Fisica general-libro-completo

fisica general

1. F¶³sicaGeneral
IgnacioMart¶³nBragado
[email protected]
12defebrerode2003

2. 2 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

3. ¶Indicegeneral
¶IndiceGeneral 3
¶IndicedeFiguras 11
ISobreestelibro 13
1.Distribuci¶ondeestedocumento 15
IITeor¶³a,esquemasparalaresoluci¶ondeproblemasy
ejerciciosresueltos 17
2.Introducci¶on 19
2.1.Signosempleados.............................19
3.Esquema 21
4.Introducci¶onalc¶alculovectorial 23
4.1.Magnitudesescalaresyvectoriales...................23
4.1.1.Representaci¶onmatem¶atica...................23
4.2.Operacionesvectorialesunarias.....................23
4.2.1.Operacionesunariasdiferenciales................24
4.3.Operacionesvectorialesbinarias.....................24
4.3.1.Equivalencia...........................24
4.3.2.Sumayresta...........................24
4.3.3.Productoescalar.........................25
4.3.4.Productovectorial........................25
4.3.5.Productomixto..........................27
5.Cinem¶atica 29
5.1.Introducci¶on................................29
5.2.Velocidad.................................29
5.3.Aceleraci¶on................................30
5.4.Componentesintr¶³nsecasdelaaceleraci¶on...............30
5.5.Clasi¯caci¶ondemovimientos......................31
5.6.Composici¶ondemovimientos......................31
5.6.1.Translaci¶onpura.........................31
5.6.2.Rotaci¶onpura..........................32
5.7.Resoluci¶ondeproblemas.........................33
5.7.1.Tiroparab¶olico..........................33
5.7.2.Componentesintr¶³nsecas.....................33
5.7.3.C¶alculodetrayectorias......................34
3

4. ¶
INDICEGENERAL
6.Din¶amica 35
6.1.Introducci¶on................................35
6.2.LeyesdeNewton.............................35
6.2.1.Leydelainercia.........................35
6.2.2.SegundaleydeNewton.....................35
6.2.3.TerceraleydeNewton......................36
6.3.Fuerzasespecialesqueaparecenenproblemas.............36
6.3.1.Normal..............................36
6.3.2.Rozamiento............................37
6.4.Elmomentolineal............................38
6.4.1.Conservaci¶ondelmomentolineal................38
6.5.Conservaci¶ondelaenerg¶³a........................39
6.6.Resoluci¶ondeproblemas.........................39
6.6.1.Planosinclinados.........................39
6.6.2.Curvas...............................41
6.6.3.Casosl¶³mite............................42
7.Consideracionesenerg¶eticas 45
7.1.Introducci¶on................................45
7.2.Trabajo..................................45
7.2.1.Trabajoconservativo.......................46
7.3.Potencia..................................46
7.4.Energ¶³a..................................47
7.5.Conceptosprevios............................47
7.5.1.Energ¶³acin¶etica.........................47
7.5.2.Potencial.............................49
7.6.Conservaci¶ondelaenerg¶³a........................51
7.6.1.Rozamiento............................51
7.7.Impulso..................................53
7.8.Gradiente.................................53
8.Din¶amicadeunsistemadepart¶³culas 55
8.1.Conceptosyde¯nicionesprimarias...................55
8.2.Centrodemasas.............................55
8.2.1.TeoremadePappus.......................55
8.3.Din¶amicadelcentrodemasas......................56
8.3.1.Velocidad.............................56
8.3.2.Aceleraci¶on............................56
8.3.3.Momentolineal..........................56
8.3.4.Energ¶³a..............................56
8.4.Aplicaciones................................57
8.4.1.Sistemadereferenciadelcentrodemasas...........57
8.4.2.Problemasdedoscuerpos....................58
8.4.3.Colisiones.............................58
9.Din¶amicadelarotaci¶on 59
9.1.Introducci¶on................................59
9.1.1.S¶olidor¶³gido...........................59
9.1.2.Analog¶³as.............................59
9.2.Momentodeunafuerza.........................59
9.3.Momentoangular.............................60
9.4.Momentodeinercia...........................61
9.4.1.TeoremadeSteinerodelosejesparalelos...........61
9.4.2.Teoremadelas¯gurasplanasodelosejesperpendiculares..62
4 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

5. ¶
INDICEGENERAL
9.4.3.Relaci¶ondelmomentodeinerciarespectoaunpuntoconlos
tresejes..............................62
9.5.Ecuaci¶ondeladin¶amicaderotaci¶on..................62
9.5.1.Conservaci¶ondelmomentoangular...............63
9.6.Energ¶³aderotaci¶on............................63
9.7.Algunosproblemast¶³picosderotaci¶on.................63
9.7.1.Cuerposrodantes.........................64
9.7.2.Poleas...............................64
9.7.3.Est¶aticayequilibrios.......................64
9.7.4.C¶alculodelaaceleraci¶onangulardeuncuerpo........65
9.7.5.C¶alculodemomentosdeinercia.................65
9.7.6.Variaci¶ondelaformadelcuerpoquegira...........65
9.7.7.Conservaci¶ondelaenerg¶³aparacuerposrodantes.......66
10.Conceptosgeneralesdecampos 67
10.1.Introducci¶on................................67
10.2.De¯nici¶on.................................67
10.3.Formalismomatem¶atico.........................67
10.4.Flujodeuncampovectorial.......................68
10.5.Gradientedeuncampo.........................68
10.6.LeydeGauss...............................68
10.7.Circulaci¶on................................69
10.8.Representaci¶ongr¶a¯cadeloscampos..................69
10.8.1.Campoescalar..........................69
10.8.2.Campovectorial.........................70
11.Gravitaci¶onycampogravitatorio 71
11.1.Introducci¶on................................71
11.2.Leydelagravitaci¶onuniversal.....................71
11.2.1.Enunciado.............................71
11.2.2.LasleyesdeKepler........................72
11.2.3.Principiodesuperposici¶on....................72
11.3.Campogravitatorio............................72
11.3.1.Concepto.............................72
11.3.2.Entidadmatem¶atica.......................73
11.4.Energ¶³apotencialgravitatoria......................73
11.5.Problemasconcretos...........................75
11.5.1.C¶alculodelafuerzagravitatoriaejercidaporunsistemade
part¶³culas.............................75
11.5.2.C¶alculodelafuerzagravitatoriaejercidaporuncuerpocontinuo75
11.5.3.Problemasdesat¶elites......................75
11.5.4.Velocidaddeescape.......................75
11.5.5.Medidadelagravedadenlasuper¯ciedeunplaneta.....76
11.5.6.C¶alculodelaatracci¶ongravitatoriadealgunoss¶olidossimples76
12.Campoypotencialel¶ectrico 79
12.1.Preliminar.................................79
12.2.LeydeCoulomb.............................79
12.2.1.Principiodesuperposici¶on....................79
12.3.Campoel¶ectrico..............................79
12.4.LeydeGauss...............................80
12.5.Potencialyenerg¶³ael¶ectrica.......................80
12.5.1.Algunoscasosparticularesdepotencialel¶ectrico.......81
12.6.Condensadores..............................81
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 5

6. ¶
INDICEGENERAL
12.6.1.Asociaci¶ondecondensadores..................81
13.Movimientoarm¶onicosimple 83
13.1.Introducci¶on................................83
13.2.Din¶amicadelsistema...........................83
13.2.1.Ecuaci¶ondelmovimiento....................83
13.2.2.Periodicidaddelaecuaci¶on...................84
13.2.3.Velocidad.............................84
13.2.4.Aceleraci¶on............................85
13.3.Energ¶³a..................................85
13.3.1.Energ¶³acin¶etica.........................85
13.3.2.Energ¶³apotencial.........................85
13.3.3.Energ¶³amec¶anica.........................86
13.4.Elp¶endulosimple.............................86
14.Ondas 89
14.1.Introducci¶on................................89
14.1.1.Tiposdeondas..........................89
14.2.Ecuaci¶ongeneraldeunaonda......................90
14.3.Ecuaci¶ondeunaondaarm¶onica.....................90
14.3.1.Periodoyfrecuencia.......................91
14.3.2.Longituddeondayn¶umerodeondas.............91
14.4.Consideracionesenerg¶eticasdelasondas................93
14.4.1.Energ¶³a..............................93
14.4.2.Potencia..............................94
14.4.3.Intensidad.............................94
15.Fen¶omenosondulatorios 95
15.1.Introducci¶on................................95
15.2.PrincipiodeHuygens...........................95
15.3.Interferenciaentreondas.........................95
15.3.1.Ondascoherentes:Interferenciasconstructivasydestructivas96
15.3.2.Ondasestacionarias:Propagaci¶onendireccionesopuestas..99
15.4.Otraspropiedadesdelasondas.....................101
15.4.1.Difracci¶on.............................101
15.4.2.Polarizaci¶on............................101
15.4.3.Otraspropiedades........................102
15.5.Re°exi¶onyrefracci¶ondelaluz.....................102
15.5.1.Re°exi¶on.............................102
15.5.2.Refracci¶on.............................103
15.5.3.PrincipiodeFermat.......................105
16.Electromagnetismo 107
16.1.Introducci¶on................................107
16.2.FuerzadeLorentz............................107
16.2.1.Fuerzasobreunacorrienteel¶ectrica..............108
16.3.Campomagn¶eticodebidoaunacargaenmovimiento.........108
16.3.1.Campomagn¶eticoproducidoporunacorrienteel¶ectrica...109
16.4.LeydeAmpµere..............................109
16.5.Resoluci¶ondeproblemast¶³picos.....................110
16.5.1.Part¶³culasometidaauncampomagn¶eticoconstanteyuniforme110
16.5.2.Fuerzamagn¶eticaexperimentadaporunconductorrectoy
perpendicularalcampomagn¶etico...............110
16.5.3.Campomagn¶eticocreadoporunconductorrectoein¯nito.110
6 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

7. ¶
INDICEGENERAL
16.5.4.Campoproducidoporunaespiraensueje...........111
16.5.5.Campomagn¶eticoenelinteriordeunsolenoidein¯nito...112
16.5.6.Fuerzasentrecorrientesparalelas................113
17.Inducci¶onelectromagn¶etica 115
17.1.Introducci¶on................................115
17.2.LeydeFaraday-Henry..........................115
17.2.1.LeydeLenz............................116
17.3.Fuerzaelectromotriz...........................116
17.4.Autoinducci¶on..............................116
17.4.1.Inducci¶onmutua.........................117
17.5.Energ¶³amagn¶etica............................117
17.6.Problemasyaplicacionesdeinducci¶onelectromagn¶etica.......118
17.6.1.Generadores............................118
17.6.2.Transformadores.........................119
17.6.3.Autoinducci¶ondeunsolenoide.................120
18.Lanaturalezadelaluz.Dualidadondacorp¶usculodelamateria121
18.1.Introducci¶onhist¶orica..........................121
18.2.Elcuerponegro..............................122
18.3.Elefectofotoel¶ectrico..........................123
18.3.1.Descripci¶ondelproblema....................123
18.3.2.Soluci¶on..............................124
18.4.EfectoCompton.............................125
18.5.Naturalezaondulatoriadelamateria..................125
18.6.Resumen:Dualidadonda-corp¶usculodelaluzylamateria......126
19.FundamentosdeF¶³sicaNuclear 129
19.1.Introducci¶on................................129
19.2.Eln¶ucleoat¶omico.............................129
19.2.1.Algunasde¯niciones.......................129
19.2.2.Caracter¶³sticas..........................130
19.3.Radiactividad...............................130
19.3.1.Radiactividad®.........................131
19.3.2.Radiactividad¯.........................131
19.3.3.Radiactividad°.........................131
19.4.Caracter¶³sticasdelosprocesosradiactivos...............132
19.4.1.Cin¶eticadelasreaccionesnucleares:Leydedesintegraci¶on..132
19.4.2.Lasseriesradiactivas.......................132
19.5.Reaccionesnucleares...........................134
19.5.1.Fisi¶onnuclear...........................134
19.5.2.Fusi¶onnuclear..........................135
IIIPr¶acticasdelaboratorio 137
20.Cambiosdefaseydescensoebullosc¶opico 139
20.1.Materialexperimental..........................139
20.2.Introducci¶onte¶orica...........................139
20.3.Realizaci¶onpr¶actica...........................140
20.3.1.Parte1:Cambiosdefase....................140
20.3.2.Parte2:Descensoebullosc¶opico.................140
20.4.Precaucionesatenerconlapr¶actica..................140
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 7

8. ¶
INDICEGENERAL
21.Cargaydescargadeuncondensador. 143
21.1.Materialexperimental..........................143
21.2.Introducci¶onte¶orica...........................143
21.3.Realizaci¶ondelapr¶actica........................145
21.4.Ap¶endice:Resoluci¶ondelaecuaci¶ondiferencial............145
22.PrincipiodeArqu¶³medes:Determinaci¶ondeladensidad 147
22.1.Materialexperimental..........................147
22.2.Introducci¶onte¶orica...........................147
22.2.1.Medici¶ondeladensidad.....................147
22.3.Realizaci¶onpr¶actica...........................148
23.ExperienciadeFaraday.Inducci¶on. 149
23.1.Materialexperimental..........................149
23.2.Introducci¶onhist¶oricayte¶orica......................149
23.3.Realizaci¶onpr¶actica............................149
24.Iniciaci¶onalahidr¶aulica:Diversasexperiencias. 151
24.1.Materialexperimental..........................151
24.2.Introducci¶onte¶orica...........................151
24.3.Realizaci¶onpr¶actica...........................151
24.4.Objetivodelapr¶actica..........................152
25.Comprobaci¶ondelaleydeOhm. 155
25.1.Materialexperimental..........................155
25.2.Introducci¶onte¶orica...........................155
25.3.Realizaci¶onpr¶actica...........................155
25.4.Precauciones...............................156
26.Soluci¶onalproblemaplanteadoenelm¶etodocient¶³¯co 157
26.1.Advertencia................................157
26.2.Soluci¶on..................................157
27.Elm¶etodocient¶³¯co 159
27.1.Materialexperimental..........................159
27.2.Introducci¶onte¶orica...........................159
27.3.Realizaci¶onpr¶actica............................160
28.Estudiodeunmuelle. 161
28.1.Materialexperimental..........................161
28.2.Introducci¶onte¶orica...........................161
28.3.Realizaci¶onpr¶actica............................162
29.ExperienciadeOersted. 165
29.1.Materialexperimental..........................165
29.2.Introducci¶onhist¶orica..........................165
29.3.Realizaci¶onpr¶actica...........................165
30.Comprobaci¶ondelaleydeOhm 167
30.1.Materialexperimental..........................167
30.2.Introducci¶onte¶orica...........................167
30.3.Realizaci¶onpr¶actica...........................167
8 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

9. ¶
INDICEGENERAL
31.Usoelementaldeunosciloscopio 169
31.1.Materialexperimental..........................169
31.2.Introducci¶onte¶orica...........................169
31.2.1.Elosciloscopio..........................169
31.2.2.Elgeneradordeonda......................170
31.3.Realizaci¶onpr¶actica...........................170
31.4.Precauciones...............................171
32.Estudiodeunp¶endulo. 173
32.1.Materialexperimental..........................173
32.2.Introducci¶onte¶orica...........................173
32.3.Realizaci¶onpr¶actica...........................174
33.C¶alculodelaaceleraci¶ondeunsistemamediantedin¶amicaycin-
em¶atica 175
33.1.Materialexperimental..........................175
33.2.Introducci¶onte¶orica...........................175
33.3.Realizaci¶onpr¶actica...........................176
34.Medici¶ondelahumedadmedianteunpsicr¶ometro 177
34.1.Materialexperimental..........................177
34.2.Introducci¶onte¶orica...........................177
34.3.Realizaci¶onpr¶actica...........................177
35.Resistenciasenserieyenparalelo. 179
35.1.Materialexperimental..........................179
35.2.Introducci¶onte¶orica...........................179
35.2.1.Acopleenserie...........................179
35.2.2.Acopleenparalelo........................180
35.3.Realizaci¶ondelapr¶actica........................181
IVAp¶endices 183
A.Esquemasyformulario 185
A.1.C¶alculovectorial.............................185
A.2.Cinem¶atica................................185
A.2.1.Movimientocircular.......................186
A.3.Din¶amica.................................186
A.3.1.Translaci¶on............................186
A.3.2.Rotaci¶on.............................186
A.4.TrabajoyEnerg¶³a............................187
A.5.Movimientoarm¶onicosimple......................187
A.6.Campoypotencialel¶ectricoygravitatorio...............188
A.7.Circuitosdecorrientecontinua.....................189
A.8.Electromagnetismo............................189
B.Movimientodeuncuerpoenelcampogravitatoriobajoelroza-
mientoconelaire 191
B.1.Introducci¶on................................191
B.2.PlanteamientodelaleydeNewton...................191
B.3.Interpretaci¶ondelaecuaci¶ondeNewton................191
B.4.Conclusi¶on................................192
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 9

10. ¶
INDICEGENERAL
C.Tablasyf¶ormulas¶utiles 193
C.1.Introducci¶on................................193
C.2.C¶alculocomplejo.............................193
C.3.C¶alculovectorial.............................193
C.4.Funcioneselementales..........................193
C.4.1.Trigonom¶etricas.........................193
C.4.2.Logar¶³tmicasyexponenciales..................194
C.5.Derivaci¶on.................................194
C.5.1.Propiedadesgenerales......................194
C.5.2.Tabladederivadas........................194
C.6.Integraci¶on................................194
C.6.1.De¯nici¶onypropiedades.....................194
C.6.2.Tabladeintegrales........................195
D.Agradecimientos 197
Bibliograf¶³a 198
10 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

11. ¶Indicede¯guras
4.1.El¶anguloentredosvectoresysusproyecciones.............27
5.1.Relaci¶onvectorialentreunosyotrossistemas.Elconductorver¶ala
piedraquecaecomo~rcp=~rc¡~rp....................32
6.1.Descomposici¶ondelasfuerzasenunplanoinclinado..........39
6.2.>Cu¶alser¶alaaceleraci¶ondeestesistema?...............40
6.3.Distintassituacionesanteunacurva...................42
6.4.>Desdequ¶ealturapodr¶aunamasarealizarunbucle?.........43
7.1.>Aqu¶evelocidadllegar¶aal¯nal?.....................52
9.1........................................62
11.1.Campo~ggeneradoporunavarilladelgada...............76
12.1.Asociaci¶ondecondensadoresenserieyenparalelo...........81
13.1.Descomposici¶ondelasfuerzasenunp¶endulo..............87
14.1.Periododeunaondaarm¶onica......................92
14.2.Longituddeondadeunaondaarm¶onica................93
15.1.Esquemadeunfen¶omenodeinterferencias...............96
15.2.Representaci¶ondeunainterferencia(casi)constructiva........97
15.3.Representaci¶ondeunainterferenciadestructiva.............98
15.4.ExperienciadeYoung...........................99
15.5.Re°exi¶ondeunaonda...........................103
15.6.Explicaci¶onseg¶unelprincipiodeHuygensdelare°exi¶on.......103
15.7.Refracci¶ondeunaonda..........................104
15.8.Explicaci¶onseg¶unelprincipiodeHuygensdelarefracci¶on......104
16.1.Geometr¶³aparacalcularelcampomagn¶eticoenelejedeunaespira.111
16.2.Trayectoriaparaunsolenoidein¯nito..................112
17.1.Circuitoconunaresistenciayunaautoinducci¶on............117
17.2.Corrientealterna..............................119
17.3.Esquemasimpli¯cadodeuntransformador...............120
18.1.Dibujodeun\cuerponegro".......................122
18.2.Distribuci¶onespectraldelaradiaci¶onemitidaporuncuerponegroa
distintastemperaturas...........................122
18.3.Dispositivosimpli¯cadoparalamedici¶ondelefectofotoel¶ectrico...124
11

12. ¶
INDICEDEFIGURAS
19.1.Serieradiactivadeluranio........................133
21.1.Circuitoconcondensador.........................144
21.2.Cargadeuncondensador.........................144
24.1.FrascodeMariotte.............................152
25.1.Circuitoarealizar.............................156
28.1.Medidadelaelongaci¶ondelmuellealponerelpeso..........162
30.1........................................168
31.1.Mandosfundamentalesdeunosciloscopio................170
33.1.Sistemadepoleas.............................175
35.1.Resistenciasenserie............................179
35.2.Resistenciasenparalelo..........................180
12 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

13. ParteI
Sobreestelibro
13

15. Cap¶³tulo1
Distribuci¶ondeeste
documento
Estelibrohasidoescrito¶³ntegramenteporIgnacioMart¶³nBragadoytodosu
materialesoriginal,incluyendolosgr¶a¯cosquecontiene,exceptolosiconosdeam-
pliaci¶on,recuerda,nota,problemayresoluci¶onquehansidotomadosdelproyecto
GNOME(distribuidoconlicenciaGPL)ymodi¯cados.Hasidocompuestoutilizan-
doL
ATEXsobreunordenadorAMDK6utilizandounsistemaoperativoGNU/Linux.
Sepermitelareproducci¶ondeloscontenidosdeestelibrosiempreycuando
quedeabsolutamenteexpl¶³citalaprocedenciadeestedocumentoysuautoryse
conserveestaleyenda.
Nosepermitelamodi¯caci¶ondening¶unt¶opicodeestelibro.Sideseare-
alizaralgunacorrecci¶onh¶agaloponi¶endoseencontactoconelautorenladirecci¶on
[email protected]
Ladirecci¶onweboriginaldeestemateriales:
http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html
15

16. CAP
¶
ITULO1.DISTRIBUCI
¶
ONDEESTEDOCUMENTO
16 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

17. ParteII
Teor¶³a,esquemasparala
resoluci¶ondeproblemasy
ejerciciosresueltos
17

19. Cap¶³tulo2
Introducci¶on
Esteesquemapretendeserunapeque~nagu¶³apararesolverlosproblemasde
f¶³sicaevitandolasconfusionesm¶asusuales.Noobstantenoexisteunsistemaque
resuelvalosproblemasdef¶³sica,sinoque,cadauno,presentaunafacetaquehemos
dedescubrirhaciendousodenuestraraz¶on.
Esteesquemanopretendeserunchuletariodelosdistintostiposdeproblemasy
comosolucionarlos,sinos¶olounainiciaci¶onb¶asicaenel\artederesolver"problemas
def¶³sica.
Elplanteamientodelasecuacionesqueintervienenenlosprocesosf¶³sicoses,a
nivelgeneral,algocomplicado,puestoquesonmuchoslosfen¶omenosquepueden
presentarse.Enestagu¶³airemosdesgajandolosdistintosprocesosquepuedendarse
ylasecuacionesinvolucradas.
Lacreaci¶ondeesteesquemahasidounprocesocomplicado.Inicialmentecon-
stituy¶ounosbrevesapuntesqueseimpart¶³anparauncursodel(extintooenv¶³as
deextinci¶on)COU,perosefuerona~nadiendocosasymezclandopartedeloscon-
tenidosb¶asicosdedichocursoconalgunasconsideracionesde¶³ndolem¶aspr¶actica
frutodelaexperienciaenelaula.
Actualmenteelniveldeestelibrohacequepuedaserutilizadoparalaasignatu-
radeF¶³sicade1
o
delascarrerasdeciencias.Para2
o
deBachilleratoquiz¶assu
nivelexcedaunpocoenalgunostemasynocontengaotros.Encualquiercasola
concepci¶on¯naldeestelibroescomoC»ursodef¶³sicageneral
2
nocomounlibrode
textodening¶uncursoespec¶³¯codeFacultadniInstituto.
2.1.Signosempleados
¦Cuandoaparezcaalg¶uncomentariodeinter¶es,sibiennoseaimportante Nota
paraeldesarrollodeltema,setratar¶adeestamanera.
±Laspartesdeldesarrolloqueexcedanunpocolosobjetivosdeestelibro,
Ampliaci¶on peronoporellodejendeserinteresantesoimportantesaparecer¶andeesta
manera.
.Aquellosp¶arrafosqueseanmuyimportantesoqueseaconveniente
Recuerda
recordar,yaquepuedenconstituiralg¶undatoesencialounresumende
todolodichoseindicar¶andeestaforma.
PElenunciadodealgunosproblemasqueseanposteriormentere- Problema
sueltos.
19

20. CAP
¶
ITULO2.INTRODUCCI
¶
ON
RLaresoluci¶ondelproblemaconlosc¶alculosyexplicacionesperti-
Resoluci¶on
nentes.
20 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

21. Cap¶³tulo3
Esquema
Paraplantearunproblemadef¶³sicasepuedenseguirlossiguientespasos:
Hacerundibujoexplicativo.Estosuponehaberle¶³doantesbienelenunciado
comprendiendoexactamentequ¶edatosseofrecenyqu¶eresultadossepiden.
Elegirunsistemadecoordenadasadecuado,queser¶aaquelquenosfacilite
laposteriorresoluci¶ondelproblema.Hayquesercoherenteconelsistemade
coordenadasqueseelija,re¯riendoposteriormentea¶eltodaslascantidades
consuscorrespondientessignos.
Laelecci¶ondeunsistemadecoordenadasnosiemprees¶unica,peroencualquier
casohayquehacerunaqueotorguesencillezalproblema,porcoincidir,gen-
eralmente,conalg¶unpuntoparticularquepuedadarposteriormentem¶assim-
plicidadalplanteamientooalosc¶alculos.
Comprobarlasfuerzasqueintervienenenelproblema.Suelensersiempre
menosdelasqueparecen.Sobretodonohayqueolvidarlafuerzadegravedad,
derozamiento,posiblestensiones,fuerzasel¶asticas
1
as¶³comosusreacciones.
Considerarlasproyeccionessobrelosejes.Unavezcomprobadaslasfuerzas
queintervienenenelproblemahabr¶aqueproyectarlassobrelosejesdelsis-
temadecoordenadas,parapoderas¶³darlasuntratamientovectorial.Esta
proyecci¶onesm¶assencilladeloquesueleparecer.Bastarecordarlasrela-
cionessin®ycos®.
Plantearlasecuacionesparacadaeje.Puedenserecuacionesdin¶amicasdel
tipo
P
F=maocinem¶aticas.Hayqueserconscientesdequela\¶unica
f¶ormula"quesesueleempleares
P
~
F=m~a,peroque,como¶estaesuna
ecuaci¶onvectorial,sedescomponeentantasecuacionescomodimensionesten-
gaelmovimiento,oloqueeslomismo,entantasproyeccionescomoejestenga
nuestrosistemadecoordenadaselegido.
Comoenpasosanterioresyahemosconsideradolasfuerzasqueintervienen
ysusproyeccionesestepasonodebesersinounrecuentocuidadosodelas
fuerzasqueaparecenenundeterminadoejeodirecci¶onlig¶andolasconla
ecuaci¶oncorrespondiente.
Estepasoesestudiadom¶asampliamenteenloscap¶³tulossiguientes.
Relacionarlasecuacionesplanteadasconlosdatosquetenemosylosquequer-
emossaber.Esdecir,encontrarelsistemamatem¶aticoquenoslograr¶aencon-
trarlasoluci¶on.
1
Cuandohaymuelles.
21

22. CAP
¶
ITULO3.ESQUEMA
Resolverlossistemasmatem¶aticosinvolucrados.
¶
Esteesunmeroejercicio
matem¶aticoenelcualbuscaremoslasoluci¶onalproblema.
Interpretarlasoluci¶on.Lainterpretaci¶ondelasoluci¶onconsisteenmostrarse
cr¶³ticoshacialosresultadoslogrados,plante¶andosesiestossoncoherentescon
laintuici¶on,conloqueesper¶abamosquesaliera,sirespondenbienalcriterio
designosysistemadecoordenadaselegido,sitienenunordendemagnitud
2
apropiadoyest¶anenlasunidadesoportunas,as¶³comotodoloquenosparezca
oportunoindagarennuestrapropiasoluci¶on.
Encasodequeelresultado\parezcacorrecto"locual,lamentablemente,no
quieredecirquelosea,podremosdarporconcluidoelproblema.Encaso
contrarioesconvenientevolverarepasartodoelejercicio,olapartedelacual
nosmostremosinsegura,paraversidetectamosalgunainconsistencia.
2
Esdecir,sinosondemasiadograndesopeque~nos.
22 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

23. Cap¶³tulo4
Introducci¶onalc¶alculo
vectorial
4.1.Magnitudesescalaresyvectoriales
Llamamosmagnitudescalar,osimplementeescalar,atodamagnitudquepuede
expresarsesimplementeconun¶unicon¶umero.Porejemplo,elpesoolaalturade
unapersonaesunamagnitudescalar.
Sedenominamagnitudvectorialovectoraaquellamedidaparalacualnece-
sitamosdar\algom¶asqueuns¶olon¶umero".Porejemplo,parasaberlavelocidad
delvientoadem¶asdesuintensidad,esdecir,tantoskil¶ometrosporhora,serequiere
conocersudirecci¶onysentido,yas¶³sabersivienedelnortehaciaelsur,etc...Este
tipodemagnitudessedenominanvectores.
4.1.1.Representaci¶onmatem¶atica
Matem¶aticamenteunescalarserepresentaconun¶unicon¶umero
1
yunvector
conunaseriedecoordenadas,tantascomodimensionestengaelespacioenelque
serepresenta.
As¶³unvector~vserepresentacomo
~v=(vx;vy;vz)=vx^{+vy^|+vz
^
k;
siendovx,vyyvzlascomponentesdelvector,esdecir,susproyeccionessobrelos
ejesx,yyz.Asuvez^{,^|y
^
ksonlosvectoresunitariosenlasdireccionesdelosejes
x,yyzrespectivamente.
4.2.Operacionesvectorialesunarias
Sellamam¶odulodeunvectoraloque¶este\mide".Secalculacomo
j~vj=v=
q
v
2
x+v
2
y+v
2
z: (4.1)
Proyecci¶ondeunvectorsobreunejees\lasombra"dedichovectorsobreeleje
sila\luzqueproyectadichasombra"cayerajustoperpendicularmente.As¶³las
proyeccionesdeunvector~vsobrelosejesx,yyzser¶anvx,vyyvzrespectivamente.
1
Quenormalmentepertenecealcuerpodelosn¶umerosreales
23

24. CAP
¶
ITULO4.INTRODUCCI
¶
ONALC
¶
ALCULOVECTORIAL
Elinversodeunvectoresdichovectorconsusproyeccionescambiadasdesigno.La
sumadeunvectorysuinversodasiempreelvectornulo.
¡~v=(¡vx;¡vy;¡vz):
Vectornuloesaquelvectorcuyom¶oduloescero.Estevectoresespecial,puescarece
dedirecci¶onysentido.
~0=(0;0;0):
Vectorunitariodeotrodado~vesaqu¶elque,teniendolamismadirecci¶onysentido
queelqueseda,presentaunm¶oduloiguala1,serepresentacomo^v.As¶³
^v=
~v
j~vj
:
4.2.1.Operacionesunariasdiferenciales
Paraderivarunvector~vrespectoaunpar¶ametrotsederivacomponentea
componente.
d
dt
~v=(
d
dt
vx;
d
dt
vy;
d
dt
vz):
Paraintegrarunvector~vrespectoaunpar¶ametrotseintegracomponentea
componente.
Z
~vdt=(
Z
vxdt;
Z
vydt;
Z
vzdt):
4.3.Operacionesvectorialesbinarias
Lasoperacionesbinariasnecesitandosvectoresparapoderoperarsobreellos.
Lasm¶asconocidasson:
4.3.1.Equivalencia
Dosvectoressonigualessisuscoordenadassoniguales.Esdecir
~a=
~
b)ax=bx;ay=by;az=bz:
4.3.2.Sumayresta
Lasumadevariosvectorestambi¶ensedenominaresultantededichosvectores.
Parasumarunvector~aaotro
~
bsesumacomponenteacomponente,esdecir
~a+
~
b=(ax+bx;ay+by;az+bz):
Pararestarunvector~adeotro
~
bsesumaelinversodelvector
~
b,esdecir:
~a¡
~
b=(ax¡bx;ay¡by;az¡bz):
Larestadedosvectoresigualessoneselvectorcero.
~a¡~a=~0:
24 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

25. CAP
¶
ITULO4.INTRODUCCI
¶
ONALC
¶
ALCULOVECTORIAL
4.3.3.Productoescalar
Elproductoescalardedosvectoresdacomoresultadounescalar,comoindica
sunombre.Paramultiplicaras¶³escalarmenteunvector~aporotro
~
bseopera
~a¢
~
b=j~ajj
~
bjcos(µ): (4.2)
Siendoµel¶anguloqueformanlosvectores~ay
~
bentreellos.
Elproductoescalardedosvectores,dadassuscomponentes,sepuederealizar
tambi¶ensabiendoque
~a¢
~
b=axbx+ayby+azbz: (4.3)
Observandolasrelacionesquemarcan(4.2)y(4.3)yteniendopresentaadem¶as
larelaci¶ondelm¶odulodeunvectorexpuestaen(4.1)sepuedendeducirlassiguientes
propiedadesdelproductoescalar:
Esnulosialgunodelosdosvectoreseselvectornulo.
Esnulosilosdosvectoressonperpendiculares.
Paraproyectarunvector~asobreunejemarcadoporunvector
~
bbastacon
realizarlaoperaci¶on
proy~
b
(~a)=
~a¢
~
b
j~aj
:
Dadosdosvectoressepuedecalcularel¶anguloqueformaentreellosusando
larelaci¶on
cos(µ)=
~a¢
~
b
j~ajj
~
bj
=
axbx+ayby+azbz
q
a
2
x+a
2
y+a
2
z
q
b
2
x+b
2
y+b
2
z
:
4.3.4.Productovectorial
Introducci¶on
Elproductovectorial,representadocomo~a£
~
bobiencomo~a^
~
b,tienelas
siguientespropiedades:
Esperpendiculartantoa~acomoa
~
b.Esdecir,
³
~a^
~
b
´
?~ay
³
~a^
~
b
´
?
~
b.
Sum¶oduloesabsin®,siendo®el¶anguloqueformanentreellos.Tambi¶en,
¯
¯
¯~a^
~
b
¯
¯
¯=absin®.
Susentidoest¶adadoporlaregladelsacacorchos,entendiendoquehayque
\moverelsacacorchos"desdeelprimervectoralsegundo.
C¶alculodelascomponentesde~a^
~
b
Demostraremosen4.3.4,quiz¶asnomuyrigurosamente,perosiganandoacambio
muchoensimplicidad,comosepuedellegaraesteresultado.Encualquiercaso,para
hallarcualessonlascomponentesdelvectorproductovectorialbastaconsaberque
si~a=ax^{+ay^|+az
^
ky
~
b=bx^{+by^|+bz
^
k,entonces:
~a^
~
b=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
^{^|
^
k
axayaz
bxbybz
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=(aybz¡azby)^{+
(azbx¡axbz)^|+
(axby¡aybx)
^
k
(4.4)
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 25

26. CAP
¶
ITULO4.INTRODUCCI
¶
ONALC
¶
ALCULOVECTORIAL
Expresi¶onanal¶³ticadelproductovectorial
±Tomando~a^
~
b=~chenosexigidoquetanto~a?~ccomoque
~
b?~c.EsdecirAmpliaci¶on
axcx+aycy+azcz=0
bxcx+bycy+bzcz=0
: (4.5)
Adem¶asparecel¶ogicosuponerqueestenuevovectordeber¶aser\indepen-
diente"delsistemadecoordenadasqueelijamos,conlocualvamosatomar
unoenelqueelvector~acoincidaconelejeyyel
~
bseencuentrecontenidoen
elplanoxy,formandoentreellosun¶anguloµ.
Despejandocxenunadelasecuaciones(4.5)tenemosque
cx=
¡aycy¡azcz
ax
(4.6)
y,sustituyendoenlaotraseconsigueque
cy=
¡bzczax+bxaycy+bxazcz
byax
: (4.7)
Operandounpocoenlaexpresi¶on(4.7)detalformaquepodamosexpresar
czenfunci¶ondecytendremosque
cz=
cy(byax¡bxay)
bxaz¡bzax
(4.8)
yahoranoquedam¶asqueverelsigni¯cadodeestaexpresi¶onparalograrel
resultado¯nal.
Delasrelaciones(4.5)tenemosque~cdebeserperpendiculartantoa~a
comoa
~
by,portanto,enelcasoconcretoquehemoselegido,~cdebeestar
enelejez,esdecir,~c=¸
^
k.Ahorabien,precisamenteporestamismaraz¶on
cy=0y,seg¶unlarelaci¶on(4.8)czdeber¶³asertambi¶encero,cosaquenotiene
sentido.Unaposiblesoluci¶onser¶³ahacerverquelarelaci¶onnoesv¶alidaporque
estamosdividiendoporcero,y,yaquecytambi¶enescero,igualarambos
t¶erminos.As¶³tendr¶³amoscy=bxaz¡bzaxypodr¶³amossimpli¯carcyconel
denominador
2
.Unavezextra¶³docysetendr¶³atambi¶enquecz=byax¡bxay,
ys¶oloquedar¶³ahallarcxusandonuevamentelasecuaciones(4.5).Quedar¶³a,
noens¶³demostrado,perosirazonado,elporqu¶edeexpresarelproducto
vectorialdelamanerarese~nadaen(4.4).
C¶alculode¶areasconelproductovectorial
Antesdenada:>c¶omoesposiblequ¶eelproductovectorial,quedacomoresultado
unvector,seareutilizableparacalcularun¶area?.Responderaestapreguntaes
sencillosi,paraello,tenemosencuentaelm¶odulodelproductovectorial,queser¶aun
escalar.
Sabemosyaquej~a^
~
bj=absinÁdondeÁrepresentael¶anguloformadopor
ambosvectores.Estopuedeverseenla¯gura4.1.Tambi¶ennosdamoscuentaque
bsinÁpuedeinterpretarsecomola\altura"deltri¶anguloformadopor~a,
~
byla
uni¶ondesusdosextremos.Conloqueresultaquej~a^
~
bjresultaserlabaseapor
laalturabsinÁ,yportanto
j~a^
~
bj
2
=Atria
dondeAtriaesel¶areadeltri¶anguloanteriormentedicho.
2
Teniendopresentequeestasimpli¯caci¶onest¶amuytomadaporlospelos...yaquesetratade
0
0
.
26 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

27. CAP
¶
ITULO4.INTRODUCCI
¶
ONALC
¶
ALCULOVECTORIAL
a
b
b sin
b cos
f
f
f
Figura4.1:El¶anguloentredosvectoresysusproyecciones.
4.3.5.Productomixto
Avecessede¯neelproductomixtoentretresvectores~a,
~
by~ccomo
~a¢(
~
b^~c): (4.9)
Esteproducto,cuyoresultadopuedeversequevaaserunescalar,sepuedecalcular
tambi¶encomoeldeterminantedelamatriz3¤3queseformaconlascomponentes
delosvectores,esdecir
¯
¯
¯
¯
¯
¯
axayaz
bxbybz
cxcycz
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=axbxcx+cxaybz+azbxcy¡azbycx¡aybxcz¡axbzcy:
Unadelasutilidadesdelproductomixtoesquedaelvolumendeunparalelep¶³pe-
doformadoconlasaristasdelosvectores~a,
~
by~c,yaquesimanejamosunpoco
(4.9)tenemosque:
~a¢(
~
b^~c)=
=aj
~
b^~cjcosÁ
=abcsinÃcosÁ:
dondebcsinÃnoessinoel¶areadelabasedelparalelogramo(versecci¶on4.3.4)y
acosÁresultaserlaalturadedichoparalelep¶³pedo.El¶areadelabaseporlaaltura
nosdaelvolumendeestetipodecuerposgeom¶etricos.
±Ser¶³aunbuenejercicioparaellectorintentardemostrarm¶asrigurosa- Ampliaci¶on
menteestas¶ultimasa¯rmaciones
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 27

28. CAP
¶
ITULO4.INTRODUCCI
¶
ONALC
¶
ALCULOVECTORIAL
28 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

29. Cap¶³tulo5
Cinem¶atica
5.1.Introducci¶on
Cinem¶aticaeslapartedelaf¶³sicaqueestudiaelmovimientodeloscuerpos,
aunquesininteresarseporlascausasqueoriginandichomovimiento.Unestudiode
lascausasquelooriginanesloqueseconocecomodin¶amica.
Lasmagnitudesquede¯nelacinem¶aticasonprincipalmentetres,laposici¶on,la
velocidadylaaceleraci¶on.
Posici¶onesellugarenqueseencuentraelm¶ovilenunciertoinstantedetiempot.
Suelerepresentarseconelvectordeposici¶on~r.Dadaladependenciadeeste
vectorconeltiempo,esdecir,sinosdan~r(t),tenemostodalainformaci¶on
necesariaparalosc¶alculoscinem¶aticos.
Velocidadeslavariaci¶ondelaposici¶onconeltiempo.Nosindicasielm¶ovilse
mueve,esdecir,sivar¶³asuposici¶onamedidaquevar¶³aeltiempo.Lavelocidad
enf¶³sicasecorrespondealconceptointuitivoycotidianodevelocidad.
Aceleraci¶onindicacu¶antovar¶³alavelocidadalirpasandoeltiempo.Elconcepto
deaceleraci¶onnoestanclarocomoeldevelocidad,yaquelaintervenci¶on
deuncriteriodesignospuedehacerqueinterpretemoserr¶oneamentecu¶ando
uncuerposeacelera(a>0)ocu¶andose\decelera"(a<0).Porejemplo,
cuandolanzamosunapiedraalairey¶estacaeesf¶acilverque,seg¶unsube
lapiedra,suaceleraci¶onesnegativa,peronoestansencilloconstatarque
cuandocaesuaceleraci¶onsiguesiendonegativaporquerealmentesuveloci-
dadest¶adisminuyendo,yaquehemosdeconsiderartambi¶enelsignodeesta
velocidad.
5.2.Velocidad
Sede¯nevelocidadmediacomo
~vm=
¢~r
¢t
tomandolosincrementosentrelosinstantesinicialy¯nalqueseprecisen.
Noobstante,aunquelavelocidadmediaesunamagnitud¶util,hayquedestacar
queensuc¶alculosedejamuchainformaci¶onsinprecisar.As¶³,aunquesepamosque
lavelocidadmediadeunm¶ovildesdeuninstante1aotro2hasido antos"metros
porsegundo,nosabremossiloshahechodeformaconstante,osihaidomuylento
alprincipioyr¶apidoal¯nalosi...poresosede¯neunamagnitudqueexprese
29

30. CAP
¶
ITULO5.CINEM
¶
ATICA
lavelocidadinstant¶anea,esdecir,lavelocidadenciertoydeterminadoinstante
yquepuedacalcularsecomounavelocidadmediadondelosintervalosseantan
peque~nosquepuedadecirseexactamenteaqu¶evelocidadsedesplazabaelm¶ovilen
cadainstante.Esf¶acildarsecuentadequeestade¯nici¶onselogratomandocomo
velocidadinstant¶anea:
~v=l¶³m
¢t!0
¢~r
¢t
yportanto,coincideconlade¯nici¶ondederivadarespectoaltiempo.As¶³puesse
de¯ne¯nalmente
~v=
d
dt
~r:
Deestade¯nici¶onseobtienenalgunasconsecuencias:
Ladirecci¶onde~vvaasersiempretangentealatrayectoria.
Elm¶odulode~vpuedecalcularse,adem¶asdeoperandosobreelvector~v,sabi-
endoque
j~vj=
d
dt
s(t)
siendos(t)ladistanciaqueelm¶ovilharecorridosobrelatrayectoria
1
.
5.3.Aceleraci¶on
Aceleraci¶oneslavariaci¶ondelavelocidadenlaunidaddetiempo.Sepuede
de¯nirunaaceleraci¶onmediaentredosinstantes,inicialy¯nal,como
~am=
~vf¡~vi
tf¡ti
y,demaneraan¶alogaalavelocidad,puedede¯nirseunaaceleraci¶oninstant¶anea
llevandoestosinstantesinicialy¯nalmuycercaunodelotro,hastateneras¶³que
laaceleraci¶oninstant¶aneaesladerivadadelavelocidadrespectoaltiempo
~a=
d
dt
~v(t):
5.4.Componentesintr¶³nsecasdelaaceleraci¶on
Tomandoelvectorvelocidadcomounm¶oduloporunvectorunitarios,esdecir,
como
~v=j~vj^v
yderivandosetieneque,utilizandolaregladelproductoparalasderivadas(ap¶endice
C),
~a=(
d
dt
j~vj)^v
|{z}
tangencial
+j~vj
d
dt
^v
|{z}
normal
:
Deestasdoscomponenteslaprimerasedenominaaceleraci¶ontangencialporque,
comosedesprendedesupropiade¯nici¶on,sudirecci¶onesladelvectorunitario^vy
esportanto,tangentealatrayectoria.Laotracomponenteeslaaceleraci¶onnormal.
1
Intuitivamente,paraunautom¶ovil~rser¶³anlascoordenadasdelcochevistasdesdeunsistema
dereferenciaelegido,ys(t)ser¶³aladistanciarecorridaporelautom¶ovilquevamarcandoel
cuentakil¶ometros.
30 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

31. CAP
¶
ITULO5.CINEM
¶
ATICA
Delaaceleraci¶ontangencialdiremosquesum¶oduloes
j~atj=
d
dt
j~vj (5.1)
ysudirecci¶on
^v=
~v
j~vj
:
Esta~atseencargade\medir"lavariaci¶ondelavelocidadsinimportarlesudirecci¶on
nisentido,sinosolosum¶odulo,esdecir,su\intensidad".
Encuantoalaaceleraci¶onnormal,sepuededemostrarquesum¶oduloes
j~anj=
j~vj
2
R
; (5.2)
siendoRelradiodecurvaturadelatrayectoria,yquesudirecci¶onessiempre
perpendicularalatrayectoriayhaciaelinteriordela\curva".
5.5.Clasi¯caci¶ondemovimientos
Losmovimientossepuedenclasi¯carseg¶unlascomponentesintr¶³nsecasdesu
aceleraci¶on.
1.at=0
a)an=0.Movimientorectil¶³neoavelocidadconstante.
b)an=cte.Movimientocircularuniforme.
c)an6=cte.Movimientocircularacelerado.
2.an=0
a)at=0.Movimientorectil¶³neoavelocidadconstante.
b)at=cte.Movimientorectil¶³neouniformementeacelerado.
c)at6=cte.Movimientorectil¶³neoacelerado.
3.an6=0yat6=0.Movimientocurvil¶³neo.
5.6.Composici¶ondemovimientos
Losproblemasdecomposici¶ondemovimientostienenladi¯cultaddesaberre-
spectoaquesistemaestamosresolviendoyportantodeterminarsiemprelasmagni-
tudesrespectoalsistemaapropiado,bienelespeci¯cadoporelproblema,bienuno
elegidoadecuadamente.Escom¶unenestetipodeproblemaslapresenciadem¶asde
unm¶ovilyhayquesermuycuidadosoparaidenti¯carcorrectamentequem¶oviles
semuevenyrespectoaqu¶e.
5.6.1.Translaci¶onpura
Susrelaciones,quepuedendeducirsef¶acilmentedelasumavectorialyposterior
derivaci¶onrespectoaltiempo,son:
~r=~r
0
+~r0
~v=~v
0
+~v0
~a=~a
0
+~a0
(5.3)
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 31

32. CAP
¶
ITULO5.CINEM
¶
ATICA
Piedra
que cae.
Coche que
avanza
r
r
r
c
p
cp
Figura5.1:Relaci¶onvectorialentreunosyotrossistemas.Elconductorver¶ala
piedraquecaecomo~rcp=~rc¡~rp.
Endondeintervienenelsistema\quieto"yelquese\mueve",queesel\pri-
mado".Lasmagnitudesconelsub¶³ndice0sonlasrelativasentrelossistemasde
referencia.
Unaestrategiaquesueleresultarbastanteinteligibledeplanteareslasiguiente:
1.Plantearunsistema¯jo,respectoalcualconocemos,almenos,c¶omoesel
movimientodeunodelosotrossistemas.
2.Dibujarentonceselvectordeposici¶onquebuscamos(generalmenteeldeun
sistemarespectoalotro).
3.Relacionarestosvectoresentres¶³comosumasunosdelosotros.
Sehadibujadoestoenla¯gura5.1.
Unavezqueconocemoselvectordeposici¶onsepuedeextraerelrestodeinfor-
maci¶onderivandoorealizandolaoperaci¶onmatem¶aticanecesaria.
5.6.2.Rotaci¶onpura
Enestecasosuponemosqueunsistemagirarespectoalotroconunavelocidad
angularconstante!,peromanteniendoelorigenencom¶un.
Laf¶ormulainteresanteeslaquerelacionasusvelocidades
~v=~v
0
+~!£~r (5.4)
quepresentaunadi¯cultadunpocomayordededucci¶on,yporesonoseexpresa
aqu¶³.
Lasmagnitudesqueaparecenenestaf¶ormulason~v,queeslavelocidadqueel
m¶ovilpresentarespetoalsistema\¯jo".~v
0
,lavelocidaddelm¶ovilvistadesdeel
sistemaquerota,y!queeslavelocidadangularconlacualelsistemam¶ovilrota
respectoal\¯jo",aunquesiempremanteniendoencom¶unsuorigendecoordenadas.
Porejemplo,sihubieraunamoscaposadaenelejedeuntocadiscosygirando
con¶elaunaciertavelocidadangular!,queobservaraaunmosquitoavanzar
poreldiscoconunavelocidad~v
0
,vistadesdeelpuntodevistadelamosca,que
est¶arotando,enestecaso:
~vSer¶³alavelocidaddelmosquitovistadesdeelejedeltocadiscos,peroel
observador¯jo,esdecir,singirar.
~v
0
eslavelocidadconlacuallamosca,quegira,vealmosquitodesplazarse
poreldisco.
32 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

