Exponential practice and problem version 1
Markmark401450
12 views
7 slides
Jan 26, 2025
Slide 1 of 7
1
2
3
4
5
6
7
About This Presentation
The problem for student that want to practice and try to play hard for the exponential
Slide Content
ให้ � เป็นเซตของจ านวนจริง � ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ √6�−2−√2�+7 = 1
ผลบวกของก าลังสองของสมาชิกทั้งหมดในเซต � เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2560/26)]
1. 10.5 2. 14.25 3. 20.25 4. 21.25 5. 30.5
ให้ � แทนเซตของจ ำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √
2�+3
�−2
+ 3√
�−2
2�+3
= 4
ถ้ำ � เป็นจ ำนวนจริงที่น้อยสุดในเซต � และ � เป็นจ ำนวนที่มำกที่สุดในเซต �
แล้ว �
2
+�
2
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ก.พ. 2562/31)]
ให้ � แทนเซตของจ ำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √3�−5 + √4�+3 = √2�−3 + √5�+1
และให้ � = { �
2
| � ∈ � } ผลบวกของสมำชิกทั้งหมดใน � เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2559/37)]
คลังโจทย์ .0123456789 1
1.
2.
3.
ผลบวกของก าลังสองของสมาชิกทั้งหมดในเซต � เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2560/26)]
1. 10.5 2. 14.25 3. 20.25 4. 21.25 5. 30.5
ให้ � แทนเซตของจ ำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √
2�+3
�−2
+ 3√
�−2
2�+3
= 4
ถ้ำ � เป็นจ ำนวนจริงที่น้อยสุดในเซต � และ � เป็นจ ำนวนที่มำกที่สุดในเซต �
แล้ว �
2
+�
2
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ก.พ. 2562/31)]
ให้ � แทนเซตของจ ำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √3�−5 + √4�+3 = √2�−3 + √5�+1
และให้ � = { �
2
| � ∈ � } ผลบวกของสมำชิกทั้งหมดใน � เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2559/37)]
คลังโจทย์ .0123456789 1
1.
2.
3.
ให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ � เป็นเซตค ำตอบของอสมกำร √�+2 < √3−� + √2�−1
แล้ว � เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2559/12)]
1. { �∈ℝ | |2�−1|<1 } 2. { �∈ℝ | |�−2|<1 }
3. { �∈ℝ | |�−1|<2 } 4. { �∈ℝ | �
2
+2<3� }
5. { �∈ℝ | �
2
<2� }
เซตค ำตอบของอสมกำร (√1+�+1)(√1+�+�
2
+�−13) < � เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
[PAT 1 (ก.พ. 2561/3)]
1. (−5, 0) 2. (−4, 1) 3. (−3, 2) 4. (−2, 4) 5. (−1, 5)
คลังโจทย์
.0123456789 2
4.
5.
แล้ว � เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2559/12)]
1. { �∈ℝ | |2�−1|<1 } 2. { �∈ℝ | |�−2|<1 }
3. { �∈ℝ | |�−1|<2 } 4. { �∈ℝ | �
2
+2<3� }
5. { �∈ℝ | �
2
<2� }
เซตค ำตอบของอสมกำร (√1+�+1)(√1+�+�
2
+�−13) < � เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
[PAT 1 (ก.พ. 2561/3)]
1. (−5, 0) 2. (−4, 1) 3. (−3, 2) 4. (−2, 4) 5. (−1, 5)
คลังโจทย์
.0123456789 2
4.
5.
ให้ � เป็นเซตของจ ำนวนจริง � ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับอสมกำร
√2�
√1+� + √1−�
< √1−�
ถ้ำ � เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของเซต � และ � เป็นขอบเขตล่ำงมำกสุดของเซต �
แล้วค่ำของ �
2
+�
2
เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2558/42)]
คลังโจทย์ .0123456789 3
6.
