Fucion exp y log

1. FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES EXPONENCIALES
Y LOGARÍTMICAS Y LOGARÍTMICAS

2. Definición de función.
•X

Función
f(x)

3. •Una función f es una regla
de correspondencia que asocia
a cada objeto x de un
conjunto llamado dominio un
valor único f (x) de un
segundo conjunto. El conjunto
de valores así obtenidos se
llama rango de la función.

4. •Notación funcional :
Se usa una sola letra como f o
g o
F para denominar una
función.
Entonces , f (x) que se lee “f de
x” o
“ f en x” , designa el valor que f
asinga a x.

5. Las funciones Reales:
•Definición:
Se llama función real a toda
función D—IR, siendo D un
subconjunto de IR.

6. 1. Funciones exponenciales.
•Una función exponencial es una función cuya expresión es
siendo la base a un número real positivo y distinto de 1.
•Distinguimos dos casos:
x
y a=
a 1> 0 a 1< <

7. Propiedades de f(x) = a
x
,
a>0, a diferente de uno:
• 1)  Todas las gráficas intersecan en el
punto (0,1).
•2)  Todas las gráficas son continuas, sin
huecos o saltos.
•3)  El eje de x es la asíntota horizontal.
•4)  Si  a > 1 (a, base), entonces a
x
 aumenta
conforme aumenta x.
•5)  Si  0 < a < 1, entonces a
x
 disminuye
conforme aumenta x.
•6)  La función f es una función uno a uno.
• 

8. Propiedades de las funciones
exponenciales:  Para a  y  b positivos, donde a y b son
diferentes de uno y  x, y  reales:
•1) Leyes de los exponentes:
•    

9. •2)  a
x
 = a
y
  si y sólo si  x = y
•Para x diferente de cero, entonces
a
x
 = b
x  
si y sólo si  a = b.
• Ejemplo para discusión:  Usa las
propiedades para hallar el valor de x
en las siguientes ecuaciones:
• 
•1)  2
x
 = 8
•2)  10
x
 = 100
•3)  4
 x - 3
 = 8
•4)   5 
2 - x
 = 125
• 

10. •Ejercicio de práctica:  Halla el valor
de x:
• 
•1)  2
x
 = 64
•2)  27 
x + 1
 = 9

11. x y
-4 0,2
-3 0,3
-2 0,44
-1 0,67
0 1
1 1,5
2 2,25
3 3,375
4 5,06
a 1>
x
3
f(x)
2
æ ö
=
ç ÷
è ø

12. x y
-4 0,0625
-3 0,125
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
a 1>
x
f(x) 2=

13. x y
-4 0,012
-3 0,037
-2 0,11
-1 0,3
0 1
1 3
2 9
3 27
4 81
a 1>
x
f(x) 3=

14. x y
-4 39,1
-3 15,625
-2 6,25
-1 2,5
0 1
1 0,4
2 0,16
3 0,064
4 0,0256
0 a 1< <
x
2
f(x)
5
æ ö
=
ç ÷
è ø

15. x y
-4 16
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 0,5
2 0,25
3 0,125
4 0,0625
0 a 1< <
x
1
f(x)
2
æ ö
=
ç ÷
è ø

16. x y
-4 5,06
-3 3,375
-2 2,25
-1 1,5
0 1
1 0,67
2 0,44
3 0,3
4 0,2
0 a 1< <
x
2
f(x)
3
æ ö
=
ç ÷
è ø

17. En general si
•Dominio: R
•Recorrido
•Monotonía Estrictamente creciente
•Acotación Acotada inferiormente por 0
•Puntos de corte con los ejes Y (0,1)
X ninguno
a 1>
(0, )+¥
®
®

18. En general si
•Dominio R
•Recorrido
•Monotonía Estrictamente decreciente
•Acotación Acotada inferiormente por 0
•Puntos de corte con los ejes Y (0,1)
X ninguno
0 a 1< <
(0, )+¥
®
®

19. Función exponencial natural:Función exponencial natural:
Es la función exponencial cuya base es igual a
“e”, donde e = 2.71828…La notación e para
este número fue dada por Leonhard Euler
(1727). 
xe
x
-20.14
-10.37
01
12.72
27.39
320.01
x
f(x)
-2-1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
Definición:  Para un número real x,  la ecuación f(x) = e
x
  
define a la función exponencial de base e.
 