33. CAP
¶
ITULO5.CINEM
¶
ATICA
!eslavelocidadangulardeldisco.
~reselvectordeposici¶ondelmosquito,enelsistema¯jo.
5.7.Resoluci¶ondeproblemas
5.7.1.Tiroparab¶olico
Sedenominatiroparab¶olico,engeneral,aaquellosmovimientosquesucedende
formabidimensionalsobrelasuper¯ciedelatierra.
Paraestetipodem¶ovileselmovimientosedescomponeensuscomponentes
2
x
ey.Elmovimientoenxnosufreaceleraci¶on,yportantosusecuacionesser¶an
Ejex
½
x=x0+v0xt
vx= v0x
(5.5)
peroencambioenelejeysedejasentirlafuerzadelagravedad,supuestaconstante
3
yportantosusecuacionesser¶an
Ejey
½
y=y0+v0yt¡
1
2
gt
2
vy= v0y¡gt
: (5.6)
Algunaspreguntast¶³picasdeltiroparab¶olicosoncalcularelalcanceyaltura
m¶axima.Estaspreguntassepuedencontestarsabiendoquelaalturam¶aximase
alcanzar¶acuandovy=0.Deestacondici¶onseextraeeltiempoquetardaenalcanzar
laalturam¶aximaysustituyendoenlaecuaci¶ondelasyseobtienelaalturam¶axima.
Elalcancem¶aximosepuedecalcularrazonandoque,paracuandoestosuceda,el
m¶ovilvolver¶aestaralniveldelsueloyportantoy=0,sustituyendoseobtienet
y,sustituyendo¶esteenlasxelresultado.Otrascantidadessepuedenconseguirde
manerasimilar.
¦x0ey0ser¶anlascoordenadasdondeelm¶ovilseencuentraenelinstante Nota
t=0,iniciodelmovimiento,yvx0yvy0lavelocidadconlaquesemueve
eneseinstante.Sinoshanindicadoqueelm¶ovilsemov¶³aconunavelocidad
vformandoun¶angulo®conlahorizontalsepuedevermuyf¶acilmenteque,
entonces,vx0=vcos®yvy0=vsin®.
Asuvezelsigni¯cadodelasvariablesxeyeselsiguiente:¶estasnos
indicanaquedistanciahorizontal(x)yaltura(y)seencuentraelm¶ovilencada
instantedetiempot,considerandoqueestamostomandocomoorigenpara
medirestasdistanciashorizontalesyalturasdesdeelsistemadecoordenadas
respectoalcualestemostomandotodoslosdem¶asdatos.
±Sepodr¶³ahacerunestudiom¶ascomplejoincluyendoelrozamientodel Ampliaci¶on
aire.Paraestohabr¶aquemodi¯carlasecuacionesxeyalasnuevasecuaciones
deducidasenelap¶endiceB.
5.7.2.Componentesintr¶³nsecas
PSeaunm¶ovilcuyovectordeposici¶ones Problema
~r=(7¡3t)^{+(5t¡5t
2
)^|+8
^
k(m):
Calcularsuvelocidad,aceleraci¶onycomponentesintr¶³nsecasde¶esta,
as¶³comoelradiodelatrayectoriaparat=0;5s.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 33

34. CAP
¶
ITULO5.CINEM
¶
ATICA
RDerivoparaencontrar~vy~a.Unaprimeravez Resoluci¶on
~v=
d
dt
~r=¡3^{+(5¡10t)^|
m
s
yunasegundavez
~a=
d
dt
~v=¡10^|
m
s
2
:
Ahoracalculoelm¶odulodelavelocidad:
j~vj=
p
9+(5¡10t)
2
=
p
34¡100t+100t
2
m
s
que,derivadorespectoaltiemponosdar¶aelm¶odulode~at.
j~atj=
d
dt
p
34¡100t+100t
2
=
100t¡50
p
34¡100t+100t
2
m
s
2
ymultiplicandoporelunitariode~v,quees
^v=
¡3^{+(5¡10t)^|
p
34¡100t+100t
2
nosdaelvector~at
~at=
100t¡50
34¡100t+100t
2
(¡3^{+(5¡10t)^|):
m
s
2
Por¶ultimopodemoscalcular~ancomo~a¡~at.Haciendolasoportunas
sustitucionestendremosqueparat=0;5s,~v=¡3^{
m
s
,~a=¡10^|
m
s
2,
~at=~0
m
s
2conlocual~an=¡3^|
m
s
2ydeestaforma,podremosdespejarel
radiodelatrayectoria,queser¶a
R=
v
2
an
=3m:
5.7.3.C¶alculodetrayectorias
PDadoelvectordeposici¶ondeunm¶ovilProblema
~r=15t^{+(200¡5t
2
)^|;
calculelaecuaci¶ondesutrayectoria.
REstetipodeproblemasseresuelveengeneraldespejandotenunaResoluci¶on
delasecuacionesdexodeyysustituyendoenlaotra,encontrando
as¶³xenfunci¶ondeyoalrev¶es.Enestecasotenemosque
x=15t)t=
x
15
ysustituyendoen
y=200¡5t
2
tendremos
y=200¡5
³
x
15
´
2
)y=200¡
1
45
x
2
:
2
Vectores^{y^|.
3
Aproximaci¶onv¶alidasiemprequeeltirodiscurraenlasuper¯cieterrestreo\apreciablemente"
enlasuper¯cieterrestre.
34 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

35. Cap¶³tulo6
Din¶amica
6.1.Introducci¶on
As¶³comolacinem¶aticaseencargadeladescripci¶ondelmovimientodeloscuer-
pos,aunquesinentrarendetallesdelacausaquehacemovera¶estos,ladin¶amica
estudiaprecisamenteporqu¶esemuevenloscuerpos,esdecir,cu¶alessonlascausas
quecreanlavariaci¶ondesuestadodemovimiento.
6.2.LeyesdeNewton
6.2.1.Leydelainercia
Laleydelainerciasepodr¶³aenunciarcomo
.Todocuerpopermaneceensuestadoactualdemovimientocon Recuerda
velocidaduniformeodereposoamenosquesobre¶elact¶ueunafuerza
externanetaonoequilibrada.
dondelafuerzanetadelaquehablamosantesser¶³alasumavectorialdetodaslas
fuerzasquepuedanactuarseparadamentesobreelcuerpo.
¦
¶
Estaeslaraz¶onporlacualestanpeligrosoparalosastronautasen Nota
elespaciosepararsedelanavesinuncord¶onquelosunaaella,yaquesi
chocanconalgoysalenimpulsados,comonoact¶uaningunafuerzasobre
ellos,seguir¶andesplaz¶andoseuniformementeysepar¶andosedelanavesin
posibilidaddevolveraella(anoserquetenganunpeque~noimpulsor).
6.2.2.SegundaleydeNewton
Estaleyeslam¶asimportanteencuantonospermiteestablecerunarelaci¶on
num¶ericaentrelasmagnitudesuerza"y\aceleraci¶on".Sepodr¶³aenunciarcomo
.Laaceleraci¶onquetomauncuerpoesproporcionalalafuerzaneta Recuerda
externaqueseleaplica.
Laconstantedeproporcionalidadeslamasadelcuerpo,conloquenum¶ericamente
estaexpresi¶onsedenotacomo
~
F=m~a (6.1)
o,encomponentes
Fi=mai;i=1;2;3 (6.2)
35

36. CAP
¶
ITULO6.DIN
¶
AMICA
donde
~
Frepresentalaresultantedetodaslasfuerzasexternasalcuerpo,esdecir,
lasumadedichasfuerzas.
~
F=
P
~
Fj;j=1;:::
Estaexpresi¶onnosrelaciona
~
F,my~adeunaformaun¶³voca.B¶asicamentenos
dicequeelresultadoqueproducenunaseriedefuerzassobreuncuerpoesquedicho
cuerposeacelereenlamismadirecci¶onysentidoquelasumadelasfuerzasquele
sonaplicadasyconunaintensidadom¶oduloqueser¶alamismaquelaresultante
delasfuerzasdivididaentrelamasadelcuerpo.
¦As¶³puesuncuerpoexperimentaunaaceleraci¶onmientrasest¶asien-Nota
dosometidoaunafuerzaresultantenonula.Sidichafuerzacesaelcuerpo
adquirir¶³aunmovimientorectil¶³neouniformeosequedar¶³aquieto,seg¶unel
caso.
6.2.3.TerceraleydeNewton
LaterceraleydeNewtonexpresaunainteresantepropiedaddelasfuerzas:¶estas
siempresevanapresentarenparejas.Sepuedeenunciarcomo
.SiuncuerpoAejerce,porlacausaquesea,unafuerzaFsobreRecuerda
otroB,esteotrocuerpoBejercer¶asobreAunafuerzaigualenm¶odulo
ydirecci¶on,perodesentidocontrario.
Graciasaestaley
1
sepuedenentenderfen¶omenoscomoque,parasaltarhacia
arriba<empujamoslaTierracontodasnuestrasfuerzashaciaabajo!.Alhaceresto
laTierratambi¶enejerceestamismafuerzaconnosotros,peroconsentidocontrario
(esdecir,haciaarriba)ycomolamasadelaTierraesenormeencomparaci¶on
conlanuestra,elresultadoesquenosotrossalimosdespedidoshaciaarribapero
laTierranosemueveapreciablemente.As¶³tambi¶ensiempujamosunasuper¯cie
puntiagudaconmuchafuerza,podemosclav¶arnosla,porquedichasuper¯cietambi¶en
estar¶aempujandonuestrodedoconlamismafuerzaquenosotrosaella,ycomola
super¯ciedelaagujaesmuch¶³simomenorlapresi¶onqueestahacesobrenuestro
dedoesmuygrande.
¦Entonces,siatodafuerzaqueseejerceseoponeotradesentidocontrarioNota
>nodeber¶³ananularselasfuerzasynadasepodr¶³amover?.No,porquelas
fuerzasseejercenencuerposdiferentes.As¶³enelejemplodelsalto,nosotros
empujamosalaTierraylaTierraanosotros,peroestasfuerzasnoseanulan
porque,comoesevidente,nosotrosylaTierrasomoscuerposdistintos.
6.3.Fuerzasespecialesqueaparecenenproblemas
6.3.1.Normal
Pornormalseentiendelafuerzaconlaqueunasuper¯cieseoponeauncuerpo
queselesit¶uaencima.Sinoexistieraestafuerzaelcuerpose\hundir¶³a"enla
super¯cie.
¶
Estaes,portanto,lafuerzadereacci¶onque,obedientealtercerprincipio
deNewton,lasuper¯cieoponealempujequeelcuerpo,porencontrarseencima,
hacesobreella.
Estafuerzaessiemprenormalalasuper¯cie,esdecir,perpendiculara¶esta.Para
calcularsuvalorhayqueserbastantecuidadosoyhacerunbalancedelasfuerzas
enlosejesquetomemos,utilizandolanormalparacompensarlasotrasfuerzasde
laformaenqueseanecesario.
PCalculelanormalqueunamesaejercesobreuncuerpode10kgsiProblema
elcuerpoest¶aenreposo.
1
Tambi¶enllamadaleydeacci¶onyreacci¶on
36 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

37. CAP
¶
ITULO6.DIN
¶
AMICA
RSielcuerpoest¶aenrepososigni¯caquesuaceleraci¶ontotales Resoluci¶on
nula.EntoncesaplicandolasegundaleydeNewtonaunejevertical
tendremosque
0=N¡P
dondehemossupuestoquelamesaest¶aperfectamentehorizontalypor
tantolanormaltendr¶as¶olounacomponenteenelejey.As¶³tendremos
queN=PyportantoenestecasoN=mg.
Elc¶alculodelanormalenuncasodondehayauncuerpodesliz¶andoseporuna
rampapuedeencontrarseenlasecci¶on6.6.
6.3.2.Rozamiento
Entredossuper¯cies
Elrozamientoentresuper¯ciesseexpresacomo
Fr=¹N;
siendosiempredesentidoopuestoaldelmovimiento.Esteresultadonosepuede
\demostrar"porquesetratadeunresultadoemp¶³rico,esdecir,frutodelaexperi-
mentaci¶on.
Elcoe¯cientederozamiento¹esadimensionalyexpresaas¶³larelaci¶onentre
lanormalqueelcuerpoejerce,esdecir,lafuerzaconlaqueelcuerpoempujala
super¯ciedebajodelacualseencuentra,yelrozamientoquevaasufrirporcausa
deesteempuje.Puedehaberdostiposdecoe¯cientederozamiento.Un¹est¶atico,
queseaplicacuandoelcuerpoest¶aquietoyqueas¶³,utilizadoenFr=¹Nnosvaa
ofrecerlafuerzam¶aximaconlaqueelrozamientosevaaresistiraquesemuevaun
cuerpoqueest¶aquieto,yun¹din¶amicoque,aplicadoenlaf¶ormuladerozamiento,
nosdicelafuerzaqueelrozamientoest¶arealizandocontraunmovimiento.
PUncuerpode4kgest¶adeslizandoporunasuper¯cielisaconcoe¯- Problema
cientederozamiento(din¶amico)¹=0;25.Sisobreestecuerponoact¶uan
m¶asfuerzasqueelpesoydichafuerzaderozamiento>conqu¶eacel-
eraci¶onsemueveelcuerpo?.
RAplicandolaecuaci¶ondeNewtonalejeydelmovimientoobten- Resoluci¶on
emosque,enesteeje,lasfuerzasqueaparecensonelpesoylanormal
y,portanto,
N¡P=may:
Comoay=0(uncuerposobreunasuper¯cienovaotando"sobre
ella,sualtura,medidasobrelasuper¯cie,essiempre0.)tendremosque
N=mg.AplicandoahoraFx=maxtenemosquela¶unicafuerzaenel
ejexesladerozamiento,yportanto
Fx=¡Fr=¡¹N=max)ax=¡¹g
dedondeax=¡2;45
m
s
2.Elsigno`-'sedebeaque,comoestamos
suponiendoimpl¶³citamentequeelcuerpoavanzahaciaelsignoposi-
tivodelasx,elrozamientoseopondr¶aalavanceytendr¶a,portanto,
signonegativo.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 37

38. CAP
¶
ITULO6.DIN
¶
AMICA
Conun°uido
±Rozamientoconun°uido
2
seexpresacon Ampliaci¶on
~
Fr=¡K~v
obien
Fr=¡Kv
2
uotraspotenciasdev.Unaaplicaci¶onalgocomplejasobrelaformadeuti-
lizarestafuerzaderozamientopuedeverseenelap¶endiceB.Noessencillo
demostrarporqu¶eestacontribuci¶onnosaportaelrozamientocontraun°uido
y,enalgunoscasos,espormediodelaexperimentaci¶oncomoseencuentra
unaf¶ormulaemp¶³ricam¶asprecisa.
Tensi¶on
Enproblemasqueintervienencuerdasopoleastensi¶oneslafuerzaqueligaunos
cuerposyotrosatrav¶esdelacuerda.Latensi¶onencadaextremodeunamisma
cuerdaessiempreigualperodesentidocontrario.Siestatensi¶onsuperauncierto
valorcr¶³ticolacuerdaseromper¶³a.
6.4.Elmomentolineal
LaleydeNewton,expresadacomo
~
F=m~apuedeserutilizadatambi¶enpara
demostrarotrasrelacionesinteresantes,siemprequesemanipuleadecuadamente.
Porejemplo,side¯nimosunacantidad~palaquellamaremoscantidadde
movimiento,podemosdecirqueunafuerzaeslaencargadadevariarlacantidadde
movimientosobreuncuerpo.Deestaformade¯namos~ptalque
~
F=
d
dt
~p:
Lapreguntaser¶aahora>tendr¶a~palgunaexpresi¶onconocida?.Supongamosque
uncuerpoconmasaconstantevaaciertavelocidad~v.Unafuerzasobre¶elde-
ber¶aproducirleunaaceleraci¶ony,portantovariarsuvelocidadysumomento
lineal.As¶³puesvelocidadymomentolinealdebendeirrelacionadosdealgunafor-
ma.Efectivamentetomando~p=m~vnosdamoscuentadeque
d
dt
m~vcuandomes
constateesm
d
dt
~v=m~a=
~
F.
Portantohemosdescubiertounanuevamagnitud~pquenosser¶adegranutilidad
paradesarrollossucesivos.
¦UnaformaintuitivadecomprenderelmomentolinealescomounaformaNota
demedirladi¯cultaddellevarunapart¶³culahastaelreposo.As¶³esclaro
que,cuantom¶asmasivoseauncuerpoym¶asvelocidadtenga,tantom¶asnos
costar¶a\parar"elmovimientodedichocuerpo.
6.4.1.Conservaci¶ondelmomentolineal
Cuandolaresultantedelasfuerzasexternassobreunsistemaesnula,>qu¶esucede
con~p?.Comolafuerzaesladerivadadelmomentolinealrespectoaltiempo,obten-
emosque,cuandolafuerzatotalescero,estacantidadquesederivadebeser
constantey,portanto,si
~
F=~0estosupone~p=cte.Hemosobtenidoas¶³queesta
magnitudtaninteresante,elmomentolineal,seconserva,esdecir,novar¶³a,cuando
noaparecenfuerzasexternassobreunobjeto.Portantopodemosdecirque
~pi=~pf:
2
Aire,agua,aceite...
38 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

39. CAP
¶
ITULO6.DIN
¶
AMICA
mg sena
mg cosa
x
y
a
N
mg
a
Figura6.1:Descomposici¶ondelasfuerzasenunplanoinclinado.
Laimportanciadeestaigualdadsepodr¶avermejorcuandohablemosdelos
sistemasdepart¶³culas,concretamenteenlasecci¶on8.3.3.
6.5.Conservaci¶ondelaenerg¶³a
Cuandoenunproblemaintervienensobreelsistema¶unicamentefuerzascon-
servativas
3
sepudeaplicarelteoremadeconservaci¶ondelaenerg¶³a.Estosupone
que
Ei=Ef;
siendoEiyEflassumasdelasenerg¶³aspotencialesm¶aslaenerg¶³acin¶eticaenlos
momentosiyf
4
.
Laexplicaci¶ondeestaigualdadtaninteresantenoseexpresaaqu¶³porquese
ver¶am¶asconcretamenteenelcap¶³tulo7.4.
6.6.Resoluci¶ondeproblemas
6.6.1.Planosinclinados
Escom¶unenlosproblemaslapresenciadeplanosinclinados.Enestoscasos
habr¶aquetenerencuentaque,as¶³comolagravedadsiempresepresentavertical,la
normalser¶aperpendicularalplanoinclinado,porloquening¶unsistemadecoorde-
nadasortogonaltendr¶aexactamentecomprendidaslasfuerzasenacci¶onensusejes.
Estapeque~nadi¯cultadsesoslayadeunamanerasimple,seproyectanlasfuerzas
sobrelosejesqueestemosutilizando.
Unabuenaelecci¶onsuelesertomarelejeyenlanormalalplanoinclinado,yel
ejexacordeconsusuper¯ciededeslizamiento.Deestaformalanormalestar¶ato-
talmentecomprendidaenelejey,ys¶olohabr¶aqueconsiderarlasproyeccionesde
gusuales;gcos®paralanormalygsin®lacomponentedelagravedadquehace
desplazarseelveh¶³culohaciaabajoenelplanoinclinado.Todoestosepuedeveren
la¯gura6.1.
PUncuerpodeslizaporunarampainclinada30
o
yconuncoe¯ciente Problema
3
B¶asicamente,siemprequenohayrozamiento.
4
Llamadosas¶³porinicialyfinal.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 39

40. CAP
¶
ITULO6.DIN
¶
AMICA
a b
1
2
m m
1
2
m
m
Figura6.2:>Cu¶alser¶alaaceleraci¶ondeestesistema?
derozamiento¹=0;2.Calcularlaaceleraci¶onconlaquedesciende
suponiendoqueg=9;8
m
s
2.
RTomemosparaenfocaresteproblemaelgr¶a¯corepresentadoenlaResoluci¶on
¯gura6.1.Habremosdeaplicarlaecuaci¶ondeNewton
~
F=m~a
paraunsistemaadecuadodeejes.Sevanatomarcomoejesunostales
queelejexpresentelamismainclinaci¶onquelarampa.Deestaforma
planteandolaecuaci¶onprimeroparaelejey:
Fy=may
ycomolasfuerzasenelejeysonlanormal(componentepositiva)yla
proyecci¶onsobreesteejeydelpeso(componentenegativa)tendremos
que
N¡mgcos30=ma:
Ahorahayquedarsecuentaque,enelejeyelcuerponoseacelera
porque,comoenning¶unmomentosedespegadelasuper¯cie,siempre
suy=y,portanto,ay=0.As¶³quetenemosqueN¡mgcos30=0)
N=mgcos30.
Paraelejextenemosdosfuerzas,laproyecci¶onsobrenuestroejex
delpesoylafuerzaderozamiento.As¶³pues
Fx=max)mgsin30¡¹N=max
yhaciendolasoportunassustitucionespodemosdespejarax,queesla
aceleraci¶ondelsistema.
ax=gsin30¡¹gcos30¼3;2
m
s
2
:
Cuandoaparecenvarioscuerposunidosporcuerdashayquehacerestemismo
an¶alisisparacadacuerpo,incorporandocomofuerzalatensi¶onqueejercenlascuer-
dasyd¶andosecuentadequeaxser¶alamismaparatodosloscuerpos,puestoque
siseencuentranunidosporcuerdassumovimientoser¶asolidario.
PEncontrarlaaceleraci¶ondelsistemadibujadoenla¯gura6.2.Problema
40 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

41. CAP
¶
ITULO6.DIN
¶
AMICA
RTomemosprimeroelcuerpo1yanalicemoslasfuerzasqueapare-
Resoluci¶on
censobre¶el.Podemos,aprovechandoelan¶alisisdelproblemaanterior,
darnoscuentadequeunestudiodelasfuerzasperpendicularesalasu-
per¯cievaadarnoss¶olocomoresultadoqueN1=m1gcos®.As¶³que
lasfuerzashorizontalesser¶an,tomandocomosentidopositivohaciala
derecha:
1.Latensi¶on,positiva.
2.Lacomponentexdelpeso,devalor¡m1gsin®.
3.Elrozamiento,queser¶a¡¹1N1=¡¹1m1gcos®.
Paraelcuerpo2setendr¶anlasfuerzas:
1.Tensi¶on,negativaparaestecuerpo.¡T
2.Componentexdelpeso:m2gsin¯.
3.Rozamiento,¡¹2N2=¡¹2m2gcos¯.
Quedaahoraplantearelsistemadeecuacionesqueresolver¶aesteprob-
lema.Anteshayquedarsecuentaquelacomponentexdelaaceleraci¶on
debeserlamismaparaamboscuerpos,yaquevansolidariosgraciasa
lacuerda.Llamaremosaestacomponentedelaaceleraci¶onsimplemente
a.
T¡m1gsin®¡¹1m1gcos®=m1a
¡T+m2gsin¯¡¹2m2gcos¯=m2a
¾
:
Resolviendoestesistema(porejemplosumandolasecuacionesmiembro
amiembro)seobtienef¶acilmenteque
a=
m2sin¯¡¹2m2cos¯¡m1sin®¡¹1m1cos®
m1+m2
g:
6.6.2.Curvas
Cuandoaparecenproblemasdeestabilidadenlascurvaspuedenserdelostipos
explicadosacontinuaci¶onycuyarepresentaci¶onsehapretendidoenla¯gura6.3.
Curvassinperaltar
Enestoscasoslafuerzaderozamientoeslaquenosproporcionatodalacom-
ponentenormalqueservir¶aparatomarlacurva.Siemprequetengamosque¶esta
esmayorquelaaceleraci¶onnormalelautom¶ovilser¶acapazdetomarlacurva,es
decir,elcasol¶³mitesealcanzacuando
Fr=man=m
v
2
R
.
Curvasperaltadassinrozamiento
Enestoscasossetomalaproyecci¶ondelanormalsobrelahorizontalcomo
causantedelafuerzacentr¶³peta.Estecasosepuedeverenla¯gura6.3bysetiene,
simplemente,que:
tan®=
m
v
2
R
mg
=
v
2
Rg
:
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 41

42. CAP
¶
ITULO6.DIN
¶
AMICA
mg
a)
F
r
mg
b)
FI - 1313 - J
mg
F
n
Ángulo
máximo
c)
N
a
Figura6.3:Distintassituacionesanteunacurva.
Curvasperaltadasconrozamiento
Esteesuncasobastantem¶ascomplejodeanalizar.Podr¶³aserunbuenejercicio
paraellectorintentardemostrarque,enestecaso,lavelocidadl¶³miteparatomar
lacurvasiendoglaaceleraci¶ondelagravedad,¹elcoe¯cientederozamiento,®el
¶angulodeinclinaci¶ondelacurvayRelradiodelamisma,es
v=
r
Rg
¹+tan®
1¡¹tan®
:
Vuelcos
Enotrassituacionessepidequeanalicemossivuelcaonounautom¶ovil.Se
consideraquevuelcacuandolafuerzasobreelcentrodemasassuperael¶anguloque
formaelcentrodemasasconalgunodelosextremosdondeseapoyaelveh¶³culo.
Undibujopuedeverseenla¯gura6.3.(Esteapartadonecesitaactualizaci¶on).
6.6.3.Casosl¶³mite
Escom¶unlaexistenciadeproblemasenlosquesenospreguntaporuncaso
l¶³mite,relacionadoconcuandounm¶ovilsesaldr¶adeundeterminadorecorrido,
opodr¶adarunavueltacompletaenunbucle,osimilar.Enestoscasoshayque
tenerencuenta,simplemente,queuncuerpopermanecer¶aadheridoaunasuper¯cie
mientrasexistaunaciertareacci¶ondelasuper¯ciealcuerpo,esdecir,mientrasla
normalnoseanula.Cuandolanormalesnulaestamosanteelcasol¶³mite.
Tambi¶enesmuyconvenienterecordarque,enlamayor¶³adeestoscasos,los
cuerpossiguenunatrayectoriacircular.Puesbien,habr¶aquerecordarqueeste
recorridocirculars¶oloesposiblesiexisteunaaceleraci¶oncentr¶³petadelm¶odulo
adecuadoalavelocidadyradiodelatrayectoria,(ver(5.1)y(5.2))conloque
habr¶aquerealizarladescomposici¶onoportunadefuerzasparaverqu¶eparteesla
quesuministraestacomponentey,cuandolasfuerzasexterioresnoseancapacesde
suministrarestaaceleraci¶onnormal,noshallaremosconelcasol¶³miteyelcuerpo
sesaldr¶³adesutrayectoriacircularo,ende¯nitiva,dejar¶³adehacerla.
PCalcularlaalturam¶³nimadesdelaquehayquedejarcaerunProblema
objetoparaquelogredarlavueltaaunbucleentero,comoeldibujado
enla¯gura6.4.Sedespreciantodoslosrozamientosquepudierehaber.
42 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

43. CAP
¶
ITULO6.DIN
¶
AMICA
h
R
A
B
Figura6.4:>Desdequ¶ealturapodr¶aunamasarealizarunbucle?.
RAnalizandolasfuerzasqueseejercensobreelcuerpocuando¶esteResoluci¶on
seencuentreenelpuntoBdelatrayectoria,tenemosque,tomando
comosentidopositivohaciaarriba,elpesoser¶a¡mg,lanormalen
estecasoeshaciaabajoporquelafuerzaquerealizalasuper¯ciesobre
elcuerpoessiempreevitandoqueeste\atraviese"lasuper¯cie,yen
estecaso\atravesar"lasuper¯ciesupondr¶³aempujarlaenexcesohacia
arriba,conlocual,tomandoNcomoelm¶odulodelanormal,lanormal
ser¶a¡N.Por¶ultimoelefectodeestasdosfuerzasser¶aproduciruna
aceleraci¶onpero,comoenestecasoelobjetoest¶arotando,noser¶auna
aceleraci¶oncualquierasinounaaceleraci¶onpuramentenormaly,por
tanto,dem¶odulo
a=
v
2
R
ysentidotambi¶enhaciaabajo(haciaelcentrodelacurva).Deesta
maneratendremosqueelan¶alisisdefuerzasenlapartem¶asaltadel
bucle(puntoB)es
¡mg¡N=¡m
v
2
R
:
>Qu¶esigni¯caestaf¶ormula?.Loquesigni¯caesquesonelpesoyla
normal,losque\empujan"alcuerpohaciaabajooblig¶andoleagirary
realizarunatrayectoriacircular.Ahorabien,si\mentalmente"vamos
disminuyendovenlaf¶ormula,nosdamoscuentadequeelt¶erminode
laaceleraci¶onnormalvasiendom¶aspeque~no,yportantolafuerza
centr¶³petatambi¶en.>C¶omoselograesto?.Comoelpesoesconstante
s¶olosepuedelogrardisminuyendolafuerzaqueejercelanormal.Cuando
lafuerzacentr¶³petaseaigualqueelpesodelcuerpotendremosqueen
esteinstantelanormalescero.>Ysiesmenorlafuerzacentr¶³petaque
elpeso?.Entoncesdeber¶³amostenerunanormalpositiva,esdecir,que
\empujara"haciaarriba.Peroestoesimposible,porqueclaramenteseve
quelassuper¯ciesno\absorben"loscuerpos,queesloquesupondr¶³aque
lanormaltuvierasignocontrario.Porlotantosim
v
2
R
<mgelcuerpono
puederotarcorrectamenteycaer¶³asali¶endosedelbucle.Intuitivamente
sucedeque,comolafuerzacentr¶³petanonecesitatantopeso,\sobra
componentevertical"y,portanto,elcuerpocae.
As¶³puesdeducimosquelavelocidadl¶³miteconlaquedebellegarel
cuerpoarribaestalquem
v
2
R
=mg)v=
p
gR.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 43

44. CAP
¶
ITULO6.DIN
¶
AMICA
Por¶ultimo,pararelacionarestavelocidadconlaalturautilizamosel
teoremadeconservaci¶ondelaenerg¶³a,yaquenohayrozamientos.As¶³
E
A
c+E
A
p= 0+mgh
E
B
c+E
B
p=
1
2
mv
2
+2mgR
¾
)mgh=
1
2
m
³p
gR
´
2
+2mgR
yconunsimplec¶alculoseobtieneque
h=
5
2
R:
Aunqueentenderintuitivamentededondesaleeste
1
2
Rm¶asdelo
queparecequesenecesitaparallegaralpuntom¶asaltodelbucleno
essencillo,sipuedeintentarsepensandoque,alllegaralapartem¶as
altadelbucleserequiereunm¶³nimodeenerg¶³acin¶eticaparaseguir
desplaz¶andosehacialaderecha,perolasu¯cienteparaqueelcuerpo
sigagirando.Estem¶³nimoloproporcionaesaalturaextra.
44 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

45. Cap¶³tulo7
Consideracionesenerg¶eticas
7.1.Introducci¶on
Losconceptosdetrabajoyenerg¶³asondegranimportanciaenf¶³sica,ytambi¶en
sonmuyutilizadosenlavidacotidiana.Noobstanteelusohabitualdeestoscon-
ceptosenlavidadiarianosiemprecoincideconsuideaf¶³sica,porloquehabr¶aque
tratarlaintuici¶onconciertocuidadocuandolaapliquemosalassituacionesenlas
queintervieneneltrabajoylaenerg¶³a.
7.2.Trabajo
Sede¯netrabajocomo
W=
Z
~
F¢d~r: (7.1)
LaunidaddeltrabajoeselJulio.UnJulioequivaleaunNm.Silafuerza
aplicadaesconstante,entoncessepuededecirque
W=
~
F¢~r=Frcos®; (7.2)
endonde®esel¶anguloqueexisteentrelal¶³neadeaplicaci¶ondelafuerzayel
desplazamientodelcuerpo.
¦Setieneas¶³queunafuerzaaplicadaperpendicularmenteaundesplaza- Nota
mientonoproducetrabajo.Porejemplo,avanzarhorizontalmentemientrasse
sujetaunabolsanoproducetrabajo,porquelafuerzaaplicadaesverticaly,
portanto,perpendicularaldesplazamiento.>C¶omosepuedeentenderesto
intuitivamente?.Realmenteunoasocialapalabratrabajocon\cansancio"y,
portanto,parecequellevarunapesadabolsadeber¶³aproducirtrabajof¶³sico,
porquecansa.Paraentenderestasituaci¶onpodemospensarquerealmenteno
esnecesariosujetarpersonalmentelabolsaaciertadistanciadelsuelo,puesto
queestamismaacci¶onpuederealizarlaunsoporteconruedas,porloqueel
trabajoaut¶enticoconsisteendesplazarelobjetoparalelamentealasfuerzas
queseoponena¶el,comopodr¶³aserenestecasoelrozamientodelsoportecon
elsuelo.
P>Cu¶antoeseltrabajoqueproducelanormalsobreuncuerpoque Problema
realizaundesplazamientosobreunasuper¯ciecualesquiera?
RNinguno,porquelafuerzanormalsiempreesperpendicularal
Resoluci¶on
desplazamientodelcuerpoyportanto,eltrabajo(producidoporla
normal)ser¶anulo.
45

46. CAP
¶
ITULO7.CONSIDERACIONESENERG
¶
ETICAS
Ahorabien.>C¶omopodemosde¯nireltrabajosilafuerzaesvariable,osila
trayectoriaescurva?.Enesecasosuponemosv¶alidalade¯nici¶ondetrabajopara
unatrayectoriamuypeque~na(in¯nit¶esima)ysumamos(integramos)atodoslos
\peque~nostrozosdetrayectoria".
Esdecir:
W2¡W1=
Z
2
1
~
F¢d~r (7.3)
PUnni~noarrastrauntrineodurante100metros.ParahacerlotiraProblema
deunacuerdaconunafuerzade80Newtonformandoun¶anguloconel
suelode30
o
.>Cu¶aleseltrabajoproducido?
RUtilizandolaf¶ormula(7.2)tenemossimplementeque:Resoluci¶on
W=80¢100cos30=6928;20J
.Lasde¯nicionesdetrabajoson:Recuerda
W=
Z
~
Fd~r
W=
~
F¢~r=Frcos®
7.2.1.Trabajoconservativo
Trabajoconservativoesaquelproducidoporlasfuerzasconservativas.Una
fuerzaesconservativasieltrabajoquerealizanodependedelrecorridosinos¶olo
delospuntosinicialy¯nal,esdecir,independientementedelitinerarioseguido.Si
uncuerposedesplazadesdeunpuntoAhastaotroBbajolaacci¶ondeunafuerza
conservativaeltrabajorealizadopordichafuerzaser¶aelmismoindependientemente
delitinerariodelcuerpo.
Estasfuerzassonmuyimportantesporqueparaellassepuedede¯nirunamag-
nituddenominadaenerg¶³apotencial(ver7.5.2).Ejemplosdefuerzasconservativas
sonlasfuerzasconstantes(aquellascuyovaloreselmismoparatodoslospuntos
delespacio)ycentrales(lasquepresentanlaformafuncionalf(~r)=f(r)^r).
.Trabajoconservativoesaqu¶elques¶olodependedelospuntosinicialRecuerda
y¯naldelatrayectoria.
7.3.Potencia
Lapotenciasede¯necomoeltrabajorealizadoporunidaddetiempo,esdecir
P=
dW
dt
(7.4)
donde,sieltrabajoesconstante,sepuedeexpresarcomo
P=
W
t
; (7.5)
ysilafuerzaesconstantesepuededecirque
P=
~
F¢~v: (7.6)
LaunidaddelapotenciaeselWattoVatio.(W).
46 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

47. CAP
¶
ITULO7.CONSIDERACIONESENERG
¶
ETICAS
.Potenciaeseltrabajorealizadoporunidaddetiempo.Recuerda
¦Lamagnitudpotenciapuedeservirparaentenderalgunassituacionesde Nota
lavidacotidiana.Porejemplolosmotoresdeloscoches(suponiendoquela
presi¶onqueseejercesobreelaceleradoresconstante)desarrollanunapotencia
quepodemosconsiderarconstante.Estosuponeque,comosededucedela
f¶ormula(7.6)lafuerzaquepuededesarrollarelmotormultiplicadaporla
velocidadesconstante.>Qu¶epodemosexplicarconesto?.Supongamosque
unautom¶ovilest¶aascendiendoporunpuerto,yportantosumotordebede
realizarunafuerzabastanteconsiderableparacontrarrestarlacomponente
delpesoque irade¶elhaciaatr¶as".Elconductorseveobligadoairenuna
marchacorta,locualsigni¯caquelarelaci¶onentrelafuerzaylavelocidadva
aserdemuchafuerzafrenteapocavelocidad.Elmismoconductorencambio,
enunllano,puedeirenunamarchamuylargayagranvelocidad,porque
lafuerzaquedebedesarrollarelmotorespoca,¶unicamenteparavencerlos
rozamientos.
Siesteconductoresadelantadoporuncochedegranpotenciaver¶acomo,
efectivamente,silapotenciaesmayor,elcochequeleadelantepuededesar-
rollarlamismafuerzaquesenecesitaparaascenderporelpuerto,peroauna
velocidadmayor.
PCalculalapotenciaquedebetenerunabombadeaguaparaas- Problema
cendermillitrosdeaguaporminutoaunaalturade10metros.
RPrimerocalculemoseltrabajoquedeberealizarestabombapara
Resoluci¶on
ascenderesteagua.Usandolaf¶ormulaparafuerzasconstantesynotando
quelafuerzaquedeberealizarlabombaesparalelaaldesplazamiento
ydem¶oduloigualalpesodelaguaquehadeascendertendremosque,
W=Fd=1000¢9;8¢10cos0=9;8¢10
4
J:
Aplicandoahoralaecuaci¶ondelapotencia(7.5)tendremosque
P=
9;8¢10
4
60
=1;6¢10
3
W:
7.4.Energ¶³a
Seconsiderat¶acitamentelaenerg¶³acomolacapacidadparahaceruntrabajo,o
bieneltrabajo\acumulado"poruncuerpo.
Elconceptodeenerg¶³aesunodelosm¶asfruct¶³ferosdetodalaf¶³sica,pero
tambi¶enesbastanteabstracto,dadalagrandiversidaddeformasenlasqueaparece,
porelloiremosviendoalgunas,aunqueantesnecesitaremosde¯nirunosconceptos
previos.
7.5.Conceptosprevios
7.5.1.Energ¶³acin¶etica
Energ¶³acin¶eticaeslaquetieneuncuerpopordesplazarseadeterminadave-
locidad.Realmenteresultaunpocosorprendentequeuncuerpo,porelmerohecho
demoverse,tengauntipodeenerg¶³a,peronotenemosm¶asquepensarqueefecti-
vamente,encasodeunchoque,porejemplo,estecuerpoescapazdeproducirun
trabajo(dedeformaci¶on,odeltipoquesea)yportanto,debedetenerunaenerg¶³a.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 47

48. CAP
¶
ITULO7.CONSIDERACIONESENERG
¶
ETICAS
Sepuededemostrarlaexistenciadelaenerg¶³acin¶eticadevariasformas.Una
manera(quesedejacomoejercicioallector)essuponerqueseest¶aaplicandouna
fuerzaconstantesobreuncuerpoyque,portanto,utilizandolaleydeNewton
F=ma,tendremosuncuerposometidoaunaaceleraci¶onconstantey,usandolas
ecuacionesdelmovimiento,relacionarlacantidadtrabajo,queser¶ama¢xconla
velocidad.
Otraformaescalculareltrabajoquedesarrollauncuerposometidoaunacierta
fuerzaparalela(parasimpli¯carelc¶alculo)deltipoquesea.Utilizando(7.3)tenemos
que
W=
Z
2
1
Fdx=
Z
2
1
madx
=
Z
2
1
m
dv
dt
dx=
Z
2
1
m
dx
dt
dv
=
Z
2
1
mvdv=
1
2
mv
2
2¡
1
2
mv
2
1:
Conlocualsepuedeverqueeltrabajo\seacumula"enformadeenerg¶³acin¶etica
cuyaf¶ormulaes
Ec=
1
2
mv
2
(7.7)
.Energ¶³acin¶eticaeslaenerg¶³aquetieneuncuerpopordesplazarseRecuerda
conciertavelocidadysuvalores
Ec=
1
2
mv
2
:
¦Enalgunoslibrosdef¶³sicasedenominaalaenerg¶³acin¶eticacomoT.Nota
Esm¶ascorrectoexpresarlocomo
W2¡W1=
1
2
mv
2
2¡
1
2
mv
2
1; (7.8)
¶esteeselllamadoteoremadelasfuerzasvivas.
Pararesolverunproblemautilizandoesteteoremahabr¶aqueelegirunosin-
stantes1y2y,calculandoeltrabajoylaenerg¶³aencadaunodeestosinstantes,
elteoremanospermitir¶arelacionarunadeestasmagnitudesconelresto.General-
mentesebuscaunavelocidadysetieneelrestodedatos.Hayqueelegirconvenien-
tementelospuntos1y2paraobtenerloquedeseamosy,adem¶as,intentarqueel
m¶aximon¶umerodeestasmagnitudesseanulo,locualfacilitaelc¶alculo.
PSeaplicaunafuerzahorizontalde100Nauncuerpode2kgqueProblema
est¶ainicialmenteenreposo.>Aqu¶evelocidadsemover¶aalcabode20
metros?.
RApliquemoselteoremadelasfuerzasvivas(7.8)aesteproblemaResoluci¶on
ytendremosque
W=E
f
c¡E
i
c
siendoiyflosinstantesinicialy¯nal,respectivamente.Vemosque,en
estecaso,E
i
cesnula,porqueelcuerpopartedelreposo,yqueeltrabajo
ser¶a,comolafuerzaesparalelaaldesplazamiento,W=Fd=100¢20=
2000J.Tendremosentoncesque
2000J=
1
2
mv
2
48 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

49. CAP
¶
ITULO7.CONSIDERACIONESENERG
¶
ETICAS
yportanto
v=
s
2
2000J
2kg
=44;72
m
s
:
7.5.2.Potencial
Laenerg¶³apotencialesaquellarelacionadaconfuerzasconservativas.Sede¯ne
laenerg¶³apotencialenunpuntodetalformaquesecumpla
WAB=Ep(A)¡Ep(B) (7.9)
.
Igualmente,uni¯candolasde¯niciones(7.3)y(7.9)sepuededecirque
W=
Z
~
F¢d~s=¡¢Ep (7.10)
esdecir,eltrabajorealizadoporunafuerzaconservativaequivalealadisminuci¶on
delaenerg¶³apotencial,dondehemosllamado¢Ep=Ep2¡Ep1.
Esmuyimportantedarsecuentadelaaparici¶ondelsigno¡enlaf¶ormula(7.10),
consecuenciadelade¯nici¶on(7.9)anterior.Dichosignoaparecetambi¶enenlas
ecuaciones(7.11),(7.12),(7.13),y(7.14).
¦Otranotaci¶onparalaenerg¶³apotenciales,envezdellamarlaEp,de- Nota
nominarlaU.
¦Intuitivamentelaenerg¶³apotencialeslaquetieneuncuerpoporelmero
Notahechodeocuparunadeterminadaposici¶onenelespacio.As¶³porejemplo,ver-
emosm¶asadelante,concretamenteen7.5.2,queuncuerpoqueseencuentrea
unaciertaalturahsobrelasuper¯cieterrestrepresenta,s¶oloporestehecho,
unaenerg¶³apotencial.Podemosentenderestod¶andonoscuentadeque,efecti-
vamente,uncuerpo,porelmerohechodeestarelevadorespectoalsuelo,tiene
energ¶³a,puestoquepuedecaeralsueloy,portanto,desarrollaruntrabajo
durantesuca¶³da.
Gravitatoriaenlasuper¯cieterrestre
Aplicandolade¯nici¶ondepotencialindicadaen(7.10)tendremosque
Ep=¡
Z
y
0
m(¡g)ds=mgy (7.11)
Setieneque
Ep=mgy
siendoylaalturasobreelsuelooelnivel0.Enlaintegralaparece(-g)yaque
elsentidodelafuerzadelagravedadescontrarioalsentidoenquesetomanlas
alturas.
.Laenerg¶³apotencialcuandoelvalordegsepuedetomarconstante Recuerda
es
Ep=mgh:
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 49

50. CAP
¶
ITULO7.CONSIDERACIONESENERG
¶
ETICAS
Gravitatoriageneral
Comosepuedeverm¶asampliamenteen(11.1)todosloscuerposseatraenentre
s¶³conunafuerzaqueserigeporlaleydeNewtondelagravitaci¶onuniversal,es
decir,queelm¶odulodelafuerzadeatracci¶ones
F=¡G
Mm
r
2
;
endondeelsigno\¡"nosinformadequeelsentidosiempreesdeatracci¶on.
As¶³puesparacalcularlaenerg¶³apotencialqueuncuerpodemasamtienepor
estaraunadistanciardeotrodemasaMnohabr¶am¶asquecalcular
Ep=¡
Z
Fdr=¡
Z
¡G
Mm
r
2
dr=¡GMm
Z
¡
1
r
2
dr=¡G
Mm
r
:(7.12)
.Energ¶³apotencialgravitatoria(enelcasogeneral)esRecuerda
Ep=¡G
Mm
r
:
¦Tantoenestaf¶ormulacomoenlaf¶ormula(7.14)unan¶alisisdelsigni¯-Nota
cadoestasexpresionesy,m¶asconcretamente,delapresenciadeunarenel
denominador,nosindicaque,paraestasdosf¶ormulas,elorigendelasen-
erg¶³assetomaenelin¯nito,esdecir,quelaenerg¶³apotencialdeunplaneta
(porejemplo)esnula,cuandoesteplanetaest¶atotalmenteaislado,esdecir,
in¯nitamentealejado,delotro.
El¶astica
Paramuellesysistemasdefuerzascentralesquecumplan
~
F=¡k~rsetieneque,
(tomandouna¶unicadimensi¶on)
Ep=¡
Z
Fdx=¡
Z
¡kxdx=
1
2
Kx
2
(7.13)
.Laenerg¶³apotencialdeunsistemaqueobedecealaleydeHookeRecuerda
es
Ep=
1
2
Kx
2
:
Electrost¶atica
Dadasdospart¶³culasconcargasqyQ,secomentaenelapartado12.1comoel
m¶odulodelafuerzadeatracci¶onentreambascargases
F=K
Qq
r
2
;
siendorladistanciaqueexisteentreambascargas.Deestaformasepuedeextraer
f¶acilmentequelaenerg¶³apotencialelectrost¶aticaser¶a
Ep=¡
Z
Fdr=¡
Z
K
Qq
r
2
dr=KQq
Z
¡dr
r
2
=K
Qq
r
(7.14)
.Energ¶³apotencialentredospart¶³culascargadasesRecuerda
Ep=K
Qq
r
:
50 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

