dias
em que cada um poderá faltar sua obrigações. Vejamos:
José Carlos = { 2, 3, 4,5, …,25, 26, 27, 28 }.
Marlene = {5, 6, 7, …,25, 26, 27, 28, 29, 30 }.
Valéria = { 1, 2, 3, 4,5, …,25}
Repare que Marlene só terá licença a partir do dia 5, antes não poderá já que
José Carlos e Valéria podem, logo os membros da família só poderão iniciar as
férias juntos apartir do dia 5.
Veja que as férias de Valéria terminam no dia 25, logo os membros da família
só poderão ficar juntos até dia 25.
Os dias em que a família poderá viajar sem faltar as obrigações vão do dia 5 ao
dia 25.
{5, 6, 7, …, 23, 24, 25}, temos um total de 21 dias.
Observação: ao realizar o cálculo da quantidade de dias, tenha atenção para
não excluir o dia 5 realizando o seguinte cálculo: 25–5 = 20. Deste modo você
exclui um dia (5) e está errado já que o dia 5 entra, ok?
Para você calcular a quantidade de números naturais num intervalo dado basta
seguir o seguinte método:

5. (número final)–(número inicial) + 1.
Como exemplo, vamos calcular a quantidade de (dias) números naturais de 5 a
25.
Número final = 25, número inicial = 5.
25–5 + 1 = 21.
Exercício 4.
Sejam n(M) e n(H) o número de alunos que gostam de Matemática e História,
respectivamente.
n(M U H) = número de alunos que gostam de Matemática ou História (união).
n(MH) = número de alunos que gostam de Matemática e História
(interseção).
Do problema temos: n(M) = 16, n(H) = 20 e n(M U H) = 30.
O número de elementos da união de dois conjuntos finitos(no caso n(M U H)) é
dado por:
n(M U H) = n(M) + n(H)–n(MH), fazendo a substituição dos valores.
30 = 16 + 20–n(MH) <=> n(MH) = 36–30 <=> n(MH) = 6.
Bem, com isso chegamos ao resultado de que o número de alunos que gostam
de Matemática e História é igual a 6. Mas, se repararmos nas alternativas, não
há esta opção.
E agora?
Ficamos então em dúvida se marcamos a alternativa C) no máximo 6 ou D) no
mínimo 6.
Repare o seguinte:
em nossos cálculos acima, consideramos que todos os alunos (30) gostam de
pelo menos uma matéria, ok?
Mas, em momento algum o problema diz isso no enunciado, concorda?
Pode haver alunos que não gostam de nenhuma das matériase isso
aumentaria o número de alunos que gostam de ambas.
Exemplo: suponha que 1 aluno não goste de Matemática, nem de História.
30–1 = 29, isto quer dizer que 29 alunos gostam de Matemática ou História.

6. Refazendo os cálculos acima para o valor 29, teremos: 36–29 = 7 alunos
gostam de Matemática e História.
Portanto, o número de alunos que gostam de Matemática ou História deve ser
menor ou igual a 30, pois pode haver alunos que não gostam de ambas.
n(M UH)30 <=>
n(M) + n(H)–n(MH)30. Fazendo as substituições.
16 + 20–n(MH)30 <=> 36–30n(MH) <=> 6n(MH) ou n(MH)
6.
Logo, o número de alunos que gostam de Matemática e História deve ser no
mínimo 6.
Exercício 5.
Como 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B, temos o
seguinte:
10 pessoas não usam o produto B, então elas usam o produto A.
Total de pessoas que usam só A = 10 pessoas.
2 pessoas não usam o produto A, então elas usam o produto B.
Total de pessoas que usam só B = 2 pessoas.
Seja x o número de pessoas que utilizam os produtos A e B (ambos).
Temos que o número de pessoas que usam o produto A, mais o número de
pessoas que usam o produto B, mais o número de pessoas que usam ambos
deve ser igual a 15 (já que pelo menos um dos produtos é utilizado). Veja:
(nº de pessoas que usamsóA) + (nº pessoas que usam só B) + x = 15
10 + 2 + x = 15 <=> x = 3 pessoas.
O número de pessoas que utilizam os produtos A e B é igual 3 pessoas.