√2�
√1+� + √1−�
< √1−�
ถ้ำ � เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของเซต � และ � เป็นขอบเขตล่ำงมำกสุดของเซต �
แล้วค่ำของ �
2
+�
2
เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2558/42)]
คลังโจทย์ .0123456789 3
6.
ให้ � เป็นเซตของจ านวนจริง � ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ √6�−2−√2�+7 = 1
ผลบวกของก าลังสองของสมาชิกทั้งหมดในเซต � เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2560/26)]
1. 10.5 2. 14.25 3. 20.25 4. 21.25 5. 30.5
ตอบ 3
จะยกก าลังสอง เพื่อก าจัดรูทไปเรื่อยๆ (การยกก าลังสอง อาจท าให้มีค าตอบปลอมหลุดออกมาได้ → ต้องตรวจค าตอบ)
จะได้ค าตอบเดียวคือ
9
2
→ ก าลังสองได้
81
4
= 20.25
√6�−2−√2�+7 = 1
√6�−2 = √2�+7 + 1
6�−2 = (√2�+7+1)
2
6�−2 = 2�+7 + 2√2�+7 + 1
4�−10 = 2√2�+7
2�− 5 = √2�+7
(2�−5)
2
= 2� + 7
4�
2
−20� + 25 = 2� + 7
4�
2
−22� + 18 = 0
2�
2
−11� + 9 = 0
(2�−9)(�−1) = 0
� =
9
2
, 1
ตรวจค าตอบ
� =
9
2
: √6(
9
2
)−2−√2(
9
2
)+7 = 1
5 − 4 = 1
� = 1 : √6(1)−2−√2(1)+7 = 1
2 − 3 = 1 ให้ � แทนเซตของจ ำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √
2�+3
�−2
+ 3√
�−2
2�+3
= 4
ถ้ำ � เป็นจ ำนวนจริงที่น้อยสุดในเซต � และ � เป็นจ ำนวนที่มำกที่สุดในเซต �
แล้ว �
2
+�
2
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ก.พ. 2562/31)]
ตอบ 34
สังเกตว่ำ √
2�+3
�−2
กับ √
�−2
2�+3
เป็นส่วนกลับกัน → ถ้ำให้ √
2�+3
�−2
= ?????? จะได้ √
�−2
2�+3
=
1
??????
จะได้สมกำรคือ
จะได้ � = −5 และ � = 3
ดังนั้น �
2
+ �
2
= (−5)
2
+ 3
2
?????? + 3(
1
??????
) = 4
??????
2
+ 3 = 4??????
??????
2
−4?????? + 3 = 0
(??????−1)(??????−3) = 0
?????? = 1 , 3
√
2�+3
�−2
= 1
2�+3
�−2
= 1
2� + 3 = �−2
� = −5
√
2�+3
�−2
= 3
2�+3
�−2
= 9
2� + 3 = 9�−18
21 = 7�
3 = � คลังโจทย์ .0123456789 1
1.
2.
