flujo y centro cortante en vigas de pared delgada

Ejercicios resueltos de flujo y centro cortante en vigas de pared delgada.

1. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



1



PROBLEMA 7.1.
La viga de caja de pared delgada que se muestra en la Figura 7.1a. Está sometida a una fuerza
cortante de V=10 kip, determine el flujo cortante en toda la sección transversal .


Figura 7.1a. Sección transversal de la viga.

SOLUCIÓN.

Cálculo inercia de la sección.

Como el elemento es considerado de pared delgada se desprecia el término
1
12
bt
3
en el cálculo de
la inercia del ala; además, la inercia se calcula considerando las dimensiones de las líneas centrales,
como lo muestra la Figura 7.1b.


I
x=�I
xi
n
i ;I
xi=
1
12
b
ih
i
3+A
id
yi
2

I
x=2�
1
12
bt
3
�+2bt�
d
2
�
2
=
1
6
(1 in)(7 in)
3
+2(5 in)(1 in)(3.50 in)
2


∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
????????????

FLUJO CORTANTE Y CENTRO CORTANTE EN
VIGAS DE PARED DELGADA. 7

2. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



2

Figura 7.1b. Líneas centrales.
Calculando primer momento de área ‘Q’ y flujo cortante ‘q’ para el punto B.
Para hallar la distribución del flujo cortante es necesario calcular el primer momento de área ‘Q’
en los puntos A, B y C; empezando en el punto B, como el flujo cortante actúa paralelamente al
ala y el Área cortante se ubica exactamente donde ????????????
????????????
′ (ver Figura 7.2c).

????????????
????????????=????????????
????????????
′y�
B
′=0


Figura 7.1c. Área cortante igual a cero en el punto B.


∴????????????
????????????=????????????

Calculando primer momento de área ‘Q’ y flujo cortante ‘q’ para el punto C.

Para el punto C, el Área cortante es la sombreada en verde (ver Figura 7.2d).

3. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



3


Figura 7.1d. Área cortante en el punto C.

????????????
????????????=????????????
????????????
′y�
C
′=(5 in)(1 in)(3.50 in)∴????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
????????????


Como existen dos puntos de unión, el flujo cortante queda:

q
C=
1
2
�
VQ
C
I�=
1
2
(10 kip)(17.50 in
3
)
179.67 in
4
∴????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????????????????

Calculando primer momento de área ‘Q’ y flujo cortante ‘q’ para el punto D.

Para el punto D, el Área cortante es la sombreada en verde (ver Figura 7.2e), sin olvidar que se
realiza el cálculo a partir de las líneas centrales.


Figura 7.1e. Área cortante en el punto D.

4. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



4
Q
D=A
D
′y�
D
′=2(1 in)(3.50 in)�
3.50
2
in�+(5 in)(1 in)(3.50 in)∴????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
????????????


Como existen dos puntos de unión, el flujo cortante queda:

q
D=
1
2
�
VQ
????????????
I�=
1 2 (10 kip)(29.75 in
3
)
179.67 in
4
∴????????????=????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????????????????

Gráfica de distribución del flujo cortante en toda la sección.


Figura 7.1f. Distribución del flujo cortante en toda la sección.
Conclusiones importantes:

I) Tomar en cuenta que el cálculo de la inercia de la sección se realiza considerando
las líneas centrales.
II) El área cortante se considera con las líneas centrales de la sección.
III) El flujo cortante se divide entre ‘n’ cuando hallan dos o más uniones en el área
cortante en análisis; siendo ‘n’ el número de uniones en dicha área.

PROBLEMA 7.2.
Determine la ubicación del centro cortante para la sección del canal con pared delgada que tiene
las dimensiones mostradas en la Figura 7.2a.

5. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



5

Figura 7.2a. Sección del canal.
SOLUCIÓN.
Cálculo inercia de la sección.

Como el elemento es considerado de pared delgada se desprecia el término
1
12
bt
3
en el cálculo de
la inercia del ala; además, la inercia se calcula considerando las dimensiones de las líneas centrales, en
este caso las acotaciones de la sección son respecto a sus líneas centrales, por tanto, ya no es necesario
encontrarlas.


I
x=�I
xi
n
i ;I
xi=
1
12
b
ih
i
3+A
id
yi
2

I
x=2bt�
h
2
�
2
+
1
12
th
3
;I
x=
bth
2
2+
th
3
12 ∴????????????
????????????=
????????????????????????
????????????
????????????�????????????+
????????????
????????????
�

Flujo cortante.