51. CAP
¶
ITULO7.CONSIDERACIONESENERG
¶
ETICAS
7.6.Conservaci¶ondelaenerg¶³a
Cuandoenunsistemas¶oloaparecenfuerzasconservativas,setieneentoncesque
secumpleelsiguienteteoremadeconservaci¶ondelaenerg¶³a
Ep(A)+Ec(A)=Ep(B)+Ec(B) (7.15)
SiendoAyBdosmomentoscualesquieraenlaevoluci¶ondelapart¶³cula,yEp(A)
yEp(B)lasumadetodaslasenerg¶³aspotencialesquetengaelcuerpoenlospuntos
AyB.
Esteteoremaesmuy¶utilparalaresoluci¶ondeciertosaspectosdelosproble-
mas,sobretodolosrelacionadosconlaobtenci¶ondelavelocidadendetermina-
dosinstantesenunsistemaconservativo.Estosedebeaque,porejemplo,enun
movimientosinrozamientosdeuncuerpobajoelcampogravitatorioterrestreen
super¯cie,particularizando(7.15)tenemos
1
2
mv
2
1+mgy1=
1
2
mv
2
2+mgy2
dedondepodremosdespejarf¶acilmentelavelocidadenunoyotroinstanteseg¶un
losdatosqueconozcamos.
.Elteoremadeconservaci¶ondelaenerg¶³adicequelaenerg¶³atotal Recuerda
entodoslosinstanteseslamisma,siendolaenerg¶³atotallasumadelas
energ¶³ascin¶eticasm¶aslaspotenciales.
PUncuerpodeslizasinrozamientoporunapistadehielo.Siparte Problema
delreposodesdeunaalturade7metrossobreelsuelo.>Aqu¶evelocidad
estar¶acuandoseencuentretans¶oloa1metrosobreelsuelo?
RLlamemosAalinstanteinicial,enqueencuentraparadoya7 Resoluci¶on
metros,yBalsegundoinstante,cuandoviajaaunavelocidadvyse
encuentraatans¶olo1metro.Tendremosentoncesque
E
A
p+E
A
c=E
B
p+E
B
c
endondeE
A
p=mg7,E
B
p=mg1,comopartedelreposoE
A
c=
1
2
mv
2
=0
porquevA=0ydenominandovBalavelocidadcuandopasaporel
puntoBtendremosqueE
B
c=
1
2
mv
2
B
.Tendremosentoncesque
mg7=mg1+
1
2
mv
2
B)v=
p
2g(7¡1)¼10;84
m
s
:
7.6.1.Rozamiento
Enelcasodequeexistarozamientouotrasp¶erdidasdeenerg¶³anoconserva-
tivaspodremosa¶unseguirusando(7.15)siemprequetengamoslaprecauci¶onde
introducirestaenerg¶³aperdidaporrozamientoconelsignooportuno.Porejemplo
sitenemosunproblemaenelcualaparecelaenerg¶³apotencialenlasuper¯cieter-
restremghytambi¶enunafuerzaderozamientopodr¶³amosplantearlaecuaci¶onde
conservaci¶ondelaenerg¶³aentrelosinstantes1y2como
1
2
mv
2
1+mgy1=
1
2
mv
2
2+mgy2+E
¤
;
dondeseharepresentadoporE
¤
laenerg¶³aquesehaperdidoentredichosinstantes.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 51

52. CAP
¶
ITULO7.CONSIDERACIONESENERG
¶
ETICAS





A
B
h
a
m
m
v=0
v=?
g
Figura7.1:>Aqu¶evelocidadllegar¶aal¯nal?.
.Cuandoaparezcantrabajosprocedentesdefuerzasnoconservativas Recuerda
lospuedesponercomo
E
A
c+E
A
p=E
B
c+E
B
p+E
¤
(7.16)
DondeE
¤
eseltrabajonoconservativo.
AsuvezeltrabajoderozamientopuedecalcularseteniendopresentequeW=
Fdcos®yque®=180
o
porqueelrozamientosiempreseoponealdesplazamiento.
Deestaformasetendr¶³aqueW=¡¹Ngspero,comoelt¶erminoE
¤
sesit¶uaenel
miembroderechodelaecuaci¶on(7.16)convalorpositivo,simplemente
E
¤
=¹Ns;
dondeNeslanormalyseseldesplazamientoqueharealizadoelcuerpo,esdecir,
ladistanciadurantelacualhaexperimentadoelrozamiento.
PDejamoscaerdesdeelreposouncuerpodemasamporunarampaProblema
de®gradosdeinclinaci¶ondesdeunaalturah(ver¯gura7.1).Silarampa
ofreceuncoe¯cientederozamiento¹.>Aqu¶evelocidadllegar¶aalsuelo?
RPlanteemoslaecuaci¶ondeconservaci¶ondelaenerg¶³aexpresadaResoluci¶on
en(7.16)yanalicemoselvalordecadat¶ermino.AntesllamaremosAal
instanteenelcualelcuerposeencuentraaciertaalturahyBcuando
elcuerpoest¶ayaalniveldelsueloconunavelocidadv.As¶³tendremos
que
E
A
p=mgh
E
B
p=mg0=0
E
A
c=
1
2
m0
2
=0
E
B
c=
1
2
mv
2
E
¤
=¹Ns
Dondequedaporprecisarqueseselespaciototalrecorridoporelcuerpo
mientrasbajabaporlarampa.Teniendoencuentaqueelespacioses
52 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

53. CAP
¶
ITULO7.CONSIDERACIONESENERG
¶
ETICAS
lahipotenusadeuntri¶angulorect¶angulodondeun¶angulomide®ysu
ladoopuestomideh,setieneques=
h
sin®
.
RespectoalanormalN,comosehavistoyaen6.6,suvalorser¶aN=
mgcos®porloqueelvalordeE
¤
enfunci¶ondepar¶ametrosconocidos
ser¶a
E
¤
=¹mgcos®
h
sin®
.
Por¯nutilizando(7.16)tenemosque
mgh=
1
2
mv
2
+¹mgcos®
h
sin®
ydespejandovseobtienelasoluci¶on,quees,
v=
p
2gh(1¡¹tan®
¡1
):
±Comoconsecuenciadelproblemaanterior>Paraqu¶erelaci¶onentre¹y Ampliaci¶on
®elcuerponopodr¶³abajarporlarampa?.
7.7.Impulso
Elimpulsosurgedeintegrarlafuerzarespectoaltiempo.
~
I=
Z
~
Fdt: (7.17)
Oloqueeslomismo,
¢~p=~p2¡~p1=I2¡I1=
Z
~
Fdt:
7.8.Gradiente
±Sabiendoquepodemosexpresarunincrementoin¯nitesimaldeenerg¶³a Ampliaci¶on
potencialcomo
dEp=Ep(~r+d~r)¡Ep(~r)=¡
~
F¢d~r=¡(Fxdx+Fydy+Fzdz)
yquelaregladederivaci¶ondelacadenaparavariasdimensionesnosdiceque
dEp=
@Ep
@x
dx+
@Ep
@y
dy+
@Ep
@z
dz
tenemosentoncesunainteresanterelaci¶on
1
quenosdiceque
Fx=¡
@Ep
@x
Fy=¡
@Ep
@y
Fz=¡
@Ep
@z
9
=
;
:
Ara¶³zdeestosepuedede¯nirmatem¶aticamenteelgradientedeunescalar
comonablapordichoescalar.Pornablasede¯neal\vector
2
"
~
r=
@
@x
^{+
@
@y
^|+
@
@z
^
k.Lanotaci¶on
@f
@x
suponederivarlafunci¶onfrespectoalavariablexy
considerarelrestodevariables,(y,z,etc.)comosifueranconstantes.
1
Muchom¶asexplotadaenlibrosdef¶³sicam¶asavanzados
2
Puesrealmenteesunoperador,yaqueact¶uacomounaderivaci¶onsobrelosescalaresovectores
alosqueseleaplica.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 53

54. CAP
¶
ITULO7.CONSIDERACIONESENERG
¶
ETICAS
Conestopodemosde¯nirelvectorfuerzacomo
~
F=¡
~
rEp (7.18)
Laspropiedadesmatem¶aticasdelgradientesonmuyinteresantes,aunque
excedenampliamenteelniveldeestelibro.
54 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

55. Cap¶³tulo8
Din¶amicadeunsistemade
part¶³culas
8.1.Conceptosyde¯nicionesprimarias
Sistemadepart¶³culasesunconjuntodepart¶³culas
1
cuyaspropiedadesglobales
queremosestudiar.
Fuerzaexteriordeunsistemadepart¶³culasesaquellaquevienedefueradelsis-
tema.Fuerzainterioreslaprovenientedelasinteraccionesentrelaspropiaspart¶³cu-
lasdelsistema.Sepuedendenotarcomo
~
F
ext
y
~
F
int
.
8.2.Centrodemasas
Elcentrodemasasparaunsistemadepart¶³culasdiscretoes
~rcm=
m1~r1+m2~r2+:::
m1+m2+:::
=
P
N
i=1
mi~ri
P
N
i=1
mi
: (8.1)
Cuandosetengaunsistemacontinuoelcentrodemasasvendr¶ade¯nidocomo
~rcm=
R
~rdm
R
dm
o,expres¶andolomejorenfunci¶ondeladensidaddelsistema
~rcm=
R
½dm
mT
siendomTlamasatotaldelcuerpocontinuo.
8.2.1.TeoremadePappus
±Esteteoremaresultamuy¶utilparacalcularelcentrodemasasde Ampliaci¶on
algunas¯guras.Elmecanismodefuncionamientoescomosigue:tomando
un¶areacualquieracerradaenunplanoygenerandouns¶olidorot¶andolaen
elespaciodemaneratalquecadapuntosiempresemuevaperpendicularal
planodel¶area,tendremoscomoresultadoqueels¶olidoas¶³generadotendr¶aun
volumenigualqueel¶areadeestasecci¶onempleadaporladistanciaqueseha
desplazadoelcentrodemasas.
1
Supuestaspuntuales.
55

56. CAP
¶
ITULO8.DIN
¶
AMICADEUNSISTEMADEPART
¶
ICULAS
8.3.Din¶amicadelcentrodemasas
8.3.1.Velocidad
Hallarlamagnitud~vcmessimplementederivarlaecuaci¶on(8.1),conlocualse
llegaa
~vcm=
1
mT
N
X
i=1
~pi
o,tambi¶ensetiene
mT~rcm=
N
X
i=1
~pi: (8.2)
8.3.2.Aceleraci¶on
Derivandodosveces
~
F
ext
=mt~acm: (8.3)
Parallegaraesteresultadohahechofaltadarsecuentadequecada
~
Fi=mi~ai
sepuededescomponeren
~
Fi=
~
F
ext
i
+
~
F
int
i
donde
~
F
int
i
=
P
N
j6=i
~
Fij,siendoestas
~
Fij
todaslasfuerzasdeinteracci¶onentrelaspart¶³culaso,m¶asconcretamente,lafuerza
queunapart¶³culajejercesobrelai.Posteriormentecuandosesumantodasestas
fuerzasenlaf¶ormulageneralsetienequeelsumatorio
P
N
i
P
N
j6=i
~
Fijseanulaya
que,porelprincipiodeacci¶onyreacci¶on,
~
Fij=¡
~
Fji.
8.3.3.Momentolineal
Sede¯neelmomentolinealdeunsistemadepart¶³culascomolasumadelos
momentosdecadaunadelaspart¶³culasqueintegranelsistema.Quieredeciresto
queelmomentolinealdeunsistemaser¶a
~p
N
X
i=1
~pi:
Atendiendoalaf¶ormula(8.2)podemosverclaramenteque
~p=mt~vcm:
Asuvez,silafuerzaexteriorejercidasobreelsistemadepart¶³culasesnula,
haciendousode(8.3)sevef¶acilmenteque~ppermanececonstante,dedondepodemos
enunciarlaconservaci¶ondelmomentolinealtotaldelsistema:
~
F
ext
=0)~p=cte:
.Silafuerzanetaexternaqueact¶uasobreunsistemaesnula,elRecuerda
momentolinealde¶esteseconserva.
8.3.4.Energ¶³a
Generalizandoelteoremadelasfuerzasvivasatodounsistemadepart¶³culasse
puededemostrarque
W
A!B
t =Ec(B)¡Ec(A)
56 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

57. CAP
¶
ITULO8.DIN
¶
AMICADEUNSISTEMADEPART
¶
ICULAS
dondeEc=
P
N
i=1
Ec;i.Cuandotodaslasfuerzas,tantolasinternascomolasexter-
nas,queaparecenenacci¶onenelsistemasonconservativaspodemosenunciarun
teoremageneraldeconservaci¶ondelaenerg¶³a,quedir¶a
ET=Ec+Ep=cte:
Ahorabien,comoyahemosde¯nidounaEctotalnosquedar¶averc¶omode¯nirla
magnitudEp.Intuitivamentesepuedeverquedeber¶aserunasumadetodaslas
energ¶³aspotencialespuestasenjuegoenelsistema,esdecir,unt¶erminodondese
considerelaenerg¶³apotencialquepuedatenercadapart¶³culaporlaaplicaci¶ondela
fuerzaexterna,yotrodondesesumentodoslosparesdeinteracci¶onentrepart¶³culas
delpropiosistema,quetambi¶encontribuir¶a.Estasideassetraducenen
Ep=
N
X
i=1
E
ext
p;i+
1
2
N
X
i=1
n
X
j6=i
E
int
p;ij:
Energ¶³amec¶anicainterna
Relacionandolaenerg¶³acin¶eticadeunsistemadepart¶³culasenunsistemade
referenciainercialusualconlaquetieneenelsistemadereferenciacentrodemasas
sellegaalaecuaci¶on
Ec=E
0
c+
1
2
mtv
2
cm
dondevemosque,adem¶asdelaenerg¶³acin¶eticaquetieneelsistemaconsider¶andole
comoun¶unicocuerposituadoensucentrodemasas,apareceotraenerg¶³a,quese
relacionaconc¶omosemuevenesaspart¶³culasrespectoalcentrodemasas.
¦PosteriormenteveremosqueesaE
0
csepuedeexpresarmuchom¶asf¶acil- Nota
mentecuandotenemosunsistemademasascontinuoqueestarotando
.Cuandotantolasfuerzasexternascomolasinternasqueact¶uan
Recuerda sobreunsistemadepart¶³culassonconservativas,laenerg¶³atotaldel
sistemapermanececonstante.
8.4.Aplicaciones
8.4.1.Sistemadereferenciadelcentrodemasas
Consisteensituarelsistemadecoordenadasjustoconelorigenenelcentro
demasas.Tienecomoventajaque,silaresultantedetodaslasfuerzasexteriores
esnula,esdecirsi
~
F
ext
=~0,entoncesenestenuevosistemaelcentrodemasas
permanececonstanteeiguala0(yaqueest¶asituadoenelorigendecoordenadas)
yadem¶as,setratadeunsistemainercial.
Parapasardeunsistemaaotrobastausarlasecuaciones(5.3)enestecaso
particularytendremos
~r
0
i
=~ri¡~rcm
~v
0
i
=~vi¡~vcm
habiendoprimadoenestecasolascoordenadasquesever¶³andesdeelsistemacentro
demasas.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 57

58. CAP
¶
ITULO8.DIN
¶
AMICADEUNSISTEMADEPART
¶
ICULAS
8.4.2.Problemasdedoscuerpos
±Cuandotenemosunproblemadedoscuerpospodemosseparareste Ampliaci¶on
problemaendossituacionesdiferenciadas.Porejemplo,siqueremosverque
sucedeconelsistemaTierra-Sol,podr¶³amosplantearnosusarlaecuaci¶on(8.3)
paratenerunaideaglobaldec¶omoseest¶amoviendoelsistema.
Noobstanteestaecuaci¶onnonosdalainformaci¶onconcretadec¶omouna
part¶³cula,ounplaneta,semueverespectoalotro,sinos¶olocomosedesplaza
sucentrodemasas.Esmuy¶utilsuponerquelasfuerzasexterioressobreel
sistemaseannulas,esdecir,quetengamosunsistemadedoscuerposaislados,
yverquesucede.Enesecaso~acm=~0y,portanto,elc.d.m.sedesplazar¶acon
movimientorectil¶³neoyuniforme(oseestar¶aquieto).Pero>qu¶esucedecon
laspart¶³culasquecomponennuestrosistema?.
Cuandolasfuerzasexternassonnulassepuededemostrartrasunpocode
¶algebraque
~
F12=¹~a12
donde¹=
m1m2
m1+m2
y~a12eslaaceleraci¶ondelcuerpo2vistadesdeel1.Esta
igualdadnospermitir¶³aestablecercomoeselmovimientodeloscuerposcomo
sideun¶unicocuerpodemasa¹setratase.
8.4.3.Colisiones
Cuandotenemosunsistemadepart¶³culasenelcualsuspart¶³culascomponentes
chocanentres¶³,enausenciadefuerzasexternas,hemosdetenerencuentaque
estosuponeunaconservaci¶ondelamasa,evidentemente,m¶asunaconservaci¶ondel
momentolineal,comoyasehaescritoen8.3.3.Portantotomandoelsistemaenun
instanteinicialyotrofinaltendremos
P
i
m
i
i
=
P
i
m
f
i
P
i
p
i
i
=
P
i
p
f
i
Engeneral,parasimpli¯carlosproblemas,eln¶umerodepart¶³culasenlosin-
stantesiyfsueleser1o2.
Conservaci¶ondelaenerg¶³a
Enlascolisiones,encambio,nosetieneporqu¶econservarlaenerg¶³a.Aquellas
enlasquesiquesetienequeE
i
c=E
f
csedenominanel¶asticas.Paramedirelgrado
deelasticidaddeunacolisi¶on,ytambi¶enparaaportarundatoextraenelcaso
enelcuallaconservaci¶ondelmomento(ydelamasa)nonosaportainformaci¶on
su¯ciente,serecurrealconceptodecoe¯cientederestituci¶on.
¶
Estesede¯neenel
casounidimensionalcomo
K=¡
v
f
1
¡v
f
2
v
i
2
¡v
i
2
(8.4)
ycuyovalorvar¶³aentre1paraunchoqueel¶asticoy0paraotroperfectamente
inel¶astico.
±Lademostraci¶ondequeK=1paraunchoqueel¶asticonoescomplicada,Ampliaci¶on
aunquehayquehacerunpocode¶algebra.Pasasimplementeporplantear,para
unchoquededoscuerposdondenohayvariaci¶onenlamasa,lasecuacionesde
conservaci¶ondelmomentolinealy,porserel¶astico,tambi¶enlasdelaenerg¶³a
cin¶etica.Ser¶andosecuacionescondosinc¶ognitas.Sedespejaysustituyey,al
resolverlaecuaci¶ondesegundogradoqueseobtiene,saleunarelaci¶ondev
f
1
yv
f
2
delacualya,introduciendosusvaloresen(8.4)seobtieneelresultado
deseado.Ser¶³amuy¶utilqueellectorcomprobaraestopersonalmenteamodo
deejerciciopr¶actico.
58 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

59. Cap¶³tulo9
Din¶amicadelarotaci¶on
9.1.Introducci¶on
9.1.1.S¶olidor¶³gido
Parasimpli¯carmucholaexplicaci¶ondelarotaci¶onenloscuerpossetomasiem-
preunmodelodec¶omosonestoscuerposquesedenominas¶olidor¶³gido.Estemodelo
consisteenconsiderarqueloscuerpos,loss¶olidostomados,sonabsolutamentein-
deformables,sonr¶³gidos.Matem¶aticamentesepuedeexpresardeunamaneram¶as
rigurosadiciendoqueladistanciaentresuspart¶³culasnocambia.Dadaunapart¶³cu-
lajyotraidelsistemaqueconsideremossiempresetendr¶aquej~ri¡~rjj=Ksiendo
Kunaconstantecualesquiera.
Parauncuerpodeestetipo,portanto,conociendod¶ondeest¶aenunmomento
determinadounapart¶³culayel¶anguloµderotaci¶ondelcuerporespectoalaposici¶on
original,conocemoselrestodelasposicionesdelospuntos.
9.1.2.Analog¶³as
Elestudiodeladin¶amicadelarotaci¶onsepuedehacersencilloteniendopresentes
lassiguientesanalog¶³asentreladin¶amicanormaly¶esta.
traslaci¶on Rotaci¶on
x µ
v !
a ®
m I=
P
i
mir
2
i
~p
~
L=~r^~p
~
F
~
M=~r^
~
F
F=ma M=I®
F=
dp
dt
M=
dL
dt
p=mv L=I!
W=Fd W=Mµ
Ec=
1
2
mv
2
Ec=
1
2
I!
2
9.2.Momentodeunafuerza
Cuandouncuerposufreunaaceleraci¶onesporquetieneunacausaqueloprovo-
ca.Newtondescubri¶oqueeslafuerzalacausadequeestosuceda.>Cu¶alesla
causadeunarotaci¶on?.Eselmomentodeunafuerza.Unadeducci¶onf¶acil,claray
divertidasepuedeencontraren[1].Demomentoaqu¶³seexpondr¶asude¯nici¶ony
59

60. CAP
¶
ITULO9.DIN
¶
AMICADELAROTACI
¶
ON
propiedades.Como
~
M=~r^
~
FtomandoMser¶aigualarFsin®siendo®el¶angulo
formadoentreelvector~ry
~
F.Portantolacomponenteperpendicularalvector
posici¶oneslaqueintervienerealmenteenlarotaci¶on.
.Lacomponentedelafuerzaperpendicularalvectorposici¶oneslaRecuerda
querealmenteintervieneenlarotaci¶on.
9.3.Momentoangular
Endin¶amicadetraslaci¶onlavariaci¶ondelmomentolineal~prespectoaltiempo
esdenominadafuerza.Parecel¶ogicosuponerquedebieraexistiralgunamagnitud
an¶alogaendin¶amicaderotaci¶ontalquesuderivadatemporalnosproporcione
tambi¶enlacausa,esdecir,elmomentodelasfuerzas
~
M.Como
~
M=~r^
~
Fprobemos
atomar
~
M=
d
~
L
dt
siendo
~
L=~r^~p (9.1)
yverquesucedealserderivado.Essencillollegaralaconclusi¶ondeque,efecti-
vamente,estamagnitudeslaan¶alogadelmomentolineal~pencuantoquealser
derivadaseobtiene
~
M.
±Derivarestamagnitudnoescomplicado,razonandoqueunproductoAmpliaci¶on
vectorialnoessinounproductocombinadodelascomponentesdeunvector
noparecedescabelladoadmitirque
d
dt
¡
~a^
~
b
¢
=
d~a
dt
^
~
b+~a^
d
~
b
dt
As¶³tenemosque
d
dt
(~r^~p)=
d~r
dt
^~p+~r^
d~p
dt
endondeessencillodarsecuentadeque~p=m~vyque
d~p
dt
=
~
F.Tenemos
entoncesunprimersumandoqueser¶a~v^m~v=0porseelproductovectorial
dedosvectoresparalelos,yunsegundosumandoquees,efectivamente,igual
a
~
M.
Tambi¶ensepuedeexpresarLenfunci¶ondelmomentodeinerciaIcomo
L=I!:
±LaigualdadL=I!sepuedeconseguirtomandouns¶olidor¶³gidoyAmpliaci¶on
calculandocuantoser¶asumomentoangular.Paraunadeterminadapart¶³cula
tendremosqueLi=mirivi.Deaqu¶³s¶oloresultainteresanteconocercuanto
ser¶alaproyecci¶ondeestevalorsobreelejezquevamosatomarenestecaso
comoelejederotaci¶on.Estaproyecci¶onselogramultiplicandoLiporelsinµi,
siendoµiel¶anguloformadopor~riconelejedegiro.As¶³tenemosque
Lz=
X
i
Lz
i
=
X
i
mirivisinµi=
X
i
miR
2
i!
siendoRiladistanciadelapart¶³culaialeje.Todoestosepuedeexpresar
ahoraf¶acilmentecomo
Lz=!
X
i
miR
2
i=Iw
puestoquesede¯neI=
P
i
miR
2
i.Existenalgunosejesenuncuerpo,gen-
eralmenteejesdesimetr¶³a,talesquesielcuerporotaalrededordeestosejes,
elmomentoangulartotalesparaleloalejederotaci¶on,yportantoparaellos
Lz=L.Enestoscasossepuedeescribirque
~
L=I~!:
60 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

61. CAP
¶
ITULO9.DIN
¶
AMICADELAROTACI
¶
ON
¦Elmomentoangulartotalcomovector
~
Lnotieneporqu¶eestarenlaNota
direcci¶ondelejederotaci¶onsiesteejenocoincideconalgunodesimetr¶³adel
cuerpo.
9.4.Momentodeinercia
Sehavistoyaenapartadosanterioreslaimportanciarelativadelmomentode
inerciaIcomoelan¶alogodelamasaparalasrotaciones.
.Elmomentodeinerciaeselan¶alogodelamasaparaunarotaci¶on. Recuerda
Parasistemasdiscretosestemomentodeinerciaseexpresacomo
I=
X
i
mir
2
i
donderirepresentaladistanciadelapart¶³culaalejederotaci¶on.Peronormalmente
setienecuerposreales,formadosportalcantidadde¶atomos,depeque~naspart¶³culas
queselessuponecontinuos.Paraelloslaf¶ormuladec¶alculodelmomentodeinercia
es
I=
Z
r
2
dm=
Z
r
2
½dV:
Noobstante,alahoradedeterminarelmomentodeinerciadeundeterminado
cuerpoesinteresanteconocerque
1.Lasimetr¶³adelcuerpopermiteavecesrealizars¶olopartedelc¶alculo.
2.Comoelmomentodeinerciaesaditivo
1
elc¶alculodeunmomentodeinercia
deuncuerpocompuestosepuedetomarcomolasumadelosmomentosde
inerciadesuspartes.Tambi¶ensitenemosuncuerpoformadoporunom¶as
sencilloalque\lefaltauncacho"podemoscalcularsumomentocomola
sumadelcuerposencillomenoselcachoquelefalta.
3.Muchasvecesdadoelmomentodeinerciadeuncuerporespectoauncierto
ejepodemossacarsumomentoenotroejesinnecesidadderecalcularlousando
elteoremadeSteineroeldelas¯gurasplanas.
9.4.1.TeoremadeSteinerodelosejesparalelos
ElteoremadeSteinerrelacionaelmomentodeinerciadeunejequepasepor
elcentrodemasasdeuncuerpoconelmomentodeinerciaquetendr¶³aelmismo
cuerpotomandocualquierotroejeparaleloalprimero.Estarelaci¶ones
I=Icm+md
2
dondeIeselmomentodeinerciadelcuerporespectoalejeparaleloaloriginal,Icm
eselmomentodeinerciadelejequepasaporelcentrodemasas,meslamasatotal
delcuerpoydesladistanciaentreestosejesparalelos.
.ElteoremadeSteinerrelacionaelmomentodeinerciarespectoa Recuerda
unejequepaseporelcentrodemasasdeuns¶olidoconcualquierotro
ejeparaleloa¶el.
1
Yaqueprovienedeunasumaointegraci¶on,quesonoperadoreslineales.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 61

62. CAP
¶
ITULO9.DIN
¶
AMICADELAROTACI
¶
ON
9.4.2.Teoremadelas¯gurasplanasodelosejesperpendic-
ulares.
Elmomentodeinerciadeuna¯guraplanarespectoaunejeperpendicularala
¯guraesigualalasumadelosmomentosdeinerciadedosejesqueest¶encontenidos
enelplanodela¯gura,cortenalejeperpendicularyseantodosperpendiculares
entresi.
z
y
x
Figura9.1:Dibujodeuna¯guraplana.
Esdecir,dadoeldibujodela¯gu-
ra9.1tendremosqueIz=Iy+Ix.Este
teoremanossirve,porejemplo,paracal-
cularf¶acilmenteelmomentodeinercia
deunanillo.Respectoalejequepasa
porelcentrodelanillo,comotodala
masaest¶asituadaalamismadistan-
ciatenemosquesumomentodeiner-
ciaser¶ademR
2
(estrivial,comodicen
losmatem¶aticos).Adem¶ascomoelanil-
lotienemuchasimetr¶³aelmomentode
inerciadeunejequeest¶econtenidoen
elplanodelanilloser¶aigualaldeotro
ejetambi¶encontenidoenelplanopero
perpendicularalejeanterior,yaqueelanillo\seveigual".Sillamamosaesteotro
momentoIpponiendopdeplano,tendremosquemR
2
=Ip+Ip)Ip=
1
2
mR
2
.
.Elteoremadelosejesperpendicularess¶oloseaplicaalas¯gurasRecuerda
planasypermiterelacionarelmomentoperpendicularalplanodela
¯guraconlosmomentosdeotrosdosejescontenidosenelplanodela
¯gura.
9.4.3.Relaci¶ondelmomentodeinerciarespectoaunpunto
conlostresejes
Sillamamosalmomentodeinerciadeuncuerporespectoaunpunto,ynoun
eje,I0tendremosque
2I0=Ix+Iy+Iz:
Comodemostraci¶onbastadarsecuentaqueelmomentoI0ser¶a
Z
(x
2
+y
2
+z
2
)dm
frentealosmomentos
Ix=
R
(y
2
+z
2
)dm
Iy=
R
(x
2
+z
2
)dm
Iz=
R
(x
2
+y
2
)dm
9
=
;
:
9.5.Ecuaci¶ondeladin¶amicaderotaci¶on
Sabemosyaque
dL
dt
=Myquecuandolarotaci¶onesalrededordeunejede
simetr¶³a
2
L=I!.IntroduciendoestaLenlaf¶ormulaanteriortenemossencillamente
que
M=I® (9.2)
donde®esladerivadade!respectoaltiempo,esdecir,ser¶alaaceleraci¶onangular.
2
Locualser¶aciertoenlosproblemasquepuedansurgiraestenivel.
62 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

63. CAP
¶
ITULO9.DIN
¶
AMICADELAROTACI
¶
ON
Deestamaneralaecuaci¶on(9.2)nosproporcionaunarelaci¶onentrelosmomen-
tosaplicadosauncuerpoylaaceleraci¶onangularquelograalcanzaresecuerpo.En
muchoscasos,comosepuedeveren9.7.1y9.7.2sepuedeestablecerunarelaci¶on
entre®y~a.
9.5.1.Conservaci¶ondelmomentoangular
Apartirdelaf¶ormula(9.2)y,demaneraan¶alogaacomoloplanteamosconla
din¶amicadetraslaci¶on,sepuedeestablecerquecuandonoact¶uaning¶unmomento
externosobreunsistemadepart¶³culasouncuerpor¶³gido,sumomentoangularse
mantieneconstante,teni¶endoseentoncesque
Li=Lf:
¶
Estaesunaigualdadmuy¶utilpararesolversituacionesenlasqueelcuerpovar¶³a
suforma,yportantosumomentodeinerciaI,perosinqueexistanmomentos
externos.Unaexplicaci¶onm¶asdetalladaseencuentraen9.7.6.
.Cuandonoact¶uanmomentosexternossobreunsistemadepart¶³- Recuerda
culassumomentoangularLpermanececonstante.
9.6.Energ¶³aderotaci¶on
Aligualqueuncuerpoconunaciertavelocidadvpresentaunaenerg¶³acin¶etica
iguala
1
2
mv
2
,loscuerposquerotantienenunaenerg¶³aasociadaaestarotaci¶on
que,poranalog¶³a,resultaser
Ec=
1
2
I!
2
:
±Tambi¶ensepuederazonartomandoEc=
P
i
1
2
miv
2
iy,comovi=ri! Ampliaci¶on
tendremosE=
P
i
1
2
mir
2
i!
2
que,extrayendofactorcom¶unresultar¶aser
Ec=
1
2
Ã
X
i
mir
2
i
!
!
2
=
1
2
I!
2
:
Cuando,adem¶as,elcuerpoest¶agirandoconrespectoaunejequepaseporsu
centrodemasaslaenerg¶³acin¶eticatotalesigualaladetraslaci¶ondelcentrode
masasm¶asladerotaci¶on,esdecir
Ec=
1
2
mv
2
cm+
1
2
Icm!
2
siendomlamasatotaldelcuerpoyvcmeIcmlavelocidaddelcentrodemasasy
elmomentodeinerciadelcuerpocuandorotaporunejequepaseporelcentrode
masas,respectivamente.
9.7.Algunosproblemast¶³picosderotaci¶on
Sedetallanacontinuaci¶onalgunassituacionesf¶acilmenteresolublesycarac-
ter¶³sticasenlascualesseaplicanlasf¶ormulasanterioresdedin¶amicaderotaci¶on.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 63

64. CAP
¶
ITULO9.DIN
¶
AMICADELAROTACI
¶
ON
9.7.1.Cuerposrodantes
Cuandouncuerporuedasindeslizarseseestableceunaligadura,hablandoen
lenguajef¶³sico,entreel¶anguloquerotaelcuerpoyladistanciaqueavanza.Para
uncuerporedondo,queeselcasocom¶un,s=Rµ,siendoRelradiodela¯gura.
Estoesmuyl¶ogicoporquesielcaminoquevarecorriendoelm¶ovilfueramayorque
lalongituddecuerpoquetocaelsuelonecesariamentedeber¶³ahaberalg¶untipode
deslizamiento.
Teniendoestaigualdadesmuyf¶acilestablecerque
vcm=R!
acm=R®
¾
:
9.7.2.Poleas
Enproblemasenlosqueaparezcanpoleas,como¶estasgiranalrededordesu
centrodemasasysumomentodeinerciaser¶aeldeunc¶³rculo(ouncilindro,sies
tridimensional),tendremosyatodalasituaci¶onconocida.
1.Elmomentodelasfuerzasser¶asimplementeelproductodelafuerza,ola
tensi¶ondelacuerda,porelradiodelapoleaalqueseaplica.
2.Elmomentodeinerciadeunc¶³rculoes
1
2
MR
2
.
3.Tendremosas¶³que,silacuerdapasaporlaparteexteriordelapolea,comoes
habitual(hayquetenerm¶ascuidadosilapoleatienem¶asgargantaso¶estas
noest¶ansobrelasuper¯cieexternadeldisco)paracadatensi¶onTaplicada
enlapoleaTR=
1
2
MR
2
®.
4.Comolacuerdagirasindeslizarexistelacondici¶ona=R®queseaplicaala
ecuaci¶onanterior.
9.7.3.Est¶aticayequilibrios
Enaquellosproblemasenloscuales,noexistiendomovimientodening¶untipo,
senospidacalcularlageometr¶³adealgunaestructuraobienlasfuerzasdeacci¶ono
dereacci¶onquehayquetenerparamantenerlaestructuraenequilibriobastacon
aplicardosf¶ormulas.
1.Alnohabermovimientodelcentrodemasastendremosquelaresultantede
todaslasfuerzasdeber¶asernula.As¶³
X
~
F=0:
Estaecuaci¶onsedescompondr¶aentantascomodimensionestengaelproble-
ma.
2.Cuandohayunasituaci¶onest¶aticaounequilibrioelcuerpotampocogira
respectoaning¶unpunto.Porellopodremosaplicartambi¶enquelosmomentos
resultantesdebensernulos
X
~
M=0:
Conestasecuacionesaplicadasconciertaintuici¶onaalgunospuntosconcretos
delsistemasepuedenresolverestetipodeproblemas.
64 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

65. CAP
¶
ITULO9.DIN
¶
AMICADELAROTACI
¶
ON
9.7.4.C¶alculodelaaceleraci¶onangulardeuncuerpo
Paraellohayqueaplicarlaecuaci¶ongeneraldeladin¶amicaderotaci¶on.
1.Seconsigueelmomentodeinerciadela¯gurarespectoalejeenqueseproduce
larotaci¶on.
2.Secalculanlosmomentosdefuerzastomandocomopuntounodelejede
rotaci¶on.Sielproblemaesbidimensionalesteejeser¶aperpendicularalplano,
generalmente,ypodremosreducirelmomentodefuerzastridimensionalasu
m¶odulo,esdecirM=Fcsinµ,siendoµel¶anguloqueforman
~
Fcon~r.
3.Serelacionanestasmagnitudesconlaaceleraci¶onangular®mediante
P
M=
I®.
9.7.5.C¶alculodemomentosdeinercia
Paralaresoluci¶ondelosproblemasdec¶alculodemomentosdeinerciaeshabitual
elplanteamientoseg¶unalgunosdistintostipos.
1.Sinoconocemoselmomentodela¯guraenabsolutorespectoaning¶unotro
eje,y¶estanoest¶acompuestadeotras¯gurastendremosqueaplicarI=
P
i
miR
2
i
parauncuerpodiscretoobienI=
R
R
2
dm=
R
R
2
½dVparauno
continuo.
2.Sila¯guraesplanayconocemoslosdosmomentosdeinerciadelplano,y
nospideneldelejeperpendicularala¯guraseintentausarelTeoremadelas
¯gurasplanas.(Ver9.4.2).
3.Siconocemoselmomentodeinerciarespectoaunejequepasaporelcentro
demasasynospidenhallareldeotroejeparaleloaesteusaremoselTeorema
deSteiner.(Ver9.4.1).
4.Sinuestra¯guraest¶acompuestaporotras¯gurasdelascualesconocemossu
I,obienpareceuna¯gurasencillaalaquesehaextra¶³doalgunaotra¯gura
simple,usandolalinealidaddelmomentodeinerciapodremosponernuestro
momentoinc¶ognitacomosumasorestasdeotrosmomentosm¶assencillos,
teniendosiemprecuidadodequetodoslosmomentosest¶enreferidosalmismo
ejederotaci¶on.
9.7.6.Variaci¶ondelaformadelcuerpoquegira
Enaquellosproblemasenloscualesvar¶³elaformadeuncuerpoperonoexis-
tanmomentosexternosesmuy¶utillaaplicaci¶ondelprincipiodeconservaci¶ondel
momentoangular.Tomandouninstanteiyotrofinicialy¯naltendremosque
Li=Lfy,portanto
Ii!i=If!f;
relaci¶ondelaqueconocidostresdatospodremosextraerelcuarto.
¦Estaeslaraz¶onporlaquelaspatinadorassobrehielo,cuandoencogen Nota
losbrazos,vanangularmentem¶asdeprisa.AldisminuirsuIresultaque!
debeaumentarparamantenerconstanteelmomentoangular.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 65

66. CAP
¶
ITULO9.DIN
¶
AMICADELAROTACI
¶
ON
9.7.7.Conservaci¶ondelaenerg¶³aparacuerposrodantes
Sitenemosuncasodeuncuerposim¶etricoqueruedarespectoaunejequepasa
porsucentrodemasasytodaslasfuerzasexternassonconservativas,podremos
aplicarelteoremadeconservaci¶ondelaenerg¶³aytendremosque
E=Ec;1+Ep;1=Ec;2+Ep;2:
Enestecasoadem¶as
Ec=
1
2
mv
2
cm+
1
2
I!
2
:
Adem¶as,sielcuerporuedasindeslizarsepodr¶arelacionarvy!mediantev=R!.
66 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

67. Cap¶³tulo10
Conceptosgeneralesde
campos
10.1.Introducci¶on
Enbastantescamposdelaf¶³sicasetrataelconceptodecampo,introduci¶endole
deformam¶asomenosintuitivayformulandolodespu¶esr¶apidamenteparadespu¶es
realizarcon¶elalgunosc¶alculos.Detodasformasparecem¶asconvenienteanalizar
ahoraalgunosconceptosdemaneraunpocom¶asrigurosaparapoderluegoentender
mejorlavisi¶onquesobrelaf¶³sicaaportanloscampos.
10.2.De¯nici¶on
Sedenominacampoatodoobjetomatem¶aticoqueest¶ede¯nidoparacualquier
puntodelespacio.Enf¶³sicaunamagnitudesuncampocuandoest¶ade¯nidaen
todoelespacio.Siestamagnitudesunn¶umero,unescalar,tendremosuncampo
escalar,siesencambiounvector,ser¶auncampovectorial.
Porejemplo,enund¶³aconmuchoviento,latemperaturaquehagaencualquier
partedeunaciudadser¶auncampoescalar.As¶³podemosdecirqueenelpunto
al"existentantosgradosdetemperaturayenel\cual"otrosciertosgradosde
temperatura.Dadocualquierpuntodelaciudaddiciendoquetemperaturahace
tendremosuncampoescalar(detemperaturas).Siparaestamismaciudadtomamos
laintensidadydirecci¶ondelvientocomounvectortendremosuncampovectorial.
An¶alogamentepodremosdecir:Enestepuntoelvectordelavelocidaddelvientoes
tanto,peroenesteotropuntoescuanto.Tendremosde¯nidaunaciertamagnitud
vectorialentodoslospuntosdelespacio.
10.3.Formalismomatem¶atico
Paradescribirmatem¶aticamenteuncampobastar¶aconindicarcu¶antovalela
magnitudquenosintereseentodoslospuntosdelespacioindicadaporunacierta
funci¶on.ParauncampoescalartendremosqueM=f(x;y;z)oquiz¶astambi¶endel
tiempot.Porejemplo,siqueremosde¯nirelcampoescalardistanciasalorigende
coordenadastendremosqueM=
p
x
2
+y
2
+z
2
yas¶³hemoscumplidolade¯nici¶on
decampoescalar.Dadounpuntodelespaciotenemosbienescritaunamagnitud
paraesepunto.Enelpunto(1;1;1)lamagnitud,enestecaso,es
p
3.
Uncampovectorialsede¯nedemaneraan¶aloga,peroteniendoencuentaque
deberemosaportarlastrescomponentesdelvector.Podemosdenotarlocomo
~
M=
67

68. CAP
¶
ITULO10.CONCEPTOS GENERALES DECAMPOS
~
f(x;y;z)otambi¶encomo
Mx=f1(x;y;z)
My=f2(x;y;z)
Mz=f3(x;y;z)
9
=
;
:
Unejemplo(querepresentaunafuerzacualesquiera)decampovectorialser¶³a
~
M(x;y;z)=x
2
^{+y
2
^|+xy
^
k:
10.4.Flujodeuncampovectorial
Sede¯neel°ujodeuncampovectorialcomolacantidaddecampoqueatraviesa
cierta¶area.Comoestade¯nici¶onhabladaesunpocopobre,matem¶aticamentesi
tenemosuncampovectorial
~
Mqueatraviesaunapeque~naregi¶ondStomamos
comodÁ=MdS.Ahorabien,noeslomismoquelasuper¯ciequeatraviesesea
perpendicularalcampo,encuyocasoentrar¶³a\delleno"aquedichasuper¯cie
est¶esituadadeformaparalela,pueseneste¶ultimocasonoatravesar¶³anadade
campo.Porestosede¯neunvectord
~
Squeseaperpendicularalapeque~na¶area
consideradayteneras¶³quedÁ=
~
M¢d
~
S.Conestologramosqueaparezcaelt¶ermino
cosµenlade¯nici¶onde°ujoypoderas¶³considerarlaproyecci¶oncorrectadecampo
queatraviesalasuper¯cie.Paralogrartenerel°ujototalnohaym¶asqueintegrar:
ÁM=
Z
S
~
M¢
~
S:
10.5.Gradientedeuncampo
±DadaunafuerzaconservativayahemosvistoanteriormentecomoseAmpliaci¶on
pod¶³aextraerdeunpotencial,locualreportabalaventajadequeunafuerza
conservativanoessinouncampovectorial,yportantotendr¶atresdimen-
siones,frenteaunpotencial,quepuedeserconsideradouncampoescalary
portantopresentas¶olounadimensi¶on.
Laoperaci¶onporlacuallogr¶abamosestolallamamosgradiente,yten¶³a-
mosque
~
F=¡
~
rV.
As¶³pueslaoperaci¶ongradienteesunaformade,apartirdeuncampo
escalar,lograrotrovectorialy,comohemosvistoenelp¶arrafoanterior,este
camponuevoser¶auncampodefuerzassielotroeraunpotencial.
10.6.LeydeGauss
Sitomamosunafuerzacentralquedecrezcaconelcuadradodeladistancia,
esdecir,deltipo
~
F=C
br
r
2dondeCesunaconstantecualquiera,ycalculamossu
°ujoatrav¶esdeunasuper¯cieesf¶ericacentradatambi¶enrespectoalorigen,como
lafuerza,deradioRtendremosque
Á=
Z
S
C
br
r
2
¢d
~
S
yaqu¶³considerandoqueparaestecasolafuerzasiemprecortaperpendicularmente
anuestraesfera,yladistanciaaellasiempreesRtendremos,extrayendolascon-
stantesyrealizandoelproductoescalar
Á=
C
R
2
Z
S
dS
68 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

69. CAP
¶
ITULO10.CONCEPTOS GENERALES DECAMPOS
que,simplemente,dar¶aÁ=
C
R
24¼R
2
y,portanto
Á=4¼C:
Estaleyencontradaparauncasomuyparticular,sepuededemostrarnoob-
stante,quesirvetambi¶entomandouncampogravitatoriooelectrost¶aticocualquiera
yunasuper¯ciecerradacualquiera.Portanto,cualquieraquesealasuper¯cieque
tomemos
Á=4¼Kq; (10.1)
dondeqeslacargaencerradaporlasuper¯cie,paraelcasoelectrost¶atico,obien
Á=¡4¼Gm; (10.2)
siendoahoramlamasatotalqueencierralasuper¯cie.
Esteresultado,encuyademostraci¶ongeneralnovamosaentrar,resultamuy
importantey¶util,yaqueespr¶acticopararesolverbastantesproblemas,yseconoce
conelnombredeLeydeGaussparaelcampoelectrost¶aticoogravitatorio,en
honordesudescubridor.
10.7.Circulaci¶on
±Sede¯nelacirculaci¶ondeuncampovectorial
~
Malolargodeunrecor- Ampliaci¶on
ridolcomolaintegralalolargodelal¶³neadelacomponentedelcampoque
esparalelaadichal¶³nea.
Estade¯nici¶onsepuedeexpresarmatem¶aticamentecomo
Z
L
~
M¢
~
l:
Comopodemosobservarestanuevamagnitud,lacirculaci¶on.noesm¶as
quelade¯nici¶onmatem¶aticadeunamagnitudf¶³sicaqueyaconocemos:el
trabajo.
10.8.Representaci¶ongr¶a¯cadeloscampos
10.8.1.Campoescalar
Representaruncampoescalarsepuederealizarpormediodesussuper¯cies
denivel,esdecir,uniendoconunal¶³neatodoslospuntosquepresenteelmismo
potencial,yobservandoestosdibujostendremosunaideadec¶omosecomportaeste
campo.Unejemplopodr¶³anserlasl¶³neasdeniveldeunmapageogr¶a¯co.En¶el
seindicancuantovaleencadapuntolaaltura.Bastaecharunaojeadaaunmapa
geogr¶a¯copara,observandod¶ondeseacumulanm¶asl¶³neasdenivelsaberqueen
esospuntoslapendienteser¶amayor.
±Adem¶as,enesteejemplo,elcampoescalardelasalturascoincide(salvo Ampliaci¶on
unaconstante)conelcampoescalarpotencialgravitatorio.Deestamanera
unpuntodondehaymuchasl¶³neasdenivelsuponeunpuntodondehaymucha
variaci¶ondeenerg¶³apotencial.Lavariaci¶onlaproporcionaladerivadadeles-
calar,enestecasoelgradiente.Siestaderivadaesaltaelgradienteser¶acon-
siderable.Peroelgradientedeunpotencialconsignomenoseslafuerzaque
sesienteenesepunto.>C¶omoentenderestodesdenuestromapageogr¶a¯co?,
essencillo,all¶³dondelascurvasdenivelest¶anmuyjuntaselterrenoesmuy
empinado,tienemuchapendiente,ylafuerzaqueseejercesobrenosotros
enesospuntosser¶amuypronunciada(haciaarribaohaciaabajo)porqueel
gradienteloes.Oescritodeotraforma>qui¶ennohasentidoladi¯cultadde
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 69

70. CAP
¶
ITULO10.CONCEPTOS GENERALES DECAMPOS
subirobajarporunterrenomuyescarpado?.Estadi¯cultadquenospropor-
cionanlasfuerzasgravitatoriassepuedeyavergraciasalarepresentaci¶onde
unmapaconl¶³neasdenivel.
10.8.2.Campovectorial
Aunquerepresentaruncampovectorialnoessencillounamaneradehacerlo
esmedianteelconceptodelasl¶³neasdefuerza,quesonl¶³neastangentesentodo
puntoaladirecci¶ondelcampo.Sielcampofueraunodevelocidadesestasl¶³neas
coincidir¶³anconlastrayectoriasdelaspart¶³culassometidasadichocampo.Algunas
propiedadesdeestasl¶³neasesquenopuedencortarse
1
pues,sias¶³fuera,tendr¶³amos
queenesepuntohabr¶³adosvaloresparaelmismocampo.Paralograrqueestas
l¶³neasnoshablendelm¶odulodelcampo(esdecir,desuintensidad)sedibujande
talmaneraqueladensidaddel¶³neasseaproporcionaladichom¶odulo.
Cuandouncampoesconservativo,alospuntosdondelasl¶³neasconvergen,se
juntan,sedenominansumideros,yaaquellosdedondesurgenonacenfuentes.
As¶³cualquierplanetaesun\sumidero"decampogravitatorio,yunprot¶onser¶³a
unauente"decampoelectrost¶atico.
1
M¶asqueenpuntossingulares,sitiosdondelafuerzaesin¯nito...
70 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

