Fórmulas de integración inmediata

1. Fórmulas de integración inmediatas… A través de esta guía paso a paso lograremos utilizarlas e integraremos con éxito. “No duermas para descansar, duerme para soñar. Porque los sueños están para cumplirse” Walt Disney Cálculo integral

2. Formula 1 Formula 2 Fórmula 3 Fórmula 4 Fórmula 5 Fórmula 6 Fórmula 7 Fórmula 8 Fórmula 9 ¿Qué fórmula quieres ver? Fórmula 10 Fórmula 11 Fórmula 12 Fórmula 13 Fórmula 14 Fórmula 15 Fórmula 16 Fórmula 17 Fórmula 18 Fórmula 19 Fórmula 20 Fórmula 21 Fórmula 22 Fórmula 23 Fórmula 24 Fórmula 25 Fórmula 26 En caso de que “du” este incompleta ¿Qué hacer?

3. Fórmula 1 ∫d x = x + c Integrando la derivada de “x” Nuestro resultado es… X + C Veamos un ejemplo ∫ d p = p + c

4. Vamos veamos algunos ejemplos más ∫ dt = t + c ∫ df = f +c ¿Qué tal algunos ejercicios? ∫ dg = ∫ dh = ∫ dq = Volver a otras fórmulas…

5. Fórmula 2 ∫ dx / x = ln x + c Ahora que sabemos utilizar la 1 pasemos a la 2 Para poder utilizar la fórmula 2, necesitamos comprobar que: La integral sea una división El divisor debe tener variable Veamos algunos ejemplos ∫ 8 dx / 2x = 4 In x + c ∫ 3 dx / 2x = 3/2 In x + c

6. Ahora los ejercicios… ∫ 3dx / 5x= ∫ -2dx / 3x = ∫ 6dx / 2x = ∫ dg / g = No te olvides de practicar Volver a otras fórmulas…

7. Fórmula 3 ∫ a dx = a ∫ dx Pon mucha atención, en este caso a representa a cualquier número. Paso 1.- En esta formula a tiene que salir de la integral. ∫ 7 dx = 7 ∫ dx Paso 2.- La relacionaremos con lo que ya sabemos, encuentra la formula que te funcione para resolver la integral que nos quedo. En este caso usaremos la fórmula 1 y colocaremos primero que nada el 7 en nuestro resultado. 7 ∫ dx = 7x + c

8. Dos ejemplos: ∫ 3dx = 3∫ dx = 3x +c ∫ 3/5 dx= 3/5 ∫ dx = 3/5x + c Si ya la comprendimos, hagamos algunos ejercicios. ∫ 6dx = ∫ ½ dp = Volver a otras fórmulas…

9. Fórmula 4 ∫ x dx = x / n + 1 + c Sigamos los pasos para resolverla ∫ x dx = Paso 1.- Encuentra “n” en este caso n = 6 Paso 2.- Súmale 1 a “n” y coloca “x” ∫ x dx = 6 + 1 x Paso 3.- divídelo entre n + 1 ∫ x dx = x / 7 6 6 6 7 n n + 1

10. A por cierto no olvides la constante. ∫ x dx = x / 7 + c Y ese es el resultado Veamos otro caso que podemos encontrar. ∫ dx / √x = Tranquilo ahora veremos que hacer. La vamos a convertir, en x elevado a ½, pero no tan rápido, esta abajo… la debemos subir. ∫ dx / x = 6 7 ½ Valla una raíz cuadrada

11. Para subirla, necesitamos cambiarle el signo a la potencia. ∫ dx / x = ∫ x dx Y usando los conocimientos que ya aprendimos de la fórmula 4 resolveremos esto. ∫ x dx = x / ½ + c - ½ + 2/2 = ½ ½ -½ -½ ½ Acuérdate, tienes que tomar en cuenta el signo de la potencia al momento de hacer la suma.

