Expresiones algebraicas

Curso Preuniversitario

1. Página 1 de 4


DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: [email protected] - [email protected]
http://migueltarazonagiraldo.com/
Enero del 2019



EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es el conjunto de letras y números relacionados entre sí
por las diferentes operaciones aritméticas (suma, resta,
multiplicación, división, potenciación o radicación) en
un número limitado de veces.

TÉRMINO ALGEBRAICO
Es aquella expresión en la que no se encuentran
presentes las operaciones de adición y sustracción.
Ejemplo:  
2
6 2 2 8 3 4
;x y z xy xy

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO ALG EBRAICO 35
6xy Exponentes Signo Coeficiente


TÉRMINOS SEMENJANTES
Dos o más términos son semejantes cuando poseen las
mismas variables afectadas de los mismos exponentes.
Ejemplo:  
77
, 2 ; , 3F x y xy G x y xy
Son semejantes  
4 5 4 5 1
, 3 ; ,
2
S m n n m A m n m n
No son
semejantes.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS

I. POR SU NATURALEZA.
Pueden ser:
A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
RACIONALES (E.A.R).- Son aquellas expresiones
algebraicas en las cuales no hay parte literal afectada del
símbolo radical. A su vez las expresiones algebraicas
racionales se subdividen en:

A.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
RACIONALES ENTERAS (E.A.R.E).- Aquellas que
no poseen parte literal en el denominador, ó están
afectadas de exponentes enteros y positivos.

A.2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
RACIONALES F RACCIONARIAS (E.A.R.F) .-
Aquellas que poseen parte literal en su denominador o
poseen exponentes negativos.

B. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
IRRACIONALES (E.A.I).- Son todas aquellas que
poseen parte literal afectada de exponente
fraccionario o tienen letras dentro de un radical.

Ejemplos:  
  
  
32
2
2
25
1
5 2 2 3
, 24 . . . , . . .
3
7
, , . . . , 2 . . .
48 . . , , 5 . .
xy
C x y x y E A R E F x y E A R E
ab
S a b c E A R F A a b a b E A R F
c
F x ax E A I D x y z x y z E A I






C. EXPRESIONES TRASCENDENTES. - Son
aquellas expresiones que poseen funciones
trigonometricas,logaritmicas o exponenciales y las
series infinitas.

2. Página 2 de 4

NOTA: “Para clasificar una E.A. tiene que estar
simplificada, es decir efectuar las operaciones
indicadas”.

II. POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS

1 término ………….. monomio
2 términos ………… binomios
3 términos ………… trinomios
.
.
.
.
n términos ……… expresión algebraica de n
términos

GRADO ABSOLUTO Y GRADO RELAT IVO

MONOMIO:
 
12 3 63
8 2 1
45 23 44
2
25 3 3
125
. . 12 3 6 8 2 1 4
16
. . 20; . . 23
p q r
GA
u v w
s a fd
G R s G R a
s f wq



        
   


POLINOMIO:   

5
3
3 4 3 2 6 5 5 1 3 9 63 8
4
, , 7 2
9
. . 16
Y d c j w j d q z c d d c j r sdc j
G A y

    



POLINOMIOS
Un polinomio es toda expresión algebraica que tiene dos
o mas terminos algebraicos.
Ejemplo: 
3
2;P x x x
se lee: “Polinomio en variable x ” ó
“Polinomio de x ” 
22
,;P x y x xy y  
se lee: “Polinomio en variable x
e y ” ó “Polinomio de ,xy ”

POLINOMIOS ESPECIALES

Son polinomios con características propias, resaltando
por la forma como se encuentran ubicados sus términos
o por el comportamiento de los exponentes que afectan
a sus variables. Entre los más importantes tenemos:

POLINOMIO HOMOGÉNEO : Es aquel de dos o más
variables que se caracteriza por poseer sus términos de
igual grado.

