Expressions algebraiques

2n ESO mates

1. Unitat 5:
Expressions algebraiques

2. Llenguatge algebraic

3. Exemples d’expressions
algèbriques
-Un nombre més quinze:
-Deu menys el doble d’un nombre:
-El quadrat d’un nombre més el seu doble:
-La suma d’un nombre i el triple d’un altre:
-La meitat d’un nombre:
-Les tres quartes parts d’un nombre:
-Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre:

4. Exemples d’expressions
algèbriques
- Un nombre més quinze: x + 15
- Deu menys el doble d’un nombre: 10 – 2a
- El quadrat d’un nombre més el seu doble: y
2
+ 2y
- La suma d’un nombre i el triple d’un altre: a + 3b
- La meitat d’un nombre: a/2
- Les tres quartes parts d’un nombre: 3b/4
- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre: 0,073 x

5. Escull l’expressió algebraica en de cas

6. Valor numèric
El valor numèric d’una expressió algèbrica és el nombre
obtingut en substituir les lletres que hi apareixen per
nombres determinats.
3x + 1
Si x = 2 3 . 2 + 1 =7
Si x = 0 3 . 0 + 1 = 1
Si x = -1 3 . (-1) + 1 = -3 + 1 = -2
Si x = ½
2
5
2
23
1
2
3
1
2
1
.3 =
+
=+=+

7. Troba els valors numèrics de:

8. Termes, coeficient i part literal
Anomenem terme o monomi d’una expressió algèbrica cada
bloc de nombres i lletres separats pels signes de suma o
resta
En aquesta expressió tenim 4 termes:
Cada terme pot tenir dues parts: coeficient i part literal
yxxxx
232
3
2
3
53 ++-

9. Monomis
Anomenem grau d’un monomi a la suma
dels exponents de la seva part literal

10. Operacions amb expressions
algèbriques
Sumes i restes:
La suma i la resta d’expressions algèbriques,
només es poden sumar i restar els termes
semblants
Dos termes (dos monomis) són semblants si les
seves parts literals són iguals
Procediment:
-Es sumen o resten els coeficients dels termes
semblants.
-Es deixa la mateixa part literal
2a + 4a = a+a+a+a+a+a = 6a
5x – 2x = 3x
2a + 3b + 3a - b= 5a + 2b

12. Sumes i restes de monomis

13. Operacions amb expressions
algèbriques
La multiplicació o la divisió d’una expressió
algèbrica sempre es pot efectuar encara que els
termes no siguin semblants.
Procediment:
•Multiplicarem o dividirem els signes tenint en
compte la regla dels signes
•Multiplicarem o dividirem els coeficients
•Multiplicarem o dividirem la part literal
–Recordatori: x
m
·

x
n
= x
m+n
–Recordatori: x
m
:

x
n
= x
m-n

14. Exemples de multiplicacions
3a · 4a =
4x
2
: 2x=
4x · 5y
3
=
-5x
3
· 2x
2
=
2x · 3x
4
· 10x
3
=
15xy
2
· (-5y) =
10 y
2
: 15 xy
2
=
2 2

15. Solucions
3a · 4a = 12a
2
4x
2
:2x= 2x
1
4x · 5y
3
= 20 xy
3
-5x
3
· 2x
2
= -10x
5
2x · 3x
4 ·
10x
3
= 60x
8
15xy
2
· (-5y) = -75xy
3
10 y
2
: 15 xy
2
= 20 x
-1
2 2 30

16. Propietat distribuiva
Encara que no hi hagi el signe de multiplicació,
quan tenim un nombre davant d’un parèntesis,
està multiplicant als termes de dins els
parèntesis.
Exemples:
4 (x + 5y) = 4x + 20y
a (b + c) = a·b + a·c
a (b - c) = a·b - a·c
2x (3x +x) = 6x
2
+ 2x
2

17. Polinomis
La suma de diversos monomis no semblants és un polinomi.
El grau més gran de tots els
monomis s’anomena grau del
polinomi.
Exemple anterior : grau 3
Si un dels monomis o termes no té part literal s’anomena
terme independent. Ex anterior: 9
Anomenem als polinomis amb una lletra majúscula i entre
parèntèsis les variables. Ex anterior: P (x)

18. Suma i resta de polinomis
Per sumar o restar dos monomis operem amb els
monomis semblants
Exemple: P(x) = 3x
3
+ 4x
2
+ 2x + 6 i
Q(x) = 5x
3
- 2x
2
+ 8x + 7
Suma de P(x) + T(x) Resta de P(x) - T(x)

19. Altres exemples
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 i Q(x) = 6x3 + 8x +3
P(x) + Q(x)=
P(x) – Q(x)=

20. Exercicis de sumes i restes
de polinomis

21. Multiplicació d’un polinomi
(5x+11)·(x
3
+2x
2
+4) = 5x
4
+ 10x
3
+20x+11x
3
+22x
2
+44 =
5x
4
+21x
3
+22x
2
+44

22. Exercicis de multiplicacions
de polinomis

23. Factor comú
El factor comú és l’inversa de la propietat distributiva
5·a +5·b =
x + x
2
=
3x +3y + 3z =
6bx + 6by =
2x
4
+12x
3
+18x=
12x
3
-3x=
12x
3
+12x
2
+3x-1=
3z
2
+ 12 z -12=
4xy
4
+12xy
3
+24xy=

