Formulario de trigonometria

1. Prof. Julio C. Cerón Velásquez 
37º
53º
3
5
4
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
ACADEMIA
30º 60º 45º 37º 53º
1 3 2 3 4
sen
2 2 2 5 5
3 1 2 4 3
cos
2 2 2 5 5
3 3 4
tg 3 1
3 4 3
3 4 3
ctg 3 1
3 3 4
2 3 5 5
sec 2 2
3 4 3
2 3 5 5
csc 2 2
3 3 4
 
 
 

FORMULARIO DE TRIGONOMÉTRIA 
 
 
 
TRIANGULOS NOTABLES 
 
  
 
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 
ÁNGULOS NOTABLES 
 
     
 
 
IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS 
 
PITAGORICAS 
 
xcscxctg
xsecxtg
xcosxsen
22
22
22
1
1
1
=+
=+
=+
      
 
 
POR COCIENTE 
 
 
       
 
 
RECÍPROCAS 
1
1
1
=
=
=
ctgx.tgx
xsec.xcos
xcsc.senx
                         
tgx
ctgx
xcos
xsec
senx
xcsc
1
1
1
=
=
=
 
                      
IDENTIDADES AUXILIARES 
 
 
IDENTIDADES PARA ARCOS 
COMPUESTOS 
 
senx.seny cosx.cosy= y)cos(x
cosx.seny senx.cosy=y)sen(x 
m±
±±
 
tgy.tgx
tgytgx
)yx(tg
m1
±
=±  
 
 
 
1
1
1
1
22
22
22
22
=-
=-
=-
=-
xctgxcsc
xtgxsec
xsenxcos
xcosxsen
xcos
senx
tgx=
senx
xcos
ctgx=
14°
76º
1
17
4
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5  2
    2 +1

17
28°
62º
8
17
15
1
31º
59º
3
5

17
45°
2
    31
75°
53° 37°
15°
5 4
1 1
2 3 6 +
2 2
10
 2
6 - 2
127°
 2
153°
 2

2. Prof. Julio C. Cerón Velásquez 
 
IDENTIDADES AUXILIARES PARA COMPUESTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
  PROPIEDADES 
 
1) asenx±bcosx=
22
ba+.sen(x±q) tal que: 
 
   y 
 
 
2) " x Î R  se cumple que: 
-
2222
babcosxasenxba+£±£+ 
 
(MINIMO)                       (MAXIMO) 
 
 
 
AUXILIARES  PARA TRES ANGULOS 
 
1) Si A + B + C = 180° 
Se cumple: 
 
tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC 
ctgA.ctgB+ctgA.ctgC+ctgB.ctgC=1 
 
2)
Si: A+B+C=90° 
  Se cumple: 
 
ctgA+ctgB+ctgC=ctgA.ctgB.ctgC 
TgA.tgB+tgAtgC+tgB.tgC=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IDENTIDADES PARA ARCO 
DOBLE 
               
 2senx.cosx=sen2x  
xsenxcos=cos2x
22
-


AUXILIARES

 
xtg-1
2tgx
=tg2x
2
 
 
 
   
 
   
Triangulo del ángulo doble
 
 
1 – tg  x
2
1 + tg x
2
2 tg x
2x
sen2x=
1 + tg x
2
  2tg  x
2
cos2x=
1 + tg x
2
1 –tg  x
2
 
   
 
IDENTIDADES PARA ARCO 
MITAD 
 
 
            
AUXILIARES 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Donde el signo ± dependerá del cuadrante en el que se
ubique
2
x

 
 
 
 
 
 
22
ba
b
sen
+
=q
22
ba
a
cos
+
=q
)yx(tgy).tgx.tgytg(xtgytgx
seny.senx
)yxcos(
ctgy.ctgx
ycos.xcos
)yxcos(
tgy.tgx
seny.senx
)xy(sen
ctgyctgx
ycos.xcos
)yx(sen
tgytgx
ysenxcosy)-y).cos(xcos(x
ysenxseny)-y).sen(xsen(x
±=±±±
±
=
±
=
±
=±
±
=±
-=+
-=+
1
1
22
22
m
m
tgx.xtg1sec2x
ctgx.xtg1sec2x
2ctg2xtgxctgx
2csc2xtgxctgx
cos2x-1xsen
cos2xx2cos
2
2
2
2
2
1
=-
=+
=-
=+
=
+=
xsen1=cos2x
1-x2cos=cos2x
2
2
2-
 
2
x
tg=ctgxcscx
 
2
x
ctg=ctgxcscx
-
+
 
xcos
xcos
=
2
x
tg
 
xcos
=
2
x
cos
 
xcos
=
2
x
sen
+
-
±
+
±
-
±
1
1
2
1
2
1

3. Prof. Julio C. Cerón Velásquez 
2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x   y) -
2 Seny Cosx = Sen(x + y)   Sen(x   y) - -
2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x   y) -
2 Senx Seny = Cos(x   y)   Cos(x + y) - -
 