Se determina considerando la Figura 7.2b.

q=
VQ
I
=
Vt(b−x)�
h
2
�
th
2 2
�b+
h
6
�
=
V(b−x)
h�b+
h
6
�

6. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



6

Figura 7.2b. Flujo cortante respecto a la variación de ‘x’.
Cálculo de la ‘F
f’.

F
f=�q dx
b
0
=�
V(b−x)
h�b+
h
6
�
dx=
b
0
V/h�b+
h
6
� � (b−x)dx
b
0
= V/h�b+
h 6
� �−
(b−x)
2
2

��
b
0

V
h�b+
h
6
�
�−
(b−b)
2
2

�−
V
h�b+
h 6
�
�−
(b−0)
2
2

�=
V
h�b+
h 6
�
b
2
2


∴F
f=
Vb
2
2h�b+
h
6
�


Centro cortante.

F
fh=Ve; e=
F
fh
V
=
Vb
2
h
2h�b+
h
6
�
V
; e=
b
2
2�b+
h
6
�
∴????????????=
????????????
????????????
????????????????????????+????????????/???????????? ????????????????????????????????????????????????.

7. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



7

Figura 7.2c. Suma de momentos en A.


Figura 7.2c. Distribución de flujo cortante.


PROBLEMA 7.3.
Determine la ubicación del centro cortante para el ángulo con lados iguales que se muestra en la
Figura 7.3a. Además, encuentre la fuerza cortante interna resultante en cada lado.

8. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



8

Figura 7.3a. Ángulo de lados iguales.
SOLUCIÓN.
Como el ángulo está inclinado esto cambia la perspectiva del análisis, por lo tanto, éste queda de la siguiente manera.
Cálculo del primer momento de área ‘Q’.


Figura 7.3b. Flujo cortante.

Q=y�A=
ts[(b−s)+s/2]
√2
=
ts�b−
s
2
�
√2


Cálculo de la inercia.

9. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



9

I
x=�y
2
dA
b
0
=2��
b−s
√2
�
2b
0
t ds=t�(b
2
−2bs+s
2
)
b
0
ds=t�b
2
s−bs
2
+
s
3
3
��
b
0


∴????????????
????????????=
????????????????????????
????????????
????????????


Figura 7.3c. Diferencial de área para la inercia.

Calculando flujo cortante.

q=
VQ
I
=
V
ts�b−
s
2
�
√2
tb
3
3
∴ ????????????=
????????????????????????????????????�????????????−
????????????
????????????
�
√????????????????????????
????????????



Calculando la fuerza ‘F’ .

F=�q ds
b
0
=�
3Vs�b−
s
2
�
√2b
3

b
0
ds=
3V
√2
b
3
�????????????�b−
s
2
�
b
0
ds
F=
3V
√2b
3
��bs−
s
2
2�
b
0
ds=
bs
2
2
−
s
3
6�
b
0
ds=
V
√2
∴????????????=
????????????
√????????????
???????????? ????????????????????????????????????????????????.

10. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



10

Figura 7.3d. Distribución de flujo cortante.


PROBLEMA 7.4.
Para la viga ‘z’ mostrada en la Figura 7.4a, determinar: a) la distribución del flujo cortante en toda
la sección, b) el centro cortante.


Figura 7.4a. Viga en ‘z’.
SOLUCIÓN.

Cálculo inercia de la sección.

Como el elemento es considerado de pared delgada se desprecia el término
1
12
bt
3
en el cálculo de
la inercia de ambas alas; además, la inercia se calcula considerando las dimensiones de las líneas
centrales.


I
x=�
1
12
th
3
�+2bt�
h
2
�
2
=I
x=
1
12
th
3
+
bth
2
2
∴????????????
????????????=
????????????????????????
????????????
????????????
�
????????????
????????????
????????????+????????????�

11. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



11

Calculando primer momento de área ‘Q’ para el punto A .
En la Figura 7.4b se muestra el área cortante en el punto A.

Q
A=A
A
′y�
A
′=bt�
h
2
�


Figura 7.4b. Área de cortante para el punto A.

Flujo cortante en A.

q
A=
VQ
A
I
x
=
Vbt�
h
2
�
th
2
2
�
1
6
h+b�
∴????????????
????????????=
????????????????????????
????????????�
????????????
????????????
+????????????�


Flujo cortante en términos de ‘x’ en A.

