Extended Finite Element Method XFEM_2014 (1).pdf

Extended Finite Element Method
(XFEM)

Elnaz Kermani
Ali Naeimipour
Kyungjae Im
Victor Torrealba
Yao-Cheng Jan

Group 4-EGEE520 May 2014

Introduction
XFEM-EGEE520
2

Introduction
Ø Finite Element Method (FEM)

• popular numerical method in practical engineering applications
• not successful in simulating the propagation of fracture
Ø Methods to model cracks and crack growth without remeshing!
• Mesh-free methods (1977)
• Moving mesh technique
• Enrichment technique based on a partition-of-unity X-FEM (1999)
XFEM-EGEE520
3

Introduction
Ø Extended Finite Element Method (X-FEM)

• Introduced by Belytsckho and Black in 1999
• Based on the concept of partition of unity, (the sum of the shape
functions must be unity).
Ø The FE method is used as the building
block in the XFEM!
Ø Local enrichment functions are added to
the finite element shape functions
• Jumped function
•  crack tip function
A crack on a uniform mesh
XFEM-EGEE520
4

Introduction
Ø Extended Finite Element Method (X-FEM)

• A conventional FE mesh is generated
• Defects (i.e. cracks, voids and inhomogeneities) are added
ü mesh is independent of discontinuities
ü By enriching the standard displacement approximation with
additional functions
XFEM-EGEE520
5

3D XFEM model of a crack
Introduction
XFEM-EGEE520
6

Micromodel of a polycrystal
Introduction
XFEM-EGEE520
7

Introduction
Ø XFEM - Advantages:

• Mesh is independent the shape of the entities
•  Mesh does not need to conform the crack geometry
• Requires minimal remeshing and computational
efficient.
• Combining XFEM with level sets, XFEM is good in
modelling a growing crack or moving phase boundaries.
XFEM-EGEE520
8

Introduction
Ø Improving the accuracy of the results in XFEM:
• By applying relevant enriching functions based on known
fields behavior.
• For cracks and dislocations in elastic media, well-known
asymptotic singular near-field solutions for cracks in elastic
media can be added as enrichments.
XFEM-EGEE520
9

Introduction
Ø XFEM – Drawback
• Using standard Gaussian or Monte Carlo integration results
in numerical inaccuracies and creates ill-conditioned system.
ü Element cut by the crack are decomposed into a set of sub-
elements, with their edges aligned with the discontinuity
surface.
ü A higher order of Gaussian integration is applied on these
new elements to improve the accuracy of simulation.
XFEM-EGEE520
10

Historical Perspective
XFEM-EGEE520
11

Historical Perspective (XFEM)
Ø Belytsckho and Black (1999)
• Solve cracks growth problems with minimal remeshing
• Allowed the crack to be arbitrarily aligned within the mesh
• Enriching FEM approximations with the two-dimensional
plane strain asymptotic crack tip fields
Ø Moes et al. (1999) and Dolbow (1999)
• Improvement and called as eXtended Finite Element
Method (XFEM)
• Introduced a much more elegant technique by adapting an
enrichment (the asymptotic near-tip field and a Heaviside
function)
XFEM-EGEE520
12

Historical Perspective (XFEM)
Ø Dolbow et al. (1999)
• Modeling of cracks growth in plates in the Mindlin–
Reissner framework.

Ø Sukumar et al. (2000)
• Extended the XFEM for three-dimensional crack modeling
Ø Stolarska et al. (2001)
• Coupling the level set method (LSM) with XFEM to
model crack growth in two dimensional
XFEM-EGEE520
13

Historical Perspective (XFEM)
Ø Dolbow et al. 2001 and Moes and Belytschko [2002]
• Comprehensive model for cohesive crack growth in XFEM

Ø Wagner et al. (2001, 2003)
•  XFEM for the simulation of particulate flows
Ø Chessa amd Belytschko (2003)
• XFEM with arbitrary interior discontinuous gradients to
two-phase immiscible flow problems
XFEM-EGEE520
14

Basic Facts
XFEM-EGEE520
15

FEM procedure
Step 1 Select the Element Type
(Bar element)
Step 2 Select a Displacement Function
Distribution of displacement within the element
( )
ü most common functions: polynomials
Express “u” as a function of the nodal displacements
ü Apply the physical boundary conditions:
Shape function = Interpolation function
Basic Facts
P
XFEM-EGEE520
16

FEM procedure
Step 3 Deﬁne the Strain/Displacement and Stress/Strain Relationships
Step 4 Derive the Element Stiffness Matrix and Equations!
Step 5 Assemble the Global matrix and apply the boundary conditions
Step 6 Solve for the Nodal Displacements!
Step 7 Solve for the Element Forces
Basic Facts
XFEM-EGEE520
17

XFEM is all about:
Step 2
Increasing the accuracy of the
displacement function “u”
Basic Facts
XFEM-EGEE520
18

Basic Facts
XFEM-EGEE520
19

This means:
No need to have nodes on the surfaces
of the crack/interface
No need for remeshing
Crack/interface is element
independent
Basic Facts
XFEM-EGEE520
20

• Modeling the crack:
Rearrangement by Moёs et al. (1999)
ψ (x): the discontinuous
enrichment function deﬁned
for the set of nodes that the
discontinuity has in its
inﬂuence (support) domain.
m: set of nodes that have the crack
face (but not the crack tip) in their
support domain,
mt
1
& mt
2
:

Set of nodes associated
with the crack tip 1 and 2 in their
support domain.
u
j
: the nodal displacements
(standard degrees of freedom).
a
h
, b
k
1
and b
k
2
: vectors of
additional nodal degrees of
freedom for modelling crack faces
and the two crack tips.
F
l
i
(x), i=1,2 : Crack tip enrichment
functions for mf nodes.
Basic Facts
XFEM-EGEE520
21

Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
22

• Enrichment:
– Simply targets higher accuracy of the approximation by including the
information obtained from the analytical solution.
– Example:
• analytical near crack tip solutions for XFEM
• Displacement Function in FEM:
– In terms of the m basis functions p:
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
23

• Ways of enriching an approximation:
1. enriching the basis vector (intrinsic enrichment)
2. enriching the approximation (extrinsic enrichment)
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
24

