Função afim resumo teórico e exercícios - celso brasil
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Sep 17, 2021
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61 questões resolvidas de função afim.
Slide Content
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
1
Resumo Teórico
Função Afim
Uma função f: R→R chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b,
para todo x ∈ R.
Exemplos:
f(x) = 2x + 5
f(x) = -x + 2
f(x) = 1/3 x
Função Linear
Seja f: R→R definida por f(x) = ax, para todo x ∈ R.
Exemplos: f(x) = 3x, g(x) = -5x.
Função Constante
Seja f: R→R definida por f(x) = b, para todo x ∈ R.
Exemplos: f(x) = 3, g(x) = -2.
Função Identidade
Seja f: R→R definida por f(x) = x, para todo x ∈ R.
Coeficiente angular/Taxa de variação
Na lei da função f(x) = ax + b, o coeficiente a é chamado de coeficiente angular ou taxa de variação da função.
Podemos calcular o valor do coeficiente angular como:
a = tgθ ou a = △y/△x
Em que θ é o ângulo que a reta da função faz com o eixo x, no sentido anti-horário.
Exemplo:
a = tgθ = △y/△x = [2 - (-1)] / (-3 - 2) = 3/-5.
Logo, o coeficiente angular (a) vale -3/5.
Celso do Rozário Brasil
1
Resumo Teórico
Função Afim
Uma função f: R→R chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b,
para todo x ∈ R.
Exemplos:
f(x) = 2x + 5
f(x) = -x + 2
f(x) = 1/3 x
Função Linear
Seja f: R→R definida por f(x) = ax, para todo x ∈ R.
Exemplos: f(x) = 3x, g(x) = -5x.
Função Constante
Seja f: R→R definida por f(x) = b, para todo x ∈ R.
Exemplos: f(x) = 3, g(x) = -2.
Função Identidade
Seja f: R→R definida por f(x) = x, para todo x ∈ R.
Coeficiente angular/Taxa de variação
Na lei da função f(x) = ax + b, o coeficiente a é chamado de coeficiente angular ou taxa de variação da função.
Podemos calcular o valor do coeficiente angular como:
a = tgθ ou a = △y/△x
Em que θ é o ângulo que a reta da função faz com o eixo x, no sentido anti-horário.
Exemplo:
a = tgθ = △y/△x = [2 - (-1)] / (-3 - 2) = 3/-5.
Logo, o coeficiente angular (a) vale -3/5.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
2
Coeficiente linear
Na lei da função f(x) = ax + b, o coeficiente b é chamado de coeficiente linear da função. Ele é encontrado
com o valor no qual o gráfico da função intercepta o eixo y.
Exemplo:
Aqui, a interseção com o eixo y ocorre na altura de y = 1. Logo, o coeficiente linear da função acima será
igual a 1.
O gráfico da Função Afim
O gráfico da função afim é uma reta e ela pode ser crescente (caso a taxa de crescimento seja maior que zero)
ou decrescente (caso a taxa de crescimento seja menor que zero).
Exemplo de gráfico crescente:
Em uma função crescente quanto maior o x, maior será o f(x). Isso ocorre quando a taxa de variação é maior
que zero. Isto é a > 0.
Exemplo de gráfico decrescente:
Celso do Rozário Brasil
2
Coeficiente linear
Na lei da função f(x) = ax + b, o coeficiente b é chamado de coeficiente linear da função. Ele é encontrado
com o valor no qual o gráfico da função intercepta o eixo y.
Exemplo:
Aqui, a interseção com o eixo y ocorre na altura de y = 1. Logo, o coeficiente linear da função acima será
igual a 1.
O gráfico da Função Afim
O gráfico da função afim é uma reta e ela pode ser crescente (caso a taxa de crescimento seja maior que zero)
ou decrescente (caso a taxa de crescimento seja menor que zero).