ผลบวกของก าลังสองของสมาชิกทั้งหมดในเซต � เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2560/26)]
1. 10.5 2. 14.25 3. 20.25 4. 21.25 5. 30.5
ตอบ 3
จะยกก าลังสอง เพื่อก าจัดรูทไปเรื่อยๆ (การยกก าลังสอง อาจท าให้มีค าตอบปลอมหลุดออกมาได้ → ต้องตรวจค าตอบ)
จะได้ค าตอบเดียวคือ
9
2
→ ก าลังสองได้
81
4
= 20.25
√6�−2−√2�+7 = 1
√6�−2 = √2�+7 + 1
6�−2 = (√2�+7+1)
2
6�−2 = 2�+7 + 2√2�+7 + 1
4�−10 = 2√2�+7
2�− 5 = √2�+7
(2�−5)
2
= 2� + 7
4�
2
−20� + 25 = 2� + 7
4�
2
−22� + 18 = 0
2�
2
−11� + 9 = 0
(2�−9)(�−1) = 0
� =
9
2
, 1
ตรวจค าตอบ
� =
9
2
: √6(
9
2
)−2−√2(
9
2
)+7 = 1
5 − 4 = 1
� = 1 : √6(1)−2−√2(1)+7 = 1
2 − 3 = 1 ให้ � แทนเซตของจ ำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √
2�+3
�−2
+ 3√
�−2
2�+3
= 4
ถ้ำ � เป็นจ ำนวนจริงที่น้อยสุดในเซต � และ � เป็นจ ำนวนที่มำกที่สุดในเซต �
แล้ว �
2
+�
2
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ก.พ. 2562/31)]
ตอบ 34
สังเกตว่ำ √
2�+3
�−2
กับ √
�−2
2�+3
เป็นส่วนกลับกัน → ถ้ำให้ √
2�+3
�−2
= ?????? จะได้ √
�−2
2�+3
=
1
??????
จะได้สมกำรคือ
จะได้ � = −5 และ � = 3
ดังนั้น �
2
+ �
2
= (−5)
2
+ 3
2
?????? + 3(
1
??????
) = 4
??????
2
+ 3 = 4??????
??????
2
−4?????? + 3 = 0
(??????−1)(??????−3) = 0
?????? = 1 , 3
√
2�+3
�−2
= 1
2�+3
�−2
= 1
2� + 3 = �−2
� = −5
√
2�+3
�−2
= 3
2�+3
�−2
= 9
2� + 3 = 9�−18
21 = 7�
3 = � คลังโจทย์ .0123456789 1
1.
2.
ให้ � แทนเซตของจ ำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √3�−5 + √4�+3 = √2�−3 + √5�+1
และให้ � = { �
2
| � ∈ � } ผลบวกของสมำชิกทั้งหมดใน � เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2559/37)]
ตอบ 4
แต่ค ำตอบต้องไม่ท ำให้ในรูทติดลบ → จะเห็นว่ำ �=−3 ใช้ไม่ได้ เพรำะจะท ำให้ √3�−5 = √3(−3)−5
= √−14
ส่วน � = 2 จะท ำให้ในรูททั้ง 4 ตัวเป็นบวกทั้งหมด จึงใช้ได้ (จะตรวจค ำตอบก็ได้ แต่ถ้ำทั้ง 4 ตัวเป็นบวกหมด จะท ำให้
ทั้งสองข้ำงของสมกำรเป็นบวกก่อนยกก ำลังสองทั้งสองรอบ จึงไม่จ ำเป็นต้องตรวจ)
จะได้ � = {2} ดังนั้น � = {2
2
} = {4} → จะได้ผลบวกสมำชิกของ � คือ 4
√3�−5 + √4�+3 = √2�−3 + √5�+1
(√3�−5+√4�+3)
2
= (√2�−3+√5�+1)
2
3�−5 + 2√(3�−5)(4�+3) + 4�+3 = 2�−3 + 2√(2�−3)(5�+1) + 5�+1
7�−2 + 2√(3�−5)(4�+3) = 7�−2 + 2√(2�−3)(5�+1)
2√12�
2
−11�−15 = 2√10�
2
−13�−3
12�
2
−11�−15 = 10�
2
−13�−3
2�
2
+2�−12 = 0
�
2
+�−6 = 0
(�+3)(�−2) = 0
� = −3 , 2 ให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ � เป็นเซตค ำตอบของอสมกำร √�+2 < √3−� + √2�−1
แล้ว � เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2559/12)]
1. { �∈ℝ | |2�−1|<1 } 2. { �∈ℝ | |�−2|<1 }
3. { �∈ℝ | |�−1|<2 } 4. { �∈ℝ | �
2
+2<3� }
5. { �∈ℝ | �
2
<2� }
ตอบ 3
สังเกตว่ำ ตัวในรูททำงขวำสองตัว บวกกัน จะเท่ำกับ ตัวในรูทฝั่งซ้ำย → 3−� + 2�−1 = � + 2
ดังนั้น ถ้ำให้ � = 3−� และ � = 2�−1 จะได้อสมกำรคือ
เนื่องจำก ในรูทต้อง ≥ 0 และ ผลรูท ≥ 0 จะเห็นว่ำ อสมกำร 0 < 2√�√� เป็นจริงเมื่อ � > 0 และ � > 0
นั่นคือ 3−� > 0 และ 2�−1 > 0
1. 2. 3.
