FACTORES DE INTEGRACIÓN

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About This Presentation

ESTE MATERIAL CONTIENE EJERCICIOS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A EXACTAS A TRAVÉS DE UN FACTOR INTEGRANTE.


Slide Content

Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.




Ecuaciones Diferenciales
reducibles a Exactas.

Factores de integración

Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.

Factores integrantes.
Caso I.
Cuando
�
�−�
�
�
es función solo de x, entonces ??????(�)=
�
�−�
�
�
por lo que �(�)=�
∫??????(�)??????�

es un factor integrante.
Caso II.
Cuando
�
�−�
�
�
es función solo de y, entonces ??????(�)=
�
�−�
�
�
lo que implica que
�(�)=�
∫??????(�)??????�
es un factor integrante.
Ecuaciones diferenciales.
(4��
2
+3�)��+(3�
2
�+2�)��=0
Factor integrante �
2
�
Factores integrantes en función de una sola variable.
Ejercicios Resueltos.
Ejemplo 1.
(��� + y
4
) ??????� + (�x
2
+ ��y
3
) ??????� = �
Se buscan las derivadas parciales para verificar si la E. D. es o no
exacta.
M
y=2x+4y
3

N
x=6x+6y
3

Dado que M
y≠�
� la ecuación diferencial no es exacta.
Se busca un F. I. que al ser multiplicado por E. D. la convierta en
exacta.
??????(�) =
�
�−�
�
M

??????(�)=
6�+6�
3
−2�−4�
3
2��+�
4
=
4�+2�
3
2��+�
4 =
2 (2�+�
3
)
� (2�+�
3
)

??????(�)=
2
y

Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.

Luego:
F.I=e
∫p(y)dy

F.I =e

2
y
dy

F.I =e
2lny

F.I=??????
???????????? ??????
�

F.I=y
2

Se multiplica el F. I. por la ecuación diferencial y se calculan las
derivadas parciales.

??????
�
(��� + y
4
) ??????� +y
2
(�x
2
+ ��y
3
) ??????� = �
(2xy
3
+y
6
)��+(3�
2
�
2
+6��
5
)��=0
M
y=6xy
2
+6y
5

N
x=6xy
2
+6y
5

Ahora, se integra respecto a dx y a dy
∫(2��
3
+�
6
) ��=0
2�
3
∫���+�
6
∫��=??????
�
2
�
3
+��
6
=??????
1

∫(3�
2
�
2
+6��
5
) ��= 0
3�
2
∫�
2
��+6�∫�
5
��=??????
�
2
�
3
+��
6
=??????
2
Solución General
�
2
�
3
+��
6
=??????

Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.

Ejemplo 2.
(��
�
+�) ??????�+�
�
�
�
??????�=�
Solución:
�
�=3��
2

�
�=2��
2

Como se observa, la ecuación diferencial no es exacta.
Buscamos el F. I.
?????? (�)=
��−��
�

?????? (�)=
3��
2
−2��
2
�
2
�
2
=
��
2
�
2
�
2
=
1
�

?????? (�)=
1
�

F. I.= �
∫??????(�) ??????�

F. I.= �

1
�
??????�
= �

??????�
�

= �
ln�

F. I.=�
Ahora se multiplica a x por la E. D.
� (��
3
+1) ��+� (�
2
�
2
) ��=0
(�
2
�
3
+1) ��+�
3
�
2
��=0 Luego:
�
�=3�
2
�
2

�
�=3�
2
�
2

Como se muestra, la E. D. ha sido convertida en exacta.
Ahora se procede a integrar con respecto a cada diferencial.
∫(�
2
�
3
+1) ��=0
�
3
�
3
3
+ �=??????
Solución general
�
3
�
3
3
+ �=??????


∫�
3
�
2
��=0
�
3
�
3
3
+ �=??????

Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.

Ejemplo 3.
�
2
�
2
��+(�
3
�+�+3) ��=0
Se calculan las derivadas parciales.
�
�=2�
2
�
�
�=3�
2
�
Como se observa, �
�≠�
� la E. D. no es exacta.
?????? (�)=
��−��
�

?????? (�)=
2�
2
�−3�
2
�
�
3
�+�+3
=
−�
2
�
�
3
�+�+3

Como se observa, con p (�) no es posible expresar en función de una sola
variable.