12. Si seguiste los pasos, estas listo para resolver los ejercicios. Vamos tú puedes ∫ x dx = ∫ 3 x dx = ∫ (4 / √x ) dx = ∫ (8 / √x ) dx = Volver a otras fórmulas… -5 6

13. Fórmula 5 Aquí tenemos la siguiente fórmula. ∫(du + dv – dw )= ∫du + ∫ dv - ∫ dw ¿Se ve difícil eh? Pero no lo es, veamos con un ejemplo paso a paso como resolverlas. Paso 1.- Integraremos por separado ∫(7x + 4x– 3) dx = ∫ 7x dx + ∫4x dx - ∫3 dx 3 3

14. Paso 2.- ahora resuelve las integrales una por una. Ten en cuenta que al integrarlas puedes necesitar fórmulas distintas ∫ 7x dx + ∫4x dx - ∫3 dx = Veamos la primera: ∫ 7x dx = 7 ∫ x dx = 7 x / 4 Ahora la segunda: ∫4x dx = 4 ∫x dx = 4x / 2 3 3 3 4 2

15. Y la tercera: ∫3 dx = - 3 ∫ dx = -3x Unamoslo y quedara así 7 x / 4 + 4x / 2 - 3x + c Fácil ¿no? simplifiquemos esto. 7 x / 4 + 2 x - 3x + c Es nuestro resultado 4 2 4 2

16. No olvides los ejercicios. ∫(3x²-7x+2) dx = ∫(x²-2x+8) 4x dx = ∫(5x³-2x+10) dx = Volver a otras fórmulas…

17. Fórmula 6 Ahora conozcamos la fórmula 6 ∫ U du = U + C Veamos paso 1 .- identifica ¿Quién es U? ¿Quién es n? y ¿Está completa la derivada? ∫ √ (6x -8) 18x dx = Si no estuviera completa, la vamos a terminar con lo que falta, también deberás colocar lo inverso al inicio. Solo si faltan números a la derivada, no variables . n + 1 n + 1 3 2

18. Paso 2.- sustituye según lo que diga la fórmula. ∫ √ (6x -8) 18x dx = ∫ (6x -8) 18x dx= (6x -8) +c 3/2 Y listo… ½ 3 3 2 3/2 3

19. Ahora los ejercicios. ∫ (3x -9x) (5x -2) dx = ∫ (4x -7) dx = ∫ √(x -2) 5x dx = Volver a otras fórmulas… 4 2 7 5 4

20. Fórmula 7 ∫ du / u = In u +c Paso 1: Identifica u y du en la integral, ¿du, esta completa? Paso 2: ¿si?, sigue la fórmula. ∫ 8 dx / 8x – 4 = In (8x -4) + c U= 8x - 4 Du= 8

21. ¿No? complétala ∫ dx / 8x – 4 = 1/8 ∫ 8 dx / 8x – 4 = 1/8 In (8x – 4) + c Y ese es nuestro resultado. A practicar: ∫ x dx / (5x + 1) = ∫ dx / 10x – 3 = ∫ (20x – 8x) / √5x – 4x dx = Volver a otras fórmulas… 2 3 2 4 3

22. Fórmula 8 ∫ e du = e +c Esta fórmula es de las más sencillas, veamos como resolverla Paso 1.- Identifica “u” y “du” ∫ e 4dx = u = (4x – 3) du = 4dx Paso 2.- Sigamos la fórmula y con lo que ya aprendimos en las otras fórmulas . ∫ e 4dx = e + c Y listo… fácil ¿no? u u (4x – 3) (4x – 3) (4x – 3)

23. Ahora ejercicios. ∫ e dx = ∫ e (10x ) dx = ∫ e 32x dx = Volver a otras fórmulas… (3x – 2) (4x ^5) 4 (8x ^4 -3) 3

24. Fórmula 9 ∫а = a / ln a + c Sigamos los pasos para resolver cualquier integral con la fórmula 9. Paso 1: ∫ 5 4xdx= Reconoce “u” y “du”. u = (2x ^2) du = 4x Si du esta completa seguiremos la fórmula para resolverla. u u (2x ^2)

25. Este es nuestro resultado ∫ 5 4xdx= (5 / In 5 )+ c ∫ 5 14xdx= ∫ 4 x dx = ∫4 x²dx = Volver a otras fórmulas… (2x ^2) (2x ^2) (7x ^2) (3x ^2) (3x ^3)

26. Fórmula 10 ∫ Sen u du = -Cos u+ c Para resolver una integral que posee la función seno: Paso 1: Como ya sabemos, necesitamos identificar “u” y “du”. ∫ Sen 8x 16xdx = u = 8x du = 16x Ahora la du esta completa, podemos seguir, de no ser así tendríamos que agregar lo que le falta . 2 2