4. 5.
√�+� < √� + √�
� + � < �+2√�√� + �
0 < 2√�√�
3 > � � >
1
2
→ จะได้ � = (
1
2
,3)
|2�−1| < 1
−1 < 2�−1 < 1
0 < 2� < 2
0 < � < 1 ×
|�−2| < 1
−1 < �−2 < 1
1 < � < 3 ×
|�−1| < 2
−2 < �−1 < 2
−1 < � < 3
�
2
+2 < 3�
�
2
−3�+2 < 0
(�−1)(�−2) < 0
1 2
+ − +
�
2
< 2�
�
2
−2� < 0
�(�−2) < 0
0 2
+ − +
× ×
จะได้ (
1
2
,3) เป็นสับเซตของข้อ 3. คลังโจทย์
.0123456789 2
3.
4.
และให้ � = { �
2
| � ∈ � } ผลบวกของสมำชิกทั้งหมดใน � เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2559/37)]
ตอบ 4
แต่ค ำตอบต้องไม่ท ำให้ในรูทติดลบ → จะเห็นว่ำ �=−3 ใช้ไม่ได้ เพรำะจะท ำให้ √3�−5 = √3(−3)−5
= √−14
ส่วน � = 2 จะท ำให้ในรูททั้ง 4 ตัวเป็นบวกทั้งหมด จึงใช้ได้ (จะตรวจค ำตอบก็ได้ แต่ถ้ำทั้ง 4 ตัวเป็นบวกหมด จะท ำให้
ทั้งสองข้ำงของสมกำรเป็นบวกก่อนยกก ำลังสองทั้งสองรอบ จึงไม่จ ำเป็นต้องตรวจ)
จะได้ � = {2} ดังนั้น � = {2
2
} = {4} → จะได้ผลบวกสมำชิกของ � คือ 4
√3�−5 + √4�+3 = √2�−3 + √5�+1
(√3�−5+√4�+3)
2
= (√2�−3+√5�+1)
2
3�−5 + 2√(3�−5)(4�+3) + 4�+3 = 2�−3 + 2√(2�−3)(5�+1) + 5�+1
7�−2 + 2√(3�−5)(4�+3) = 7�−2 + 2√(2�−3)(5�+1)
2√12�
2
−11�−15 = 2√10�
2
−13�−3
12�
2
−11�−15 = 10�
2
−13�−3
2�
2
+2�−12 = 0
�
2
+�−6 = 0
(�+3)(�−2) = 0
� = −3 , 2 ให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ � เป็นเซตค ำตอบของอสมกำร √�+2 < √3−� + √2�−1
แล้ว � เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2559/12)]
1. { �∈ℝ | |2�−1|<1 } 2. { �∈ℝ | |�−2|<1 }
3. { �∈ℝ | |�−1|<2 } 4. { �∈ℝ | �
2
+2<3� }
5. { �∈ℝ | �
2
<2� }
ตอบ 3
สังเกตว่ำ ตัวในรูททำงขวำสองตัว บวกกัน จะเท่ำกับ ตัวในรูทฝั่งซ้ำย → 3−� + 2�−1 = � + 2
ดังนั้น ถ้ำให้ � = 3−� และ � = 2�−1 จะได้อสมกำรคือ
เนื่องจำก ในรูทต้อง ≥ 0 และ ผลรูท ≥ 0 จะเห็นว่ำ อสมกำร 0 < 2√�√� เป็นจริงเมื่อ � > 0 และ � > 0
นั่นคือ 3−� > 0 และ 2�−1 > 0
1. 2. 3.