Exemplo de gráfico crescente:
Em uma função crescente quanto maior o x, maior será o f(x). Isso ocorre quando a taxa de variação é maior
que zero. Isto é a > 0.
Exemplo de gráfico decrescente:
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
3
Em uma função decrescente quanto maior o x, menor será f(x). Isso ocorre quando a taxa de variação é menor
que zero. Isto é a < 0.
Zero/Raiz da Função Afim
O valor de x para o qual a função f(x) = ax + b se anula, ou seja, para o qual f(x) = 0, denomina-se o zero, ou
raiz, da função. No gráfico, isso representa a coordenada x da interseção com o eixo x.
Nos gráficos das duas funções anteriores, os zeros das funções eram 2 e 1, respectivamente.
Estudo do sinal de uma função afim
Assim como para as equações, no estudo das inequações devemos, primeiramente, definir uma inequação para
que, em seguida, possamos trabalhar com um tipo de inequação chamada de inequação do 1º grau.
Para analisarmos o sinal de uma função afim, precisamos separar em dois casos:
● Se �>0, sendo �
1
a raiz da função, temos:
● Se a < 0, sendo �
1
a raiz da função, temos:
Celso do Rozário Brasil
3
Em uma função decrescente quanto maior o x, menor será f(x). Isso ocorre quando a taxa de variação é menor
que zero. Isto é a < 0.
Zero/Raiz da Função Afim
O valor de x para o qual a função f(x) = ax + b se anula, ou seja, para o qual f(x) = 0, denomina-se o zero, ou
raiz, da função. No gráfico, isso representa a coordenada x da interseção com o eixo x.
Nos gráficos das duas funções anteriores, os zeros das funções eram 2 e 1, respectivamente.
Estudo do sinal de uma função afim
Assim como para as equações, no estudo das inequações devemos, primeiramente, definir uma inequação para
que, em seguida, possamos trabalhar com um tipo de inequação chamada de inequação do 1º grau.
Para analisarmos o sinal de uma função afim, precisamos separar em dois casos:
● Se �>0, sendo �
1
a raiz da função, temos:
● Se a < 0, sendo �
1
a raiz da função, temos:
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
4
EXERCÍCIOS
01) A soma dos quadrados das raízes da equação x² + x + 2 é:
a) -2
b) -3
c) -1
d) 0
e) 1
Solução
x' + x" = -b/a ----> -1/1 ----> -1
x'.x" = c/a ----> 2/1 ----> 2
(x' + x")² = (-b/a)²
'x² + 2.x'.x" + "x² = 1
'x² + "x² + 2.2 = 1
'x² + "x² = -3
Resposta: B
02) (Unicamp 2017) Seja ??????(�) uma função tal que para todo número real �, temos que �.??????(� − 1) = (� − 3) . ??????(�)
+ 3. Então, ??????(1) é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -1
(i) Para x = 0
x . f(x - 1) = (x - 3) . f(x) + 3
0 . f(0 - 1) = (0 - 3) . f(0) + 3
0 = -3f(0) + 3
-3f(0) = -3
f(0) = 1
Para x = 1
x . f(x - 1) = (x - 3) . f(x) + 3
1 . f(1 - 1) = (1 - 3) . f(1) + 3
f(0) = -2 . f(1) + 3
-3 + 1 = -2 . f(1)
f(1) = 1
3) (UNICAMP) Considere a função afim f(x) = ax + b, definida para todo o número real x, onde a e b são números
reais. Sabendo que f(4) = 2, podemos afirmar que f(f(3) + f(5)) é igual a
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
f(4) = 4a + b = 2 (I)
Celso do Rozário Brasil
4
EXERCÍCIOS
01) A soma dos quadrados das raízes da equação x² + x + 2 é:
a) -2
b) -3
c) -1
d) 0
e) 1
Solução
x' + x" = -b/a ----> -1/1 ----> -1
