Fractales

Un lindo tema para investigar, cabe recalcar que los fractales los encontramos en todas partes.

1. Los fractales y el conjunto de Mandelbrot

En primer lugar y ya que hablaré de fractales, debes saber que el término
'fractal' lo acuñó Mandelbrot al hojear un diccionario de latín de su hijo al
fusionar las palabras fractus (romper) + fracture (fractura), dando pues una
función doble (sustantivo/adjetivo) a su creación. Fue el la IBM donde se
fraguó la teoría de la Geometría Fractal, tan bellamente representada por el
conjunto de Mandelbrot.


Un problema traía de cabeza a los técnicos de comunicaciones de la compañía
era el ruido en las líneas telefónicas que usaban para transmitir información en
su red de ordenadores. Ese ruido era insalvable, podían atenuarlo
amplificando la señal pero siempre aparecían las interferencias y con ellas los
errores continuos. Era como la radiación de fondo del Universo, siempre está
presente, no desaparece.

Este hecho llegó a oídos de Mandelbrot, y ni corto ni perezoso ideó un método
que describía la distribución errónea del flujo de información, el cual predecía
las observaciones pero que era incapaz de pronosticar el promedio de errores
por unidad de tiempo.

De hecho, en los periodos de aparición seguida de errores, por reducido que
fuera, había siempre periodos de transmisión limpia de ruidos.

Su intuición geométrica le llevó a descubrir una relación entre los periodos de

2. error y los periodos de transmisión limpia, una relación geométrica, por tanto
visual y que era fácilmente representable en un gráfico:

Mandelbrot vio reflejarse en el conjunto de Cantor los errores aparentemente
desordenados de las líneas de datos de IBM. Vio que era una muestra de
tiempo fractal y que extendiendo esta teoría a otros campos, la importancia del
término fractal ganaría la partida frente a los matemáticos ortodoxos que
pensaban en la geometría euclídea como forma ideal de belleza y como piedra
filosofal sobre la que giraba las matemáticas y físicas modernas.
Benoit Mandelbrot fue uno de tantos otros visionarios del caos y de los
fractales, que tuvo la suerte de ver realizados sus sueños al materializar su
engendro matemático y hacerle corresponder una realidad perteneciente a la
naturaleza. Esto es lo único que lo distingue de otros matemáticos que ya en el
siglo XIX se topaban con cualidades paradójicas e incomprensibles de ciertos
objetos surgidos de sus pasatiempos y quehaceres matemáticos y todo ello
gracias a una herramienta que le sirvió para tal fin a Mandelbrot: el ordenador.
Y es que a Mandelbrot le sobraban ordenadores ya que trabajaba en la IBM y
disponía a su alcance de una gran cantidad de recursos informáticos.

Quedará más y mejor explicado el concepto fractal con el artículo publicado
por Mandelbrot bajo el título de
¿Qué longitud tiene la costa de Bretaña?
Así a bote pronto y sin pensar detenidamente en ello, diríamos que la
respuesta es fácil. Tan simple como buscar el dato en la Espasa de ciento y
pico volúmenes.
Nada más lejos de la realidad. La medida dependerá de la exactitud y
precisión de la regla utilizada. Si usamos una regla de 1 metro tendremos una
aproximación a la longitud de la costa, pero como hay recovecos inferiores al
metro, contando que la regla no la podemos partir para precisar más en la
medida, nos encontramos con que el resultado es una mera aproximación.

3. ¿Y si la regla fuera de 1 cm? Pues la medida obtenida sería más exacta pero
no dejaría de ser una aproximación ya que la escala usada para medir es
arbitraria y podemos elegirla a nuestro gusto. Siempre podríamos optar por
una regla de un mm., o de la milésima parte de un mm., o tal vez de una
millonésima parte de mm., ..., es decir, siempre podemos escoger una escala
más pequeña.

Los egipcios medían en codos, unidad poco exacta, pero que bastaba y
sobraba para sus cálculos. Y aún así no deja de sorprendernos su cultura y el
trasfondo matemático que se 'huele' al ver una pirámide.

