Formulario

Formulario Calculo Vectorial

1. UNIVERSIDAD LA SALLE ESCUELA DE INGENIERÍA ÁREA DE MATEMÁTICAS
FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL.
VECTORES:
Norma de un vector:
uuu n
u
22
2
2
1
+++= 
Vector unitario:
u
u
Producto punto o producto escalar:
å
=
+++=×=×
n
i
nnii
vuvuvuvuvu
1
2211

Cosenos directores:
1)(cos)(cos)(cos
;)cos(,)cos(,)cos(
222
321
=++
===
gba
gba
u
u
u
u
u
u
Angulo entre dos
vectores:
vu
vu×
=)cos(q
Componente de v a lo largo de u:
)cos()cos( qq v
u
vu
u
vu
vcomp
u =
×
==
Producto cruz o producto vectorial:
2
222
)(
)(
vuvuvu
senvuvu
×-=´
=´ q

Área del paralelogramo generado por u y
v:
vuA´=
Área del triángulo
es la mitad del
área del
paralelogramo
generado por u y v
Producto cruz o producto vectorial:
)()()(
212131313232
321
321
uvvukuvvujuvvui
vvv
uuu
kji
vu
-+---=
==´
Triple producto escalar:
321
321
321
)(
www
vvv
uuu
wvu =´×
Volumen del paralelepípedo generado por u, v, w:
)(wvuV´×=
Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen
del paralelepípedo generado por u, v y w.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.
Ecuación vectorial de la recta:
tvrr+=
0 : donde v es el
vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.
Ecuaciones simétricas de la recta:
0;
321
3
0
2
0
1
0
¹
-
=
-
=
-
vvvcon
v
zz
v
yy
v
xx
Ecuaciones paramétricas de la recta:
30
20
10
tvzz
tvyy
tvxx
+=
+=
+=
Ecuación vectorial del plano:
0)(
0=-×rrn
donde n es el
vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z).
Ecuación escalar del plano que pasa por P0=(x0,y0,z0)
y tiene como vector normal a
n =(a,b,c):
0)()()(
000
=-+-+- zzcyybxxa
.
Ecuaciones paramétricas del plano:
330
220
110
sutvzz
sutvyy
sutvxx
++=
++=
++=
Distancia de un punto Q a un plano:
222
000
)(
cba
dczbyax
n
nPQ
PQcompD
n
++
-++
===
®
®
Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por:
u
uPQ
D
´
=
®
, donde P es un punto cualquiera de la recta.
SUPERFICIES.
Una superficie de revolución tiene la ecuación:
x
2
+ y
2
= [r(z)]
2
girando en torno al eje z
y
2
+ z
2
= [r(x)]
2
girando en torno al eje x
x
2
+ z
2
= [r(y)]
2
girando en torno al eje y
Superficies cuadráticas:
Ax
2
+ By
2
+ Cz
2
+ Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0
Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una
hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular
recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide
elíptico, paraboloide hiperbólico.
DERIVADAS PARCIALES
1

2. Derivadas parciales de orden superior:
xyxyxy
yyyxxx
ff
yx
f
y
yxf
xy
ff
xy
f
x
yxf
yx
ff
yy
f
y
yxf
y
ff
xx
f
x
yxf
x
=
¶
¶
=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
=
¶¶
¶
=
¶
¶
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
=
¶¶
¶
=
¶
¶
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
),(;),(
),(;),(
22
2
2
2
2
Gradiente de z=f(x,y)
),(),(
yx
ffyxf=Ñ
.
Gradiente de w=f(x,y,z)
),,(),,(
zyx
fffzyxf=Ñ
Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector
normal a la superficie z está dado por:

