Fator de atrito grupo 2

leq1

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE QUÍMICA
DEPARTAMENTO DE OPERAÇÕES E PROJETOS INDUSTRIAIS
LABORATÓRIO DE ENGENHARIA QUÍMICA I

















Fator de Atrito










Grupo 2:

Thaiane Nolasco
Natalin Felix
Rafaela Silva


Professor:
Marco Antonio Gaya de Figueiredo



Rio de Janeiro

2. 2


Resumo

O fator de atrito é fundamental na projeção de bombas e tubulações devido a influência no
escoamento de fluidos, consequentemente havendo perda de carga. Por essa preocupação,
procura-se estudar o comportamento de fluidos para saber a magnitude do atrito aplicado
devido ao regime de escoamento associado ao número de Reynolds, a vazão volumétrica e a
perda de carga através da perda de pressão. Isso é estudado baseado em diversos modelos
matemáticos. E a conclusão é de existir uma faixa de atrito onde essa perda é mínima, levando
em consideração o diâmetro de tubulação pois a vazão do fluido precisa ser suficiente para
vencer o atrito na interface fluido/parede da tubulação.




Abstract

Friction factor is fundamental to design pumps and piping system due to head loss while
flowing. That is the reason studies applied in hydrodynamic search for the magnitude caused by
friction in regard to flow regime, Reynolds number, volumetric flow and head loss. They are
based in several mathematical models. This work comes to the conclusion friction may be
reduced considering pipe diameter and the volumetric flow necessary to overcome friction in the
interface fluid/pipe wall.

3. 3



SUMÁRIO
1. Resumo........................................................................................................................2
2. Introdução....................................................................................................................4
3. objetivo........................................................................................................................4
4. Revisão Bibliográfica....................................................................................................4
5. Procedimento Experimental.........................................................................................9
6. Resultados e Discussão.............................................................................................10
7. Conclusões.................................................................................................................18
8. Bibliografia..................................................................................................................18

4. 4

1. Introdução

O entendimento sobre os mecanismos responsáveis pelo escoamento é preciso ter em mente a
definição de que: escoamento laminar são tensões cisalhantes entre camadas adjacentes de
fluido, tais camadas do fluido se deslocam em planos paralelos, ou em círculos concêntricos
coaxiais (quando num tubo cilíndrico), sem se misturar, com número de Reynolds sendo
aproximadamente < 2100; escoamento turbulento é a criação, desenvolvimento e colapso de
vórtices, com consequente dissipação de energia por atrito viscoso entre partículas adjacentes;
vorticidade gerada entre regiões com movimento de líquido rápido e lento ou estagnado na
camada limite laminar ou em zonas de separação de escoamento, sendo o número de
Reynolds é aproximadamente > 3000; e o escoamento de transição combina os processos
laminar e turbulento, ocorrendo numa faixa estreita de número de Reynolds aproximadamente
entre 2100 e 3000.
Outro ponto de grande importância é o fator de atrito. Este é imprescindível na determinação da
perda de energia devido ao atrito do fluido com a superfície interna da parede do tubo e
turbulências no escoamento do fluido porque quanto maior for a rugosidade da tubulação e/ou
mais viscoso for o fluido, maior será a perda de energia (conhecido também como perda de
head/pressão de coluna). O comprimento dos tubos e seu diâmetro também são grandezas
relevantes nessa análise, pois o fator de atrito é uma função dos dois e o número de Reynolds
é uma função do diâmetro. Conhecer a magnitude de tais perda ajuda no cálculo de arranjo de
bombas, a escolher materiais e estimar os custos com equipamentos e tubulações.


2. Objetivo

Neste trabalho estima-se diferentes correlações para o fator de atrito, determina-se a relação
entre o fator e o número de Reynolds assim como a influência da variação do comprimento e
diâmetro na estimativa do fator.

3. Revisão Bibliográfica
A análise dimensional de escoamentos indica que a queda de pressão (ΔP) é função da
velocidade média do escoamento ( ), do comprimento e diâmetro do tubo (L e D) e da
viscosidade (µ).








Equação 1 – Fatores que influenciam a queda de pressão em escoamentos laminares,
plenamente desenvolvidos em tubos horizontais.

