Funções, Equações e Inequações Trigonométricas

trigonometria

1. MATEMÁTICA
EE

Integrate do ut Pariclaros oie de IESOEBRASIL SA
ana eau can Se

2. 000207 SDE Baa SA € pa A o ger pn son ct Goo

1229 IESDERRSIIS.A. / Prévesibular/ IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil SA. 2009. [Livo do Profesor]
won.

ISBN: 978.85.3

1. Présesibolar. 2, Educagio. 3, Eso ¢ Enso, 1, Tito

cpp oz

Disciplinas Autores

ne Pots Frm Mons ss

min
ae,
EN
mee
is ds
poes
pen er
oo
pa Ben

Pie SH. SO
ol

‘Rais Permet ane ut co

4. ee

elas on-ine do IESOEBRASIL SA

5. ÄTEMÄTICA

gilet
wn

Funcoes
tr igonometri 1Cas,
equacoes e
Inequacoes
trigonométricas

Avordagen Tbrca

== sin
Redugäo do 2.° ao 1°
quadrante

6. Irene

Förmulas
de adigäo e diferenga

Conhocas as fungis uigoncmétrca de dois
cos de medidas ae, vamos ober fórmulas pata.
‘nour as fans tigom métis da soma (a + D)
du dfrenga (aD)

Cosseno da soma

Mo ciclo, construeos dis arcos AC e BD que
Dosouem a mesma medida, portant, as cordas
RE oD sho quo.

‘As coordenadas dos pontos A,B,C o Dem tear

Reduçäo do 4° ao 1.° soso sirena ctenana mos Ali).
dents "oo asa), cola + by sena + Be
guadıamı Diesat-bi sent-bi = D(cos bi sem»).

Aplicando a fórmula da distancia entre dois
ponton da geometria analitica, tomos
CRETE
= tocata + B)- IF lnea + 3) OF
= sa + )-Zenta + D) Lenta + D) =
2-2 00 +b)

= Fam OWI I=
Sep au AP =x tte <x < 2 eo
pomtodsdco,smésizodaPandapsoasesodes = (ob-amaf + Comb-senah =
teeth
roms cab +

+20000. cb sata

+ 2ama.s0nb

dig = du = 2 2oona)

vB

D Man =~ cota Bex)

7. MÂTEMATI

08 (a +b) = cos a, co son a son b

Cosseno da diferenga

cos} = cola + CD
PS

cos(a-b)=cosa.cosb + son a, son b

Seno da soma

enka +) = col (a+ b=

cot =a

omc,
2

DB +

2), sen

son (a +») = soma. coe + sen D coe a

Tangente da soma

sented)
conto)

Denenvetvendo, encontramos:
DANSE
ET

Qu nm

sie (a4) dec ss ernten de +x

Tangente da diferença

om (2) ft de Ze

Arco duplo

Cos 2a

ada = cos + a) = 08,6098 se sona

‘etic: con 2a = cosa senta

Sen 2a
en Zu = sn (a + a) = soma cove + sen a

‘otic: sea = Zum.

Ty 2a

toa tise

ta 2a toa) =

Transformagáo em produto

Oobjtioötransermar una soma lgébren de
Funde tgonoménicas de arcos cm um produto de
fungi toners dos menos arcos,
000 (a + D} = cova cosb-sena.senb 1)
008 (8) = en a.com b+ san a sen)

MID co (a+b) + 00
MAD costa + D ces (a) =

= 2000 8.200

3

SE
02

8. am + am te ++ sb = i
‘2 sen a.cosb el 9 seno

(a) 4) un a + sens 3) = Es
rere Definigäo
Furentose:

PES gon Pa Consideremos um aco AP = x soja a pros
ee Taba) ño ortogonal de P sobre o ck a) des seno».