Nosotros hemos realizado un gran avance con el sistema decimal de
numeración y los sistemas de medidas, pero vamos a pensar que el espacio no
sólo se mide en metros, cm. o mm., si no que existirá siempre una unidad tan
pequeña como queramos y si la escala que escogemos es infinitesimal, la
longitud de la costa de Bretaña será .

Pensemos en un mapa mundi y en el contorno que vemos al fijarnos en la
costa gallega. Distinguimos líneas curvas que definen el contorno pero no
reflejan la realidad, pues su irregularidad no puede reflejarse en un trocito de
papel. Esa irregularidad la apreciaremos mejor en una foto tomada desde un
satélite geoestacionario y si vamos haciendo sucesivas ampliaciones
manteniendo el nivel de detalle, distinguiremos bahías, penínsulas, sub-bahías,
sub-penínsulas y así "hasta el  y más allá" ;-)

No es lo mismo que la medida sea tomada por un barco a través de un
recorrido físico, a que la realice una persona caminando por el litoral, ni a que
nos la diese un paciente caracol y mucho menos una pulga saltarina. Cada vez
obtendríamos una medida mayor que la anterior y su límite tendería al , pero
fíjate que el área que encierra dicha línea infinita seria finita y cuantificable
(ya volveremos a este tema particular en otro apartado).

El quid de la cuestión es la irregularidad o escabrosidad de los objetos que
tenemos a nuestro alrededor y esa escabrosidad la que nos imposibilita medir
las cosas tomando como referencia las 3 dimensiones del plano euclídeo, que
se muestra insuficiente para según que menesteres.

A partir de este momento, tú mismo ya que te interesas por el ámbito
científico, debes pensar que a las dimensiones enteras hay que añadirles las
fraccionarias e imbuidos en ellas están los objetos fractales.

Dimensión euclídea. Ejemplo: 0 Punto 1 Recta 2 Cuadrado 3 Cubo

4. La dimensión fraccionaria fractal mide el grado de escabrosidad y/o
discontinuidad de un objeto presentando un grado de irregularidad constante a
diferentes escalas. Al final resulta una irregularidad regular.

El grado de irregularidad de un objeto no es otra cosa que su eficacia para
ocupar espacio y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al
ocupar espacio, como la curva de Koch que tiene dimensión 1'2618, ya que es
un objeto a caballo entre la línea y la superficie. En cierta medida llega a
doblegar la dimensión y obtener más de ella, como lo hace la curva espacio-
tiempo en la Teoría de la Relatividad.

Un fractal es la forma idónea de ver lo infinito con el ojo de la mente, ya que
ésta no puede visualizar la infinita autoinclusión de la complejidad que reina
en él.

Hay multitud de ejemplos de fractales: el copo de nieve de Koch, el triángulo
de Sierpinski, la curva de Cesàro, la curva del Dragón, la de Hilbert, ... y todos
ellos se nos antojan criaturas extrañas y ... bellas, muestran una complejidad
regular y una autosemejanza interminable.

Con el artículo sobre la longitud de la costa de Bretaña, Mandelbrot volvió a
encontrarse con la cualidad de la autosemejanza, como en la curva de Koch y
el ruido de las líneas de teléfono.

Diariamente observamos multitud de objetos con un contorno liso que visto
con ojos fractales se tornará tan escabroso como queramos. Siempre han
estado entre nosotros: en los helechos, en nuestros pulmones, en las coles
(sino lo crees mira una con una lupa de aumento), en la red bronquial, en los
copos de nieve, en las cuencas hidrográficas, en las montañas, en el
crecimiento de ciertos vegetales, ...

5. Autosimilitud
La medición depende de la escala escogida para realizar la observación y en
los fractales esa escala significa autosimilitud. Autosimilitud tan perfecta que
sería imposible distinguir una instantánea de un fractal a escala 1 que otra
hecha a escala 200, simplemente por la autorrecurrencia que muestran los
objetos fractales, por su simetría dentro de una escala, por su pauta en el
interior de una pauta. Los objetos fractales están formados por copias más o
menos exactas de partes de sí mismos.