27. Paso 2.- Sigue la fórmula 10 y sustituye. ∫ Sen 8x 16xdx = - Cos 8x + c Nuestro resultado Hagamos ejercicios para prácticar ∫ Sen 2x 2dx = ∫ Sen 1/5 x dx = ∫ Sen 4x 8xdx = Volver a otras fórmulas… 2 2 2

28. Fórmula 11 ∫Cos U du = Sen U + C Entendámosla con un ejemplo ∫Cos 10x 10dx = Paso 1.- Identifica “u” y “du” en este punto, esto es fácil. Paso 2.- “du” ¿esta completa?, sigamos la fórmula es sencillo. ∫Cos 10x 10dx = sen 10x + c Fácil ¿ verdad? Listo para los ejercicios

29. Ejercicios 1/7 ∫Cos x x dx = ½ ∫Cos 10x x dx = ∫5Cos x xdx = ½ ∫Cos 4x x dx = Volver a otras fórmulas… 3 2 3 2 2 3 2

30. Fórmula 12 ∫sec² U du = tg u +c A resolverla, es sencilla. Paso 1: En el ejemplo, identifica quien es “u” y “du”. ∫sec² (4x³ - 3) 12x² dx = Paso 2.- Una vez ya identificadas, sigamos la fórmula y deberá quedar así: ∫sec² (4x³ - 3) 12x² dx = tg (4x³ - 3) + c

31. ¿Qué tal algunos ejercicios? ∫6 sec² (8x² - 5)x dx = ∫12 sec² (x³ + 8) x² dx = ∫-3 sec² (x² -7) x dx = ∫sec² (9x² - 5) 18x dx = Volver a otras fórmulas…

32. Fórmula 13 Conozcamos la fórmula 13 ∫ csc ² U du = - ctg u +c Paso 1.- Identificar “u” y “du”. 1/16 ∫ csc ² (4x ²) 16xdx = Paso 2.- Primero coloca la fracción como en la fórmula 3 , sigue tu fórmula original y listo . 1/16 ∫ csc ² (4x ²) 16xdx = - 1/16 ctg (4x ²) + c

33. Siguen los ejercicios: ∫ csc ² (3x ) dx = ∫- 4 csc ² (9x - 3) dx = 2/5 ∫ csc ² (5x ²) xdx = 2/5∫csc ² (10x ²) xdx = Volver a otras fórmulas…

34. Fórmula 14 ∫ secU tgU dU = secU +c Se utilizara cuando secante se encuentre junto a tangente, y siempre y cuando “u” en sec y tg sea idéntica. ∫ sec 4x tg 4x 4dx = Paso 1.- Identifica “u” y “du”, comprueba que “du” este completa. ∫ sec 4x tg 4x 4dx =

35. Paso 2.- Recuerda debes seguir la fórmula original. ∫ sec 4x tg 4x 4dx = sec 4x + c Y tenemos nuestro resultado. Ejercicios: 1/6∫sec 7x ³ tg 7x ³ 21x ² dx = ∫ 4 sec 5x tg 5x dx = 1/6 ∫ tg 4x ² sec 4x ² xdx = Volver a otras fórmulas… Muy fácil, que vengan los ejercicios.

36. Fórmula 15 ∫ cscU tgU dU = cscU +c ¿Te has dado cuenta que las fórmulas se parecen? Pero observa bien para no equivocarte de fórmula, veamos un ejemplo. Paso 1.- Identifica y verifica que cumpla los requisitos ∫ csc x ³ tg x ³ 3x ² dx = Paso 2.- Seguir la fórmula ∫ csc x³ tg x³ 3x ² dx = ¡ Listo !