1. Enriching the basis vector (intrinsic enrichment):
• Idea: to enhance approximation by including new terms
which are derived from a speciﬁc problem.
– Example:
– p
lin
= {1, x, y}: ﬁrst-order standard linear basis function
– p
enr
={f
1
, f
2
} : new enrichment terms
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
25

1. enriching the basis vector (intrinsic enrichment):
• The near tip displacement ﬁeld can be written as:
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
26

1. enriching the basis vector (intrinsic enrichment):
• Near crack tip displacement ﬁeld estimation:
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
27

2. enriching the approximation (extrinsic
enrichment):
• Use of extrinsic (outside) bases p
k
(x) to increase the order of completeness
• Partition of unity ﬁnite element method (PUFEM)
– Classical ﬁnite element shape functions N
j
(x) For all nodes.
• Generalized ﬁnite element method
– Different shape functions are used.
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
28

2. enriching the approximation (extrinsic
enrichment):
– PUFEM & GFEM: enrichments on global level and entire
domain.
– XFEM: enrichments on a local level
– XFEM relies also on a number of meshless methods such as
EFG and Hp-clouds.
• Now let’s see what are XFEM extrinsic enrichment functions
for modeling:
1. Strong discontinuities (crack, fractures,…)
2. Weak discontinuities (dramatic change in velocity and etc.)
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
29

• Modeling strong discontinuous ﬁelds
– one-dimensional problem
• Only nodes 2 and 3 are required to be enriched.
• Nodes 1 and 4 are not inﬂuenced by the crack.
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
30

• Modeling strong discontinuous ﬁelds
1. First Jump (enriched shape) Function:
• N
i
: the conventional ﬁnite
element shape function
• Ω
i
: part of the element in
between the crack and node i
1
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
31

• Modeling strong discontinuous ﬁelds
– First Jump Function Problems:
1. It provides similar strain ﬁelds in both sides of the discontinuity.
2. Lower number of degrees of freedom required by approximation
than other techniques.
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
32

• Modeling strong discontinuous ﬁelds
1. The Heaviside function
Type I: as a step function
Enrichment Functions
Type II: the signed function
XFEM-EGEE520
33

• Modeling strong discontinuous ﬁelds
2. The Heaviside function
• Independent displacement ﬁelds for both sides of the crack.
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
34

• Modeling weak discontinuous ﬁelds
– Replacing the Heaviside function H(ξ) with a signed distance function
χ(x) (Bordas and Legay 2005):
• χ (x) is the weak discontinuous enrichment function.
– where n is the unit normal vector.
• The distance d from a point x to an interface Γ:
– where x
Γ
is the normal projection of x on Γ.
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
35

•  Modeling weak discontinuous ﬁelds
• A kink in the displacement ﬁeld
is introduced.

• A jump in its derivative, i.e. a
discontinuity in the gradient of
the function, is anticipated.
Example:
Velocity
Enrichment Functions
XFEM-EGEE520
36

Governing Equations
XFEM-EGEE520
37

A body in a state of elastostatic equilibrium
strong form of the equilibrium equation:
boundary conditions
Γ
t
:

traction boundary
Γ
u
: displacement boundary
Γ
c
: crack boundary
σ: stress tensor
f
b
: body force vector
f
t
: external traction vector
Governing Equations
XFEM-EGEE520
38

• Variational formulation of the boundary value problem
discrete system of linear equilibrium equations
Discretization using the XFEM procedure
K: stiffness matrix
u
h
: vector of degrees of nodal freedom
(both classical and enriched)
f: vector of external force
Governing Equations
XFEM-EGEE520
39

For Element “e”
Governing Equations
XFEM-EGEE520
40

Governing Equations
XFEM-EGEE520
41

Dirac delta function Strong Discontinuity Function
including the effects of interpolation
Weak Discontinuity Function
Governing Equations
XFEM-EGEE520
42

Local crack tip polar coordinates Local crack tip coordinates (x',y')
Governing Equations
XFEM-EGEE520
43

Local crack tip coordinates (x',y') Global coordinate system (x,y)
α: angle of crack path with respect to the x axis
Governing Equations
XFEM-EGEE520
44

Hand-Calculation Example
XFEM-EGEE520
45

XFEM discretized domain
Cracked 1D bar element
Standard & enriched degrees
of freedom associated with
each node
Hand-Calculation Example
XFEM-EGEE520
46

Hand-Calculation Example
XFEM-EGEE520
47

Ø XFEM stiffness matrix for any of elements
Hand-Calculation Example
XFEM-EGEE520
48

Ø Element No.1 , H(X) = +1
Hand-Calculation Example
XFEM-EGEE520
49

Ø Element No.1 , H(X) = +1
Hand-Calculation Example
XFEM-EGEE520
50

Ø Element No.3 , H(X) = -1
Hand-Calculation Example
XFEM-EGEE520
51

Hand-Calculation Example
Ø Element No.2
XFEM-EGEE520
52

Hand-Calculation Example
XFEM-EGEE520
53

Hand-Calculation Example
XFEM-EGEE520
54

Hand-Calculation Example
Ø Element No.2
XFEM-EGEE520
55

Hand-Calculation Example
Ø Stiffness matrix
XFEM-EGEE520
56

Hand-Calculation Example
Ø Displacements
XFEM-EGEE520
Numerical solution of displacement field using XFEM
57

Hand-Calculation Example
Ø FEM
XFEM-EGEE520
FEM mesh discretization
Degrees of freedom for each node
58

Numerical Example
- 2D Stationary Crack -
XFEM-EGEE520
59

Numerical Example
XFEM-EGEE520
Ø  Numerical Example
60
(3.2, 5.5)

Numerical Example
XFEM-EGEE520
61
Fixed
E=70Gpa / ν=0.3
Boundary Condition / External Force

