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f

2. Tema: Triángulos
GEOMETRIA

3. TEMA
OBJETIVOS
Reconocer los diferentestipos de triángulos así
como las relaciones que se cumplen en ellos.
Establecer las principales líneas notables que se trazan
en el triángulo.
Establecer los teoremas fundamentales en el triángulo
así como los teoremas que se deducen a partir de
estos.1
2
3

4. Lafigurageométricadenominadatriángulo,tiene
entreunadesuspropiedadesempleadasenla
IngenierialadeofrecergranResistenciaala
deformaciónporesoescapazdesoportargrandes
cargassinquesedeformedichafigura,estees
elmotivoporelcualsuusoesconsideradoen
estructurasdeacerocomoporejemploenel
diseñodepuentesdeestematerialasicomola
coberturadegrandesalmacenestambienenlas
antenasycupulasgeometricasoDomos.
EL TRIÁNGULO

5. Región interior
LADOS
Segmentos de recta que unen los vértices:
segmentosAB,BC y AC
VÉRTICES
Trespuntosnocolinealesquedeterminanel
triángulo:A,B,C
A
B
C
θ
β
α
??????
2
??????
3
??????
1
a
b
c
SEMIPERÍMETRO
Semisuma de las longitudes de sus lados:
semiperímetro: (a + b + c)/2
Región exterior y relativa
al lado ��
MEDIDAS ANGULARES INTERIORES
Interiores: �,�,??????
MEDIDAS ANGULARES EXTERIORES
Exteriores: ??????
1, ??????
2, ??????
3
P
P es un punto de la región Interior
Q
Q es un punto de la región exterior
REGIÓN TRIÁNGULAR
Esel conjuntoformadoporlos
puntosdel triángulo y de suregión
interior
TRIÁNGULOS

6. DEMOSTRACIÓN
TEOREMA
A
B
C
θ
β
α
Suma de medidas angulares internas
�+??????+�=180°
TEOREMA
Ángulo exterior
θ
A
B
C
β
α
??????=�+�
MEDIDAS ANGULARES EXTERIORES
Al considerer una de ellasencada
vérticedel triángulo, la sumade estas
tresmedidasserá360°
A
B
C
θ
β
α
??????+�+�= 360°
β
θ
α
Ya que la suma de las medidas angulares en torno a un mismo punto es 360°
∴??????+�+�=360°
TRIÁNGULOS

7. TEOREMA
Cuadrilátero Cruzado
??????+�=
??????
�
�
ω
�+ω
TEOREMA
Cuadrilátero de región Convexa
??????+�=
�
ω
??????
�
�+ω
TEOREMA
Cuadrilátero de región no convexa
??????+�+ω=
??????
�
ω
�
�
TEOREMA
Ángulos exteriores
??????
� �
??????+180°=�+�
Sugerencia:
En figuras como esta:
Es recomendable:
Prolongar

8. �
�
�
Teorema de Existencia
< a <b + c b –c
Si c < a < b < b <a + c a –c
< c <b + a b –a
Teorema de Correspondencia
θ
α
&#3627409148;>??????
??????
c
a > c
B
CA
&#3627408436;&#3627408473;á&#3627408475;??????&#3627408482;&#3627408473;&#3627408476;??????&#3627408475;&#3627408481;&#3627408466;&#3627408479;??????&#3627408476;&#3627408479;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408462;&#3627408486;&#3627408476;&#3627408479;
&#3627408474;&#3627408466;&#3627408465;??????&#3627408465;&#3627408462;&#3627408480;&#3627408466;&#3627408476;&#3627408477;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408466;&#3627408466;&#3627408473;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408465;&#3627408476;&#3627408465;&#3627408466;
&#3627408474;&#3627408462;&#3627408486;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408473;&#3627408476;&#3627408475;????????????&#3627408481;&#3627408482;&#3627408465;.
RELACIÓN DE ORDEN EN EL TRIÁNGULO

9. TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Si ??????<90°,&#3627409148;<90°,&#3627409149;<90°
Por naturaleza:
&#3627408462;
2
< &#3627408463;
2
+&#3627408464;
2
Si ??????>90°
Por naturaleza:
&#3627408463;
2
+&#3627408464;
2
<&#3627408462;
2
Teorema de Pitágoras:
&#3627408463;
2
=&#3627408464;
2
+ &#3627408462;
2
Si &#3627408474;∢&#3627408436;&#3627408437;&#3627408438;=90°
??????+&#3627409148;=90°
60° 60°
60°
TRIÁNGULO ESCALENO
TRIÁNGULO ISÓSCELES
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
&#3627408462;≠&#3627408463;,&#3627408463;≠&#3627408464;,&#3627408462;≠&#3627408464;
&#3627408436;&#3627408437;=&#3627408437;&#3627408438;=&#3627408462;
&#3627408436;&#3627408438;: BASE
??????es agudo
&#3627408436;&#3627408437;=&#3627408437;&#3627408438;=&#3627408436;&#3627408438;=&#3627408462;
CLASIFICACIONDE TRIÁNGULOS

10. θ
θ
θθ
ALTURA MEDIANA BISECTRIZ MEDIATRIZ
H
F
l
MH
F CA
B
B
CA
A
B
CA
B
C
A
B
C
A
B
C
Acutángulo
Obtusángulo
a a
Interior
Exterior
a a
LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO

11. θ
x
α
α
&#3627409149;
&#3627409149;
&#3627409149;
&#3627409149;
α
α
θ
x
B
C
A
Segmentos bisectrices interiores
&#3627408485;=90°+
??????
2
B
C
A
Segmentos bisectrices exteriores
&#3627408485;=90°−
??????
2
θ
x
α
α
&#3627409149;
&#3627409149;
B
C
A
Segmentos bisectrices
&#3627408485;=
??????
2
TEOREMAS DE ÁNGULOS ENTRE BISECTRICES