Frações

Material teórico de frações

1. 1





Revisitando as Frações


1.0 - O que é fração?

É um pedaço ou parte de um todo que foi dividido em partes iguais. Essa última
informação é importante para evitar que se represente, por exemplo,
1
4
como na
figura abaixo:











Observe algumas representações corretas de frações:


























A região pintada não representa
1
4
⁄ pois não
está dividida em partes iguais.
1
2
(um meio)
1
3
(um terço)
3
5
(três quintos)
Obs: Numa fração como
2
3
⁄, o 2 é
chamado de numerador (o que
numera – diz o número) e o 3 é
chamado de denominador ( o que
denomina – diz o nome).
2
3

dois (número)
terços (nome)

2. 2

Matematicamente, temos que uma fração é da forma
�
�
com �∈ℤ e �∈ℤ
∗
,
ou seja, a é um número pertencente ao conjunto dos números inteiros (ℤ=
{…,−2,−1,0,1,2,…}) e b também é um número inteiro, porém não pode ser zero
(inteiro não-nulo).
Assim, expressões do tipo
√2
3
ou
1,5
4
não são frações, apesar de que a
segunda pode ser transformada em fração caso o numerador e denominador sejam
multiplicados por 2, encontrando
3
8
.














2.0 - Nomes das frações

Como visto acima, o nome da fração é dado pelo número que está abaixo do
traço da fração, veja na tabela alguns nomes:





















Curiosidade
:
Curiosidade
:
Denominadores de 2 a
9:
1/2 – um meio
1/3 – um terço
1/4 – um quarto
1/5 – um quinto
1/6 – um sexto
1/7 – um sétimo
1/8 – um oitavo
1/9 – um nono
1/10 – um décimo

Para denominadores maiores que 10, usamos a
palavra avos, que significa partes:
1/11 – um onze avos
1/15 – um quinze avos
1/20 – um vinte avos (ou um vigésimo)
1/41 – um quarenta e um avos
1/100 – um cem avos (ou um centésimo)
1/1.000 – um mil avos (ou um milésimo)
1/10.000 – um dez mil avos (ou um décimo de
milésimo)
Por que o conjunto dos números
inteiros é representado pela letra
Z?

O símbolo Z vem de Zahl, que em
alemão, língua usada pelo criador da
Teoria dos Conjuntos (George
Cantor) quer dizer número.



Por que o denominador de uma
fração não pode ser zero?

Suponha que
3
0
=??????. Isso nos dá
que 3=0∙??????. Mas nenhum valor,
ao substituir o x e ser
multiplicado por zero dará 3.

3. 3

3.0 - Tipos de fração

Uma fração pode ser própria, imprópria ou aparente. Fica fácil entender o que
cada uma representa quando prestamos atenção nos nomes.

3.1 - Fração Própria – É uma fração propriamente dita, isto é, é realmente uma
parte do todo. Reconhecemos uma fração própria quando o numerador é menor que
o denominador (com o numerador diferente de zero).

Ex:




3.2 - Fração Imprópria – Fração imprópria é aquela que não é própria. Na fração
imprópria, temos mais que um inteiro, um inteiro ou nada. Nesse caso, o numerador é
maior que o denominador, igual ao denominador ou é zero, respectivamente.

Ex:




3.3 - Fração Aparente - Parece fração mas na verdade representa um número
inteiro já que o numerador é divisível pelo denominador. É um caso particular das
frações impróprias.

Ex:




4.0 - Frações equivalentes

Duas ou mais frações são ditas equivalentes quando representam a mesma
parte do todo. Por exemplo, imagine duas pizzas de mesmo tamanho sendo uma
dividida ao meio e outra em quatro partes iguais.

4. 4

Comer uma fatia da primeira pizza é equivalente a comer duas fatias da segunda
pizza, isto é:










O que acontece é que, para compensar o fato de que dividir a pizza em mais
fatias deixa as fatias menores, serão comidas mais fatias. Se dobramos o número de
fatias em que a pizza foi dividida, dobramos o número de fatias consumidas. Se
triplicamos o número de fatias em que a pizza foi dividida, triplicamos o número de
fatias a serem comidas. Desta forma, o consumo será o mesmo.