x'.x" = c/a ----> 2/1 ----> 2
(x' + x")² = (-b/a)²
'x² + 2.x'.x" + "x² = 1
'x² + "x² + 2.2 = 1
'x² + "x² = -3
Resposta: B
02) (Unicamp 2017) Seja ??????(�) uma função tal que para todo número real �, temos que �.??????(� − 1) = (� − 3) . ??????(�)
+ 3. Então, ??????(1) é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -1
(i) Para x = 0
x . f(x - 1) = (x - 3) . f(x) + 3
0 . f(0 - 1) = (0 - 3) . f(0) + 3
0 = -3f(0) + 3
-3f(0) = -3
f(0) = 1
Para x = 1
x . f(x - 1) = (x - 3) . f(x) + 3
1 . f(1 - 1) = (1 - 3) . f(1) + 3
f(0) = -2 . f(1) + 3
-3 + 1 = -2 . f(1)
f(1) = 1
3) (UNICAMP) Considere a função afim f(x) = ax + b, definida para todo o número real x, onde a e b são números
reais. Sabendo que f(4) = 2, podemos afirmar que f(f(3) + f(5)) é igual a
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
f(4) = 4a + b = 2 (I)
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
5
f(3) = 3a + b (II)
f(5) = 5a + b (III)
f(3) + f(5) = 3a + b + 5a + b
f(3) + f(5) = 8a + 2b
f(3) + f(5) = 2(4a + b) (I)
f(3) + f(5) = 2 . 2
f(3) + f(5) = 4
Portanto:
f(f(3) + f(5)) = f(4) = 2
Resposta: B
4) Deseja-se construir um retângulo de semiperímetro P, de modo que o maior valor possível para a área seja
36. Qual o valor de P?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
x = base
y = altura
P = x + y <=> y = P – x
Área (A) = 36
A = x . y
A = x . (P - x)
A = Px - x² (I)
x² - Px - 36 = 0
Para o maior valor possível da função temos:
x = -b/2a
x = -(-P / 2)
x = P / 2
A = Px - x² (I)
36 = [P.(P/2)] - (P/2)²
36 = (P² / 2) - (P² / 4)
144 = 2P² - P²
P² = 144
P = √144
P = 12
Resposta: C
5) O custo C da construção de um prédio de 31 apartamentos foi de R$ 600 000,00. O construtor espera que a
receita R, em milhares de dólares, apurada pela venda dos apartamentos, cresça de acordo com a função R= 62x
- x², em que x é o número de apartamentos vendidos. O lucro L é a diferença entre a receita R e o custo C da
obra. Depois de vendidos todos os apartamentos, qual será a porcentagem de lucro sobre o custo da obra?
Celso do Rozário Brasil
5
f(3) = 3a + b (II)
f(5) = 5a + b (III)
f(3) + f(5) = 3a + b + 5a + b
f(3) + f(5) = 8a + 2b
f(3) + f(5) = 2(4a + b) (I)
f(3) + f(5) = 2 . 2
f(3) + f(5) = 4
Portanto:
f(f(3) + f(5)) = f(4) = 2
Resposta: B
4) Deseja-se construir um retângulo de semiperímetro P, de modo que o maior valor possível para a área seja
36. Qual o valor de P?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
x = base
y = altura
P = x + y <=> y = P – x
Área (A) = 36
A = x . y
A = x . (P - x)
A = Px - x² (I)
x² - Px - 36 = 0
Para o maior valor possível da função temos:
x = -b/2a
x = -(-P / 2)
x = P / 2
A = Px - x² (I)
36 = [P.(P/2)] - (P/2)²
36 = (P² / 2) - (P² / 4)
144 = 2P² - P²
P² = 144
P = √144
P = 12
Resposta: C
5) O custo C da construção de um prédio de 31 apartamentos foi de R$ 600 000,00. O construtor espera que a
receita R, em milhares de dólares, apurada pela venda dos apartamentos, cresça de acordo com a função R= 62x
- x², em que x é o número de apartamentos vendidos. O lucro L é a diferença entre a receita R e o custo C da
obra. Depois de vendidos todos os apartamentos, qual será a porcentagem de lucro sobre o custo da obra?