4. 5.
√�+� < √� + √�
� + � < �+2√�√� + �
0 < 2√�√�
3 > � � >
1
2
→ จะได้ � = (
1
2
,3)
|2�−1| < 1
−1 < 2�−1 < 1
0 < 2� < 2
0 < � < 1 ×
|�−2| < 1
−1 < �−2 < 1
1 < � < 3 ×
|�−1| < 2
−2 < �−1 < 2
−1 < � < 3
�
2
+2 < 3�
�
2
−3�+2 < 0
(�−1)(�−2) < 0
1 2
+ − +
�
2
< 2�
�
2
−2� < 0
�(�−2) < 0
0 2
+ − +
× ×
จะได้ (
1
2
,3) เป็นสับเซตของข้อ 3. คลังโจทย์
.0123456789 2
3.
4.
เซตค ำตอบของอสมกำร (√1+�+1)(√1+�+�
2
+�−13) < � เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
[PAT 1 (ก.พ. 2561/3)]
1. (−5, 0) 2. (−4, 1) 3. (−3, 2) 4. (−2, 4) 5. (−1, 5)
ตอบ 4
พยำยำมก ำจัดรูทก่อน
สังเกตว่ำ ถ้ำเอำ √1+�+1 ไปคูณกับคอนจูเกตของมัน จะได้ (√1+�+1)(√1+�−1)
ดังนั้น เรำสำมำรถเปลี่ยน � ทำงขวำของอสมกำรโจทย์ เป็น (√1+�+1)(√1+�−1) เพื่อตัดกับฝั่งซ้ำยได้
จะได้ � ∈ (−4, 3)
และในรูท ต้องไม่ติดลบ → → พิจำรณำร่วมกับ (−4, 3) จะเหลือค ำตอบสุดท้ำยคือ [−1, 3)
ซึ่งจะเป็นสับเซตของ (−2, 4) ในข้อ 4.
= 1+�−1
= �
(√1+�+1)(√1+�+�
2
+�−13) < �
(√1+�+1)(√1+�+�
2
+�−13) < (√1+�+1)(√1+�−1)
√1+�+�
2
+�−13 < √1+�−1
�
2
+�−12 < 0
(�+4)(�−3) < 0
√1+�+1 เป็นบวก
→ ตัดแล้วไม่ต้องกลับ
มำกกว่ำ น้อยกว่ำ
−4 3
+ − +
1 + � ≥ 0
� ≥ −1 ให้ � เป็นเซตของจ ำนวนจริง � ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับอสมกำร
√2�
√1+� + √1−�
< √1−�
ถ้ำ � เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของเซต � และ � เป็นขอบเขตล่ำงมำกสุดของเซต �
แล้วค่ำของ �
2
+�
2
เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2558/42)]
ตอบ 1.5
เนื่องจำกในรูท ต้อง ≥ 0 ดังนั้น และ
พิจำรณำร่วมกับ (∗) สุดท้ำยจะได้ −1 ≤ � <
1+√2
2+√2
(
1+√2
2+√2
< 1 )
ดังนั้น ขอบเขตบนน้อยสุด � =
1+√2
2+√2
ขอบเขตล่ำงมำกสุด � = −1
1 + � ≥ 0
� ≥ −1
1−� ≥ 0
1 ≥ �
√2 (
�
2
− �
2
2
)
� + �
< �
√2∙
�
2
−�
2
2
∙
1
�+�
< �
√2∙
(�−�)(�+�)
√2 ∙ √2
∙
1
�+�
< �
�−�
√2
< �
�−� < √2�
� < √2�+�
� < (√2+1)�
เหลือ � ที่เป็นเศษทำงฝั่งซ้ำยอีกหนึ่งตัว ที่ยังเปลี่ยนตัวแปรไม่ได้