?????? (�)=
��−��
�

?????? (�)=
3�
2
�−2�
2
�
�
2
�
2
=
�
2
�
�
2
�
2
=
1
�

?????? (�)=
1
�

F. I.= �
∫??????(�) ??????�

F. I.= �

1
�
??????�
= �

??????�
�

= �
ln�

F. I.=�
Se multiplica y por la E. D.
� (�
2
�
2
��)+� (�
3
�+�+3) ��=0
�
2
�
3
��+(�
3
�
2
+�
2
+3�) ��=0
Se calculan las derivadas parciales.
�
�=3�
2
�
2

�
�=3�
2
�
2

Al ser �
�=�
� la ecuación diferencial es exacta.

Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.

Ahora se integra con respecto a dx y con respecto a dy
∫�
2
�
3
��=??????
�
3
∫�
2
��=??????
�
3
�
3
3
=??????
Se integra con respecto a dy
∫(�
3
�
2
+�
2
+3�) ��=0
�
3
∫�
2
��+∫�
2
��+3∫� ��=??????
�
3
�
3
3
+
�
3
3
+
3�
2
2
=??????
Solución general
�
3
�
3
3
+
�
3
3
+
3�
2
2
=??????

Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.

Caso III.
Factor integrante de la forma �
�
�
�

En este caso el factor integrante estará dado por la expresión �
�−�
�=�
�
�
−�
�
�

Ejemplo 1.
(�
2
�
5
+�
3
)��+(�
3
�
4
+�)��=0
�
�=5�
2
�
4
+3�
2
�
�=3�
2
�
4
+1
Dado que �
�≠�
� la ecuación diferencial no es exacta, por lo que:
�
�−�
�=�
�
�
−�
�
�

5�
2
�
4
+3�
2
−3�
2
�
4
−1= �
�
3
�
4
+�
�
−�
�
2
�
5
+�
3
�

2�
2
�
4
+3�
2
−1=�(�
2
�
4
+1)−�(�
2
�
4
+�
2
)
2�
2
�
4
+3�
2
−1=��
2
�
4
+�−��
2
�
4
−��
2

2�
2
�
4
+3�
2
−1=(�−�)�
2
�
4
−��
2
+�
De lo anterior, se extrae lo siguiente:
{
�−�=2
−�=3
�=−1

Al resolver este sistema de ecuaciones, nos queda que:
�=−� � �=−�
Esto indica que el factor integrante es �
−�
�
−�

Ahora se multiplica este factor por la ecuación diferencial
�
−�
�
−�
(�
2
�
5
+�
3
)��+�
−�
�
−�
(�
3
�
4
+�)��=0
(��
2
+�
−1
)��+(�
2
�+�
−3
)��=0
Se calculan nuevamente las derivadas parciales
�
�=2�� �
�=2��
Dado que �
�=�
� la ecuación diferencial es exacta.

Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.

Ahora se integra con respecto a dx y con respecto a dy
∫(��
2
+�
−1
) ��
�
2
∫���+∫�
−1
��=??????
�
2
�
2
2
+ln�=??????
∫(�
2
�+�
−3
) ��=??????
�
2
∫� ��+∫�
−3
��=??????
�
2
�
2
2
+
�
−2
−2
=??????
�
2
�
2
2

1
2�
2
=??????
Solución General
�
2
�
2
2

1
2�
2
+ln�=??????
�
2
�
2

1
�
2
+2ln�=??????
�
�
�
�

�
�
�
+????????????�
�
=??????

