Expansión polinomial en series de taylor

1. Luis E. Loaiza Guillen.
EXPANSIÓN POLINOMIAL EN SERIES DE TAYLOR

DEFINICIÓN
Sea f una función cuyas “n” derivadas existen en un intervalo I , y estas no tienen un tamaño
desmesurado; es decir, están acotadas: ()
n
f x k x I

Entonces, se verifica que: 23
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ... ...
1! 2! 3! !
nn
f a x a f a x a f a x a f a x a
f x f a
n
     
     

Donde: aI

Es decir, una función infinitamente derivable en un intervalo puede
representarse como un polinomio a partir de sus derivadas
evaluadas en un punto “a ”* de dicho intervalo. De manera más
compacta: 0
()
( ) ( )
!
n
n
n
xa
f x f a
n





Esta fórmula, presentada por el matemático inglés Brook Taylor
(1685-1731) en su Methodus Incrementorum Directa et Inversa
(1715); es conocida como la fórmula de Taylor.
Hacer una función equivalente a un polinomio de Taylor permite aproximar los valores mediante
operaciones más simples (productos y sumas), aplicar las propiedades de las sumatorias, aproximar
derivadas e integrales, entre otros.

*Cuando el punto escogido (“a ”), para evaluar la función y sus derivadas, es 0; la serie toma el
nombre de Maclaurin; en honor a Colin Maclaurin (1698-1746) quien estudió este caso particular de
la series de Taylor.

2. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 1. Calcúlese la serie de Taylor de ()
x
f x e
Empezamos derivando, tratando de obtener un patrón; lo que es fácil con esta función: ( ) , ( ) , ( ) ,..., ( )
x x x n x
f x e f x e f x e f x e    

Entonces, de la fórmula: 23
( ) ( ) ( ) ( )
... ...
1! 2! 3! !
a a a a n
xa e x a e x a e x a e x a
ee
n
   
     

Tomamos un punto (“a ”), de fácil cálculo y con el que existan las derivadas; en este caso escogemos a
=0. 0 0 2 0 3 0
0
23
( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
... ...
1! 2! 3! !
1( ) ( ) ( ) ( )
1 ... ...
1! 2! 3! !
n
x
n
x
e x e x e x e x
ee
n
x x x x
e
n
   
     
     

De tal modo la serie para ()
x
f x e , es: 2345
1 ... ...
1! 2! 3! 4! 5! !
n
x x x x x x x
e
n
       

De forma más simple: 0!
n
x
n
x
e
n




Es decir, evaluar()
x
f x e resulta igual a evaluar el
polinomio infinito0!
n
n
x
n


 ; por ejemplo: 1
00
11
(1)
!!
n
nn
fe
nn


  

Desarrollando el polinomio hasta 5° grado: 1 1 1 1 1
1 2.716
1! 2! 3! 4! 5!
e      

3. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 2. Calcúlese la serie de Taylor de ( ) ln( )f x x
Las derivadas: 1
2 3 4
1 1 1.2 2.3 ( 1) ( 1)!
( ) , ( ) , ( ) ( ) ,..., ( )
n
IV n
n
n
f x f x f x f x f x
x x x x x

   
      
De la fórmula de Taylor: 2 3 1
23
1 ( ) 1( ) 1 ( ) ( 1) ( )
ln( ) ln( ) ... ...
1 2 3
nn
n
x a x a x a x a
xa
a a a a n

     
     

Resulta evidente que “a ” no puede ser 0 (no admite una serie de Maclaurin) ya que no es derivable –
ni continua- en ese punto; por comodidad se toma a =1. 2 3 1
23
1( 1) 1( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)
ln( ) ln(1) ... ...
1 1 1 2 1 3 1
nn
n
x x x x
x
n

     
     
2 3 4 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
ln( ) ... ...
1 2 3 4 1
nn
x x x x x
x
n

     
     


Entonces: 1
0
( 1) ( 1)
ln( )
( 1)
nn
n
x
x
n









CONVERGENCIA
La aproximación con series de Taylor es mejor – para cualquier grado de desarrollo – mientras más
cerca esté el número del punto de prueba (a ). Es decir, hay un intervalo de convergencia centrado
en “a ”; con un radio de convergencia “r ” (que pertenece al intervaloI ); para el cual la serie
converge.

