Formulario Ecuaciones diferenciales

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FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
Ecuación diferencial separable
( ) ( )
Ecuación diferencial homogénea


(


) cambio



Ecuaciones diferenciales casi homogéneas


(


)
Si: , se cortan el cambio es:
, donde ( ) es el punto de corte
Si son paralelas: , el
cambio es:
Ecuación diferencial lineal:


( ) ( )

∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )

Ecuación diferencial tipo Bernoulli:



( ) ( )


Ecuación diferencial exacta:
( ) ( )
Es exacta si se cumple:






Factores de integración:


.





/ ( )
∫ ( )



.





/ ( )
∫ ( )

Ecuación diferencial de Riccati


( )

( ) ( )
Cambio: ( )


⁄
Donde ( ) es un solución de la ecuación diferencial
Manipulaciones diferenciales
( ) (


)



(



)





.


/






( ) .


/



(



)





(


(



))






APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
APLICACIONES GEOMETRICAS
La pendiente y la pendiente normal




,




La ecuación de una recta tangente en (


) es:




(
)
La ecuación de una recta normal en (


) es:




(
)
Longitudes de la subtangente y la
subnormal


,



Los segmentos interceptados por la recta tangente
en los ejes “ ” y “ ”


,



Los segmentos interceptados por la recta normal
en los ejes “ ” y “ ”


,



Longitud de curva
√ (


)

√ (


)


Área
Las longitudes de la recta tangente entre el punto
( ), con los segmentos interceptados por la recta
tangente en los ejes “ ” y “ ”
√ (


)

, √ (


)


Las longitudes de la recta normal entre el punto
( ), con los segmentos interceptados por la
recta normal en los ejes “ ” y “ ”
√ (


)

, √ (


)



MODELOS DE CRECIMIENTO





, Cantidad presente
, Constante de proporción
PROBLEMAS DE MEZCLAS



( )



(


)

Cantidad de un sustancia
EL tiempo

Volumen inicial

, Velocidad de flujo entrante

, Velocidad de flujo saliente
( ) , Concentración entrante

APLICACIÓN A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS



( ) ,





( )
, La corriente (amperios)
, La carga (culombios)
EL tiempo
, La inductancia (henrios)
, Capacidad del condensador (faradios)
, La resistencia (ohmios)
, Fuerza electromotriz (voltios)

LEY DE ENFRIAMIENTO 0 CALENTAMIENTO
DE NEWTON


(

)



Temperatura EL tiempo ,proporción

Temperatura del ambiente

ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
Ecuación diferencial a coeficientes
constantes homogénea





Con


1) Si:

son reales distintos









2) Si:

son reales iguales









3) Si:
son complejos



cos


sen
Otra solución L.I. a
de:

( )

( )


∫

∫ ( )
(
)


Fórmulas para reducir el orden






















Ecuación diferencial Cauchy - Euler















Cambio: ,

(Para trasformar a coeficientes constantes)




( )






( )

( ) ( )






( )

( )

( ) ( )( )
. . .

2. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL NO HOMOGÉNEA
MÉTODOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN PARTICULAR DE

( )

( ) ( )
Variación de parámetros (Variación de constantes)






.






/(




) (

( )
)



O
P
E
R
A
D
O
R
E
S

Teoremas (Métodos Abreviados)



( )




( )


( )



( )

( )





( )






( )


( )


( )
( )



(

)
( )

(

)
( ) , (

)



(



)
( )


( )



(



)

( )


( )

(


)



(

)
( )

(

)
( ) , (

)



(



)
( )


( )



(



)

( )


( )

(


)



( )
( )

( )
( )
( )
, ( )-

( )



( )


(



)


Coeficientes indeterminados (tanteo)
( )


( )


( )




( )
( )
( )


( )
( )
( )
( )
( )


( )




















































APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
CIRCUITOS ELÉCTRICOS SENCILLOS












( )











( )
, La corriente (amperios)
, La carga (culombios)
EL tiempo
, La inductancia (henrios)
, Capacidad del condensador (faradios)
, La resistencia (ohmios)
, Fuerza electromotriz (voltios)
CAIDA LIBRE







CAIDA RETARDADA
Resistencia proporcional a










, altura , masa
tiempo , gravedad
, constante de proporción
EL SISTEMA MASA
RESORTE










, ecu. de movimiento
, La masa
EL tiempo
, rigidez
, constante de
amortiguamiento
LEY DE HOOKE







, masa , alargamiento
, constante de proporción
FRECUENCIA DE OSCILACION

√

⁄
PERIODO DE OSCILACION


⁄
TRANSFORMADA DE LAPLACE * ( )+ ∫

( )


( ) → Definición
* +


, * +





, *

( )+ ( ) ( )
* +


, * +





, * ( )+

( ) ( ) ( )
* +



, * ( )+


(


) {
( )
( )}

( )

( )



( )
( )
( )
*

+



, *

( )+ ( ) Traslación {∫ ( ) ( )


}= ( ) ( ) convolución
*

+


, *

( )+ ( )



( )


( ) *

( )
+ ( ) ( ) * ( )+

( )
*

+


, {
( )

} ∫ ( )


* ( )+





* +





, {∫ ( )


}
( )

* ( ) ( )+

* ( )+

( )
* +





, * ( )+


∫

( )


* ( ) ( )+

* ( )+
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE (ANTITRANSFORMADA)


{


}

{





}




{
( )
( )} ( )



( )

* ( )+



* ( )+

( ) Traslación


{


}

{





}

{∫


( )}
( )



* ( ) ( )+ ∫ ( ) ( )


convolución


{



}


( )
,

{





}




{
( )

} ∫ ( )




*

( ) + *

( )
( ) ( )


{


}



{





}

{ .


/} ( )

*

+ ( )
MÉTODO DE SERIES
Si de :

( )

( ) ( ) y ( ) son analíticas en
(Punto regular) ∑
(
)



Si de :

( )

( ) (
) ( ) y (

)

( ) son analíticas en
(Punto singular regular)


∑
(
)

∑
(
)




Ecuación indicial (

)




(
) ( )



(
)

( )
Segunda solución y términos logarítmicos para (
)
Caso 1 Si

no es un entero

∑





∑




Caso 2 Si



∑






( ) ∑




Caso 3 Si



∑






( ) ∑