flexão composta

d

1. Flexão Flexão
Composta Composta

2. ƒ
A flexão composta éa ação combinada de
força normal e momentos fletores
ƒ
Os momentos fletorespodem decorrer da
excentricidade, com relação ao eixo do
elemento, de força atuando na direção
longitudinal

3. Tipos de Flexão
Composta

4. 1. Flexão Composta Reta
Ação combinada de força normal e apenas
um momento fletor, em relação ao eixo z (M
z
)
ou em relação ao eixo y (M
y
).
2. Flexão Composta Oblíqua
Ação combinada de força normal e dois
momentos fletores, em relação ao eixo z (M
z
)
e em relação ao eixo y (M
y
).

5. Seção S
•
Tensão normal relativa àforça normal
A
N
x
=
σ

6. •
Tensão normal relativa a M
z
Seção S
Linha neutra (L.N.)alugar geométrico dos pontos onde
σ
x
= 0
Neste caso, a L.N. coincide com o eixo z que passa pelo
centróide da seção
y
I
M
z
z
x
=
σ

7. •
Tensão normal relativa a M
y
Seção S
z
I
M
y
y
x
−=σ
Neste caso, a L.N. coincide com o eixo y que passa
pelo centróide da seção

8. Estudo da Flexão
Composta

9. Na prática, a flexão composta ocorre freqüentemente em
pilares, em vigas protendidas, em muros de arrimo, etc.
O estudo da flexão composta deve ser feito com todas
as cargas reduzidas ao centróide da seção transversal.
Portanto,
e
F
N
M=F e

10. 1-Pilares
Tem-se então:
Flexão Composta Reta
N e M
z
•Carga longitudinal aplicada
sobre o eixo y
F

11. •Carga longitudinal aplicada
sobre o eixo z
Tem-se então:
Flexão Composta Reta
N e M
y
F

12. •Carga longitudinal aplicada fora dos
dois eixos
Tem-se então:
Flexão Composta Oblíqua
N , M
z
e M
y
F

13. 2 -Viga Protendida
Flexão Composta Reta
N e M
z

14. Exercícios Resolvidos

15. 1.Traçar diagrama de σ
x
para uma
seção do pilar, admitindo-se e=20,0 cm
x
z
y
e
80 cm
80 cm
z
y
4000kN

16. Resolução:
1. Características da seção:
4 10
3 3
10 41,3
12
800 800
12
mm
hb
I
z
× =
×
=
×
=
N kN N
6
10 4 4000×−= −=
2. Esforços solicitantes em todas as seções:
2 3
10 640 800 800mm hb A× = × =×=
e F M
z
×
−=
Nmm M
z
6 6
10 800 200 10 4× −= × ×−=

17. 3. Equação da Tensão Normal (σ
x
):
(
)
y y
I
M
A
N
x
z
z
x10
6
3
6
10 41,3
10 800
10 640
10 4
×
× −
+
×
×−
= ⇒ + =
σ σ
y
x
02344 ,0 25,6
−
−
=
⇒
σ
Analisando essa equação, observa-se que
σ
x
só
dependede y.
y = distância do ponto onde se quer calcular a tensão
atéo eixo z que passa pelo centróide da seção

18. 4. Cálculo da Tensão Normal ( σ
x
):
•Para y = +400mm, tem-se
:
(
)
400 02344 ,0 25,6
+
×
−
−=
x
σ
MPa
x
63,15−=
σ •Para y = -400mm, tem-se
:
(
)
400 02344 ,0 25,6
−
×
−
−=
x
σ
MPa
x
13,3+=
σ
+400mm
Z
-400mm
Y

19. 5. Posição da Linha Neutra:
Como a linha neutra éo lugar geométrico dos pontos
onde
σ
x
= 0, tem-se que:
0 02344 ,0 25,6
=
−
−
=
y
x
σ
mm y1, 267
−
=
∴
z
y
L.N.
mm,1 267
−

20. 6. Diagrama de Tensão Normal (σ
x
):
-15,61MPa
-15,61MPa
-15,61MPa
+3,11MPa
+3,11MPa
+3,11MPa
L.N.
ou

21. 2. Traçar diagrama de σ
x
para uma
seção do pilar
x
z
y
6 cm
25 cm
20 cm
z
y
950kN
5 cm

22. Resolução:
1. Características da seção:
4 6
3 3
10 4,260
12
250 200
12
mm
hb
I
z
×
=
×
=
×
=
2 4
10 5 200 250mm hb A×= × =×=
6 cm
25 cm
20 cm
z
y
5 cm
4 6
3 3
10 7,166
12
250 200
12
mm
h b
I
y
×
=
×
=
×
=

23. N kN N
3
10 950 950× −= −=
2. Esforços solicitantes em todas as seções:
z z
e F M
×
−=
Nmm M
z
6 3
10 57 60 10 950× −= × × −=
y y
e F M
×
=
Nmm M
y
6 3
10 5,47 50 10 950× += × × +=

24. 3. Equação da Tensão Normal (σ
x
):
z
I
M
y
I
M
A
N
y
y
z
z
x
− + =
σ
z y
x
285,0 219,0 19
−
−
−
=
⇒
σ
z y
x6
6
6
6
4
3
10 7, 166
10 5,47
10 4, 260
10 57
10 5
10 950
×
×
−
×
×
−
×
× −
=
σ

25. Analisando a equação da tensão normal, observa-se
que
σ
x
dependede y e de z.
y = distância do ponto onde se quer calcular a tensão
atéo eixo z que passa pelo centróide da seção
z = distância do ponto onde se quer calcular a tensão
atéo eixo y que passa pelo centróide da seção

26. 4. Cálculo da Tensão Normal ( σ
x
):
•Para y = +125mm e
z = +100mm, tem-se
:
(
)()
100 285,0 125 219,0 19+
−
+
×
−
−
=
x
σ
MPa
x
88,74−=
σ •Para y = +125mm e
z = -100mm, tem-se
:
(
)()
100 285,0 125 219,0 19−
−
+
×
−
−
=
x
σ
MPa
x
88,17−=
σ
z
y
125mm 125mm
100mm
100mm

27. •Para y = -125mm e
z = +100mm, tem-se
:
(
)()
100 285,0 125 219,0 19+
−
−
×
−
−
=
x
σ
MPa
x
13,20−=
σ
•Para y = -125mm e
z = -100mm, tem-se
:
(
)()
100 285,0 125 219,0 19−
−
−
×
−
−
=
x
σ
MPa
x
88,36+=
σ
z
y
125mm 125mm
100mm
100mm

28. 5. Posição da Linha Neutra:
Como a linha neutra éo lugar geométrico dos pontos
onde
σ
x
= 0, tem-se que:
0 285,0 219,0 19
=
−
−
−
=
z y
x
σ
mm z y7,66 0
−
=
⇒
=
∴
mm y z8,86 0
−
=
⇒
=
∴

29. 6. Diagrama de Tensão Normal (σ
x
):
L.N.
+36,88MPa
-17,88MPa
-74,88MPa
-20,13MPa

30. L.N.
+36,88MPa
-74,88MPa
z
y