4. Luis E. Loaiza Guillen.
Teorema
Sea 0
()
n
n
n
u x a


 una serie cualquiera; entonces se cumple una de las condiciones:
→ La serie solo converge (es exacta) para “a ”. (r =0)
→ La serie converge para cualquier valor de “x”. (r = )
→ La serie converge para un intervalo (;a r a r ); con 0r .

Ejemplo 3.
Usemos la serie hallada en el ejemplo 2; para aproximar ln(1.2) y ln(3) desarrollando el polinomio
hasta quinto grado: 2 3 4 5
2 3 4 5
(1.2 1) (1.2 1) (1.2 1) (1.2 1) (1.2 1)
ln(1.2) 0.18233
1 2 3 4 5
(3 1) (3 1) (3 1) (3 1) (3 1)
ln(3) 5.06667
1 2 3 4 5
    
     
    
     

Comparando con los valores reales
(redondeado a 5 decimales): ln(1.2) 0.18232
ln(3) 1.09861



Se puede observar que la aproximación es
muy buena para ln(1.2), mas no para ln(3);
lo que se explica por la cercanía con el
punto de prueba (a =1). Es evidente que 3
está fuera del intervalo de convergencia.

5. Luis E. Loaiza Guillen.
CÁLCULO DEL INTERVALO DE CONVERGENCIA: “PRUEBA DE LA RAZÓN” (CRITERIO DE D´ALEMBERT)
Supongamos una serie de Taylor: 0
( , ) ( )
n
n
n
T f a u x a


 , donde los n
u son los coeficientes;
entonces, se justifica que los términos vayan haciéndose más pequeños (ya que el denominador
factorial se hace más grande), es decir, para cualquier n: 1
1
( ) ( )
nn
nn
u x a u x a


  

La prueba de la razón consiste en evaluar el límite: 1
1
()
lim 1
()
n
n
n
n
n
u x a
u x a







Dado que: 1
1
1
11
() ()
lim lim ( ) lim 1
()()
n
n
n
nn
nn
n n n
nnn
u x a x a u u
xa
x a u uu x a




  
 
   


Después de calcular el límite, resulta un intervalo en “x”.
Ejemplo 4. Calcular el intervalo de convergencia de 1
0
( 1) ( 1)
ln( )
( 1)
nn
n
x
x
n







12
1
12
1
11
11
( 1) ( 1)
() ( 2) ( 1) ( 1) ( 1)
lim lim lim
( 2)( 1) ( 1)( ) ( 1) ( 1)
( 1)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
lim 1lim 1
( 2) ( 2)
nn
n
nn
n
nnn n n
n n n
n
nn
x
u x a n xn
nxu x a x
n
x n n
x
nn





  
 

    

    

   
   


Evaluando el límite: ( 1)
1lim 1 1 1 1 1 0 2
( 2)
n
n
x x x x
n


           


El intervalo de convergencia es exactamente:0;2] . Y el radio de convergencia es 1.

6. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 5. La serie de Maclaurin para la función seno es:
21
0
( 1) ( )
()
(2 1)!
nn
n
x
sen x
n






; calcule el
intervalo de convergencia.
Usando la prueba de la razón: 1 2 3
1
1 2 3
1
2121
12
2
( 1) ( )
() (2 3)! ( 1) ( ) (2 1)!
lim lim lim
( 1) ( ) (2 3)!( ) ( 1) ( )
(2 1)!
( 1) ( ) 1
lim lim 1
(2 2)(2 3) (2 2)(2 3)
nn
n
nn
n
nnn n n
n n n
n
nn
x
u x a n xn
xnu x a x
n
x
x
n n n n





  
 

  




  
   


Calculando el límite: 2
(0) 1 0 1x  

Lo que indica que la serie converge para todo x.