a Por datinigio,chamn-seseno do arco AP a me-
sonp+sonq=2omP£S.cooP=S did ibn do seen ON

son pong = 200m P=. con PE

Quadrantes Observe que aumareo AP qualquer de determi
ao paru ino segment Na
Constance um co genomic de ar mata aun rrtesecarencs er
mA os bos mon queden armada Potato, po di uma ang de em
Fm qutioatco ABBA, AB A Dado manos AP =

ee BER AHA De R.tlnenendaxamecnuny=senn= ON
h Variagáo da fungáo seno
+ so! =
net no 1 quad PAB |
xt 2° quaante co PeBA >
ee EEE nx |
En EX
BEE
0

min mamo.

vB

9. = Pen

Observe que oponto Ruma vota completa no
elo tigonométnco, fro valor do seno (OW) voir
nee +1. À cada volt ense comportamento se
Separe. A fungi seno ¿uma fungio prion ese
pasoo 2

Gráfico

Propriedades

1) fango sno (y son x) & pion e seu
periodo 2
2) A fngioy = um ins ean) = senal
OA fango y = sen x 6 cresonte no 1.° 4°
uadrants 8 deescenten no 2° 03 que
dano,
asus

ojo

CARS
EE

Funçäo cosseno

Definigäo

Consideremos um arco AP = x ae Ma peo
ño ortogonal de P sone 9 ix (m) des coseno»

Por doinico, cham
modida algérie de ON

8 coseno do ico AP a

Variagáo da fungáo cosseno
se

A

Observe que ponto Puma vota completa no
ciclo tsgonomático, faz o valo do seno (OM) voir
atra Le +. A cada volta esse comportamento so
spot. A fungo cosseno & uma Junio pain ©
eu periodo 2.

SE
02

10. Propriedades
2) fungi coseno (y = om pion ©
eu puiodo 25
DA fgioy = on parc) = co
Of cescanteno 304° qudrantes e decis:
conten no Là 2° quadrants,
arsiais
ope =8
Fungäo tangente
Definigäo

Dadoum arco AP =x, com x eal 0x = 9° +
180° («= 2). Consideremos tea 208 osejaT iter
segtocom das tamgentes() Denominames angento
CAP à mod aérien do segmento AT.

De forma análoga,
toremos: Y = 19%. (ang tangente)

Variagáo da fungáo tangente

Eh co
DD

Were] zu

a

wie | uno
a EEE
NE

Gráfico

Propriedades

a) Alungiotangente dé perdica seu period à
De into a caca mel voa vricamos que.
Ss valores da funcio y = Ag sonepotem.

9 Aang y = tg impart) = ta.

OA ungoy tgxé crescent quando x per
‘come qualquer um des unto quadrants,

11. MÂTEMATI

sms » Esopo
2 carmen

IAS S60 Kone 184 00 KheZ
ojo DE

o|o, er

2 man + x ke
= od

900 = (xe Riven + me; ar
= carmen 18?

AIDE 360 KheZ

Equagöes trigonométricas

Na resolugio do uma aquagáo (ou quo)
‘wigonométicn importante saber

u rez u

= (0) +e

ape Baar ke kez,

» Bxomplor:
Der
» Exemple
e ya 30+ 100" kkeZ
season 0 wien
A= 60+ 360 koux= 120+ 960 kkeZ e
gangs

D sa

7 01954 180 KkeZ
ven

mos

DEE

Camoy ot no tox

Ku 304367 kann 184 260° Khe me Ls
Inequagées trigonométricas
Nas nequagies tdgonomét
scat aero sete
> Brompton:
cha cs maps re 0

a mel
2

dovemos

SB

12. > soupe D
en (it) sen (2a) =
slo) Ona)

amame)
D ch per]
fee 2. Pare 3 dema ova de eno
sana 10

3. Oseno deu dos ángulos de um iosango iguala $.
parano amer dome émquomimmo 8?

13. 1% Cuodry= or 24 sa dao can

» sola
5 20° 6m on engen 69m

od

AS

2 ent Ir 2 me mr
amo ane

seta Leave 100 LES

100-0050

sena m sen (180 -0) FO om

ea pen

: be

a 9:

RE a

CRE a

meo > a

rez seno Comat cens tn

sont) =a) Es yaa

“cosletb)~ cosa b) cd

al ter 0 dominio jo: = Lg

senacceb4 sonboasa— (eens casb-senboaea) % rt no = oe

mad aa

enacab-esmb cea. onecatesent en boxe

rare er meint en bx 00

Pr noo io kez

CEE TNT) e = 2

Solu
caca ca

PP

sn 00-9200 ta hoz xi eZ
by 2
bam ser eke ke)

8. Uproar aida mostra au ance
tum dspostvo derdneo que tansfoa a orents
‘tarodasemumieoopoe cseugafeofeapreade
cam oda angle

FA

Eco gré dest tng.