Além disto, ΔP é proporcional a L, ou seja, se dobrarmos L, o ΔP também dobra. Isso só
é possível se





, onde C é uma constante, que para regime laminar C=32.
Então, para regime laminar, a queda de pressão pode ser expressa pela equação 2:





Equação 2 – Queda de pressão para regime laminar.

5. 5

Escrevendo a equação acima em termos adimensionais (dividindo ambos os lados pela
pressão dinâmica, ρ

/2):






























Ao termo


define-se fator de atrito de Darcy (f) para valores de Re ≤ 1311, assim, o
fator de atrito para qualquer regime de escoamento também pode ser calculado pela equação
3:









Equação 3 – Fator de atrito de Darcy.

Como outro método para determinação do fator de atrito em regime laminar, também
pode-se usar o fator de atrito de Fanning que é definido como f/4, desta forma a equação 4 é
obtida:




Equação 4 – Fator de atrito de Fanning.

Para tubos rugosos, em regime de escoamento laminar, a rugosidade do tubo não
influencia o fator de atrito, porém, em regime turbulento o fator de atrito (f) é função de
Reynolds e da rugosidade relativa


:








Desta forma, o diagrama de Moody pode ser utilizado para o cálculo do fator de atrito,
tanto para regime laminar quanto para regime turbulento.

6. 6


Figura 1 – Diagrama de Moody.

A diferença física entre o regime de escoamento laminar e o regime de escoamento
turbulento é evidenciada pelo contraste na variação de f com Re nas regiões com Re<2100 e
Re>4000. No regime Laminar (Re<2100), independentemente da rugosidade relativa, os
valores de f se agrupam em torno de uma única linha, que é caracterizada pela equação de
Darcy para regime laminar


.
Na região de regime turbulento (Re>4000) uma curva de f versus Re pode ser feita para
cada valor de rugosidade relativa. Neste regime, duas regiões podem ser identificadas: a região
de regime de transição (fator f varia com Re e a rugosidade relativa) e a região de turbulência
(onde o aspecto horizontal das curvas indica que o fator de atrito é independente de Re).

Por sua vez, a rugosidade relativa pode ser obtida através do Diagrama 2 que relaciona
o material no qual é feito o tubo, seu diâmetro com a rugosidade relativa:

7. 7


Figura 2 – Diagrama de rugosidade relativa com o diâmetro do tubo.

O fator de atrito tanto para tubos lisos ou para tubos rugosos também pode ser
calculado pela Correlação de Colebrook para valores de Reynolds ≥ 2100.










Equação 5 – Correlação Colebrook.

A equação de Colebrook é considerada como a mais precisa lei de resistência ao
escoamento e é utilizada como padrão referencial. Porém apresenta uma particularidade, é
implícita em relação ao fator de atrito, sem possibilidade de ser explicitada em relação às
demais grandezas. Sua resolução requer um processo iterativo.
Isto resultou em motivos para que muitos pesquisadores se empenhassem em
encontrar equações explícitas, que pudessem ser utilizadas como alternativas à equação de

8. 8

Colebrook. Algumas mais compactas e simples, contudo com grandes desvios; outras, menos
compactas e complexas, porém com desvios menores.
A seguir, um pequeno conjunto destas equações explícitas:
a) Equação de Blasius, válida para tubos lisos:


(2.10
3
< Re < 10
5
)
b) Equação de Churchill, válida para tubos lisos e rugosos:













c) Equação de Haaland, válida para tubos rugosos:













d) Equação de Shacham, válida para tubos rugosos:

Além destas, existem outras correlações na literatura. Lembrando que estas equações são
válidas para fluidos newtonianos em regime turbulento, já que para regime laminar usam-se as
equações de Fanning ou Darcy para laminar, e para regime de transição, o Diagrama de
Moody é muito empregado.
O cálculo do fator de atrito é importante, pois a partir dele é possível calcular a perda de carga
distribuída (
, relacionada ao fator de atrito devido à parede do tubo.








Equação 8 – Perda de carga distribuída.

9. 9


4. Parte Experimental

Tal experimento tem por objetivo simular um sistema de alimentação de um fluido em um
processo qualquer, onde o trabalho mecânico realizado por uma bomba fornece energia para o
transporte do fluido.


Figura 3 - Esquema do experimento
de fator de atrito.