71. Cap¶³tulo11
Gravitaci¶onycampo
gravitatorio
11.1.Introducci¶on
LaleydeNewton
~
F=m~aesmuy¶utilparaindagarc¶omosemueveuncuerpo
sometidoaunaciertafuerza,peronoobstantehayalgunassituacionesenlascuales
hayqueindagarcualeslafuerzaalaquesevesometidouncuerpodeterminado.
Entreestasfuerzaslasm¶asconocidassonlagravitatoriaylaelectrost¶atica,de
aspectomuysimilarperoor¶³genesdistintos.
Noobstanteestasfuerzasaparecengraciasaunaextra~na\acci¶onadistancia".
Paraevitaresteconceptoseintroduceelconceptodecampo,comouna\deforma-
ci¶on"quesufreelespacio
1
queposibilitaestaacci¶onadistanciaentreunaspart¶³culas
yotras.
11.2.Leydelagravitaci¶onuniversal
11.2.1.Enunciado
Estaley,descubiertaporNewton,a¯rmaquedosmasascualesquieraexperimen-
tanunaatracci¶onentreellasenlal¶³neaqueunesuscuerposyquedichaatracci¶on
esproporcionalasusmasaseinversamenteproporcionalalcuadradodeladistancia
quelassepara,esdecir
~
F=¡G
Mm
r
2
br (11.1)
Enestaleysitomamosj~rj=
p
x
2
+y
2
podemosdecirtambi¶enque
Fx=¡GMm
x
r
3
Fy=¡GMm
y
r
3
¾
DondeMeslamasadeuncuerpo,mladelotro,relm¶odulodeladistancia
quehayentreellos,quepodemosexpresarcomor=
¡
x
2
+y
2
+z
2
¢1
2
yGesla
constantedegravitaci¶onuniversalcuyovalorexperimentalesaproximadamente
G=6;672¢10
¡11
m
3
kg
¡1
s
¡2
:
1
Oelespacio-tiempo.
71

72. CAP
¶
ITULO11.GRAVITACI
¶
ONYCAMPOGRAVITATORIO
11.2.2.LasleyesdeKepler
Estasleyesde¶³ndoleemp¶³ricason
1.Losplanetasdescriben¶orbitasel¶³pticasyplanasalrededordesusol,donde
¶este¶ultimoocupaelfocodelaelipse.
2.Elvectordeposici¶onconrespectoalsoldeunplanetacualquierabarre¶areas
igualesentiemposiguales.
3.LosplanetasquegiranalrededordeunamismaestrellacumplenqueT
2
/R
3
,
siendoTsuperiodoyRladistanciaalaestrella.
11.2.3.Principiodesuperposici¶on
LaleydescubiertaporNewtonseaplicaalhallarlafuerzadeatracci¶onentre
dos¶unicoscuerpospuntuales.Poresoesl¶ogicopreguntarsequesuceder¶acuando
tenemostresom¶ascuerposqueseatraengravitatoriamenteentres¶³.Paraellose
hadescubiertoelprincipiodesuperposici¶on.
Esteprincipioindicasimplementeque,alahoradecalcularcualser¶alafuerza
quesienteunapart¶³culaporotroconjuntodepart¶³culas,bastasumarvectorialmente
lasfuerzas.
Estapropiedad,peseaqueestamosacostumbradosaella,nodejadesersorpren-
dente.Dealgunaformalaperturbaci¶onquesecreaenelespacioyquelograquelos
cuerposseatraigan,esindependientedesiyaexisteotraperturbaci¶oncreadapor
elmismocuerpo,ysimplementesesumansusresultadosrespectivosparaformarel
total.
±Estapropiedadgeneralquepresentalaf¶³sicaenmuchoscampossesueleAmpliaci¶on
llamarlinealidad.Tambi¶enavecessehabladef¶³sicalineal,¶opticalineal,etc...
indicandoaquellos¶ambitosenlosqueesv¶alidoa¯rmarquelaperturbaci¶on
totalessimplementelasumadelasperturbacionesparciales.
.Paraunconjuntodepart¶³culaslafuerzagravitatoriaqueexperi-Recuerda
mentaunapart¶³culaes,simplemente,lasumadelosvectoresdecada
unadelasfuerzasinvolucradas.
11.3.Campogravitatorio
11.3.1.Concepto
PodemosdecirquecuandounplanetagiraalrededordelSolesdebidoaqueelSol
ira"de¶el,atrav¶esdelosmillonesdekil¶ometrosdeespaciovac¶³oeinerte,usando
paraellounconceptodenominado\acci¶onadistancia",esdecir,estamisteriosa
capacidaddelograrqueuncuerpoafecteaotrosinque\hayanadaenmedio".No
obstanteotraformam¶asf¶³sicadeinterpretarelmismosucesoessuponerqueelSol
creaalg¶untipodeperturbaci¶on,creaunaentidadquehaceque,cuandounplaneta
sesit¶uaenelmismoespacio,¶estesesientaatra¶³do.Aestaperturbaci¶onesalaque
denominacampo.
±>Peroporqu¶ea¯rmarqueesm¶asf¶³sicosuponerlaexistenciadeesteAmpliaci¶on
campo?.Paraellovalg¶amonosdeunejemplosencillo.Sienunestanqueen
elcualhaybastantesolasporqueunni~noseest¶aba~nandoenfrente,nosotros
dejamoscaeruncorchodeunabotellaobservaremosque¶esteoscila.Lain-
terpretaci¶onde\acci¶onadistancia"postular¶³aqueeselni~noelque,deuna
formaquiz¶as\misteriosa"halogradohaceroscilarelcorcho.Lainterpretaci¶on
decamposostienequeelni~nocreaunaperturbaci¶onenelmedio,enestecaso
72 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

73. CAP
¶
ITULO11.GRAVITACI
¶
ONYCAMPOGRAVITATORIO
elagua,quesetransmiteyllegahastaelcorcho,haci¶endoleoscilar.Incluso
podr¶³amosverque,comolasondassonesf¶ericasysevanhaciendocadavez
m¶asgrandes,sisuenerg¶³apermanececonstante,comohaderepartirseentre
lalongituddelaondatotal,quees2¼r,suefectodecrecer¶aconelinversode
ladistancia.Podr¶³amospostularas¶³laleydeacci¶onadistanciadelni~nosobre
loscorchosdebotellacomo odoni~noenunestanquegeneraunafuerzaos-
cilatoriasobreloscorchosdelosalrededoresquedependedirectamentedela
fuerzadelni~noeinversamentedeladistanciaadichoni~no",peronoobstante
esmuchom¶asnaturalpensarqueelni~noselimitaarealizarunaperturbaci¶on
queafectatardeotempranoalcorcho.
Estasdosformasdeverelmismofen¶omeno,noobstante,dejanclarasdos
diferenciasextraordinariamenteimportantes:
1.Enla\acci¶onadistancia"noparecehaberning¶uninconvenientepara
quedichaacci¶onseejerzainstant¶aneamente,peroencambiocuandous-
amoselconceptodecampoparecel¶ogicoquelaperturbaci¶onsepropague
ytarde,porconsiguiente,ciertotiempoenalcanzarsuobjetivo.Vemos
puesqueexisteas¶³unaformamuchom¶astangibledeversielSolgenera
uncampoounaacci¶onadistancia.Larespuestaesuncampo,aunque
tendr¶³amosqueirnoshastalamec¶anicarelativista,queescapadelos
objetivosdeestelibro,paracomentarque,efectivamente,lagravedad
arda"enllegardesdeelSolhastanuestroplanetaciertotiempo.Conc-
retamente,silogr¶asemosquitarrepentinamenteelSoldenuestroUniver-
solaTierranoseenterar¶³adesuausenciagravitatoriahastapasadoun
ciertotiempo.>Aqu¶evelocidadsepropagaestaalteraci¶ongravitatoria?
Alavelocidaddelaluzc,comocasitodoenmec¶anicarelativista.
2.Lapresenciadeuncampoimplicadealgunaformalaexistenciadeun
\medio"quepropaguelaperturbaci¶on.Estemedioser¶³aelagua,enel
ejemplodid¶acticoexpuestoanteriormente,yelvac¶³oennuestrocasocon-
cretodelagravedad(yelelectromagnetismo).Portantoel\vac¶³o"no
est¶atanvac¶³ocomoparece,sinoquedebepresentarunaciertaestruc-
turaquepermitatransmitirestasalteraciones.AestaestructuraAlbert
Einstein,Minkowskyyotrosladenominaronespacio-tiempo.
11.3.2.Entidadmatem¶atica
Partiendodelaecuaci¶on(11.1)deNewtonparalagravitaci¶onpodemosverque,
siconsideramosuncuerpoaislado,podemossuponerqueesteejerceuncampoigual
alafuerzaqueexperimentar¶³aunapart¶³culademasamdividido,precisamente,
porestamasam.As¶³tenemosqueelcampogravitatorio,quellamaremos~ges,
simplemente
~g=
~
f
m
:
.Elcampogravitatorio~gqueexisteencualquiersitiodelespacioes Recuerda
igualalafuerzanetaqueexperimentar¶³aunapart¶³culademasamen
dichopuntodivididaporesamismamasa.
Deestamanera,deformageneral,tendremosqueelcampo~gquegenerauna
part¶³culademasamser¶a
~g=¡
Gm
r
2
br:
11.4.Energ¶³apotencialgravitatoria
Resultamuyinteresantehacerunestudiosobrelaenerg¶³apotencialquepuede
teneruncuerpoporelhechodeestarsumergidoenuncampogravitatorio.Sabe-
mosyaqueloscamposgravitatoriosproducidosporunapart¶³culapuntual,ser¶an
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 73

74. CAP
¶
ITULO11.GRAVITACI
¶
ONYCAMPOGRAVITATORIO
centralesyquetodafuerzacentralesconservativay,portanto,tendr¶aunaenerg¶³a
potencial.Ahorabien,sabercu¶alser¶a¶estapuedeseronosencillo.Veremoseneste
casocu¶alesdichaenerg¶³apotencialgravitatoria.
Laenerg¶³apotencialesf¶acilmenteobtenibleatrav¶esdeltrabajoquesupone
desplazarunapart¶³culaocuerpodesdeunaposici¶onhastaotra.Estoesas¶³porque
estamagnitudnosexpresaunaciertaenerg¶³a\especial",yaquelatieneelcuerpo
porocuparunaposici¶on,ylaenerg¶³aest¶a¶³ntimamenterelacionadaconeltrabajo.
As¶³podemosplantearcu¶alser¶adichotrabajocomo
WAB=
Z
B
A
~
F(~r)¢d
~
l:
Comodichotrabajoresultavenirdeunafuerzaconservativacentralemplearemos
lamismat¶ecnicaqueseusabaparaverquelasfuerzascentraleseranconservativas:
separamosmentalmentelatrayectoriaen¶orbitasperpendicularesalafuerza,en
lascualeseltrabajoser¶acero,yotrasparalelasadichafuerza.Enlasfuerzas
centraleslas¶orbitasperpendicularesentodopuntoalafuerzaresultanserc¶³rculos
conc¶entricos.As¶³puess¶olovaaintervenireltrabajorealizadoporalejaroacercar
uncuerpodelorigen,ylaecuaci¶onanteriorpasar¶aaser
WAB=
Z
rB
rA
F(r)dr;
endondes¶olointervienenlosm¶odulos.BastaahorarecordarqueF=¡
GMm
r
2para
obtenerque
WAB=¡
Z
rB
rA
GMm
r
2
dr=GMm
µ
1
rB
¡
1
rA
¶
:
ComoWAB=Ep(~rA)¡Ep(~rB)tenemospor¯nque:
E
grav
p(~r)=¡
GMm
r
: (11.2)
¦Nota
1.Intentandointerpretarelresultado(11.2)tenemosqueparaquelaen-
erg¶³apotencialgravitatoriadeuncuerposeacero¶estedebeencontrarse
<enelin¯nito!.>C¶omoseentiendeesto?.Comoelalcancedelafuerza
gravitatoriaesin¯nitoelhechodequeuncuerpodejedesentirlasupone
quedichocuerpoest¶ain¯nitamentealejado.
¶
Esees,enprincipioelsig-
ni¯cadodeestaelecci¶ondeorigendeenerg¶³apotencial.
2.Otrodatosigni¯cativoeselhechodequedichaenerg¶³aseanegativa.
Hastaahoratodaslasenerg¶³asnoshab¶³ansalidopositivas.>Qu¶epuede
signi¯carqueunaenerg¶³aseanegativa?.Paraellovamosapensarenlo
quesuponeteneruncuerpoconenerg¶³acero.Te¶oricamente¶esteser¶³a
uncuerpoincapazdeproducirtrabajoalguno.Noesdif¶³cilasociareste
cuerpoconunosituadoenelvac¶³om¶asabsoluto,aisladoyquietoennue-
strosistemadereferencia.Comonotienevelocidadnihayperturbaci¶on
algunasuenerg¶³adeber¶³asercero.Pensemosahoraenquehayquehacer
paraqueuncuerpoparadoenlascercan¶³asdeotrollegueatenerenerg¶³a
cero.Paraellodeber¶³amosaislarledelotro,yparahacerlolealejamos
hastael1.Ahorabien,comoelotrocuerpoleatraehemosdeaportar
energ¶³aparaalejarlehastadejarleaislado.Ahorabien,siparaqueeste
cuerpotengaunaenerg¶³anulahemosdedarlenosotrosenerg¶³a,signi¯ca
que,dealgunaforma,estecuerpo\debeenerg¶³a",pueshemosded¶arsela
nosotrosparaquesuenerg¶³atotalseacero.Precisamentecomo\debe"
energ¶³atenemosquesuEpesmenorquecero.
74 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

75. CAP
¶
ITULO11.GRAVITACI
¶
ONYCAMPOGRAVITATORIO
11.5.Problemasconcretos
11.5.1.C¶alculodelafuerzagravitatoriaejercidaporunsis-
temadepart¶³culas
Recordandoelprincipiodesuperposici¶onenunciadoen11.2.3,paracalcularla
fuerzaquesobreunapart¶³culademasamyradio~rejerceunsistemadeipart¶³culas
conmasasmi;i=1;:::;Nyradios~ribasta\sumar"todosloscamposproducidos,
estoes
~
F=
N
X
i=1
~
Fi=¡
N
X
i=1
Gmmi
(~r¡~ri)
2
(dr¡ri)
11.5.2.C¶alculodelafuerzagravitatoriaejercidaporuncuer-
pocontinuo
Sidebemoscalcularlafuerzagravitatoriaqueejerceuncuerpocontinuodeber-
emos,aplicandoelprincipioenunciadoen11.2.3,\sumar"todaslascontribuciones.
Paraunasumacontinuahemosderecurriralc¶alculointegrarylograras¶³conseguir
~
F=¡
Z
Gm
(~r0¡~r)
2
(dr0¡r)dm:
Despu¶escomosehaceusualmentesereemplazadmpor½(~r)dVyseintegra.
¦Estaintegraci¶on,queenelcasogeneralpuederesultarcomplicada,que- Nota
damuysimpli¯cadaenproblemasquepresentensimetr¶³aeligiendoadecuada-
menteelsistemadecoordenadas.
11.5.3.Problemasdesat¶elites
Pararesolverproblemasdesat¶elitesgeneralmentebastaconlograrrelacionarsu
velocidadconlaalturaalaque¶orbita.Paraellosesuponequedescribenuna¶orbita
circularavelocidadangularconstanteyque,portanto,debeexistirunafuerzaque
proporcionelaaceleraci¶onnormalnecesaria.Estafuerzaeslagravitatoria.
Sabiendoentoncesque
m
v
2
R
=
GMm
R
2
yrelacionandovconotrasmagnitudescomov=R!y!=
2¼
T
suelebastarpara
sacarestosproblemas.
11.5.4.Velocidaddeescape
Sellamavelocidaddeescapeaaquellaquehayquedarauncuerpoparaque
logredesligarsedelaatracci¶ongravitatoriaalaqueseencuentrasometido.Como
desligarauncuerpodelaatracci¶ongravitatoriasuponeenciertamedidaaislarlodel
cuerpoqueloatrae,necesitaremosquelaenerg¶³aquetengadichocuerpo,sea,por
lomenos,nula.Encasocontrariotendr¶aunaciertaenerg¶³apotencialnegativa,que
supondr¶aquea¶unseencuentraligadoconelsistemaqueleatrae.As¶³puestomando
quelaenerg¶³atotal,sumadecin¶eticaypotencialdebesercero,tendremosque
1
2
mv
2
¡
GMm
r
=0
ydeaqu¶³sepuedeextraerdichaconclusi¶on.Sehaaplicadolaecuaci¶on(11.2).
Esnotablequelaresoluci¶ondeesteproblemasuponeelclaroentendimientodela
secci¶on11.4.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 75

76. CAP
¶
ITULO11.GRAVITACI
¶
ONYCAMPOGRAVITATORIO
dm
x
L
D
Figura11.1:Campo~ggeneradoporunavarilladelgada.
11.5.5.Medidadelagravedadenlasuper¯ciedeunplaneta
Elvalorde~genlasuper¯ciedeunplanetaser¶asencillamenteelvalorqueel
campo~gtieneendichopuntoy,portanto
~g=
GM
R
2
dondeMeslamasadelplanetayRelradioquedichoplanetatiene.
11.5.6.C¶alculodelaatracci¶ongravitatoriadealgunoss¶olidos
simples
Paraalgunoss¶olidossimplesoquepresentensimetr¶³asepuedecalcularcon
relativasencillezlaatracci¶ongravitatoriaqueejercen,osucampo~g.Generalmente
bastar¶aintegrarenunoscasosyaplicarastutamenteelteoremadeGaussenotros.
Varilladelgadahorizontal
ParalograrcalcularcualpuedeserelcampoqueseejerceaunadistanciaDde
unavarilladelgada,comoladela¯gura11.1tomemosunpuntocualquieraauna
distanciax.Lapeque~namasadmgenerar¶auncampod~gqueser¶a
d~g=¡G
dm
x
2
^{:
Enestoscasossiempresetomalavarillahomog¶enea,dedondedm=¸dx,aunque
sinolofueratendr¶³amosquedm=¸(x)dxyseintegraentrelosextremosquehay
masa,esdecir,xvariandoentreDyD+L.As¶³tenemosque
~g=
Z
d~g=
Z
L+D
D
¡G
¸
x
2
dx^{=
GM
L
µ
1
D
¡
1
L+D
¶
^{
dondehemossustituido¸=
M
L
.
Planoin¯nito
Sitenemosunplanoin¯nitoyqueremoshallarelcampoencualquierpunto
tendremosque,necesariamente,endichopuntoelcampotienequeserperpendicular
alplano.Estoesas¶³porquealserelplanoin¯nitoencualquierzonaqueestemos
estamos\enelmediodelplano",esdecir,haylamismacantidaddemasaentodas
lasdirecciones.PodemosusarelteoremadeGausspararesolveresteproblema.
Tomandocomosuper¯cieuncilindroperpendicularalplanoydetalmaneraque
lamitadesteaunladoylaotramitadalotrotendremosqueel°ujototalque
atraviesaser¶aÁ=¡4¼GMdondeM=¾Ssiendo¾ladensidadsuper¯cialyS
el¶areaqueencierraelcilindro,queser¶alamismaqueladesutapa.EL°ujose
puedecalcularf¶acilmente.Ser¶asolamenteeldelastapas,pueslosbordesresultan
76 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

77. CAP
¶
ITULO11.GRAVITACI
¶
ONYCAMPOGRAVITATORIO
paralelosalcampoque,comohemosdichoantes,esperpendicular.Enlastapas,
porsimetr¶³a,elcamposer¶aelmismoalolargodetodalatapa,ycomoadem¶as
ser¶aperpendicularaellatendremosqueel°ujototalresultaserÁ=¡2Sgdondeel
2esdebidoaquetienedostapas,y¡Sgessencillamenteelcampoporlasuper¯cie
que,enestecasoparticularysencillo,nosdar¶ael°ujo.
Relacionandoahoraconlaecuaci¶ondeGaussanteriormenteescritatenemosque
¡4¼G¾S=¡2Sgydeestamaneradeducimosqueg=2¼G¾que,deformaun
tantosorprendente,nodependedeladistanciaalaqueestemosdelplano.
¦Comoejerciciopuedeserinteresanteplantearseelcampogravitatorio Nota
quegenerar¶³aunhilorectohomog¶eneoin¯nitamentelargo.
Campogravitatoriodeunobjetoesf¶ericohomog¶eneo
2
Sitenemosunobjetoesf¶ericohomog¶eneopodemosdecir,porsimetr¶³a,queel
campoquegenereser¶acentral.Entoncestomaremoscomosuper¯ciedeGaussuna
esferam¶asgrandequeelobjeto,conc¶entricacon¶elycuyoradio,tomandocomo
origenelcentrodelobjeto,sear.Dadoqueelcampodelaesferaescentral¶este
cortar¶aperpendicularmentealasuper¯ciedeGaussentodopunto,dedondeel°ujo
ser¶asencillamenteÁ=¡g4¼r
2
puesgeselm¶odulodelcampo,a¶unnosabemos
cuanto,y4¼r
2
lasuper¯cietotaldelaesferaqueusamoscomosuper¯ciedeGauss.
Igualandoesteresultadocon(10.2)tendremosque
¡4g¼r
2
=¡4¼Gm
y,portanto,elresultadoesquelaesferaact¶uacomositodasumasaestuviera
concentradaensucentro,pues
g=
Gm
r
2
:
2
Almenosacapas.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 77

78. CAP
¶
ITULO11.GRAVITACI
¶
ONYCAMPOGRAVITATORIO
78 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

79. Cap¶³tulo12
Campoypotencialel¶ectrico
12.1.Preliminar
Lasleyesdeestetemaylasformasderesoluci¶ondeproblemassonmuysimilares
enformaycontenidosalasdeltemaanterior.Porestaraz¶onsever¶anunpocom¶as
escuetamentesusleyes.Detodasformashayquetenerencuentaqueestaanalog¶³a
seproduceentredosmagnitudestandiferentescomolaatracci¶ongravitatoriayla
el¶ectrica,cuyadiferenciaen¶ordenesdemagnitudesdelordende10
2
0.
12.2.LeydeCoulomb
Doscargasel¶ectricaspuntualesseatraen(orepelen)entres¶³conunafuerza
dadapor
~
F=
1
4¼²0
qQ
r
2
^r (12.1)
Qyqsonlosvaloresdelascargasinvolucradas,quedeber¶anllevarsucorre-
spondientesigno,²0sedenominapermitividaddelvac¶³o.Avecesalvalor
1
4¼²0
sele
denotaconlaletraKysuvaloraproximadoesde9;00¢10
9
Nm
2
=C
2
.
12.2.1.Principiodesuperposici¶on
Lafuerzaqueejercenunsistemadecargassobreotraesigualalasuma(vecto-
rial)delasfuerzasdecadaunadelascargasdelsistemasobrelaotra.Quieredecir
estoquedadounsistemadecargaspuntualesdeposiciones~riycargasqi,lafuerza
queejercensobreotracargaqsituadaen~rser¶a
~
F=
N
X
i=1
1
4¼²0
qiq
j~ri¡~rj
2
dri¡r:
12.3.Campoel¶ectrico
Eslafuerzaporunidaddecargaqueexperimentar¶aunacargaenciertaposici¶on
delespacio.Obedecealaf¶ormula
~
E=
~
F
q
:
Debidotambi¶enalprincipiodesuperposici¶on,laexpresi¶ondelcampoel¶ectricoen
unaposici¶on~rdelespaciocreadoporunsistemadeNcargasdevalorqi;i=1;:::N
79

80. CAP
¶
ITULO12.CAMPOYPOTENCIAL EL
¶
ECTRICO
yposici¶on~riser¶a
~
E=
N
X
i=1
1
4¼²0
qi
j~ri¡~rj
2
dri¡r:
Enelcasodetenerunsistemacontinuoestaf¶ormulaanteriorquedar¶atransfor-
madaen
~
E=
Z
V
1
4¼²0
½(~r
0
)
j~r
0
¡~rj
2
dr
0
¡rdV:
.Lafuerzayelcampoel¶ectricosonmagnitudesvectorialesqueRecuerda
cumplenelprincipiodesuperposici¶on.Portantosepodr¶ansumarcomo
vectores.
12.4.LeydeGauss
Recordandoqueel°ujoeslacantidaddecampovectorialquepasaporunidad
desuper¯cie,tendremosque,paraelcampoel¶ectrico
~
Eel°ujoser¶a
ÁE=
Z
S
~
E¢d
~
S:
Siguiendounrazonamientosimilaralquesepuederealizarparaelcasogravita-
torio,laleydeGaussnosdiceque
ÁE=4¼KQ=
Q
²0
:
¦Enestecaso,comolascargaspuedensertantopositivascomonegativas,Nota
puederesultarque,peseaqueexistancargasenelinteriordelasuper¯ciesu
carganetaseanula(seanulenunasconotras)yel°ujoseacero.
LaleydeGaussresultamuy¶utilparalaresoluci¶ondeproblemasconsimetr¶³a
plana,cil¶³ndricaoesf¶erica.
12.5.Potencialyenerg¶³ael¶ectrica
Potencialeslacirculaci¶ondelcampoel¶ectricoentredospuntosAyB,esdecir
V(~rA)¡V(~rB)=
Z
B
A
~
E(~r)¢d
~
l: (12.2)
Sienestaf¶ormulamultiplicamosambosmiembrosporq,como
~
F=q
~
Eten-
dremosqueeltrabajoel¶ectricorealizadoparadesplazarunacargaqdesdeuna
posici¶onAhastaotraBser¶asimplementeWA!B=q(V(A)¡V(B)).
An¶alogamentelaenerg¶³ael¶ectrica,esdecir,laenerg¶³apotencialel¶ectricaque
tendr¶aunacargaporencontrarseinmersaenuncampoel¶ectrico,ser¶atalque
WA!B=Ep(~rA)¡Ep(~rB)=q(V(A)¡V(B)).Estosuponeque
E
e
p(~r)=qV(~r):
.Tantolaenerg¶³acomoelpotencialyeltrabajosonmagnitudesRecuerda
escalaresyportantoseexpresar¶ancomounn¶umeronormal(consus
correspondientesunidades,esos¶³).Adem¶as,envirtuddelprincipiode
superposici¶onelpotencialel¶ectricodeunconjuntodepart¶³culasesla
sumadelcreadoporcadaunodeellas.Comoelpotencialesescalar
ser¶atanf¶acilcomosumarsusmagnitudes.
80 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

81. CAP
¶
ITULO12.CAMPOYPOTENCIAL EL
¶
ECTRICO
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
-
-
-
+
+
-
-
V V V
1 2
Figura12.1:Asociaci¶ondecondensadoresenserieyenparalelo.
12.5.1.Algunoscasosparticularesdepotencialel¶ectrico
Cargapuntual
Usandolaecuaci¶on(12.2)conelvalorde
~
Eparaunacargapuntual,quees
~
E=
1
4¼²0
q
r
2^reintegrando,sellegaf¶acilmentealaconclusi¶ondeque
V(r)=
1
4¼²0
q
r
:
Campoel¶ectricoconstante
Unsencillousode(12.2)nosllevadirectamentealaexpresi¶on
V(x)=¡Ex;
dondesuponemosqueelcampo
~
Eesconstante,yas¶³elpotencialdependedeuna
ciertacantidadunidimensionalx.Unbuenejemploser¶³aelcampocreadoporun
planocargadoin¯nito.Enestecasoxser¶³aladistanciaalplano.
12.6.Condensadores
Uncondensadoresundispositivocapazdealmacenarcargael¶ectrica.B¶asica-
menteest¶anformadospordosconductoressituadosunofrentealotro,lom¶ascerca
posible,dejandoentremediasdeellosunaislantequepuedeserel\vac¶³o"oun
diel¶ectrico.
Existeunarelaci¶ondeproporci¶onentreelpotencialcreadoentrelosdos\polos"¢
deuncondensadorylacargaalmacenada.Matem¶aticamentesepuedeexpresarde
unamanerasimplecomo
Q=CV;
dondeCeslaconstantedeproporcionalidad,denominadacapacidad.Launidadde
lacapacidadeselfaradio.
¦Unfaradioesunaunidadmuygrande.(Alestilodelculombio).Porello Nota
locom¶unesencontrarseconmicrofaradios,nanofaradiosopicofaradios.
12.6.1.Asociaci¶ondecondensadores
Serie
Endoscondensadoressituadosenserie,comoenelprimergr¶a¯codela¯gura
12.1ladiferenciadepotencialtotalquecaeentreelprimeroyelsegundoser¶ala
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 81

82. CAP
¶
ITULO12.CAMPOYPOTENCIAL EL
¶
ECTRICO
sumadelasdiferenciasparcialesdecadacondensador,esdecir,¢VT=¢V1+¢V2.
Noobstante,alencontrarseunidosenserielacargadeambosdeber¶aserigual
1
,y
adem¶asser¶alacargatotalalmacenadaporlaasociaci¶on.As¶³tenemosqueQ1=
Q2=QTypodemosponer
¢Vt=¢V1+¢V2=
Q
C1
+
Q
C2
ydeaqu¶³sededucef¶acilmentequelacapacidadefectivadelaasociaci¶ones
1
C
=
1
C1
+
1
C2
:
Paralelo
Sisituamosdoscondensadoresasoci¶andolosenparalelo,comosepuedeveren
elsegundodibujodela¯gura12.1,tendremosqueladiferenciadepotencialentre
ambosdeber¶aserigual,yadem¶asser¶aladiferenciadepotencialtotal.Estoes
as¶³porquetenemosunidoslosdos\polos"deloscondensadoresporunconductor,
yportantolaca¶³dadepotencialentrelos\polos"opuestostienequeserlamisma.
Asuvez,comocadacondensadoralmacenar¶aunacargadistinta,tendremosque
paralaasociaci¶ontotal
QT=Q1+Q2=C1¢V+C2¢V=(C1+C2)¢V:
Sevepues,demanerasencilla,quelacapacidadefectivaoequivalentededoscon-
densadoresasociadosenparaleloobedecealaley
C=C1+C2:
1
Puessinoseproducir¶³aundesplazamientodecargas.
82 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

83. Cap¶³tulo13
Movimientoarm¶onicosimple
13.1.Introducci¶on
Haymuchassituacionesenf¶³sicaenlascualeslafuerzaquesienteunapart¶³cula
enciertosistemaesproporcionalaundesplazamientorespectociertopunto\de
equilibrio".Esdecir,existensistemasparaloscualesesv¶alidalaleydeHooke
F=¡kx (13.1)
oalmenos,loesmanteniendoelm¶ovilentreciertosl¶³mites.Estossistemassedice
deellosquedescribenunmovimientoarm¶onicosimple.
Laintenci¶ondeesteapartadoesestudiarestetipodemovimientos,dadasu
importanciaysusencillez.
¦Entodoelestudioquesehagaenestecap¶³tulosetratar¶aelproblema Nota
demaneraunidimensional.
±Sepuededemostrarquelagranmayor¶³adelossistemasquetieneun
Ampliaci¶on puntodeequilibrioestableadmitenuntratamientoarm¶onicoparapeque~nas
oscilacionesentornoadichopunto.Estosepuedeverdesarrollandoenseriede
Tayloralrededordelpuntoyd¶andosecuentadequecomolaprimeraderivada
ser¶anulaelprimert¶erminoqueaparecer¶aser¶a,precisamente,elt¶erminode
unpotencialarm¶onico:
k
2
x
2
.
13.2.Din¶amicadelsistema
13.2.1.Ecuaci¶ondelmovimiento
SiaplicamoslaleydeNewton,F=majuntoconlaleydeHooke,obtendremos
que
ma=¡Kx)ma+Kx=0:
Estasencillaecuaci¶ones,noobstante,algom¶ascomplicadaderesolverqueotras
anteriores,puestoquelasmagnitudesinvolucradas,ayxdependenLaunadela
otra,concretamentecomoa=
d
x
dt
2
d
x
dt
2
+
K
m
x=0
queconstituyeunaecuaci¶ondiferencial,yaqueinvolucraderivadasdefuncionescon
lapropiasfunciones.Resolverestaecuaci¶onest¶abastantem¶asall¶adel¶ambitodeeste
curso,peroa¶unas¶³esf¶acildarsecuentadequelasfuncionessinycosvanatener
83

84. CAP
¶
ITULO13.MOVIMIENTOARM
¶
ONICOSIMPLE
algoquever,dadoquesonlas¶unicasquealserderivadasdosvecesysumadas
consigomismasdannulo.Manipulandoalgunoscoe¯cientesenestasfuncionesy
operandoseencuentralasoluci¶onm¶asgeneralaestemovimiento,quees
x=Asin(!t+Á) (13.2)
yqueportantoconstituyelaecuaci¶ondemovimientodeunsistemaquecumpla
laleydeHooke,obiendeunmovimientoarm¶onicosimple.
Signi¯cadodelaecuaci¶on
Enestaecuaci¶onAeslaamplitudm¶aximaquepuederecorrerelm¶ovil,!es
lafrecuenciaangulardelaoscilaci¶on,esdecir,eln¶umerodeadianes"quedaen
unsegundo.Comoparecequelapalabraradi¶annotienesentidoparaunmuelle,
porejemplo,quiz¶asseapreferiblepensarenlafrecuenciadelmovimientof=
!
2¼
esdecir,eln¶umerodeoscilacionescompletasquedaenunsegundo,obientomar
T=
2¼
!
elperiododelaoscilaci¶on,queser¶aeltiempoquetardanuestrosistemaen
darunaoscilaci¶oncompleta.
Por¶ultimo>qu¶eser¶aÁ?.Notemosque,sitomamost=0tendremosqueenel
instante0,elcuerpoquerealizaunmovimientoestabaenlaposici¶onx=sin(Á),
porloqueÁ,par¶ametroalqueseconoceconelnombredefase,nosindicacuando
empiezaelmovimiento.
13.2.2.Periodicidaddelaecuaci¶on
Fij¶andoseenlaecuaci¶on(13.2)sepuedeobservarque,laexistenciadeuna
funci¶onsenoparadescribirestemovimiento,nosvaallevarirremediablementehacia
unmovimientodetipoperi¶odico.Efectivamente,situvi¶eramosunresorteperfecto,
esteestar¶³aoscilando\eternamente"describiendoelmismomovimientoencada
oscilaci¶on.
Paraadivinarcadacuantoserepiteelmovimientobastar¶aigualarelargumento
delsenoa2¼,puescomosesabesin(2¼+Á)=sin(Á).Deestamaneratendremos
queelmovimientoserepetir¶a,estoes,har¶aunperiodo,cuando!t=2¼,locual
suponequeelperiodoTser¶a,comoyahab¶³amosdicho,T=
2¼
!
.
Estambi¶enfrecuentedescribirelmovimientoarm¶onicosimplecomolaanalog¶³a
deunaproyecci¶onsobreelejeOYobienOXdeunmovimientocirculardevelocidad
angularconstante!.
13.2.3.Velocidad
Parahallarlavelocidadqueunm¶ovilsometidoaunafuerzaarm¶onicapresenta
enuninstantetbastaderivarsuecuaci¶ondelmovimiento.As¶³tendremosque,como
v=
dx
dt
v=A!cos(!t+Á);
relaci¶onquenosofrecelavelocidaddeunmovimientoarm¶onicoparacualquier
instante.Estambi¶encom¶unrelacionarlavelocidadconlaposici¶on,cosasencilla
notandoquecos=
p
1¡sin
2
yque,portanto
A!cos(!t+Á)=A!
q
1¡sin
2
(!t+Á)
dedonde,introduciendolaamplitudAenlara¶³zcuadrada
v=!
q
A
2
¡A
2
sin
2
(!t+Á)
84 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

85. CAP
¶
ITULO13.MOVIMIENTOARM
¶
ONICOSIMPLE
yahora,echandounvistazoalarelaci¶on(13.2)seveque
v=!
p
A
2
¡x
2
;
siendoestalarelaci¶onentrevyxbuscada.
13.2.4.Aceleraci¶on
Laaceleraci¶onalaqueseencuentrasometidounm¶ovilquedescribeunmovimien-
toarm¶onicosimplesepuedeobtenerteniendopresente(13.2)yquea=
d
x
dt
2.Por
tanto
a=¡A!
2
sin(!t+Á):
Siqueremosobtenerunarelaci¶ondelaaceleraci¶onconrespectoalaposici¶ondel
m¶ovilpodemosrecurriraobservarlasimilitudentrelaecuaci¶onanteriorylaque
describelaecuaci¶ondemovimientodeunm.a.s.,obienutilizandolasleyesde
NewtonyHookeponerque
F=ma=¡Kx)a=¡
K
m
x:
13.3.Energ¶³a
13.3.1.Energ¶³acin¶etica
Partiendodelarelaci¶ondelaenerg¶³acin¶eticadeunm¶ovil,ydelaecuaci¶onde
velocidaddelm.a.s.setieneque
Ec=
1
2
Kcos
2
(!t+Á);
o,relacion¶andoloconlaposici¶on
Ec=
1
2
K(A
2
¡x
2
):
13.3.2.Energ¶³apotencial
>Esconservativoelmovimientoarm¶onicosimple?>Podemosde¯nirunpotencial
para¶el?.Larespuestaess¶³,portratarsedeunafuerzacentral
1
.Enestecaso>cu¶al
ser¶aelpotencial?.Parahallarlorecordamosque
WA!B=Ep(A)¡Ep(B)=
Z
B
A
Fdx;
yque,portanto,tendremosque
Ep(A)¡Ep(B)=
Z
B
A
¡Kxdx=¡
1
2
Kx
2
¸
B
A
=¡
1
2
KB
2
+
1
2
KA
2
;
siendoahorayamuysencilloidenti¯carlaenerg¶³apotencialenunaposici¶onxcomo
Ep(x)=
1
2
Kx
2
:
1
Aunqueestemoshaciendounestudiounidimensional,noporellodejamosdetenerunafuerza
central.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 85

86. CAP
¶
ITULO13.MOVIMIENTOARM
¶
ONICOSIMPLE
13.3.3.Energ¶³amec¶anica
Paraobtenerlaenerg¶³amec¶anicaototalpuestaenjuegoenunmovimiento
arm¶onicosimplesumaremoslasenerg¶³aspotencialycin¶eticarespectoalaposici¶on.
As¶³tendremosque
ET=
1
2
K(A
2
¡x
2
)+
1
2
Kx
2
=
1
2
A
2
:
¦Enelmovimientoarm¶onicosimpleseve,deunaformaquecasirozaNota
enlomagistral,loquelaconservaci¶ondelaenerg¶³asuponeenf¶³sica.En
estecasotodalaenerg¶³aest¶adadaporlaf¶ormula
1
2
A
2
,queeslaenerg¶³a
potencialm¶aximaquealcanzaelmuelleporsepararleunadistanciaAde
suposici¶ondeequilibrio.M¶astarde,cuandoempiezaelmovimiento,¶esteva
adquiriendoenerg¶³acin¶etica,siempreacostadesuenerg¶³apotencial,ypor
tantoacerc¶andosealaposici¶ondeequilibrio.Cuandoelm¶ovilseencuentraen
laposici¶ondeequilibriosuenerg¶³apotencialesnula,peroelcuerpoconserva
unacantidaddeenerg¶³acin¶eticaqueseir¶aahorautilizandoencomprimir
otravezelmuellehastasuamplitudm¶axima,yquecontribuir¶a,portanto,
aincrementarnuevamentelaenerg¶³apotencial.Encualquiercasolasumade
ambasnosdar¶alaenerg¶³am¶aximapuestaenjuego,queseconserva.
±Enunmuellereallaconservaci¶ondelaenerg¶³anosecumple,yaqueAmpliaci¶on
siempreexistenp¶erdidasporrozamiento.Estasp¶erdidasdanlugaraloquese
denominaunmovimientoarm¶onicosimpleamortiguado,yaquelaamplitudva
disminuyendopocoapoco,inform¶andonosasuvezdelacantidaddeenerg¶³a
queseest¶aperdiendo.
Unaformadesolucionarestefen¶omenoesaportandoalgodeenerg¶³aextra
alm¶ovil,paracontrarrestarlaquepierdeporrozamiento.Estopuededarlugar
aresonanciasyotrosfen¶omenosf¶³sicosmuyinteresantes.
13.4.Elp¶endulosimple
Hayciertossistemasque,sibiennosonestrictamentesistemassometidosauna
fuerzatipoHooke,sipueden,bajociertascondiciones,considerarsecomotales.El
p¶endulosimple,esdecir,elmovimientodeungraveatadoaunacuerdaysometido
auncampogravitatorioconstante,esunodeellos.
Alcolocarunpesodeunhilocolgadoeinextensibleydesplazarligeramenteel
hiloseproduceunaoscilaci¶onperi¶odica.Paraestudiarestaoscilaci¶onesnecesario
proyectarlasfuerzasqueseejercensobreelpesoentodomomento,yverque
componentesnosinteresanycualesno.Estosepuedeobservarenla¯gura13.1.
Vemospuesque,considerando¶unicamenteeldesplazamientotangentealatrayec-
toria,esdecir,elarcoqueseest¶arecorriendo,podemosponer
ml
d
2
®
dt
2
+mgsin(®)=0 (13.3)
dondenohemoshechosinoaplicarlasegundaleydeNewton.Estosepuedever
considerandoqueelarcoesl®y,comoleslalongituddelhiloyesconstante
2
,
laaceleraci¶onser¶al
d
2
®
dt
2.Porotraparte,aplicando
P
~
F=m~a,enestecasola
fuerzaess¶ololadelagravedad,mgquesedescomponeenunacomponente,quese
contrarrestaconlatensi¶on,m¶asotra,queeslaquehacequeexistamovimientoen
latrayectoriamarcadaporelarco.
Estaecuaci¶ondiferencialnoesnadaf¶acilderesolver
3
yporellorecurrimosa
laaproximaci¶onsiguiente:suponiendoqueel¶anguloquedesplazamosespeque~no,
2
Seconsideraunhiloinextensible.
3
Realmentenotienesoluci¶onanal¶³tica.
86 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

87. CAP
¶
ITULO13.MOVIMIENTOARM
¶
ONICOSIMPLE
mg
Tensión(T)
-T
a
a
mg sena
l
Figura13.1:Descomposici¶ondelasfuerzasenunp¶endulo.
tomamosquesin(®)'®yas¶³tenemosque
d
2
®
dt
2
+
g
l
®=0 (13.4)
queavecestambi¶enseexpresacomoÄ®+
g
l
®=0.
Estaecuaci¶onesabsolutamentean¶alogaaladeunmovimientoarm¶onicosimple,
yportantosusoluci¶ontambi¶enser¶a(13.2)teniendo,¶unicamente,laprecauci¶onde
sustituirelvalorde!antiguoporelquetieneahoraparaunp¶endulo
!=
r
g
l
:
Apartirdeaqu¶³sepuedenextraertodaslasdem¶asrelacionesparaunp¶endulo
simple,elperiodo,frecuencia,etc.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 87

88. CAP
¶
ITULO13.MOVIMIENTOARM
¶
ONICOSIMPLE
88 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

89. Cap¶³tulo14
Ondas
14.1.Introducci¶on
Existenenlanaturalezamuchosfen¶omenosdeloscualessedice ienennatu-
ralezaondulatoria"pero>qu¶eesexactamenteunaonda?>Qu¶epropiedadestienen?
>C¶omosepuedeformalizarunaexpresi¶onmatem¶aticadeunfen¶omenoondulatorio?.
Estasyotrascuestionessoneltemaobjetodeestecap¶³tulo.
Noobstante,antesdeentrardellenoenloqueesunaondaysuformalismo,
vamosade¯nirondacomo:
.Unaondaesunaperturbaci¶onf¶³sicaquetransmiteenerg¶³aymo- Recuerda
mentolineal,peroquenotransmitemateria.
Enlasondasmaterialeslaspart¶³culasconcretasquecomponenelmaterialno
sepropagan,sinoqueselimitanaoscilaralrededordesuposici¶ondeequilibrio.
Noobstantecuandounaondasetransmitepordichomaterialseproduceunasin-
cronizaci¶ondeoscilacionesentrelasdistintaspart¶³culascomponentesdelmedioque
posibilitalapropagaci¶ondeunmomentolinealyunaenerg¶³a.
±Matem¶aticamentetodaslasondasdebensatisfacerlaecuaci¶ondeondas, Ampliaci¶on
quees
@
2
f(x;t)
@x
2
=
1
v
2
@
2
f(x;t)
@t
2
;
siendovlavelocidaddepropagaci¶ondelaondaenelmedio.Sepodr¶³ade-
mostrar(aunquenoestrivial)quealgunasvelocidadesdepropagaci¶onde
ondassonv=
q
T
½
l
paraunaondaqueviajaporunacuerdadedensidad
lineal½lytensi¶onTas¶³comov=
q
E
½
1
paraunaondasonoraquecirculapor
unmediocuyom¶odulodeYoungseaEydensidadsea½.
14.1.1.Tiposdeondas
Podemosestablecercriteriosdeclasi¯caci¶ondelasondas.Algunosser¶³an:
Seg¶unelmedioporelquesepropaguen.
²Ondasquerequierenmediomaterialparapropagarse.Ejemplo,elsonido.
²Ondasquenorequierenunmediomaterial.Ejemplo,laluz.
Seg¶uneln¶umerodedimensionesqueinvolucran.
1
Setrata,portanto,deunaecuaci¶onparahallarlavelocidaddelsonidoenunmedio.
89

90. CAP
¶
ITULO14.ONDAS
²Unidimensionales.Ejemplo,lapropagaci¶ondelmovimientoenunacuer-
da.
²Bidimensionales.Ejemplo,olasenlasuper¯ciedeunl¶³quido.
²Tridimensionales.Ejemplo,elsonidonormal.
Seg¶unlarelaci¶onentrelavibraci¶onyladirecci¶ondepropagaci¶on.
²Transversales.Sonaquellasondasenlascualeslaoscilaci¶onesperpendic-
ularaladirecci¶ondepropagaci¶ondelaonda.Porejemploenunacuerda
normalytensalaondasepropagadeizquierdaaderecha(enciertoca-
soparticular)pero,encambio,laoscilaci¶ondeunpuntoconcretodela
cuerdaseproducedearribaaabajo,esdecir,perpendicularmenteala
propagaci¶on.
²Longitudinales.Enestetipolapropagaci¶onesparalelaalaoscilaci¶on.
Comoejemplo,siapretamosunmuellelasespirasoscilandeizquierdaa
derechaydederechaaizquierda,paralelasencualquiercasoaladirecci¶on
depropagaci¶on.
14.2.Ecuaci¶ongeneraldeunaonda
Supongamosque,enunacuerdatensa,creamosunaformafendeterminado
instanteydespu¶esobservamoscomosepropagaaunavelocidadv.Estosuponeque
ladeformaci¶onqueanteshab¶³aparat=0enx=0deber¶adesplazarsedetalforma
que,siendocoherenteconsuvelocidad,seencuentreenx=vtenuntiempot.Esto
sepuedelograrconsiderandolafunci¶ondeonda
f(x;t)=f
³
t¡
x
v
´
(14.1)
quenosofreceunaecuaci¶ondeondaquesedesplazadeizquierdaaderecha.Si
quisi¶eramosobtenerunaondadesplaz¶andosedederechaaizquierdabastar¶³asusti-
tuirelsignoporunopositivoytener
f(x;t)=f
³
t+
x
v
´
:
14.3.Ecuaci¶ondeunaondaarm¶onica
Laecuaci¶onconsideradaen(14.1),sibienescorrecta,noobstanteesdeuna
generalidadtanampliaquesuestudionoessencilloynoaportar¶³atampocodatos
muysigni¯cativos.Esporesoconvenienteparticularizaralcasodeondasarm¶onicas,
tomandolafunci¶onf(t)comof(t)=Asin(!t)tendremosque
Ã(x;t)=Asin
³
!
³
t¡
x
v
´´
:
Estaecuaci¶onpresentaunadobleperiodicidadtemporalyespacialqueser¶amuy
¶utilestudiar.Noobstanteantesdehacerunestudiom¶asformalesconveniente
plantearseintuitivamentequ¶eest¶asucediendoenestaonda.Comolafunci¶onsin(x)
esunafunci¶onperi¶odicaquecontienein¯nitosucles"signi¯caque,sidejamos
eltiempo¯joynosvamosdesplazandoporelejeOXdesdeciertopunto,tarde
otempranoencontraremosotropuntodesdeelcual\sevelamismaformadela
onda".Ladistanciaentreestosdospuntossellamalongituddeonda¸ypor\verla
mismaformadelaonda"nosreferimosaobservarondasenlamismafase,esdecir,
sienelprimerpuntovemoselsenoenunm¶aximo,porejemplo,buscaremosenel
90 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