APROXIMACIÓN Y ACOTACIÓN DEL ERROR
Al realizar una aproximación con una serie de Taylor uno está limitado - obligado - a realizar una suma
finita; Es decir, escoger el grado hasta el que se desarrollará el polinomio.

Tomemos la expansión de Taylor para la función exponencial (ejemplo 1) para calcular una
aproximación del número de Euler (e ); podríamos desarrollar el polinomio a distintos grados:
1 1 1 1 1
1 2.71667
1! 2! 3! 4! 5!
e      

1 1 1 1 1 1
1 2.71806
1! 2! 3! 4! 5! 6!
e       
1 1 1 1 1 1 1
1 2.71825
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
e        

←aproximación de quinto grado (n=5)
←aproximación de sexto grado (n=6)
←aproximación de séptimo grado (n=7)

7. Luis E. Loaiza Guillen.
Entonces si aproximamos una función ()fx por una suma finita de grado “n” ( , )
n
T f a ; el error
cometido es:
( ) ( , )
n
f x T f a

En otras palabras se comete un error por todos aquellos términos que no se sumaron, este se puede
acotar: n
R

Donde n
R es el resto de Lagrange, que se expresa: 11
( )( )
( 1)!
nn
n
f x a
R a x
n




  


Que representa el máximo error cometido en la aproximación de grado “n”.

Ejemplo 6. Estime el error cometido al calcular ()
6
sen
 con un polinomio de Taylor de 5° grado.
Del ejemplo 5, sabemos: 35
5
(sin( ),0)
3! 5!
xx
T x x   
35
5
66
(sin( ),0) 0.500002
6 6 3! 5!
T


   
   
   
   

El resto de Lagrange: 7
7
66
5 7
()
6
2.14*10 2.14*10
(7)! 6 7!
R





    
6
5
(sin( ),0) 0.500002 2.14*10
6
T




8. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 7. Calcule el grado del polinomio para obtener una aproximación de 1
e con un error
menor a 10
-4
.
Sabemos: 0.5 4
0
1 ( 0.5)
10
!
n
n
e con
ne





  

Usando el Teorema Lagrange: 1
44( 0.5)
10 10
( 1)!
n
n
e
R
n
 
 
  


Tomando un ϴ que haga máximo el resto entre <-0.5;0> 0 1 1
4( 0.5) ( 0.5)
10
( 1)! ( 1)!
nn
e
nn





Entonces el menor número “n” que cumple la desigualdad: 51
4( 0.5) 1
10
(5 1)! 46080





Podemos comprobarlo: 0 2 3 4 5
0.5( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)
0.606510...
0! 1! 2! 3! 4! 5!
e
      
      

El resultado exacto: 0.606530… (se comprueba que el error aparece en la cuarta cifra decimal, como
se quería)

9. Luis E. Loaiza Guillen.
COMPOSICION Y SUSTITUCION

Ejemplo8. Calcule ( ( ),0)T g x con()
xx
g x e e

 , y su intervalo de convergencia.
Queremos expandir alrededor de 0, la función que resulta de restar otras funciones; partiendo de: 2345
0
1 ...
! 1! 2! 3! 4! 5! !
nn
x
n
x x x x x x x
e
nn


        

Haciendo: xx

Obtenemos: 2 3 4 5
00
( ) ( 1)
1 ...
! ! 1! 2! 3! 4! 5!
n n n
x
nn
x x x x x x x
e
nn




        

Restando ambas series: 3 5 7
00
( 1) 2 2 2 2
( ) ...
! ! 1! 3! 5! 7!
n n n
xx
nn
x x x x x x
g x e e
nn




        
3 5 7 2 1
0
( ) 2( ...) 2
1! 3! 5! 7! (2 1)!
n
xx
n
x x x x x
g x e e
n



       



Se puede demostrar que converge para todo x.