Considerando un diferencial de ‘x’, como lo muestra la Figura 7.4c.

12. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



12
Figura 7.4c. Diferencial de área para el flujo en el punto A.

q
A=
VQ
A
I
x
=
Vt(b−x)�
h
2
�
th
2
2
�
1
6
h+b�
∴????????????
????????????=
????????????(????????????−????????????)
????????????�
????????????
????????????
+????????????�


Cálculo de la ‘F
f’.
F
f=�q
???????????? dx
b
0
=�
V(b−x)
h�b+
h
6
�
dx=
b
0
V/h�b+
h
6
� � (b−x)dx
b
0
= V/h�b+
h 6
� �−
(b−x)
2
2

��
b
0


V
h�b+
h
6
�
�−
(b−b)
2
2

�−
V
h�b+
h 6
�
�−
(b−0)
2
2

�=
V
h�b+
h
6
�
b
2
2


∴F
f=
Vb
2
2h�b+
h
6
�


Flujo cortante en A.

q
B=
VQ
B
I
x
=
V�bt�
h
2
�+t
h 2
�
h 4
��
th
2
2
�
1
6
h+b�
∴????????????
????????????=
????????????�????????????+
????????????
????????????
�
????????????�
???????????? ????????????
+????????????�




Figura 7.4d. Área de cortante para el punto B.

13. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



13

Centro cortante.


Figura 7.4e. Centro cortante.

F
fh=Ve; e=
F
fh
V
=
Vb
2
2�b+
h
6
�
V
; e=
b
2
2�b+
h 6
�
∴????????????=
????????????
????????????
????????????????????????+????????????/???????????? ????????????????????????????????????????????????.

Distribución del flujo cortante en toda la sección.

Figura 7.4f. Centro cortante.


PROBLEMA 7.5.
La viga de pared delgada que se muestra en la Figura 7.5a, obtenida por extrusión, es de
aluminio y tiene un espesor de 3 mm. Considerando que la fuerza cortante es de 5 kN, determine:
a) el esfuerzo cortante en el punto A, b) el máximo esfuerzo cortante en la viga.

14. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



14

Figura 7.5a. Viga de aluminio.
SOLUCIÓN.

Cálculo del centroide ‘y’.

Como el ala de la viga es de pared delgada, se desprecia su momento de área y solo se toma en
cuenta su área para el cálculo del centroide.

y�=
∑Ay
∑A
=
2(65 mm)(3 mm)(30 mm)
2(65 mm)(3 mm)+50 mm(3 mm)


∴ ????????????�=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????



Figura 7.5b. Distancias requeridas para hallar el centroide de la sección.

15. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



15

Figura 7.5c. Centroide de la sección.
Cálculo inercia de la sección.
Se debe tomar en cuenta la inclinación de las almas de la sección y tomarse como un
paralelogramo como lo muestra la Figura 7.5d , por tanto:

Cos β=3 mm/b ∴b=3/(12/13) =3.25 mm



Figura 7.5d. Paralelogramos en las barras.

I
x=
1
12
(50 mm)(3 mm)
3
+(50 mm)(3 mm)(21.67 mm)
2
+2�
1
12
(3.25 mm)(60 mm)
3
+(3.25 mm)(60 mm)(8.33 mm)
2
�

I
x=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????
????????????
∴????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????



a) Esfuerzo cortante en A.

Como el cortante fluye de las maneras como se muestra en la Figura 7.5e, el esfuerzo cortante
en A, es cero, debido a que se contrarrestan y se eliminan.

16. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



16

Figura 7.5e. Paralelogramos en las barras.
b) Esfuerzo cortante máximo.
Éste ocurre en el centroide la sección, siendo el área cortante, la sombreada de la Figura 7.5 f.


Figura 7.5f. Área cortante para el eje neutro.

Q
C=A
C
′y�
C
′=(3.25 mm)(38.33 mm)�
38.33
2
mm� ∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
????????????


τ
C=
VQ
C
I
x
=
(5 kN)(2.39x10
−6
m
3
)
(0.215x10
−6
m
4)(0.003 m)
∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

PROBLEMA 7.6.
Una viga extruida tiene la sección transversal mostrada en la Figura 7.6a, a) localice el centro
cortante O, b) esboce la distribución de esfuerzos cortantes causados por la fuerza cortante
vertical de 2.75 kip que se aplica en O.

17. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



17

Figura 7.6a. Viga extruida.


Figura 7.6b. Fuerzas actuantes.
Cálculo inercia de la sección .

I
x=�I
xi
n
i ;I
xi=
1
12
b
ih
i
3+A
id
yi
2

I
x=
1
12
�
1
8
in�(10 in)
3
+2��
1
8
in�(4 in)(3 in)
2
� ∴????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ????????????????????????
????????????


Calculando el flujo cortante BD.

Considerando un diferencial de ‘x’ en la parte BD, se tiene lo que se muestra en la Figura 7.6c .

18. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



18

Figura 7.6c. Diferencial de ‘x’ en BD.

q
BD=
VQ
BD
I
=
2.75 kip(4−x)�
1
8
in�(3 in)
19.42 in
4
∴ ????????????
????????????????????????=????????????.????????????????????????????????????(????????????−????????????)

Calculando la fuerza BD.

F
BD=�q
BD dx
4 in
0
=�0.053(4−x)dx
4 in
0
=0.053�(4−x)dx
4 in
0


=0.053�4x−
x
2
2
��
4 in
0
=0.053�4(4)−
(4)
2
2� ∴????????????
????????????????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????

Por simetría se puede concluir que:

????????????
????????????????????????=????????????
????????????????????????=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????

a) Centro cortante.

F
EFd=Ve; e=
F
EFd
V
=
(0.424 kip)(6 in)
2.75 kip
∴????????????=????????????.???????????????????????? ???????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

b) Distribución del flujo cortante.

????????????
????????????=0

Arriba del punto B.

19. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



19

Figura 7.6d. Área cortante arriba de B.


τ
B=
VQ
B
I
xt
=
(2.75 kip)�
1
8
in�(2 in)(4 in)
(19.42 in
4
)(1/8 in)
∴ ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

A la derecha del punto B.


Figura 7.6e. Área cortante a la derecha de B.


τ
B′=
VQ
B′
I
xt
=
(2.75 kip)�
1
8
in�(4 in)(3 in)
(19.42 in
4
)(1/8 in)
∴ ????????????
????????????′=????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

Debajo de B.

20. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



20
τ
B′′=
V(Q
B′+Q
B)
I
xt
=
(2.75 kip)[1.50+1]
(19.42 in
4
)(1/8 in)
∴ ????????????
????????????′′=????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.
En el centroide C.


Figura 7.6f. Área cortante en C.


τ
C=
VQ
C
I
xt
=
(2.75 ????????????????????????????????????)[1+1.50+(1/8 in)(3 in)(3 /2 in)]
(19.47 in
4)�
1
8
in�


∴ ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

Como la viga es perfectamente simétrica, la variación de los esfuerzos cortantes en la parte del
eje neutro hacia abajo es la misma que la parte del eje neutro hacia arriba, entonces la variación
del esfuerzo cortante queda como lo muestra la Figura 7. 6g.

21. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



21

Figura 7.6f. Distribución del esfuerzo cortante.


PROBLEMA 7.7.
Una viga extruida tiene la sección transversal mostrada en la Figura 7.6a, a) localice el centro
cortante O, b) esboce la distribución de esfuerzos cortantes causados por la fuerza cortante vertical de 12 kN que se aplica en O.



Figura 7.7a. Viga extruida.

22. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



22

Figura 7.7b. Fuerzas actuantes.
Cálculo inercia de la sección.

I
x=�I
xi
n
i ;I
xi=
1
12
b
ih
i
3+A
id
yi
2

I
x=
1
12
(3 mm)(250 mm)
3
+2[(100 mm)(3 mm)(75 mm)
2
] ∴????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????
????????????


Calculando el flujo cortante BD.

Considerando un diferencial de ‘x’ en la parte BD, se tiene lo que se muestra en la Figura 7.6c .


Figura 7.7c. Diferencial de ‘x’ en BD.

23. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



23
q
BD=
VQ
BD
I
=
(12,000 N) (100−x)(3 mm)(75 mm)
7.28x10
6
mm
4
∴ ????????????
????????????????????????=????????????.????????????????????????????????????(????????????????????????????????????−????????????)
Calculando la fuerza BD.