A pesar de que en el conjunto de Mandelbrot la autosimilitud no es exacta,
podemos observar que sí lo es en el conjunto de Cantor o el triángulo de
Sierpinski.



Teoría del Caos: Una Breve Introducción

¿Qué es exactamente el caos?. El nombre de “Teoría del Caos” viene del
hecho de que los sistemas que describe la teoría están aparentemente
desordenados, pero la Teoría del Caos en verdad busca el orden subyacente en
los datos aparentemente aleatorios.

6. ¿Cuándo se hizo el primer descubrimiento del Caos?. El primer verdadero
científico del Caos fue un meteorólogo, llamado Edward Lorenz. En 1960,
estaba trabajando en el problema de la predicción del tiempo. Tenía su
ordenador configurado con un conjunto de doce ecuaciones para modelar el
clima. No predecía el clima él mismo, sin embargo este programa de
ordenador teóricamente predecía qué tiempo podría hacer.
Un día en 1961, quería ver una secuencia en particular de nuevo. Para ganar
tiempo, comenzó a mitad de la secuencia, en lugar de en el principio.
Introdujo los números de su copia impresa y lo dejó ejecutando. Cuando
volvió una hora más tarde, la secuencia había evolucionado de forma distinta.
En lugar de obtener el mismo patrón de antes, divergía del patrón original
finalizando de una forma muy distinta. (Ver figura 1.). Finalmente
comprendió lo que había sucedido. El ordenador almacenó seis decimales en
su memoria. Al guardarlo en papel, sólo imprimió tres decimales. En la
secuencia original, el número era 0,506127, y sólo había escrito los tres
primero dígitos, 0,506.


Figura 1: El Experimento de Lorenz: La diferencia en el inicio de las dos
curvas es de solo 0,000127
(Ian Stewart, ¿Juega Dios a los dados?. Las Matemáticas del Caos, página 141
Según todas las ideas convencionales de aquella época, debería haber
funcionado. Debería haber obtenido una secuencia muy cercana a la secuencia
original. Un científico podía considerarse afortunado si era capaz de conseguir
medidas con una precisión de 3 decimales. Seguramente el cuarto y el quinto,
imposibles de medir usando métodos razonables, no podían tener un gran
efecto en el resultado del experimento. Lorenz probó que esta idea era
errónea.

7. Este efecto comenzó a conocerse como efecto mariposa. La diferencia entre
los puntos iniciales de las dos curvas era tan pequeña que podía compararse a
una mariposa batiendo sus alas. El batir de las alas de una simple mariposa
hoy produce un minúsculo cambio en el estado de la atmósfera. Durante un
periodo de tiempo, la atmósfera en efecto divergiría de lo que habría hecho.
Por tanto, en el tiempo de un mes, un tornado que habría devastado la costa de
Indonesia no tuvo lugar. O puede que si no fuese a suceder, lo hiciera. (Ian
Stewart, ¿Juega Dios a los dados? Las Matemáticas del Caos, página 141)
Este fenómeno, común en la Teoría del Caos, es también conocido como
dependencia sensible de las condiciones iniciales. Solo un pequeño cambio en
las condiciones iniciales puede cambiar drásticamente el comportamiento a
largo plazo de un sistema. Esta pequeña diferencia en la medida podría ser
considerada como ruido experimental, ruido de fondo o una inexactitud del
equipo. Tal tipo de cosas son imposibles de eliminar incluso en los
laboratorios más aislados. Empezando con un valor de 2, el resultado final
puede ser completamente distinto para el mismo sistema con un valor inicial
de 2,000001. Es simplemente imposible alcanzar este nivel de precisión –
¡sólo intenta medir algo que es cerca de una millonésima de centímetro!.