),,(),,(
zyx
FFFzyxF=Ñ
La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección
del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por:
)),(),,((),(
),(),(
000021
0000
yxfyxfuu
yxfuyxfD
yx
u
×=
=Ñ·=
Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto
(x0,y0) entonces:
dyyxfdxyxfdzz
yx
),(),(
0000
+=@D
La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el
punto P=(x0,y0,z0) está dada por:
( )0,,),,(
000000
=---·Ñ zzyyxxzyxF
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano
tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:
( )0,,)1),,(),,((
0000000 =---·- zzyyxxyxfyxf
yx
La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el
punto P=(x0,y0,z0) está dada por:
tzyxFzztzyxFyytzyxFxx
zyx
),,(;),,(;),,(
000000000000
+=+=+=
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta
normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:
tzztyxfyytyxfxx
yx
+=-=-=
0000000
;),(;),(
Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:
dy
y
z
dx
x
z
dz
¶
¶
+
¶
¶
=
REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión)
Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
¶
¶
+
¶
¶
=
REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión)
Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces:
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
;
DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en
donde z=f(x,y), entonces:
z
F
y
F
F
F
y
z
z
F
x
F
F
F
x
z
z
y
z
x
¶
¶
¶
¶
-=-=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
-=-=
¶
¶
;
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).
Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f
2
xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces:
1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)<0
2. f(x0,y0) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)>0
3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0
4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=0
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá
resolver el sistema:
0;0;0
)),((),(),,(
=
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
-+=
l
ll
H
y
H
x
H
cyxhyxfyxHSEA
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.
2

3. pq
p
pqqq
q
20;0
0,0)(tan2
0)(tan
0,0)(tan
;;;)(;)cos(
),,(
1
1
1
222
££³
ï
î
ï
í
ì
<>+
<+
³>
==+===
-
-
-
r
yxsixy
xsixy
yxsixy
ryxzzrsenyrx
zrSCILINDRICA
ï
î
ï
í
ì
<>+
<+
³>
==++=
££££³===
-
-
-
-
0,0)(tan2
0)(tan
0,0)(tan
);/(cos;
0;20,0);cos();()();cos()(
),,(
1
1
1
1222
yxsixy
xsixy
yxsixy
zzyx
zsensenysenx
ESFERICAS
p
pqrfr
pfpqrfrqfrqfr
fqr
CAMBIO DE VARIABLE
θdφdρ)dφsen(ρ))φcos(ρ),θ)sen(φsen(ρ),θ)cos(φsen(ρf(z)dxdydzy,f(x,:ESFERICAS
dzθdrdrz)),θrsen(),θf(rcos(z)dxdydzy,f(x,:SCILINDRICA
θdrdr))θrsen(),θf(rcos(y)dxdyf(x,POLARES
2
QS
R Q
R Q
òòòòòò
òòò òòò
òò òò
=
=
=
SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:
3

4. ()[ ]
()()[ ]
.
)(
)()(
)('
)('')('
)('
)('
)(),(
''
''''''
)(
'1
''
)(
)()(
)()()(
)(
)()(
)()(
)()()(
)('
)('
)(
)('
)('
)(
)()()('')(
)(')(
)(')(
:,ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
ˆ)(ˆ)()(
2
3
23
22
2
3
2
2
2
2
2
2
ESPACIOELEN
CURVASAAPLICANSESOLOSVECTORIALEPRODUCTOSCONFORMULASLASQUERECUERDE
tv
tNta
K
tr
trtr
tr
tT
K
ESPACIOELENOPLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS
tyytxxPORDADAC
yx
xyyx
K
xfyPORDADAC
y
y
K
PLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS
dt
ds
K
tv
tatv
atatNtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE
dt
sd
tv
tatv
tTtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE
tNtTtBBINORMALVECTOR
tT
tT
tNUNITARIOPRINCIPALNORMALVECTOR
tr
tr
tTUNITARIOTANGENTEVECTOR
tNatTatrtaNACELERACIOVECTOR
tr
dt
ds
tvRAPIDEZ
trtvVELOCIDADVECTOR
ENTONCESESPACIOELENCURVAktzjtyitxtr
PLANOELENCURVAjtyitxtr
TN
T
NT
×
=
´
==
==
+
-
=
=
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
´
=-=×=
=
×
=×=
´=
=
=
+==
==
=
++=
+=
[ ][ ]òòòò
++=
R R
yx dAyxfyxfdS
SUPERFICIELADEAREA
22
),(),(1