F
BD=� q
BD dx
100 mm
0
=� 0.371(100−x)dx
100 mm
0
=0.371� (100−x)dx
100 mm
0


=0.371�100x−
x
2
2
��
100 mm
0
=0.371�100(100)−
(100)
2
2� ∴????????????
????????????????????????=????????????,???????????????????????????????????? ????????????

Por simetría se puede concluir que:

????????????
????????????????????????=????????????
????????????????????????=????????????,???????????????????????????????????? ????????????

Centro cortante.

F
EFd=Ve; e=
F
EFd
V
=
(1,855 N)(150 mm)
12,000
∴????????????=????????????????????????.???????????????????????? ???????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

b) Distribución del flujo cortante.

????????????
????????????=0

Arriba del punto B.


Figura 7.7d. Área cortante arriba de B.


τ
B=
VQ
B
I
xt
=
(12,000 N)(3 mm)(50 mm)(100 mm)
(7.28x10
6
mm
4
)(3 mm)
∴ ????????????
????????????=????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

24. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



24
A la derecha del punto B.


Figura 7.7e. Área cortante a la derecha de B.


τ
B′=
VQ
B′
I
xt
=
(12,000 N)(3 mm)(100 mm)(75 mm)
(7.28x10
6
mm
4
)(3 mm)
∴ ????????????
????????????′=????????????????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

Debajo de B.

τ
B′′=
V(Q
B′+Q
B)
I
xt
=
(12,000 N)[15,000+22,500]
(7.28x10
6
mm
4
)(3 mm)
∴ ????????????
????????????′′=????????????????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.


En el centroide C.


Figura 7.7f. Área cortante en C.

25. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



25
τ
C=
VQ
C
I
xt=
(12,000 N)�15,000+22,500+(3 mm)(75 mm)�
75
2
mm��
(7.28x10
6
mm
4)(3 mm)


∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

Como la viga es perfectamente simétrica, la variación de los esfuerzos cortantes en la parte del
eje neutro hacia abajo es la misma que la parte del eje neutro hacia arriba, entonces la variación
del esfuerzo cortante queda como lo muestra la Figura 7.7g.


Figura 7.7f. Distribución del esfuerzo cortante.


PROBLEMA 7.8.
Determine la ubicación del centro cortante O de una viga de pared delgada con espesor uniforme
que tiene la sección transversal mostrada en la Figura 7.8a. De manera adicional, determine la
distribución del esfuerzo cortante en toda la sección de la viga.

26. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



26

Figura 7.8a. Viga de pared delgada.
Cálculo del centroide ‘y’.
Como la sección de la viga es perfectamente simétrica con respecto al eje ‘x’, entonces su centroide se ubica exactamente a la mitad de su altura total, es decir en 3a/2.
Cálculo inercia de la sección.
Como la sección es de espesor constante ‘t’, entonces:

I
x=�I
xi
n
i ;I
xi=
1
12
b
ih
i
3+A
id
yi
2

I
x=
1
12
t(3a)
3
+2�ta�
3a
2
�
2
�+2�ta�
a
2
�
2
�=
9
4
ta
3
+
9 2
ta
3
+
1 2
ta
3
∴????????????
????????????=
????????????????????????
????????????
????????????????????????
????????????



Figura 7.8b. Fuerzas actuantes.

27. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



27

Calculando el flujo cortante en AB.

q
AB=
VQ
AB
I
=
V(a−x)t�
3a
2
�
29
4
ta
3
∴ ????????????
????????????????????????=
????????????????????????(????????????−????????????)
????????????????????????????????????
????????????



Figura 7.8c. Diferencial de área para el flujo cortante en AB.

Calculando fuerza en AB.

F
AB=�q
AB dx
a
0
=�
6V(a−x)
29a
2
dx
a
0
=
6V
29a
2
�(a−x) dx
a
0

=
6V
29a
2
(ax−x
2
/2)|
a
0
=
6V
29a
2
�a(a)−
a
2
2� ∴????????????
????????????????????????=
????????????????????????
????????????????????????


Por simetría, se tiene que:

????????????
????????????????????????=????????????
????????????????????????=
????????????????????????
????????????????????????


Calculando el flujo cortante en DE.

q
DE=
VQ
DE
I
=
V(a−x)t�
a
2
�
29
4
ta
3
∴ ????????????
????????????????????????=
????????????????????????(????????????−????????????)
????????????????????????????????????
????????????

28. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



28

Figura 7.8d. Diferencial de área para el flujo cortante en DE.
Calculando fuerza en DE.