24. Factor comú
El factor comú és l’inversa de la propietat
distributiva
5·a +5·b = 5 · (a + b)
x + x
2
= x · (1 + x)
3x +3y + 3z = 3 ( x + y + z)
6bx + 6by = 6b ( x + y)
2x
4
+12x
3
+18x= 2x ( x
3
+ 4x
2
+ 9)
12x
3
-3x= 3x (4x
2
- 1)
12x
3
+12x
2
+3x-1= no puc

25. Productes notables
Quadrat d’una suma (a + b)
2
Demo
El quadrat d’una suma és igual el quadrat del
primer, més el quadrat del segon més el doble
del primer pel segon
(a + b)
2
= a
2
+ b
2
+ 2·a·b
Quadrat d’una diferència (a - b)
2
Demo
El quadrat d’una diferència és igual el quadrat
del primer, més el quadrat del segon menys el
doble del primer pel segon
(a - b)
2
= a
2
+ b
2
- 2·a·b

26. Productes notables
Suma per diferència (a + b) · ( a – b)
El producte d’una suma per diferència és igual al
quadrat del primer menys el quadrat del segon.
(a + b) · ( a – b) = a
2
- b
2

27. Simplificació

28. Resolució d’equacions sense
parèntesis:
Passos a seguir per resoldre equacions
Exemple: 3x + 1 = -x + 9
•Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre
costat els termes independents (termes sense x)
–Per passar d’un costat a l’altra de la igualtat canviarem els
termes de signe
3x + 1 = -x + 9
3x + x = +9 - 1
•Reduïm els termes semblants
4x = 8
•Aïllem la incògnita
x = 8/4
•Obtenim el resultat
x = 2

29. Exercicis
a)x + 3 = 5
b)x – 4 = 8
c)x – 12 -3 =10
d) 2x + 6 = x + 10
e)3x – 5 = 2x + 1
Enllaç per practicar
Un cop tenim el resultat hem de fer la
comprovació.

31. Resolució d’equacions amb
parèntesis:
Passos a seguir per resoldre equacions amb parèntesis:
Exemple: 2(x – 2) + 3(x-3) = 2 – 2(2x -1) +13
•Suprimim els parèntesis
2x – 4 + 3x - 9 = 2 – 4x + 2 +13
•Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre
costat els termes independents (termes sense x)
2x + 3x +4x = 2 + 2 +13 +4 + 9
•Reduïm els termes semblants
9x = 30
•Aïllem la incògnita
x = 30/9
•Obtenim el resultat
x = 10/3

32. Resolució d’equacions amb
denominadors
Passos a seguir per resoldre equacions amb fraccions:
Multipliquem els dos membres pel mínim comú múltiple dels dos
denominadors m.c.m. (3, 4) =12
1
34
-=
xx
12
12
1243
1243
12
3
12x
4
12
1
3
.12
4
·12
=
-=-
-=-
-=
-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
x
x
xx
xx
x
xx

33. Resolució de problemes
Lectura atenta
de l'enunciat
En sumar 37 al doble d’un nombre,
obtenim 97. De quin nombre es tracta?
Elecció de la
incògnita
Nombre que no coneixem =x
Plantejament
de l’equació
2 x + 37 = 97
Resolució de
l’equació
2x= 97 – 37
2x = 60  x=60/2=30
Resposta El nombre és 30
Comprovació 2· 30 +37 = 60+37=90 Correcte!

34. Resolució de problemes
Lectura atenta
de l'enunciat
Un pare té 33 anys i el seu fill 8. Al cap de
quants anys l’edat del pare serà el doble
que la del seu fill?
Elecció de la
incògnita
Anys que transcorren =x
Ara: pare=33 i fill=8
Passat x anys: pare = 33 + x fill= 8 + x
Plantejament de
l’equació
33 + x = 2 . (8 + x)
Resolució de
l’equació
33 + x = 16 +2x
-x = 16-33  x=17
Resposta Al cap de 17 anys
Comprovació 33+17=50 i 2·(8+17)= 2·25=50 Correcte!

35. Resolució de problemes
Lectura atenta
de l'enunciat
Un ciclista recorre la distància que separa dues
ciutats en tres etapes. Primer recorre un terç del
trajecte; en la segona, un quart i en la tercera, els 35
km restants. Quants km separen les dues ciutats?
Elecció de la
incògnita
km totals entre les dues ciutats =x
1ª etapa 1/3·x
2ª etapa ¼·x
3ª etapa 35 km
Plantejament de
l’equació

Resolució de
l’equació
Resposta 84km
Comprovació 1/·84+ ¼·84 +35 = 28+21+35= 84 Correcte!
x
xx
x
xx
·1235
43
·12
35
43
=÷
ø
ö
ç
è
æ
++
=++

36. Resolució de problemes
Lectura atenta
de l'enunciat
Un camió surt d’una ciutat a una velocitat de
80km/h i, dues hores més tard, surt un cotxe de
la mateixa ciutat a 120km/h. Quant es trobarà el
cotxe i el camió?
Elecció de la
incògnita
Temps que ha passat des que surt el cotxe fins
que es troba el camió =x
Temps camió 2·80 + 80x
Temps cotxe 120x
Plantejament de
l’equació
2·80 + 80x = 120x
Resolució de
l’equació
160 + 80x=120X
80x – 120x =-160
-40x =-160  x = 4
Resposta 4 hores
Comprovació 2·80 + 80·4 =120·4 160+320=480 Correcte!