ต้องพยำยำมจัดรูป � ทำงซ้ำย ให้อยู่ในรูปของ � และ �
จำก √1+� = � จะได้ 1 + � = �
2
…(1)
จำก √1−� = � จะได้ 1−� = �
2
…(2)
(1) − (2) : 2� = �
2
−�
2
� =
�
2
− �
2
2
√2�
√1+� + √1−�
< √1−�
√2�
� + �
< �
เปลี่ยนตัวแปร ให้ √1+� = �
และ √1−� = �
√1+� < (√2+1)(√1−�)
1 + � < (√2+1)
2
(1−�)
1 + � < (2+2√2+1)(1−�)
1 + � < (3+2√2 )(1−�)
1 + � < 3−3�+2√2−2√2�
4�+2√2� < 2 + 2√2
2� + √2� < 1 + √2
(2+√2)� < 1 + √2
� <
1+√2
2+√2
…(∗)
แทน �,� กลับไปเป็น �
ยกก ำลัง 2 ตลอด
หำร 2 ตลอด
จะได้ −1 ≤ � ≤ 1
จะได้ �
2
+ �
2
= (
1+√2
2+√2
)
2
+(−1)
2
=
1+2√2+2
4+4√2+2
+ 1
=
3+2√2
6+4√2
+ 1
=
3+2√2
2(3+2√2)
+ 1
=
1
2
+ 1 = 1.5 คลังโจทย์ .0123456789 3
5.
6.
2
+�−13) < � เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
[PAT 1 (ก.พ. 2561/3)]
1. (−5, 0) 2. (−4, 1) 3. (−3, 2) 4. (−2, 4) 5. (−1, 5)
ตอบ 4
พยำยำมก ำจัดรูทก่อน
สังเกตว่ำ ถ้ำเอำ √1+�+1 ไปคูณกับคอนจูเกตของมัน จะได้ (√1+�+1)(√1+�−1)
ดังนั้น เรำสำมำรถเปลี่ยน � ทำงขวำของอสมกำรโจทย์ เป็น (√1+�+1)(√1+�−1) เพื่อตัดกับฝั่งซ้ำยได้
จะได้ � ∈ (−4, 3)
และในรูท ต้องไม่ติดลบ → → พิจำรณำร่วมกับ (−4, 3) จะเหลือค ำตอบสุดท้ำยคือ [−1, 3)
ซึ่งจะเป็นสับเซตของ (−2, 4) ในข้อ 4.
= 1+�−1
= �
(√1+�+1)(√1+�+�
2
+�−13) < �
(√1+�+1)(√1+�+�
2
+�−13) < (√1+�+1)(√1+�−1)
√1+�+�
2
+�−13 < √1+�−1
�
2
+�−12 < 0
(�+4)(�−3) < 0
√1+�+1 เป็นบวก
→ ตัดแล้วไม่ต้องกลับ
มำกกว่ำ น้อยกว่ำ
−4 3
+ − +
1 + � ≥ 0
� ≥ −1 ให้ � เป็นเซตของจ ำนวนจริง � ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับอสมกำร
√2�
√1+� + √1−�
< √1−�
ถ้ำ � เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของเซต � และ � เป็นขอบเขตล่ำงมำกสุดของเซต �
แล้วค่ำของ �
2
+�
2
เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2558/42)]
ตอบ 1.5
เนื่องจำกในรูท ต้อง ≥ 0 ดังนั้น และ
พิจำรณำร่วมกับ (∗) สุดท้ำยจะได้ −1 ≤ � <
1+√2
2+√2
(
1+√2
2+√2
< 1 )
ดังนั้น ขอบเขตบนน้อยสุด � =
1+√2
2+√2