20. •El dominio es el conjunto de los números reales y
el rango es el conjunto de los números reales
positivos.
•La función  f(x) = e
x 
 es una  función exponencial
natural.  Como 2<e<3, la gráfica de
•f(x) = e
x
  está entre f(x) = 2
x
  y  f(x) = 3
x
, como se
ilustra a continuación:

21. •En la simplificación de expresiones exponenciales
y en las ecuaciones exponenciales con
base e usamos las mismas propiedades de las
ecuaciones exponenciales con base b.
• Ejemplos:  Simplifica.
• 
• 
•Ejemplo:  Halla el valor de x en  e 
x + 1
  =  e 
3x - 1
• 
•Práctica:
• 1)  Simplifica:  (e 
3x + 1
) /(e 
2x – 5
)
•2)  Halla el valor de x en  e
3x – 4
 =  e
2x
• 

22. Aplicaciones
•La función exponencial sirve para describir
cualquier proceso que evolucione de modo que
el aumento (o disminución) en un pequeño
intervalo de tiempo sea proporcional a lo que
había al comienzo del mismo.
•A continuación se ven tres aplicaciones:
Crecimiento de poblaciones.
Interés del dinero acumulado.
Desintegración radioactiva.

23. Interés compuesto
En el interés compuesto los intereses producidos por un capital, Co
se van acumulando a éste, de tiempo en tiempo, para producir
nuevos intereses.
•Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se
acumulan al capital, se llaman periodos de capitalización o de
acumulación. Si son t años, r es el rédito anual (interés anual en
%) el capital final
•obtenido viene dado por la fórmula:
Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12 si meses,
n=4 si trimestres, n=365 si días,...) la fórmula anterior
queda:

25. Crecimiento de poblaciones
•El crecimiento vegetativo de una población viene
dado por la diferencia entre nacimientos y
defunciones. Si inicialmente partimos de una
población Po, que tiene un índice de crecimiento i
(considerado en tanto por 1), al cabo de t años se
habrá convertido en

26. Desintegración radiactiva
•Las sustancias radiactivas se desintegran
con el paso del tiempo. La cantidad de una
cierta sustancia que va quedando a lo largo
del tiempo viene dada por:
La rapidez de desintegración de las sustancias
radiactivas se mide por el “periodo de
desintegración” que es el tiempo en que tarda en
reducirse a la mitad.

28. 2. Funciones logarítmicas.
•Definición de logaritmo
•Una función logarítmica es una función cuya expresión es:
siendo la base a un número real positivo y distinto de 1.
•Distinguimos dos casos:
a 1> 0 a 1< <
y
a
axxlogy =Û=
ay log x=

29. x y
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
16 4
a 1> 2
f(x) log x=

30. x y
1/27 -3
1/9 -2
1/3 -1
1 0
3 1
9 2
27 3
a 1> 3
f(x) log x=

31. x y
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
16 -4
0 a 1< <
1
2
f(x) log x=

32. x y
8/27 3
4/9 2
2/3 1
1 0
3/2 -1
9/4 -2
27/8 -3
0 a 1< <
2
3
f(x) log x=

33. En general si
•Dominio
•Recorrido R
•Monotonía Estrictamente creciente
•Acotación No está acotada
•Puntos de corte con los ejes Y (1,0)
X ninguno
a 1>
(0, )+¥
®
®

34. En general si
•Dominio
•Recorrido R
•Monotonía Estrictamente decreciente
•Acotación No está acotada
•Puntos de corte con los ejes Y (1,0)
X ninguno
0 a 1< <
(0, )+¥
®
®

35. a 1>

36. 0 a 1< <

37. 3. Logaritmo de un número.
•El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y
distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la
base para obtener el número m dado:
•Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y
se expresan por log en vez de log
10
, es decir:
•Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y
se expresan por ln o L en vez de log
e
, es decir:
z
a amzmlog =Û=
mlogmlog
10
=
e
log m lnm Lm= =

38. Ejemplos.
2
porque 100 10=
4
porque 9 ( 3)=
31
porque 10
1000
-
=
3
1
porque 8
2
-
æ ö
=
ç ÷
è ø
1
porque e e=
4
porque 81 3=
4
log 100=2
3
log 9=4
1
log
1000
=3-
ln e=1
3
log 81=
1
2
log 8=3-