O sistema experimental consiste essencialmente de um reservatório de 100 litros, de uma
bomba centrífuga (1/3 HP), de dois tubos de latão de seção circular (tubo “A” – D = 6,3mm e
tubo “B” – D = 7,8mm) e de dois manômetros diferenciais tipo tubo em “U” confeccionados em
vidro (fluidos manométricos: Hg e H2O). Existem 3 tomadas de pressão em cada um dos tubos,
identificadas no painel por 1, 2, 3 e 4. O sistema permite que se faça medidas de pressão entre
as tomadas 1-3 e 2-3 (distâncias: L1-3 = 91,5cm e L2-3= 61cm).
Na descarga da bomba, a tubulação é dividida fazendo a água bombeada passar por duas
válvulas do tipo gaveta, uma que permite a admissão de água no sistema (VSistema) passando
pelo Tubo "A" Ou pelo Tubo "B" e outra que faz a água retornar ao reservatório (VReciclo).
O sistema experimental apresenta, ainda, 13 válvulas frontais e duas traseiras do tipo esfera
(aberta/fechada). Ao manusear as válvulas, deve-se observar se as mesmas estão
posicionadas totalmente fechadas ou totalmente abertas (posições estas perpendiculares),
nunca em posição intermediária. É importante ressaltar que a Vsistema só começou a ser
fechada quando a Vreciclo se encontrava totalmente aberta, de forma a evitar que ambas as
válvulas estivessem próximas do fechamento, o que ocasionaria uma pressão máxima no
sistema.

10. 10


Figura 4: Representação gráfica do sistema utilizado

Na prática, foi necessário medir o volume da água obtida em um determinado intervalo de
tempo, para posteriormente se fazer o calculo da vazão volumétrica, para tal procedimento foi
utilizado uma proveta de 2 litros para a coleta da água e um cronômetro para a determinação
do tempo. Esta etapa foi realizada, cinco vezes para diferentes posições de abertura das
válvulas do sistema para o tubo A e cinco vezes para diferentes posições de abertura das
válvulas do sistema para o tubo B. Para cada vazão foi obtido a diferença de altura em um
manômetro de mercúrio entre os pontos 1-3 e 2-3 para posteriormente o cálculo da diferença
de pressão. Nesta prática, não foi necessário a utilização do manômetro de água, apenas o
manômetro de mercúrio foi o suficiente para a coleta de dados.

5. Resultados e Discussão
Os dados coletados durante o experimento nos tubo A e B, assim como o cálculo da vazão
volumétrica, a 25ºC, seguem nas tabelas 1 e 2.

Tubo A (d = 6,3 mm)
Vreciclo Vsistema
Volume de Água
(L)
Tempo
(s)
Vazão Volumétrica
(m³/s)
Δh 1-3
(cm)
Δh 2-3
(cm)
Hg H2O Hg H2O
0 TA 0,87 5,62 0,000154804 23 13,9
1,5 TA 0,76 5,62 0,000135231 16,1 9,3
3 TA 0,72 5,81 0,000123924 14 8
4 TA 0,68 5,78 0,000117647 11,9 6,6
TA 0,5 0,52 4,47 0,000116331 11,7 4,2
Tabela 1 - Dados recolhidos para o tubo A.

11. 11


Tubo B (d = 7,8 mm)
Vreciclo Vsistema Volume de Água (L) Tempo (s) Vazão Volumétrica (m³/s)
Δh 1-3
(cm)
Δh 2-3
(cm)
Hg H2O Hg H2O
0 TA 1,33 4,34 0,000306452 11,3 10,1
1,5 TA 1,24 5,56 0,000223022 9 9,6
3 TA 0,98 5 0,000196 8 6,5
4 TA 1,02 5,54 0,000184116 4,9 5
TA 0,5 0,94 6,72 0,000139881 5,5 1,7
Tabela 2 - Dados recolhidos para o tubo B.

