Formulario de Álgebra

Formulario de álgebra que presenta sus más importantes reglas. Será de utilidad para los estudiantes del área en los niveles bachillerato y universidad. Asimismo, para aquellos estudiantes que buscan ingresar al nivel superior.

1. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ)


Estructura algebraica del Campo de los Números Reales:
lℝ,e,∙,ra
Lo anterior significa que el campo de los números reales consta de:
 Un conjunto de números (ℝ).
 Dos operaciones:
 Suma (e)
 Producto (∙)
 Un orden (
r).
Es importante considerar que todo elemento del conjunto ℝ tiene una representación decimal.

Nota: Observa que debido a que el campo de los números reales se encuentra dotado de solo dos operaciones (la suma
y el producto), en los libros de texto encontrarás solo propiedades para dichas operaciones.



PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES
Consideremos que , y son números reales cualesquiera se tienen las siguientes propiedades:
PROPIEDAD PARA LA SUMA PARA EL PRODUCTO
Cerradura La suma de números reales
(cualesquiera) es otro real.
El producto de números reales
(cualesquiera) es otro real.
Conmutativa e e ∙ ∙
Asociativa l e ae el ea l ∙ a∙ ∙l ∙a
Distributiva (del producto
respecto a la suma)
l ea ∙ e ∙
Existencia de neutros Si es un número real, existe un
número real 0, llamado neutro
aditivo, tal que:
e0 0e
Si es un número real, existe un
número real 1, llamado neutro
multiplicativo, tal que:
∙1 1∙
Existencia de inversos Si es un número real, existe un
número real ( , llamado inverso
aditivo de , tal que:
el( a0( e
Si )0 es un número real, existe un
número real
s
t
, llamado inverso
multiplicativo de , tal que:
r
1

u1r
1

u


ℝ: Conjunto de números reales
ℕ: Conjunto de números naturales
ℤ: Conjunto de números enteros
ℚ: Conjunto de números racionales
g: Conjunto de números irracionales

2. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD DE NÚMEROS REALES
Considerando que , y son números reales cualesquiera se tienen las siguientes propiedades:
Reflexiva Todo número real es igual a sí mismo ( )
Transitiva y ⇒
Simétrica ⇒
Aditiva ⇒ e e
Multiplicativa ⇒ ⋅ ⋅

PROPIEDADES DE DENSIDAD DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional.

PROPIEDAD ARQUIMEDIANA DE LOS NÚMEROS REALES
Definición informal: En los números reales no existen números infinitamente grandes (o infinitamente
pequeños), o lo que es equivalente “dado un número real, siempre se puede construir un número mayor”.

Definición formal: Dados dos números reales y i0, existe un entero positivo d tal que mdD.

PROPIEDADES DE ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES
Ley de Tricotomía Dados dos números reales y cualesquiera, se tiene que:
m o i o
Nota: En este caso, la o tiene carácter exclusivo, es decir, sólo se cumple una de las tres
condiciones enunciadas.
Considerando que , y son números reales cualesquiera, se tienen las siguientes propiedades:
Transitiva: m ú m⇒ m
Aditiva: O m D e O C S m D C S
Multiplicativa:
1) O m DpppppúpppppS i Ú e O b S m D b S
2) O m DppppúpppppS m Ú e O b S i D b S

Nota: En este caso las reglas se proporcionan para la condición es menor que (<), pero debes considerar que éstas
también son válidas para las condiciones es mayor que (>), es menor o igual que (≤) o es mayor o igual que (≥).

DEFINICIÓN DE DIVERSAS OPERACIONES
Resta:
(
el(Da
División:


r
1

u
Donde:

siempre debe ser
distinto de cero.


Nota: Recuerda que la
división por cero no está
definida en matemáticas.