39. Calcular por la definición de logaritmo el valor de y :

40. Propiedades.
•El logaritmo de la unidad es cero:
•El logaritmo de la base es uno:
•Ejemplos : log 10 = 1 , ln e = 1
•El logaritmo de una potencia de la base es el exponente:
•Ejemplo
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de sus factores:
01log
a=
1alog
a=
xalog
x
a=
a a a alog (x y ... z) log x log y ... log z× × × = + + +

41. Casos especiales:

42. Propiedades.
•El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo
menos el logaritmo del divisor:
•El logaritmo de una potencia es igual al exponente
multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia:
•El logaritmo en base a de un número se transforma en el
logaritmo en otra base mediante:
ylogxlog
y
x
log
aaa
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x·logyxlog
a
y
a
=
alog
xlog
xlog
b
b
a
=

43. 4. Ecuaciones exponenciales.
•Una ecuación es exponencial cuando la incógnita
aparece en el exponente de una potencia.
•Nos podemos encontrar distintos tipos de
ecuaciones exponenciales:
-Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias
de igual base.
-Ecuaciones resolubles por cambio de variable.

44. Ejemplos.
Se busca una base común para todos los números que
aparecen:
Se opera:
Se igualan los exponentes:
Se resuelve:
20482·4
x3
=
2 3x 11
2 ·2 2=
2 3x 11
2 2
+
=
2 3x 11+ =
3x 9=
x 3=

45. Ejemplos.
Se hace un cambio de variable:
Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de
variable que vamos a realizar:
Queda:
Se opera:
Se deshace el cambio:
Se resuelve:
13333
2x1xx
=++
--
x 2
t 3
-
=
2 x 2 x 2 x 2
3 ·3 3·3 3 13
- - -
+ + =
9t 3t t 13+ + =
13t 13= t 1=
x 2
1 3
-
=
x 2=
Þ
Û
0 x 2
3 3
-
=
x 2 0- =

46. Ejemplos.
Se hace un cambio de variable:
Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de
variable que vamos a realizar:
Queda:
Se resuelve:
Se deshace el cambio:
x x
9 18 11·3+ =
x
t 3=
()
x
2 x
3 18 11·3+ =
()
2
x x
3 18 11·3+ =
2
t 18 11t+ =
2
t 11t 18 0- + =
1
t 2=
2
t 9=
Û
x
3 2= 3x log 2=Þ
x
3 9= Þx 2=

47. 5. Sistemas de ecuaciones exponenciales.
•Un sistema de ecuaciones es exponencial si al
menos una de sus ecuaciones es exponencial.
•Nos podemos encontrar distintos tipos de
sistemas de ecuaciones exponenciales:
-Sistemas en los que una o más ecuaciones son
reducibles a una igualdad de potencias con la
misma base.
-Sistemas en los que una o más ecuaciones son
resolubles por cambio de variable.

48. Ejemplos.
Se reducen las igualdades a potencias de la misma base
Se opera con las potencias:
Se resuelve el sistema por alguno de los métodos conocidos:
ï
þ
ï
ý
ü
=
=
16
2
2
322·2
y5
x3
y2x
yx 5
5y3x 4
2 ·2 2
2 :2 2
ü=ï
ý
=ïþ
x 2y 5
3x 5y 4
+ = ü
ý
- =
þ
x 3= y 1=
x 2y 5
3x 5y 4
2 2
2 2
+
-
ü=ï
ý
=ïþ
Þ

49. Ejemplos.
Se hacen los cambios de variable:
Se resuelve el sistema (por reducción por ejemplo):
Se deshace el cambio de variable efectuado al principio:
yx 1
yx 1
3·(5·5 ) 2·(6·6 ) 807
15·5 6 339
-
-
ü+ = ï
ý
- = ïþ
x 3= y 2=
Þ
ï
þ
ï
ý
ü
=-
=+
-
+
33965·15
8076·25·3
y1x
1yx
x 1
a 5
-
=
y
b 6=
3·5a 2·6b 807
15·a b 339
+ = ü
ý
- =
þ
Þ
15a 12b 807
15a b 339
+ = ü
ý
- =
þ
b 36= a 25=
x 1
a 5
-
=
x 1
25 5
-
=
2 x 1
5 5
-
=
2 x 1= -
y
36 6=
y
b 6=
y2
6 6=