91. CAP
¶
ITULO14.ONDAS
segundopuntootravezelsenoenunm¶aximo,osienelprimerpuntoest¶aelseno
enuncero,perosubiendo,buscaremoselsegundopuntoenlamismasituaci¶on:un
cerosubiendo...
Otraperiodicidadqueencontramossenotaaltomarladistancia¯jaeirvariando
eltiempo.Dadounciertoinstantet0veremosqueenunpunto¯jox0vavariando
laposici¶onhastaque,alcabodeuntiempot0+Tx0seencuentraigualqueent0.
AestacantidadTseladenominaperiodo.
¦Quiz¶assepregunteellectorqueutilidadpuedetenertomarunafunci¶on Nota
tanparticularcomolafunci¶onsin(x)parahacernuestrodesarrollodelas
ondas.Estaelecci¶onporunaraz¶on:Matem¶aticamenteelteoremadeFourier
demuestraquetodafunci¶onf(x)puedeponersecomounasumadefunciones
sin(x)ycos(x)ysiempreesm¶assencillooperarconestasfuncionesquecon
lafunci¶ongeneralf(x).
14.3.1.Periodoyfrecuencia
Calculemosexpl¶³citamentecuantoesT.Tenemosunaondaparticularizadaen
untiempot0yunaposici¶onx0,nosdar¶aundesplazamientoenelejeyconcreto
queser¶a
y
(t0;x0)(x0;t0)=Asin
³
!
³
t0¡
x0
v
´´
:
AlcabodeunciertotiempoT,cuandoelcron¶ometromarquet0+Tdebemostener
lamismasituaci¶on,esdecir,y
(t0+T;x0)=y
(t0;x0),portanto
Asin
³
!
³
t0¡
x0
v
´´
=Asin
³
!
³
t0+T¡
x0
v
´´
:
Estasituaci¶onseproduceparalasfuncionessenoycosenocuandosuargumento
aumentaenunacantidad2¼,conlocualtenemosque:
!
³
t0¡
x0
v
´
+2¼=!
³
t0+T¡
x0
v
´
ydeestaexpresi¶onessencillodeducirlasiguiente,einteresanterelaci¶on
T=
2¼
!
.Portantoelperiodoest¶arelacionadoconlafrecuenciaangular!medianteesta
relaci¶on,queeslamismaqueparaunmovimientoarm¶onicosimple.An¶alogamente
podemosde¯nirlafrecuenciafoºcomoelinversodelperiodo,esdecir
º=
1
T
=
!
2¼
:
Enla¯gura14.1seharepresentadoloquesuponeeltranscurrirdeltiempopara
unaondaarm¶onicaycomo¶estaserepitealcabodeuntiempoT.
14.3.2.Longituddeondayn¶umerodeondas
Procedamosdemanerasimilaralapartado14.3.1pero¯jandoahoraeltiempo
ydejandoquelacoordenadaxvar¶³edesdex0hastax0+¸.Tendremosentonces
que
!
³
t0¡
x0
v
´
+2¼=!
µ
t0¡
x0+¸
v
¶
yestosupondr¶alarelaci¶on:
!¸
v
=2¼
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 91

92. CAP
¶
ITULO14.ONDAS
tiempo
t=0
t=T
En un periodo T la onda se "repite".
Figura14.1:Periododeunaondaarm¶onica.
92 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

93. CAP
¶
ITULO14.ONDAS
0
Elongacion (x)
tiempo(t)
l
l
A
Figura14.2:Longituddeondadeunaondaarm¶onica.
quecuandoseponeenfunci¶ondeTadquiereelsingularaspectode
v=
¸
T
;
esdecir,lavelocidaddepropagaci¶oneselespacioquerecorrelapropagaci¶onen
unciertotiempodivididoporesetiempo.Tomandoeltiempocomounperiodo
obtenemosquelalongitudquerecorrees¸yeltiempoquetardaesT.
Sesuelede¯nirtambi¶enn¶umerodeondascomo
k=
2¼
¸
:
Poniendoas¶³lafunci¶ondeondaarm¶onicaenfunci¶onde!ykquedalasencilla
expresi¶on.
Ã(x;t)=y(x;t)=Asin(!t¡kx):
Enla¯gura14.2sepuedeverdemaneragr¶a¯caloquerepresentalamagnitud¸.
14.4.Consideracionesenerg¶eticasdelasondas
14.4.1.Energ¶³a
Parallegaralaexpresi¶ondelaenerg¶³aquepropagaunaondavamosatomar
comocasoparticulareldeunaondapropag¶andoseporunacuerdatensa.Eneste
casolaenerg¶³atotalinvolucradaporcadapart¶³culaieslaquecorresponder¶³aaun
movimientoarm¶onicosimple,quepuestoenfunci¶ondelamasayde!ser¶a
Ei=
1
2
miA
2
!
2
siendomilamasacorrespondientealapart¶³culai.Laenerg¶³atotalser¶alasumaa
todalacuerdadelasenerg¶³asdecadapart¶³culai.Hayquetenerencuentaquela
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 93

94. CAP
¶
ITULO14.ONDAS
amplitudAylavelocidadangular!vanaserconstantesentodalacuerda,ypor
tanto
E=
X
i
Ei=
X
i
1
2
miA
2
!
2
=
1
2
A
2
!
2
X
i
mi:
LasumaalaMasadecadapart¶³culaser¶alamasatotaldelacuerda,quepodemos
ponerenfunci¶ondesudensidadlinealcomomtotal=½ll.Conestonosquedaque
E=
1
2
A
2
!
2
½ll: (14.2)
14.4.2.Potencia
>Cu¶alser¶alapotencialtransmitida?.ParaellobastatenerpresentequeP=
E
t
y,dividiendoas¶³laexpresi¶on(14.2)portyconsiderandoquelalongitudrecorrida
enlacuerdaporunidaddetiempovaacoincidirconlavelocidaddepropagaci¶on,
tendremosque
P=
1
2
A
2
!
2
½lv (14.3)
14.4.3.Intensidad
Sede¯nelamagnitudintensidaddeunaondacomolapotenciaporunidadde
¶areaqueatraviesaunasuper¯cie.Paraelcasodeunaondaplanalaintensidades
iguala
I=
1
2
A
2
!
2
½v:
94 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

95. Cap¶³tulo15
Fen¶omenosondulatorios
15.1.Introducci¶on
Losprocesosenloscualesintervienenondasdanlugaraunaseriedefen¶omenos
especiales,dadalanaturalezaparticulardelasondas,quesondeinteresanteestudio,
yqueexplicanmuchasdelasasombrosaspropiedadesquetienetantolaluzcomo
elsonido.Enelcasodelaluzpodemosexplicarenqu¶econsistenlosfen¶omenosde
re°exi¶onyrefracci¶onyqu¶eleyesgobiernanestosfen¶omenos.Tambi¶enhabr¶aque
dedicarunapartadoalfen¶omenof¶³sicoqueseproducecuandosesuperponendoso
m¶asondas:lainterferencia,ypor¶ultimo,trataralgunostemassomeramenteparaun
conocimientocualitativoporpartedellector,comosonlostemassobreladifracci¶on
ylapolarizaci¶ondelasondas.
15.2.PrincipiodeHuygens
ElprincipiodeHuygensesunaherramienta¶utilybastantesencillaparaen-
tendermuchosdelosextra~nosprocesosquesucedenrelacionadosconlasondas.
Sibiennoesestrictamentecorrectoyadem¶asseaceptasinunademostraci¶onrig-
urosa,sirveparaexplicarsatisfactoriamentealgunosfen¶omenosondulatorioscomo
lainterferencia,re°exi¶on(¯gura15.6)orefracci¶on(¯gura15.8).
B¶asicamenteesteprincipioexplicac¶omotienelugarlapropagaci¶ondeunaonda:
cuandocadaunodelospuntosdeunmediomaterialesalcanzadoporunaonda,
estepuntosevuelveacomportarcomounfocoemisordeondas,creandounaserie
deondassecundarias.Elresultadoglobaldetodosestospuntosemitiendoondasa
lavezser¶aladeunnuevofrentedeondassimilaralanterior,conloquelaondase
ir¶apropagandosucesivamente.
15.3.Interferenciaentreondas
>Qu¶esuceder¶acuandodosondassecruzan?.Estaeslapreguntaquequere-
mosexplicarenesteapartado.Pararesolverlahemosdevolverarecurriranuestro
\conocido"elprincipiodesuperposici¶on,esdecir,quepodemosconsiderarelresul-
tado¯nalcomounamerasumadelosefectoscausadosporlaprimeraondam¶asla
segunda.Recordemosqueesteprincipiopareceserunapropiedaddelanaturaleza,
yaqueelefectodeaplicardosondasconsecutivassobreunmismomedionotendr¶³a
porquedarcomoresultadolasimplesumadeambasondas.
.Alpropagarsedosom¶asondasporunmediolaperturbaci¶onto- Recuerda
95

96. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS
d
d
2
1
d - d
21
Figura15.1:Esquemadeunfen¶omenodeinterferencias.
talresultantees,simplemente,lasumadelasperturbacionesdeambas
ondas.
Vamosautilizarelprincipiodesuperposici¶onparaestudiaralgunoscasossen-
cillosdeinterferenciaentreondas.
15.3.1.Ondascoherentes:Interferenciasconstructivasyde-
structivas
Supongamosquetenemosdosondastalesquesulongituddeonda,frecuencia
yamplitudsoniguales,yquesusfasesobiensoniguales,obienpresentauna
ciertadiscrepanciaquepermanececonstante.Sonprecisamenteestetipodeondas
lasquerecibenelnombredeondascoherentes.Matem¶aticamentellamemosÃauna
ondayÁalaotraysupongamosquequeremoscalcularelefectoquehacensobre
unciertopunto.Ahorabien,lospuntosdeaplicaci¶ondelfocodedichasondasno
tienenporquecoincidir,porloquelasdistanciasadichopuntoser¶andistintas,y
lasllamaremosd1yd2.Tomaremossufrecuenciacomo!ysulongituddeonda
¸aunque,noobstante,vamosarealizareltratamientomatem¶aticoexpresando
lasondasenfunci¶ondeln¶umerodeondaskparasimpli¯carunpocolanotaci¶on.
As¶³puestendremosqueunaondaser¶a
Ã=Asin(!t¡kd1)
ylaotra
Á=Asin(!t¡kd2):
Laondaresultanteser¶alasumadeambas,esdecir
ª=Ã+Á: (15.1)
Hagamosahoraunpocode¶algebra,laexpresi¶on(15.1)unavezsustituidase
transformaen
ª=Asin(!t¡kd1)+Asin(!t¡kd2)
96 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

97. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-10 -5 0 5 10
sin(x)
sin(x+.1)
sin(x)+sin(x+.1)
Figura15.2:Representaci¶ondeunainterferencia(casi)constructiva.
quealextraerfactorcom¶unalaamplituddacomoresultado
ª=A(sin(!t¡kd1)+sin(!t¡kd2)):
Apliquemosahoralaigualdadtrigonom¶etricasiguiente
sin(A)+sin(B)=2sin
µ
A+B
2
¶
cos
µ
A¡B
2
¶
(15.2)
anuestraexpresi¶ondeªyelresultado¯nalser¶aque
ª=2Asin
µ
!t¡k
d1+d2
2
¶
cos
µ
kd2¡kd1
2
¶
: (15.3)
Interpretaresteresultadoessencillo,peronoporellopocosorprendente.Si
hacemoslasustituci¶ond=
d1+d2
2
tendremosquelaondaresultanteesunaonda
quepareceprovenirdeunadistanciad,queeslasemisumadelasdistanciasa
ambosfocos,perocuyaamplitudnoesconstante,sinoquedependedelt¶ermino
2Acos
¡
kd2¡kd1
2
¢
yqueportantovaavariarseg¶unelpuntodelplanoylasrelaciones
entrelasdistanciasalosfocos,comoserepresentaenla¯gura15.1.
Interferenciaconstructiva
Concretamenteestaamplitudser¶am¶aximaenloslugaresenloscualescos
¡
kd2¡kd1
2
¢
=
1ym¶³nimaparaaquellositiosdondecos
¡
kd2¡kd1
2
¢
=0.Analizandoestounpoco
m¶asprofundamentetendremosqueaquellospuntosqueveri¯quen
kd2¡kd1
2
=n¼
tendr¶anunaamplitudm¶axima.Enellosseproducir¶aloquesedenominainterferen-
ciaconstructiva,yaqueendichospuntoslasondasseunden"constructivamente
dandolugaraunaamplitudqueeslasumadeambasamplitudes.Unejemploseve
representadoenla¯gura15.2,dondelainterferencianoespuramenteconstructiva,
porquesinosever¶³a¶unicamenteeldibujodeunaonda,peros¶³existeundesfase
tanpeque~nocomoparaverqu¶esigni¯caestetipodeinterferencia.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 97

98. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-10 -5 0 5 10
sin(x)
sin(x+3.14)
sin(x)+sin(x+3.14)
Figura15.3:Representaci¶ondeunainterferenciadestructiva.
Interferenciadestructiva
Asuvez,enlossitiosdondeestecosenomoduladorseanulo,queser¶anaquellos
paraloscualessecumpla
kd2¡kd1
2
=(2n+1)
¼
2
tendremosquelaamplitudser¶asiemprecero,independientementedeltiempoque
pase,yaquealsercerounodelosdost¶erminosdelaecuaci¶on(15.3)elresultadototal
ser¶anuloynodepender¶adeltiempo.Entoncesaestospuntosquenuncapresentan
amplitudselesdenominanodosyalasl¶³neasquelosunenselasdenominal¶³neas
nodales.Unejemplodeinterferenciadestructivaest¶arepresentadoenla¯gura15.3.
N¶otesequeelresultadodelasumadelasondasesunal¶³neaplana,unaondade
amplitudnula.
.Interferenciaconstructivasuponeamplitudm¶axima,destructivaRecuerda
implicaamplitudnula.
¦Sepuedeintentarentenderestosresultadosutilizandounpocodeintu-Nota
ici¶onf¶³sica.Unainterferenciaconstructivaseproducir¶acuandoladiferencia
defaseseaden¼perodichadiferenciaest¶amarcadaporelt¶ermino
kd2¡kd1
2
que,puestoenfunci¶onde¸resultaser
¼
³
d2
¸
¡
d1
¸
´
:
Igualandoestadiferenciadefasean¼tendremosque
d2¡d1=n¸
locualconstituyeunaf¶ormulamuchomasinteligiblequelasanteriores.Re-
sultaqueparapuntosseparadosunalongitudenteradelongitudesdeondala
98 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

99. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS






































































a
d
d
D
y
a
a
d - d
21
2
1
Figura15.4:ExperienciadeYoung.
interferenciaesconstructiva.Unc¶alculosimilarparainterferenciadestructiva
nosllevar¶³aaque
d2¡d1=
³
n+
1
2
´
¸:
>Qu¶esigni¯caesto?.Puessencillamentequesiladistanciaentrelospuntos
esunn¶umeroenterodelongitudesdeonda,comoambasondaspartenconla
mismafasedesusfocosrespectivos,cuandolleganseencuentranunafrente
alaotravariadasenloquehanlogradorecorrerdem¶asodemenosenesta
diferenciadedistancias.Siestadiferenciaesdeunn¶umeroenterodelamb-
dasambasondasseencuentranexactamenteigual,porquelafunci¶onsenoes
peri¶odicayserepitacuandohaavanzadoespacialmenteestamagnitud¸.En
cambiosihaavanzadocierton¶umerodelambdasm¶aslamitaddeuna¸re-
sultaquelasondasseencuentranencontra-fase,obienqueunaesjustola
opuestadelaotra
1
yportantoambasseanulansimult¶aneamente.
ExperienciadeYoung
±Consisteestaexperienciaenhaceriluminardosrendijasmuypeque~nas Ampliaci¶on
yseparadasunadistanciaa,tambi¶enpeque~na,conunfocodeluz.Auna
distanciadmedidadesdelamitaddelasrendijas,yquedebesermucho
mayorquea,sepuedeobservarqueexistir¶aunm¶aximo,unainterferencia
constructiva,si
ay
d
=n¸;
siendoyladistanciaverticalmedidadesdeelcentrodelapantalladeobser-
vaci¶on,comoseharepresentadoenla¯gura15.4.
Ser¶³aunejerciciointeresanteparaellectorintentardemostrarestopar-
tiendodelarelaci¶onparaunm¶aximod2¡d1=n¸yla¯gura15.4.
15.3.2.Ondasestacionarias:Propagaci¶onendireccioneso-
puestas
Vamosahoraaproponerunaformaunpocodiferentede\interferencia".Tomem-
oscomoejemplounacuerday¯j¶emoslaporunodesusextremos.(Enunganchode
unapared,porejemplo).Sipropagamosahoraunaondaporlacuerdaestatardeo
1
Yaquesin(®+¼)=¡sin(®).
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 99

100. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS
tempranollegar¶aalaparedyrebotar¶aenella.Tendremosentoncesunainterferen-
ciaqueseproducir¶aenlacuerda,debidaadosondasiguales,conlaexcepci¶onde
quesepropaganensentidocontrario.Sevaaadelantaryaqueestetipodesituaci¶on
sedenominaondasestacionarias.
Matem¶aticamenteloquetenemosesqueunaondapresentalaforma
Á=Asin(!t¡kx)
ylaotra,porpropagarseensentidocontrario,ser¶a
Ã=¡Asin(!t+kx)
,dondeelsignonegativoesdebidoaquealebotar"tambi¶enseproduceuncambio
defasede¼radianes,siendolaresultantelasumadeambas,portanto
©=Á+Ã=Asin(!t¡kx)¡Asin(!t+kx):
Paraverquesigni¯caestaexpresi¶onsevaavolverautilizarlarelaci¶on(15.2)dela
sumadedosfuncionesseno,nosdar¶a
©=2Acos(!t)sin(kx): (15.4)
>Qu¶esigni¯ca(15.4)?.Tenemosquedestacaralgunospuntos:
Nosetratadeunaondapropiamentedicha,puesnoapareceunt¶erminoque
contengaunadependenciaespacialytemporal,sinoqueestasdependencias
aparecenseparadas.
Laenerg¶³anosepuedepropagarporlacuerda.Estoesdebidoaqueaquellos
puntosparaloscualessin(kx)=0vanaestarsiemprequietos,yaqueno
presentaningunaotradependencia.Evidentementelaenerg¶³anopodr¶are-
basarestospuntosparapropagarsealotrolado.Portantoestaconstrucci¶on
noesunaondanormal,noesunaonda\viajera";precisamenteporestosela
denominaondaestacionaria.
Unpuntocualquieradelacuerdaselimitar¶aamoversedeformaarm¶onicaen
eltiempo,debidoalt¶erminocos(!t)conunaamplitud2Asin(kx).
Alospuntosquecumplensin(kx)=0yqueportanto,vanaestarsiempre
quietos,selesdenominanodos.Ennuestrocasotendremosnodosenlasposiciones
enlascualeskx=n¼.
Ondaestacionariaenunacuerda¯japorambosextremos
Esteesuncasointeresanteyconciertasaplicacionespr¶acticas.Comoejemplo,
encualquierinstrumentodecuerdatendremosunadisposici¶ondeestetipo.
Vamosahacerunan¶alisissemi-cuantitativodeestefen¶omeno.Sienestecaso
lacuerdadebeestarsujetaporambosextremossigni¯caquedichosextremosno
vanapodermoverse.Deber¶anserportantonodos.Estonosllevaaa¯rmarque
sin(k0)=0ysin(kL)=0dondesehasupuesto,comoresultal¶ogico,quelacuerda
empiezaenx=0yacabaenx=L.Laprimeracondici¶onestrivialyessiempre
cierta,perolasegundanosofreceque
kL=n¼
expresi¶onquehayqueinterpretar.Es¶estaunarelaci¶onentreeln¶umerodeondas
kylalongituddelacuerdaL.Ahorabien,puestoquelalongitudLdelacuerda
esalgoquepodemosvariaranuestroantojoloquetenemosrealmenteesqueel
100 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

101. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS
n¶umerodeondasnopuedeserunocualquiera,sinoquedebecumplirquek=
n¼
L
,
esdecirserdiscretoyconunosvaloresconcretos
2
.Poniendoestosvaloresenfunci¶on
de¸tenemosque
¸=2
L
n
;
ycomotambi¶enexisteunarelaci¶onentre¸yTyT=º
¡1
podemospor¯nexpresar
lafrecuenciadelavibraci¶oncomo
º=n
v
2L
dondeveslavelocidaddepropagaci¶ondelaonda(sisepropagara).
Esteresultados¶³queesextraordinariamenteinteresante,porquenosdiceque
lafrecuenciadelaondavaaestardelimitadaporelvalordesulongitudL.A¶un
as¶³paraunalongitudLtendremosunaseriedefrecuenciasdiferentesseg¶unelvalor
denquetomemos,quesedenominanarm¶onicos.Estaeslaraz¶onfundamental
delaexistenciadelosinstrumentosdecuerda,comoporejemplounaguitarra.
Comolafrecuenciadelaoscilaci¶onsepropagaporelaireyseescuchacomosonido,
tendremosquepodemosvariarlanotabiencambiandolalongituddelacuerdaL,
porejemplo,poniendoeldedosobreuntrasteyacortandoestalongitudencierta
cantidaddeterminada,obienvariandolavelocidaddepropagaci¶ondelaondaenla
cuerda,quedepend¶³adelatensi¶onyladensidad:esdecir,biena¯nandolaguitarra,
esdecir,aumentandoydisminuyendolatensi¶ondelacuerda,obienvariandola
densidaddelacuerdaponiendounaprimeraenvezdeunasegunda,ounatercera,
etc...
15.4.Otraspropiedadesdelasondas
15.4.1.Difracci¶on
Ladifracci¶onesunfen¶omenocaracter¶³sticodelasmagnitudesondulatorias,car-
acterizadoporlapropagaci¶on\an¶omala"dedichamagnitudenlascercan¶³asdeun
obst¶aculoounaaberturacomparable,entama~no,asulongituddeonda.
Enunlenguajem¶asintuitivo:ladifracci¶onsuponeunacontradicci¶onanuestra
ideapreconcebidadequelaluzsepropagaenl¶³nearecta,observ¶andoseenlas
cercan¶³asdeesquinasdeobst¶aculos,oenlosbordesdelasombradelaluztras
atravesarunarendijaestrecha,quedichaluzparece orcerlaesquina"odesviarse
desutrayectoriarecta.
Ladifracci¶oneselresultadodeunacomplejaseriedeinterferenciasdelasmag-
nitudesondulatoriasconsigomismas.Sienlaluznoseobservaaparentementeeste
fen¶omeno,raz¶onporlacualsurgenuestraideapreconcebidadela\propagaci¶onen
l¶³nearectadelaluz",esdebidoaque,comoyasehadichoantes,estefen¶omeno
apareces¶olocuandoeltama~nodelosobjetosorendijasescomparablealdela
longituddeondadelapropagaci¶on.Comoenelcasodelaluzvisibleestalongitud
esdiminuta.ennuestraexperienciamacrosc¶opicaycotidianadelaexistencia,no
tenemosconscienciadeestosfen¶omenos.
15.4.2.Polarizaci¶on
Enunaondatransversalelmovimientodelaspart¶³culasquecomponenelmedio
(odeloscamposqueoscilan,comoenelcasodelaluz),debeserperpendiculara
ladirecci¶ondepropagaci¶on,Ahorabien,comoladirecci¶ondepropagaci¶onesuna
rectaenelespaciotridimensional,laperpendicularaestarectasupondr¶aunplano
2
Enlenguajedef¶³sicamodernasepodr¶³adecirquekest¶acuantizado.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 101

102. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS
enelcualelmediopuededesplazarse.Imaginemosqueunaondasepropagaen
elejez.Estosuponequelaoscilaci¶ondeber¶aproducirseortogonaladichoeje,es
decir,estarcontenidaenelplanoxy.Peronosenosdicesiestandocontenidoen
dichoplanopuedeoscilarensentidonorte-sur,oeste-oeste,osuroeste-nordeste,
etc.Estalibertaddeelecci¶onquequedadeladirecci¶ondevibraci¶oncomponente
delaondasepuedecaracterizarenunapropiedadquesedenominapolarizaci¶on.
Polarizaci¶ondeunaondaser¶aportantoladirecci¶onconcretaquetomadichaonda
enlavibraci¶ondesuspart¶³culascomponentes.
Laluznormal,porejemplo,noest¶apolarizada.Estosigni¯caquevar¶³aaleatoria-
mentesudirecci¶ondevibraci¶onenelplanoperpendicularalapropagaci¶on.Cuando
estavariaci¶onnoseproduce,obienseconoceconexactitud,sedicequelaonda
est¶apolarizada,yadem¶assepuedede¯nirsutipodepolarizaci¶on.
Decirpor¶ultimoqueexistendispositivoscapacesdepolarizarlaluz,talescomo
lospolarizadoresopolaroides.
15.4.3.Otraspropiedades
Existenotraspropiedadesinteresantesdelosfen¶omenosondulatoriosengeneral
ylaluzenparticular,quequierorese~naraqu¶³,as¶³comounaseriedefen¶omenos
quesonf¶acilesdeexplicarconlasnocionesqueserecogenenp¶arrafosanterioresy
posterioresdeestecap¶³tulo.Porejemploladispersi¶ondelaluz,responsabledeque
elcieloseaazulylaspuestasdesolrojizas,responsabletambi¶endelasalidadel
arcoiriscuandoelsollograiluminarelmundoenund¶³alluvioso.Lare°exi¶ony
refracci¶ondelaluz,quetrataremosposteriormente,ycausadequepodamosvernos
enunespejo,delosespejismosydequelascucharillasse uerzan"cuandolas
metemosenagua,causatambi¶endeloshalosqueelsolylalunaofrecenaveces.
As¶³puesfen¶omenoscomoestos,ocomoelatractivocoloridoqueelaceiteofrece
sobreuncharco,porqu¶enovemosbiendebajodelaguasiabrimoslosojosal
l¶³quidoelemento,oinclusoporqu¶elospecessonplateadosporsupanza,pueden
explicarseutilizandoalgunosprincipiosb¶asicosdeinterferenciadelaluzencapas
delgadas,¶³ndicederefracci¶ondelaguafrentealdelcristalinoeinclusore°exi¶ontotal
eideasevolutivasdarwinistas.Quedaajuiciodellectorestimarsilaf¶³sicaofrece
s¶oloalgunasexplicacionesparcialesein¶utilesosibienescapazdeformarparte
juntoconlapoes¶³a,lareligi¶onylam¶³sticadelasdoctrinasquesoncapacesdecrear
unavisi¶onglobaldelabellezadenuestroUniverso,einclusollegarasuplantarlas
alg¶und¶³a...
15.5.Re°exi¶onyrefracci¶ondelaluz
Losfen¶omenosdere°exi¶onyrefracci¶onseproducenengeneralcuandoun
movimientoondulatorioseencuentraensuspropagaci¶onconunasuper¯cieque
separadosmediosdistintos.Lapartedelaondaquelograatravesardichasuper-
¯cieypasaralotroladofrecuentementecambiadedirecci¶on,conoci¶endoseeste
fen¶omenocomorefracci¶on.Tambi¶ensucedequepartedelaonda(otoda)rebota
conlasuper¯cie,denomin¶andosere°exi¶onaestefen¶omeno.
15.5.1.Re°exi¶on
Laleydelare°exi¶onseenunciaa¯rmandoque,cuandounrayodeluz,obien
ladirecci¶ondepropagaci¶ondeunfrentedeondas,seencuentraconunasuper¯cie,
laondare°ejadalohar¶aconun¶anguloigualqueeldelaondaincidente,medido
desdelaperpendicularalasuper¯ciedondesere°ejalaonda.
102 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

103. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS




























i rq q
Figura15.5:Re°exi¶ondeunaonda.




























Ondas secundarias segun el principio de Huygens.
Figura15.6:Explicaci¶onseg¶unelprincipiodeHuygensdelare°exi¶on.
Tomandolasmagnitudesdela¯gura15.5estoseexpresasimplementecomo
µi=µr.
15.5.2.Refracci¶on
Laleyderefracci¶onnosofreceel¶anguloqueadoptalapropagaci¶ondelaonda
enelsegundomedio,medidotambi¶enrespectoalaverticalalasuper¯cie,como
seindicaenla¯gura15.7.Adem¶aslosrayosdeincidencia,re°exi¶onyrefracci¶onse
encuentransiempreenelmismoplano.Laleyquerelacionael¶angulodeincidencia
conelderefracci¶onseconocecomoleydeSnell,quees
n1sinµ1=n2sinµ2;
donden1yn2sondosconstantesrelacionadasconlascaracter¶³sticasdecadamedio
yquesedenominan¶³ndicederefracci¶on.Este¶³ndicederefracci¶ondeunmedio
resultaser
n=
c
v
;
endondeveslavelocidaddelaluzendichomedio.Sededuceportantoquepara
luzenelvac¶³ocuyavelocidadescsetendr¶aquen=1.
Re°exi¶ontotal
LaleydeSnellesv¶alidaparapasardeunmedioaotrocualquiera.Cuando
tenemosquepasardeunmedio1aotro2talquen1<n2tendremosquesinµ2=
n1
n2
sinµ1ycomo
n1
n2
<1nohabr¶aning¶untipodeproblema.Ahorabien,cuando
tengamosquen1>n2entonces
n1
n2
>1yaltomarsinµ2=
n1
n2
sinµ1existir¶aun
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 103

104. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS
q
1
q
2
Figura15.7:Refracci¶ondeunaonda.
Medio 1.
Velocidad v
Medio 2.
Velocidad v
1
2
Ondas secundarias segun
el principio de
Huygens.
Figura15.8:Explicaci¶onseg¶unelprincipiodeHuygensdelarefracci¶on.
104 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

105. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS
¶anguloµl=arccos
n2
n1
talquesinµ2=1.>Qu¶epasar¶apara¶angulosµ1>µl?.Pues
suceder¶aqueparaestossinµ2>1yportanto,nuestroproblemanotendr¶asoluci¶on
real.
Elsigni¯cadof¶³sicodeestefen¶omenonosdicelosiguiente:enestoscasosexiste
una¶angulol¶³miteµlapartirdelcualesimposiblequeseproduzcaelfen¶omenode
refracci¶onyportantotodalaluzqueincidasobreesasuper¯cieser¶are°ejada.Por
estaraz¶onaestefen¶omenoseleconocecomore°exi¶ontotal.
Unejemplopr¶acticosepuedeobservarcuandosebucea:apartirdecierto¶angulo
deinclinaci¶onenelcualmiremosalasuper¯ciedelagua,veremosestacomoun
espejo,peronopodremosverabsolutamentenadadeloquehayporencimadel
agua.
15.5.3.PrincipiodeFermat
±Unaformamuyelegantedeentenderestosfen¶omenosdere°exi¶ony Ampliaci¶on
refracci¶on,yquea¶unsiguesiendov¶alida,eshacerusodelprincipiodeFermat.
Dichoprincipiodicequelaluz,parairdesdeunpuntoAhastaotroBelige
siempreuncaminotalqueeltiempoenrecorrerleseaelm¶³nimo(o,avecesel
m¶aximo).Esdenotarquelaleya¯rmaqueeseltiempoelqueesm¶³nimo,no
elespacioquerecorre.
Deestaformaenunmismomediolaluzviajaenl¶³nearecta,porquecomo
lavelocidadesconstanteentonceseltiempom¶³nimololograconunadistancia
m¶³nima,yyaseconocequelarectaeselcaminom¶ascortoentredospuntos.
Encuantoalare°exi¶on,resultaquesitenemosqueirdeunpuntoAa
otroBpero ocandounespejo"porelcamino,laformam¶asr¶apidaenlacual
loharemosser¶alograndoqueel¶angulodeincidenciaseaigualalderefracci¶on.
Por¶ultimoparalarefracci¶on:sidebemosirdeunpuntoAenunmedio
dondeunosedesplazamuyr¶apidamente(porejemplo)aotropuntoBsituado
enunmediodistintoydondelavelocidaddedesplazamientoresultamuylenta,
nosresultar¶am¶asfavorable,parallegarantes,recorreralgom¶asdeespacio
dondelavelocidadesm¶asr¶apidaparapoderas¶³\atajar"algodeespacioenel
mediodondeestavelocidadeslentayrecorrerall¶³menos.Comoejemplobasta
pensarqueavecesparairdeunsitioaotropreferimostomarunaautopista,
aunquedemosunligerorodeo,queunacarreteradetierraypiedrasquevaya
recta,sinponerendudaqueaunqueenlaautopistarecorremosm¶ascamino
vamosallegarantes.
Unaexplicaci¶onclarayamenadelasleyesderefracci¶onyre°exi¶ongracias
alprincipiodeFermatpuedeserconsultadaporellectorenel[1]cap¶³tulo26.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 105

106. CAP
¶
ITULO15.FEN
¶
OMENOS ONDULATORIOS
106 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

107. Cap¶³tulo16
Electromagnetismo
16.1.Introducci¶on
Sibienalgunosefectosmagn¶eticoshansidoconocidosdesdelaantigÄuedad,como
porejemploelpoderdeatracci¶onquesobreelhierroejercelamagnetita,nofue
sinohastaelsigloXIXcuandolarelaci¶onentrelaelectricidadyelmagnetismo
qued¶opatente,pasandoamboscamposdeserdiferenciadosaformarelcuerpode
loqueseconocecomoelectromagnetismo.
ConeladvenimientoposteriordelasecuacionesdeMaxwell,relaci¶ondeecua-
cionesenlasquequedanexpresadastodaslasleyesdelelectromagnetismo,qued¶ocer-
radoelestudiocl¶asicodeestecampo.Tanimportantesylogradasfueronestasecua-
cionesqueAlbertEinstein,eligiendoentrelaveracidaddelasecuacionesdeMaxwell
olaMec¶anicaNewtoniana,quenosoncompatiblesentresi,logr¶odesbancarlateor¶³a
NewtonianaimponiendolallamadaTeor¶³adelaRelatividad.
Enestenivelveremosalgunasdelasrelacionesm¶aspatentesentrelaelectricidad
yelmagnetismo,as¶³comolasfuerzasalasquelaaparici¶ondecamposmagn¶eticos
dalugar.
16.2.FuerzadeLorentz
Dadouncampomagn¶etico
~
Byunapart¶³culadecargaqquesedesplazaporel
interiordedichocampoconunavelocidad~vLorentzdescubri¶oqueestapart¶³cula
sufreunafuerzamagn¶eticaiguala
~
F=q~v^
~
B: (16.1)
Elementosadestacardeestaf¶ormulaesquelafuerzamagn¶eticasedejanotar,
portanto,s¶olosobrepart¶³culascargadas;parapart¶³culasneutras(q=0)seten-
dr¶aque
~
F=0.Unhechoa¶unm¶asrese~nableesques¶oloact¶uasobrepart¶³culasen
movimiento.Siunapart¶³culaest¶aenreposorespectoanuestrosistemadereferen-
cialafuerzamagn¶eticaejercidasobreella,aunqueest¶ecargadayexistauncampo
magn¶etico,esnula.
¦Paracaracterizarelsentidodelcamposepuedeemplearladenominada Nota
regladelamanoizquierda,consistenteenque,siconsideramoslosdedos
pulgar,¶³ndiceycoraz¶ondelamanoizquierda,detalformaqueeldedocoraz¶on
se~naleenladirecci¶onysentidodelavelocidadyel¶³ndiceeneldelcampo,
obtendremoselpulgar\apuntando"enladirecci¶onysentidocorrectosdela
fuerzamagn¶etica.
107

108. CAP
¶
ITULO16.ELECTROMAGNETISMO
Launidaddecampomagn¶eticoenelSistemaInternacionaleselTesla.Dela
ecuaci¶on(16.1)sepuedeextraerquedimensionalmenteunTeslaser¶aT=
Ns
mC
NewtonsegundoentremetroCulombio.
.Lafuerzamagn¶eticasiempreesperpendicularalatrayectoriadeRecuerda
lapart¶³culayalcampomagn¶etico
±Si,adem¶asdeuncampomagn¶eticoexistierauncampoel¶ectrico
~
Epode-
Ampliaci¶on mosincluirestafuerzaenlaLeydeLorentzy,comolafuerzael¶ectricaes
simplemente
~
F=q
~
Eypodemosusarelprincipiodesuperposici¶on
~
F=q(
~
E+~v^
~
B):
Unejemplodec¶omosepuedeaplicarestaf¶ormulaparacamposmagn¶eticos
constantessepuedeverenlasecci¶on16.5.1.
16.2.1.Fuerzasobreunacorrienteel¶ectrica
Pero...>Ysienvezdeunasolapart¶³culatenemosvariasmovi¶endose?,esto
escomopreguntarseporlafuerzaqueexperimentar¶a,debidoalmagnetismo,una
corrienteel¶ectrica.Paraellovamosasuponerunacorrienteel¶ectricaytomarun
elementodiferencialdeella.Sidiferenciamos(16.1)tendremosque,comos¶olola
cargaqvaavariar
d
~
F=dq(~v^
~
B);
perohabr¶aquecalcularcuantopuedeserestedq.Partiendodelade¯nici¶onde
intensidadparaunacorrienteel¶ectrica,I=
dq
dt
ysustituyendodqtendremosque
d
~
F=Idt~v^
~
B:
Veamosahoraquepodemoshacerconestaexpresi¶onusandolaconocidaf¶ormula
delavelocidad~v=
d
~
l
dt
ysustituyendoportantod
~
l=~vdt:
d
~
F=Id
~
l^
~
B:
Por¶ultimo,recordandoqueenuncircuitolaintensidad,porlaleydeOhm,
dependes¶olodeladiferenciadepotencialylaresistenciadedichocircuitoypodemos
considerarlaportantoconstante,tendremosqueparaunconductor¯nito:
~
F=I
Z
d
~
l^
~
B: (16.2)
16.3.Campomagn¶eticodebidoaunacargaenmovimien-
to
Larelaci¶onentrelaelectricidadyelmagnetismoestan¶³ntimaquecualquier
cargamovi¶endosegeneraasualrededoruncampomagn¶etico.Deducircualesdicho
campoapartirdeprincipiosinicialesnoesf¶acil,yporesosedetallaaqu¶³simple-
mentecualeselcampoquegeneraunacargaenmovimiento:
~
B=
¹0
4¼
q
~v^br
r
2
(16.3)
donde¹0eslaconstantecorrespondientealcampomagn¶etico,ysedenominaper-
meabilidadmagn¶eticadelvac¶³o,qeslacargadelapart¶³cula~veslavelocidadala
quesemuevey~reselvectorqueindicaellugard¶ondequeremoscalcularelcampo
perovistodesdeunsistemadereferenciacentradoenlapart¶³cula.Tambi¶ensela
conocecomoleydeBiotySavart.
Estaf¶ormulanosindicac¶omoelmagnetismoest¶acreadoporcorrientesynopor
monopolos,esdecirpor\cargasmagn¶eticas"delestilodelascargasel¶ectricas.
108 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

109. CAP
¶
ITULO16.ELECTROMAGNETISMO
¦Comoejemploparaverlanaturalezaunpocodistintadelcampomag- Nota
n¶eticobastaconsiderarelintentodesepararelpolodeunim¶an.Aunque
rompamosunim¶anporlamitadesteeproduce"susdospolos.Siahora
partimosestoscachosotravezendos,nuevamentetendremoscadacachitocon
dospolosnorteysurdiferenciados.Enmagnetismonoexistenlos\monopolos"
±Unaexplicaci¶ondetalladaaunqueconbastantenivelquededuzcam¶as Ampliaci¶on
rigurosamenteestasexpresionesyderazonesparaellaspuedebuscarseen
cualquierlibroquetratesobreelectromagnetismo,ecuacionesdeMaxwello
inclusoteor¶³adelaRelatividad.
16.3.1.Campomagn¶eticoproducidoporunacorrienteel¶ec-
trica
Siintentamosgeneralizarlaf¶ormula(16.3)aunacorrienteel¶ectricadeberemos
pasarprimeroaunaformadiferencialparaintentarintegrardespu¶es,igualque
hicimosconlafuerzadeLorentz.Paraellopartimosde
d
~
B=
¹0
4¼
dq
~v^br
r
2
endonde,haciendotambi¶enelcambioenfunci¶ondelaintensidadyteniendoen
cuentaque~reselpuntodondequeremoscalcularelcampoperovistodesdelacarga,
sillamamosaesepunto~rdesdeunsistemadecoordenadas,y~r
0
acadapuntodel
conductorquevamosarecorrerenlaintegraci¶on,tendremosque
~
B=
¹0
4¼
I
Z
d
~
l^dr¡r
0
(~r¡~r
0
)
2
:
16.4.LeydeAmpµere
Elhechodelanoexistenciadeun\monopolo"magn¶eticovaahacerqueen
cualquiersituaci¶on\entrenysalgan"l¶³neasdecampomagn¶eticoencualquiervol-
umenquequeramosimaginaryque,portanto,el°ujodelcampomagn¶eticosea
nulosiempre,conlocualnohayning¶unteoremasimilaraldeGaussparaelcampo
magn¶eticoencuantoa°ujosere¯ere.Peronoobstantelacirculaci¶ondelcampo
magn¶etico,esdecir
R
~
B¢d
~
lsiquevaaserunamagnitudinteresantedebidoaque,se
puededemostrar,quelacirculaci¶ondelcampomagn¶eticoatrav¶esdeunatrayecto-
riacerradacualquieravaaseriguala¹0porlaintensidaddecorrientequeatraviesa
elplanoencerradopordichasuper¯cie.Estarelaci¶on,expresadamatem¶aticamente
seconvierteen
I
~
B¢d
~
l=¹0I (16.4)
dondeels¶³mbolo
H
seutilizaparaexpresarintegralessobretrayectoriascerradas.
¦Elhechodequelacirculaci¶ondelcampomagn¶eticonoseanulapara Nota
cualquiertrayectoriaindicaqueestecamponoesconservativo,yportanto
novamosalograrencontrarunpotencialpara¶el.Noobstanteestosere¯ere
¶unicamentealcampomagn¶etico,noalafuerzamagn¶eticaynoimplica,por
tanto,lanoconservaci¶ondelaenerg¶³a.Esm¶as,comolafuerzamagn¶eticasiem-
preesperpendicularalatrayectoriaestosupondr¶aqueeltrabajomagn¶etico
siempreescero,esdecir,noseproducetrabajomagn¶etico.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 109

110. CAP
¶
ITULO16.ELECTROMAGNETISMO
16.5.Resoluci¶ondeproblemast¶³picos
16.5.1.Part¶³culasometidaauncampomagn¶eticoconstante
yuniforme
Supongamosquetenemosunacargaqueentraenuncampomagn¶eticoconuna
ciertavelocidadydetalformaqueelcampomagn¶eticoseaperpendicularadicha
velocidad.>C¶omosemover¶aenelsenodeestecampo?.Sepuedeentenderdeforma
intuitivaquealseejercer¶aunafuerzasobrelacargaque,debidoa(16.1)debeser
perpendicularalavelocidadconlaquesedesplazalacarga,yportantotendr¶auna
componenteexclusivamentenormalalatrayectoria.Comoentodomomentola
fuerzaesperpendicularalatrayectoria,porqueas¶³loexigelaleydeLorentz,ten-
dremosquelacargadescribir¶aunacircunferencia,yaqueestar¶asometidaauna
fuerzaquecrear¶aunaaceleraci¶onnormalconstanteyunaaceleraci¶ontangencial
nula.Podemosportantoigualarlafuerzacentr¶³petadeestemovimientoconla
fuerzamagn¶eticayteneras¶³que,sitomamoslosm¶odulos,
qvB=m
v
2
R
dedondesepuedededucirqueelradiodelatrayectoriaser¶a
R=
mv
qB
:
16.5.2.Fuerzamagn¶eticaexperimentadaporunconductor
rectoyperpendicularalcampomagn¶etico
PodemostomarunconductorrectoydelongitudLqueest¶asituadosobreel
ejeOX.Uncampoperpendicularaelpuedeser
~
B=B^|.Entoncesutilizandola
expresi¶on(16.2)endonded
~
l=^{dxtenemosque
~
F=I
Z
L
0
dx^{^B^|=ILB
^
k
dondesehasupuestoque
~
Besconstante.
16.5.3.Campomagn¶eticocreadoporunconductorrectoe
in¯nito
Esteproblemaesf¶acilmenteresolubleutilizandolaleydeAmpµere.Debidoala
simetr¶³aquevaapresentarelproblemapodemosa¯rmarqueelcampomagn¶etico
ser¶aencualquierpuntoperpendicularalhiloconductor(yaque¶esteesrectoyen
elc¶alculodelcampo
~
Bapareceunproductovectorial)y,loqueresultadegran
utilidad,sum¶odulos¶olopuededependerdeladistanciaalhilo.
Aprovechandoestascondicionesvamosatomarcomotrayectoriaunacircunfer-
enciacentradaenelhiloconductoryperpendiculara¶el.Lacirculaci¶ondelcampo
magn¶eticoatrav¶esdeestecaminoser¶a
¹0I=
I
~
B¢d
~
l;
parahacerestaintegraldebemosdarnoscuentadeque,encualquierpuntodela
trayectoria,
~
Bvaaresultarparaleload
~
lyportantotendremos
¹0I=
I
B
~
dl
110 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

111. CAP
¶
ITULO16.ELECTROMAGNETISMO
Idl
R
dB
x
dB
y
q
x
y
z
r
Figura16.1:Geometr¶³aparacalcularelcampomagn¶eticoenelejedeunaespira.
yc¶omoadem¶asj
~
Bjvaaresultarconstante
¹0I=B
I
dl=B2¼r;
siendorelradiodelacircunferencia,quecoincideconladistanciam¶³nimadeun
puntocualquieradenuestratrayectoriahastaalcableconductor.Deesta¶ultima
expresi¶onpodemosdespejarBqueeslo¶unicoquenoconocemos(ladirecci¶ony
sentidode
~
Bseconocen,ysepuedenobtenerusandolaegladelamanoderecha
1
"
yas¶³
B=
¹0I
2¼r
:
Queda¶unicamentedarsecuentadequeIes,talycomopideelteoremadeAmpµere,
laintensidadquecruzalasuper¯cielimitadapornuestratrayectoria.
16.5.4.Campoproducidoporunaespiraensueje
Sevaacalcularelcampoqueproduceunaespiracircularenunpuntodeleje
quedisteunadistanciaRdelcentrodelaespira,sicircularapordichaespirauna
intensidadI.Noesunc¶alculosencilloytendremosqueutilizarlaleydeBiot-
Savartexpresadaen(16.3)Vamosaprocedertambi¶enusandolasimetr¶³a,para
facilitarelc¶alculodelaexpresi¶on.Elproductoded
~
l¢~rpodr¶adescomponerseen
doscomponentes,unaparalelaalejeyotraperpendiculara¶el.Lascomponentes
perpendicularesseanulanunasconotrasyportantonosbastar¶aconconocercual
vaaserlacomponenteparalela,yaquelaotraser¶anula.Todoestopuedeverseen
la¯gura16.1.
1
Tomandolamanoconelpulgarse~nalandoenladirecci¶ondelacorriente,elrestodelosdedos
marcancualeselsentidodelcampoel¶ectrico
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 111

112. CAP
¶
ITULO16.ELECTROMAGNETISMO
I
B
Figura16.2:Trayectoriaparaunsolenoidein¯nito.
Debemoscalcularportanto¶unicamentelascomponentesdBxparalelasaleje.
Estoser¶a
dBx=dBsinµ=dB
µ
R
p
x
2
+R
2
¶
que,utilizandoBiotySavartser¶a
dBx=
¹0
4¼
Idl
x
2
+R
2
R
p
x
2
+R
2
:
Paradeterminarahoraelcampodebidoalaespiracompletabastar¶aintegrarla
expresi¶onanterioralrededordelaespira:
Bx=
I
dBx=
I
¹0
4¼
IR
(x
2
+r
2
)
3
2
dl
y,comoxyRnovanavariar
2
laexpresi¶onanteriorpuedetomarsecomo
Bx=
¹0IR
4¼(x
2
+r
2
)
3
2
I
dl
dondelaintegraldedlalrededordelaespiraes2¼r.Portanto
Bx=
¹0
4¼
2¼R
2
I
(x
2
+R
2
)
3
2
¦Laecuaci¶onparaelcampoenelcentrodelaespirasededucedelaNota
anteriormuysencillamenteyes
B=
¹0I
2R
;
cosaqueellectorinteresadopuedeentretenerseendemostrar.
16.5.5.Campomagn¶eticoenelinteriordeunsolenoidein-
¯nito
Sellamasolenoideaunconjuntodeespirasarrolladasconsecutivamente.Para
calcularelcampomagn¶eticodeunsolenoidehabr¶³aqueprocederm¶asrigurosamente
deloquesevaahacerenesteapartadopero,enarasaconseguirciertaclaridad,
vamosahacerciertasaproximacionesuertes"yalgunas ropel¶³asmatem¶aticas".
2
xser¶aladistanciadesdeelcentrohastadondequeremostomarelpunto,yRelradiodela
espira.Ambasmagnitudessonconstantes.
112 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