Ejemplo: 
7 5 2 3 4 7 4
. 7º
. 7º . 7º . 7º
, 8 5 5
GA
G A G A G A
P x y x x y x y y

  
   


POLINOMIO ORDENADO : Caracterizado porque los
exponentes de una de sus variables (llamada letra
ordenatriz), están dispuestas de modo tal que tienen un
solo tipo de comportamiento (ascendente o
descendente)

Ejemplo: 
9 3 10 2 3 2
, 47 2 6 9P x y x x y x y xy    

Con respecto a ""x está ordenado en forma
descendente.
Con respecto a ""y está desordenado.

POLINOMIO COMPLETO : Un polinomio es
completo con respecto a una de sus variables, cuando
contienen todos los exponentes desde el mayor en forma
consecutiva, hasta el exponente cero inclusive, llamado
a este último término independiente.

Ejemplo: 
2 4 3
, 2 5 3 7 1P x y x x x x    

El polinomio P es completo con respecto a " ",x pero
desordenado.

POLINOMIOS IDENTICOS : Dos polinomios
reducidos son idénticos cuando los coeficientes que
afectan a sus términos semejantes son iguales.

Ejemplo:
Si se tiene:5 2 5 2
Ax Bx C ax bx c    
Se debe cumplir que: , y A a B b C c  
Nota: Sólo en polinomios idénticos podemos asignarle
cualquier sistema de valores a la variable o variables
con las cuales se esté trabajando y tendremos el mismo
valor numérico en ambos miembros.

POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO : Un
polinomio reducido es idénticamente nulo, cuando los
coeficientes de todos sus términos son nulos o ceros

Ejemplo:

3. Página 3 de 4

Si se tiene que: 7 5 3
0Sx Ax Fx D   

Se debe cumplir que: 0S A F D   
En general todo polinomio de grado ""n que se anula
para más de ""n valores será idénticamente nulo.

Propiedades:
1.- Para calcular la suma de coeficientes de un
polinomio hay que asignarles a cada una de las variables
el valor de uno. Para un polinomio P(x) se tiene:
 .1coef de P x P

2.- Para hallar el término independiente ..TI respecto a
una variable, a este hay que asignarle el valor de 0. Para
un polinomio P(x) se tiene:
 . . 0T I de P x P


Ejercicios

1. Clasificar la siguiente expresión algebraica:

4 3 3 2
2 1 1
; 3 ( 2)
( 1)
z z z z
z z z z
M x y z x y z x y
z x y zx y
   
  
    

Donde
1
3
27
125
1024z




a) Ordenado b) Completo en ""y
c) Homogéneo d) Irracional
d) Completo y ordenado

2. Si el grado del siguiente polinomio homogéneo:
 
3 2 6
,;
x y z
M a b c xa b c ya b c zabc  
es 10, entonces la suma de los coeficientes es:
a)-4 b) -3 c) 0 d) 8 e) 5

3. El siguiente polinomio: 
21
...
k
v t t t t k



     

es completo, ordenado y de grado 7. ¿Cuál es el
término independiente?
a) 16 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

4. Si el polinomio idénticamente ( ; )m x y nulo,
calcular el valor de: v
u 2 2 2 2
( ; ) (10 ) 5 2 ,m x y u x y vxy x y xy    

a) 225 b) 625 c) 125 d) 30 e)
15

5. Si ( ) 0,f x x   , así como para cualquier par
de reales ,xy se cumple: ( ) ( ) ( )f x f x y f y  
. Determine el valor
de (7)f
a) 1 b) 14 c) 16 d) 30 e) 15

6. Si 
2 2 4
13 6 36m x m m m x     se
cumple para todo número real x , los valores reales
de m son:
a) -2 y 3 b) -2 y -3 c) 2 y -3
d) 2 y 3 e) -2, 2 ,3 y -3