ขอบเขตล่ำงมำกสุด � = −1
1 + � ≥ 0
� ≥ −1
1−� ≥ 0
1 ≥ �
√2 (
�
2
− �
2
2
)
� + �
< �
√2∙
�
2
−�
2
2
∙
1
�+�
< �
√2∙
(�−�)(�+�)
√2 ∙ √2
∙
1
�+�
< �
�−�
√2
< �
�−� < √2�
� < √2�+�
� < (√2+1)�
เหลือ � ที่เป็นเศษทำงฝั่งซ้ำยอีกหนึ่งตัว ที่ยังเปลี่ยนตัวแปรไม่ได้
ต้องพยำยำมจัดรูป � ทำงซ้ำย ให้อยู่ในรูปของ � และ �
จำก √1+� = � จะได้ 1 + � = �
2
…(1)
จำก √1−� = � จะได้ 1−� = �
2
…(2)
(1) − (2) : 2� = �
2
−�
2
� =
�
2
− �
2
2
√2�
√1+� + √1−�
< √1−�
√2�
� + �
< �
เปลี่ยนตัวแปร ให้ √1+� = �
และ √1−� = �
√1+� < (√2+1)(√1−�)
1 + � < (√2+1)
2
(1−�)
1 + � < (2+2√2+1)(1−�)
1 + � < (3+2√2 )(1−�)
1 + � < 3−3�+2√2−2√2�
4�+2√2� < 2 + 2√2
2� + √2� < 1 + √2
(2+√2)� < 1 + √2
� <
1+√2
2+√2
…(∗)
แทน �,� กลับไปเป็น �
ยกก ำลัง 2 ตลอด
หำร 2 ตลอด
จะได้ −1 ≤ � ≤ 1
จะได้ �
2
+ �
2
= (
1+√2
2+√2
)
2
+(−1)
2
=
1+2√2+2
4+4√2+2
+ 1
=
3+2√2
6+4√2
+ 1
=
3+2√2
2(3+2√2)
+ 1
=
1
2
+ 1 = 1.5 คลังโจทย์ .0123456789 3
5.
6.
ตอบ 1.5
เนื่องจำกในรูท ต้อง ≥ 0 ดังนั้น และ
พิจำรณำร่วมกับ (∗) สุดท้ำยจะได้ −1 ≤ � <
1+√2
2+√2
(
1+√2
2+√2
< 1 )
ดังนั้น ขอบเขตบนน้อยสุด � =
1+√2
2+√2
ขอบเขตล่ำงมำกสุด � = −1
1 + � ≥ 0
� ≥ −1
1−� ≥ 0
1 ≥ �
√2 (
�
2
− �
2
2
)
� + �
< �
√2∙
�
2
−�
2
2
∙
1
�+�
< �
√2∙
(�−�)(�+�)
√2 ∙ √2
∙
1
�+�
< �
�−�
√2
< �
�−� < √2�
� < √2�+�
� < (√2+1)�
เหลือ � ที่เป็นเศษทำงฝั่งซ้ำยอีกหนึ่งตัว ที่ยังเปลี่ยนตัวแปรไม่ได้
ต้องพยำยำมจัดรูป � ทำงซ้ำย ให้อยู่ในรูปของ � และ �
จำก √1+� = � จะได้ 1 + � = �
2
…(1)
จำก √1−� = � จะได้ 1−� = �
2
…(2)
(1) − (2) : 2� = �
2
−�
2
� =
�
2
− �
2
2
√2�
√1+� + √1−�
< √1−�
√2�
� + �
< �
เปลี่ยนตัวแปร ให้ √1+� = �
และ √1−� = �
√1+� < (√2+1)(√1−�)
1 + � < (√2+1)
2
(1−�)
1 + � < (2+2√2+1)(1−�)
1 + � < (3+2√2 )(1−�)
1 + � < 3−3�+2√2−2√2�
4�+2√2� < 2 + 2√2
2� + √2� < 1 + √2
(2+√2)� < 1 + √2
� <
1+√2
2+√2
…(∗)
แทน �,� กลับไปเป็น �
ยกก ำลัง 2 ตลอด
หำร 2 ตลอด
จะได้ −1 ≤ � ≤ 1
จะได้ �
2
+ �
2