Assim, podemos obter frações equivalentes pela multiplicação do numerador e
do denominador por um mesmo número:



1
2
=
2
4
=
3
6
=⋯



Obviamente, já que a igualdade é válida nos dois sentidos, podemos obter
frações equivalentes pela divisão do numerador e denominador por um mesmo
número:



2
4
=
1
2




Neste caso, temos que ½ é a forma simplificada de 2/4. Dizemos que ½ é uma
fração irredutível (não pode mais ser simplificada).


Exemplo:

Uma fração equivalente a 2/5 a soma entre o numerador e o denominador igual
a 35. Que fração é essa?



1
2

2
4

x2
x3
x2
x3
:2
:2

5. 5

Exemplo:

Que número devemos somar ao numerador da fração 27/54 para que ela seja
equivalente a 2/3?


















5.0 - Número misto (e não fração mista!)

O misto da lanchonete é chamado de misto pois mistura o queijo ao presunto.
Da mesma forma, o número misto é a mistura de dois tipos de número: o inteiro e a
fração.

Ex: Quando escrevemos a fração 3
2
5
, temos 3 inteiros e mais
2
5
. Assim, 3
2
5
=3+
2
5
.



Ex: Podemos usar os números mistos em substituição às frações impróprias:

15
4
=
4
4
+
4
4
+
4
4
+
3
4
=1+1+1+
3
4
=3+
3
4
=3
3
4



Representando graficamente, temos:









Curiosidade:

O uso do Lego na Matemática
https://www.youtube.com/watch?v=NdaMT0VNQSQ ou http://segue.se/lego


No link acima, é apresentado o trabalho da professora Alycia Zimmerman sobre o ensino de
Matemática com o brinquedo Lego.

Informação útil:

Se quiser fazer o download de um vídeo do YouTube, basta colocar as letras ss logo após www.

Ex: https://www.ssyoutube.com/watch?v=NdaMT0VNQSQ

1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
1
4
⁄
3 inteiros 3/5

6. 6

6.0 - Comparação

Comparar frações significa estabelecer a relação de maior que, menor que ou
igual a entre duas frações.

Um método geral para comparar frações é deixar os denominadores iguais e
comparar os denominadores. Ora, se há duas pizzas iguais que são divididas em
quantidades iguais de fatias, quem comer mais fatias, terá comido mais pizza.




3
4
>
2
4





Podemos comparar também frações com numeradores iguais. Se duas frações
têm denominadores iguais, quanto maior o denominador, menor a fração. Voltando às
pizzas, suponha que duas delas, iguais entre si, foram divididas de forma diferente: uma
em 4 fatias e outra em 8 fatias. Óbvio que as fatias da segunda pizza serão menores
que as fatias da primeira (na verdade, a metade). Assim, comer três fatias da primeira
pizza é comer muito mais (o dobro) que da segunda pizza.




3
4
>
3
8







Podemos ainda comparar frações por outros caminhos, como por exemplo,
fazendo uma estimativa do valor ou transformando-a em número decimal.

Ex:

7. 7

Lista de exercícios 01


Questão 01 - A fração 3/8 será representada sobre um retângulo cujas dimensões
são 6cm de largura por 20cm de comprimento. Qual a área da figura que representa a
fração?

Questão 02 - A fração 2/5 será representada em um círculo que será dividido em
setores circulares (como as fatias de uma pizza). Qual o ângulo correspondente à
representação da fração?

Questão 03 - No texto, vimos o motivo de não existirem frações do tipo 3/0 (com
denominador zero). Pensando pelo mesmo caminho exposto, o que podemos dizer da
fração 0/0?

Questão 04 - Qual a menor fração que deve ser somada à fração 156/19 para que a
soma seja uma fração aparente?

Questão 05 - (OBM 2013) Os gatos Mate e Tica estão dormindo no sofá. Mate
chegou antes e quando Tica chegou, ela ocupou um quarto da superfície que havia
sobrado do sofá. Os dois juntos ocupam exatamente a metade da superfície do sofá.
Qual parte da superfície do sofá está ocupada por Tica?

Questão 06 – (OBM 2010) Numa sala do 6° ano, todos gostam de pelo menos uma
das duas matérias: Matemática ou Português. Sabe-se que ¾ dos alunos gostam de
Matemática e 5/7 dos alunos gostam de Português. A sala tem 56 alunos. Quantos
alunos gostam dessas duas matérias ao mesmo tempo?