10. Luis E. Loaiza Guillen.
CÁLCULO DE LÍMITES

Teorema

Sea el límite L lim ( )
xa
fx

 , y ( , )
n
T f a

la serie que representa a ()fx

alrededor de “a ”,
entonces: L lim ( ) lim ( , )
n
x a x a
f x T f a





Ejemplo 9. Demuestre que el límite hacia cero de la función seno cardinal es 1, usando series de
Taylor. sin
sinc( )
x
x
x


Sabemos que la serie para la función seno: 2 1 3 5 7 9
0
( 1) ( )
( ) ...
(2 1)! 3! 5! 7! 9!
nn
n
x x x x x
sen x x
n



     



Luego, para un mismo valor de x; distinto de
0: 2 4 6 8
2
0
sen
1 ...
3! 5! 7! 9!
sen ( 1) ( )
(2 1)!
nn
n
x x x x x
x
xx
xn


    





Donde resulta evidente: 00
sin
lim sinc( ) lim 1
xx
x
x
x



11. Luis E. Loaiza Guillen.
DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN
Teorema
Sea 0
( , ) ( )
n
nn
n
T f a u x a


 una serie que representa a ()fx

y converge alrededor de “a ” con un
radio de convergencia “r ”, entonces:
→ La serie 1
1
( 1)( )
n
n
n
u n x a



 representa a '( )fx y tiene el mismo radio de convergencia, mas
no necesariamente converge en los extremos del intervalo.
→ La serie 1
0
()
1
n
n
n
xa
u
n




 representa a 0
()
x
f x dx con ""x que pertenece al intervalo de
convergencia.

En resumen, derivar o integrar término a término una serie que representa una función; genera la
serie de su derivado o integral, con el mismo radio de convergencia.

Ejemplo 10. Obténgase la serie para 1
1x
Conocemos que 1
0
( 1) ( 1)
ln( )
( 1)
nn
n
x
x
n







Sustituyendo 1xx , en la serie. 1 1 1
0 0 0
( 1) (1 1) ( 1) ( ) ( )
ln(1 )
( 1) ( 1) ( 1)
n n n n n
n n n
x x x
x
n n n
    
  
     
   
  
  


Luego, como: (ln(1 )) 1
1
dx
dx x



1
00
23
0
(ln(1 )) ( ) ( 1)( ) 1
()
( 1) ( 1) 1
1
1 .....
1
nn
nn
n
n
d x d x n x
dx dx n n x
x x x x
x




   
   
  
   




12. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 11. Mediante integración, obtenga la serie para ( ) arctan( )h x x
Por el ejemplo anterior, sabemos 0
1
1
n
n
x
x





Si sustituimos 2
xx
Conseguimos: 2
22
0
2
2
0
11
()
1 ( ) 1
1
( 1)
1
n
n
nn
n
x
xx
x
x




  
  





Como: 2
0
1
arctan( )
1
x
dx x
x


 , la función es equivalente a:  
2 2 4 6
000
( ) ( 1) 1 ...
xx
nn
n
h x x dx x x x dx



     



3 5 7
arctan( ) ....
357
x x x
xx   

Por lo que: 21
0
( 1)
( ) arctan( ) 1 1
21
nn
n
x
h x x x
n



    



13. Luis E. Loaiza Guillen.
MÉTODO NUMÉRICO PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES

Sea la ecuación diferencial ordinaria y el valor
inicial, el PVI:
00
( , )
()
dy
f x y
dx
y x y




Con solución: ()y y x


De la formula de Taylor: 23
0 0 0 0
0 0 0
23
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
''( )( ) '''( )( )
( ) ( ) '( )( ) ...
2! 3!
'( , )( ) ''( , )( )
( ) ( ) ( , )( ) ...
2! 3!
y x x x y x x x
y x y x y x x x
f x y x x f x y x x
y x y x f x y x x

     

     

En general para el problema:



Se puede aproximar la solución de la ecuación diferencial (función) para un punto cercano al valor
inicial, centrando una serie de Taylor en el valor inicial en este punto

A veces, para obtener un valor más exacto de un punto cualquiera conviene dividir el intervalo entre
el punto que se tiene y el deseado, de tal forma que se tomen siempre valores cercanos; mientras se
van centrando sucesivas series en cada iteración