113. CAP
¶
ITULO16.ELECTROMAGNETISMO
Concretamentevamosatomarunsolenoidein¯nitoenrolladodetalformaque
hayauntotaldenvueltasporunidaddelongitud.Tomemosentonceselrecorrido
insinuadoenla¯gura16.2queesuntantopeculiar.Dichorecorridopasaporel
centrodelaespirain¯nitaparaluegosaliryalejarsehastaelin¯nito,dondesecierra
elcircuito.Reconocemosqueesterecorridonodejadeserpeculiar,peronosvaa
llevarcorrectamentealaexpresi¶ondeseadasinosabstenemosdehacerpreguntas
sobrelarigurosidaddeestademostraci¶on.Evidentementeenelin¯nitoelcampo
~
B
ser¶anulo,porquelaperturbaci¶ondelaespiranollegahastatanlejos,conlocual
laintegral
R
~
B¢
~
lvaasernulaenestapartedelrecorrido.Asuvezenlosbordesde
estesolenoide(enelcasienelcualunsolenoidein¯nitotuvierabordes)elcampo
vaaserperpendicularalrecorrido.>Porqu¶e?,porsimetr¶³aesl¶ogicosuponerque
elcampo
~
Bvaaserparaleloalsolenoideensuinteriory,siexistiereenelexterior,
tambi¶endeber¶³aserparalelo.Portanto¶unicamentequedar¶ahallarlaintegralenel
recorridoquediscurreporelinteriordelsolenoide.Estaintegralser¶a
I
~
Bd
~
l=BL
dondeLeslalongituddelsolenoide(si,peseatodosabemosqueL=1,pero
es¶utilponerloas¶³).>Ycu¶antoser¶aI,laintensidadtotalqueatraviesaelplano?.
Comotenemosnespirasporunidaddelongituddesolenoide,lacorrientetotalque
atraviesaelplanolimitadoporestasingulartrayectoriaser¶aItotal=LnI.As¶³pues
tendremosque
¹0LnI=BL
conlocual
B=¹0nI:
Estaeslaexpresi¶ondelcampoenelinteriordeunsolenoidein¯nito.Suinter¶es
radicaenqueestambi¶enunabuenaexpresi¶onparaelcampomagn¶eticoqueexiste
enelinteriordeunsolenoide¯nito,siemprequenosencontremoslejosdelosbordes.
16.5.6.Fuerzasentrecorrientesparalelas
>C¶omopodemoscalcularlafuerzaconqueseatraen(orepelen)doscorrientes
paralelas?.Paraellocombinaremoslasexpresionesusadasenlosapartados16.5.3
y16.5.2.Tomandoelprimerhilo,conunacorrienteel¶ectricaI1,crear¶aenunhilo
conductor,situadoparalelamenteauna1distanciadde¶el,uncampoque,usando
16.5.3ser¶a
B=
¹0I1
2¼d
;
yclaroest¶a,estehilosegundoporelcualcirculaunacorrienteI2experimentar¶auna
fuerzaporestarsometidoaestecampo.Estafuerzalatomamosde16.5.2yes
F=I2LB:
Ahorabien,comolalongituddeamboshilosesin¯nita,lafuerzatotalquesienten
estoshilostambi¶enesin¯nita,aunqueesos¶³,repartidaporsulongitudsinl¶³mite.
Unamagnitud¶utilesvercuantafuerzasesienteporunidaddelongitudL,loque
equivaleadecirque
F
l
=I2B=
¹0
2¼
I1I2
d
:
Respectoalsentidodelafuerza,sepuedeverque¶estaesatractivacuandolas
corrientessonensentidoscontrariosyrepulsivasielsentidoeselmismo.Unaforma
deverloesconsiderandoelsentidodelcampoencadahiloyaplicandoentoncesque
~
F=I
~
l^
~
B,obienlallamadaregladelamanoizquierda.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 113

114. CAP
¶
ITULO16.ELECTROMAGNETISMO
¦Esfrecuenteutilizarestasrelacionesparade¯nirelAmperio.1Amperio Nota
ser¶³aas¶³laintensidaddecorrientenecesariaparaquedoshilosrectossituados
a1metroelunorespectoalotrosientanunafuerzaporunidaddelongitud
equivalentea2¢10
¡
7
N
m
.
114 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

115. Cap¶³tulo17
Inducci¶onelectromagn¶etica
17.1.Introducci¶on
Launi¶ondelaelectricidadyelmagnetismoquedapatentecuandodescubrimos
queunaintensidadel¶ectricaescapazdecrearuncampomagn¶eticoasualrededor.
Noobstantelaf¶³sicaesunacienciaenlaqueelpensamiento\sim¶etrico"resultafre-
cuentementeampliamenteproductivo,esdecir,podemospreguntarnos>Ypodr¶aun
campomagn¶eticoproducirunfen¶omenoel¶ectrico?.Larespuestaaestapreguntaes
a¯rmativa,comoveremosacontinuaci¶on.
17.2.LeydeFaraday-Henry
Siunoconectaungalvan¶ometroaunabobinadeconductor,sinnadam¶as,el
galvan¶ometronodeber¶ase~nalarnada:porall¶³nocirculacorrientedening¶untipo.
Peroahorabien,alacercaroalejarunim¶andelabobinadescubrir¶³aunhechosor-
prendente:elgalvan¶ometromarcar¶³aunatenuecorrienteduranteesteproceso.Esta
experiencia,similaralasllamadasexperienciasdeFaraday,demuestraclaramente
queexisteunarelaci¶onentreelcampomagn¶eticoyelel¶ectrico.
Sienlaexperienciaanteriorunoacercaunim¶analabobinaylodejaah¶³ver¶³a
queelgalvan¶ometromarcacorrientemientraselim¶ansemueve,peronocuandole
dejamosquieto.Estefen¶omenoconstituyelaesenciadelaleydeFaradayyHenry,
quepodemosyaenunciar:
²=¡
dÁB
dt
: (17.1)
Enestaecuaci¶on²eslafuerzaelectromotrizinducidayÁBesel°ujomagn¶etico
queatraviesalasuper¯ciedelimitadaporelcircuito.As¶³pueslavariaci¶ondel
°ujomagn¶eticoocasionalaaparici¶ondeunafuerzaelectromotriz.Comoel°ujo
magn¶eticoÁB=
~
B¢
~
Sestavariaci¶onpuededeberseatrescausasdiferenciadasoa
unamezcladetodas:
1.Variaci¶ondelm¶odulodelcampomagn¶eticoB.
2.Variaci¶ondelm¶odulodelasuper¯ciedelcircuitoS.
3.Variaci¶ondelaorientaci¶onentreambos.
.Lavariaci¶ondel°ujomagn¶eticoinduceunafuerzaelectromotriz. Recuerda
115

116. CAP
¶
ITULO17.INDUCCI
¶
ONELECTROMAGN
¶
ETICA
17.2.1.LeydeLenz
>Yqu¶esigni¯caelsignomenosenlaexpresi¶on(17.1)?.
¶
Estepuedededucirsede
unprincipiof¶³sicom¶asgeneral,conocidoconelnombredeLeydeLenzquea¯rma
que\lafuerzaelectromotrizinducidaposeeunadirecci¶onysentidotalquetiende
aoponersealavariaci¶onquelaproduce".
Esteprincipioesunamaneram¶aselegantede\adivinar"c¶omoser¶alaf.e.m.
inducidaenuncircuito.Porejemplo,supongamosquetomamosunaespiracon-
ductoraeintroducimosenellaunim¶an.Enestecasoel°ujomagn¶eticoaumenta,
locualproduceunaf.e.m.inducida.>Qu¶esentidotendr¶a?.Aquelqueseopongaa
lacausaqueloproduce,esdecir,comoenestecasoesproducidoporunaumento
del°ujomagn¶eticoelcircuitotender¶aadisminuirdicho°ujomagn¶etico.>Yc¶omo
puedelograrseesto?.Haciendoquelaintensidaddecorrientecreadagenereasuvez
uncampomagn¶eticoqueseopongaalanteriorydisminuyendodeestamanerael
campo.
Dealgunamaneraesteesunmecanismode\inercia"que,engeneral,presentan
todoslossistemasf¶³sicos.
17.3.Fuerzaelectromotriz
Engeneralparaqueenuncircuitoexistauncorrienteel¶ectricaestacionariadebe
existirunelementoquesuministreestaenerg¶³aalascargas.Esteelementopuede
ser,porejemplo,unapilaobienuncampomagn¶eticovariable.
Sede¯neas¶³lafuerzaelectromotrizcomoeltrabajorealizadoporunidadde
cargarealizadoalolargodelcircuito;comoeltrabajoporunidaddecargaesel
campoel¶ectricotendremosque:
²=
I
~
E¢d
~
l
de¯niendolaintegralalolargodelcircuito.Sevedeestade¯nici¶onquesuunidad
vaaserelVoltio,aligualqueelpotencialel¶ectrico.
¦Entonces>porquenollamartambi¶enValafuerzaelectromotriz?.Nota
Cuandotenemosuncampoest¶atico,porserconservativoresultaque
I
~
E¢d
~
l=0
locualnospermit¶³ade¯nirelpotencialel¶ectrico.Ahorabien,ahoraelcampo
el¶ectriconoresultaserconservativoyporlotantonopodemosde¯nirun
potencial,conlocualaunque²yVseanmagnitudessimilaresquesemiden
enlamismaunidad,noobstantenosonlamismacosa.
17.4.Autoinducci¶on
Imaginemosahoraquetenemosuncircuitoel¶ectricoapagado,conelinterruptor
decorrienteabierto.>Qu¶esucedecuandoloencendemos?.
Puedeparecernosquesimplementesecreainstant¶aneamenteunacorrienteen
suinterioriguala,seg¶unlaleydeOhm,I=
V
R
perolarealidadnoestansimple.Al
encenderelcircuitoempiezaaaumentarlaintensidadporsuinterior,locualgenera
uncampoel¶ectricoqueatraviesaelpropiocircuito.Estecampoesproporcionala
laintensidadyportantovar¶³ajuntoconlaintensidad.Lavariaci¶ondelcampo
creaunavariaci¶ondel°ujomagn¶etico,yporlotantolaaparici¶ondeunafuerza
electromotrizinducidaqueseoponeaestaintensidadcreada.Portantoelcircuito
presentaunacierta\inerciaaserarrancado".
116 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

117. CAP
¶
ITULO17.INDUCCI
¶
ONELECTROMAGN
¶
ETICA
e
R L
Figura17.1:Circuitoconunaresistenciayunaautoinducci¶on.
Ahorabien:>C¶omopodemosrelacionarel°ujomagn¶eticoqueelcircuitocrea
sobres¶³mismo?.Enprincipiocomoel°ujodeuncircuito,sinosedeforma,vaa
resultarproporcionalalcampomagn¶etico,yesteesproporcionalalaintensidad,
tendremosqueel°ujoqueelcircuitogenerasobres¶³mismovaaserproporcionala
laintensidad.Estaconstantedeproporcionalidadsedenominalaautoinducci¶onL
,ysetiene
Á=LI
.Launidaddeautoinducci¶onenelSistemaInternacionaleselhenrio(H),equiva-
lentea1H=1­s.
17.4.1.Inducci¶onmutua
Deunamaneraan¶alogaalaanteriorsitenemosdoscircuitospr¶oximosuno
deellospuedeinduciruncierto°ujomagn¶eticoenelotro(yalrev¶es).El°u-
jomagn¶eticoqueatraviesaelprimercircuito,llam¶emosleadebidoalacorriente
el¶ectricaquecirculaporbser¶aproporcionala¶esta,yportanto
Áa=MabIb:
Estecoe¯cienteMpresentatambi¶enlasmismasunidadesqueL,elhenrio,yse
llamainductanciamutua.
¦An¶alogamentesetendr¶aquephib=MbaIadonde,adem¶as,sepuede Nota
demostrarqueMab=Mba,unapruebam¶asdelassimetr¶³astancomunesen
f¶³sica.
17.5.Energ¶³amagn¶etica
Deducirlaexpresi¶ondelaenerg¶³amagn¶eticadeformadirectanoessencillo,pero
encambiosepuedeobtenerunresultadomuy¶utilutilizandoargumentosindirectos
enlosquelaconservaci¶ondelaenerg¶³ajuegasupapel.Supongamosquetenemos
elcircuitodela¯gura17.1yanalicemosqueestasucediendo.PorlaleydeOhmel
efectodetodaslasfuerzaselectromotricesesgenerarunaIR,esdecir,
P
²=IR.
Podemosatribuiruna²alapilayuna²
0
alaf.e.m.queseinduceenelcircuito.
Sabemosque²
0
=¡
dÁ
dt
yqueparaunpropiocircuitoÁ=LIsiendoLunaconstante.
Tendremosportantoque
²+²
0
=IR)²¡L
dI
dt
=IR;
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 117

118. CAP
¶
ITULO17.INDUCCI
¶
ONELECTROMAGN
¶
ETICA
ydespejandodeaqu¶³laf.e.m.queproducelapila,esdecir,²resultar¶aque
²=IR+L
dI
dt
: (17.2)
Sabemosahoraque²Iestodalapotenciaquesuministralapila.Multipliquemos
entoncestodalaecuaci¶on(17.2)porIparaveradondevaaparaesapotenciay
tendremosque
²I=I
2
R+LI
dI
dt
;
esdecir,quepartedelapotenciasegastaenelefectoJoule(producircalor)yotra
partesevaenelt¶erminoLI
dI
dt
.ComolapotenciaesP=
dE
dt
sillamamosEBa
laenerg¶³aasociadaconelcampomagn¶eticoquesealmacenaenlaautoinducci¶on
tendremosque
dEB
dt
=LI
dI
dt
dedondeintegrandosetieneque
EB=
1
2
LI
2
:
±Laexpresi¶ongeneraldelcampomagn¶eticocontenidoenunaregi¶ondelAmpliaci¶on
espacioenfunci¶ondeBesm¶asdif¶³cildeobtenerytieneelsiguienteaspecto:
EB=
1
2¹0
Z
V
B
2
dV:
17.6.Problemasyaplicacionesdeinducci¶onelec-
tromagn¶etica
17.6.1.Generadores
Ungeneradoresundispositivocapazdeproducircorrienteapartirdeotras
formasdeenerg¶³a,generalmenteapartirdeenerg¶³amec¶anica.
Lagranmayor¶³adelosgeneradoresconsistenenunaespiraconductoraquegira
enelinteriordeuncampomagn¶eticoconstanteyhomog¶eneoavelocidadangular
!tambi¶enconstante.>C¶omoser¶asufuerzaelectromotrizinducida?.
El°ujomagn¶eticoqueatraviesalaespiraser¶aigualaÁ=
~
B¢
~
S=BScosµ.
Enestecasosilaespiragiraaunavelocidadangularconstante,estosupondr¶aque
µ=!t+ÁsiendoÁunafaseinicialquepodemossuponertranquilamentequees
cero.TendremosportantoqueÁ=BScos(!t).
Paracalcular²sabemosque²=¡
dÁ
dt
conlocualdirectamenteobtenemosque
²=BS!sin(!t).
Enlapr¶acticaseusansolenoidesconmuchasespirasyotrasmejorast¶ecnicas,
peroencualquiercasolaf.e.m.producidasiempreesdeltipo²=²0sin(!t).
¦Sirepresentamoslaf.e.m.inducidaenestetipodegeneradoresenfun-Nota
ci¶ondeltiempo,comoenla¯gura17.2vemosqueestacorrientegeneradaes
alterna.Estaesunadelasrazonesporlasqueelusodelacorrientealterna
est¶atandifundido:yaquesugeneraci¶onesmuchom¶assencillaqueladela
corrientecontinua.
118 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

119. CAP
¶
ITULO17.INDUCCI
¶
ONELECTROMAGN
¶
ETICA
t
e
Figura17.2:Corrientealterna.
17.6.2.Transformadores
Untransformadoresunaparatocapazdecambiarelvoltajeotensi¶ondela
corrienteel¶ectricaalterna.B¶asicamenteest¶anformadospordossolenoidesden1y
n2espirasarrolladosentornoaunn¶ucleodehierro,comoenla¯gura17.3.Siuno
deestoscircuitosesalimentadoporungeneradorqueproduceunaf.e.m.²1esto
producir¶aun°ujomagn¶eticoÁqueatravesar¶acadaespiradelsolenoide.Eneste
circuito,sisuponemosquenosepierdeenerg¶³aencalor,etc...tendremosquetoda
su²1seest¶ainvirtiendoen°ujomagn¶eticoy,seg¶un(17.1)ycomoel°ujototal
queatraviesaelcircuitoeseldeunaespira,Áportodaslasn1espirasquetienese
obtieneque
²1=¡n1
dÁ
dt
:
Veamosquesucedeparaelcircuito2.Elhechodearrollaramboscircuitosa
unn¶ucleodehierrosirveparaquecasitodoel°ujo(siempresepierdealgo)Áque
atravesabacadaespiradelprimercircuitolohagatambi¶enenlasdelsegundo.De
estamaneravamosasuponerquenohayp¶erdidaalgunayque,tambi¶enparael
segundocircuitocadaespiraesatravesadaporel°ujoÁ.Enestecasoseinducir¶auna
corriente²2equivalentealaderivadatemporaldel°ujototalconsignomenos,esto
es
²2=¡n2
dÁ
dt
ycomoelt¶ermino
dÁ
dt
eselmismoenambasexpresionessidividimosmiembroa
miembrotenemosque
²2=
n2
n1
²1
quenosdalarelaci¶onentrelastensionesdeentradaysalidadeuntransformador.
Ahorabien,estenoesundispositivo\milagroso"yaunquelogratransformar
untenuevoltajeenotrom¶asaltodeberespetarelprincipiodeconservaci¶onde
laenerg¶³a,yportantolaspotenciasdeentradaysalidadeber¶³anser,sinohay
p¶erdidas
1
iguales.ComolapotenciaesP=I²estonosdicequelasintensidadesse
transformancomoI2=
n1
n2
I1.
Resumiendo:Sielevamoslatensi¶ondeuncircuitolohacemosacostadedis-
minuirsuintensidad.Cuandobajamoslatensi¶ondeotroacambioelevamosla
intensidad.Lapotencia,queeselt¶erminoenerg¶etico,semantieneconstante.
1
Enuncasoreallapotenciadesalidasiempreesmenorqueladeentrada,elrestosedisipaen
formadecalor.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 119

120. CAP
¶
ITULO17.INDUCCI
¶
ONELECTROMAGN
¶
ETICA
n
n
1
2
e
e
1
2
Nucleo de hierro.
Figura17.3:Esquemasimpli¯cadodeuntransformador.
17.6.3.Autoinducci¶ondeunsolenoide
Sitomamoslaaproximaci¶ondesolenoidemuylargoquevimosenelapartado
16.5.5podemosintentarcalcularelvalordesucoe¯cientedeautoinducci¶on.Comoel
campoensuinteriorvaleB=¹0nIsiendon,recordemos,ladensidadlongitudinal
deespiras,tendremosquesicadaespirapresentaunasuper¯cieSel°ujototal
ser¶aÁT=nlBSdondeleslalongituddelsolenoide.Despejando
L=
ÁT
I
yportantoenestaaproximaci¶onresultar¶aque
L=¹0n
2
lS:
120 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

121. Cap¶³tulo18
Lanaturalezadelaluz.
Dualidadondacorp¶usculode
lamateria
18.1.Introducci¶onhist¶orica
Hist¶oricamentelaluzhasidosiempreunenteescurridizoalquelosf¶³sicoshan
queridoasignarunanaturalezadeterminada,sinconseguirlo.Newton,a¯nalesdel
sigloXVII,sostuvoquelaluzestabacompuestaporpart¶³culas,diferentesseg¶unel
color,yqueebotaban"enunespejolograndoas¶³explicarporqu¶elos¶angulosde
incidenciayre°exi¶oneranlosmismos.Pareceserquelapropagaci¶onrectil¶³neade
laluztuvomuchoqueverconestaposici¶on.Adem¶aslograbaexplicarlarefracci¶on
sobrelasuper¯ciededosmediosdiferentesusandotambi¶enunateor¶³acorpuscular.
Huygens,contempor¶aneodeNewton,hablabadeondasluminosas,ymedianteel
principiodeHuygens,vistoen15.2explicabatambi¶enlarefracci¶onyre°exi¶on.
Seg¶unNewtonlaluzdeb¶³airm¶asr¶apidaenunmediom¶asdenso.Seg¶unHuygensel
fen¶omenoeraalrev¶es,peronoobstanteenaquella¶epocaa¶unnosepod¶³amedirla
velocidaddelaluzdemanera¯able,ynoselev¶oacaboning¶unexperimentopara
descubrirquienten¶³araz¶on;fuelaeminenciadeNewtonloquedecant¶olabalanza
haciaelladocorpusculardelaluzduranteesa¶epoca,yestainerciahizoque,pese
aloscontinuosdebatesypol¶emicas,fueralanaturalezacorpusculardelaluzla
dominanteduranteelsiglosiguientealdeNewton.
AprincipiosdelsigloXIXempez¶oaformarseunsistemaconsecuenteydesar-
rolladodelaluzvistadesdeunpuntoondulatorio.Fuerondegranimportancialas
aportacionesdeJoungyFresnel.Eldescubrimientodemuchosfen¶omenosdedifrac-
ci¶oneinterferenciarelacionadosconlaluzylaposteriorexplicaci¶ondelfen¶omeno
ondulatoriodelaluzcomounaondaelectrom¶agneticaporpartedeMaxwellpare-
ci¶odejarsentadade¯nitivamentelateor¶³aondulatoriasobrelaluza¯nalesdelsiglo
XIX.
Peronoobstantea¯nalesdelsigloXXsurgeunodelosfen¶omenosm¶ascomplejos
yenrevesadosestudiadosentonces:laradiaci¶ondelcuerponegro:unsistemaideal
queabsorbetodalaradiaci¶onqueincidesobre¶elyque,enbuenaaproximaci¶on,
puedetomarsecomouncuerpoconunacavidadquecomunicaconelexteriorcon
unpeque~noori¯cio,ycuyascaracter¶³sticasradiativascumplenlapropiedaddede-
penders¶olodelatemperaturadesusparedes.
Fueestehechoelquejug¶ounpapelprimordialenlahistoriadelaf¶³sicamoderna
yqueoblig¶oaPlanck(adisgusto,seg¶uncuentalahistoria)en1.900aintroducir
121

122. CAP
¶
ITULO18.LANATURALEZA DELALUZ.DUALIDADONDACORP
¶
USCULODELA
MATERIA
Figura18.1:Dibujodeun\cuerponegro".
x**3/(exp(x)-1)
x**3/(exp(1.2*x)-1)
x**3/(exp(1.1*x)-1)
n
E
Figura18.2:Distribuci¶onespectraldelaradiaci¶onemitidaporuncuerponegroa
distintastemperaturas.
unodelosfen¶omenosm¶assorprendentesdelaf¶³sica:lacuantizaci¶ondelaenerg¶³a
y,enconcreto,delaluz.
18.2.Elcuerponegro
Unesquemadelacavidadquepuedeaproximarseauncuerponegroidealse
encuentraenla¯gura18.1.Estoscuerposalirsecalentandovanencontrandoun
equilibrioderadiaci¶onenelcual,amayortemperatura,elcuerpoemiteasuvez
m¶asradiaci¶on.Adem¶asalirsecalentandoelcuerpoaumentalacantidaddeen-
erg¶³aradiada(deacuerdoconlaleydeStefan-Boltzmann)ylaconcentraci¶ondela
energ¶³asedesplazahacialongitudesdeondasm¶ascortas.Precisamenteaunarepre-
sentaci¶ondelapotenciaradiadafrentealalongituddeondaselepuededenominar
distribuci¶ondelaradiaci¶onodistribuci¶onespectral.
Unagr¶a¯cadeladistribuci¶onespectraldelaradiaci¶ondeuncuerponegro
puedeverseenla¯gura18.2.Esteresultadoexperimentalseintent¶oexplicarde
unaformadirectaapartirdelatermodin¶amicacl¶asica,yelresultadoobtenido,que
tambi¶enest¶arepresentadoenla¯gura18.2,claramentenocoincid¶³aconelresultado
\verdadero",queessiempreelquemarcalaexperienciadelaboratorio.
En1900elf¶³sicoalem¶an,MaxPlancka¯rm¶oquerealizandounainusitadamodi-
¯caci¶ondelosc¶alculoscl¶asicos,eintroduciendounahip¶otesisnuevaysingularmente
122 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

123. CAP
¶
ITULO18.LANATURALEZA DELALUZ.DUALIDADONDACORP
¶
USCULODELA
MATERIA
extra~na,hab¶³aencontradounadistribuci¶onespectralqueexplicabaperfectamente
losdatosexperimentales.
Esta\sorprendentehip¶otesis"eraquelaenerg¶³aemitidayabsorbidaporel
cuerponoeracontinua,esdecir,elcuerponopod¶³atomarodejarcualquiervalor
de¶esta,sinodiscretayadem¶as,proporcionalalafrecuencia.Esdecir
E=hº (18.1)
dondeheslaconstantedeproporcionalidad,devalorh06;626¢10¤
¡34
Jsyconocida
actualmentecomoconstantedePlanck.
Planckfueabsolutamenteincapazdeencajarestahip¶otesisdentrodelmarcode
lamec¶anicacl¶asicay,sinpropon¶erselo,hab¶³adadoelprimerpasoparaeladven-
imientodelamec¶anicacu¶antica.
.Laradiaci¶onelectromagn¶eticaseemiteen\paquetes"deenerg¶³ao Recuerda
fotonescuyovalorenerg¶eticoes:
E=hº:
18.3.Elefectofotoel¶ectrico
18.3.1.Descripci¶ondelproblema
EsteefectofuedescubiertoporHertzen1.887yestudiadoporLenarden1.900.
FuesatisfactoriamenteexplicadoporEinsteinen1.905ysuexplicaci¶onlesupuso
ganarelPremioNobeldeF¶³sica.Elefectofotoel¶ectricoconsisteenelhechodeque,
cuandoseiluminaunasuper¯ciemet¶alicalimpia,bajociertascondicionesseemiten
electrones.Estoselectronespuedenserrecogidosenuntuboderayoscat¶odicospara
relacionarsuemisi¶onconalgof¶acilmentemedible,comoeslaintensidadyvoltaje
el¶ectrico.
Analicemosquesucedeenelcircuitodela¯gura18.3.Cuandolaluzincide
sobreelc¶atodoCseemitenelectrones.Sialgunodeelloschocaconel¶anodoA
existir¶aunaciertacorrienteporelcircuito.Eln¶umerodeelectronesemitidosque
alcanzanel¶anodopuedevariarsehaciendoel¶anodopositivoonegativorespecto
elc¶atodo,esdecir,creandounadiferenciadepotencialVentreellos.CuandoV
espositivoloselectronesarrancadosporlaluzsonatra¶³dosporel¶anodo.Para
unvalorlosu¯cientementealtodeVtodosloselectrones\arrancados"porlaluz
alcanzanel¶anodoylacorrientelograsuvalorm¶aximo;siaumentamosm¶asV
descubriremosquequelacorrienteyanoaumenta,semantieneensuvalorm¶aximo,
yaqueVnoin°uyeenqueseliberenm¶aselectronesdelc¶atodo,sinos¶oloenque
todoslosquesonliberadosseacerquenhaciael¶anodo.SivariamosValrev¶es
loselectronesser¶anrepelidosporel¶anodo,ys¶oloaquellosquetenganunaenerg¶³a
cin¶etica(
1
2
mv
2
)su¯cientementealtalograr¶anllegaral¶anodoygenerarcorriente.
Peroahorabien,cuandobajamosVylohacemosmenorqueunciertovalor¡V0
noexistecorrientealguna,locualsigni¯caquening¶unelectr¶onalcanzael¶anodo.
EntoncesestepotencialV0estar¶arelacionadoconlam¶aximaenerg¶³acin¶eticaque
tendr¶anloselectrones,demaneraquepodemosponer
1
2
mv
2
jmax=eV0:
Ahorabien>yqu¶eeslointeresantedeestaexperiencia?.Locuriosoesque
elvalordeV0nodependedelaintensidaddelaradiaci¶on,perosidependede
\algotanperegrino"comoelcolordelaluzconqueseilumineelc¶atodo.As¶³pues
aparentementealaumentarlaintensidad,portantolaenerg¶³aporunidaddetiempo
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 123

124. CAP
¶
ITULO18.LANATURALEZA DELALUZ.DUALIDADONDACORP
¶
USCULODELA
MATERIA
A
Luz
+ -
anodo catodo
electrones
Figura18.3:Dispositivosimpli¯cadoparalamedici¶ondelefectofotoel¶ectrico.
quecaesobreelc¶atodo,noaumentalaenerg¶³acin¶eticadeloselectronesemitidos.
>C¶omosepuedeexplicaresto?.>Porqu¶esucede?.Estasfueronlaspreguntasque
sehizoEinstein(ylogr¶ocontestar)en1.905.
18.3.2.Soluci¶on
Einsteindemostr¶oqueestasexperienciaspod¶³anentendersesuponiendoquela
energ¶³aluminosanosedistribuyedemaneracontinua,comodiceelmodelocl¶asico
(yMaxwelliano)delaluz,sinocuantizadaenpaquetespeque~nosllamadosfotones.
Laenerg¶³adeunfot¶onesE=hº,larelaci¶onquePlanckus¶oparalaexplicaci¶ondel
cuerponegro.Einsteinsupusoqueunelectr¶onemitidodesdelasuper¯ciedelc¶atodo
esdealgunaforma\arrancado"porelimpactoconelfot¶on,deformaquetodala
energ¶³adelfot¶onpasaalelectr¶on.Ahorabien,elelectr¶onrecibesuenerg¶³adeun
¶unicofot¶on.As¶³,cuandoseaumentalaintensidaddelaluzloquesucedeesque
alincidirm¶asfotonessobreelc¶atodoporunidaddetiempoquedanm¶aselectrones
liberados,perolaenerg¶³aquehaabsorbidocadaelectr¶onnovar¶³a,eslamisma.
Deestamanerasehaceunsencilloc¶alculoenerg¶etico:Silaenerg¶³anecesaria
paraquesedesprendaunelectr¶ondelasuper¯ciedeunmetales,pongamos,una
ciertaW,laenerg¶³am¶aximadeloselectronesdeber¶³aserlaquequedadelaque
ten¶³aelelectr¶on,esdecir
1
2
mv
2
jmax=hº¡W
ycomoasuvez,sab¶³amosqueestaenerg¶³aeraeV0podemosdeducirqueeste
potencialdefrenadoV0ser¶a
V=
hº¡W
e
:
Esteresultadocoincid¶³aplenamenteconlosdatosexperimentales,yadem¶asel
valorhdelaconstantehresult¶oserigualqueelusadoporPlanckparaexplicar
124 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

125. CAP
¶
ITULO18.LANATURALEZA DELALUZ.DUALIDADONDACORP
¶
USCULODELA
MATERIA
elcuerponegro.Estosupusounanuevaevidenciasobrelavalidezuniversaldela
hip¶otesisdelacuanti¯caci¶ondelaenerg¶³alum¶³nica.
18.4.EfectoCompton
ArthurH.Compton,en1.923realiz¶ounaexperienciaenlaqueseenviabanrayos
X(untipodeluzm¶asenerg¶eticaquelavisible)aunazonacon¶atomos,yposterior-
mentesemed¶³atantolafrecuenciay¶angulodelaluzdispersadacomolavelocidad
elelectr¶onderivadotraselchoque.Utilizandolosprincipiosdeconservaci¶ondela
energ¶³aydelmomentolinealenestoschoques,todoslosresultadoserancoherentes
sisesupon¶³aquelaluzsecomportabacomounapart¶³cula(unfot¶on)quecolisiona
conelelectr¶on,conenerg¶³adadaporlarelaci¶ondePlanckE=hºyconmomento
linealiguala
p=
h
¸
: (18.2)
¦Puederesultar¶utilrecordarque,deacuerdoconlateor¶³acl¶asica,la Nota
energ¶³aycantidaddemovimientodeunaondaelectromagn¶eticaest¶amarcada
por
E=pc;
entonces,relacionandoestaEmediantelaecuaci¶on(18.1)yrecordandoque
c=¸ºseobtienef¶acilmente(18.2).
18.5.Naturalezaondulatoriadelamateria
Lasideasdesimetr¶³a,quesemuestransiempremuy¶utilesenlaf¶³sica,levarona
LouisdeBroglieapensarque,aligualquelaluz,peseaserdenaturalezasupues-
tamenteondulatoria,presentabamuchasvecesunacomponentecorpuscular,pod¶³a
serquelamaterianormal,tratadasiemprecomopart¶³cula,tuviesetambi¶enuna
naturalezaondulatoria.
PerodeBrogliefuem¶asall¶a:sielmomentolinealdeunfot¶on,seg¶unelexper-
imentodeCompton,erap=
h
¸
>porqu¶enoutilizarestarelaci¶onparaencontrar
la\longituddeondadelamateria"?.Estoes,parauncuerponormalp=mvy
usando(18.2)ydespejandoas¶³¸obtenemos
¸=
h
mv
: (18.3)
Ahorabien,laf¶³sicatienesiempreunaformaparadecidircuandounahip¶otesis
esonocorrecta:laexperimentaci¶on.Enexperienciasposterioressepudocompro-
barqueefectivamente,part¶³culascomoloselectrones,puedenproducirpatronesde
difracci¶on,unhechopuramenteondulatorio,similaresalosqueproducenlosrayos
X.
Ahorabien,sitodaslaspart¶³culaspresentanestadualidadondaycorp¶usculo,
>porqu¶eennuestravidacotidiananovemos,porejemplo,ladifracci¶ondeuna
boladebillarodealg¶unobjetoigualmentemacrosc¶opico?.Larespuestaesque,si
tomamosunaboladebillarconunamasade100gramosyunavelocidadde1
m
s
su
longituddeondaser¶a,dadoel¶³n¯movalordeh,extremadamentepeque~na,raz¶on
porlacualconlosaparatosactualessomosincapacesdecomprobarsuexistencia.
Paraobjetosm¶aspeque~nos(protones,electrones,neutrinos...)sehaencontrado
uncomportamientoondulatoriosiemprequesehabuscado.
±Evidentementetodaestaseriedefen¶omenosnuevoinvalidadetalman- Ampliaci¶on
eralasleyesanterioresqueesnecesarialab¶usquedadenuevas\leyesdeNew-
ton",denuevasecuacionesqueseancapacesdeexplicarasuvezestosnuevos
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 125

126. CAP
¶
ITULO18.LANATURALEZA DELALUZ.DUALIDADONDACORP
¶
USCULODELA
MATERIA
fen¶omenos.Estasnuevasleyesentranaformarpartedeunnuevomarcodela
f¶³sicaqueseconocecomoF¶³sicaCu¶anticaoMec¶anicaCu¶antica.Lapalabra
cu¶anticahacereferenciaalhechodeque,enestenuevomarco,algunasmagni-
tudesnovanasercontinuas,sinoquevanaserdiscretas,aestarcuantizadas,
esdecir,apermitirs¶olociertosvaloresdiscretos.
Podemoscitaralosf¶³sicosSchrÄodinger,HeisembergyPaulicomolos
padresdelamec¶anicacu¶antica,descubridoresasuvezrespectivamentede
lamec¶anicadematrices,laecuaci¶ondeSchrÄodingerdelaMec¶anicaCu¶anti-
caylaecuaci¶ondePaulidelaMec¶anicaCu¶anticayRelativista(enlacual
aparecedemaneranaturalelfen¶omenosdelesp¶³n),perotodalistaser¶³aincom-
pleta.LaMec¶anicaCu¶anticaylaMec¶anicaRelativistasondosespectaculares
teor¶³as,ensumayor¶³apocointuitivaseinclusomuchasveces\contraelsentido
com¶un"quehanrevolucionadolaf¶³sicadelsigloXXyhanlogradoexplicar
in¯nidaddehechosnuevosyotrosyaconocidosbajounaluzdiferente.Su
uni¶onconlasteor¶³asdecampos,enloqueseconocecomoTeor¶³aCu¶anticade
Camposhadadopieaunadelasteor¶³asm¶asexactasyextra~nasqueexisten
actualmente.
Tecnol¶ogicamenteaparatostancotidianoscomolosordenadoresoavances
m¶edicoscomolaradiolog¶³anohabr¶³ansidoposiblessinestosdescubrimientos.
18.6.Resumen:Dualidadonda-corp¶usculodela
luzylamateria
As¶³puescomoresumen>qu¶eeslaluzylamateria?>Sonondasosonpart¶³culas?
>Secomportancomolasprimerasolassegundas?.Comosehapodidoirdesgajando
alolargodelasseccioneslarespuestanoesf¶acil.Laf¶³sicaens¶³mismanoesuna
cienciaquepretendaexplicarlaesenciadelaNaturaleza,sinom¶asbienc¶omose
comporta¶esta.Poresolacontestaci¶onalapreguntadesilaluzesondaoespart¶³cula
esirrelevante.Loimportanteesque,seg¶unlaexperiencia,secomportadeunau
otraformaenunosuotroscasos.As¶³mismolamateriasecomportacomoondao
comocorp¶usculoseg¶unlaocasi¶on.Ser¶³acomosiueraondaloslunesmi¶ercolesy
viernesypart¶³culaelresto".
Noobstantequiz¶asestaexplicaci¶onparezcamuyabsurdaamuchos,quepiensen
quetodoestotienequeestarclaramenteequivocadoporque>c¶omovaaseralgo
ondaypart¶³culaalavez?.Seg¶unlosm¶aselementalesprincipiosdelal¶ogicaalgo
nopuedeserynoseralavez,obienunentenopuedecontenerdospropiedades
contradictoriasdeformaconsecutiva.
Elproblemasurgealconsiderarlaesenciamismadelaconcepci¶on\onda"odela
concepci¶on\part¶³cula".Lamentehumanacreaunmodelo,unconceptocomo\on-
da"paraexplicarunaseriedehechos,yluegorenunciaaloshechosparaa¯rmarse
m¶asenlaconcepci¶onde\onda".An¶alogamentecrealaconcepci¶on\part¶³cula".
Posteriormentecreeque,elhechodequeciertosaspectosdelaNaturalezapuedan
explicarsecomopart¶³culaimplicanqueeseaspectoesunapart¶³cula,yestaidenti-
¯caci¶oneslaqueresultaincorrecta.Porejemplo:unaboladebillarsecomporta
comounapart¶³cula,peroestonosigni¯caqueseaunapart¶³cula.>Qu¶eesportanto
unaboladebillar?.Noeslaf¶³sicaquientienequedarlarespuesta,entreotras
cosasporque(esmiopini¶on)niesuntemadesuincumbencianilopodr¶asaber
nunca.Laboladebillaresunobjetoincognosciblealquepodemosasociaruna
etiqueta\part¶³cula"porqueentodaslasocasionessecomportacomotal,peropor
ellonotieneporqu¶eserunapart¶³cula.Dichodeotraforma,\onda"o\part¶³cula"
sons¶olomodelosocategor¶³asmentales,ylaNaturalezanotieneporqu¶eamoldarse
anuestrasaldeanascategor¶³asmentales.LaNaturalezaser¶aloquesea,ymuchas
facetassuyasseaproximar¶ana\onda"yotrasa\part¶³cula"quenosonm¶asque
aproximacionesomodeloshumanos.
126 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

127. CAP
¶
ITULO18.LANATURALEZA DELALUZ.DUALIDADONDACORP
¶
USCULODELA
MATERIA
As¶³pues>qu¶eesunfot¶on?>Qu¶eeslaluz?.Conocerlaesenciadelaluzno
estareadelaf¶³sica,sutareaesdescribirc¶omosecomportalaluzbajociertas
condiciones.Ydeestaformasedescubreyestudiaqueavecessecomportacomo
luzyavecescomopart¶³cula,pero\comportarsecomo"esmuydistintode\ser".
A¶unas¶³ser¶³ainteresanteconcluircitandounaspalabrasdeEinstein:Lomas
incomprensibleesqueseacomprensible.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 127

128. CAP
¶
ITULO18.LANATURALEZA DELALUZ.DUALIDADONDACORP
¶
USCULODELA
MATERIA
128 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

129. Cap¶³tulo19
FundamentosdeF¶³sica
Nuclear
19.1.Introducci¶on
Lamateriaest¶acompuestapor¶atomos,unidosentres¶³porenlacesqu¶³micos.
Asuvezlos¶atomosest¶ancompuestosdeelectrones,neutronesyprotones,de-
nomin¶andoseaestosdos¶ultimoseln¶ucleoat¶omico.Comolos¶atomossonneutros
estoobligaaqueexistaelmismon¶umerodeelectronesquedeprotonesenun¶atomo
normal,yaquelosneutronesnotienecargaylosprotonesyelectronestienenigual
cargaperodedistintosigno.
Ahorabien>qu¶eesunn¶ucleo?>qu¶epasadentrodeunn¶ucleo?>puedevariarel
n¶ucleo?.Estassonlaspreguntasqueintentaremosresponder.
19.2.Eln¶ucleoat¶omico
19.2.1.Algunasde¯niciones
Lamasadeunn¶ucleocualquierasepuedeconstatarquecoincidemuybien
conunn¶umeroenterodeveceslamasadeln¶ucleodel¶atomodehidr¶ogeno.Las
variacionesdemasadeunosn¶ucleosaotrostambi¶enesunm¶ultiplodelamasadel
¶atomodeH.DeestamanerasedenominaAaln¶umerom¶asicodeun¶atomo,es
decir,precisamentealn¶umeroqueesesem¶ultiplodel¶atomodeH.Deestamanera
claramenteparaelhidr¶ogenoA=1.
Aln¶umerodeprotonesquecontieneunn¶ucleo,quecomohemosdichoesel
mismoqueelectronestienesucorteza,seledenominaZ.Comoadem¶aslamasade
protonesyneutronesescasiigualsetienequeeln¶umerodeneutronesdeun¶atomo
es
N=A¡Z:
Unelementoqu¶³micoest¶aformadoporunconjuntode¶atomosconigualZ,pero
dondepuedevariarN.Porestaraz¶onsedenominais¶otoposalos¶atomosdelmismo
elementoperodedistintamasa,esdecir,quenecesariamentetienenqueposeerun
n¶umerodistintodeneutrones.Unn¶uclidoesaquelconjuntode¶atomosdeigual
AyZ(yportantoN)yserepresentacomo
A
Z
XsiendoXels¶³mboloqu¶³mico
delelementocorrespondienteasuZ.Sevef¶acilmentequeenestanotaci¶onhay
informaci¶onredundante.
129

130. CAP
¶
ITULO19.FUNDAMENTOS DEF
¶
ISICANUCLEAR
Elpatr¶ondemedidaqueseutilizaparalasmasasat¶omicaseslaunidaddemasa
at¶omicaou.m.a.,sede¯necomoladoceavapartedelamasadel
1
26C.
19.2.2.Caracter¶³sticas
Cuandosemidemuyprecisamentelamasadeln¶ucleoresultasorprendentecom-
probarque¶estasiempreesalgomenorquelasumadelasmasasdelaspart¶³culas
quelocomponen.Concretamentesepuederestarlamasadelaspart¶³culasquelo
componendesumasarealyobteneras¶³
¢m=Zmp+(A¡Z)mn¡mX
siendomXlamasarealdel¶atomode
A
Z
X.
>Qu¶ehasucedidoconestamasaquesehaperdido?.Recordemosqueseg¶unla
teor¶³adelarelatividaddeEinsteinmasayenerg¶³asonintercambiables,porloque
podemosa¯rmarqueeln¶ucleocomotaltieneunaenerg¶³aE=¢mc
2
menorquelas
part¶³culasqueloforman.Estaenerg¶³a,portanto,sedesprendi¶ocuandoseform¶oel
n¶ucleoysucarenciaesloqueahoraposibilitasuexistenciacomoagregado.Sila
volvi¶eramosareintegraraln¶ucleoobtendr¶³amosotravezlosneutronesyprotones
correspondientesyportantodisgregar¶³amosel¶atomoasuscomponentes.Setrata
portantodelaenerg¶³adeenlacedeln¶ucleoat¶omico.
Estaenerg¶³anuclearest¶aasociadaasuvezalafuerzanuclearfuerte,lain-
teracci¶onqueevitaquelosprotonessealejen(serepelenentres¶³)manteni¶endoles
fuertementeunidos.Algunaspropiedadesdeestafuerzason:
Esdemuycortoalcance,s¶olosenotaadistanciadeunfermi(1¢10
¡15
m)o
menores.
Nodependedelacargael¶ectrica.
Esunafuerzaatractiva,aunqueadistanciasmuchom¶aspeque~nasquesu
alcanceresultarepulsiva.
Dependedelesp¶³ndelosprotonesyneutronesquerelaciona.
Encuantoaltama~nodeln¶ucleoesdelordende10
¡15
.Sehaencontradoquese
puedesuponeralosn¶ucleoscomoesferasderadio
R=R0A
1
3
dondeR0=1;2fmyAeseln¶umerom¶asicodeln¶ucleoencuesti¶on.
19.3.Radiactividad
Laradiactividadeslaemisi¶ondepart¶³culas®
1
,¯
2
y°
3
porpartedeunn¶ucleo
at¶omicoycomoconsecuenciadeajustesycambiosinternosenlosquegeneral-
menteeln¶ucleocambiasun¶umerodeneutronesyprotones(yportantopasade
unelementoaotro).Hist¶oricamentelaradiactividadfuedescubiertaporBecquerel
aldescubrirqueuncompuestoqueconten¶³auranioeracapazdevelarunaplaca
fotogr¶a¯casinnecesidaddeexponer¶estaalaluz.
Antesdeentrarendetalleenestosprocesosradiactivosesinteresantese~nalar
queenaquellosqueseproducendesintegraciones(reaccionesat¶omicas)seconservan
laenerg¶³a,elmomentoangularyellinealylacarga,as¶³comootras\magnitudes"
comoconservareln¶umerodeprotonesm¶asneutrones(denucleones).
1
N¶ucleosdeHelio.
2
Positronesoelectrones.
3
Fotonesmuyenerg¶eticos.
130 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