Onde, TA significa “totalmente aberta” e os números presentes nas colunas das válvulas
de reciclo e do sistema significam o número de voltas no sentido anti-horário, ou seja, no
sentido de abrir a válvula. Foram utilizadas as mesmas aberturas das válvulas para as
medições nos tubos A e B para efeito de comparação.
Calculada a vazão volumétrica e dado o diâmetro dos tubos, pode-se calcular a
velocidade de escoamento. Sendo o fluido água, sua massa específica é 997,05 Kg/m³ e
viscosidade é igual a 0.8903*10
-3
Pa.s a 25°C, com isto, é possível calcular o número de
Reynolds. Com a diferença entre as alturas do mercúrio (Δh), a massa específica do mercúrio
que é igual a 13600 kg/m³ e a aceleração da gravidade igual a 9,81 m/s², é possível calcular a
pressão para cada medição a partir da Equação 9.


Equação 9 – Cálculo da pressão.

A partir da pressão é possível calcular o fator de atrito de Darcy dada pela Equação 3.
Os resultados são apresentados nas Tabelas 3 e 4.
Tubo A
Velocidade (m/s) Reynolds ΔP 1-3 (Pa) ΔP 2-3 (Pa) Fator de Atrito (1-3) Fator de Atrito (2-3)
4,966059936 35037,50 15076,008 18544,824 0,000618975 0,001142091
4,3381673 30607,47 21479,976 12407,688 0,001155664 0,001001337
3,975441653 28048,30 18678,24 10673,28 0,001196674 0,00102572
3,774071243 26627,55 15876,504 8805,456 0,001128613 0,000938931
3,731855681 26329,70 15609,672 5603,472 0,001134892 0,000611096
Tabela 3 – Dados calculados para o tubo A.

12. 12

Tubo B
Velocidade (m/s) Reynolds ΔP 1-3 (Pa) ΔP 2-3 (Pa) Fator de Atrito 1-3 Fator de Atrito 2-3
6,413318739 56021,92 15076,008 13475,016 0,0004595 0,000616055
4,66732246 40770,21 12007,44 12807,936 0,000691002 0,001105603
4,101823648 35830,44 10673,28 8672,04 0,000795259 0,000969222
3,853109225 33657,86 6537,384 6670,8 0,000552009 0,000844911
2,927382645 25571,41 7337,88 2268,072 0,001073436 0,000497684
Tabela 4 – Dados calculados para o tubo B.

No tubo A, notamos uma diminuição do número de Reynolds , justificável pela
diminuição da velocidade. Isso leva a maiores valores do fator de atrito de Darcy, já que a
velocidade é uma grandeza inversamente proporcional. O mesmo pensamento é válido para os
dados obtidos para o tubo B. Por sua vez, a diminuição das velocidades está atrelada à
diminuição das vazões com a abertura da válvula de reciclo.
É possível observar um aumento do fator de atrito atrelado a uma diminuição da queda
de pressão, o que parece um equivoco num primeiro momento, já que na equação de Darcy a
queda de pressão é proporcional ao fator de atrito. No entanto, esses dados são justificados
pela diminuição da velocidade, que é inversamente proporcional ao fator de atrito, no qual
podemos concluir que tem maior influência sobre a equação.
Para as medições realizadas em um tubo de mesmo diâmetro, pode-se perceber que
com a diminuição do comprimento do tubo de 91,5 cm para 61 cm, houve um aumento do fator
de atrito, o que é esperado já que são grandezas inversamente proporcionais, apesar da queda
de pressão também diminuir com a diminuição do comprimento, e esta ser diretamente
proporcional ao fator de atrito (como pode ser observado na Equação 3a, abaixo
representada), mostrando que, a princípio, o comprimento tem maior influência sobre a
equação.




Equação 3a – Equação de Darcy

Agora analisando a influência dos diâmetros sobre o fator de atrito, para uma mesma
abertura das válvulas do sistema e de reciclo e para um mesmo comprimento de tubo, ou seja,
mantendo todas as variáveis constantes e só mudando o diâmetro, pode-se perceber pelos
resultados obtidos que não houve uma tendência definida. Enquanto que para algumas
medições o valor do fator de atrito aumentou com o aumento do diâmetro, como era esperado,
em outras, no entanto, o fator de atrito diminuiu. Isto pode ser atribuído a possíveis erros na
hora de medir o volume de água na proveta ou o tempo marcado pelo cronômetro
(ocasionando valores errôneos de vazões, levando a valores errôneos de velocidades de
escoamento), que são as causas mais prováveis.