7. Si( ) , [ [ [ ]]] 8 154;p q aq b p p p q q   
determine el valor de [ [3]]pp
a) 81 b) 96 c) 33 d) 78 e) 27

8. Si la expresión: 62 4
( ) ( ) ( )
x y x y
Q a x y a xy a y x a

    
;
puede reducirse a un monomio, éste es:
a) 3
2a b) a c) 5a d) 4
xa e) 2
3a

9. Si el polinomio: 2 1 7 2 3
( ; ) 3 ( )
p q q
n x y x y x y
  

Es homogéneo, con grado de homogeneidad 16,
evaluar: pq
a) 4 b) 1 c) 5 d) 3 e) 2

10. Dados los polinomios ( ) y Q( )P x x , se sabe que
los polinomios: 2
( ) ( )P x Q x y 3
()
()
Px
Qx son de
grado 17 y 2 respectivamente. Evaluar el grado de: ( ) Q( )P x x

a) 21 b) 15 c) 4 d) 6 e) 10

11. Si el trinomio: pmnm n n p m p
A t w z es
homogéneo de grado dos, ¿dé que grado es el
monomio: p nmn m p
t w z
, tal que ( ; ; )A A t w z ?
a) 3 b) 4 c) 1 d) 7 e) 2

12. ¿Cuál es la suma de coeficientes del siguiente
trinomio:

4. Página 4 de 4
9 2 17 2 3
( ; ) ( 3)
n
n n n
f y x n x nx y y
  
   
?
a) 6 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12

13. Si 
2 4 2
; [ ( )]] 8 24 ,U x b ax U U x x x c    
el valor de abc es:
a) 26 b) 28 c) 30 d) 31 e) 32

14. Dados: 
 
2
3 7 3 ;
3 7 1 ( ) 11 5
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
M x x x
N x x x P x x
  
     
si . [ ( ) ( ) ( )] 289G A M x N x P x . Calcular el
grado de:   
2
2
( ) 11 1
n
n n n
Q x x x x  

a) 16 b) 8 c) 12 d) 9 e) 6
15. Calcular mn Si el polinomio de variables x, y: 2 4 2 2 3 1 2 2
3 5 7
m n m n m n m n m n m n
x y x y x y
          

es de grado 10 y la diferencia entre los grados
relativos a " " " "x e y es 4:
a) 2 b) 1 c) 3 d) 5 e) 4

16. Al multiplicar 12
( 2) ( 1)
n
z y z se obtiene 2
0 1 2
.... , 0
p
pp
a a z a z a z a    

Calcular np , si además 1 3 5
... 4a a a   
(Todos los posibles índices
impares)
a) 24 b) 45 c) 16 d) 30 e) 48

17. Calcule la suma de coeficientes del siguiente
polinomio: 
20 7 3
( 1) ( 2) 5P x x x x     

a) 11 b) 9 c) 7 d) 5 e) 3

18. Dado 
23
,0
mn
g x mx nx m n x

     ,
Determine el número de pares ordenados (m;n) para
los cuales()gx es equivalente a un polinomio
completo de grado no nulo.
a) 5 b) 6 c) 2 d) 3 e) 4

19. Si en el polinomio: ( 1) (2 1) ( 2) 128(2 3)
nn
P x x x x
,
Donde ""n es impar, la suma de coeficientes y el
término independiente suman 1, luego el valor de 1
""n

es:
a) -1/9 b) 1/7 c) 1/11 d) 1/13 e) 1/9

20. Si el polinomio 2
()N x ax bx c   cumple ( ) ( ) ( ) 0N N N    
donde , calcular
()N  
a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)3

Pregunta Clave
01 D
02 C
03 E
04 A
05 A
06 C
07 D
08 C
09 E
10 E
11 A
12 D
13 A
14 C
15 A
16 B
17 D
18 A
19 E
20 B

Bibliografía
Enciclopedia Estudiantil Microsoft ENCARTA 2008
Matemática 1 – Editorial Puerto de Palos. ○ Matemática
2 - Editorial Puerto de Palos. 3.1.2.

Referencia
https://www.google.com/search?q=polinomios+algeb
ra+doc&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEw
j3gY7UkYXgAhUuq1kKHc5VAT84FBD8BQgOKAE&biw=
1360&bih=577#imgrc=0HTWxmCgS6ksuM:
Notas de clase