*La aproximación lineal:
0 0 0 0 0 0 0
( ) ( ) '( )( ) ( ) ( , )( )y x y x y x x x y x f x y x x     

Es conocido como el método de Euler
1
0 0 0 0
( , , ', '',..., ) 0
( ), '( ), ''( ),..., ( )
n
n
F x y y y y
PVI
y x y x y x y x

 



14. Luis E. Loaiza Guillen.
Ejemplo 12. Emplee el método de Taylor para aproximar y(0.5), usando un polinomio de tercer grado,
y compare con el valor exacto; dado el problema: '2
(0) 0
y y x
y




Primero resolveremos la ecuación diferencial analíticamente, observando que es lineal: ( 1) 2 2
dy
y x dy ydx xdx
dx
       

El factor integrante: ( 1)dx
x
ee


    22
( ) 2 ( ) 2
2( 1)
x x x x x
x x x x
xx
e dy ydx e xdx e dy e ydx xe dx
d e y xe dx d e y xe dx
e y x e c
    
   

      
    
  


La solución general: ( ) 2( 1)
x
y x x ce  

Y la particular: (0) 2(0 1) 0 2
( ) 2( 1) 2
x
y c c
y x x e
      
  

El valor que se pide: 0.5
(0.5) 2(0.5 1) 2 0.29744ye    

Ahora usando el polinomio de Taylor, con el valor inicial: 23
''(0)( ) '''(0)( )
( ) (0) '(0)( ) ...
2! 3!
y x y x
y x y y x    

Sabemos ' 2 '' ' 2 ''' ''y y x y y y y      
(0) 0, '(0) 0, '' 2 ''' 2
n
y y y y y n       

15. Luis E. Loaiza Guillen.
En general, la serie (de Maclaurin) sería: 2345
( ) ( 2) ( ) ( 2) ( ) ( 2) ( ) ( 2)
( ) 0 0 ...
2! 3! 4! 5!
x x x x
yx
   
     

Factorizando: 2345
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 ...
2! 3! 4! 5!
x x x x
yx

    



Haciendo algunos arreglos 2345
2345
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 1 1 ...
2! 3! 4! 5!
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2( 1) 2 1 ... 2( 1) 2
2! 3! 4! 5! !
n
n
x x x x
y x x x
x x x x x
y x x x x
n



       



           




Por lo que se puede demostrar que se obtiene la solución exacta: ( ) 2( 1) 2
x
y x x e  


Ahora, numéricamente el valor pedido: 23
(0.5) ( 2) (0.5) ( 2) 7
(0.5) 0 0 0.29167
2! 3! 24
y
  
      

Ahora si agregásemos un par de términos más (polinomio de 5 grado): 2345
(0.5) ( 2) (0.5) ( 2) (0.5) ( 2) (0.5) ( 2) 571
(0.5) 0 0 0.2974
2! 3! 4! 5! 1920
y
    
        

Otra forma de aumentar la exactitud, sin agregar términos: haciendo iteraciones. 23
23
23
(0.25) ( 2) (0.25) ( 2) 13
(0.25) 0 0 0.06771
2! 3! 192
''(0.25)( 0.25) '''(0.25)( 0.25)
( ) (0.25) '(0.25)( 0.25)
2! 3!
''(0.25)(0.25) '''(0.25)(0.25)
(0.5) (0.25) '(0.25)(0.25) 0.2
2! 3!
y
y x y x
y x y y x
yy
y y y
  
      

    
      9656

16. Luis E. Loaiza Guillen.
PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Muestre los polinomios finitos:
a) 2
3
( 1 sin( ), )T x x 

b) 3
(tan( ), )
4
Tx


c)2
4
( ln(1 ),0)T x x

d) 52
1
( ,1)
1
T
x


2. Obtenga las series correspondientes a las siguientes funciones alrededor de los puntos indicados:
a) ln( )
x
x , a=1
b) arcsin( )x , a=0
c) cos( )x , a=0
d) 2
( 1)x

 , a=0

3. Pruebe que la serie 21
021
n
n
x
n


 representa a 1
log( )
1
x
x

 y calcule su intervalo de convergencia. ¿En
qué punto coinciden?