37. Tres ejercicios sencillos: ∫ csc 8x ² tg 8x ² xdx = ∫ csc 3x² tg 3x² xdx = ∫ csc 8x ² tg 8x ² xdx = Volver a otras fórmulas…

38. Fórmula 16 ∫ tgU dU = - In cosU +c = In sec U + c En esta fórmula, podemos colocar nuestro resultado de dos formas. Veamos un ejemplo ∫ tg 8x  dx = Paso 1.- Identifica las partes que la conforman Paso 2.- Completa du y sustituye ∫ tg 8x  dx = 1/8 ∫tg 8x 8 dx = - ln cos 8x + C = ln sec 8x + C

39. Agiliza la mente con algunos ejercicios: 1/5 ∫tg 5x 2  10xdx ∫ tg 3x 3   x 2 dx= ∫5 tg 7x 3   21x 2 dx= Volver a otras fórmulas…

40. Fórmula 17 ∫ ctg u du = In senU +c Veamos un ejemplo para comprenderla ∫ ctg x³ 3x² dx = Paso 1.- ¿Cuál es “u”? Paso 2.- ¿ “du” esta completa? Paso 3.- Sigamos la fórmula ∫ ctg x ³ 3x² dx = In sen x ³ + c

41. Practicando: ∫8/9 ctg 3/5x dx = ∫-3 ctg 10x ³ x² dx = ∫4/5 ctg 3/5x dx = Volver a otras fórmulas…

42. Fórmula 18 ∫ Sec u du = ln ( Sec u + tg u) +c Paso 1.- Identifica “u” y comprueba que “du” este completa, de no ser así cámbiala. ∫ Sec 9 x² 18x dx = Paso 2.- Ahora que sabes cual es, y esta completa, sigamos la fórmula y habremos terminado. ∫ Sec 9 x² 18x dx = In ( Sec 9x² + tg 9x²) + c A que esta fácil

43. Ejercicios: ∫3 Sen 8x dx = ½ ∫ Sen 4x dx = ∫ 2 Sen 6x ² x dx = Volver a otras fórmulas…

44. Fórmula 19 Podemos comprender la fórmula 19 con un sencillo ejemplo: ∫ Csc U du= ln ( csc U – ctg U)+C Recuerda los pasos para resolver cualquier integral  Paso 1.- Identifica las partes de la integral “u” y “du” ∫5 Csc 3x 3dx = Paso 2.- Verifica que este completa, y sustituye. ∫5 Csc 3x 3dx= In ( csc 3x – ctg 3x) +c

45. Ejercicios: ∫18 Csc (5x ³- 2) x² dx= ∫ - Csc 6x ² 12x dx = ∫ 4/5 Csc (7x +3) dx= Volver a otras fórmulas…

46. Fórmula 20 ∫ du = 1 arctg u + c *Alto* esta formula solo la utilizaremos si la u² y a² se suman. Debes tener en cuenta que a² representa un número cualquiera elevado al cuadrado . Pongamos un ejemplo fácil para entenderla ∫ dx = Para resolver una integral como esta, debemos comprobar si no es posible utilizar la fórmula 6 o 7 , si “du” no esta completa, y es una variable lo que le falta, tendremos que usar la 20 u ² + a ² a a x² + 49

47. Paso 1.- Primero verificaremos que sea la fórmula 20 Paso 2.- identificaremos “u ² ”, “a ² ”, “u”, “a” y “du” ∫ dx = x² + 49 Paso 3.- Ahora solo tenemos que seguir la fórmula. ∫ dx = 1 arctg x +c x² + 49² 7 7 ¡Listo! Terminamos u² = x ² a² = 49 u = x a = 7 du = 2x

48. Ejercicios: ∫ dx = x² + 81 ∫ dx = 16x² + 9 Volver a otras fórmulas…

49. Fórmula 21 ∫ du = 1 In u - a + c Debes poner atención, esta es una resta, es muy importante el orden Paso 1.- ¿ Es una resta? Podemos identificar sus componentes. ∫ dx = x² - 16 u ² - a ² 2a u + a u² = x² a² = 16 u = x a = 4 du = 2x

50. Paso 2.- Ahora Seguiremos nuestra fórmula original. ∫ dx = 1 In x - 4 + c Y listo, tenemos nuestro resultado . Y para practicar, hagamos ejercicios. 8 X + 4 x² - 16

51. A practicar ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = Volver a otras fórmulas… 25 - 6x² 4x² - 16 49x² - 16

52. Fórmula 22 Observa atentamente el orden del minuendo y sustraendo  Paso 1.- Identifica “u ² ”, “u”, “a ² ”, “a” y “du”. 8dx = 9 - 64² u ² = 64x² u = 8 a² = 9 a = 3 du = 8dx a ² - u ²  du = 1 L n a+u + c a²-u² 2a a-u