13. 13

A seguir, calculou-se o fator de atrito com duas correlações da literatura, a de Haaland e
a de Churchill. Com isso, foi possível realizar uma comparação entre os dados obtidos por
Darcy com essas correlações.
É importante ressaltar que a rugosidade relativa varia conforme o diâmetro da
tubulação, de modo que quanto menor o diâmetro, maior será a rugosidade relativa. Para tubos
de latão, o valor de rugosidade encontrado na literatura foi de 0,00575 mm, o que fornece um
valor de rugosidade relativa de 0,0009127 para o tubo A e 0,0007372 para o tubo B.
Os valores obtidos estão apresentados nas Tabelas 5, 6, 7 e 8.

- Fator de atrito de Darcy e correlação de Haaland:

Tubo A
Fator de atrito Fator de atrito
Erro (%)
Fator de atrito
Erro (%)
de Haaland de Darcy (1-3) de Darcy (2-3)
0,024783806 0,000618975 97,5025029 0,001142091 95,3917864
0,02535458 0,001155664 95,4419895 0,001001337 96,0506679
0,02574719 0,001196674 95,3522164 0,00102572 96,0161855
0,02599014 0,001128613 95,6575321 0,000938931 96,3873587
0,026043637 0,001134892 95,6423433 0,000611096 97,6535695
Tabela 5 – Comparação entre fator de atrito calculado por Darcy e pela correlação de Haaland para o
tubo A.

Tubo B
Fator de atrito Fator de atrito
Erro (%)
Fator de atrito
Erro (%)
de Haaland de Darcy (1-3) de Darcy (2-3)
0,022589498 0,0004595 97,9658699 0,000616055 97,2728256
0,023725131 0,000691002 97,0874674 0,001105603 95,3399479
0,024248805 0,000795259 96,7204203 0,000969222 96,0030123
0,024516133 0,000552009 97,7483858 0,000844911 96,5536517
0,025802353 0,001073436 95,8397742 0,000497684 98,0711681
Tabela 6 – Comparação entre fator de atrito calculado por Darcy e pela correlação de Haaland para o
tubo B.

14. 14

- Fator de atrito de Darcy e correlação de Churchill:

Tubo A
Fator de atrito Fator de atrito
Erro (%)
Fator de atrito
Erro (%)
de Churchill de Darcy (1-3) de Darcy (2-3)
0,025263886 0,000618975 97,5499619 0,001142091 95,4793545
0,025840955 0,001155664 95,5277798 0,001001337 96,1250017
0,026236944 0,001196674 95,4389747 0,00102572 96,0905497
0,026481663 0,001128613 95,7381322 0,000938931 96,4544125
0,02653552 0,001134892 95,7231203 0,000611096 97,6970648
Tabela 7 – Comparação entre fator de atrito calculado por Darcy e pela correlação de Churchill para o
tubo A.

Tubo B
Fator de atrito Fator de atrito
Erro (%)
Fator de atrito
Erro (%)
de Churchill de Darcy (1-3) de Darcy (2-3)
0,024791747 0,0004595 98,1465615 0,000616055 97,5150803
0,025391486 0,000691002 97,2786068 0,001105603 95,6457709
0,025801857 0,000795259 96,9178231 0,000969222 96,2435969
0,026055029 0,000552009 97,8813735 0,000844911 96,7572044
0,026110703 0,001073436 95,8889037 0,000497684 98,0939462
Tabela 8 – Comparação entre fator de atrito calculado por Darcy e pela correlação de Churchill para o
tubo B.

Ao calcular o fator de atrito para as diversas medições dos tubos A e B pelas
correlações de Haaland e de Churchill, nota-se um erro de mais de 90% em comparação com
os fatores de atrito obtidos pela equação de Darcy. Este resultado também pode ser justificado
por erros de medição ou das pausas do cronômetro, o que levaria a erros no cálculo do fator de
atrito, podendo resultar em valores de desvio alto.
Os gráficos 1 a 4, a seguir, representam os resultados obtidos nas tabelas 5 a 8.

15. 15


Gráfico 1 – Comparação entre os fatores de atrito calculados por Darcy e pela correlação de
Haaland para o tubo A.



Gráfico 2 – Comparação entre os fatores de atrito calculados por Darcy e pela correlação de
Haaland para o tubo B.