4. Calcule el radio de convergencia de la serie de potencias:
a) 0
( !)
n
n
nx




b) 02
n
n
z



5. Calcule el intervalo de convergencia para la serie del ejemplo 10, si esta representa una serie
geométrica de razón “x”>0.

6. Aproxime3
8.5 , usando un polinomio de quinto grado ¿Dónde lo centraría?; estime el error y use
el valor exacto para calcular el error absoluto. Trabaje con seis decimales.


7. Use un polinomio de Maclaurin de noveno grado para arcsin( )x (ver problema 2. b)) y aproxime 
; acote el error. Sugerencia: use 6arcsin(0.5) .

8. ¿Qué grado debe tener el polinomio de Taylor que aproxima a 1/x alrededor de x=1, para
aproximar1/1.3 , con un error máximo de 5
10
 . Sugerencia: derive la serie del ejemplo 2.

17. Luis E. Loaiza Guillen.
9. Dentro de una circunferencia de radio “R” se inscribe un cuadrado;
dentro de este, otra circunferencia; y asi sucesivamente.
a) plantee la serie que representa la suma del area de todos los círculos
(S1) y la de todos los cuadrados (S2).
b) use la serie del ejemplo 10 para calcular S1 y S2, en función de “R”.
10. ¿En qué intervalo la aproximación de cos( )x con 2 4 6
1
2! 4! 6!
x x x
   tiene error máximo de 6
10
 ?
11. Obtenga las series usando empleando el procedimiento sugerido, e indique el valor del punto de
evaluación.
a) sin(2 )cos(2 )xx . Sugerencia: Sustitución y razón trigonométrica de un ángulo doble.
b) 10
log (5 )x . Sugerencia: Cambio de base y sustitución, o logaritmo de un producto.
c) 2
cos( )
x
xe x

 . Sugerencia: Sustitución y multiplicación.
d) 2
3
xx
x
 . Sugerencia: Descomposición en fracciones parciales.

12. Calcule los límites:

a) 2
0
1 cos( )
lim
x
x
x


b) 0
1
lim
x
x
e
x



c) 3
0
arcsin( )
lim
x
xx
x



d) 10
1
log ( )
lim
(1 )
x
x
x



13. Estime: 2
1
0
x
e dx



14. Obtenga la serie que representa sin( )w
dw
w
 y calcule su intervalo de convergencia.
15. A partir de 0
1
1
n
n
x
x




 , obtenga la serie que representa 2
5
(1 )
x
x .

18. Luis E. Loaiza Guillen.
16. Aproveche que 2
0
sin(2 ) sin ( )
x
x dx x (ver problema 11.a)), para calcular 2
(sin ( ),0)Tx .
Calcule también 2
(cos ( ),0)Tx .

17. Sea el problema: ''
(0) 0 '(0) 1
x
y xe
yy




Aproxime y(0.3) usando un polinomio de Taylor de tercer grado, calculando:
a) Directamente el valor con la formula de Taylor a=0.
b) Primero y(0.1), con a=0; luego, y (0.2) con a=0.1 y y(0.3), con a=0.2 (tres iteraciones).
Calcule en ambos casos el error absoluto, si y(0.3)=-0.294759973

18. Muestre el polinomio cúbico que aproxima la solución 2
'1
x
y e x   , si coinciden en y(0)=1.
¿Puede mostrar la forma de la solución 21
2
0
( ) 0.5 1
!(2 1)
n
n
x
y x x x
nn


   

 ?
Sugerencia: realice una integración semejante al problema 13.

19. Obtenga los coeficientes de la parábola 2
ax bx c que aproxima, en las cercanías de x=0, a la
solución del problema: '' ' ( 1) 5
(0) 0 '(0) 3
x
u e u x u
uu
   



20. Use 0!
n
x
n
x
e
n


 , con el cambio xi (1i ), para demostrar la identidad de Euler: cos( ) sin( )
i
ei



Sugerencia: Sustituya y reagrupe los términos de la serie exponencial.