= (
1+√2
2+√2
)
2
+(−1)
2
=
1+2√2+2
4+4√2+2
+ 1
=
3+2√2
6+4√2
+ 1
=
3+2√2
2(3+2√2)
+ 1
=
1
2
+ 1 = 1.5 คลังโจทย์
.0123456789 4
เนื่องจำกในรูท ต้อง ≥ 0 ดังนั้น และ
พิจำรณำร่วมกับ (∗) สุดท้ำยจะได้ −1 ≤ � <
1+√2
2+√2
(
1+√2
2+√2
< 1 )
ดังนั้น ขอบเขตบนน้อยสุด � =
1+√2
2+√2
ขอบเขตล่ำงมำกสุด � = −1
1 + � ≥ 0
� ≥ −1
1−� ≥ 0
1 ≥ �
√2 (
�
2
− �
2
2
)
� + �
< �
√2∙
�
2
−�
2
2
∙
1
�+�
< �
√2∙
(�−�)(�+�)
√2 ∙ √2
∙
1
�+�
< �
�−�
√2
< �
�−� < √2�
� < √2�+�
� < (√2+1)�
เหลือ � ที่เป็นเศษทำงฝั่งซ้ำยอีกหนึ่งตัว ที่ยังเปลี่ยนตัวแปรไม่ได้
ต้องพยำยำมจัดรูป � ทำงซ้ำย ให้อยู่ในรูปของ � และ �
จำก √1+� = � จะได้ 1 + � = �
2
…(1)
จำก √1−� = � จะได้ 1−� = �
2
…(2)
(1) − (2) : 2� = �
2
−�
2
� =
�
2
− �
2
2
√2�
√1+� + √1−�
< √1−�
√2�
� + �
< �
เปลี่ยนตัวแปร ให้ √1+� = �
และ √1−� = �
√1+� < (√2+1)(√1−�)
1 + � < (√2+1)
2
(1−�)
1 + � < (2+2√2+1)(1−�)
1 + � < (3+2√2 )(1−�)
1 + � < 3−3�+2√2−2√2�
4�+2√2� < 2 + 2√2
2� + √2� < 1 + √2
(2+√2)� < 1 + √2
� <
1+√2
2+√2
…(∗)
แทน �,� กลับไปเป็น �
ยกก ำลัง 2 ตลอด
หำร 2 ตลอด
จะได้ −1 ≤ � ≤ 1
จะได้ �
2
+ �
2
= (
1+√2
2+√2
)
2
+(−1)
2
=
1+2√2+2
4+4√2+2
+ 1
=
3+2√2
6+4√2
+ 1
=
3+2√2
2(3+2√2)
+ 1
=
1
2
+ 1 = 1.5 คลังโจทย์
.0123456789 4
Tags
Categories
GeneralDownload
Download Slideshow Get the original presentation fileQuick Actions
Statistics
- Views 12
- Slides 7
- Age 311 days
Related Slideshows
22
Pray For The Peace Of Jerusalem and You Will Prosper
RodolfoMoralesMarcuc
32 views
26
Don_t_Waste_Your_Life_God.....powerpoint
chalobrido8
35 views
31
VILLASUR_FACTORS_TO_CONSIDER_IN_PLATING_SALAD_10-13.pdf
JaiJai148317
32 views
14
Fertility awareness methods for women in the society
Isaiah47
30 views
35
Chapter 5 Arithmetic Functions Computer Organisation and Architecture
RitikSharma297999
29 views
5
syakira bhasa inggris (1) (1).pptx.......
ourcommunity56
30 views