Questão 07 – (OBM 2009) Numa
pesquisa sobre o grau de escolaridade,
obtiveram-se os resultados expressos no
gráfico. Que fração do total de
entrevistados representa o total de
pessoas que terminaram pelo menos o
Ensino Fundamental?

Questão 08 – (OBM 2007) A fração
a/b, onde a e b são inteiros positivos,
representa um número entre 0 e 1, na
posição indicada no desenho ao lado. Qual
é um possível valor para a soma a + b.
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Questão 09 – (OBM 2007) O conteúdo de uma garrafa de refrigerantes enche três
copos grandes iguais e mais meio copo pequeno ou 5 desses copos pequenos iguais
mais a metade de um daqueles grandes. Qual a razão entre o volume de um copo
pequeno e de um grande?

Questão 10 – (OBM 2004) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados
como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?

8. 8

7.0 - Operações com frações

7.1 - Adição

A adição entre duas frações é a operação tida como a mais complexa e é a que
mais apresenta erros na sua resolução por parte dos alunos. De fato, quando os
denominadores são diferentes, é necessário deixá-los iguais antes de efetuar a
operação, fazendo uso do MMC.

Nesse caso, o melhor a se fazer, é deixar claro o motivo que nos obriga a
deixar os denominadores iguais e não apenas somar numerador com numerador e
denominador com denominador.

Observe a situação: Em uma experiência no laboratório, os líquidos das
vasilhas A e B devem ser misturados na vasilha C. Será que a vasilha C comporta os
dois líquidos juntos?












Visualmente, podemos intuir que sim, a vasilha comporta os dois líquidos, mas
vamos comprovar através da adição das frações em cada vasilha, que são 1/3 e 1/4. O
ideal seria que tivéssemos uma vasilha com a mesma medida, com a mesma gradação.
Que medida seria essa? Em quantas partes deveria estar dividida a vasilha para que
fosse possível fazer a leitura dos líquidos em A e B?

Para ler o liquido em A, a vasilha deve estar dividida em 3 partes e para o
liquido em B, em quatro partes. Assim, o número procurado deve ser divisível por 3 e
4 ao mesmo tempo. Ora, ser divisível por 3 e 4 é o mesmo que ser múltiplo de 3 e 4
ao mesmo tempo. Um múltiplo comum de 3 e 4, podendo ser qualquer um, em
especial, o menor deles (exceto o zero).

Os múltiplos de 3 e 4 são:

M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,...}

M(4) = {0,4,8,12,16,20,24,28,32,...}

Os múltiplos comuns a 3 e 4 são:

0, 12, 24, 36, ...
C A B

9. 9

O menor múltiplo comum a 3 e 4, excetuando o zero é:

MMC(3,4) = 12

Assim, se as duas vasilhas estiverem divididas em 12 partes, teremos como
fazer uma leitura dos dois líquidos e concluir se cabem ou não na vasilha C.











Assim, na vasilha A temos 4 dos 12 espaços sendo ocupados e na vasilha B são
3 dos 12 espaços. Se juntarmos, teremos 7 dos 12 espaços ocupados. Ou seja, não irá
vazar.

Através da resolução desse problema, o que acabamos de fazer aqui foi somar
as duas frações (1/3 e 1/4). Primeiro encontramos o MMC ente 3 e 4 que é 12.







Na sequência, encontramos frações equivalentes a 1\3 e 1\4 que tenham o
denominador 12:

1
3
=
4
12

1
4
=
3
12



Para finalizar, basta somas as duas frações, repetindo o denominador e
somando os numeradores:

1
3
+
1
4
=
4
12
+
3
12
=
4+3
12
=
7
12




Veja mais alguns exemplos:


1
4
+
3
6
=
2
5
+
1
7
=
3, 4 2
3, 2 2 X
3, 1 3
1, 1 12
‘
A B
x4
x4
x3
x3

10. 10

7.2 - Subtração

O processo para a subtração entre duas frações é exatamente o mesmo que
para a adição, devemos encontrar o MMC entre os denominadores das frações,
encontrar as frações equivalentes e efetuar a operação entre os numeradores.

Podemos ainda misturar adição com subtração numa mesma expressão. Veja os
exemplos:



1
4
−
3
6
=



2
5
−
1
7
+
4
9
=



























Observação 01: Para encontrar os múltiplos de um número qualquer, basta
multiplicar esse número por todos os números naturais (0, 1, 2, 3, ...) ou
ainda, pelos números inteiros, se quiser trabalhar com os múltiplos negativos
também.