Potenciación:


⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ !"""#"""$
:vtGQfóFÓ

Donde:

 es la base
 des el exponente

O b O b O bbb O
!"""#"""$
:vtGQfóFÓ
es la
potencia

Radicación:
√
-
si y sólo si



Donde:
 El símbolo √
es el radical

d es el índice del radical

es el radicando

es la raíz d - ésima de

3. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
DEFINICIÓN DE DIVERSAS OPERACIONES
Valor absoluto:
|/|0
/ ,12 /34
(épppp qípé m j

Logaritmo de base /:
Si i0, /)5, 6i0 entonces
Áoá
t= N ú si y sólo si
9
6
Donde:
 6 es el argumento del logaritmo

es la base del logaritmo
 ú es el logaritmo de base de 6

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
(Estas reglas son válidas también para ≤ ó ≥)
OTRAS PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD
Sean , y números reales cualesquiera.
| |m ⇔( m m , i0 Desigualdad del Triángulo: | e |r| |e| |
| |i ⇔ i o m( , i0  Todo número negativo elevado a una potencia par
da como resultado un positivo.
 Todo número negativo elevado a una potencia
impar da como resultado un negativo.
| | ⇔ o ( , i0

REGLAS DE LOS EXPONENTES REGLAS DE LOS RADICALES
1.


;

<;

2. l

a
;

⋅;

3.
t
-
t
=

>;
lO ) Úa
4.
s
t
?-



5.
>

s
t
-
lO ) Úa
6.
@
1 (O ) Ú)
7. lO b D b S bbba



⋅

b S

⋅⋅⋅
8. A
t
B
C


t
-
B
-
lD ) Úa
9.
-
=√

=


1. √

=

-
=
2. √O b D
-
√
-
⋅√
-

3. D
t
B
-

√t
-
√B
- lD ) Úa
4. E√
=-
√
-⋅=

5. √

-
| | lSFOdGopdpHIpJOKa
6. L√
-
M


7. √
N
-
√
O
=
√
O<;N
-⋅=


REGLA DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA
Procedimiento para determinar resultado
numérico leaeleae Se suman los valores absolutos de los números
para obtener el resultado
l(ael(a( Se suman los valores absolutos de los números
para obtener el resultado
leael(aPQádo GH7 dúRHKo Sod ROúoK SOÁoK ODIoÁFTo Al mayor valor absoluto le restamos el menor
valor absoluto para obtener el resultado
l(aeleaPQádo GH7 dúRHKo Sod ROúoK SOÁoK ODIoÁFTo Al mayor valor absoluto le restamos el menor
valor absoluto para obtener el resultado

4. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
REGLA DE LOS SIGNOS PARA EL PRODUCTO REGLA DE LOS S IGNOS PARA LA DIVISIÓN
lealeae
l(al(ae
leal(a(
l(alea(
leaUleae
l(aUl(ae
leaUl(a(
l(aUlea(


OPERACIONES CON FRACCIONES Jerarquía de operaciones:
En un grupo de operaciones…
1. Primero se realizan las potencias o raíces,
2. Luego las multiplicaciones o divisiones,
3. Y al final las sumas o restas.

Símbolos de agrupación:
1. Paréntesis: l,a
2. Corchetes: V,W
3. Llaves: X,Y
4. Barra o vínculo:
Z


Nota: Para realizar operaciones en las que se
presenten símbolos de agrupación, es
recomendable efectuar dichas operaciones de
adentro (de dichos símbolos) hacia afuera.
1.
t
B
e
&
[

t⋅[<B⋅&
B⋅[

2.
t
B
(
&
[

tb[>BbG
B⋅[

3. A
t
B
C A
&
[
C
tbG
B⋅[

4.
t
B
U
&
[

tb[
B⋅&
o bien
\
]
^
_

tb[
B⋅&




PRODUCTOS NOTABLES FACTORIZACIÓN
1. l6e al6( a6
`
(
`

2. l6e al6
`
( 6e
`
a6
a
e
a

3. l= ( Oal6
`
e 6 e
`
a 6
a
( O
a

4. l6 b a
`
6
`
b c 6 e
`

5. l6 b a
a
6
a
b d 6
`
e d
`
6 b
a

6. l6 e al6 e a 6
`
el e a6 e
7. l 6 e al6 e GaN OS=
`
elOG C DSa6 e G
1.
6e 66l e a
2. 6
`
(
`
l6e al6( a
3. 6
a
e
a
l6 e al6
`
( O= C O
`
a
4. 6
a
( O
a
l= ( Oal6
`
e 6 e
`
a
5. 6
`
b c 6 e
`
l6 b a
`