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
6
R(x) = 62x - x²
R(31) = 62 . 31- (31)²
R(31) = 1922 - 961
R(31) = 961 000
Lucro = Receita – Custo
L = 961 000 - 600 000
L = 361 000
P = L/C ----> P = 361 000 / 600 000 ----> P = 0,6016 ----> P = 60,16%
6) Sendo f(x) = a.x² e f(2)=8, podemos dizer que o valor de a será igual "a"?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a.x² = 8
a.(2)² = 8
a . 4 = 8
a = 8/4 = 2
Resposta: B
7) (UFSCar) Uma função f é definida recursivamente como: f(n+1) = 5f(n) + (2/5). Sendo f(1) = 5 o
valor de f(101) é:
f(1) = 5
f(2) = f(1) + (2 / 5) = 5 + (2 / 5) = 27 / 5
f(3) = f(2) + (2 / 5) = (27 / 5) + (2 / 5) = 29/5
r = a2 - a1
r = (27/5) - 5 = 2/5
f101 = a1 + 100r
f101 = 5 + 100. 2/5
f101 = 5 + 40
f101 = 45
8) Dada a função: f(x) = ax + b e sabendo-se que f(3) = 4 e f(-2) = -6 , calcule f(1/2).
f(3) = 3a + b
4 = 3a + b
b' = 4 - 3a
f(-2) = ax + b
-6 = -2a + b
b'' = 2a - 6
b' = b"
2a - 6 = 4 - 3a
5a = 10
a = 2 <=> b = -2
Celso do Rozário Brasil
6
R(x) = 62x - x²
R(31) = 62 . 31- (31)²
R(31) = 1922 - 961
R(31) = 961 000
Lucro = Receita – Custo
L = 961 000 - 600 000
L = 361 000
P = L/C ----> P = 361 000 / 600 000 ----> P = 0,6016 ----> P = 60,16%
6) Sendo f(x) = a.x² e f(2)=8, podemos dizer que o valor de a será igual "a"?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a.x² = 8
a.(2)² = 8
a . 4 = 8
a = 8/4 = 2
Resposta: B
7) (UFSCar) Uma função f é definida recursivamente como: f(n+1) = 5f(n) + (2/5). Sendo f(1) = 5 o
valor de f(101) é:
f(1) = 5
f(2) = f(1) + (2 / 5) = 5 + (2 / 5) = 27 / 5
f(3) = f(2) + (2 / 5) = (27 / 5) + (2 / 5) = 29/5
r = a2 - a1
r = (27/5) - 5 = 2/5
f101 = a1 + 100r
f101 = 5 + 100. 2/5
f101 = 5 + 40
f101 = 45
8) Dada a função: f(x) = ax + b e sabendo-se que f(3) = 4 e f(-2) = -6 , calcule f(1/2).