Observação 02: O uso do MMC como den ominador das frações
equivalentes tem suas vantagens mas não é obrigatório. Pode-se usar qualquer
múltiplo comum entre os dois denominadores. No caso das vasilhas acima,
qualquer um dos números 12, 24, 26, ... poderia ser o denominador da fração
equivalente.

Observação 03: Veja como é importante que os conceitos de fração e
frações equivalentes estejam bem trabalhados para o estudo das operações.

Observação 04: Quando a operação for entre um número inteiro e uma
fração, devemos escrever o inteiro sobre 1 e seguir os mesmos passos para
efetuar a conta. Da mesma forma, se for um número misto, escrevemos como
fração e depois fazemos a operação.

11. 11

Lista de exercícios 02


Questão 01 – Encontre o MMC entre os números dados seguindo o exemplo:


Ex: MMC(3,4)

Os múltiplos de 3 e 4 são:

M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,...}
M(4) = {0,4,8,12,16,20,24,28,32,...}

Os múltiplos comuns a 3 e 4 são: 0, 12, 24, 36, ...

MMC(3,4) = 12




a) 5 e 6


b) 8 e 12


c) 1 e 3


Questão 02 – Encontre o MMC entre os números dados seguindo o exemplo:


Ex: MMC(3,4)






MMC(3,4) = 12


a) 5 e 6


b) 8 e 12


c) 1 e 3
3, 4 2
3, 2 2 X
3, 1 3
1, 1 12

12. 12

Questão 03 – Efetue cada uma das operações a seguir:






















Questão 04 – Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em
Dezembro: o salário normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano,
os dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário
corresponderá a essa fração do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é
516 reais e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário?



Questão 05 – João Carlos gasta ¼ do seu salário com o aluguel
e 2/5 com alimentação da família. Esse mês ele teve uma despesa extra: 3/8 do seu
salário foram gastos com remédios. Sobrou dinheiro?



Questão 06 – A quarta parte do comprimento de um poste está pintado de
vermelho, 1/3 de azul, 1/5 de amarelo e o resto de verde. Que fração do poste
representa a parte pintada de verde?

Questão 07 – Uma pessoa sai de sua casa com certa quantidade de dinheiro no
bolso. Ela gasta 1/5 de seu dinheiro nos correios, depois gasta 1/4 do dinheiro em um
livro, e então percebe que sobraram 33 reais. Com quantos reais saiu de sua casa?

13. 13

7.3 - Multiplicação

A multiplicação está associada a ideia de soma de parcelas iguais. Quando
estamos trabalhando com números inteiros, esse conceito é facilmente entendido:

5 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35
Ou seja, 5 x 7 significa que a parcela 7 aparece 5 vezes.

Talvez seja interessante introduzir a seguinte ideia: multiplicar 5 por 7 é o
mesmo que considerar 5 grupos de 7, ou seja, 5 de 7. Assim, quando trabalhamos com
problemas envolvendo frações, é comum “traduzir”
2
5
de
3
4
como sendo
2
5
×
3
4
. Esse
conceito será útil para introduzir o produto entre duas frações.
Se trabalhamos com a multiplicação de um inteiro por uma fração, podemos
estender essa mesma ideia de soma de parcelas iguais:

5 ×
2
7
=
2
7
+
2
7
+
2
7
+
2
7
+
2
7
=
10
7


De forma mais prática, podemos pensar que para encontrar o produto da
multiplicação entre um inteiro e uma fração, basta multiplicar o inteiro pelo
numerador e repetir o denominador:
Ex:
2×
4
5
=
3×
7
12
=

E para multiplicar uma fração por outra? Qual o significado disso? Vamos usar o
seguinte problema como base:
“Uma loja de roupas tem 1/3 de seus produtos destinado a crianças. Dessas, 1/2 é
destinado a crianças menores que 5 anos. Qual a fração do total destinada a crianças
menores que 5 anos?”

14. 14

Das roupas infantis, metade é destinada ao público em questão. Vamos fazer a
representação geométrica desse problema:
1) Todas as roupas da loja (o inteiro):



2) Roupas infantis (1/3 do total):



3) Metade desse 1/3:



4) Em relação ao total, essa parte corresponde a 1/6.
5)


No final, temos que
1
2
de
1
3
é o mesmo que
1
2
×
1
3
que é igual a
1
6
.
Assim, para multiplicar uma fração por outra, multiplicamos o numerador pelo
numerador e o denominador pelo denominador.