50. 6. Ecuaciones logarítmicas.
•Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita
aparece afectada por un logaritmo.
•Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas
anteriormente de los logaritmos.
01log
a
=
1alog
a
=
xalog
x
a
=
zlog...ylogxlog)z·...·y·x(log
aaaa +++=
ylogxlog
y
x
log
aaa
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x·logyxlog
a
y
a
=

51. Ejemplos.
2 log x – log (x-16) = 2
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.
1
x 80=
2x 20=
Þ
Þ
( )
2
log x log x 16 2- - =
2
x
log log 100
x 16
æ ö
=ç ÷
-è ø
2
x
100
x 16
=
-
2
x 100x 1600 0- + =
100 10000 4·1600
x
2
± -
=
100 3600
x
2
±
= =
100 60
2
±
=

52. Ejemplos.
log (x+1) = log (5x-13) – log (x-3)
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que x
2
=2 no es
válida, ya que aparece el logaritmo de un número negativo
que no existe. Por tanto la única solución es x = 5.
1x 5=
2x 2=
Þ
( )
5x 13
log x 1 log
x 3
-æ ö
+ =
ç ÷
-è ø
5x 13
x 1
x 3
-
+ =
-
2
x 2x 3 5x 13- - = -
7 49 4·10
x
2
± -
= =
7 9
2
±
=
7 3
2
±
=
2
x 7x 10 0- + =Þ

53. Ejemplos.
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.
1
x 3=
2
1
x
3
=
Þ
( ) ( )
2
log 2 log 11 x 2·log 5 x+ - = -
2 2
22 2x 25 x 10x- = + -
10 100 4·3·3
x
2·3
± -
= =
10 64
6
±
=
10 8
6
±
=
2
3x 10x 3 0- + =
2
)x5log(
)x11log(2log
2
=
-
-+
( )( ) ( )
22
log 2· 11 x log 5 x- = -

54. 7. Sistemas de ecuaciones logarítmicas.
•Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos,
una de sus ecuaciones es logarítmica.
•Sistemas en los que una de las ecuaciones es logarítmica.
Se resuelven convirtiendo la ecuación logarítmica en
algebraica.
•Sistemas en los que las dos ecuaciones son logarítmicas.
Se pueden resolver por reducción o convirtiendo cada
ecuación logarítmica en algebraica. Para resolverlas
aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los
logaritmos.

55. Ejemplos.
Resolviendo:
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
y 2=
x 20=
Þ
x y 22
x
10
y
+ = ü
ï
ý
=
ï
þ
x y 22
x 10y
+ = ü
ý
=
þ
10y y 22+ =
x 10y=
x y 22
x
log log 10
y
+ = ü
ï
ý
=
ï
þ
x y 22
log x log y 1
+ =ì
í
- =
î
Þ
Þ
Þ

56. Ejemplos.
Resolviendo:
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
y 4=
x 7=x 11 y= -
2 2
x y 33
x 11 y
ì- =ï
í
= -ïî
Þ
Þ
Þ
yx 11
log (x y) log (x y) log 33
2 ·2 2
+ + - =ìï
í
=ïî
( )
x y 11
log (x y)·(x y) log 33
2 2
+
ì + - =ï
í
=ïî
( )(x y)·(x y) 33
x y 11
ì+ - =ï
í
+ =ïî
( )
2 2
11 y y 33- - =
2 2
121 y 22y y 33+ - - =
22y 88- = -

57. Ejemplos.
Resolviendo:
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
1
y
10
=
x 100=
Þ
5 5
7
100
y 10
10
-
= =
7
5
100
10
y
=
x.y 10=
2
7
3
x
10
y
10
x
y
ü
=
ï
ï
ý
ï
=
ï
þ
( )
2 3
log x log y 7
log x·y log 10
ì - =ï
í
=ïî
Þ
Þ
Þ
2log x 3log y 7
log x log y 1
- =ì
í
+ =
î
2
7
3
x
log log 10
y
x·y 10
ì
=ï
í
ï
=
î
Þ

58. Ejemplos.
Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
1
y
10
=
x 100=
Þ
Þ
Þ
Þ
2log x 3log y 7
log x log y 1
- =ì
í
+ =
î
Þ
log x 1 log y= -
( )2 1 log y 3logy 7- - = 2 2log y 3logy 7- - =
5log y 5- = log y 1= -
1
y 10
-
=
log x 1 log y= - ()log x 1 1 2= - - =