F
DE=�q
DE dx
a
0
=�
2V(a−x)
29a
2
dx
a
0
=
2V
29a
2
�(a−x) dx
a
0

=
2V
29a
2
(ax−x
2
/2)|
a
0
=
2V
29a
2
�a(a)−
a
2
2� ∴????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????


Por simetría, se tiene que:

????????????
????????????????????????=????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????


Centro cortante.

Realizando suma de momentos respecto al centroide.

29. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



29

Figura 7.8e. Suma de momentos en el centroide.


F
AB�
3a
2
�+F
DE�
a
2
�+F
FG�
a
2
�+F
HJ�
3a
2
�+Ve=0;

e=
F
AB�
3a
2
�+F
DE�
a
2
�+F
FG�
a
2
�+F
HJ�
3a
2
�
V
=
2�
3V
29
��
3a
2
�+2�
V
29
��
a
2
�
V


∴????????????=
????????????????????????????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????.

Distribución del esfuerzo cortante.

A la derecha de A.

30. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



30

Figura 7.8f. Área cortante a la derecha de A.

τ
A′=
VQ
A
′
It
=
V(at)�
3a
2
�
29
4
ta
3
t
∴ ????????????
????????????′=
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????


Abajo de A.

El esfuerzo cortante que aporta el alma de la viga es cero, sin embargo, en ese mismo sitio actúa
una de las alas, por tanto, aporta un esfuerzo cortante τ
A′, entonces:

????????????
????????????=
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????


Arriba de D .



Figura 7.8g. Área cortante arriba de D.

31. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



31

τ
D=
V(Q
A
′+Q
D)
It =
V�(at)�
3a
2
�+at(a)�
29
4
ta
3
t
∴ ????????????
????????????=
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????

A la derecha de D.



Figura 7.8h. Área cortante a la derecha de D.

τ
D′=
V(Q
D
′′)
It
=
V�at�
a
2
��
29
4
ta
3
t
∴ ????????????
????????????′=
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????


Debajo de D.

τ
D′′=
V(Q
A
′+Q
D+Q
D′)
It
=
V�(at)�
3a
2
�+at(a)+at�
a
2
��
29
4
ta
3
t
∴ ????????????
????????????′′=
????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????

Centroide en C.

32. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



32

Figura 7.8i. Área cortante en el centroide en C.

τ
C=
V(Q
A
′+Q
D+Q
D
′+Q
C
)
It
=
V�(at)�
3a
2
�+at(a)+at�
a
2
�+�
a
2
�t�
a
4
��
29
4
ta
3
t


∴ ????????????
????????????=
????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????


Como la viga es totalmente simétrica respecto al eje ‘x’, la distribución de esfuerzo del eje neutro
hacia abajo será igual a la distribución de esfuerzos del eje neutro hacia arriba. El diagrama de
esfuerzo cortante queda como se muestra en la Figura 7.8j.



Figura 7.8i. Distribución del esfuerzo cortante en toda la sección.

33. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



33
PROBLEMA 7.9.
Determine la ubicación del centro cortante O de una viga de pared delgada con espesor uniforme
que tiene la sección transversal mostrada en la Figura 7.9a. De manera adicional, determine la distribución del esfuerzo cortante en toda la sección de la viga.


Figura 7.9a. Viga.
Cálculo del centroide ‘y’.

Como la sección de la viga es perfectamente simétrica con respecto al eje ‘x’, entonces su
centroide se ubica exactamente a la mitad de su altura total, es decir en 2a.

Cálculo inercia de la sección.

Como la sección es de espesor constante ‘t’, entonces:

I
x=�I
xi
n
i ;I
xi=
1
12
b
ih
i
3+A
id
yi
2

I
x=2�
1
12
t(a)
3
+ta�
3a
2
�
2
�+2[2at(a)
2
]+
1
12
t(2a)
3
∴????????????
????????????=
????????????????????????
????????????
????????????????????????
????????????

34. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



34

Figura 7.9b. Fuerzas actuantes.
Calculando el flujo cortante en AB.

q
AB=
VQ
AB
I
=
V(2a−y)�a+a−
2a−y
2
�t
28
3
ta
3
∴ ????????????
????????????????????????=
????????????????????????
????????????????????????????????????
????????????
�????????????????????????
????????????
−
????????????
????????????
????????????�


Figura 7.9c. Diferencial de área para el flujo cortante en AB.