Numerical Example
XFEM-EGEE520
62
0Mpa
E=70Gpa / ν=0.3
Fixed

Numerical Example
XFEM-EGEE520
63
Fixed
E=70Gpa / ν=0.3
200Mpa

Numerical Example
XFEM-EGEE520
64
Fixed
600Mpa
E=70Gpa / ν=0.3

Numerical Example
XFEM-EGEE520
65
1Gpa
E=70Gpa / ν=0.3
Fixed

Numerical Example
XFEM-EGEE520
66
2Gpa
E=70Gpa / ν=0.3
Fixed

Numerical Example
XFEM-EGEE520
67
4Gpa
E=70Gpa / ν=0.3
Fixed

Numerical Example
XFEM-EGEE520
68
10Gpa
E=70Gpa / ν=0.3
Fixed

Numerical Example
XFEM-EGEE520
Ø Example Model

69
E=1, ν=0.3
(1.2,1.5)

Numerical Example
XFEM-EGEE520
Ø Node and Element Setting

70
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
16 15 14 13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
(1.2,1.5)

Numerical Example
XFEM-EGEE520
Ø Enrichment

71
: Enriched
Domain by F
Functions
: Enriched
Domain by H
Function
‘F’ enriched
‘H’ enriched

Approximation
XFEM-EGEE520
Ø Enrichment
72
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   
‘F’ enriched (10 unknowns)
‘H’ enriched (4 Unknowns)
*↓' (x)=Linear Finite Element Shape Function
2↓4 (x)= 1 (y>ytip) or -1 (y<ytip)
Ø Formulation

Shape of the Functions
XFEM-EGEE520
73
N
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   

Shape of the Functions
XFEM-EGEE520
N*H
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   

Shape of the Functions
XFEM-EGEE520
N*F1
6↓1 = √; sin(</2 ) 
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   

Shape of the Functions
XFEM-EGEE520
N*F2
6↓2 = √; cos(</2 ) 
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   

Shape of the Functions
XFEM-EGEE520
N*F3
6↓3 = √; sin(</2 ) sin(<)
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   

Shape of the Functions
XFEM-EGEE520
N*F4
6↓4 = √; >?@???(</2 ) sin(<)
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   

Formulation
XFEM-EGEE520
Ø Local Stiffness Matrix for Non-Enriched Element

79
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   
§ Local Stiffness Matrix
§ Unknowns
• Node 3 : 2
• Node 4 : 2
• Node 8 : 2
A↓B?>C5 = ∫↑▒[F]↑H [I][F]JK 
6X3 3X3 3X6 6X6 =
B=[█*↓3,M &0@█0*↓3,P  &█*↓3,P *↓3,M    █*↓4,M &0@█0*↓4,P  &█*↓4,P *↓4,M    █*↓8,M &0@█0*↓8,P  &█*↓8,P *↓8,M   ]
6 Unknowns

Formulation
XFEM-EGEE520
Ø Local Stiffness Matrix for Non-Enriched Element

80
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   
§ For Node 3-8
§ Unknowns
• Node 3 : 2
• Node 4 : 2
• Node 8 : 2
A↓3−8 = ∫↑▒[█*↓3,M &0&*↓3,P @0&*↓3,P &*↓3,M  ][Q][█*↓8,M &0@█0*↓8,P  &█*↓8,P *↓8,M   ]JK 
2X3 3X3 3X2 2X2 =
§ Local Stiffness Matrix (6X6)
3 4 8
3
4
8

Formulation
XFEM-EGEE520
Ø Local Stiffness Matrix for Enriched Element

81
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   
§ Local Stiffness Matrix
§ Unknowns
• Node 5 : 4
• Node 9 : 4
• Node 10 : 10
A↓B?>C5 = ∫↑▒[F]↑H [I][F]JK 
18X3 3X3 3X18 18X18 =
18 Unknowns
Node 5
(4 unknowns)
Node 9
(4 unknowns)
Node 10
(10 unknowns)
Node 5
(4 unknowns)
Node 9
(4 unknowns)
Node 10
(10 unknowns)

Formulation
XFEM-EGEE520
Ø Local Stiffness Matrix for Enriched Element

82
§ Local Stiffness Matrix for node 9-10
• Node 9 : 4 unknowns / H enriched
• Node 10 : 10 unknowns / F enriched
4X3 3X3 3X10
§ Local Stiffness Matrix
(18x18)
Node 5
(4 unknowns)
Node 9
(4 unknowns)
Node 10
(10 unknowns)
Node 5
(4 unknowns)
Node 9
(4 unknowns)
Node 10
(10 unknowns)
A↓9−10 = ∫↑▒[██*↓9,M &0&*↓9,P @0&*↓9,P &*↓9,M   █*2↓9,M &0&*2↓9,P @0&
*2↓9,P &*2↓9,M   ]↑H [I][█*↓10,M &0@█0*↓10,P  &█*↓10,P  *↓10,M     █*61↓10,M 
&0@█0*61↓10,P  &█*61↓10,P *61↓10,M    █*62↓10,M &0@█0*62↓10,P  &█
*62↓10,P *62↓10,M   █*63↓10,M &0@█0*63↓10,P  &█*63↓10,P *63↓10,M     █
*64↓10,M &0@█0*64↓10,P  &█*64↓10,P *64↓10,M   ]JK 

Integration
XFEM-EGEE520
83
Introduction to the Extended Finite Element Method - Institute of Structural Engineering
A↓B?>C5 = ∫↑▒[F]↑H [I][F]JK 

