ESTE MATERIAL CONTIENE EJERCICIOS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A EXACTAS A TRAVÉS DE UN FACTOR INTEGRANTE.
Size: 537.96 KB
Language: es
Added: May 10, 2019
Slides: 12 pages
Slide Content
Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.
Ecuaciones Diferenciales
reducibles a Exactas.
Factores de integración
Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.
Factores integrantes.
Caso I.
Cuando
�
�−�
�
�
es función solo de x, entonces ??????(�)=
�
�−�
�
�
por lo que �(�)=�
∫??????(�)??????�
es un factor integrante.
Caso II.
Cuando
�
�−�
�
�
es función solo de y, entonces ??????(�)=
�
�−�
�
�
lo que implica que
�(�)=�
∫??????(�)??????�
es un factor integrante.
Ecuaciones diferenciales.
(4��
2
+3�)��+(3�
2
�+2�)��=0
Factor integrante �
2
�
Factores integrantes en función de una sola variable.
Ejercicios Resueltos.
Ejemplo 1.
(��� + y
4
) ??????� + (�x
2
+ ��y
3
) ??????� = �
Se buscan las derivadas parciales para verificar si la E. D. es o no
exacta.
M
y=2x+4y
3
N
x=6x+6y
3
Dado que M
y≠�
� la ecuación diferencial no es exacta.
Se busca un F. I. que al ser multiplicado por E. D. la convierta en
exacta.
??????(�) =
�
�−�
�
M
Ahora, se integra respecto a dx y a dy
∫(2��
3
+�
6
) ��=0
2�
3
∫���+�
6
∫��=??????
�
2
�
3
+��
6
=??????
1
Como se observa, la ecuación diferencial no es exacta.
Buscamos el F. I.
?????? (�)=
��−��
�
F. I.=�
Ahora se multiplica a x por la E. D.
� (��
3
+1) ��+� (�
2
�
2
) ��=0
(�
2
�
3
+1) ��+�
3
�
2
��=0 Luego:
�
�=3�
2
�
2
Como se muestra, la E. D. ha sido convertida en exacta.
Ahora se procede a integrar con respecto a cada diferencial.
∫(�
2
�
3
+1) ��=0
�
3
�
3
3
+ �=??????
Solución general
�
3
�
3
3
+ �=??????
Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.
Ejemplo 3.
�
2
�
2
��+(�
3
�+�+3) ��=0
Se calculan las derivadas parciales.
�
�=2�
2
�
�
�=3�
2
�
Como se observa, �
�≠�
� la E. D. no es exacta.
?????? (�)=
��−��
�
F. I.=�
Se multiplica y por la E. D.
� (�
2
�
2
��)+� (�
3
�+�+3) ��=0
�
2
�
3
��+(�
3
�
2
+�
2
+3�) ��=0
Se calculan las derivadas parciales.
�
�=3�
2
�
2
Al ser �
�=�
� la ecuación diferencial es exacta.
Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.
Ahora se integra con respecto a dx y con respecto a dy
∫�
2
�
3
��=??????
�
3
∫�
2
��=??????
�
3
�
3
3
=??????
Se integra con respecto a dy
∫(�
3
�
2
+�
2
+3�) ��=0
�
3
∫�
2
��+∫�
2
��+3∫� ��=??????
�
3
�
3
3
+
�
3
3
+
3�
2
2
=??????
Solución general
�
3
�
3
3
+
�
3
3
+
3�
2
2
=??????
Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.
Caso III.
Factor integrante de la forma �
�
�
�
En este caso el factor integrante estará dado por la expresión �
�−�
�=�
�
�
−�
�
�
Ejemplo 1.
(�
2
�
5
+�
3
)��+(�
3
�
4
+�)��=0
�
�=5�
2
�
4
+3�
2
�
�=3�
2
�
4
+1
Dado que �
�≠�
� la ecuación diferencial no es exacta, por lo que:
�
�−�
�=�
�
�
−�
�
�
2�
2
�
4
+3�
2
−1=(�−�)�
2
�
4
−��
2
+�
De lo anterior, se extrae lo siguiente:
{
�−�=2
−�=3
�=−1
Al resolver este sistema de ecuaciones, nos queda que:
�=−� � �=−�
Esto indica que el factor integrante es �
−�
�
−�
Ahora se multiplica este factor por la ecuación diferencial
�
−�
�
−�
(�
2
�
5
+�
3
)��+�
−�
�
−�
(�
3
�
4
+�)��=0
(��
2
+�
−1
)��+(�
2
�+�
−3
)��=0
Se calculan nuevamente las derivadas parciales
�
�=2�� �
�=2��
Dado que �
�=�
� la ecuación diferencial es exacta.
Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.
Ahora se integra con respecto a dx y con respecto a dy
∫(��
2
+�
−1
) ��
�
2
∫���+∫�
−1
��=??????
�
2
�
2
2
+ln�=??????
∫(�
2
�+�
−3
) ��=??????
�
2
∫� ��+∫�
−3
��=??????
�
2
�
2
2
+
�
−2
−2
=??????
�
2
�
2
2
−
1
2�
2
=??????
Solución General
�
2
�
2
2
−
1
2�
2
+ln�=??????
�
2
�
2
−
1
�
2
+2ln�=??????
�
�
�
�
−
�
�
�
+????????????�
�
=??????
Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.
Ejemplo 2.
(�
−3
�
4
−2�
4
�
2
)��+(�
−2
�
3
+�
5
�) ��=0
Se calculan las derivadas parciales
�
�=4�
−3
�
3
−4�
4
�
�
�=−2�
−3
�
3
+5�
4
�
Dado que las derivadas parciales, no son iguales, esta ecuación
diferencial no es exacta.
Ahora se procede a buscar el F. I. utilizando para esto la fórmula:
�
�−�
�=�
�
�
−�
�
�
Al resolver este sistema de ecuaciones, nos queda que:
�=� � �=−�
Por lo que el Factor integrante es � �
−�
Como se observa, la ecuación diferencial no es exacta.
Ahora se procede a buscar el F. I. utilizando para e sto la fórmula:
�
�−�
�=�
�
�
−�
�
�
7�
3
=(5�−3�) �
3
+(2�−4�)�
De lo anterior se deduce que:
{
5�−3�=7
2�−4�=0
Resolviendo este sistema de ecuaciones, nos queda que:
�=� � �=�
Luego el F. I. es �
�
�
Se multiplica �
�
� por la ecuación diferencial
�
�
� (4��+3�
4
) ��+�
�
� (2�
2
+5� �
3
) ��=0
(4�
3
�
2
+3�
2
�
5
) ��+(2�
4
�+5�
3
�
4
) ��=0
Ecuaciones Diferenciales
Prof. J. Amauris Gelabert S.
Se calculan nuevamente las derivadas parciales para verificar si la E.
D. es exacta.
�
�=8�
3
�+15�
2
�
4