A partir de esta idea, Lorenz indicó que era imposible predecir el clima de
forma precisa. Sin embargo, este descubrimiento llevó a Lorenz a otros
aspectos que más tarde serían conocidos como Teoría del Caos. Lorenz
comenzó a buscar un sistema más simple que tuviese dependencia sensible de
las condiciones iniciales. Su primer descubrimiento tenía doce ecuaciones, y
él quería una versión mucho más simple que aún conservara este atributo.
Tomó las ecuaciones de la convección, las desarmó y las hizo increíblemente
simples. El sistema no tenía nada que ver con la convección, pero tenía las
mismas dependencias sensibles de las condiciones iniciales, y solo tenía tres
ecuaciones esta vez. Más tarde, se descubrió que sus ecuaciones describían de
forma precisa un remolino de agua.
Desde arriba, el agua cae sin cesar en contenedores que cuelgan sobre el borde
del remolino. Cada contenedor gotea constantemente a través de un pequeño
agujero. Si la corriente de agua es lenta, el contenedor de arriba nunca llenará
lo bastante rápido para superar la fricción, pero si la corriente es más rápida, el
peso comenzará a girar el remolino. La rotación puede volverse continua. O si
la corriente es tan rápida que los contenedores pesados se balancean en el otro
sentido, el remolino entonces se hará más lento, para, e invierte su rotación,
girando primero en un sentido y luego en otro. (James Gleick, Caos – Creando
una Nueva Ciencia, página. 29)
Las ecuaciones para este sistema también parecían dar un comportamiento
completamente aleatorio. Sin embargo, cuando realizó los gráficos, sucedió
algo sorprendente. La salida siempre permanecía en una curva, una espiral

8. doble. Había solo dos clases de órdenes previamente conocidos: el estado fijo,
en el que las variables nunca cambian, y el comportamiento periódico, en el
que el sistema entra en un bucle, repitiéndose de forma indefinida. Las
ecuaciones de Lorenz definitivamente tenían un orden – siempre seguían una
espiral. No se podía situar un punto simple, pero dado que no se repetía lo
mismo, tampoco eran periódicas. A la imagen que obtuvieron al trazar el
gráfico de las ecuaciones la llamaron atractor de Lorenz. (Ver figura 2)

Figura 2: El atractor de Lorenz (James Gleick, Caos – Creando una Nueva
Ciencia, página 29)
En 1963, Lorenz publicó un artículo describiendo lo que había descubierto.
Incluyó la impredicibilidad del clima, y discutió los tipos de ecuaciones que
causaban este tipo de comportamiento. Por desgracia, la única revista en la
que estaba capacitado para publicar era una revista de meteorología, ya que
era un meteorólogo, no un matemático ni un físico. Como resultado, los
descubrimientos de Lorenz no obtuvieron su reconocimiento hasta años más
tarde, cuando se redescubrieron por otros. Lorenz había descubierto algo
revolucionario; ahora tenía que esperar a que alguien lo descubriese a él.
Otro sistema en el que la dependencia sensible de las condiciones iniciales es
evidente es en el lanzamiento de una moneda. Hay dos variables en el
lanzamiento de una moneda: el tiempo que tarda en golpear el suelo, y la
velocidad a la que es lanzada. Teóricamente, debería ser posible controlar

9. estas variables completamente y controlar cómo terminará la moneda. En la
práctica, es imposible controlar exactamente la velocidad a la que se lanza la
moneda y la altura que alcanza. Es posible poner las variables dentro de un
cierto rango, para es imposible controlarlo lo suficiente como para conocer el
resultado final del lanzamiento de la moneda.

Un problema similar tiene lugar en la ecología, y la predicción de las
poblaciones biológicas. La ecuación sería simple si la población sólo creciera
de forma indefinida, pero los efectos de los predadores y un suministro de
alimento limitado hacen esta ecuación incorrecta. La ecuación más simple que
tiene esto en cuenta es la siguiente:

Población del año siguiente = r * población de este año * (1 – población de
este año)

