Fórmula de trapecios

Aqui 3 ejercicios dei ntegración por aproximación usando el método de trapecios para dar paso al método de simpson.

Saludos,

1. CÁLCULO INTEGRAL


Fórmula de Trapecios
Integración Aproximada


Carlos Alberto Julián Sánchez
Estudiante de Ingeniería Mecatrónica

2. Introducción:
Para empezar hablar de la fórmula de trapecios debemos determinar un función ()y f x
, ya que el área aproximada estará limitada por la curva en un intervalo [ , ]ab
esto está dado por: 12
11
( ) ( ) ( ) ( )
22
on
A f x f x f x f x x

    


donde: ,
on
x a x b n
= número de partes iguales en las que se divide el intervalo [ , ]ab .
También debemos de saber que: ba
x
n


Es la longitud de cada parte.
Ahora pasemos a resolver el primer ejemplo:

Ejemplo 1:
Calcula 3
2
1
x dx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [1,3] , en 5
partes iguales.

Solución:
Necesitamos tres datos importantes que son:
1
3
5
o
n
x
x
n



Ahora encontremos la longitud de cada parte con la fórmula dada: 3 1 2
0.4
55
ba
n

    

De aquí elaboraremos una tabla que contendrá cada valor de incremento de longitud
y el valor que merece la función para poder aplicar la fórmula de trapecios.

3. Entonces determinamos las Ordenadas de los puntos mediante la función original que
es 2
yx n
x

1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 ()
n
fx

1 1.96 3.24 4.86 6.76 9

Observemos que el incremento de n
x va de 0.4 que es la longitud, y los valores de ()
n
fx
son los valores del cuadrado de cada n
x ya que la función es cuadrada hasta
llegar al límite superior.
Teniendo lo siguiente, optemos por encontrar el área. 2
11
(1) 1.96 3.24 4.84 6.76 (9) (0.4)
22
(.5 1.96 3.24 4.84 6.76 4.5)(0.4)
(21.8)(0.4)
8.72
A
A
A
Au

     


     




Ahora veamos otro ejercicio para dejar más claro el método de trapecios.

4. Ejemplo 2:
Calcula 4
2
(2 1)x dx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [2,4] ,
en 8 partes iguales.
Solución:
Busquemos nuestros tres datos sobresalientes para poder aplicar la fórmula, así que
por ende los datos son: 2
4
8
o
n
x
x
n




Con los cuales obtendremos la longitud de cada parte 4 2 2 1
0.25
8 8 4

    
Determinamos las ordenadas de los puntos mediante la función (2 1)yx esto hará
que nuestra tabla se mire así: n
x
2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 ()
n
fx
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

Apliquemos la fórmula de trapecios para obtener el área en el intervalo [2,4] 2
11
( (3) 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 (7))(0.25)
22
(1.5 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.6 3.5)(0.25)
(40.1)(0.25)
10.0
A
A
A
Au
        
        



5. Ejemplo 3:
Calcula 5 2
2
()
2
x
dx utilizando la fórmula del trapecio, dividiendo el intervalo [2,5] , en 6
partes iguales.

Solución:
Coloquemos nuestros 3 datos importantes. 2
4
5
o
n
x
x
n




Con los cuales se obtiene precisamente nuestra longitud 5 2 3 1
0.5
6 6 2

    
Luego determinando las ordenadas de los puntos mediante nuestra función 2
2
x
y n
x
2 2.5 3 3.5 4 4.4 5 ()
n
fx
2 3.125 4.5 6.125 8 10.125 12.5

Aplicando nuestra fórmula de trapecios 2
11
( (2) 3.125 4.5 6.125 8 10.125 (12.5))(0.5)
22
(1 3.125 4.5 6.125 8 10.125 6.25)(0.5)
(39.125)(0.5)
19.5625
A
A
A
Au
      
      



6. Resuelve los siguientes problemas: /2
22
0
1
2 3 2
1
53
2
0
2
32
2
5; :0.7385
4; :0.836
8; :2.413
4
8 10; 10.884
sen x dx con n solución u
x x dx con n solución u
x
dx con n solución u
x
x dx con n solución u














PD: Las soluciones estarán en el blog.