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Ejemplo 2.
(�
−3
�
4
−2�
4
�
2
)��+(�
−2
�
3
+�
5
�) ��=0
Se calculan las derivadas parciales
�
�=4�
−3
�
3
−4�
4
�
�
�=−2�
−3
�
3
+5�
4
�
Dado que las derivadas parciales, no son iguales, esta ecuación
diferencial no es exacta.
Ahora se procede a buscar el F. I. utilizando para esto la fórmula:
�
�−�
�=�
�
�
−�
�
�

4�
−3
�
3
−4�
4
�+2�
−3
�
3
−5�
4
� =�
�
−2
�
3
+�
5
�
�
−�
�
−3
�
4
−2�
4
�
2
�

6�
−3
�
3
−9�
4
� =� (�
−3
�
3
+�
4
�)−� (�
−3
�
3
−2�
4
�)
6�
−3
�
3
−9�
4
� =� �
−3
�
3
+� �
4
� −� �
−3
�
3
+2 ��
4
�
6�
−3
�
3
−9�
4
� =(�−�) �
−3
�
3
+(�+2�) �
4
�
De la expresión anterior, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
{
�−�=6

�+2�=−9

Al resolver este sistema de ecuaciones, nos queda que:
�=� � �=−�
Por lo que el Factor integrante es � �
−�

Se multiplica el Factor integrante por la ecuación diferencial
��
−5
(�
−3
�
4
−2�
4
�
2
)��+��
−5
(�
−2
�
3
+�
5
�) ��=0
(�
−2
�
−1
−2�
5
�
−3
) ��+(�
−1
�
−2
+�
6
�
−4
) ��=0
Se calculan las derivadas parciales.
�
�=−�
−2
�
−2
+6�
5
�
−4

�
�=−�
−2
�
−2
+6�
5
�
−4

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Prof. J. Amauris Gelabert S.

Comprobada la exactitud de la ecuación diferencial, se procede ahora a
integrar respecto a dx y dy.
∫(�
−2
�
−1
−2�
5
�
−3
) ��=0
∫�
−2
�
−1
��−∫2�
5
�
−3
=??????
�
� �

��
�
��
�
=??????
�
�
� �

�
�
��
�
=??????
�
∫(�
−1
�
−2
+�
6
�
−4
) ��=0
∫�
−1
�
−2
��+∫�
6
�
−4
=??????
�
� �

�
�
��
�
=??????
�
Solución general:
�
� �

�
�
��
�
=??????

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Ejemplo 3.
� (4� ��+2� ��)+�
3
(3� ��+5� ��)=0
Solución:
(4�� ��+2�
2
��)+(3�
4
��+5� �
3
��)=0
(4��+3�
4
) ��+(2�
2
+5� �
3
) ��=0
Se calculan las derivadas parciales.
�
�=4�+12�
3

�
�=4�+5�
3

Como se observa, la ecuación diferencial no es exacta.
Ahora se procede a buscar el F. I. utilizando para e sto la fórmula:
�
�−�
�=�
�
�
−�
�
�

4�+12�
3
− 4�−5�
3
= �
2�
2
+5� �
3
�
−�
4��+3�
4
�

12�
3
−5�
3
=� (2�+5�
3
)−� (4�+3�
3
)
7�
3
=2��+5��
3
−4��−3��
3

7�
3
=(5�−3�) �
3
+(2�−4�)�
De lo anterior se deduce que:
{
5�−3�=7

2�−4�=0

Resolviendo este sistema de ecuaciones, nos queda que:
�=� � �=�
Luego el F. I. es �
�
�
Se multiplica �
�
� por la ecuación diferencial
�
�
� (4��+3�
4
) ��+�
�
� (2�
2
+5� �
3
) ��=0
(4�
3
�
2
+3�
2
�
5
) ��+(2�
4
�+5�
3
�
4
) ��=0

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Prof. J. Amauris Gelabert S.

Se calculan nuevamente las derivadas parciales para verificar si la E.
D. es exacta.
�
�=8�
3
�+15�
2
�
4

�
�=8�
3
�+15�
2
�
4

Dado que la ecuación diferencial es exacta, se procede a integrar
respecto a dx y a dy.
∫(4�
3
�
2
+3�
2
�
5
) ��=0
∫4�
3
�
2
��+∫3�
2
�
5
��=??????
�
4
�
2
+�
3
�
5
= ??????
1
∫(2�
4
�+5�
3
�
4
) ��=0
∫2�
4
� ��+∫5�
3
�
4
��=??????
�
4
�
2
+�
3
�
5
= ??????
2
Solución General:
�
�
�
�
+�
�
�
�
=??????
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