En esta ecuación, la población es un número entre 0 y 1, donde 1 representa el
máximo de población posible y el 0 la extinción. R es la tasa de crecimiento.
La pregunta era, ¿Cómo afectan estos parámetros a la ecuación?. La respuesta
obvia es que una mayor tasa de crecimiento implica que un aumento en la
población, mientras que una menor tasa de crecimiento decrementará el
número. Esta tendencia es cierta para algunas tasas de crecimiento, pero no
para todas ellas.
Un biólogo, Robert May, decidió ver qué sucedía con las ecuaciones cuando
cambiaba el valor de la tasa de crecimiento. A valores bajos de tasa de
crecimiento, la población se establecería en un único número. Por ejemplo, si
la tasa de crecimiento es 2,7, la población se establecerá en 0,6292. Cuando se
incrementa la tasa de crecimiento, la población final se incrementaría también.
Entonces, sucedió algo extraño. Tan pronto como la tasa de crecimiento
pasaba de 3, la línea se rompía en dos. En lugar de establecerse en una única
población, saltaría entre dos poblaciones distintas. Tendría un valor para un
año, otro para el siguiente, repitiendo el ciclo para siempre. Incrementar la
tasa de crecimiento un poco más provocó que saltara entre cuatro valores
distintos. Cuando el parámetro crecía aún más, la línea se bifurcaba de nuevo.
Las bifurcaciones llegaban más y más rápidamente hasta que de pronto,
aparecía el caos. Pasada una cierta tasa de crecimiento, se hacía imposible
predecir el comportamiento de la ecuación. Sin embargo, bajo una inspección
más detallada, es posible ver líneas claras. Mirando más de cerca, estas líneas
revelan pequeñas ventanas de orden, donde la ecuación va a través de las
bifurcaciones de nuevo antes de volver al caos. Esta auto-similitud, el hecho
de que el gráfico tenga una copia exacta de sí mismo oculta en su interior,
viene a ser un aspecto importante del caos.

10. Figura 3: El diagrama de bifurcación para la ecuación de poblaciones. (James
Gleick, Caos – Creando una Nueva Ciencia, página 71)
Un empleado de IBM, Benoit Mandelbrot era un matemático que estudiaba
esta auto-similitud. Una de las áreas que estaba estudiando era la fluctuación
en el precio del algodón. No importa como se analizaran los datos de los
precios del algodón, los resultados no se ajustaban a la distribución normal.
Mandelbrot finalmente obtuvo todos los datos disponibles de los precios del
algodón, desde el año 1900. Cuando analizó los datos en los ordenadores de
IBM, observó un hecho asombroso:
Los números que producen aberraciones desde el punto de vista de la
distribución normal producen simetría desde el punto de vista de la escala.
Cada cambio de precio particular era aleatorio e impredecible. Pero la
secuencia de los cambios era independiente de la escala: las curvas para los
cambios del precio diario y mensual encajaban perfectamente. Increíblemente,
analizados de la forma de Mandelbrot, el grado de variación había
permanecido constante a través del tumultuoso periodo de sesenta años que
pasaba por dos Guerras Mundiales y una depresión. (James Gleick, Caos –
Creando una Nueva Ciencia, página. 86)

11. Mandelbrot no sólo analizó los precios del algodón, sino muchos otros
fenómenos también. En uno de ellos, se preguntaba por la longitud de una
línea costera. Un mapa de una línea de costa muestra muchos entrantes. Sin
embargo, al medir la longitud de una línea costera en un mapa perderemos los
entrantes que son demasiado pequeños para mostrarse en el mapa. De igual
modo, caminando a lo largo de la costa perdemos los microscópicos entrantes
que hay entre los granos de arena. No importa lo mucho que se amplíe una
línea costera, siempre habrá más entrantes visibles si la ampliamos más.
Un matemático, Helge von Koch, captó esta idea en una construcción
matemática llamada curva de Koch. Para crear una curva de Koch, imagina un
triángulo equilátero. En el tercio central de cada lado, añade otro triángulo
equilátero. Sigue añadiendo nuevos triángulos en la parte central de cada lado,
y el resultado es una curva de Koch. (Ver figura 4). Una ampliación de la
curva de Koch tendría el mismo aspecto que el original. Es otra figura auto-
similar.