()
()
( )
nr
Sen 
2 P U
Sen Sen( r) Sen( 2r) .....   Sen 
2r
Sen 
“n” términos
2
+
a + a + + a + + =
14444444244444443
()
()
( )
nr
Sen 
2 P U
Cos Cos ( r) Cos ( 2r) .....   Cos 
2r
Sen 
“n” términos
2
+
a + a + + a + + =
1444444442444444443
( ) ( ) ( )
3 5 1
Cos Cos Cos .... n tér min os
2n 1 2n 1 2n 1 2
p p p
+ + + =
+ + +
( ) ( ) ( )
2 4 6 1
Cos Cos Cos .... n términos
2n 1 2n 1 2n 1 2
p p p
+ + + = -
+ + +





-





+
=-





-





+
=+





+





-
=-





-





+
=+
2
BA
 enS 
2
BA
 Sen2CosACosB
2
BA
 Cos 
2
BA
 Cos2CosBCosA
2
BA
 Cos 
2
BA
 Sen2SenBSenA
2
BA
 Cos 
2
BA
 Sen2SenBSenA
 
 
 
 
IDENTIDADES PARA ARCO 
TRIPLE 
 
 
 
 
x3tg-1
xtg-3tgx
=tg3x
3cosx -x4cos=cos3x
x 4sen-3senx=sen3x
2
3
3
3
 
 
 
        AUXILIARES 
 
         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMACIONES  
TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
1. IDENTIDADES  PARA  LA  SUMA  Y 
PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS 
 
CASO I : Para la suma o diferencia de dos Senos 
o Cosenos a producto. 
 
 
 
 
CASO II  
 
Para  el  producto  de  dos  términos,  Senos  y/o 
Cosenos a suma o diferencia.  
 
Siendo : x > y 
 
 
 
2. SERIES TRIGONOMETRICOS
 
Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos
están en progresión aritmética.







 
   
  P : primer ángulo; U : último ángulo  
   r = razón 


3. SERIE ESPECIAL DE COSENOS 

Propiedad

+
Î"
Zn


Propiedad
+
Î"
Zn



 
12cos2x
12cos2x
tgx=tg3x
 1)xsenx(2cos2=cos3x
 1)xsenx(2cos2=sen3x






+
+
-
+
xtg)x(tg)x(tgtgx
xtg)x(tg).x(tg.tgx
xcos)xcos().xcos(.xcos
xsen)x(sen).x(sen.senx
3312060
36060
360604
360604
=+°++°+
=+°-°
=+°-°
=+°-°

4. Prof. Julio C. Cerón Velásquez 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
A – B
tg 
2a – b
I.     = 
a + b A + B
tg 
2
B – C
tg 
2b – c
II.    = 
b + c B + C
tg 
2
A – C
tg 
2a – c
III.    = 
a + c A + C
tg 
2
( )( )( ) ( )
n
2n 12 3 n
Sen Sen Sen ....Sen
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2
+p p p p
=
+ + + +
( )( ) ( ) ( )
n
2 3 n 1
Cos Cos Cos .... Cos
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2
p p p p
=
+ + + +
A
A
C
C
B
B
b
ac
( )( )( ) ( )
2 3 n
Tg Tg Tg ...Tg 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
p p p p
= +
+ + + +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a  = b  + c  – 2bc cos A
  ..........  (1)
b  = a  + c  – 2ac cos B   ..........  (2)
  
..........  (3)c  = a  + b  – 2ab cos C
a b c
 =   =   = 2R
sen A sen B sen C
A C
B
b
A
a
c
2 2 2
b  + c  – a
cos  A = 
2bc
A
B
O
C
c a
b
R
•  a = 2R sen A
•  b = 2R sen B
•  c = 2R sen C
También:
A
A
b cos A
c cos B
B
B
b
C
a
C


4. PRODUCTOS TRIGONOMETRICOS

 
 
RESOLUCION DE TRIANGULOS 
OBLICUOS 
 
1. TEOREMA DE SENOS 
En todo triángulo ABC de circunradio R se verifica 
 (O: centro). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. TEOREMA DE COSENOS 
    En todo triángulo ABC 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se cumple: 
 
 
 
 
 
  Si de (1) se despeja cos A obtenemos: 
 
 
        
 
 
3. TEOREMA DE TANGENTES 
  Dado un triángulo ABC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      Se cumple: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. TEOREMA DE PROYECCIONES 
 
   
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Se cumple: 
 
 
C = b cos A + c cos B
 
    Tambien: 
 
 
 
a = b cos C + c cos B
b = a cos C + c cos A