f(3) = 3a + b
4 = 3a + b
b' = 4 - 3a
f(-2) = ax + b
-6 = -2a + b
b'' = 2a - 6
b' = b"
2a - 6 = 4 - 3a
5a = 10
a = 2 <=> b = -2
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
7
f(x) = ax + b
f(1/2) = 2x + (-2)
f(1/2) = 2(1/2) - 2
f(1/2) = -1
9) Uma função f : IR → IR, é tal que: f(5x) = 5f(x), para todo real x. Se f(25) = 75, então f(1) é:
a) 3
b) 5
c) 15
d) 25
e) 45
f(5x) = 5f(x)
f(25) = 75
f(5 . 5) = 5f(5)
f(5 .5) = 75
5f(5) = 75
f(5) = 75/5
f(5) = 15
f(5 . 1) = 15
5f(1) = 15
f(1) = 3
Resposta: A
10) Considere a função real da forma f(x) = ax + b. Sabendo que f(1) = -1 e f(0) = 2, qual o valor do
produto a . b vale:
(a) -1
(b) -3
(c) -4
(d) -5
(e) -6
Solução
f(x)=��+�
(a) Sendo: f(1)=−1,temos:
f(1)=a(1)+b→
�+�= −� (i)
(b) Sendo f(0)=2,temos:
f(0)=a.0+b→
�=� (��)
(c) Substituindo (ii) em (i), temos:
a+b= −1
a+2=−1
�=−�
Celso do Rozário Brasil
7
f(x) = ax + b
f(1/2) = 2x + (-2)
f(1/2) = 2(1/2) - 2
f(1/2) = -1
9) Uma função f : IR → IR, é tal que: f(5x) = 5f(x), para todo real x. Se f(25) = 75, então f(1) é:
a) 3
b) 5
c) 15
d) 25
e) 45
f(5x) = 5f(x)
f(25) = 75
f(5 . 5) = 5f(5)
f(5 .5) = 75
5f(5) = 75
f(5) = 75/5
f(5) = 15
f(5 . 1) = 15
5f(1) = 15
f(1) = 3
Resposta: A
10) Considere a função real da forma f(x) = ax + b. Sabendo que f(1) = -1 e f(0) = 2, qual o valor do
produto a . b vale:
(a) -1
(b) -3
(c) -4
(d) -5
(e) -6
Solução
f(x)=��+�
(a) Sendo: f(1)=−1,temos:
f(1)=a(1)+b→
�+�= −� (i)
(b) Sendo f(0)=2,temos:
f(0)=a.0+b→
�=� (��)
(c) Substituindo (ii) em (i), temos:
a+b= −1
a+2=−1
�=−�
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
8
Logo:
a.b=(−3)(2)
�.�= −�
Resposta: E
11) Chegando ao destino de uma mesma viagem, os turistas X e Y alugarão, cada um deles, um carro.
Fizeram, previamente, cotações com as mesmas três locadoras de automóveis da região. Os valores dos
aluguéis estão representados pelas expressões dadas no quadro, sendo K o número de quilômetros
percorridos, e N o número de diárias pagas pelo aluguel.
O turista X alugará um carro em uma mesma
locadora por três dias e percorrerá 250 km. Já a
pessoa Y usará o carro por apenas um dia e
percorrerá 120 km. Com o intu ito de
economizarem com as locações dos carros, e
mediante as informações, os turistas X e Y
alugarão os carros, respectivamente, nas empresas:
(a) I e II.
(b) I e III.
(c) II e II.
(d) II e III.
(e) III e I.
Solução
Precisamos calcular o valor cobrado em cada empresa e comparar e, assim escolher o mais barato.
(i) Turista X:
N = 3 dias e K = 250 km
I. 100N+0,8K→100.3+0,8.250→300+200→??????$ ���,��
II. 70N+1,2K→70.3+1,2.250→210+300→??????$ ���,��
III. 120N+0,6K→120.3+0,6.250→360+150 →??????$ ���,��
(ii) Turista Y:
N = 1 dia e K = 120 km
I. 100N+0,8K→100.1+0,8.120→100+96→??????$ ���,��
II. 70N+1,2K→70.1+1,2.120→70 + 144 →??????$ 214,00
Celso do Rozário Brasil
8
Logo:
a.b=(−3)(2)
�.�= −�
Resposta: E
11) Chegando ao destino de uma mesma viagem, os turistas X e Y alugarão, cada um deles, um carro.
Fizeram, previamente, cotações com as mesmas três locadoras de automóveis da região. Os valores dos
aluguéis estão representados pelas expressões dadas no quadro, sendo K o número de quilômetros
percorridos, e N o número de diárias pagas pelo aluguel.