Global Stiffness Matrix
XFEM-EGEE520
84
NNNNNNNNNNHHNNF1F1F2F2F3F3F4F4NNNNNNHHNNF1F1F2F2F3F3F4F4NNF1F1F2F2F3F3F4F4NNNNNNNNNN
xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy
N x 0.70.0-0.50.20.00.00.00.0-0.20.20.2-0.20.0-0.4-0.10.30.0-0.20.0-0.30.00.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.00.70.2-0.20.00.00.00.00.2-0.5-0.20.5-0.40.00.3-0.1-0.20.1-0.30.10.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x -0.50.21.5-0.4-0.50.20.00.00.00.00.00.0-0.40.40.3-0.3-0.20.2-0.20.30.1-0.10.0-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.2-0.2-0.41.50.2-0.20.00.00.00.00.00.00.4-1.1-0.30.70.2-0.60.3-0.6-0.10.5-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x 0.00.0-0.50.21.5-0.4-0.50.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.40.0-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.00.00.2-0.2-0.41.50.2-0.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.4-1.1-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x 0.00.00.00.0-0.50.20.7-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.00.00.00.00.2-0.2-0.40.70.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x -0.20.20.00.00.00.00.00.01.5-0.4-0.90.4-1.10.40.8-0.3-0.40.2-0.60.30.3-0.10.00.00.00.0-0.20.2-0.10.10.0-0.40.00.0-0.1-0.1-0.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.2-0.50.00.00.00.00.00.0-0.41.50.4-0.60.4-0.4-0.30.30.2-0.20.3-0.3-0.10.20.00.00.00.00.2-0.50.1-0.3-0.40.00.00.0-0.1-0.1-0.1-0.10.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
H x 0.2-0.20.00.00.00.00.00.0-0.90.41.5-0.40.8-0.3-1.10.40.4-0.20.6-0.3-0.40.10.00.00.00.0-0.10.1-0.20.20.00.00.0-0.40.00.0-0.1-0.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
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N x 0.0-0.4-0.40.40.00.00.00.0-1.10.40.9-0.33.0-0.7-1.50.31.3-0.31.5-0.3-1.00.2-1.10.40.00.00.00.00.00.0-0.40.40.00.0-0.10.1-0.10.1-0.10.00.0-0.4-0.10.0-0.1-0.20.00.0-0.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
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F1x -0.10.30.3-0.30.00.00.00.00.6-0.2-0.90.3-1.50.31.5-0.3-0.70.2-1.10.20.6-0.10.5-0.10.00.00.00.00.00.00.1-0.1-0.10.10.00.00.00.00.00.00.10.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
F1y 0.3-0.1-0.30.70.00.00.00.0-0.30.30.3-0.30.3-1.4-0.31.50.2-0.80.2-1.1-0.10.8-0.10.10.00.00.00.00.00.0-0.10.30.1-0.40.0-0.10.0-0.10.0-0.10.10.10.00.00.00.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
F2x 0.0-0.2-0.20.20.00.00.00.0-0.40.20.4-0.21.3-0.3-0.70.20.9-0.20.7-0.2-0.60.2-0.60.20.00.00.00.00.00.0-0.30.20.00.0-0.10.1-0.10.10.00.00.1-0.20.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
F2y -0.20.10.2-0.60.00.00.00.00.2-0.2-0.20.2-0.31.30.2-0.8-0.20.9-0.20.90.2-0.60.2-0.20.00.00.00.00.00.00.2-0.50.00.10.1-0.10.1-0.10.0-0.1-0.20.00.0-0.1-0.10.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
F3x 0.0-0.3-0.20.30.00.00.00.0-0.60.30.6-0.21.5-0.3-1.10.20.7-0.21.1-0.2-0.60.2-0.50.10.00.00.00.00.00.0-0.10.10.1-0.10.00.00.00.00.00.0-0.1-0.10.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
F3y -0.30.10.3-0.60.00.00.00.00.3-0.3-0.20.3-0.31.40.2-1.1-0.20.9-0.21.20.2-0.70.1-0.10.00.00.00.00.00.00.1-0.4-0.10.20.00.00.00.00.00.0-0.1-0.10.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
F4x 0.00.10.1-0.10.00.00.00.00.3-0.1-0.40.1-1.00.20.6-0.1-0.60.2-0.60.20.7-0.20.3-0.10.00.00.00.00.00.00.1-0.1-0.10.10.00.00.00.00.00.00.00.10.00.00.00.00.00.00.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
F4y 0.1-0.1-0.10.50.00.00.00.0-0.10.20.1-0.20.2-1.0-0.10.80.2-0.60.2-0.7-0.20.8-0.10.00.00.00.00.00.00.0-0.10.20.1-0.20.00.00.00.00.00.00.10.20.00.00.00.10.00.00.00.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x 0.00.00.0-0.4-0.40.40.00.00.00.00.00.0-1.10.40.5-0.1-0.60.2-0.50.10.3-0.13.0-0.7-1.10.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.4-0.10.0-0.20.2-0.10.0-0.10.10.0-0.40.00.00.00.00.00.00.00.0
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N x 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.2-0.10.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.01.5-0.41.1-0.2-1.10.4-0.80.3-0.40.1-0.50.1-0.30.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.20.0-0.40.00.00.00.0
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.50.1-0.30.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.41.5-0.21.10.4-0.40.3-0.30.1-0.10.1-0.10.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.5-0.40.00.00.00.00.0
H x 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.1-0.20.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.01.1-0.21.5-0.4-0.80.3-1.10.4-0.30.0-0.40.1-0.30.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.20.0-0.40.00.00.00.0
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F1x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.30.00.0-0.10.10.00.00.1-0.1-0.10.10.00.00.00.0-0.50.2-0.90.31.3-0.41.5-0.40.7-0.20.9-0.30.6-0.2-0.50.2-0.20.1-0.40.1-0.10.0-0.30.10.00.00.00.0-0.20.20.0-0.20.00.0
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F2x 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.10.00.0-0.10.10.00.0-0.10.10.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.1-0.40.11.2-0.30.7-0.20.8-0.10.7-0.10.8-0.1-0.50.2-0.10.1-0.50.2-0.10.0-0.30.10.00.00.00.0-0.30.20.1-0.20.00.0
F2y 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.10.0-0.10.1-0.40.0-0.10.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.1-0.10.1-0.1-0.31.3-0.20.8-0.10.9-0.10.9-0.10.80.2-0.20.10.00.2-0.20.00.00.10.00.00.00.00.00.2-0.6-0.20.10.00.0
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F4y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.0-0.10.0-0.30.0-0.10.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.0-0.1-0.31.1-0.20.7-0.10.8-0.10.8-0.10.80.2-0.20.10.00.2-0.20.00.00.10.00.00.00.00.00.2-0.5-0.20.10.00.0
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N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.00.10.1-0.20.0-0.1-0.10.10.20.4-1.10.00.00.00.00.00.00.4-0.40.2-0.30.2-0.20.2-0.30.2-0.2-0.73.0-0.20.7-0.62.7-0.10.5-0.31.30.4-0.40.00.00.00.00.4-1.1-0.40.0
F1x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.0-0.20.0-0.20.1-0.10.1-0.20.1-0.10.10.7-0.20.4-0.10.7-0.10.2-0.10.6-0.1-0.30.10.00.00.00.0-0.10.10.0-0.1
F1y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.0-0.10.00.00.00.00.0-0.20.00.00.00.00.00.00.00.00.1-0.10.10.00.1-0.10.10.0-0.20.7-0.10.4-0.10.8-0.10.3-0.10.70.1-0.20.00.00.00.00.1-0.4-0.10.1
F2x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.20.00.00.0-0.1-0.10.00.00.0-0.20.20.00.00.00.00.00.0-0.90.2-0.40.1-0.50.2-0.40.1-0.50.22.7-0.60.7-0.12.8-0.60.4-0.11.3-0.2-1.10.40.00.00.00.0-0.40.40.1-0.4
F2y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.2-0.10.00.1-0.10.00.0-0.10.00.10.2-0.90.00.00.00.00.00.00.2-0.30.1-0.20.2-0.20.1-0.20.2-0.2-0.62.7-0.10.8-0.62.7-0.10.5-0.21.40.4-0.40.00.00.00.00.4-1.0-0.40.0
F3x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.0-0.20.0-0.10.0-0.10.0-0.10.0-0.10.00.5-0.10.2-0.10.4-0.10.2-0.10.3-0.1-0.20.10.00.00.00.00.00.10.0-0.1
F3y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.5-0.10.3-0.10.5-0.10.3-0.10.40.1-0.10.00.00.00.00.1-0.2-0.10.0
F4x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.10.00.00.00.00.00.00.10.0-0.10.10.00.00.00.00.00.0-0.40.1-0.30.1-0.30.1-0.30.1-0.30.11.3-0.30.6-0.11.3-0.20.3-0.11.0-0.2-0.50.20.00.00.00.0-0.20.20.0-0.2
F4y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.20.00.00.0-0.10.00.00.00.10.1-0.30.00.00.00.00.00.00.10.00.1-0.10.10.00.1-0.10.10.0-0.31.3-0.10.7-0.21.4-0.10.4-0.21.20.2-0.30.00.00.00.00.2-0.6-0.20.1
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.4-0.20.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-1.10.4-0.30.1-1.10.4-0.20.1-0.50.21.5-0.40.00.00.00.00.00.0-0.20.2
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.00.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.4-0.40.1-0.20.4-0.40.1-0.10.2-0.3-0.41.50.00.00.00.00.00.00.2-0.5
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.2-0.10.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.7-0.4-0.50.20.00.00.00.0
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.50.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.70.2-0.20.00.00.00.0
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.4-0.1-0.4-0.40.4-0.20.2-0.30.2-0.20.2-0.20.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.50.21.5-0.4-0.50.20.00.0
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.0-0.40.00.4-1.10.2-0.70.2-0.60.2-0.60.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.2-0.41.50.2-0.20.00.0
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.0-0.20.1-0.20.0-0.20.1-0.2-0.40.4-0.10.1-0.40.40.00.1-0.20.20.00.00.00.0-0.50.21.5-0.4-0.50.2
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.0-0.20.1-0.20.1-0.20.1-0.20.10.4-1.10.1-0.40.4-1.00.1-0.20.2-0.60.00.00.00.00.2-0.2-0.41.50.2-0.2
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.0-0.10.1-0.40.0-0.10.0-0.2-0.20.20.00.00.00.0-0.50.20.70.0
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.0-0.10.1-0.40.0-0.10.0-0.20.10.2-0.50.00.00.00.00.2-0.20.00.7
15169 10 11 1213143 4 5 6 7 8
13
14
15
16
1 2
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
*) Cells with Values(non-zero) are highlighted