6. 6
a
b d 6
`
e d
`
6 b
a
l6 b a
a

7. 6
`
el e a= C OD Nl6 e al6 e a
8.
6
`
el GeDSa6e Gl 6e al6eGa

5. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada


COCIENTES NOTABLES ALGUNOS ELEMENTOS DE LENGUAJE
ALGEBRAICO
1.
t
e
>B
e
t<B
(
2.
t
e
>B
e
t>B
e
3.
t
f
<B
f
t”B

`
( OD C D
`

4.
t
f
>B
f
t>B

`
e e
`

5. Si n es un número entero par o impar:


( D

O ( D

:>s
e
>`
e
>a

`
eg g g e
:>s

6. Si n es un número entero par:


( D

e

:>s
( O
>`
e
>a

`
( O
>h

a
Cg g g (D
:>s

7. Si n es un número entero impar:


e

e

:>s
( O
>`
e
>a

`
(g g g CD
:>s

Lenguaje común Lenguaje
algebraico
Un número cualquiera 6
El doble de un número cualquiera 26
El triple de un número cualquiera 36
El cuádruple de un número
cualquiera
46
El cuadrado de un número
cualquiera
6
`

El cubo de un número cualquiera 6
a

El doble del cuadrado de un
número cualquiera
26
`

La mitad de un número cualquiera
j
`
o bien
s
`
6
La quinta parte de un número
cualquiera
j
k
o bien
s
k
6
La suma de dos números
cualesquiera
6eú
El cuadrado de la suma de dos
números cualesquiera
l6eúa
`

El doble del cuadrado de la suma
de dos números cualesquiera
2l6eúa
`

La cuarta parte del cubo de la
diferencia de dos números
cualesquiera
l6(úa
a
4

6. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Expresión algebraica: Es una regla matemática conformada por un número finito de operaciones algebraicas
(suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación) realizadas entre números reales y la forma
más general de éstos, es decir, variables.

Término algebraico: Expresión algebraica que no presenta elementos separados por signos de suma o resta.

Elementos de un término algebraico de grado n:


A un término algebraico que no presenta explícitamente coeficiente literal, se le nombra “término
independiente”.

Clasificación de las expresiones algebraicas:
Monomio: Expresión algebraica de 1 término algebraico.
Binomio: Expresión algebraica de 2 términos algebraicos.
Trinomio: Expresión algebraica de 3 términos algebraicos.
Polinomio o multinomio: Expresión algebraica de más de 3 términos algebraicos.

Nota importante: De manera general es válido llamar polinomios a todos los tipos de expresiones descritas anteriormente debido a
que éstas pertenecen a una estructura algebraica llamada el Anillo de los Polinomios.
Términos semejantes:
Se dice que dos términos algebraicos son semejantes si y sólo si éstos presentan las mismas variables, y
además cada una de ellas presenta igual exponente en cada caso.
Grado de un polinomio:
Grado absoluto: Si el polinomio cuenta con una sola variable, será el mayor exponente que ésta presente. Y
en caso de que existan dos o más variables por término, corresponde a la mayor suma de los exponentes.
Grado relativo a una variable: Es el mayor grado que presenta la variable de referencia en un polinomio.
Forma General de un polinomio de grado n:

6

e
>s6
>s
e
>`6
>`
e...e
`6
`
e
s6e
@
Donde
,
>s,
>`,...,
`,
s,
@ son números reales, y además
)0.
Valor numérico de una expresión algebraica:
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir el valor que tiene cada
una de las variables que se presentan en dicha expresión y realizar las operaciones indicadas.

7. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
ECUACIONES
ECUACIÓN: Es la igualdad o equivalencia entre dos expresiones matemáticas en la que al menos existe una
variable. La estructura es la siguiente:
Expresión algebraica 1 = Expresión algebraica 2

A la izquierda del signo de igualdad se le llama primer miembro y a la derecha segundo miembro.

RESOLVER UNA ECUACIÓN significa determinar el valor numérico de la variable (o variables) que ésta
presente, de tal manera que, al sustituirse en dicha ecuación, se satisface la igualdad.

SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN: Se llama así a los números que, al sustituirse en las variables de una
ecuación, satisfacen su igualdad.



REGLAS PARA EL DESPEJE DE ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN
(
Nota: El despeje o transposición es una generalización de las propiedades de la igualdad que consiste en el cambio de términos de
una ecuación de un miembro a otro.)

