External Direct Product (kelompok 5).pptx

Materi Teori Grup

1. Perkalian Langsung Luar (External Direct Product) Disusun Oleh : Nama : ANANTI PRATIWI (8206171013) LAIRANI DWI ALVIRA (8206171012) Kelas : Dikmat A-20 Dosen Pengampu : Dr. Mulyono, S.Si, M.Si M.K : Struktur Aljabar

2. Jika di berikan dua grup sebarang maka dengan menggunakan definisi grup dan pemetaan atau hasil kali kartesius dapat dikontruksi suatu grup dari beberapa grup yang diketahui . Secara umum perkalian dari beberapa grup akan membentuk suatu grup yang baru , seperti dinyatakan dalam Definisi 5.1 berikut ini . 5.1 Definisi dan Contoh Definisi 5.1.1 Misalkan adalah n buah grup , perkalian langsung luar dari adalah himpunan yang dilambangkan dengan : Satu hal yang perlu di ingat , apabila kita memiliki dua grup dan secara umum berlaku bahwa x x Contoh 5.1.2 Perhatikan grup {0,1} dan grup dan adalah grup dengan operasi penjumlahan modulo 2 dan 3. Maka Sedangkan untuk Jadi terbukti untuk x x   P erkalian Langsung Luar (External Direct Product)

3. P erkalian Langsung Luar (External Direct Product) Kita perhatikan perkalian langsung luar Kita akan membentuk sebagai suatu grup dengan mendefinisikan operasi biner pada sebagai berikut : Untuk sebarang kita definisikan , dimana penjumlahan komponen dilakukan dengan menggunakan operasi penjumlahan modulo 2 dari dan penjumlahan komponen dilakukan dengan menggunakan operasi penjumlahan modulo 3 dari . Contoh : (1,1) + (1,1) = ( 1+1 mod 2, 1+1 mod 3 ) = (0,2) (1,1) + (1,2) = ( 1+1 mod 2, 1+2 mod 3 ) = (0,0) Teorema berikut ini memperlihatkan bahwa perkalian langsung luar dari beberapa grup dengan menggunakan operasi biner yang khusus seperti diatas akan membentuk sebuah grup lagi .  

4. P erkalian Langsung Luar (External Direct Product) Teorema 5.1.3 Andaikan masing-masing merupakan suatu grup . Himpunan dengan operasi yang didefenisikan oleh : ( ) ( ) = ( ), ( ) merupakan sebuah grup .   Bukti : Ambil sebarang dua unsur ( ) ( ) , maka : ( ) ( ) = ( ) Untuk setiap . Karena adalah sebuah grup, maka , Jadi :  

5. P erkalian Langsung Luar (External Direct Product) Sehingga untuk sebarang : dan yang berada di diperoleh : Jadi operasi biner pada adalah Asosiatif .  

6. Andaikan masing-masing adalah unsur identitas dari   Ambil sebarang a = Perhatikan : a e = = = = a e a = = = = a Maka adalah unsur identitas dari .   Untuk sembarang , unsur kebalikan adalah Sebab :   Dan juga Karena Aksioma dari suatu grup dipenuhi, maka adalah Grup .  

7. Contoh 5.1.4 Perhatikan grup siklik Maka adalah suatu grup dengan table cayley seperti yang terlihat pada tabel 5.1. Analisis pada Tabel 5.1 memperlihatkan bahwa grup adalah grup komutatif , tetapi bukan merupakan grup siklik . Perhatikan bahwa untuk setiap unsur non- identitas , maka . Sehingga bukan suatu grup siklik . Tabel 5.1     (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (0,0) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (0,1) (0,1) (0,0) (1,1) (1,0) (1,0) (1,0) (1,1) (0,0) (0,1) (1,1) (1,1) (1,0) (0,1) (0,0) Ambil sebarang Misal kita ambil (1,0) 1 , maka ord (1) = 2 , maka ord (0) = 1 Sehingga ord (1,0) adalah KPK dari 2 dan 1 = 2 Jadi ord (1,0) = 2 < ord ( )  

8. Contoh 5.1.5 Perhatikan grup siklik dan . Tabel Cayley dari di sajikan dalam Tabel 5.2 berikut : Tabel 5.2   Bila kita perhatikan lebih lanjut , grup adalah grup siklik dengan salah satu unsur pembangunnya adalah unsur (1,1). Perhatikan bahwa :     (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) (0,0) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) (0,1) (0,1) (0,2) (0,0) (1,1) (1,1) (1,0) (0,2) (0,2) (0,0) (0,1) (1,2) (1,0) (1,1) (1,0) (1,0) (1,1) (1,2) (0,0) (0,1) (0,2) (1,1) (1,1) (1,2) (1,0) (0,1) (0,2) (0,0) (1,2) (1,2) (1,0) (1,1) (0,2) (0,0) (0,1) Jadi  

9. Sifat P erkalian Langsung Luar (External Direct Product) Teorema 5.2.1 Andaikan masing-masing adalah suatu grup . adalah grup komutatif jika dan hannya jika masing-masing adalah grup komutatif .   Bukti : Andaikan adalah grup komutatif . Untuk setiap , diperoleh . Hal ini berakibat bahwa untuk setiap : ( ),( ) , diperoleh ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) Jadi adalah grup komutatif . Sebaliknya jika adalah grup komutatif , maka untuk setiap ( ),( ) diperoleh ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) Akibatnya , adalah grup komutatif . Maka , Teorema berikut ini memperlihatkan hubungan antara orde dari suatu unsur di dengan orde dari komponen-komponen unsur tersebut .  

10. Sifat P erkalian Langsung Luar (External Direct Product) Teorema 5.2.2 Andaikan ( ) . Bila ord , ord ,…, dan ord , maka orde dari ( ) adalah kelipatan persekutuan terkecil dari .   Bukti : Andaikan adalah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan dan misalkan orde dari unsur ( ) adalah . Akan kita perlihatkan . Karena adalah kelipatan persekutuan terkecil dari , maka adalah kelipatan dari , untuk semua . Sehingga Karena orde dari adalah dan , mengakibatkan adalah kelipatan dari , sehingga . Sebaliknya karena adalah orde dari unsur , maka Untuk setiap orde dari adalah . Karena , maka adalah kelipatan dari setiap karena adalah kelipatan persekutuan terkecil dari maka . Jadi kita peroleh .  

11. Contoh 5.2.3 Perhatikan grup pada Contoh 5.1.5 . Perhatikan untur . Unsur berorde 2 dan unsur berorde 3, Sehingga menurut Teorema 5.2.2 dari unsur adalah kelipatan persekutuan terkecil 2 dan 3. Yakni orde dari (1, 2) adalah 6. Dalam hal ini kita peroleh :  

12. Kesimpulan : Dari kedua contoh ini kita peroleh fakta bahwa perkalian langsung luar dari dua grup siklik tidak harus siklik . Dari kedua contoh ini terlihat bahwa perkalian langsung luar dari dua grup siklik akan merupakan grup siklik bila orde kedua grup tersebut adalah prima relative.

13. THANK YOU