Global Stiffness Matrix
XFEM-EGEE520
85
*) Cells with Values(non-zero) are highlighted
NNNNNNNNNNHHNNF1F1F2F2F3F3F4F4NNNNNNHHNNF1F1F2F2F3F3F4F4NNF1F1F2F2F3F3F4F4NNNNNNNNNN
xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy
N x 0.70.0-0.50.20.00.00.00.0-0.20.20.2-0.20.0-0.4-0.10.30.0-0.20.0-0.30.00.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.00.70.2-0.20.00.00.00.00.2-0.5-0.20.5-0.40.00.3-0.1-0.20.1-0.30.10.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x -0.50.21.5-0.4-0.50.20.00.00.00.00.00.0-0.40.40.3-0.3-0.20.2-0.20.30.1-0.10.0-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.2-0.2-0.41.50.2-0.20.00.00.00.00.00.00.4-1.1-0.30.70.2-0.60.3-0.6-0.10.5-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x 0.00.0-0.50.21.5-0.4-0.50.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.40.0-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
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N x 0.00.00.00.0-0.50.20.7-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.00.00.00.00.2-0.2-0.40.70.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x -0.20.20.00.00.00.00.00.01.5-0.4-0.90.4-1.10.40.8-0.3-0.40.2-0.60.30.3-0.10.00.00.00.0-0.20.2-0.10.10.0-0.40.00.0-0.1-0.1-0.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.2-0.50.00.00.00.00.00.0-0.41.50.4-0.60.4-0.4-0.30.30.2-0.20.3-0.3-0.10.20.00.00.00.00.2-0.50.1-0.3-0.40.00.00.0-0.1-0.1-0.1-0.10.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
H x 0.2-0.20.00.00.00.00.00.0-0.90.41.5-0.40.8-0.3-1.10.40.4-0.20.6-0.3-0.40.10.00.00.00.0-0.10.1-0.20.20.00.00.0-0.40.00.0-0.1-0.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
H y -0.20.50.00.00.00.00.00.00.4-0.6-0.41.5-0.30.30.4-0.4-0.20.2-0.30.30.1-0.20.00.00.00.00.1-0.30.2-0.50.00.0-0.40.00.0-0.1-0.1-0.20.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x 0.0-0.4-0.40.40.00.00.00.0-1.10.40.9-0.33.0-0.7-1.50.31.3-0.31.5-0.3-1.00.2-1.10.40.00.00.00.00.00.0-0.40.40.00.0-0.10.1-0.10.1-0.10.00.0-0.4-0.10.0-0.1-0.20.00.0-0.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N y -0.40.00.4-1.10.00.00.00.00.4-0.4-0.30.3-0.73.00.3-1.4-0.31.3-0.31.40.2-1.00.4-0.40.00.00.00.00.00.00.4-1.10.00.00.1-0.40.1-0.40.0-0.3-0.40.00.0-0.1-0.2-0.10.0-0.1-0.1-0.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
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F3y -0.30.10.3-0.60.00.00.00.00.3-0.3-0.20.3-0.31.40.2-1.1-0.20.9-0.21.20.2-0.70.1-0.10.00.00.00.00.00.00.1-0.4-0.10.20.00.00.00.00.00.0-0.1-0.10.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
F4x 0.00.10.1-0.10.00.00.00.00.3-0.1-0.40.1-1.00.20.6-0.1-0.60.2-0.60.20.7-0.20.3-0.10.00.00.00.00.00.00.1-0.1-0.10.10.00.00.00.00.00.00.00.10.00.00.00.00.00.00.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
F4y 0.1-0.1-0.10.50.00.00.00.0-0.10.20.1-0.20.2-1.0-0.10.80.2-0.60.2-0.7-0.20.8-0.10.00.00.00.00.00.00.0-0.10.20.1-0.20.00.00.00.00.00.00.10.20.00.00.00.10.00.00.00.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x 0.00.00.0-0.4-0.40.40.00.00.00.00.00.0-1.10.40.5-0.1-0.60.2-0.50.10.3-0.13.0-0.7-1.10.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.4-0.10.0-0.20.2-0.10.0-0.10.10.0-0.40.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.00.0-0.40.00.4-1.10.00.00.00.00.00.00.4-0.4-0.10.10.2-0.20.1-0.1-0.10.0-0.73.00.4-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.4-1.10.0-0.20.2-0.90.0-0.10.1-0.3-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.0
N x 0.00.00.00.00.0-0.4-0.20.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-1.10.41.5-0.40.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.20.00.00.00.00.00.00.00.0
N y 0.00.00.00.0-0.40.00.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.4-0.4-0.41.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.0
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.2-0.10.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.01.5-0.41.1-0.2-1.10.4-0.80.3-0.40.1-0.50.1-0.30.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.20.0-0.40.00.00.00.0
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.50.1-0.30.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.41.5-0.21.10.4-0.40.3-0.30.1-0.10.1-0.10.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.5-0.40.00.00.00.00.0
H x 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.1-0.20.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.01.1-0.21.5-0.4-0.80.3-1.10.4-0.30.0-0.40.1-0.30.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.20.0-0.40.00.00.00.0
H y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.1-0.30.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.21.1-0.41.50.3-0.30.4-0.40.00.00.10.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.5-0.40.00.00.00.00.0
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.00.0-0.40.40.1-0.1-0.30.2-0.10.10.1-0.10.00.00.00.0-1.10.4-0.90.33.0-0.71.3-0.41.2-0.31.4-0.31.1-0.3-1.10.4-0.20.0-0.90.2-0.20.0-0.40.10.00.00.00.0-0.40.40.0-0.40.00.0
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.00.00.00.4-1.1-0.10.30.2-0.50.1-0.4-0.10.20.00.00.00.00.4-0.40.3-0.3-0.73.0-0.41.1-0.31.3-0.31.4-0.31.10.4-0.40.00.00.2-0.30.00.00.10.00.00.00.00.00.4-1.1-0.40.00.00.0
F1x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.30.00.0-0.10.10.00.00.1-0.1-0.10.10.00.00.00.0-0.50.2-0.90.31.3-0.41.5-0.40.7-0.20.9-0.30.6-0.2-0.50.2-0.20.1-0.40.1-0.10.0-0.30.10.00.00.00.0-0.20.20.0-0.20.00.0
