Extrapolación Richardson

Diferenciación numérica a través de la Extrapolación de Richardson

1. Extrapolación de Richardson
Ing. Eric Sira R.
Diferenciación Numérica mediante la
extrapolación de Richardson

2. Ing. Eric Sira R.
De la fórmula centrada de derivación
Donde:
Extrapolación de Richardson
�
′
??????
0=
1
2ℎ
�??????
0+ℎ−�(??????
0−ℎ)−
ℎ
2
6
�
3
??????
0−
ℎ
4
120
�
5
??????
0−⋯
�
′
??????
0=??????(ℎ)−
ℎ
2
6
�
3
??????
0−
ℎ
4
120
�
5
??????
0−⋯
??????ℎ=
1
2ℎ
�??????
0+ℎ−�(??????
0−ℎ)
(1)
Sea ℎ=ℎ/2 en (1)
�
′
??????
0=??????(
ℎ
2
)−
ℎ
2
24
�
3
??????
0−
ℎ
4
1920
�
5
??????
0−⋯ (2)

3. Ing. Eric Sira R.
Sumando algebraicamente 4 veces la ecuación (2) y restando de la (1)
Donde:
Extrapolación de Richardson
�
′
??????
0=??????
2(ℎ)−
ℎ
4
480
�
5
??????
0−⋯
??????
2ℎ=??????
1
ℎ
2
+
??????
1
ℎ
2
−??????
1ℎ
3

Forma General:
??????
1(ℎ)=??????(ℎ)
??????
??????ℎ=??????
??????−1
ℎ
2
+
??????
??????−1
ℎ
2
−??????
??????−1ℎ
4
??????−1
−1

4. Ing. Eric Sira R.
EJEMPLO: Determinar
Cálculo de la columna
Extrapolación de Richardson
�??????=??????�
??????
??????
3(ℎ) si con ??????
0=2 y ℎ=0.2
0,20 1,80 2,20 10,8894 19,8550 22,4140
0,10 1,90 2,10 12,7032 17,1490 22,2290
0,05 1,95 2,05 13,7059 15,9242 22,1830
??????
0−ℎ ??????
0+ℎ
ℎ
ℎ/2
ℎ/4
�(??????
0−ℎ) �(??????
0+ℎ) ??????
1(ℎ)
??????
1(ℎ)
??????
1ℎ=
1
2ℎ
�??????
0+ℎ−�(??????
0−ℎ)
de acuerdo a la expresión
Paso

5. Ing. Eric Sira R.
Cálculo de
Extrapolación de Richardson
??????
2(ℎ)
22,4142
22,2288
22,1826
??????
1(ℎ)
??????
2ℎ=??????
1
ℎ
2
+
??????
1
ℎ
2
−??????
1ℎ
3

??????
2(ℎ)
??????
2ℎ=22,2288+
22,2288−22,4142
3

??????
2
ℎ
2
=22,1826+
22,1826−22,2288
3

ℎ
ℎ/2
ℎ/4

6. Ing. Eric Sira R.
Cálculo de
Extrapolación de Richardson
??????
3(ℎ)
22,4142
22,2288 22,1670
22,1826 22,1672
??????
1(ℎ)
??????
3ℎ=??????
2
ℎ
2
+
??????
2
ℎ
2
−??????
2ℎ
15

??????
2(ℎ)
??????
3ℎ=22,1672+
22,1672−22,1670
15

ℎ
ℎ/2
ℎ/4
Finalmente,
??????′(??????
�)≅??????
�??????=��,����
??????
3(ℎ)

7. Ing. Eric Sira R.
TABLA DE COMPARACIÓN
Extrapolación de Richardson
22,16716830
22,16716831 0,00000006
22,18256486 0,06945660
�����
??????????????????(%)
�′??????=�
??????
??????+1
??????��??????. ??????�??????��?????�??????
????????????�ℎ??????�����
�′(2)
Analíticamente,
����.??????��??????� 3 ���.