Formulario para ecuaciones diferenciales de orden superior

Fórmulas para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden.

1. Formulario para ecuaciones diferenciales
Ecuaciones de orden superior.
- Ecuaciones homogéneas (a2(x)y’’ + a1(x)y’ + a0(x)y = 0)
o Método de reducción de orden



Solución a la ecuación diferencial:
o Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes



Soluciones a la ecuación homogénea
a) Raíces distintas (m1≠m2)
b) Raíces iguales (m1=m2)
c) Raíces imaginarias (α±βi)

- Ecuaciones diferenciales no homogéneas ((a2(x)y’’ + a1(x)y’ + a0(x)y = g(x))
o Método de superposición
Soluciones propuestas (yp)
Caso Solución propuesta (yp)
Caso I: g(x)=Pn(x) Ax
2
+Bx+C
Caso II: g(x)=Pn(x) e
αx
.
a) Si α no es raíz de la ec. caract. yp=Qn(x) e
αx

b) Si α es un valor simple yp= x Qn(x) e
αx

c) Si α es una raíz doble yp= x
2
Qn(x) e
αx

Caso III: g(x)=Pn(x) e
αx
cos βx + Qn(x)
e
αx
sen βx

a) Si α±βi no es raíz de la ec. yp=Un(x) e
αx
cos βx + Vn(x) e
αx
sen βx
b) Si α±βi es raíz de la ec. yp=x[Un(x) e
αx
cos βx + Vn(x) e
αx
sen βx]
Caso particular: g(x)=A cos βx + B sen βx
a) Si βi no es raíz de la ecuación yp= Ccosβx + Dsenβx
b) Si βi es raíz de la ecuación yp= x [Ccosβx + Dsenβx]

2. o Método del operadoranulador
ay’’+by’+cy=g(x)  aD
2
y + bDy + cy=g(x)  (aD
2
+ bD + c)y = g(x)
Casos
g(x) Operador





Nota: Si α y β son iguales entre los diferentes términos se maneja un operador, si son
diferentes entre los términos, se manejan dos operadores.

o Método de variación de parámetros.
Debe de presentar la forma:

Solución propuesta (yp):