Figura 4: La curva de Koch. (James Gleick, Caos – Creando una Nueva
Ciencia, página 99)
La curva de Koch nos brinda una interesante paradoja. Cada vez que
añadimos nuevos triángulos a la figura, la longitud de la línea se hace mayor.
Sin embargo, el área interior a la curva de Koch permanece menor que el área
de un círculo dibujado alrededor del triángulo original. Esencialmente, es una
línea de longitud infinita que rodea un área finita.
Para evitar esta dificultad, los matemáticos inventaron las dimensiones
fractales. Fractal viene de la palabra fraccional. La dimensión fractal de la
curva de Koch está sobre el 1,26. Una dimensión fraccional es imposible de
concebir, pero tiene sentido. La curva de Koch tiene más desigualdades que
una curva lisa o una línea, que tienen una dimensión. Dado que tiene más
desigualdades y es más arrugada, es mejor para contener espacio. Sin
embargo, no es tan buena para llenarla de espacio como puede ser un

12. cuadrado de dos dimensiones, debido a que en verdad no tiene área. Por tanto
tiene sentido que la dimensión de una curva de Koch esté en algún lugar entre
uno y dos.
Fractal ha llegado a significar cualquier imagen que muestre el atributo de la
auto-similitud. El diagrama de bifurcación de la ecuación de poblaciones es
fractal. El Atractor de Lorenz es fractal. La curva de Koch es fractal.
Durante este tiempo, los científicos encontraron muchas dificultades para
obtener publicaciones de sus trabajos sobre el caos. Dado que no habían
mostrado aún relevancia en situaciones del mundo real, la mayoría de los
científicos no pensaban que los resultados de los experimentos en el caos
fuesen importantes. Como resultado, incluso aunque el caos es un fenómeno
matemático, la mayoría de las investigaciones en el caos se hicieron por
personas de otras áreas como la meteorología y la ecología. El campo del caos
creció rápidamente como un pasatiempo para los científicos que trabajaban en
problemas que tal vez tenían algo que ver con él.

Más tarde, un científico llamado Feigenbaum estaba mirando de nuevo el
diagrama de bifurcación. Miraba la velocidad a la que llegaban las
bifurcaciones. Descubrió que aparecían a una tasa constante. La calculó como
4,669. En otras palabras, descubrió la escala exacta a la que eran auto-
similares. Haz el diagrama 4,669 veces menor, y aparece igual a la siguiente
región de bifurcaciones. Decidió mirar otras ecuaciones para ver si era posible
determinar factores de escala también para ellas. Para su total sorpresa, el
factor de escala era exactamente el mismo. No solo esta compleja ecuación
mostraba regularidad, la regularidad era exactamente la misma con una
ecuación mucho más simple. Hizo el intento con muchas otras funciones, y
todas ellas produjeron el mismo factor de escala, 4,669.

Este fue un descubrimiento revolucionario. Había encontrado que una clase
entera de funciones matemáticas se comportaban del mismo modo predecible.
Esta generalización ayudaría a otros científicos a analizar fácilmente
ecuaciones caóticas. La generalización dio a los científicos las primeras
herramientas para analizar un sistema caótico. Ahora simplemente podían usar
una ecuación simple para predecir el resultado de una ecuación más
compleja.

Muchos científicos exploraban ecuaciones que creaban ecuaciones fractales.
La imagen fractal más famosa es también una de las más simples. Es también
conocida como el conjunto de Mandelbrot (imágenes del conjunto de
Mandelbrot). La ecuación es simple: z = z2+c. Para ver si un punto es parte
del conjunto de Mandelbrot, simplemente toma un número complejo z.
Elévalo al cuadrado, y súmalo al número original. Eleve al cuadrado el
resultado, y súmalo al número original. Repite esto hasta el infinito, y si los

13. números que obtienes tienden a infinito, no es parte del conjunto de
Mandelbrot. Si se mantienen por debajo de un cierto nivel, es parte del
conjunto de Mandelbrot. El conjunto de Mandelbrot es la sección más interna
del dibujo, y cada distinta sombra gris representa lo alejado que está ese punto
en particular. Una característica interesante del conjunto de Mandelbrot es que
los montículos circulares encajan con el gráfico de bifurcación. El fractal de
Mandelbrot tiene la misma auto-similitud vista en las otras ecuaciones. De
hecho, ampliando en profundidad lo suficiente un fractal de Mandelbrot
finalmente aparecerá una réplica exacta del conjunto de Mandelbrot, perfecto
en cada detalle.