O turista X alugará um carro em uma mesma
locadora por três dias e percorrerá 250 km. Já a
pessoa Y usará o carro por apenas um dia e
percorrerá 120 km. Com o intu ito de
economizarem com as locações dos carros, e
mediante as informações, os turistas X e Y
alugarão os carros, respectivamente, nas empresas:
(a) I e II.
(b) I e III.
(c) II e II.
(d) II e III.
(e) III e I.
Solução
Precisamos calcular o valor cobrado em cada empresa e comparar e, assim escolher o mais barato.
(i) Turista X:
N = 3 dias e K = 250 km
I. 100N+0,8K→100.3+0,8.250→300+200→??????$ ���,��
II. 70N+1,2K→70.3+1,2.250→210+300→??????$ ���,��
III. 120N+0,6K→120.3+0,6.250→360+150 →??????$ ���,��
(ii) Turista Y:
N = 1 dia e K = 120 km
I. 100N+0,8K→100.1+0,8.120→100+96→??????$ ���,��
II. 70N+1,2K→70.1+1,2.120→70 + 144 →??????$ 214,00
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
9
III. 120N+0,6K→120.1+0,6.120→120+72→??????$ ���,��
Resposta: B
12) Um reservatório é abastecido com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água
desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litro por minuto, do volume de água que
entra no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, em minuto.
Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem uma vazão constante de enchimento?
(a) De 0 a 10.
(b) De 5 a 10.
(c) De 5 a 15.
(d) De 15 a 25.
(e) De 0 a 25.
Solução
O reservatório terá uma vazão constante de enchimento quando, no intervalo em que isso ocorrer, as vazões
da torneira e do ralo forem constantes. Do gráfico, as duas vazões são constantes simultaneamente no intervalo
de 5 a 10.
Resposta: B
13) A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um sistema formado por dois
reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano igual ao cano de
entrada, conforme ilustra a figura.
A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante e, ao atingir o
nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha que, inicialmente, os dois
reservatórios estejam vazios. Qual gráfico melhor descreve a altura h do nível da água no Reservatório
1, em função do volume V de água no sistema?
Celso do Rozário Brasil
9
III. 120N+0,6K→120.1+0,6.120→120+72→??????$ ���,��
Resposta: B
12) Um reservatório é abastecido com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água
desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litro por minuto, do volume de água que
entra no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, em minuto.
Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem uma vazão constante de enchimento?
(a) De 0 a 10.
(b) De 5 a 10.
(c) De 5 a 15.
(d) De 15 a 25.
(e) De 0 a 25.
Solução
O reservatório terá uma vazão constante de enchimento quando, no intervalo em que isso ocorrer, as vazões
da torneira e do ralo forem constantes. Do gráfico, as duas vazões são constantes simultaneamente no intervalo
de 5 a 10.
Resposta: B
13) A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um sistema formado por dois
reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano igual ao cano de
entrada, conforme ilustra a figura.
A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante e, ao atingir o
nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha que, inicialmente, os dois
reservatórios estejam vazios. Qual gráfico melhor descreve a altura h do nível da água no Reservatório
1, em função do volume V de água no sistema?
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
10
De acordo com o enunciado da questão, a altura (h) de água no reservatório (retangular) é dado em função do
volume (V), logo, temos a seguinte função:
V(h) = a.b.c ------> V(h) = ab.h
Logo, temos uma função 1° grau. Seu gráfico é uma reta crescente.
O único gráfico que descreve este evento é o da letra A.
Como o reservatório 1 é um prisma então seu crescimento até o nível do cano de ligação é uma função linear.
Resposta: A
14) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo
(verde-amarelo- vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz
verde permaneça acesa seja igual a 2/3 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica
acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual é a expressão que
representa a relação entre X e Y?
Solução
Em cada ciclo Y, temos:
Luz amarela fica acesa 5 segundos
Celso do Rozário Brasil
10
De acordo com o enunciado da questão, a altura (h) de água no reservatório (retangular) é dado em função do
volume (V), logo, temos a seguinte função:
V(h) = a.b.c ------> V(h) = ab.h
Logo, temos uma função 1° grau. Seu gráfico é uma reta crescente.