100

14. PA

Aroa ataco 120° u 240%

(One de mins d outcome cos x= Uno =
CNET em a

2
E)

0
az
CE
os

Solugáos
ens un One

Determine caja du danequngasenx. cos
panela 2

Solaçaes
10 0x gatas ende se x € cs x pasuum ©

ecko fo 00 parque e cbc que rede gants
‘sha an dors oportoas bo fes à Im doeh
Cana a red gant como um stade tae
aries 6 pnts mos ano cane o, nt
[us ava partera pra pesca ag

a

(PUCSP) Oo de sun 1200 Gist
2) os

Dune

Da

(Coso SA Over d ares
62 160: + sen 300 ty 22 = os 606

a fe
9 fn

6
a=
Que Stands exe
estoy! cts

15. ak 9 race ca

ae =
en € coma como
D mi

ner
CI
:

en cari

2 ¿tes
Dex merma
as , B
3 tee 8. Uns pels ocn 6
a
m

(ft) So dun ine alo +6
oe
au
2 x
aer
9-04
oor 10. (UR antro netos cama
oe COTES
PRET) :

Tomaso 1) cu (26) = 200

re 2
mente BET:

a bol

1: Sabendo-se que x y = 80. assnole à alter
rata que corresponde ao valor de expression

2

nee (ales
PSSS ae
au »!

dx
Pr odox es podemos amar que

© ox = ce(s)

à rates |
paces ger

D ox cafe)

a ox =sn(2e+s)

(Fis) Sendo sana

16. a

2: 5
12. (PUD Cringionagutesoebsioneaietg nn
be, Oinmon+bäinnie

art
se

18. (UFR Sapxtlquesenxt = 1 Oetemnstados |
Os les posos par sande coa

16. 0 domino min dano dopo
(9) «cs (»- 3) docto:

a frcsined ahaa ke

5 kenne tert] mare 7, (Fra Ans géo une

a feu

a fueron] entrez

ei] owner

a fes 3 ende ke Asno [04x] +8 que pote
16, (Unificado) Assinale o gráfico que representa fungio. Selene anes

co ndo or Ver com 9 2n(2)
an(s)

nz)
(3)
om)

a

aime

17. a
18 conmnoattcoantrte[-]an an mio

22. (Un) Oooo suo aequagdo sen

Cno
2
(FUC) So Ha) = co (ex) fro dei em
R rato, 1()~1(-2) valo
di
vs
as
ao
Ang que mao ap ren &

23. (UFR Resolve a equagio para x € [0.2]
Senx 19x sexs oxox cotgx ones

24 (Une) O certo da equi core
Order Gum ares da vas poi os 2

vo. 20.220}
en © for us}
28. (UFR Deter or donimaore mea ug
me (srt co q) Zu x

9 yrichnal

ae rames || eases sone

a

SB

18. ‘brerccies Grupo 2 —

colas) savers) er)

1 Uno) Dels numéro da expre

tum [ons]

ao

ons
us gs

Dedos: 1929=00m= ox de
mé

CEA
me

as

ao

oie

¿onerosa de x (9/4) +t) e

E
ES
y Set

2

nd
&
E +"
Y 4 netos esto
1

al) mr al)

Snplfeand ress:

aw) en(onfovx)

DA ECS]

(Unificado) Sende

Tooslsn-»)-200(en+3)

A

(UEPG)Oqndrare emo target. cotangent,
cata cose do nage Be

yz
ar

Sedo cod" 00628? ecos? 4K 08108.
Calar over de 142,

(Fest) No quatro ABCD ende es gules 8 D
orto oc lodos tm as meda nadas oval
deans