0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 10000 20000 30000 40000
Fator de Atrito

Número de Reynolds
Comparação do Fator de Atrito por Darcy e
Haaland - Tubo A
Fator de atrito de Haaland
Fator de atrito de Darcy (1-
3)
Fator de atrito de Darcy (2-
3)
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 20000 40000 60000
Fator de Atrito

Número de Reynolds
Comparação do Fator de Atrito por Darcy
e Haaland - Tubo B
Fator de atrito de Haaland
Fator de atrito de Darcy
(1-3)
Fator de atrito de Darcy
(2-3)

16. 16


Gráfico 3 – Comparação entre os fatores de atrito calculados por Darcy e pela correlação de Churchill
para o tubo A.



Gráfico 4 – Comparação entre os fatores de atrito calculados por Darcy e pela correlação de Churchill
para o tubo B.

Mais uma vez, pelos gráficos, é possível notar os desvios entre o fator de atrito
calculado pelas correlações de Haaland e Churchill e os valores do fator de atrito obtidos pela
prática de laboratório.
Para fins de comparação entre as correlações, também foram construídos gráficos com
as duas correlações utilizadas para a determinação do fator de atrito.

0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 10000 20000 30000 40000
Fator de Atrito

Número de Reynolds
Comparação do Fator de Atrito por Darcy e
Churchill - Tubo A
Fator de atrito de Churchill
Fator de atrito de Darcy (1-
3)
Fator de atrito de Darcy (2-
3)
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 20000 40000 60000
Fator de Atrito

Número de Reynolds
Comparação do Fator de Atrito por Darcy
e Churchill - Tubo B
Fator de atrito de Churchill
Fator de atrito de Darcy
(1-3)
Fator de atrito de Darcy
(2-3)

17. 17


Gráfico 5 – Comparação entre os fatores de atrito calculados pelas correlações de Haaland e Churchill
para o tubo A.



Gráfico 6 – Comparação entre os fatores de atrito calculados pelas correlações de Haaland e Churchill
para o tubo B.


Analisando os gráficos 5 e 6 apresentados, pode-se perceber que, apesar da diferença
das estruturas das fórmulas de Haaland e Churchill, os resultados obtidos por ambas
correlações são próximos, mostrando boa concordância entre elas.






0,02
0,022
0,024
0,026
0,028
0,03
0,032
0,034
0 10000 20000 30000 40000
Fator de Atrito

Número de Reynolds
Comparação entre as correlações - Tubo A
Fator de atrito de Haaland
Fator de atrito de
Churchill
0,02
0,022
0,024
0,026
0,028
0,03
0,032
0,034
0 20000 40000 60000
Fator de Atrito

Número de Reynolds
Comparação entre as correlações - Tubo B
Fator de atrito de Haaland
Fator de atrito de Churchill

18. 18

6. CONCLUSÕES

De acordo com os resultados obtidos nessa prática, conclui-se que:
a) À uma dependência do fator de atrito com relação ao diâmetro do tudo, o comprimento e a
rugosidade do mesmo e a vazão;
b) Para cálculos rápidos que não exijam tanta precisão, o modelo de Darcy é muito
recomendado, pois depende apenas de Reynolds.
c) Para cálculos que exigem maior rigor, é necessária a utilização de correlações que
consideram um maior número de parâmetros e os modelos de Haaland e Churchill apresentam
resultados bastante satisfatórios.


7. BIBLIOGRAFIA

1. MUSSON, B.W - Fundamentos da Mecânica dos Fluidos – Editora Edgard Blucher – 1ª
edição, 2004 – 584p.
2. ARAÚJO, J. K., CHAUDHRY, F. H. - UM ESTUDO DA CONVENIÊNCIA DA CALIBRAÇÃO
DAS RUGOSIDADES ABSOLUTAS E FATORES DE ATRITO DE TUBOS DE UMA REDE
DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA COM DADOS TRANSIENTES.
3. https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_expl%C3%ADcitas_para_o_fator_de
_atrito_de_Darcy-Weisbach#Equa.C3.A7.C3.A3o_de_Colebrook-White, Acessado em
07/09/2015.
4. INDIO DO BRASIL, N., Introdução à Engenharia Química, Editora Interciência, RJ, 2007.