Calculando fuerza en AB.

F
AB=�q
AB dx
a
0
=�
3V
28a
3
�2a
2
−
y
2
2� dx
a
0
=
3V
28a
3
��2a
2
−
y
2
2� dx
a
0
=
3V
28a
3
�2ay−
y
3
6��
2a
a
=
3V
28a
3
�4a
3
−
8a
3
6−2a
3
+
a
3
6� ∴????????????
????????????????????????=
????????????????????????
????????????????????????


Por simetría, se tiene que:

35. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



35

????????????
????????????????????????=????????????
????????????????????????=
????????????????????????
????????????????????????

Calculando el flujo cortante en DB.

q
DB=
VQ
DB
I
=
V�(2a−x)t(a)+at�
3a
2
��
28
3
ta
3
∴ ????????????
????????????????????????=
????????????????????????�(????????????????????????
????????????
−????????????????????????)????????????+
????????????????????????
????????????
????????????
????????????
�
????????????????????????????????????
????????????
????????????




Figura 7.9d. Diferencial de área para el flujo cortante en DB.
Calculando fuerza en DB.

F
DB=�q
DE dx
a
0
=�
3V�(2a
2
−ax)t+
3a
2
t
2
�
28a
3
t
dx
a
0
=
3V
2a
3
t
��(2a
2
−ax)t+
3a
2
t
2� dx
a
0

=
3V
2a
3
t
�t�2a
2
x−
ax
2
2�+
3a
2
tx
2��
2a
0
=
3V
2a
3
t
[t(4a
3
−2a
3
)+3a
3
t] ∴????????????
????????????????????????=
????????????????????????????????????
????????????????????????


Por simetría, se tiene que:

????????????
????????????????????????=????????????
????????????????????????=
????????????????????????????????????
????????????????????????


Centro cortante.

36. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



36

Figura 7.9e. Suma de momentos en el centroide.

F
DB
(a)+F
EF
(a)−F
AB
(2a)−F
FG
(2a)=Ve;e=
15V
28
(a)+
15V
28
(a)−4a�
5V
56
�
V


∴e=
5a
7
????????????????????????????????????????????????.

Distribución del esfuerzo cortante.

En A.

τ
A=0

Arriba de B.


Figura 7.9f. Área cortante arriba de B.

37. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



37

τ
B=
VQ
B
It =
V(at)�
3a
2
�
28
3
ta
3
t
∴ ????????????
????????????=
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????

Abajo de B.


Figura 7.9g. Área cortante abajo de B.

τ
B′=
V(Q
B+Q
B′)
It =
V�(at)�
3a
2
�+2at(a)�
28
3
ta
3
t
∴ ????????????
????????????′=
????????????????????????
????????????????????????????????????

Derecha de D.
En la parte derecha de D, se encuentra un área, sin embargo, a la izquierda no se tiene nada y
debido a que esa es la parte que se toma para el primer momento de área ‘Q’ , para este caso,
entonces:

τ
D=0

Abajo de D.

τ
D′=
VQ
D′
It
=
V(at)�
3a
2
�
28
3
ta
3
t
∴ ????????????
????????????′=
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????


Centroide en C.

38. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



38


Figura 7.9h. Área cortante en el centroide en C.

τ
C=
V(Q
B+Q
B′+Q
D
′)
It
=
V�(at)�
3a
2
�+2at(a)+(at)�
3a
2
��
28
3
ta
3
t


∴ ????????????
????????????=
????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????


Como la viga es totalmente simétrica respecto al eje ‘x’, la distribución de esfuerzo del eje neutro
hacia abajo será igual a la distribución de esfuerzos del eje neutro hacia arriba. El diagrama de
esfuerzo cortante queda como se muestra en la Figura 7.9i.

39. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



39

Figura 7.9i. Distribución del esfuerzo cortante en toda la sección.

PROBLEMA 6.10.
Una viga extruida tiene la sección transversal mostrada en la Figura 7.10a. Determine: a) la
localización del centro cortante O y b) la distribución de esfuerzos cortantes causados por la
fuerza cortante vertical de 12 kN.


Figura 7.10a. Sección transversal de la viga extruida.

Cálculo del centroide ‘y’.

Como la sección de la viga es perfectamente simétrica con respecto al eje ‘x’, entonces su
centroide se ubica exactamente a la mitad de su altura total, es decir en 7.50 cm .

Cálculo inercia de la sección.