53. Paso 2.- Sustituye los valores de tu integral. 8dx = 1 In 3 + 8x + c 9 - 64² 6 3 – 8x Este es el resultado. Sencillo. Ejercicios: Volver a otras fórmulas… ∫ dx 81-16x² ∫ dx 25-4x²

54. Fórmula 23 Aquí también deberás tener en cuenta el orden del minuendo y sustraendo √ (a²-u² ) Ahora comprendámosla con un ejemplo. dx = √ (25 – 3x² ) du = arc sen u + c √ (a²-u² ) a

55. dx = √ ( 25– 3x² ) Paso 1.- Identifica “u ²”, “u”, “a ² “, “a” y “du”. No te olvides de comprobar que “du” este completa. Paso 2.- Sigue la fórmula original para contestarla. u ² = 3x² u = √3x a² = 9 a = 3 du = 8dx

56. Y el resultado es: dx = arc sen 6x/ 8 +c √ (64 – 36x² ) Ahora ¿Qué tal algunos ejercicios?

57. Fórmula 24 ∫ dU = In (U + √U² + a²) + C √U² ± a² Cuidado con esta fórmula, ya que tiene dos aplicaciones, (±) en la suma (sin importar el orden de los sumandos) o en la resta (verificando el orden). Ejemplo: ∫ dU = In (U + √U² + a²) + C √x² - 9 Cuidado!

58. Paso 1.- Identificar nuestros datos. Paso 2.- Sigue la fórmula Terminamos. ∫ dx = In x + √x² - 9² + C √ x² - 9 Ahora los ejercicios: ∫ dx = √4x² - 9 ∫ dx = √25x² + 16 Volver a otras fórmulas… u² = x² u = x a² = 9 a = 3 du = dx

59. Fórmula 25 ∫ √a² – u ² du = u/2 √a ² – u ² + a ² /2 arc sen u/a + c Paso 1.- Identifica “u” y “a” en nuestro ejemplo. ∫ √ 16 - 9x² 3dx= u ² = 9x² u = 3x a ² = 16 a = 4 d u= 3dx

60. Paso 2: Solo queda sustituir valores en la fórmula original ∫ √ 16 - 9x² 3dx= 3x/ 2 √ 16 – 9x ² + 16/2 arc sen 3x/ 2 + c ¡Y listo, nuestro resultado esta listo! Practiquemos ∫ √ 36 - 2x² dx = ∫ √ 16 - 4x² dx = ∫ √ 25 - 64x² dx = Volver a otras fórmulas…

61. Fórmula 26 Ahora la última… ∫√ux² ± a²   du =u/2 (√u² ± a²)   + a ² /2   ln ( √ u² ± a²)+   C Cuidado con esta fórmula, ya que tiene dos aplicaciones, (±) en la suma (sin importar el orden de los sumandos) o en la resta (verificando el orden ). Veamos un ejemplo: ∫√ 25x²+49xdx= Paso 1.- Identifica sus partes: u²=25x2                           a²=49 u=5x                                  a=7 du=5dx        

62. Paso 2.- Completa y sustituye En este caso du esta incompleta , debemos terminarla… La derivada de 5x es… 5 ∫√25x²+49 dx = 1/5 ∫√ 25x²+49 5 dx = (1/5) (5x/2) √(25x² ) + 49/2 ln (5x+√25x²+49 )+C   = 5x/10 ∫√25x²-49/2 ln (5x+√25x²+49  )+ C Antes de finalizar… ¿te das cuenta de que tenemos 2 resultados?... Uno positivo y otro negativo. Terminamos… ¿ Ya sabes integrar?

63. Ejercicios: ∫√ 9x²-16  3xdx= ∫√2x²-9   dx = ∫√36x²+ 25 xdx = Volver a otras fórmulas…

64. En caso de que “du” este incompleta ¿Qué hacer? No te vallas sin ver esto. En este caso du esta incompleta, debemos terminarla … Obtenemos “du” cuando derivamos “u” en una integral, sin embargo en algunos casos no esta completa… ∫ Sen ½ x dx = la derivada de ½ x es ½… esta incompleta…

65. Entonces, colocaremos el ½ que falta, pero también es necesario colocar un 2 fuera de la integral. 2 ∫ Sen ½ x ½ dx = Ahora si podemos integrar… En el caso contrario… ½ ∫ Sen x ² 2 xdx = Volver a otras fórmulas…