LONGITUD DE ARCO
[][][]òò
++==
b
a
b
a
dttztytxdttrs
222
)(')(')(')('
INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO REALIZADO)
òò
òò
òòò
++=×++=
++=
+=×+=
+=
×=×=×
CC
CC
b
aCC
PdzNdyMdxdrFENTONCESktzjtyitxtr
PORDADAVIENECYkPjNiMzyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI
NdyMdxdrFENTONCESjtyitxtr
PORDADAVIENECYjNiMyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI
dttrtztytxFTdsFdrF
ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
ˆˆˆ),,(
ˆ)(ˆ)()(
ˆˆ),(
)('))(),(),((
INTEGRAL DE LÍNEA SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI
x
N
y
M
¶
¶
=
¶
¶
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO
SI
4

5. [ ][ ]
[ ][ ][ ]ò ò
ò ò
++=
++=
+=
+=
C
b
a
C
b
a
dttztytxtztytxfdszyxf
ktzjtyitxtrPORDADAESTACSI
dtjtytxtytxfdsyxf
jtyitxtrPORDADAESTACSI
222
22
)(')(')('))(),(),((),,(
ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
)(')('))(),((),(
ˆ)(ˆ)()(
0ˆˆˆ
ˆˆˆ
)( =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
y
M
x
N
k
z
M
x
P
j
z
N
y
P
i
PNM
zyx
kji
Frot
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL. LAS
SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES:
ò
ò
=×-
×-
Ñ=-
C
C
CERRADACCURVATODAPARAdrF
CAMINODELNTEINDEPENDIEESdrF
fALGUNAPARAfFESESTOVOCONSERVATIESF
0.3
.2
..1

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA.
k
v
z
j
v
y
i
v
x
rk
u
z
j
u
y
i
u
x
rDONDE
dArrdSSUPERFICELADEAREA
vu
S D
vu
ˆˆˆ,ˆˆˆ:
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
´==òòòò
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO,
ENTONCES
))(),(())(),(( ayaxfbybxfdrfdrF
CC
-=×Ñ=×òò
DONDE f(x,y) ES UNA FUNCIÓN POTENCIAL DE F, ES DECIR:
),(),( yxfyxFÑ=
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES
y
N
x
M
yxdivF
¶
¶
+
¶
¶
=),(
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F
ES
z
P
y
N
x
M
zyxdivF
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=),,(
TEOREMA DE GREEN
òòò
òòòòò
òòò
=×
×=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
=×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
=+
RC
RRC
RC
dAFdivdsNF
dAkFrotdA
y
M
x
N
drF
dA
y
M
x
N
NdyMdx
)(
ˆ)(
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS).
Relaciona una integral triple sobre una región
sólida Q, con una integral de superficie sobre la
superficie de Q
òòòòò
=×
QS
dVFdivdSNF )(
INTEGRALES DE SUPERFICIE
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ]òòòò
òò òò
òòòò
òò òò
´×=×
=
+--×=×
++=
++=
=
R
vu
S
S D
R
yx
S
S R
yx
yx
vectorialFormadArrFdSNF
escalarFormadSvuzvuyvuxfdSzyxf
aparamétricForma
arribahacianormalvectorialFormadAkjyxgiyxgFdSNF
escalarFormadAyxgyxgyxgyxfdSzyxf
dAyxgyxgds
yxgz
)),(),,(),,((),,(
)(ˆˆ),(ˆ),(
),(),(1)),(,,(),,(
),(),(1
),(
22
22
TEOREMA DE STOKES.
Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada
que constituye el borde de S.
òòò
×=×
SC
dSNFrotdrF ))((
5