F1y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.30.00.00.00.1-0.40.00.1-0.10.20.1-0.20.00.00.00.00.2-0.20.3-0.3-0.41.1-0.41.5-0.20.8-0.30.9-0.20.70.2-0.30.1-0.10.1-0.20.00.00.1-0.10.00.00.00.00.2-0.7-0.20.10.00.0
F2x 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.10.00.0-0.10.10.00.0-0.10.10.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.1-0.40.11.2-0.30.7-0.20.8-0.10.7-0.10.8-0.1-0.50.2-0.10.1-0.50.2-0.10.0-0.30.10.00.00.00.0-0.30.20.1-0.20.00.0
F2y 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.10.0-0.10.1-0.40.0-0.10.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.1-0.10.1-0.1-0.31.3-0.20.8-0.10.9-0.10.9-0.10.80.2-0.20.10.00.2-0.20.00.00.10.00.00.00.00.00.2-0.6-0.20.10.00.0
F3x 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.10.0-0.1-0.10.10.00.0-0.10.10.00.00.00.00.00.00.00.0-0.50.1-0.50.11.4-0.30.9-0.30.7-0.11.0-0.20.7-0.1-0.50.2-0.20.1-0.40.1-0.10.0-0.30.10.00.00.00.0-0.20.20.0-0.20.00.0
F3y 0.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.1-0.1-0.10.1-0.40.0-0.10.1-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.1-0.10.1-0.1-0.31.4-0.30.9-0.10.9-0.21.1-0.10.80.2-0.30.1-0.10.1-0.20.00.00.1-0.10.00.00.00.00.2-0.6-0.20.10.00.0
F4x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.30.0-0.30.01.1-0.30.6-0.20.8-0.10.7-0.10.8-0.1-0.50.2-0.10.1-0.50.2-0.10.0-0.30.10.00.00.00.0-0.20.20.1-0.20.00.0
F4y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.0-0.10.0-0.30.0-0.10.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.0-0.1-0.31.1-0.20.7-0.10.8-0.10.8-0.10.80.2-0.20.10.00.2-0.20.00.00.10.00.00.00.00.00.2-0.5-0.20.10.00.0
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.10.10.1-0.2-0.1-0.10.00.1-0.40.40.00.00.00.00.00.0-1.10.4-0.50.2-0.50.2-0.50.2-0.50.23.0-0.70.7-0.22.7-0.60.5-0.11.3-0.3-1.10.40.00.00.00.0-0.40.40.0-0.4
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.00.10.1-0.20.0-0.1-0.10.10.20.4-1.10.00.00.00.00.00.00.4-0.40.2-0.30.2-0.20.2-0.30.2-0.2-0.73.0-0.20.7-0.62.7-0.10.5-0.31.30.4-0.40.00.00.00.00.4-1.1-0.40.0
F1x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.0-0.20.0-0.20.1-0.10.1-0.20.1-0.10.10.7-0.20.4-0.10.7-0.10.2-0.10.6-0.1-0.30.10.00.00.00.0-0.10.10.0-0.1
F1y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.0-0.10.00.00.00.00.0-0.20.00.00.00.00.00.00.00.00.1-0.10.10.00.1-0.10.10.0-0.20.7-0.10.4-0.10.8-0.10.3-0.10.70.1-0.20.00.00.00.00.1-0.4-0.10.1
F2x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.20.00.00.0-0.1-0.10.00.00.0-0.20.20.00.00.00.00.00.0-0.90.2-0.40.1-0.50.2-0.40.1-0.50.22.7-0.60.7-0.12.8-0.60.4-0.11.3-0.2-1.10.40.00.00.00.0-0.40.40.1-0.4
F2y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.2-0.10.00.1-0.10.00.0-0.10.00.10.2-0.90.00.00.00.00.00.00.2-0.30.1-0.20.2-0.20.1-0.20.2-0.2-0.62.7-0.10.8-0.62.7-0.10.5-0.21.40.4-0.40.00.00.00.00.4-1.0-0.40.0
F3x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.0-0.20.0-0.10.0-0.10.0-0.10.0-0.10.00.5-0.10.2-0.10.4-0.10.2-0.10.3-0.1-0.20.10.00.00.00.00.00.10.0-0.1
F3y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.10.5-0.10.3-0.10.5-0.10.3-0.10.40.1-0.10.00.00.00.00.1-0.2-0.10.0
F4x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.10.00.00.00.00.00.00.10.0-0.10.10.00.00.00.00.00.0-0.40.1-0.30.1-0.30.1-0.30.1-0.30.11.3-0.30.6-0.11.3-0.20.3-0.11.0-0.2-0.50.20.00.00.00.0-0.20.20.0-0.2
F4y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.1-0.20.00.00.0-0.10.00.00.00.10.1-0.30.00.00.00.00.00.00.10.00.1-0.10.10.00.1-0.10.10.0-0.31.3-0.10.7-0.21.4-0.10.4-0.21.20.2-0.30.00.00.00.00.2-0.6-0.20.1
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.4-0.20.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-1.10.4-0.30.1-1.10.4-0.20.1-0.50.21.5-0.40.00.00.00.00.00.0-0.20.2
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.00.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.4-0.40.1-0.20.4-0.40.1-0.10.2-0.3-0.41.50.00.00.00.00.00.00.2-0.5
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.20.2-0.10.10.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.7-0.4-0.50.20.00.00.00.0
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.50.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.70.2-0.20.00.00.00.0
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.4-0.1-0.4-0.40.4-0.20.2-0.30.2-0.20.2-0.20.20.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.50.21.5-0.4-0.50.20.00.0
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.0-0.40.00.4-1.10.2-0.70.2-0.60.2-0.60.2-0.50.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.2-0.2-0.41.50.2-0.20.00.0
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.0-0.20.1-0.20.0-0.20.1-0.2-0.40.4-0.10.1-0.40.40.00.1-0.20.20.00.00.00.0-0.50.21.5-0.4-0.50.2
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.0-0.20.1-0.20.1-0.20.1-0.20.10.4-1.10.1-0.40.4-1.00.1-0.20.2-0.60.00.00.00.00.2-0.2-0.41.50.2-0.2
N x 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.0-0.10.1-0.40.0-0.10.0-0.2-0.20.20.00.00.00.0-0.50.20.70.0
N y 0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0-0.40.0-0.10.1-0.40.0-0.10.0-0.20.10.2-0.50.00.00.00.00.2-0.20.00.7
15169 10 11 1213143 4 5 6 7 8
13
14
15
16
1 2
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6