131. CAP
¶
ITULO19.FUNDAMENTOS DEF
¶
ISICANUCLEAR
19.3.1.Radiactividad®
Enlaradiaci¶on®unn¶ucleosedesintegraemitiendounn¶ucleodeHelio,quees
aloquesedenominapart¶³cula®.Deestamaneralareacci¶onqueseestableceesla
siguiente
A
ZX!
A¡4
Z¡2
Y+
4
2He
endondeXeraeln¶ucleooriginaleYser¶aelproductodelareacci¶on,cuyon¶umero
at¶omicoesdosunidadesmenorqueeldeloriginal.Haciendounc¶alculodediferencias
deenerg¶³a,laenerg¶³aliberadaenestareacci¶onser¶a
E=(MX¡MY¡M®)c
2
:
Laradiactividad®esmuypocopenetrante.Bastaunahojadepapelounvestido
parapararla.
19.3.2.Radiactividad¯
Existendostiposderadiactividad¯,la¯
+
yla¯
¡
encuyasreaccionesseemiten
positronesyelectrones,respectivamente.Deestamaneraprocesosdeestetipodar¶an
lugarareaccionescomo
A
ZX!
A
Z+1Y+¯
¡
+¹º
y
A
ZX!
A
Z¡1Y+¯
+
+º
endonde¹ºyºsonrespectivamenteunantineutrinoyunneutrino,deloscuales
hablaremosm¶astarde.
Experimentalmenteseencontr¶oquelaenerg¶³adelosproductos¯nalesnosecor-
respond¶³aconlaqueseesperabasis¶oloseemitieranunn¶ucleohijom¶aslapart¶³cula
betarespectiva.Porestaraz¶onPaulipostul¶olaexistenciadeunaspart¶³culasnuevas,
decarganeutra(raz¶onquehac¶³adif¶³cilsudetenci¶on)ymasa,casodetener
4
,muy
peque~na(yporesoselebautiz¶oneutrino,puestoqueeracomouneutr¶onchiq-
uit¶³n".
Posteriormentesedescubri¶oque,efectivamente,estapart¶³culaexiste.
Laradiactividadbetaesbastantepenetrante,aunquesepuedepararconuna
l¶aminademetal.
19.3.3.Radiactividad°
Laradiaci¶on°consisteenlaemisi¶ondefotonesmuyenerg¶eticos.Laraz¶ondela
existenciadeestaradiaci¶onsedebealanecesidaddedescargarpartedesuenerg¶³a
quetienenalgunosn¶ucleosdespu¶esdeunadesintegraci¶onenlaquequedanenun
estadoexcitado.Esteprocesoessimilaraldelaemisi¶ondeluzporpartedeun
¶atomonormal(porejemplo,unodehidr¶ogeno)cuandoloselectrones\caen"deun
nivelexcitadoaotrom¶asfundamental.Deestamaneraeln¶ucleotambi¶entiene
algunosnivelesenerg¶eticosdiferenciadosentreloscualespuedemoversemediante
laemisi¶ondefotones.Comoladiferenciaentrenivelesenerg¶eticosdeunn¶ucleoes
bastantecuantiosa,losfotonesemitidosopart¶³culasgammatienenenerg¶³asmuy
impresionantes.
Estaradiactividadeslam¶aspeligrosadetodasporsualtopoderdepenetraci¶on
yporsuelevadonivelenerg¶etico.Parafrenarlaserequieren,encasosextremos,
planchasdeplomomuygruesas.
4
Trascuidadosasmedicionessehalogradoestablecer,trasvariosa~nosdeduda,quelamasa
delneutrinoesmuypeque~naperodistintadecero.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 131

132. CAP
¶
ITULO19.FUNDAMENTOS DEF
¶
ISICANUCLEAR
19.4.Caracter¶³sticasdelosprocesosradiactivos
19.4.1.Cin¶eticadelasreaccionesnucleares:Leydedesinte-
graci¶on
Unn¶ucleoradiactivoposeeunaciertaprobabilidaddedesintegrarse.Elhecho
dequeestemostratandoconunprocesoprobabil¶³sticosedebeaquelanaturaleza
deladesintegraci¶onesfundamentalmentedetipocu¶antico.
As¶³,lacantidadden¶uclesodNquesedesintegranser¶aproporcionalaltiempoque
pasadtyaln¶umerototalden¶ucleosqueten¶³amos,N.Deestamaneraobtenemos
que
dN=¡¸Ndt
donde¸esunaconstantedeproporcionalidadquesellamaconstantededesinte-
graci¶on.
Integrandoydespejandoconvenientementesedemuestraque
N=N0e
¡¸t
(19.1)
dondeNeseln¶umeroden¶ucleosradiactivosquequedanenunamuestracuando,
tomandounamuestraoriginaldeN0n¶ucleosdejamostranscurriruntiempot.
Tambi¶ensepuedeexpresarestefen¶omenoent¶erminosdelperiododesemidesin-
tegraci¶onT1
2
,quesede¯necomoelintervalodetiemponecesarioparaqueenuna
muestraeln¶umerodenucleosradiactivossereduzcaalamitad.
Deestamanera,elquealpasaruntiempoT1
2
tengamosunamuestraqueal
principiopresentabaN0n¶ucleoscons¶olo
N0
2
supondr¶aque
N0
2
=N0e
T1
2
y,portanto
T1
2
=
ln2
¸
¼
0;693
¸
:
Esusualtambi¶enhablardelavidamedia¿deunn¶ucleocomoeltiemponece-
sarioparaqueeln¶umeroN0den¶ucleosradiactivosdeunamuestrasereduzcaa
N0
e
.Deestamanerasedemuestraque
¿=
1
¸
:
Por¶ultimosede¯nelaactividaddeunamuestra,cuyaunidadenelS.I.esel
becquerel(Bq)comounadesintegraci¶onporsegundo.As¶³actividadser¶a
jdNj
dt
=N0¸e
¡¸t
:
19.4.2.Lasseriesradiactivas
Unaserieradiactivaesunconjuntoden¶uclidosradiactivosquederivandelmismo
n¶uclidoinicialperoque,pordesintegracionesconsecutivas,conducenaunmismo
n¶uclidoqueresultaestable.
Existentresseriesnaturales,seg¶unelelementoquelesdeorigen.Sedenominan
pueslaseriedeluranio,deltorioydelactinio.Porejemplo,laseriedeluranio,que
comienzaconel
238
Uyterminaconel
206
Pbpuedeconsultarseenla¯gura19.1.
132 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

133. CAP
¶
ITULO19.FUNDAMENTOS DEF
¶
ISICANUCLEAR
Z
N
a
b
-
Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Th Pa U
125
130
135
140
145
85 90
Figura19.1:Serieradiactivadeluranio.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 133

134. CAP
¶
ITULO19.FUNDAMENTOS DEF
¶
ISICANUCLEAR
¦>Ycu¶alpuedeserlaaplicaci¶ondelasdesintegracionesnucleares?.LaNota
radiactividadtienem¶ultiplescamposdeutilizaci¶on.Porejemplo,elm¶etodo
del
14
Cpermitefecharunamuestramidiendolaproporci¶onde
14
Cfrente
al
12
Cenmuestrasorg¶anicasantiguasy,comparandodichaproporci¶oncon
lanormal,secalculacuanto
14
Chadeca¶³do.Posteriormenteconestedatoy
conociendoquelasemividadelelementosonunos5500a¶ossepuedendatar
muestrasenunintervalodeunos1000a55000a~nos.Paramuestrasdeedad
superioroinferiorlosdatosnosonsigni¯cativosyelprocesonoes¯able.
Otraaplicaci¶onconsisteenelusodeis¶otoposradiactivos.Comosabemos
unis¶otopoesqu¶³micamenteindistinguibledeotroqueseaestable.Deesta
manera,introduciendoalgunosis¶otoposradiactivosenunorganismo,¶estelos
asimilacomosifuerannormales.yas¶³podemosusarloscomotrazadoresen
ciertosprocesosbiol¶ogicos,oparadeterminarlasvelocidadesdereacciones
qu¶³micas,observarelrecorridodelasangreenelcerebro...
19.5.Reaccionesnucleares
Cuandolosn¶ucleosvencenlarepulsi¶onel¶ectricaquelosprotonesgeneranentre
s¶³ysesit¶uanenposicionesdealcancedelafuerzanuclearfuerte,esposibleque
seproduzcaunreagrupamientodelosn¶ucleosobteniendoas¶³unosproductosdela
reacci¶ondistintosdelosoriginales.Esteprocesoeseldenominadoreacci¶onnuclear.
Enestasreaccionesseconservanlacargayeln¶umerodenucleones,laenerg¶³ay
losmomentosangularylineal.
Tiposinportantesdereaccionesnuclearessonlasde¯si¶onyfusi¶on.
19.5.1.Fisi¶onnuclear
Esladivisi¶onorupturadeunn¶ucleopesadoenotrosdosm¶asligerosdemasas
similares.Esunareacci¶onqueespont¶aneamenteseproducecongrandi¯cultad.
Arti¯cialmentesepuedegenerarbombardeandolosn¶ucleosconneutrones.
¶
Es-
tos,alnopresentarcarga,penetranconciertafacilidadenlosnucleosypueden
desencadenaras¶³unprocesoqueterminaconlarupturadeln¶ucleooriginal.
Porejemplo,unareacci¶onnucleart¶³picaes
235
92U+
1
0n!
141
56Kr+3
1
0n:
Engeneral,lasreaccionesdel
235
92Upuedenesquematizarsecomo
1
0n+
235
92U!X+Y+2o3
1
0n
siendolosrestosdelareacci¶onXeYn¶uclidosconnumeroscomprendidosentrelos
intervalos(84;104)y(129;149).
Elhechodequeentrelosproductos¯nalesdelareacci¶onexistan2o3neutrones
posibilitaelhechodequeseproduzcaunareacci¶onencadena,esdecir,queestos
nuevosneutronesemitidosvuelvanaincidirennucleosquese¯sionen,creando
as¶³m¶asneutronesque...yelprocesocontinua.Cuandosucedeunareacci¶onen
cadenadeestetipotodoel\combustiblenuclear"se¯sionamuyr¶apidamentey
demaneraexplosivaliberandoenormescantidadesdeenerg¶³a:hablamosdeuna
explosi¶onnuclear.Esteeselfundamenteb¶asicodeunabombaat¶omica.
Ahorabien,silogramosreducireln¶umeromediodeneutronesliberadoshasta
unopornucleo¯sionado,tendremosunareacci¶oncontrolada.Esteeselfundamento
delasreaccionesnuclearesquesucedenenunreactornucleardeunacentralat¶omica.
134 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

135. CAP
¶
ITULO19.FUNDAMENTOS DEF
¶
ISICANUCLEAR
19.5.2.Fusi¶onnuclear
As¶³como¯sionaresdividir,fusionaresjuntar:enunareacci¶ondefusi¶onse
obtieneunn¶ucleopesadoapartirdedosligeros.Debidoalarepulsi¶onel¶ectrica
entreprotonesesteprocesoesm¶assencillocuantom¶asligerosseanlosn¶ucleos
originales.Cuandoeln¶ucleocreadotengamenosmasaquelasumadelosn¶ucleos
originalestendremosque,estedefectodemasaseliberacomoenerg¶³a.Esteesel
procesoquesucedeentodaslasestrellas,aut¶enticos\hornosdefusi¶on"enlosque
laenormepresi¶onquegeneralagravedadalapi~narestascantidadesgigantescasde
sustanciasessu¯cienteparagenerarespont¶aneamentereaccionesdefusi¶on.
Actualmenteelprocesodefusi¶oncontroladanoest¶adominado(elincontro-
lados¶³,enlastristementec¶elebresbombasdehidr¶ogenoodeneutrones)puesto
queserequierealcanzarymantenertemperaturasdelordendemillonesdegra-
doscent¶³gradosynoexistening¶unrecipientequesoporteesto,conloquehayque
contenermagn¶eticamenteelplasmaformado:encualquiercasoelprocesonoes
f¶acil.
Noobstante,algunasrazonesparainteresarseporelprocesodefusi¶oncontrolada
son
Esunaenerg¶³arelativamentelimpia:alcontrarioqueenlasreaccionesde
¯si¶onapenashaysustanciasdedesechopeligrosas.
Surendimientoenerg¶eticoesmuygrande.Porejemploenlareacci¶on
2
1H+
3
1H!
4
2He+
1
0n
seliberanunos18MeV.
El\carburante"quenecesita,deuterioytritio,esf¶acildeobtener.Elaguade
marcontienecantidadesingentesdedeuterio.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 135

136. CAP
¶
ITULO19.FUNDAMENTOS DEF
¶
ISICANUCLEAR
136 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

137. ParteIII
Pr¶acticasdelaboratorio
137

139. Cap¶³tulo20
Cambiosdefaseydescenso
ebullosc¶opico
20.1.Materialexperimental
Parallevaracaboestapr¶acticaserequiere
In¯ernillo
Vasodeprecipitados
Term¶ometro
Cron¶ometro
Aguayunsoluto.(CuSO4¢5H2O).
Balanzaypesas.
20.2.Introducci¶onte¶orica
Amedidaquesevacalentandouncompuesto,seas¶olidool¶³quido,sutemperatu-
raaumentaconformealasleyesdelacalorimetr¶³a,detalformaquesisesuministra
uncalorQaunasustanciatendremosque
Q=mC¢T
dondemeslacantidaddemasadelasustancia,¢Tlavariaci¶ondesutemperatura
yCunaconstantequeseconoceconelnombredecalorespec¶³¯coycuyasunidades
puedenserJulios/
o
Ckgosimilares.
Estosigni¯caque,amedidaquesecalientaunasustanciaconunacantidadde
calorQconstante,sutemperaturaaumentadeformalineal.Noobstante,puedeser
queestasustanciaalcancesupuntodevaporizaci¶on.Enesecasolatemperatura
permanececonstanteentalpuntohastaquetodalasustanciaseevapora.
Dichopuntodevaporizaci¶ondependedelapresi¶onatmosf¶ericaydela\pureza"
dell¶³quidoqueseevapore.Quiereestodecirquesienvezdeaguadestilada,se
evaporaaguaconunciertosoluto,elpuntodeebullici¶ondescender¶aseg¶unlaley
¢Te=Cm
dondemeslamolaridaddeladisoluci¶onylaconstanteCesunaexpresi¶oncompli-
cada,peroquepuedeconsiderarseconstante.
139

140. CAP
¶
ITULO20.CAMBIOSDEFASEYDESCENSO EBULLOSC
¶
OPICO
20.3.Realizaci¶onpr¶actica
20.3.1.Parte1:Cambiosdefase
1.Vamosaverterunaciertacantidaddeaguaenelvasodeprecipitados.Para
medirsumasaesconvenientepesarprimeroelvasovac¶³oydespu¶esllenode
agua.Ladiferenciadepesoser¶alamasadeagua.
2.Ponelvasoencimadelin¯ernilloymetedentroelterm¶ometro.Esperaunrato
paramedirlatemperaturadelagua.Apuntaesta.
3.Enciendeelin¯ernilloyveteobservandolatemperaturadelterm¶ometroa
intervalosregulares.(cada10o15segundos,apuntaeltiempoquediscurrey
sutemperatura).
4.Habr¶aunmomentoenqueelaguaempieceahervir.Haztresocuatromedi-
cionesm¶asconelterm¶ometroyapagaelin¯ernillo.Siquierespuedesseguir
haciendomedicionesconelin¯ernilloapagado,ver¶asquelatemperaturadel
term¶ometroempiezaadescenderlentamente.
5.Representatodoslosdatosendatosenpapelmilimetrado.Cerci¶oratedeque
haypartesenlascualeslospuntossepuedenunirconunarecta,yotraspartes
enlascualesdicharectaeshorizontal.>Cu¶alessonesaspartes?.
6.Revisalosconocimientosdeestea~noydea~nosanterioreseintentadaruna
explicaci¶onaestoshechos.Anotatodoslosdatosentugui¶ondepr¶acticas
juntoconlaexplicaci¶on(ylabibliograf¶³adelaquelaobtienes).
20.3.2.Parte2:Descensoebullosc¶opico
1.Ponahoraaherviraguaconunsolutodisueltoenella.Porejemplopuedes
utilizarlamuestradeH2SO4¢5H2O(calcantitaosulfatodecobre)quetienes.
2.Veteanotandolastemperaturasaintervalosregulares,igualqueantes.
3.Cuandoempieceahervirtomaunasmedicionesm¶asdelatemperatura.
4.Representalosdatosycomp¶aralosconlaexperienciaanterior:deber¶asobser-
varunfen¶omenoalgodiferente.
5.Explicaenqu¶econsistedichofen¶omenoybuscaenalg¶unlibro(quiz¶asdealg¶un
a~noanteriorodeestemismo)qu¶ehasucedido.Acompa~natuexplicaci¶onen
elgui¶ondepr¶acticasconlosdatosquehastomado.
6.>Ser¶³ascapazdeidearunprocedimientoexperimentalparamedirlaconstante
Cenlaf¶ormula¢Te=Cm.Intentaexplicarc¶omolohar¶³as.Siest¶asanimado
proponseloalprofesoryhazloenellaboratorio.
20.4.Precaucionesatenerconlapr¶actica
Sibienestapr¶acticanoespeligrosahabr¶asdeteneralgunasprecaucionespara
evitaraccidenteseimprevistos:
Notoqueslosl¶³quidosnielin¯ernillo:quemar¶an.
Tencuidadoalenchufarydesenchufarelin¯ernillo:loscablesest¶ansueltosy
puedenhaceruncortocircuito.
140 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

141. CAP
¶
ITULO20.CAMBIOSDEFASEYDESCENSO EBULLOSC
¶
OPICO
Noviertasaguasobreelin¯ernillo:puedecortocircuitar¶este.
Elsulfatodecobreesvenenoso:manip¶ulaloconprecauci¶onyluegol¶avatelas
manos.
Nodejesnuncaqueseevaporetodoell¶³quidodelvasodeprecipitados,ap¶aga-
loantes:siseevaporaseelterm¶ometroreventar¶³ayelvasodeprecipitados
tambi¶en,yestematerialesdelicado.
Trataelterm¶ometroyelvasodeprecipitadosconcuidado:sonbastante
fr¶agiles.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 141

142. CAP
¶
ITULO20.CAMBIOSDEFASEYDESCENSO EBULLOSC
¶
OPICO
142 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

143. Cap¶³tulo21
Cargaydescargadeun
condensador.
21.1.Materialexperimental
Parallevaracaboestapr¶acticasenecesitar¶a:
Placadecircuitos.
Generadordeondas.
Resistencias.
Condensador.
Cablesyclavijas.
Osciloscopio.
21.2.Introducci¶onte¶orica
Estudiemoste¶oricamenteelcircuitoconcondensadorrepresentadoenla¯gura
21.1.Enelhemosunidouncondensador,atrav¶esdeunaresistencia,cuyamisi¶on
esservircomo\descarga"delcircuito,esdecir,gastarpartedelaenerg¶³ael¶ectrica
paraquenosequemening¶unaparato,conungeneradordeondaelcual,medianteel
empleodeunaondacuadrada(vertambi¶enen21.1)vaaircargandoydescargando
elcondensador.
Encualquiercaso,sitenemosesteciruitoalimentadoduranteciertoinstantecon
corrientecont¶³nua,yquepartedeladesconexi¶on
1
veamosquesucedecuandosele
someteaunpotencialV.
AplicandolaleydeKircho®ala¶unicamalladelcurcuito,oloqueeslomismo,
considerandoqueV=¢V1+¢V2,analicemosporseparadocadat¶ermino:
VSer¶aelqueproporcioneelgenerador.
¢V1eslaca¶³dadepotencialenlaresistenciaque,seg¶unlaleydeOhm,ser¶asim-
plemente¢V1=IR.
DeltaV2eslaca¶³dadetensi¶onenelcondensador.Comoq=C¢V,siendoCla
capacidaddelmismo,tenemosque¢V2=
q
C
.
1
Luegolacargainicialser¶anula.
143

144. CAP
¶
ITULO21.CARGAYDESCARGADEUNCONDENSADOR.
~
Generador
R
C
Osciloscopio
Osciloscopio
Onda cuadrada
del generador.
Figura21.1:Circuitoconcondensador.
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
-10-8-6-4-20246810
Voltios (unidad arbitraria)
Tiempo
1-exp(-x)
Figura21.2:Cargadeuncondensador.
As¶³puestenemoslaecuaci¶on
IR+
q
C
=V
.
Ahorabien,I=
dq
dt
,dedondeelresultado¯nalesque,parahallarcomose
cargar¶aelcondensador,habremosderesolverlaecuaci¶ondiferencial
dq
dt
+
q
c
=V (21.1)
Laresoluci¶ondeestaecuaci¶onest¶aaunnivelsuperioralplanteamientodeeste
curso,peroencualquiercaso,lapersonainteresadapuedeencontrarsusoluci¶onen
elap¶endice21.4.
Elresultadoqueseconsigueesque
V=V0
³
1¡e
¡
t
C
´
; (21.2)
sabiendoqueVeslatensi¶onquecaeentrelosbornesdelcondensadoryV0esla
queproporcionaelgenerador.Unagr¶a¯cadec¶omoesestafunci¶onsepuedetener
enla¯gura21.2.
¶
Estaser¶alagr¶a¯caquehemosdelograrverenelosciloscopio.
144 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

145. CAP
¶
ITULO21.CARGAYDESCARGADEUNCONDENSADOR.
21.3.Realizaci¶ondelapr¶actica
Antesdenadapidealprofesordelaspr¶acticasqueteexpliquecomofuncionan
elosciloscopioyelgeneradordeondas.Sonaparatoscomplicadosysensiblesque
hayquetratarconcuidado.Unavezsepasyacomoseusanpruebaavisualizarlos
distintostiposdeondasenelosciloscopio(cuadrada,sinusoidalytriangular)as¶³co-
moavariarsufrecuenciayamplitudparacomprobarquesigni¯cacadapar¶ametro.
Alcambiarsufrecuenciayamplitudtendr¶asquecambiartambi¶enlasescalasde
tiemposyvoltajesenelosciloscopiosinoquieresquesesalgalaondadelapantalla
oquedetanpeque~naquenosevea.
Escribeentucuadernodepr¶acticasloquehasidohaciendoycomoinfuyeen
loquesevisualiza.Hazundibujodecadatipodeonda.
Montaahoraelcircuitodela¯gura21.1enlamesadecircuitos.Paraelloten
encuentaquelospuntoshorizontalesquenoest¶enseparadosporningunabandade
pl¶asticoestar¶anconectadosentresi.Utilizandoestainformaci¶onterminademontar
elcircuito.
Sit¶ualosbornesdelosciloscopiodondeteindicaeldibujo,enlaentradaysalida
delcondensador,parapoderobservarcomocaelatensi¶onensuinterior.Sihaces
circularahoraporelcircuitounondavuadrada,deber¶asvercomoelcondensador
secargaydescarga,Secargar¶acuandolatensi¶onsubabruscamente(lapartelisa
altadelaondacuadrada)ysedescargar¶aenlapartelisabajadelaonda.Sitienes
bien\sintonizado"elosciloscopiodeber¶³asverundibujoparecidoaldela¯gura
21.2.
Enelcasodequeveaslaca¶³dadepotencialmuysimilaraladelaondacuadrada,
signi¯caqueest¶asdandodemasiadotiempoalcondensadorparaquesecargue.
Pruebaaaumentarlafrecuenciaenelgeneradordeonda.Sisucedealrev¶es,que
loquesevisualizaesdemasiadocurvo,pruebaadisminuirlafrecuancia,puesello
signi¯caquenoest¶asdandotiemposu¯cientealcondensadorparaquesecargue.
Unavezquetengasbienvisibleyclaralagr¶a¯cadecargadelcondensador
comparalaconlate¶orica.>Coinciden?.Enelcasodequehayaalgunadesavenencia
intentaadivinaraqu¶esedebe.
Sitienesuncondensadorvariablemodi¯casucapacidadpocoapocoymiralo
quesucede.>C¶omolopuedesexplicar?.
Apartirdeloscuadraditosdelosciloscopioydelaf¶ornuladecargadelconden-
sadorpuedesprobaraintentarconseguirlacapacidaddelcondensador.Paraello
tomaalgunospuntossigni¯cativosyluegopruebaaajustarlesunafunci¶ondesubida
exponencialcomola(21.2).>Cu¶aleslacapacidad?.Enelcasodequepongaenel
condensadorlacapacidad.>Coincideconlacalculada?.Piensaque,encualquierca-
so,siemprehayunapeque~nadiferencia(avecsnotanpeque~na)atribuibleaerrores
demedici¶ondelosaparatos,impedanciasinternas,etc...
Enelcasodequenosepashaceresta¶ultimapartepreg¶untaleatuprofesor.El
teloexplicar¶a.
21.4.Ap¶endice:Resoluci¶ondelaecuaci¶ondiferen-
cial
Lostextosdec¶alculodicenque,unaecuaci¶ondeltipodelaecuaci¶on(21.1)se
resuelvetomandoprimerolaecuaci¶onhomog¶eneaydespu¶esunasoluci¶onparticular.
Laecuaci¶onhomog¶eneaes
dq
dt
+
q
C
=0
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 145

146. CAP
¶
ITULO21.CARGAYDESCARGADEUNCONDENSADOR.
dondedespejando
dq
q
=¡
dt
C
e,integrandoambosmiembros
Z
dq
q
=
Z
¡
dt
C
tenemosque
lnq=¡
t
C
+K1
yexponenciando
q=K2e
¡
t
C:
Lasoluci¶onparticularsepuedeextraer\aojo".Tomemosq=K3comosoluci¶on
particular,yoperandoen(21.1)tendremos
q
C
=V
o,loqueeslomismo
K3=CV:
Ahoras¶oloquedaunirlasoluci¶onhomog¶eneaylaparticularyobligaraque,
parat=0)q=0.
Teniendotodoestoencuentasellega,trasalgunassustitucionesa
q=CV
³
1¡e
¡
t
C
´
;
yconsiderandoqueV=
q
C
tedremospueslaecuaci¶on(21.2)o,loqueeslomismo,
que
V=V0
³
1¡e
¡
t
C
´
:
DondeVeselvoltajequecaeenelcondensadorcadatyV0eslatensi¶onque
suministramosalcircuito.
146 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

147. Cap¶³tulo22
PrincipiodeArqu¶³medes:
Determinaci¶ondeladensidad
22.1.Materialexperimental
Materialesparamedirsudensidad.(Boladeacero,minerales...)
Balanzaypesas.
Hilo.
Recipienteconagua.
22.2.Introducci¶onte¶orica
ElprincipiodeArqu¶³medespuedeserenunciadocomo:
.\Todocuerposumergidoenun°uidoexperimentaunempujever- Recuerda
tical,ydirigidohaciaarriba,igualalpesodel°uidodesalojado."
Vamosaaprovecharesteprincipioparacalcularladensidaddealgunosobjetos
y,depaso,hacerunapeque~nainvestigaci¶ondealgunosminerales.
22.2.1.Medici¶ondeladensidad
>C¶omosepuedeusarelprincipiodeArqu¶³medesparacalcularladensidadde
alg¶unmaterial?.Supongamosquetenemosunamuestradematerialdemasamy
densidad½.Silaintroducimosenagua,peroa¶unas¶³laseguimospesando,tendremos
quesentir¶aunafuerzaMghaciaabajoyotraFhaciaarribademagnitudigualal
pesodeaguadesalojada.>Ycu¶alesestepeso?.Puessielvolumendelasustancia
quesumergimosesV,usandosudensidadtendremosque
V=
M
½
;
siendoesteVelvolumendell¶³quidodesalojado.Comoladensidaddelagua,en
g
cm
3
es1,tendremosquesedesalojan
M
½
gramosdeagua.Deestamaneraelpesodel
cuerpodentrodelaguaser¶aP=(M¡
M
½
)g,esdecir,quemediremosunamasa,en
gramosyquevamosallamarmde
m=M¡
M
½
:
147

148. CAP
¶
ITULO22.PRINCIPIODEARQU
¶
IMEDES:DETERMINA CI
¶
ONDELADENSIDAD
Despejandodeaqu¶³½,queeselpar¶ametrobuscado,obtenemosque
½=
M
M¡m
(22.1)
estandoestadensidaden
g
cm
3.
22.3.Realizaci¶onpr¶actica
Estapr¶acticaesextraordinariamentesencilla.Bastamedirenlabalanzalamasa
delmaterialantesdesumergirloenelaguaydespu¶es.Utilizandoentonces(22.1)se
calcular¶apidamenteladensidaddelmaterial.
Puedes,portanto,medirladensidaddelaboladeacerosuministradaenla
pr¶actica.Tambi¶enpuederesultarmuyinteresantecogeruntrozodealg¶unmineral
m¶asomenosconocido(untrozodem¶armol,carb¶onount¶³picocantorodadodelos
quepordentrosoncristalinosyalentrechocarlossalenchispasyhueleaquemado:
soncuarzo)ymedirsudensidad.Posteriormentesecompruebaencualquierlibro
demineralesqueladensidadmedidacoincideconlaquetieneelmineral.
148 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

149. Cap¶³tulo23
ExperienciadeFaraday.
Inducci¶on.
23.1.Materialexperimental
Parahacerestaexperienciaserequiere.
Cablesyclavijas.
Bobina
Im¶an
Pol¶³metro.
23.2.Introducci¶onhist¶oricayte¶orica.
Faraday,trabajandoconimanesycorrientesel¶ectricasfueelprimeroquede-
scubri¶oelfen¶omenodelainducci¶onelectromagn¶etica,queconsisteenlacreaci¶on
decorrientesel¶ectricasinducidasenunconductorporlavariaci¶ondeuncampo
magn¶etico.
Losfen¶omenosobservadosporFaradayfueron:
Enunaespirasegeneraunacorrienteel¶ectricacuandoseleaproximaunim¶an.
Alalejarelim¶ansegeneratambi¶enunacorrienteel¶ectrica,perodesentido
contrarioaldelacorrientecreadacuandoseaproximabaelim¶an.
Aldejarestacionarioelim¶annoseproducecorrienteel¶ectricaenlaespira.
Losmismoefectosseproducencuandoelim¶ansemantieneestacionarioyes
lapropiaespiralaqueseaproximaoalejadelim¶an.
Tambi¶enseproducenlosmismosefectoscuandoelim¶anessustituidoporuna
corrienteel¶ectricaqueseaproximaoalejadelaespira.
23.3.Realizaci¶onpr¶actica.
Simplementeunelaespiraalpol¶³metroyponesteamedirvoltajes
1
einten-
sidades.Acercaelim¶analabobinayp¶asaloatrav¶esdeella.Observar¶asqueel
1
Aunqueunvolt¶³metrodebesituarseenparalelo,enestecasolaintensidaddelacorriente
ser¶atanpeque~naquenohayproblemadequesequemeaunquecerremoscon¶elelcircuito.
149

150. CAP
¶
ITULO23.EXPERIENCIA DEFARADAY.INDUCCI
¶
ON.
pol¶³metroindicaunat¶³midacorrientequesehageneradoalpasart¶uelim¶ana
trav¶esdelabobina.Pruebaamoverlom¶asr¶apidoom¶aslento,adejarlodentroun
rato,etc...paraobservarcuandoesexactamentelaproducci¶ondecorriente.Con
todoestointentacon¯rmarlasexperienciasdeFaraday.
Posteriormentebuscaqu¶efen¶omenof¶³sicoproduceestoyhazunpeque~notrabajo
sobreelloentucuadernodepr¶acticas.Encuentralaf¶ormulaquepuedeexplicaresta
experienciaycomentadetalladamenteporqu¶eestaf¶ormulaexplicaesteextra~no
fen¶omeno.Buscapor¶ultimoelsigni¯cadodelapalabraim¶anysusimplicaciones
etimol¶ogicasycom¶entalotambi¶enbrevementeentucuaderno.
150 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

151. Cap¶³tulo24
Iniciaci¶onalahidr¶aulica:
Diversasexperiencias.
24.1.Materialexperimental
Frascodepl¶astico.
Tubosdepl¶astico.
Tap¶ondecorcho.
Tap¶onconori¯cio.
Agua.
24.2.Introducci¶onte¶orica
Lahidr¶aulicaesunapartedelaf¶³sicaqueseencargadeestudiarydeducirlas
propiedadesdelosl¶³quidosysumovimiento.Aestenivelpuederesumirseendos
leyessencillasydiferentes,quepermitenexplicarmultituddepropiedadesdistintas
debidoasucar¶actergeneral.Estasleyessonlaecuaci¶ondeBernoulliylaecuaci¶on
decontinuidaddelosl¶³quidos.
Elobjetivodeestapr¶acticaesdescubrirestasecuacioneso,almenos,presentar
unaseriedehechosparaquedespu¶eselalumnobusqueeinvestigueinformaci¶on
sobreestosfen¶omenos,detalformaqueseacapazal¯naldeexplicarlosusando
estasecuaciones,yadem¶asentenderdichasexpresiones.
24.3.Realizaci¶onpr¶actica
1.Tomalabotellayll¶enaladeagua.Ver¶asqueelaguaseescapaporeltubode
lapartedeabajo.Pruebaalevantareltubo.Hayunaalturaalacualelagua
noescapa.Amedidaqueelaguasubeporlabotellaver¶asquelaalturadel
tubotambi¶endebeaumentar,osinoelaguaseescapar¶a.Esmuyf¶acildarse
cuentadecualdebeserestaaltura.
2.Investigaelllamadoprincipiodelosvasoscomunicantes.Parahaceresto
viertes¶olounpocodeaguaenlabotella.Despu¶eslevantaeltuboy,haci¶endolo
unbucle,ponsuextremo¯nalpordebajodelniveldelaguadelabotella.
Intentaqueelbuclesellenedeaguayaseg¶uratedequelapartem¶asaltadel
recorridodeltuboest¶aporencimadelniveldelagua:ver¶asalgosorprendente.
151

152. CAP
¶
ITULO24.INICIACI
¶
ONALAHIDR
¶
AULICA:DIVERSASEXPERIENCIAS.
Figura24.1:FrascodeMariotte.
3.Llenaelfrascodeaguaadiferentesalturaytap¶onaloherm¶eticamentecon
eltap¶ondecorcho.Dejadespu¶esquesalgaelaguaporeltubodeabajo.
>Qu¶esucede?.>Porqu¶e?.
Hastaaqu¶³hemosinvestigadoalgunoshechoselementalesqueseproducenen
laconducci¶ondelagua.Veamosahoraotrohechoquepuedeexplicarsemediantela
leydeTorricelli.
1.Llenaelfrascoconaguahastaarriba.
2.Observalavelocidadconlaquesaleelaguaporelpitorrodeabajo.>Es
constanteestavelocidad?.>Saleelaguasiempreconlamismavelocidado
var¶³aconalg¶unfactor?.
Unavezquehemosobservadoestefen¶omeno,f¶acilmenteexplicablemediantela
leydeTorricelli,comprobemosahoraqu¶esucedesihacemosunfrascodeMariotte
comoeldela¯gura24.1.
1.Llenaelfrascoconaguahastaarriba.
2.Poneltap¶onagujeradoenelfrasco.Pasauntubodepl¶asticoporeltap¶on
(aseg¶uratedequeencajebien).Bajaeltubohastaciertaaltura,deformaque
seintroduzcaporelextremodeabajoenelaguadelfrasco,peroqueporel
dearribasigaestandofueradelfrasco.
3.Dejaescaparahoraelaguaporelextremoinferiordelabotella.
4.Observaatentamentec¶omosaleahoraelagua.>Saleigualdevelozqueantes?.
>Var¶³aahoralavelocidaddelaguaquesale?.>Sucedealgoespecialcuandoel
aguadejadellegaralniveldeltuboqueatraviesaelfrascodesdeeltap¶onde
arriba?.>Yantes?.
24.4.Objetivodelapr¶actica
Unavezobservadostodosestosfen¶omenosdeber¶ashacerunalabordeinves-
tigaci¶onparaaclararqueest¶asucediendo,as¶³comohaberobservadoatentamente
152 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

153. CAP
¶
ITULO24.INICIACI
¶
ONALAHIDR
¶
AULICA:DIVERSASEXPERIENCIAS.
ycon\esp¶³ritucient¶³¯co"todoloqueseteped¶³a,parapodercontestarcorrecta-
mentelaspreguntasarribaformuladas.Comopista¯nal,sinosabespordonde
empezarpruebaabuscarenundiccionarioenciclop¶edico,oenalg¶unlibrodef¶³sica,
laspalabrasas¶³escritas.
Unavezquehayasencontradolaexplicaci¶onaestosfen¶omenospruebaahallar
unaexplicaci¶onaestehecho:cuandoseabreungrifodeaguaunpoco,deforma
queelchorrodeaguaseveatransparente,eldi¶ametrodelchorrocercadelaboca
delgrifosiempreesmayorquem¶asabajo,lejosdelabocadelgrifo.>Porqu¶e?.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 153

154. CAP
¶
ITULO24.INICIACI
¶
ONALAHIDR
¶
AULICA:DIVERSASEXPERIENCIAS.
154 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

155. Cap¶³tulo25
Comprobaci¶ondelaleyde
Ohm.
25.1.Materialexperimental
Generadordevoltajevariable.
Volt¶³metro.
Amper¶³metro.
Resistencias.
Cablesyconectores.
25.2.Introducci¶onte¶orica
LaleydeOhmestablecequecuandoporuncircuitoel¶ectricoqueofrececierta
resistenciaRalpasodelacorrienteest¶acirculandounaintensidadI,seproduce
unadiferenciadepotencial¢Ventresusextremosiguala
¢V=IR:
25.3.Realizaci¶onpr¶actica
Pararealizarestaexperiencianecesitasmontarelcircuitoqueapareceenla
¯gura25.1.Deestamanerapodr¶asmedirlaintensidadquecirculaporlaresistencia
ysuca¶³dadevoltajesimult¶aneamente.
Acontinuaci¶ondeber¶asdeempezaraelevarelvoltajedelgeneradorvariabley
tomarmuestrasdelosdatos,esdecir,paresdedatosvoltaje,intensidad.Paraello
f¶³jateenelamper¶³metroyempiezaasubirunpocoelvoltaje.Tomalasmuestras
queestimesoportunas,teniendoencuentaque,paraqueestosdatosexperimentales
seansigni¯cativos,debestenerunn¶umerosu¯cientedemuestrasabarcandoelmayor
rangoposible(siempredentrodelosl¶³mitesdedetecci¶ondelosaparatos).
Unavezhayastomadolosparesdedatosnecesarios.(Porlomenostomadiez
pares)repres¶entalosenunagr¶a¯caenpapelmilimetrado.>C¶omoesestagr¶a¯ca?.
>Qu¶ecreesquepuederepresentarlapendientedelarectaqueaparece?.
Hazunajustedelosdatosquehastomadoconunacalculadoraounordenador
aunarecta(esdecir,hazunajusteporm¶³nimoscuadrados),estotedar¶alosdos
155

156. CAP
¶
ITULO25.COMPROBACI
¶
ONDELALEYDEOHM.
A
V
Figura25.1:Circuitoarealizar.
par¶ametrodeunarecta.Intentainterpretarlos.Evidentementeeldatoquenoesla
pendientedeber¶asermuycercanoacero.>Porqu¶e?.>Qu¶esigni¯caesto?.
Por¶ultimomideconunomh¶³metrolaresistenciarealdeturesistenciaycom-
p¶aralaconelvalorquepuedescalcularapartirdelapendientedelarectadela
gr¶a¯ca.>Coinciden?.Sinocoincidendeltodointentahallaralgunaexplicaci¶on.
25.4.Precauciones
1.Compruebaquenosecalienteningunodelosaparatos.Sias¶³sucedieraap¶aga-
losyesperaaqueseenfr¶³en.
2.Tencuidadoalhacerlasconexiones:puedesproduciruncortocircuito.
3.Notesalgasdelrangodemedici¶ondelosaparatos:puedesestropearlos.
156 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

157. Cap¶³tulo26
Soluci¶onalproblema
planteadoenelm¶etodo
cient¶³¯co
26.1.Advertencia
Porfavor,noleasestoanoserqueest¶esintentandopredecircuantasveces
deber¶³ansalirxcarasy20¡xcrucesaltirar20monedasalairenveces.
Sihasllegadohastaaqu¶³esporque,aunquelohasintentadoarduamente,no
sabescomocalcularlasvecesquedeber¶³ansalirxcarasy20¡xcrucesaltirar20
monedasalairenveces.Sinoesas¶³intentaadivinarloporcuentapropiaantesde
verestasoluci¶on.
26.2.Soluci¶on
Enestemomentohabr¶asdeducidoyaquelaprobabilidaddequealtiraruna
monedaalairesalgacaraocruzesde
1
2
,esdecir,lamitaddelasvecesm¶asomenos
seobtienecaraylaotramitadcruz.
Portantocuantotiras20monedasalavezcadaunatiene
1
2
deprobabilidad
desercaraosercruz.SupongamosquehacemosestoNveces.Eln¶umerodeveces
quedeber¶³amosobtenerunajugada,porejemplo,quelas20seancaras,ser¶aigual
aNmultiplicadoporlaprobabilidaddequesalgan20caras.Estoesmuyl¶ogico,
yaquesihacemos40tiradasparecel¶ogicoquelaprobabilidadsea4vecesmayor
quesis¶olohici¶eramos10tiradas.
Veamosahoracualpuedeserlaprobabilidaddequeenunajugadalas20mon-
edasseancara.Laprobabilidaddequelosea1solamonedaesde
1
2
,laprobabilidad
dequelosean2ser¶ade
1
2
paralaprimerapor
1
2
paralasegunda,esdecirde
1
4
.
Portantoparaqueloseanlas20ser¶ade
1
2
20Sepuedeverqueesbastantepeque~na.
Ahorabien>decuantasmanerasdistintaspodemoslograrquetodasseancaras?
Puess¶olohayuna,yesquelaprimeralosea,lasegunda,yas¶³hastala¶ultima.S¶olo
hayunamaneraposible.
Veamosparaconseguirxcarasy20¡xcruces.Podemoslograrestoteniendolas
primerasxcarasylas¶ultimas20¡xcruces.Tambi¶enteniendolas¶ultimasxcaras
ylasprimeras20¡xcruces.Oteniendolasxcarasenmedioyelrestocruces,o
unaalprincipioyluegodistribuidas,o...>Decu¶antasmanerassepuedeconseguir
tenerxcarasy20¡xcruces?.Esf¶acilverqueesten¶umeroselograpensandoque
entotalpodemossituarlasmonedasde20!formasdistintasque,sidividimosentre
157

158. CAP
¶
ITULO26.SOLUCI
¶
ONALPROBLEMA PLANTEADO ENELM
¶
ETODOCIENT
¶
IFICO
lasx!formasenlasquepodemosordenarlascarasentres¶³ylas20¡xformasen
quepodemosordenarlascrucesentres¶³tenemospor¯nquesalen
µ
20
n
¶
=
20!
n!(20¡n)!
ycomoestostiposden¶umerossalenconfrecuenciaenestosc¶alculosporesose
de¯nenlascombinacionesdenelementostomadosdeienisinconsiderarelorden
como µ
n
i
¶
=
n!
i!(n¡i)!
:
Volviendoanuestroproblemaplanteado.Comolaprobabilidaddeteneruna
determinadacombinaci¶ones
1
2
20multiplicadoporeln¶umerodecombinacionesdis-
tintasquepodemostenerparalamismajugadaqueson
20!
x!(20¡x)!
ycomohemos
hechoNtiradasdistintastendremosqueeln¶umeroestimadodeobtenerxcaras
tirandoNveces20monedasser¶ade
N
20!
x!(20¡x)!
1
2
20
:
Unatabladondeest¶ancalculadosdichasprobabilidadesdesdex=1hastax=
10eslasiguiente:
11;907¢10
¡5
21;812¢10
¡4
31;087¢10
¡3
44;621¢10
¡3
51;479¢10
¡2
63;696¢10
¡2
77;393¢10
¡2
8 0;120
9 0;160
10 0;176
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
158 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

159. Cap¶³tulo27
Elm¶etodocient¶³¯co
27.1.Materialexperimental
Parallevaracaboestapr¶acticasenecesitar¶a:
Cajaosimilar.
Papelyl¶apiz.
20monedas.
27.2.Introducci¶onte¶orica
Muchasvecesencienciasehabladelm¶etodocient¶³¯cosinprecisarmuybien
dequesetrataobiensuponiendoqueyasesabeexactamentequesigni¯cadicha
expresi¶on.Noobstantenoesmenoshabitualqueelconocimientodeloquese
denominam¶etodocient¶³¯conosiempreest¶emuyclaro.Porelloenestapr¶actica
sepretendefamiliarizaraquienlarealicecondichom¶etodo,disponiendodeuna
situaci¶onsencillaenlaqueelm¶etodocient¶³¯copuedatrabajarymostrandoas¶³un
ejemplodeloquesupone.
Sibienesdif¶³cilprecisarexactamenteenqueconsistedichosistemadetrabajo,
sepuedesintetizarenunaseriedepasos
1.Observaci¶ondeunfen¶omenonatural.Estaobservaci¶onesimportantepara
establecerlabasedeloquesevaaestudiar.
2.Formulaci¶ondealgunahip¶otesisquepermitaexplicarsatisfactoriamentelos
hechosobservados.
3.Comprobaci¶onformaldequedichoshechospuedenserrealmenteexplicados
conlaship¶otesiscreadas.Paraestoserecurrealaexperimentaci¶on.
4.Silaideaadquiridademuestraser¶utilparalaexplicaci¶ondelosfen¶omenos
observadospuedeempezaraconsiderarsecomouna\ley"delhechopuntual
observado.Sinohabr¶aquedesecharlaideaytomaralgunaotraquefuncione
mejor.
5.Esmuyconveniente,vali¶endosedelaley,intentarpredeciralg¶unhechonuevo
oalg¶unresultadoquelleguem¶asall¶adelmerohechoobservado.Siselogra
hacerestapredicci¶onyunaposteriorexperimentaci¶onlorati¯ca,entoncesla
nueva\ley"puedeseryaconsideradacomotal,encasocontrarionosigni¯ca
necesariamentequenuestraship¶otesisest¶enmal,sinoquequiz¶asnoseantodo
lore¯nadasogeneralesquedebieran.
159

160. CAP
¶
ITULO27.ELM
¶
ETODOCIENT
¶
IFICO
As¶³puesestem¶etodoenglobaporunaparteunatareaderacionalizaci¶onyotra
deexperimentaci¶on.Aunqueambassonimportanteshayquedestacarquerealmente
eslaexperimentaci¶onquieninformasobresiunaleyf¶³sicaesonoesver¶³dica,yen
ning¶uncasoeste\chequeo"puedesersuprimidoporlameraracionalizaci¶onpues,
sias¶³lohici¶eramossaldr¶³amosdelcampodelaf¶³sicaparaentrarenlal¶ogicaoen
¯losof¶³a.
27.3.Realizaci¶onpr¶actica.
1.Empecemoslapr¶acticatirandounamonedaalairebastantesvecesyapuntan-
dosisalecaraocruz.Esimportanteanalizarelfen¶omenorepitiendom¶ultiples
veceslaexperiencia.Observemosas¶³siexistealgunaperiodicidad,alg¶unhecho
cuantitativoquenospermitaexplicardealgunamaneralosresultados.
2.Unavezobservadoelresultadoseestablecenalgunaship¶otesisparaexplicar
estosdatos.Esmuysencillodarsecuentaenestecasodecualser¶alaproba-
bilidaddequeseobtengacaraocruzaltirarunamonedaalaire,yenvirtud
deesteidea,explicarlosresultadosexperimentales.
3.Tenemosya,portanto,unaidea,unindiciodeleysobreelfen¶omeno irar
unamonedaalaire",queparecefuncionar.Pongamosapruebadichaley.
Imaginemosquetiramosalaire20monedasalavezydespu¶escontamos
cuantascarasycuantascrucessalen.Hagamosesteexperimentounm¶³nimode
25vecesyapuntemoscuantascarassalieronenlaprimeratiradadelasveinte
monedas,cuantasenlasegunda,etc...pero,noobstante,vamosaintentar
predecirantescuantodeber¶³asalir.Nuestrahip¶otesisparaunasolamoneda
puedesergeneralizadaalasveinteyas¶³predecircuantasveces,deber¶³ansalir
10carasy10crucessitiramoslasveintemonedasNveces,cuantassaldr¶an
11carasy9cruces,cuantas12carasy8cruces,etc...
4.Realicemospor¯nlaexperienciaycomprobamoslosresultadosverdaderosy
reales,esdecir,losresultadosexperimentales,connuestraship¶otesis.>Con-
cuerdanbiennuestrasideas?>Hemoslogradounaestimaci¶onrazonabledel
proceso?.Silarespuestaesa¯rmativasigni¯caquenuestrasideaspueden
serelevadasauna\leyf¶³sica"paralatiradadelamoneda,sinoesas¶³ten-
dremosquemejorarnuestromodelohastadarconunaexplicaci¶onrazonable
delfen¶omeno.
Encualquiercasoexplicatodastusideasenelgui¶ondepr¶acticascomentando
claramenteloquesonlasideasycavilaciones,yloquesonloshechosexperimentales,
ydespu¶eshazunagr¶a¯cadondeserelacionenlosresultadosquehaspredichocon
losquehasobtenidoexperimentalmente.Eval¶ualaconcordanciayexp¶oncomola
mejorar¶³as,indicandolasvirtudesyfallosdelmodelo.
160 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