Como la sección es de espesor constante ‘t’, entonces:

40. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



40

I
x=�I
xi
n
i ;I
xi=
1
12
b
ih
i
3+A
id
yi
2

I
x=2�
1
12
(3 mm)(75 mm)
3
+(3 mm)(75 mm)(37.50 mm)
2
�
+2[(3 mm)(100 mm)(75 mm)
2
]+
1
12
(3 mm)(150 mm)
3


∴????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????
????????????



Figura 7.10b. Fuerzas actuantes.

Calculando el flujo cortante 3 .

q
3=
VQ
3
I=
(12,000 N)(3 mm)(y)�
y
2
�
5.063x10
6
mm
4
∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
????????????
????????????

41. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



41

Figura 7.10c. Diferencial de área para el flujo cortante 1.

Calculando fuerza 3 .

F
3=� q
3
75 mm
0
=� 3.56x10
−3
y
2
dy
75 mm
0
=3.56x10
−3
� y
2
dy
75 mm
0


=3.56x10
−3
�
y
3
3��
75 mm
0
∴????????????
????????????=????????????????????????????????????.???????????????????????????????????? ????????????

Por simetría, se tiene:

????????????
????????????=????????????
????????????=????????????????????????????????????.????????????????????????????????????????????????

Calculando el flujo cortante 2 .

q
2=
V(Q
1+Q
2)
I
=
(12,000 N)�(75 mm)(3 mm)�
75
2
mm�+(3 mm)(100−x)(75 mm)�
5.063x10
6
mm
4


∴ ????????????
????????????=????????????.????????????????????????????????????????????????????????????
−????????????
[????????????,????????????????????????????????????.????????????????????????+????????????????????????????????????(????????????????????????????????????−???????????? ]

42. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



42

Figura 7.10d. Diferencial de área para el flujo cortante 2.

Calculando fuerza 2.

F
3=� q
3 dx
100 mm
0
=� 2.37x10
−3
[8,437.50+225(100−x ] dx
75 mm
0
=2.37x10
−3
� [8,437.50+225(100−x ] dx
100 mm
0

=2.37x10
−3
[30,937.50x−112.50x
2
]|
100 mm
0
∴????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????

Por simetría, se tiene:

????????????
????????????=????????????
????????????=????????????,????????????????????????????????????.???????????????????????? ????????????

Centro cortante.

Realizando suma de momentos respecto al centroide (Figura 7.10b).

????????????
1
(75 ????????????????????????)+????????????
4
(100 ????????????????????????)+????????????
3
(100 ????????????????????????)+????????????
2
(75 ????????????????????????)=???????????????????????? ;

e=
(4,665.94 N)(75 mm)+(500.625 N)(100 mm)
+(500.625 N)(100 mm)+(4,665.94 N)(75 mm)
12,000 N


∴????????????=????????????????????????.???????????????????????? ???????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

Distribución del esfuerzo cortante.

43. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



43

Figura 7.10e. Puntos para el cálculo de la distribución de esfuerzos.

τ
A=0

τ
B=τ
F=
VQ
1
It=
(12,000 N)(75 mm)(3 mm)�
75
2
mm�
(5.063x10
6
mm
4)(3 mm)
∴ ????????????
????????????=????????????.???????????????????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

τ
D=τ
E=
V(Q
1+Q
2
)
It
=
(12,000 N)�(75 mm)(3 mm)�
75
2
mm�+(100 mm)(3 mm)(75 mm)�
(5.063x10
6
mm
4)(3 mm)


∴ ????????????
????????????=????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

τ
C=
V(Q
1+Q
2+Q
C
)
It
=
(12,000 N)�
(75 mm)(3 mm)�
75
2
mm�+(100 mm)(3 mm)(75 mm)
+(75 mm)(3 mm)�
75
2
mm�
�
(5.063x10
6
mm
4)(3 mm)


∴ ????????????
????????????=????????????????????????.???????????????????????? ???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????.

Como la viga es totalmente simétrica respecto al eje ‘x’, la distribución de esfuerzo del eje neutro
hacia abajo será igual a la distribución de esfuerzos del eje neutro hacia arriba. El diagrama de
esfuerzo cortante queda como se muestra en la Figura 7.10i.

44. Elaborado y resuelto por Ing. Anthony Jiménez Meneses.



44

Figura 7.10f. Distribución del esfuerzo cortante en toda la sección.