Next Steps
XFEM-EGEE520
86
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)2(,)3↓-  +∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)6↓5 (,)7↓8↑9   
q Apply Boundary Conditions and Solve!
à You got all the unknowns (u, b, c)
q Calculate Displacement
"↑ℎ =∑'∈(↑▒*↓' (,)"↓-  +∑.∈/↑▒*↓. (,)[2(,)−2(,↓. )]3↓-  
+∑4∈(↑▒∑5=1↑4▒*↓4 (,)[6↓5 (,)−6↓5 (,↓. )]7↓8↑9   
*) For nodal displacement consideration only, following formulation is more convenient.

Result
XFEM-EGEE520
87
E=1, ν=0.3
0.0005
(1.2,1.5)
fixed fixed fixed fixed
0.001 0.001 0.0005

XFEM-EGEE520
88
Well Enrichment in Darcy Flow

XFEM-EGEE520
89
Well Enrichment in Darcy Flow
Ø Result Solution for Pwell 30 / -30 Rw=0.025

XFEM-EGEE520
90
Well Enrichment in Darcy Flow

Numerical Simulation
ABAQUS
XFEM-EGEE520
91

Numerical Example
XFEM-EGEE520
Ø ABAQUS XFEM: 2D Edge Crack

2D planner, shell, Square Plate: 4x4
Material: Aluminum, Young's modulus:70 GPa, Poisson's ratio: 0.33
Mesh: Quad, Structured
92

Numerical Example
XFEM-EGEE520
Ø ABAQUS XFEM: 2D Edge Crack

Crack: 2D Planar, wire, 1m Edge crack
Load: Top Pressure and bottom pressure : tensile stress: 10 MPa
BC: Fixed at bottom right corner, Roller at top right corner

93

Numerical Example
XFEM-EGEE520
Ø ABAQUS XFEM: 2D Edge Crack - Results

Undeformed and deformed shape
94

Numerical Example
XFEM-EGEE520
Ø ABAQUS XFEM: 2D Edge Crack - Results

Stress and displacement contours on deformed shape
95

XFEM-EGEE520
96
Extended finite element method
for two-phase fluids
Adapted from Chessa, J., Belytschko, T.