Ex:

2
3
×
4
5
=



3
14
×
7
12
=

15. 15

7.4 - Divisão

Uma das ideias associada à divisão é de quantas vezes um quantia cabe em outra.
Assim, se temos 2 dividido por ½, podemos nos perguntar quantas vezes ½ cabe em 2
inteiros. Fazendo alguns desenhos, descobrimos facilmente que 2 : ½ = 4.




E se for o contrário? Qual o valor de ½ : 2 ? Vamos colocar essa conta dentro
de um problema e buscar um modelo visual para chegar a essa resposta.
“O lanche de Gustavo na escola são duas 2 maçãs que ele leva de casa. Acontece que a
vasilha que ele tem para levar o lanche só comporta ½ maça. Que parte do lanche todo cabe
na vasilha?”
Em outras palavras (mais acessíveis), está sendo perguntado: o quanto de 2 cabe
em ½, ou seja, qual é o valor de ½ : 2?

Lanche:


Capacidade da vasilha:


A vasilha só tem capacidade para ¼ do lanche:




Logo, ½ : 2 = ¼, ou seja, somente ¼ de 2 cabe em ½.
½

½

½

½

16. 16

E se a divisão for entre duas frações, por exemplo, ½ : ¼ ? Podemos pensar da
mesma forma: quantas vezes ¼ cabe em ½? Vamos desenhar!





Podemos perceber claramente que ¼ cabe 2 vezes em ½, isto é, ½ : ¼ = 2.
A escolha de ½ e ¼ foi conveniente para que ficasse visível o resultado. Não
seria tão claro se fosse 1/3 : 2/5, mas ainda assim, seria possível fazer, bastando deixar
as duas frações com denominadores iguais:
1
3
=
5
15
e
2
5
=
6
15


Dos 6 pedaços de 6/15, apenas 5 deles cabem em 5/15, ou seja, 5 dos 6, isto é,
5/6. Assim, temos que:
1/3 : 2/5 = 5/15 : 6/15 = 5/6
Nesse ponto, vale a pena refletir se, como professores, devemos seguir essa
linha ou partir para a regra que aprendemos de repetir a primeira fração e multiplicar
pelo inverso da segunda fração.
Caso a decisão seja partir para a regra, é importante saber o que torna ela
válida. Vamos pedir auxílio à álgebra para entender:
2
3
:
3
5
=
23⁄
35⁄

Como não sabemos o resultado dessa divisão, vamos chamar de x.
23⁄
35⁄
=??????

17. 17

Multiplicando os dois membros por 3/5, temos:
3/5×
23⁄
35⁄
=??????×
3
5

Usando o cancelamento, encontramos:
3/5×
23⁄
35⁄
=??????×
3
5

2
3
=??????×
3
5

Agora vamos multiplicar os dois membros por 5/3.
2
3
×
5
3
=??????×
3
5
×
5
3

2
3
×
5
3
=??????×
15
15

2
3
×
5
3
=??????×1
2
3
×
5
3
=??????
Saímos de
2
3
:
3
5
=?????? e chegamos em
2
3
×
5
3
=??????, logo:

2
3
:
3
5
=
2
3
×
5
3


Nesse ponto é importante lembrar que o professor deve conhecer os detalhes do que
ensina. Não podemos ter nosso conhecimento baseado apenas no livro que usamos
para ensinar. É importante saber o que justifica as coisas que são explicadas no livro.

18. 18

Lista de exercícios 03


Questão 01 - O resultado de 9 : 1/9 é:
a) 1
b) 81
c) 1/18
d) 1/81
Questão 02 - O resultado de 7 x 8 x 9 x 1/7 x 1/8 x 1/9 é:
a) 0
b) 1
c) 504
d) 1/504
Questão 03 - Quatro pessoas comeram metade de uma pizza. Sabendo que comeram
partes iguais, cada pessoa comeu da pizza o equivalente a:
a) 1/4
b) 1/8
c) 1/6
d) 1/16
Questão 04 - (UniFOR) Se o triplo de um número é 18/5, então:
a) sua terça parte é 1/5.
b) sua metade é 2/5.
c) seu dobro é 12/5.
d) seu quádruplo é 4.
e) seu quíntuplo é 18.
Questão 05 - Qual o valor da divisão abaixo?