161. Cap¶³tulo28
Estudiodeunmuelle.
28.1.Materialexperimental
Parallevaracaboestapr¶acticasenecesitar¶a:
Muelleconsoporte.
Peso.(Paracolgaralmuelle)ybalanza.
Cron¶ometro.
Metro.
28.2.Introducci¶onte¶orica
Cuandocolocamosunpesoenunmuelle¶esteseestirahastaunaposici¶onde
equilibrio,enlacualsecompensanlafuerzaquerealizaelmuellehaciaarriba,
graciasalaleydeHooke
F=¡k¢x
conlafuerzaquelagravedadejercehaciaabajo.Deestamaneratenemosque
¡k¢x=¡mg
dedondedespejandogseobtienelasiguienteexpresi¶on
g=
k¢x
m
(28.1)
teniendoencuentaquemser¶alamasanormaldelpesosituadoenelmuelle,¢xse
correspondeconlalongitudquesehaelongadoelmuellehastaalcanzarelequilibrio
ykeslaconstantedelmuelle,quevamosaverahoracomosecalcula.
Unavezqueelmuelleseencuentraenequilibriopodemosllamaraestaposici¶on
x0=0.Cualquierpeque~nadesviaci¶ondelpesorespectodeestaposici¶ondondeel
muelleest¶aequilibradoynohaymovimientovaaproducirunaoscilaci¶on.Para
estudiarestaoscilaci¶onbastaconsaberque,nuevamente,seestar¶aejerciendouna
fuerzanetaproporcionalaldesplazamientorespectodelaposici¶ondeequilibrio
1
(conpeso).EntoncesaplicandoconjuntamentelaleydeHookeylasegundaleyde
Newton
F=ma=m
d
2
x
dt
2
F=¡kx
(28.2)
1
Hayquenotarqueestamoshablandodedosposicionesdeequilibriodistintas,seg¶uncuelgue
elpesoono,Ladeahoraesconelpesocolgado.
161

162. CAP
¶
ITULO28.ESTUDIODEUNMUELLE.
X
mg
Figura28.1:Medidadelaelongaci¶ondelmuellealponerelpeso.
tendremosquem
d
2
x
dt
2=¡kx.Entoncesresolviendolaecuaci¶ondiferencial
m
d
2
x
dt
2
+kx=0
tendremoslasoluci¶ondelproblema.
Sepuededemostrar
2
queunasoluci¶ondeestaecuaci¶ones
x=Acos(!t) (28.3)
donde!eslavelocidadangularquepresentalaoscilaci¶onyesiguala
!=
r
k
m
(28.4)
dedondetenemosque
K=m!
2
: (28.5)
28.3.Realizaci¶onpr¶actica.
Parallevaracaboestapr¶acticacomenzamosmidiendoelper¶³ododelaoscilaci¶on.
Paraellotiramosdelpesohaciaabajoy,alsoltarelpeso,encendemoselcron¶ometro.
Despu¶escontamoshastaunasveintevecesquevuelvaapasarporabajodeltodoy
paramoselcron¶ometro.Dividiendoeltiempoquehatranscurridoentreeln¶umerode
oscilacionestendremoscualeselper¶³ododelaoscilaci¶on,esdecir,cuantotardaen
darunavueltacompleta,enrepetirseelmovimiento.Larelaci¶onentreesteper¶³odo
Ty!es
!=
2¼
T
(28.6)
Usandoahoralasecuaciones(28.6)y(28.5)logramosconseguirlaconstantek
delmuelle.
Lasegundapartedelapr¶acticaconsisteensoltarelpesoylograrqueelmuelle
recobreelequilibrio.Semideestaposici¶onrespecto,porejemplo,lapartealta
delmuelle.Despu¶essevuelveacolocarelpesoysemide,unavezseencuentre
enequilibrio(quieto)dondeest¶aahoraelextremoinferiordelmuelle.Restando
2
Verencualquierlibrodeecuacionesdiferencialesordinarias,porejemploeldelaeditorialMIR
yautoresA.Kiseliov,M.KrasnovyG.Makarenko.
162 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

163. CAP
¶
ITULO28.ESTUDIODEUNMUELLE.
obtendremoslaelongaci¶onquehasufrido,esdecir,¢x,comosepuedeveren
la¯gura28.1.Bastar¶ausarahoralaf¶ormula(28.1)yyatendremoscuantovale,
aproximadamente,laaceleraci¶ondelagravedadg.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 163

164. CAP
¶
ITULO28.ESTUDIODEUNMUELLE.
164 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

165. Cap¶³tulo29
ExperienciadeOersted.
29.1.Materialexperimental
Parallevaracaboestapr¶acticasenecesitar¶a:
Br¶ujulaoagujam¶ovil.
Bobina.
Generadordecorriente.
Interruptor.
29.2.Introducci¶onhist¶orica
En1.820elf¶³sicodan¶esOerstedobserv¶oqueunaagujamagn¶eticaobr¶ujulase
orientabaenunadeterminadadirecci¶onenlasproximidadesdeunhiloporelque
circulabacorrienteel¶ectrica.
Laorientaci¶onqueadquir¶³alabr¶ujulaeratalquedepend¶³adeladirecci¶ondela
corrienteel¶ectricaporelhiloconductor.Estaorientaci¶onerasiempreperpendicular
alacorrienteel¶ectrica,yelpolonortedelabr¶ujulaseorientaenladirecci¶ondel
dedopulgardelamanoderecha,cuandoelrestodelosdedosextendidossecolocan
enladirecci¶ondelacorrienteel¶ectrica.
Encualquiercasoestaexperienciasupusolaprimeraysorprendenterelaci¶on
entrelaelectricidadyelmagnetismo,hastaentoncesconsideradosfen¶omenosinde-
pendientes.
29.3.Realizaci¶onpr¶actica
Laconsecuci¶ondeestapr¶acticaesmuysencilla.Bastaquemontesuncircuito
dondepaseelectricidadporlabobina,ypuedasinterrumpiradem¶aselpasode
electricidadatugustoconelusodelinterruptor.
Acercaentonceslaagujaalabobina.Sielcircuitoest¶aapagadonosuceder¶ana-
da.Pruebaaencenderelcircuitoyver¶ascomolaagujasemuevese~nalandohacia
labobina.
Observaestefen¶omenovariasveceshastaqueest¶esfamiliarizadocon¶el.Despu¶es
buscaentulibrodef¶³sicaoenalgunodelabibliotecaunaexplicaci¶onm¶asrigurosa
aesteproblema.Presentadichaexplicaci¶onjuntoconlasdeduccionespertinentesy
elrazonamientoquetehallevadoapensarque¶esaeslaexplicaci¶onentucuaderno
depr¶acticas.Haztambi¶enunestudiohist¶oricosobreOersted.
165

166. CAP
¶
ITULO29.EXPERIENCIA DEOERSTED.
166 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

167. Cap¶³tulo30
Comprobaci¶ondelaleyde
Ohm
30.1.Materialexperimental
Parallevaracaboestapr¶acticasenecesitar¶a:
Resistencialinealvariable
Volt¶³metro.
Amper¶³metro
Cablesyconexiones.
Fuentedealimentaci¶on.
30.2.Introducci¶onte¶orica
Enlosconductoresdenominados¶ohmicos(lamayor¶³a)laintensidaddecorriente
quecirculaesdirectamenteproporcionalaladiferenciadepotencialaplicada
¢V=IR (30.1)
dondelaconstanteRrecibeelnombrederesistencia¶ohmicadelconductor.
Estaresistenciaesdirectamenteproporcionalalalongitudldelmismoeinver-
samenteproporcionalasusecci¶onS,conlocual
R=½
l
S
(30.2)
dondelaconstantedeproporcionalidad½recibeelnombrederesistividad.
30.3.Realizaci¶onpr¶actica
167

168. CAP
¶
ITULO30.COMPROBACI
¶
ONDELALEYDEOHM
+ -
A
V
Figura30.1:Circuitopara
comprobarlaleydeOhm.
Parahacerestapr¶acticahayquemontarprimeroun
circuitodondelacorrientecaigaatrav¶esdelaresisten-
ciavariable(realmenteunhiloresistivocuyalongitud
podemosvariaranuestroantojo)pudi¶endosemedirsi-
mult¶aneamentelaca¶³dadepotencialylaintensidad.
Paraellohabremosdeponerelvolt¶³metroenparale-
loconelcircuitoyelamper¶³metroenseriecon¶el.
Esmuyimportantenoaumentardesmesuradamentela
corriente,cuidandosiemprequelasmagnitudesme-
didasest¶endentrodelrangodelosaparatosparano
quemar¶estos.Estainstalaci¶onsepuedeobservarenla
¯gura30.1.
Despu¶eshabr¶aqueanalizarcomopuedenvariarla
resistenciaenfunci¶ondelalongituddehiloresistivo
quesetenga.Paraelloprocedamosporpasos.
1.Midiendolaresistenciacuandolalongituddelhiloseanulatendremosuna
contribuci¶onR0alaresistenciaenunaposici¶oncualquiera.
2.Despu¶eshabr¶aquetomarunaseriedepuntossigni¯cativosdelafunci¶onR(l),
esdecir,dec¶omovar¶³alaresistenciaconlalongituddelhilo.Paraello,como
lacontribuci¶oninicialyahasidomedidayesR0,haciendousodelaecuaci¶on
(30.1)ysiguientespodemosponer
Rh=Rt¡R0
dondeRhser¶alaresistenciadelhiloquequeremosmedir,yRtlaresistencia
total,medidacomoRt=
V
I
.Por¶ultimorecordando(30.2)tendremos:
V
I
=
½
S
l+R0:
3.SetomanmedidasdeRtydelycuandoserepresentenenunahojadepapel
milimetradofrentealsedeber¶aobtenerunarecta.Deaqu¶³seconsiguentres
cosas
a)Unademostraci¶ondequelaleydeOhmescierta.
b)Unvalorde
½
S
,queser¶alapendientededicharecta.
c)Un\chequeo"delapr¶actica,yaquelaextrapolaci¶ondelospuntoscon
l6=0ensucorteconelejeydeber¶andarcomovalornuevamenteR0.
4.Escribeentucuadernotodoloquehashechojuntoconuna(peque~na)bi-
ograf¶³adeOhm.
5.Sieresvalienteajustalosdatoshaciendounaregresi¶onlineal,bienamano
oconlacalculadora.Sinosabesloqueesunaregresi¶onlinealb¶uscaloen
alg¶unlibrodematem¶aticas(odepr¶acticasdelaboratorio)opreg¶untaseloa
tuprofesor.
168 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

169. Cap¶³tulo31
Usoelementaldeun
osciloscopio
31.1.Materialexperimental
Osciloscopio.
Generadordeonda.
Cablesyresistencias.
31.2.Introducci¶onte¶orica
Estaesunapr¶acticaquenotratatantodedemostraralg¶unconceptof¶³sico
comodeaprenderausarestecomplicado,peromuy¶utilyvers¶atilinstrumento:el
osciloscopio.
31.2.1.Elosciloscopio
Unosciloscopioesuninstrumentoque,mediantepulsosel¶ectricoscuyaduraci¶on
sepuederegular,representaenunapantallaunarelaci¶ondelvoltajedeentrada
frentealtiempo,esdecirV(t).
Losinstrumentosb¶asicosparasuutilizaci¶onsonunmandoqueregulaladuraci¶on
delbarridodelosciloscopio,esdecir,laescaladetiempos,yquepuededurardesde
microsegundoshastasegundos.Estaescalavienemarcadaasuvezporloscuadrados
delapantalladelosciloscopio,cadaunodeloscualespresentacuatrodivisionesque
permitenas¶³conocereltiempodiscurridoenuneventoconunaprecisi¶onde
1
5
de
laescalausada.
Laescalavertical,esdecir,elvoltaje,vieneasuvezreguladapordosmandos
similares,unoporcadacanal(comonosotrosvamosausars¶olouncanalnohar¶afal-
tapreocuparsedelotroparanada),endondepodemoselegirlaescala.Aligualque
antescadacuadradito,consuscincodivisiones,representar¶aunaunidaddelvoltaje
seleccionado.
Laescaladeltiemposecorrespondealejehorizontaldelapantalladeloscilo-
scopio,yelvoltajealavertical.Esmuyimportanteelajusteapropiadodeestos
mandosparalacorrectarealizaci¶ondemedidas.Elmandodelaescalatemporal
tiene,asuvez,unmandodeajuste¯no,peroparaquelasmagnitudesrealesse
correspondanconlasmedidasnohayquetocarestemando.
169

170. CAP
¶
ITULO31.USOELEMENTALDEUNOSCILOSCOPIO
escala de tiempo
Selector de la
Enfoque
Escala de voltaje X
Escala de voltaje Y
Entrada de la señal X e Y
Selector del canal X, Y o ambos.
Pantalla
Brillo
Figura31.1:Mandosfundamentalesdeunosciloscopio.
Por¶ultimolososciloscopiospresentandosmandosm¶aspararegulareldesplaza-
mientodelosejesxey,esdecir,deltiempoyelvoltaje,perosinvariarlaescala.
Esdecir,haydosmandosparaelajustedelorigendecoordenadasverticalyhori-
zontalmente.
Laposici¶onaproximadadeestosmandosimportantespuedeverseenla¯gura
31.1.
31.2.2.Elgeneradordeonda
Setratadeunaparatoparagenerarcorrientealternaconlaforma,frecuenciay
amplitudquedeseemos.
Laformadelaondapuedesertriangular,sinusoidalocuadradaysecambiacon
losbotonescorrespondientes.
Paracambiarlaintensidadtenemosunmandodeajuste¯noyunosbotonesen
elgeneradorparacambiarlaescalaenunfactorm¶ultiplode10.
Laamplitudsepuedevariarconunmandoquenoest¶areglado.
31.3.Realizaci¶onpr¶actica
Compruebaquesabesusaryacorrectamentelosaparatoseintentaentonces
comprobar,medianteelusodelosciloscopio,quelafrecuenciaalaqueelgenerador
emitelasondasesrealmentelaquemarca.
Paraellohazpasarlase~naldelgeneradordeondaatrav¶esdeunaresistenciay
conectaenlosextremosdeestaresistencialosextremosdelosciloscopio.Ajustael
instrumentohastaqueobtengasunaondavisibleconclaridadenlapantalla.F¶³jate
quelaondaserepitecadaciertotiempo.Simidescadacuantotiemposerepite
laondahabr¶asobtenidoelperiododelaondaT.Paraconseguirsufrecuenciaº
recuerdaque
º=T
¡1
:
¦Recuerdaque,paraqueelc¶alculotedeenHertzios,queesloquese~nalaNota
elgeneradordeonda,debestomareltiempoensegundos.
170 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

171. CAP
¶
ITULO31.USOELEMENTALDEUNOSCILOSCOPIO
31.4.Precauciones
Dadalacomplejidadyaltopreciodelosaparatosqueseusanenestapr¶actica
esm¶asqueconvenientequetengaspresentelassiguientesindicaciones:
Antesdeencenderaseg¶uratequeloscontactossoncorrectos.
Nomanipulesloscontrolesquenosabesparaquesirven.
Mant¶ensiemprelaondaenlosl¶³mitesdedetecci¶ondelaparato.
Elosciloscopionoesunjuguete,nohagascosasrarascon¶el.
Sinotarasquealgosecalientaoquehueleaquemadoapagatodor¶apidamente
yavisaalprofesor.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 171

172. CAP
¶
ITULO31.USOELEMENTALDEUNOSCILOSCOPIO
172 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

173. Cap¶³tulo32
Estudiodeunp¶endulo.
32.1.Materialexperimental
Parallevaracaboestapr¶acticasenecesitar¶a:
Hiloconsoporte.
Peso.(Paracolgardelhilo).
Cron¶ometro.
Metro.
32.2.Introducci¶onte¶orica
Alcolocarunpesodeunhilocolgadoeinextensibleydesplazarligeramenteel
hiloseproduceunaoscilaci¶onperi¶odica.Paraestudiarestaoscilaci¶onesnecesario
proyectarlasfuerzasqueseejercensobreelpesoentodomomento,yverque
componentesnosinteresanycualesno.Estosepuedeobservarenla¯gura13.1.Un
estudioan¶alogo,quiz¶asalgom¶ascompletoalquesevaahaceraqu¶³,estaexpresado
enelpunto13.4.
Vemospuesque,considerando¶unicamenteeldesplazamientotangentealatrayec-
toria,esdecir,elarcoqueseest¶arecorriendo,podemosponer
ml
d
2
®
dt
2
+mgsin(®)=0 (32.1)
dondenohemoshechosinoaplicarlasegundaleydeNewton.Estosepuedever
considerandoqueelarcoesl®y,comoleslalongituddelhiloyesconstante
1
,
laaceleraci¶onser¶al
d
2
®
dt
2.Porotraparte,aplicando
P
~
F=m~a,enestecasola
fuerzaess¶ololadelagravedad,mgquesedescomponeenunacomponente,quese
contrarrestraconlatensi¶on,m¶asotra,queeslaquehacequeexistamovimientoen
latrayectoriamarcadaporelarco.
Estaecuaci¶ondiferencialnoesnadaf¶acilderesolver
2
yporellorecurrimosa
laaproximaci¶onsiguiente:suponiendoqueel¶anguloquedesplazamosespeque~no,
tomamosquesin(®)'®yas¶³tenemosque
d
2
®
dt
2
+
g
l
®=0 (32.2)
1
Seconsideraunhiloinextensible.
2
Realmentenotienesoluci¶onanal¶³tica.
173

174. CAP
¶
ITULO32.ESTUDIODEUNP
¶
ENDULO.
queavecestambi¶enseexpresacomoÄ®+
g
l
®=0.
Estaecuaci¶onsepuededemostrarquetieneporsoluci¶on
®=Acos(!t) (32.3)
dondew
2
=
g
l
yAeselarcom¶aximoquesealejaelp¶endulo.
Tambi¶enesmuycom¶un,puestoquehemossupuestoarcosmuypeque~nospara
hacerlaaproximaci¶on,suponerquelatrayectoriaquesigueelp¶enduloesrecta,y
nocurvada,yaque,para
3
®¿1elarcoseconfundeconlacuerda,yportanto,
tratarestemovimientocomounosciladorarm¶onicosimplecualesquiera.
32.3.Realizaci¶onpr¶actica
Hacerestapr¶acticaesmuysencillo.Paraellobastamedirlalongituddela
cuerdahastaelcentrodegravedaddelpeso,ydespu¶esindagarcualser¶aelper¶³odo
Tdelmovimiento.
Parahallarelper¶³ododelmovimientoseparamosligeramenteelp¶enduloycon
elcron¶ometrocontamoshasta20o30oscilaciones.Despu¶esdividimoseltiempo
quetard¶oenoscilarestasvecesporeln¶umerodeoscilacionesquehemoscontadoy
obtendremoselper¶³odo,esdecir,eltiempoquesetardaendaruna¶unicaoscilaci¶on.
BastaahorarelacionarTcon!mediantelasencillaf¶ormula
!=
2¼
T
y,sabiendoque
!=
r
g
l
sedespejagysehalla,dadoquetenemostambi¶enelrestodepar¶ametros.
3
Lease,®muypeque~no.
174 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

175. Cap¶³tulo33
C¶alculodelaaceleraci¶onde
unsistemamediante
din¶amicaycinem¶atica
33.1.Materialexperimental
Cron¶ometrofotoel¶ectrico.
Poleas
Hilocondossoportesyundiscodealuminiomuyligero.
Regla.
Balanzaypesas.
33.2.Introducci¶onte¶orica
Enestapr¶acticasetratadecombinarcinem¶aticaydin¶amicaenunexperimento
sencilloparacomprobarcomosonaplicablesambasteor¶³asaunasituaci¶onconcreta.
Aplicandolasecuacionesdeladin¶amicaaunsistemacomoeldela¯gura33.1
d
m1
m2
Figura33.1:Sistemadepoleas.
175

176. CAP
¶
ITULO33.C
¶
ALCULODELAACELERACI
¶
ONDEUNSISTEMAMEDIANTE
DIN
¶
AMICAYCINEM
¶
ATICA
ysuponiendoque¶estesemuevedeizquierdaaderechasetendr¶aque:
m1g¡T=m1a
T¡m2g=m2a
¾
dedonde,f¶acilmenteseobservaque
a=
m2¡m1
m2+m1
g: (33.1)
Ahorabien>c¶omopodemosobtenerlaaceleraci¶onusandocinem¶atica?.Sila
distanciaentrelosdossensoresdelcron¶ometrofotoel¶ectricoesdyjustodejamos
partireldiscose~naldelprimerosinvelocidadinicial,considerandotambi¶eneste
primersensorcomoelorigendemedici¶ontendremosque
x=x0+v0t+
1
2
t
2
!d=
1
2
at
2
:
yunavezmedidot,queser¶aeldatoquenosdeelcron¶ometrocuandoeldiscopase
porelsegundodetector,tendremosque
a=
2d
t
2
: (33.2)
33.3.Realizaci¶onpr¶actica
Cogedosmasascuidadosamentepesadasysit¶ualasenlosdosextremosdela
pr¶actica.Laelecci¶ondelasmasasesimportante,puestoquedebenserlosu¯cien-
tementegrandesparapoderdespreciarelefectodelaspoleasylamasadelhilo,
yladiferenciaentreellasdebesersu¯cientementegrandeparaquenoleafecteel
errordemedidadelasmasas,perolosu¯cientementepeque~naparaqueelconjunto
nosedesplacemuydeprisayelerrordemedici¶ondeltiemponoseasigni¯cativo.
Habr¶asdeprobarcondistintascombinacionesdemasashastaqueencuentreslaque
parezcam¶asoportuna.
Dejadeslizarsealsistemaytomacincooseismedidasdeltiempoquetardaen
cruzareldiscodealuminiolosdossensores:despu¶estomaeltiempomedioentre
losseisexperimentos.
Usandolasf¶ormulas(33.1)y(33.2)calculalaaceleraci¶ondelsistema.Evidente-
menteenuncasoidealelresultadoporlosdoscaminosdeber¶³aserexactamenteel
mismo,peronoobstantenuncadalomismodebidoaloserroresexperimentalesy
alasaproximacionesechas.>C¶omointerpretaselresultado?.>Coincidensigni¯ca-
tivamente?.
Ideaalg¶unsistemaparamejorarlaprecisi¶ondelexperimentoobiendetus
c¶alculosy,sierescapaz,real¶³zalo.Explicatodoestoentugui¶ondepr¶acticas.
176 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

177. Cap¶³tulo34
Medici¶ondelahumedad
medianteunpsicr¶ometro
34.1.Materialexperimental
Term¶ometro.
Balletaotrapoh¶umedo.
Tabladetemperaturash¶umeda-seca.
34.2.Introducci¶onte¶orica
Unterm¶ometroh¶umedoesundispositivosenciloparamedirlahumedadrela-
tivadelaatm¶osfera.Sufuncionamientosebasaenlabajadadetemperaturaque
acompa~naaunfen¶omenodeevaporaci¶ondeagua.
Cuandosecolocaunpa~nocont¶³nuamenteh¶umedoenlapartesensibledeun
term¶ometro,aunqueelaguaest¶eatemperaturaatm¶osf¶ericaseobservaundescenso
delatemperaturaenelas¶³llamado erm¶ometroh¶umedo".Estosedebeaque
elaguaseevaporadelpa~no,tomandoelcalorquelefaltaparaesteprocesodel
term¶ometro,yhaciendoentoncesquesutemperaturabajesigni¯cativamente.Este
descensodetemperaturasepuedemedirtomandodespu¶eslatemperaturaconun
term¶ometronormalo\seco".
Comolafacilidaddeevaporaci¶ondelaguadependedelosaturadaqueest¶ela
atm¶osferadevapordeagua,yestosere°ejaasuvezenestadiferenciadetemper-
atura,medianteestemecanismopodemosobtenercualeslahumedadrelativadela
atm¶osfera.
Porejemplo,silastamperaturasentreambosterm¶ometrossonigualessupone
quenosehaevaporadonadadeaguadelpa~noh¶umedo,yportantolahumedad
relativadeber¶aserlam¶aximaposible:100%,yaqueseimpidelaevaporaci¶onde
l¶³quido.
Cuantomayorsealadiferenciadetemperaturasm¶asaguaseestar¶aevaporando,
locualsigni¯caquelahumedadrelativadelaatm¶osferaespeque~nayportanto
permitequeseevaporeagua.
34.3.Realizaci¶onpr¶actica
Simplementesemidelatemperaturaaseur¶andosedequeelbulbodemercurio
est¶eseco.Seanotabienestatemperatura.Posteriormentesemojaunpa~noyse
177

178. CAP
¶
ITULO34.MEDICI
¶
ONDELAHUMEDADMEDIANTE UNPSICR
¶
OMETRO
rodeasuavementeelterm¶ometrocon¶el.Sedejaunrato(asegur¶andosequesiempre
est¶eh¶umedoelpa~no)ysecompruebalanuevatemperatura,queser¶aligeramente
inferior.Posteriormente,comprobandolatablaadjunta,sesabr¶acualeslahumedad
delaatm¶osfera.
178 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

179. Cap¶³tulo35
Resistenciasenserieyen
paralelo.
35.1.Materialexperimental
Parallevaracaboestapr¶acticasenecesitar¶a:
Placadecircuitos.
Resistenciasycables.
Pol¶³metro.
35.2.Introducci¶onte¶orica
Laasociaci¶onderesistenciasenserieyenparalelopartedelusodelaleyde
Ohm
¢V=IR
donde¢Vesladiferenciadetensi¶onentrelasresistencias,Ilaintensidaddecor-
rientequecirculaporellasyRelvalordelaresistenciaencuesti¶on.
35.2.1.Acopleenserie.
Sitomamoslasresistenciasylasacoplamosenserie,comoeneldibujo35.1
podemosa¯rmarquelaintensidadquepasaporR1eslamismaquecircular¶apor
VD
D DV V
R R
2
1 2
1
Figura35.1:Resistenciasenserie.
179

180. CAP
¶
ITULO35.RESISTENCIAS ENSERIEYENPARALELO.
DV
R
1
R
2
I
I
I
1
2
Figura35.2:Resistenciasenparalelo.
R2.Portantotendremosque¢V1=IR1yadem¶as¢V2=IR2.Laca¶³datotalde
potencialser¶aV1+V2,esdecir
¢V=V1+V2=IR1+IR2=I(R1+R2)
BuscandoelvalordeunaresistenciaequivalenteRetendremosque
¢V=IRe=I(R1+R2))Re=R1+R2:
Hemosllegadoas¶³alaconocidarelaci¶onparalasresistenciasenserie:
Re=R1+R2 (35.1)
35.2.2.Acopleenparalelo
Montemosahoralasresistenciasenparalelo,talycomoserepresentaenel
circuitodibujadoen35.2.Pararesolverestenuevoproblemabastadarsecuentade
que,ahora,ladiferenciadepotencial¢Vesigualparaambasresitencias,esdecir,
que
¢V=V1=V2:
Tendremosentoncesque
¢V=IRe=I1R1=I2R2
y,porlasleyesdemallasdeKircho®,osisepre¯ere,porelconceptointuitivode
quelaintensidadnosepuedeperder,esevidentequeI=I1+I2.Tomandoesta
¶ultimaigualdadynotandoque
I=
V
Re
I1=
V
R1
I2=
V
R2
tendremos,s¶oloconsustituir
V
Re
=
V
R1
+
V
R2
y,despejandolaV
1
Re
=
1
R1
+
1
R2
: (35.2)
180 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

181. CAP
¶
ITULO35.RESISTENCIAS ENSERIEYENPARALELO.
35.3.Realizaci¶ondelapr¶actica
Larealizaci¶ondeestapr¶acticaesmuysencilla.Enprimerlugarmediremosconel
pol¶³metrolosvaloresenOhmniosdelasresistenciasquetengamos.Apuntandobien
cadaresistenciaconsuvalor.Despu¶esasociaremosenserieyenparaleloalgunas
deestasresistencias,calculandoposteriormentemedianteelusodelasf¶ormulas
(35.1)y(35.2)elvalorte¶oricodelaresistenciaequivalente.Unaveztenidoeste
datomediremosconelpol¶³metroelvalordelaresistenciaequivalente.>Coinciden
estosvalores?.Encasodequenoseaas¶³>Qu¶erazonespuedehaberparaello?>Es
signi¯cativaestanocoincidencia?.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 181

182. CAP
¶
ITULO35.RESISTENCIAS ENSERIEYENPARALELO.
182 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

183. ParteIV
Ap¶endices
183

185. Ap¶endiceA
Esquemasyformulario
A.1.C¶alculovectorial
1.De¯nici¶on
a)Escalar
b)Vector
1)M¶odulo
2)Direcci¶on
3)Sentido
2.Operacionesconvectores
a)Componentes.~v=(vx;vy;vz)
b)M¶odulo.j~vj=v=
q
v
2
x+v
2
y+v
2
z
c)Vectorunitario.^v=
~v
v
1)(1;0;0)=^{
2)(0;1;0)=^|
3)(0;0;1)=
^
k
d)Suma.~a+
~
b=~c)(ax;ay;az)+(bx;by;bz)=(ax+bx;ay+by;az+bz).
Gr¶a¯ca.
e)Productoescalar.~a¢
~
b=abcosµ=axbx+ayby+azbz
A.2.Cinem¶atica
1.Vectordeposici¶on~r
2.Vectordesplazamiento¢~r=~r2¡~r1
3.Velocidad
a)Media~v=
~r2¡~r1
t2¡t1
b)Instant¶anea~v=
d
dt
~r(t)
4.Aceleraci¶on
a)Media~a=
~v2¡~v1
t2¡t1
185

186. AP
¶
ENDICEA.ESQUEMAS YFORMULARIO
b)Instant¶anea~a=
d
dt
~v(t)=
d
2
dt
2~r(t)
c)Tangencial.~at=
dj~vj
dt
¢^v
d)Normal.~an=
v
2
R
¢^n;^n?^v
e)Relaciones
1)~a=~at+~an
2)a
2
=a
2
t+a
2
n
A.2.1.Movimientocircular
1.µesel¶angulorecorridoenradianes.
2.2¼rad=360
o
3.Velocidadangular.!=
d
dt
µ(t)
4.Aceleraci¶onangular.®=
d
dt
!(t)
5.Relacionesmagnitudesangularesconlineales
a)v=R!
b)at=R®
c)an=R!
2
A.3.Din¶amica
A.3.1.Translaci¶on
1.LeyesdeNewton.
a)Leydeinercia
b)
P
~
F=m~a
c)Leydeacci¶onyreacci¶on
2.Fuerzas
a)Peso.
~
P=m~g.
b)Normal.EnrampasN=mgcosµ
c)Rozamiento.Fr=¹N
d)Tensiones.Aambosladosdeunapoleaperfectaesigual.
3.Momentolineal:
~
P=m~v
4.Conservaci¶ondelmomentolineal.
P
i
m
ini
i
~v
ini
i
=
P
i
m
fin
i
~v
fin
i
5.Cantidaddemovimientoeimpulsomec¶anico.
~
I=
~
Ft=¢~p
A.3.2.Rotaci¶on
1.Movimientocircular.Fc=m
v
2
R
2.Aplicaci¶onacurvasconysinperalte.vmax=
p
¹gR;vmax=
p
tan®gr
3.Momentodeunpardefuerzas.M=Frsin®
4.Momentodeinercia.I=
P
n
mnr
2
n
5.Ecuaci¶ondeladin¶amicaderotaci¶on.M=I®
186 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

187. AP
¶
ENDICEA.ESQUEMAS YFORMULARIO
A.4.TrabajoyEnerg¶³a
1.Trabajo:conceptointuitivo.
2.Trabajo:conceptomatem¶atico:
a)W=Frcos®
b)W=
~
F¢~r
3.Potencia.P=
dW
dt
=Fv;P=
~
F¢~v
4.Energ¶³a.
a)Conceptointuitivo.
b)Cin¶etica.T=Ec=
1
2
mv
2
c)Potencialel¶astica.Ep=
1
2
Kx
2
d)Potencialgravitatoriasuper¯cie.Ep=mgh
e)Potencialgravitatoriageneral.Ep=¡G
Mm
r
f)Potencialcoulombiana.Ep=K
Qq
r
g)Teoremadeconservaci¶ondelaenerg¶³a.Ec(A)+Ep(A)=Ec(B)+Ep(B)
A.5.Movimientoarm¶onicosimple
1.LeydeHooke.F=¡Kx
2.Ecuaci¶ondelm.a.s.
a)Ecuaci¶ongeneral.x=Asin(!t+µ)
b)Relaci¶onvelocidadposici¶on.v=
p
A
2
¡x
2
c)Relaci¶onaceleraci¶onposici¶on.a=¡!
2
x
3.>Qu¶ees!?
a)!
2
=
K
m
b)Periodo.!=
2¼
T
c)Frecuencia.!=2¼º
d)Relaci¶onperiodoyfrecuencia.º=T
¡1
4.Energ¶³aenunm.a.s.
a)Potencial.Ep=
1
2
Kx
2
b)Mec¶anica.Etotal=
1
2
KA
2
5.P¶endulosimple.
a)Relaci¶onconunm.a.s.!=
p
g
l
b)Propiedades.C¶alculoaproximadoparaamplitudespeque~nas.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 187

188. AP
¶
ENDICEA.ESQUEMAS YFORMULARIO
A.6.Campoypotencialel¶ectricoygravitatorio
1.Fuerzas
a)Coulombiana(cargas).
~
F=K
Qq
r
2^r
b)Newtoniana(masas).
~
F=¡G
Mm
r
2^r
2.Campos
a)Electrost¶atico.
~
E=K
Q
r
2^r.
b)Gravitatorio.~g=¡G
M
r
2^r.
3.Principiodesuperposici¶onvectorial.
~
Ftotal=
P
i
~
Fi.
4.Energ¶³apotencial.
a)Electrost¶atica.Ep=K
Qq
r
.
b)Gravitatoria.Ep=G
Mm
r
.
5.Potencialelectrost¶atico.V=K
Q
r
.
6.Principiodesuperposici¶onescalar.Vtotal=
P
i
Vi.
7.Diferenciadepotencialelectrost¶atico.
8.Relaci¶onentreladiferenciadepotencialyeltrabajo.¢W=q(VA¡VB).
9.Relacionesentrecamposyfuerzas.
a)Electrost¶atico.
~
F=q
~
E.
b)Gravitatorio.
~
F=m~g.
10.Relaci¶onentreenerg¶³apotencialypotencialelectrost¶atico.Ep=qV.
11.Flujo(Á=
~
E¢
~
S)yteoremadeGauss.
a)Electrost¶atico.Á=
qenc
²0
.
b)Gravitatorio.Á=4¼Gmenc.
12.Anexos.
a)Signi¯cadodelaenerg¶³apotencialnegativa.
b)Velocidaddeescape.Et=
1
2
mv
2
¡G
Mm
r
=0.Conceptodepart¶³culas
\ligadas".
c)Relaci¶on(unidimensional)entreelcampoyelpotencial.E=
dV
dx
d)LeyesdeKepler.
e)Resoluci¶ondeproblemasdesat¶elites.
mv
2
R
=G
Mm
R
2.
188 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

189. AP
¶
ENDICEA.ESQUEMAS YFORMULARIO
A.7.Circuitosdecorrientecontinua
1.Conductoresyaislantes.
2.Intensidad.Amperio.I=
dq
dt
.
3.Diferenciadepotencial.¢V.
4.LeydeOhm.Resistencia.¢V=IR,R=½
1
S
.
5.Asociaci¶onderesistencias.
a)Asociaci¶onserie.Re=
P
i=n
i=1
Ri
b)Asociaci¶onparalelo.
1
Re
=
P
i=n
i=1
1
Ri
.
6.Instrumentosdemedida
a)Amper¶³metros.(Serie).
b)Volt¶³metros.(Paralelo).
7.Trabajodelacorrienteel¶ectrica.LeydeJoule.W=I
2
Rt(J).
8.Potenciadelacorrienteel¶ectrica.P=I
2
R.
9.Generadores.Fuerzaelectromotriz(fem).¢V=²¡I
P
ri.
10.Motores.Fuerzacontra-electromotriz.(fcem).LeydeOhmgeneralizada.
P
²i=
P
²
0
i
+I
P
Ri.
11.Redesel¶ectricas.ReglasdeKirchho®.
A.8.Electromagnetismo
1.Campomagn¶etico.
~
B.
2.Flujomagn¶etico.©=
~
B¢
~
S.
3.Acci¶ondeuncampomagn¶eticosobreunacargaenmovimiento.LeydeLorentz.
j
~
Fj=qj~vjj
~
Bjsin®.
4.Radiodela¶orbitadeunacargamovi¶endosebajolaacci¶ondeuncampo
magn¶etico.R=
mv
qB
.
5.Acci¶ondeuncampomagn¶eticosobreunconductorrectil¶³neorecorridopor
unacorriente.LeydeLaplace.j
~
Fj=BIlsin®.
6.Campomagn¶eticocreadoporunacorrienterectil¶³nea.LeydeBiotySavart.
B=
¹0
2¼
I
r
.
7.Campomagn¶eticocreadoporunaespiracircularensucentro.B=
¹0
2
IR.
8.Campomagn¶eticocreadoporunsolenoide.B=¹I
n
l
.
9.Fuerzaentrecorrientesparalelas.De¯nici¶ondeamperio.
F
l
=
¹0
2¼
II
0
d
.
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 189

190. AP
¶
ENDICEA.ESQUEMAS YFORMULARIO
190 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

191. Ap¶endiceB
Movimientodeuncuerpoen
elcampogravitatoriobajoel
rozamientoconelaire
B.1.Introducci¶on
Vamosaanalizarquesucedecuandodejamosuncuerpoenca¶³dalibrebajola
acci¶ondelagravedad,peroconsiderandotambi¶enqueexisteunrozamientoconla
atm¶osfera,conelaire,devalorFr=¡Kv.
B.2.PlanteamientodelaleydeNewton
AplicandolaleydeNewtontenemosque
P
~
F=m~a.Enestecasotomaremosel
sistemadereferenciahabitual,yaltratarseelproblemadeunaca¶³dalibre,haremos
¶unicamenteuntratamientounidimensionalparaelejey.
Lasfuerzasqueseejercensobreelcuerpoquecaeson¶unicamentelafuerzade
lagravedad¡mgyladerozamiento¡Kv
1
.LaconstanteKladejaremosindicada,
suvalorsemideexperimentalmente.
As¶³pueslaleydeNewtonseexpresar¶acomo
¡mg¡Kv=ma: (B.1)
B.3.Interpretaci¶ondelaecuaci¶ondeNewton
Vemosquetenemosunaecuaci¶onquerelacionaaconv.Ahorabien,laacel-
eraci¶onylavelocidadnosonmagnitudesindependientes,yaqueunaesladerivada
delaotra.PortantonopodemosdespejartranquilamenteaoV,yaque,alestar
relacionadasentres¶³,estonoser¶³aunasoluci¶ondelaecuaci¶on(B.1).Hemosde
plantearcomoresolver
¡mg¡Kv=m
dv
dt
;
1
Hemosdeserconscientesqueenestemodelodelrozamientohemosincluidoyaelhechodeque
elrozamientosiempreseoponealmovimiento.>Qu¶ec¶omosucedeestoaqu¶³?,simplementeporque
cuandolavelocidadseapositiva¡Kvser¶anegativoeir¶aensentidocontrarioalmovimiento.
An¶alogamentecuandov<0tendremosqueFr>0ytambi¶enseoponealmovimiento.Por¶ultimo
sielcuerponosemuevev=0ynohayrozamiento.
191

192. AP
¶
ENDICEB.MOVIMIENTODEUNCUERPOENELCAMPOGRAVITATORIOBAJO
ELROZAMIENTO CONELAIRE
querecibeelnombredeecuaci¶ondiferencial.Aunqueeltemadelasecuaciones
diferencialessuperaconmuchoelnivelylosplanteamientosdelaf¶³sicageneral
deestecurso,estecasoconcretorepresenta,nos¶olouncasosencilloeinteligible,
sinoadem¶asunejemplopotenteydid¶acticodeloquerepresentanlasecuacionesde
Newtonparaelmundof¶³sico,raz¶onporlaquetrataremosestesistemacomouna
excepci¶onalniveldelcurso,perounaexcepci¶onmuyinteresante.
Pararesolverestaecuaci¶onpasemostodoslost¶erminosconvaunladoylos
quetienentalotro.As¶³tendremos
¡
mdv
mg+Kv
=dt
locualesunaformadeacumulartodoslost¶erminosenvaunladoycontbien
separadosparanuestrapr¶oximaacci¶on.Integremosahoraambosmiembrosentreel
instantet=0,enelcualsuponemosquev=0yuninstantegen¶ericot.
¡
Z
t
0
m
mg+Kv
dv=
Z
t
0
dt
.
Estaintegralesinmediatad¶andosecuentadeque
d
dt
(mg+Kv)=
K
mg+Kv
,yportantotendremos
t]
t
0
=¡
m
K
ln(Kv+mg)
i
t
0
;
quesabiendoqueent=0ten¶³amosv=0nosdir¶aque
t=¡
m
K
ln
µ
Kv+mg
mg
¶
:
Bueno,ahorabastahaceralgunaacrobaciamatem¶aticaydespejarlavelocidad,
queeslamagnitudquenosinteresa,estoselograexponenciando
e
¡
Kt
m=
Kv+mg
mg
ydespejando
v=¡
mg
K
³
1¡e
¡
Kt
m
´
(B.2)
B.4.Conclusi¶on
Interpretarelresultadodelaf¶ormula(B.2)esunadeliciaf¶³sicaquenosdir¶amu-
chom¶asquetodoeldesarrollomatem¶atico,m¶asomenoscomplejo,anterior.Deje-
mosdemomentopensarallectorquenosest¶adiciendoestarelaci¶onengeneraly,
muchom¶asconcretamentequesucedeparatiemposmuypeque~nosymuygrandes,
esdecir,estudiarquesigni¯canloscasosenlosquet¿1yt!1.
192 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

193. Ap¶endiceC
Tablasyf¶ormulas¶utiles
C.1.Introducci¶on
Esteap¶endiceest¶apensadocomouncomplementoounrecordatoriomatem¶atico
dealgunosconceptosdeesta¶³ndoleimprescindiblesparaabordarcon¶exitoelestudio
delaf¶³sica.Noobstante,siellectordescubrequedesconoceunagranpartedel
contenidodeesteap¶endice,obienquenocomprendelaprocedenciadelasf¶ormulas,
deber¶³aporsucuentaestudiarestasbaseshastasutotalcomprensi¶on.
C.2.C¶alculocomplejo
i
2
= ¡1
p
¡1 = i
(a+bi)¢(c+di)=(ac¡bd)+(bc+ad)i
a+bi
c+di
=
ac+bd
c
2
+d
2+
cb¡ad
c
2
+d
2i
C.3.C¶alculovectorial
M¶oduloj~aj=
q
a
2
x+a
2
y+a
2
z.
Productoescalar~a¢
~
b=abcosµ.
ProductovectorialVer4.3.4.
C.4.Funcioneselementales
C.4.1.Trigonom¶etricas
sin
2
t+cos
2
t= 1;8t
sin(a§b)=sinacosb§cosasinb
cos(a§b)=cosacosb¨sinasinb
193

194. AP
¶
ENDICEC.TABLASYF
¶
ORMULAS
¶
UTILES
C.4.2.Logar¶³tmicasyexponenciales
ln1= 0
ln0! ¡1
ln(ab)=lna+lnb
ln
¡
a
b
¢
=lna¡lnb
lna
b
= blna
e
0
= 1
e
t
¸ 0;8t
e
a+b
= e
a
e
b
e
ab
= e
ab
C.5.Derivaci¶on
C.5.1.Propiedadesgenerales
Constante
d
dt
K=0.
Suma
d
dt
(f+g)=
d
dt
f+
d
dt
g.
Productoporconstante
d
dt
(Kf)=K
d
dt
f.
Producto
d
dt
(f¢g)=
¡
d
dt
f
¢
g+f
¡
d
dt
g
¢
.
Divisi¶on
d
dt
f
g
=
(
d
dt
f)g¡f(
d
dt
g)
g
2 .
Regladelacadena
d
dt
f(g(t))=(
d
dt
f)(g(t))¢
d
dt
g(t).
Ejemplodelaregladelacadena
d
dt
sin(t
2
)=cos(t
2
)2t.
C.5.2.Tabladederivadas
f(t)
d
dt
f(t) f(t)
d
dt
f(t)
t 1 t
n
nt
n¡1
p
t
1
2
p
t
sint cost
cost ¡sint tant
1
cos
2
t
sinht cosht cosht sinht
lnt
1
x
log
at
1
x
log
ae
a
t
a
t
lna e
t
e
t
arcsint
1
p
1¡t
2
arccost¡
1
p
1¡x
2
arctant
1
1+t
2 argsinht
1
p
t
2
+1
argcosht
1
§
p
t
2
¡1
argtanht
1
1¡t
2
C.6.Integraci¶on
C.6.1.De¯nici¶onypropiedades
Sede¯ne
R
f(t)dt=F(t)+Csisecumpleque
d
dt
F(t)=f(t).Algunaspropiedades
son:
Nula
R
0dt=CdondeCesunaconstantecualesquiera.
Constante
R
Kf(t)dt=K
R
f(t)dt,
194 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

195. AP
¶
ENDICEC.TABLASYF
¶
ORMULAS
¶
UTILES
Suma
R
(f(t)+g(t))dt=
R
f(t)dt+
R
g(t)dt.
Laintegraldeunproductodedosfuncioneses
Z
u(t)dv(t)=u(t)v(t)¡
Z
v(t)du(t):
C.6.2.Tabladeintegrales
R
t
n
dt=
t
n+1
n+1
+C;n6=¡1
R
dt
t
= lnjtj+C
R
e
t
dt= e
t
+C
R
sintdt= ¡cost+C
R
costdt= sint+C
R
dt
cos
2
t
= tant+C
R
dt
p
1¡t
2
= arcsint+C
R
tanx= ¡lnjcostj+C
R
dt
p
t
2
¡1
=ln
¡
t+
p
t
2
¡1
¢
+C
R
dt
1+t
2= arctant+C
F¶³sicaGeneral.http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html 195

196. AP
¶
ENDICEC.TABLASYF
¶
ORMULAS
¶
UTILES
196 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

197. Ap¶endiceD
Agradecimientos
Elautorquiereagradecerlacolaboraci¶on,alahoradebuscarycorregirlas
erratasatodossus(sufridos)alumnos,ym¶asespecialmenteporsudedicaci¶onen
dichab¶usquedaa:
BeatrizEst¶³valizMu~nozGonzalez.
ElenaCasillasMill¶an.
M
a
delaConcepci¶ondeLe¶onL¶opez.
Miguel
¶
AngelMorilloLozano.
MiguelTorresDur¶an.
197

198. AP
¶
ENDICED.AGRADECIMIENTOS
198 (C)IgnacioMart¶³[email protected]

199. Bibliograf¶³a
[1]F¶³sicaFeynman,VolumenI:Mec¶anica,radiaci¶onycalor.Feynman,Leighton,
Sands.Addison-WesleyIberoamericana.USA,1987.
[2]F¶³sicaFeynman,VolumenII:Electromagnetismoymateria.Feynman,Leighton,
Sands.Addison-WesleyIberoamericana.USA,1987.
[3]F¶³sicaFeynman,VolumenIII:Mec¶anicacu¶antica.Feynman,Leighton,Sands.
Addison-WesleyIberoamericana.USA,1987.
[4]F¶³sica,VolumenI.PaulA.Tipler.EditorialRevert¶e,S.A.Bilbao,1.995.
[5]F¶³sica,VolumenII.PaulA.Tipler.EditorialRevert¶e,S.Bilbao,1.995
[6]F¶³sicarecreativa,libro1.Y.Perelman.EditorialMIRRubi~nos-1.86S.A.Madrid,
1.994,
[7]F¶³sicarecreativa,libro2.Y.Perelman.EditorialMIRRubi~nos-1.86S.A.Madrid,
1.994,
[8]Manualdef¶ormulasytablasmatem¶aticas,serieSchaum.MurrayR.Spiegel.
McGraw-Hill.Mexico1.991.
[9]Problemasdeecuacionesdiferencialesordinarias.A.Kiseliov,M.Krasnov,G.
Makarenko.EditorialMIRRubi~nos-1.86S.A.Madrid,1.992.
[10]ProntuariodeF¶³sica.B.MYavorski,A.A.Detlaf.EditorialMIR.U.R.S.S.
1.988.
[11]Manualdematem¶aticas.I.Bronshtein,K.Semendiaev.EditorialkU.R.S.S.
Mosc¶u,1.988.
[12]Din¶amicadelaspart¶³culasysistemas.JerryB.Marion.EditorialRevert¶eS.A.
Barecelona,1.992.
[13]Mec¶anicaCl¶asica.H.Goldstein.EditorialRevert¶e.Barcelona,1.992.
[14]F¶³sicaCOU.A.Candel,J.Satoca,J.B.Soler,J.J.Tent.EditorialAnaya.
Madrid,1992.
[15]Probabilidadyaplicacionesestad¶³sticas.PaulL.Meyer.Addison-Wesley
Iberoamericana.U.S.A.1986.
[16]F¶³sicaCOU.J.Dami¶an,M.Ortu~noyJ.M
a
R¶³us.EditorialLuisVives.
Zaragoza,1.993.
199