Problem domain
XFEM-EGEE520
97

Governing equations
XFEM-EGEE520
98
• Isothermal, incompressible two-phase flow:
– u: velocity field
– ρ: density
– f: applied body force
– σ: Cauchy stress

XFEM-EGEE520
99
• Isothermal, incompressible two-phase flow:
– τ: deviatoric stress
– p: hydrostatic pressure
– µ: viscosity
– D: deformation tensor

Governing equations

XFEM-EGEE520
100
• Isothermal, incompressible two-phase flow:

Governing equations

Fluid interphase tracking
XFEM-EGEE520
101
• Level set method:
• Density and viscosity global definitions:

Fluid interphase tracking
XFEM-EGEE520
102
• Immiscibility condition (no flow across the
interphase):
– X: position of a point that remains in the
interphase.

Fluid interphase tracking
XFEM-EGEE520
103
• Expanding the immiscibility condition to
include the spatial coordinates, we present the
standard version of the level set equation:
• This equation is used to update the level set,
and consequently update the interphase
location.

Enriched FEM with discontinuous gradient
XFEM-EGEE520
104
• The domain Ω is subdivided into elements Ω
e

associated with a set of nodes x
I
, I=1:n.
• The shape function associated with each node I
is denoted by N
I
(x) and the set of all nodes by
N.

Enriched FEM with discontinuous gradient
XFEM-EGEE520
105
• The support of N
I
(x), which is the area over
which it is non-zero, is limited to the elements
connected to node I (i.e. the support is
compact).

Enriched FEM with discontinuous gradient
XFEM-EGEE520
106
• The enriched approximation of the velocity field is
given by:

• U
I
are the nodal parameters for standard FEM
approximation
• A
J
are additional nodal parameters at enriched node J.

Not essential, but
yields: u
h
(x
I
,t)=U
I
(t)
Enrichment
function

Enriched FEM with discontinuous gradient
XFEM-EGEE520
107
• Example of an enriched finite element shape
function in 1-D

Enriched FEM with discontinuous gradient
XFEM-EGEE520
108
• Example of an enriched finite element shape
function for a three-node linear triangular
element

• Note: each enrichment function vanishes along two of the
edges, and there is a kink along the third one.

Enriched FEM with discontinuous gradient
XFEM-EGEE520
109
• Two types of enrichments:
Blending between
fully enriched and
unenriched elements

Numerical examples of two-phase fluid flow problems
XFEM-EGEE520
110
• Interstitial fluid in a “jogged” channel

Numerical examples of two-phase fluid flow problems
XFEM-EGEE520
111
• Interstitial fluid in a “jogged” channel
Phase interface for several time-steps

Numerical examples of two-phase fluid flow problems
XFEM-EGEE520
112
• Bubble rising to a free surface
Initial configuration

Numerical examples of two-phase fluid flow problems
XFEM-EGEE520
113
• Bubble rising to a free surface
Phase interface for several time-steps

XFEM-EGEE520
114
Additional numerical examples:
An enriched finite element method and level sets for
axisymmetric two-phase flow with surface tension
Adapted from Chessa, J., Belytschko, T.

Numerical examples of two-phase fluid flow problems
XFEM-EGEE520
115
• Droplet falling onto a thin film
Initial configuration

Numerical examples of two-phase fluid flow problems
XFEM-EGEE520
116
• Droplet falling onto a thin film
Phase interface for several time-steps

Propagating Crack
XFEM-EGEE520
117

1. Minimum strain energy density criteria, [Sih
1974]
• Strain energy function
• Assumptions
1) Crack initiates when the minimum S reaches to some
critical value
2) Crack extends in a direction which strain energy
density factor possess a minimum value.
• For linear elastic fracture mechanics
118
XFEM-EGEE520
Crack growth criteria

2. Maximum energy release rate criteria, [Nuismer 1975]
• Determining the energy release rate at the crack tip

• Assumptions
1) Crack initiates when G reaches some critical value
2) Crack will grow in a radial direction from the crack
tip along which the energy release rate is maximum
• For traction free cracks
119
XFEM-EGEE520
Crack growth criteria

3. Maximum hoop stress or maximum principal stress
criteria, [Erdogan and Sih 1963] [Liang et al. 2003]
• Most commonly used criteria in LEFM
• Based on the evaluation of mixed mode stress intensity
factors A↓(  and A↓(( 
• Assumptions
1) Crack initiates when the maximum hoop stress
reaches to a critical value
2) Crack will grow in a direction in which
circumferential stress is maximum

• For traction free crack surfaces
120
XFEM-EGEE520
Crack growth criteria

4. Global energy based criterion, [Meschke and
Dumstorff 2007]
• Crack propagation is determined by minimizing the
total energy of the body
5. Virtual crack extension method, [Hwang and
Ingraffea 2007]
• Modeling multiply crack systems
121
XFEM-EGEE520
Crack growth criteria

Example application
XFEM-EGEE520
122

Example application
XFEM-EGEE520
123
XFEM has implemented in software, such as
Ø ALTAIR RADIOSS
Ø ASTER
Ø ABAQUS
And also with other commercial software with a few
plugins and actual core implementations
Ø ANSYS
Ø SAMCEF
Ø OOFELIE
Ø COMSOL

• Workflow:
1) Define initial crack geometry
• 3D − face or shell part instance
• 2D − edge or wire part instance
2) Define an enrichment region where crack initiation
and growth can occur
3) Define damage Criteria in the material model
4) Specific output variables
• PHILSM −fracture
• STATUSXFEM −state
124
Example application
XFEM-EGEE520

• Tips to help the XFEM analysis for reasonable converge
1) Reduce increment size and increase increment number
2) Increase Maxps (maximum principle stress) Damage
Tolerance
3) Add damage stabilization
4) General solution controller
• Time increments >> discontinues increment
5) In step module, add automatic stabilization
125
Example application
XFEM-EGEE520

• XFEM fracture modeling with Abaqus
– http://www.simulia.com/services/training/wbtAbaqus69/
• Crack Propagation on 2D by Abaqus
– https://www.youtube.com/watch?v=cJSmehK-rpY
– https://www.youtube.com/watch?v=6inDhNQXsQI
• Fluid Mixing with XFEM
– https://www.youtube.com/watch?v=TQ_kSswzJJM
– https://www.youtube.com/watch?v=9dIQlD5f8sY
• Multi-Crack with XFEM
– https://www.youtube.com/watch?v=hwECn75CFO4
– https://www.youtube.com/watch?v=GnKCN8nenQs
126
XFEM-EGEE520
Animations

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XFEM-EGEE520
127
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