Operación inicial Operación final
Suma (o adición): e Resta (o diferencia): M
Resta (o diferencia): M Suma (o adición): e
Multiplicación (o producto): ⋅ División (o cociente): U
División (o cociente): U Multiplicación (o producto): ⋅
Potenciación: la

Radicación: √
-

Radicación: √
-
Potenciación: la




DETERMINANTES
De segundo orden

l

tt
t`

`t
``
l
tt⋅
``M
t`⋅
`t



De tercer orden

m

tt
t`
ta

`t
``
`a

at
a`
aa
m
ttl

``
`a

a`
aa
lM U
t`l

`t
`a

at
aa
le
tal

`t
``

at
a`
l

8. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Ecuación general de segundo grado en una variable:

6
`
C D= C S N Ú, O ) Ú

Solución general de la ecuación de segundo grado con una variable:

= N
>Bb√B
e
>htG
`t


Propiedades del discriminante (n N o
p
( qér) de la solución general:

i) Si s i Ú la ecuación presenta dos soluciones reales diferentes.
ii) Si s N Ú la ecuación tiene una solución real de multiplicidad dos.
iii) Si s m Ú la ecuación no cuenta con soluciones reales.


Vértice de la parábola 6
`
C D= C S N Ú:
tu(

2
,
iOS ( D
`
4
v




SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

w

ss6 e
s`ú N D
ss

`s6 e
``ú N D
`s



Método de Crámer para solucionar un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

= N
x

ss
s`

`s
``
x
l

ss
s`

`s
``
l


ú N
x

ss
ss

`s
`s
x
l

ss
s`

`s
``
l

9. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
Diagrama de Flujo para el Método de Crámer

10. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES VARIABLES
Sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas:

y

tt6 e
t`ú C O
taz C N
tt

`t6 e
``ú C O
`az C N
`t

at6 e
a`ú C O
aaz C N
at



Método de Crámer para solucionar un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas:

6 C
m

tt
t`
ta

`t
``
`a

at
a`
aa
m
m

tt
t`
ta

`t
``
`a

at
a`
aa
m


ú N
m

tt
tt
ta

`t
`t
`a

at
at
aa
m
m

tt
t`
ta

`t
``
`a

at
a`
aa
m


z C
m

tt
t`
tt

`t
``
`t

at
a`
at
m
m

tt
t`
ta

`t
``
`a

at
a`
aa
m

11. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada
MÉTODOS ALGEBRAICOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
* Geométricamente una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas corresponde al punto de
intersección de las ecuaciones del sistema dado.

* Analíticamente una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas corresponde al valor de las incógnitas
que satisfacen de forma simultánea a ambas ecuaciones.

12. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada

13. FORMULARIO
Álgebra

GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO
Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada

LOGARITMOS
Logaritmo de base Logaritmo Neperiano (o natural)
Áoá
t6ú, i0 Ád6ú
Propiedades
1. Áoá
tl{⋅|aÁoá
t{eÁoá
t|
2. Áoá
tA
}
~
CN Áoá
t{ ( Áoá
t|
3. Áoá
tl{

aN d Áoá
t{
4. Áoá
tL√{
-
M
s

Áoá
t{
5. Áoá
tl a 1
6. Áoá
tl
j
aN = N O
(?
\j

7. Cambio de Base:
Áoá
t? {? N ?
Áoá
B  {
Áoá
B?
? N ?
7 ? {
7 ?


Nota:
La base de este logaritmo es H. Es decir:
Áoá
*= N Ád =

Propiedades
1. Ádl{ ⋅ |aN Ád { C Ád |
2. ÁdA
}
~
CN Ád { ( Ád |
3. Ádl{

aN d Ád {
4. ÁdL√{
-
M
s

Ád {
5. ÁdlHa 1
6. ÁdlH
j
aN = N H
j




REGLAS PARA EL DESPEJE DE ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN
Nota: La transposición es una generalización de las propiedades de la igualdad que consiste en el cambio de términos de una
ecuación de un miembro a otro. Y despejar una variable significa transponer todos los términos que le “estorban” hasta dejarla
sola en uno de los miembros.

Operación inicial Operación final
Suma: e Resta: (
Resta: ( Suma: e
Multiplicación: ⋅ División: U
División: U Multiplicación: ⋅
Potenciación: la

Radicación: √
-

Radicación: √
-
Potenciación: la


Seno: senla Seno inverso: sin
>s
la
Coseno: cosla Coseno inverso: cos
>s
la
Tangente: tanla Tangente inversa: cos
>s
la