19. A 18. (U Armenien cocer
> noie [a 2

DES

ax

a
10. Cect) No etínglo ABCD de figura AB
be MN=NS Determine to MAN

2
2

a

11 (UFR Sando KeZzuneNteneR a ogro. y, Ordo yn sto tr
[ern + o) se0(20]) à unes Fi
a foen(aa)f nz
© [ox (aix +n)” a
a esa) 2;
[ee] 1 CU En ing AE. eso

Pr Rs

a alos)

12. (USE ed rames dating
a

2WA= 8 +10 e0<A< À Arago ques

rst tngo 6

b au
a4 D «(8 +0)=20 À
vo à

enß-O)-zuA

: SE
El 14
LL 15

20. Im

12. AE Ova de (010° He) an 20" &

ae
18. (UERI) Constr a fg ral, de var el x

atid por 11) = = ann + cen xe [0.24]

Uniando esses dados respondo ose Ae
a Cadets)
1) Eos ogre cotesenoat

18, (Uni) Arale o rc que mer representa a
‘ungioreal frida par y = fe 1
a

a

20. (Fast) A ur abono mosro arte do gen da
ke

Zen

9 2ma
©) sn

21 (UFP Aia ai repro parte do geo dos

Ans yema

Schr cs potes Po eo eins os mages
Opa Pl y) ét que x um ao do 2? que
e

1 Oporto (xy) 4 qu x um eo de 3 que
IN Open Ry porten rey =x
Dosis afemagos. (o) verdad) aperos ae)
denia
on

21. (ATEMÁTI

an on
Sen ae
hem 2
22. (WER O stro au nr Cla pode pr ©
Com beit as Sends eden ptos © 5
a de Ca 1 Crone x
Veith cmo opaco nant 0 à
7
un

2 aa
28. (PUC) Fs a aqua Sen x= cos

“Apart dessanfcrmagio,pode-seconcur que área 28. (Cesgroio) Se 0<x <=. sequngio sen

Ita pos pres de fx) = oor xe fu = 00. 2 x
NE we 2) tem una rado deus.

y) moreno

Has

ao ©) tem ment uma logs
CE tom stent quo sles

da +) temumnümaro fito macs do que quaro deso-
Se lues

as 12%. (Uncamp) Ach toos s lees de xo neo

=
23. (Unc) Canaderndo que o momento de um 2] el agree,
demand pirate Can pe eq , 07]
28. Determine os voores de nefos) ice que

amoo Zee E) amguendaponsiosonor PR

sndopänddo form} noinsunet (ems) emrebtoá 28. ascvando y ening cos (sen 6)
Peso de qui (= Gecamanacrandoodest>

Y cb

Came éretacemopceho enepanesesqueds, 0) =0
moments fe, stern E
bok
©) Oeinkez
D OnBakez

© o=(aeinkez

30. (Ce) Das enugdes abo. outa que tem

3 0 réf do decano em Ang do eno marne der non Gex 5106
sis a um pateo carlton.

y meno
1) a iin mima do corpo poso de equi — )
ES Dino
à apart dope. ©) smx=o
apoagodocpoent= 1e :
24, (Uno) © menor vl ral a posto de xia que DO
D yl Dee gu
E 34 31: (Ui) Oetnha sound de inequago
El sen x = 05 sendo 08 x< 28 17

22. 32. (UFF) Determine o(s) valorfes) de xelñ que
amsn) a despide: ces 2 2 (sen x +1)

53: Notenoi 0<x< 28 equgo ngenensiin:
Got sent xe sen xt sonne
© Niotamsouigo
1 Tema esto
im du sages
(9 im vs egies
imine ces
34. (Uncanp) Encore tds a les o sistema:
nee 0 ann
en(s-9)=0

osxsnadsyen

23. wwe
mo

we
20.4
aa

24. wo
20.0
ms

Acetone |
a2. (erez
ae

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tee ae gare do Als Purictrs oie SORA SA