Las estructuras fractales se han revelado en muchas áreas del mundo real,
además de en la mente de los matemáticos. Las ramificaciones de los vasos
sanguíneos, las ramas de un árbol, la estructura interna de los pulmones, los
gráficos de datos del mercado de valores, y muchos otros sistemas del mundo
real tienen todos algo en común: son todos auto-similares.

Científicos de la UC Santa Cruz encontraron caos en el goteo del agua de un
grifo. Tomando datos de un grifo que gotea y tomando datos de los periodos
de tiempo, descubrieron que a cierta velocidad de flujo, el goteo no tenía lugar
en tiempos iguales. Cuando realizaron los gráficos de los datos, descubrieron
que el goteo en efecto seguía un patrón.

El corazón humano también sigue un patrón caótico. El tiempo entre latidos
no se mantiene constante; depende de la actividad que la persona está
realizando, entre otras cosas. Bajo ciertas condiciones, el latido puede
acelerarse. Bajo condiciones distintas, el corazón late de forma errática.
Podría incluso llamarse latido caótico. El análisis del latido puede ayudar a los
investigadores médicos a encontrar formas de colocar un latido anormal de
nuevo en un estado seguro, en lugar del caos incontrolado.

Los investigadores descubrieron un conjunto simple de tres ecuaciones que
dibujaba un helecho. Esto inició una nueva idea – tal vez el ADN no
codificaba exactamente el crecimiento de las hojas, sino una fórmula que
controlaba su distribución. El ADN, incluso aunque mantiene una
sorprendente cantidad de datos, no puede mantener todos los datos necesarios
para determinar dónde va cada célula del ser humano. Sin embargo, usando
fórmulas fractales para controlar como crear nuevas fibras nerviosas y vasos
sanguíneos, el ADN tiene información más que suficiente. Se ha especulado
que el cerebro mismo podría estar organizado de alguna forma de acuerdo con
las leyes del caos.

El caos tiene aplicaciones incluso fuera de la ciencia. El arte digital se ha
transformado en algo más realista a través del uso del caos y los fractales.
Ahora, con una simple fórmula, un ordenador puede crear un hermoso, y

14. realista árbol. En lugar de seguir un patrón regular, la corteza del árbol puede
crearse de acuerdo con una fórmula que casi, pero no del todo, se repite.

La música también puede crearse usando fractales. Usando el Atractor de
Lorenz, Diana S. Dabby, una estudiante graduada en ingeniería eléctrica en el
Instituto Tecnológico de Massachusetts, ha creado variaciones de temas
musicales. ("Bach to Chaos: Chaotic Variations on a Classical Theme",
Science News, 24 de Diciembre de 1994). Asociando las notas musicales de
una pieza de música como el Preludio de Bach en C con las coordenadas x del
atractor de Lorenz, y ejecutándolo en un programa de ordenador, creó
variaciones del tema de la canción. La mayoría de los músicos que escucharon
los nuevos sonidos creyeron que las variaciones eran muy musicales y
creativas.

El Caos ha tenido ya un efecto duradero en la ciencia, y aún queda mucho por
descubrir. Muchos científicos creen que la ciencia del Siglo XX será conocida
solo por tres teorías: la relatividad, la mecánica cuántica y el caos. Los
aspectos del caos se nos muestran en todos los lugares del mundo, desde las
corrientes de los océanos al flujo de la sangre a través de los vasos
sanguíneos, las ramas de los árboles y los efectos de turbulencias. El caos se
ha convertido de forma ineludible en parte de la ciencia moderna. Como el
caos cambió de una teoría poco conocida a una ciencia completa en sí misma,
ha recibido una generalizada publicidad. La teoría del caos ha cambiado la
dirección de la ciencia: a los ojos del público general, la física no es tan solo
simplemente el estudio de partículas subatómicas en un acelerador de
partículas de mil millones de dólares, sino el estudio de sistemas caóticos y
cómo trabajan.

Autor: Gregory Rae
Traductor: Manuel Hermán
Enlace: http://www.imho.com/grae/chaos/chaos.html