O único gráfico que descreve este evento é o da letra A.
Como o reservatório 1 é um prisma então seu crescimento até o nível do cano de ligação é uma função linear.
Resposta: A
14) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo
(verde-amarelo- vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz
verde permaneça acesa seja igual a 2/3 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica
acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual é a expressão que
representa a relação entre X e Y?
Solução
Em cada ciclo Y, temos:
Luz amarela fica acesa 5 segundos
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
11
A luz vermelha fica acesa V segundos
A luz verde fica acesa X segundos ou �=
2
3
??????→??????=
??????
2/3
→??????=
3??????
2
Um ciclo Y completo será formado por:
Y = Verde + Amarela + Vermelha
Y = X + 5 + V
Y = X+ 5 + 3X/2
x + 3X/2 – Y + 5 = 0
5X– 2Y + 10 = 0
Resposta: B
15)
Solução
Logo:
Celso do Rozário Brasil
11
A luz vermelha fica acesa V segundos
A luz verde fica acesa X segundos ou �=
2
3
??????→??????=
??????
2/3
→??????=
3??????
2
Um ciclo Y completo será formado por:
Y = Verde + Amarela + Vermelha
Y = X + 5 + V
Y = X+ 5 + 3X/2
x + 3X/2 – Y + 5 = 0
5X– 2Y + 10 = 0
Resposta: B
15)
Solução
Logo:
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
12
Área plantada=
Produção
Produtividade
Assim, vamos criar uma nova linha na tabela fornecida, na qual dividiremos os valores dados.
Vamos também escrever os valores da produção em quilogramas, lembrando que 1 000 toneladas = 10
6
quilogramas.
Analisando a nossa linha com valores da área plantada, percebemos que de 1995 a 1996 ela é decrescente, de
1996 a 1998 ela é crescente, e de 1998 a 1999 é novamente decrescente. De acordo com a interpretação dos
valores acima e observando as cinco alternativas de gráfico do problema, percebemos que a melhor escolha é
a alternativa “a”.
16) Responda às questões a partir do gráfico da função f:
a) Qual é o domínio e qual é a imagem de f?
b) Em quantos pontos o gráfico corta o eixo x? E o eixo y?
c) f(1,7) é maior, menor ou igual a f(2,9)?
d) Qual é o valor máximo de f(x)? E o valor mínimo?
e) Qual ponto do gráfico tem abscissa -1?
f) O ponto (4, -1) pertence ao gráfico de f?
g) Qual é o valor de x quando f(x) = 3?
Solução
a) Domínio de f: D(f) = [-1,4]; Imagem de f: Im(f) = [-1,3]
Celso do Rozário Brasil
12
Área plantada=
Produção
Produtividade
Assim, vamos criar uma nova linha na tabela fornecida, na qual dividiremos os valores dados.
Vamos também escrever os valores da produção em quilogramas, lembrando que 1 000 toneladas = 10
6
quilogramas.
Analisando a nossa linha com valores da área plantada, percebemos que de 1995 a 1996 ela é decrescente, de
1996 a 1998 ela é crescente, e de 1998 a 1999 é novamente decrescente. De acordo com a interpretação dos
valores acima e observando as cinco alternativas de gráfico do problema, percebemos que a melhor escolha é
a alternativa “a”.
16) Responda às questões a partir do gráfico da função f:
a) Qual é o domínio e qual é a imagem de f?
b) Em quantos pontos o gráfico corta o eixo x? E o eixo y?
c) f(1,7) é maior, menor ou igual a f(2,9)?
d) Qual é o valor máximo de f(x)? E o valor mínimo?
e) Qual ponto do gráfico tem abscissa -1?
f) O ponto (4, -1) pertence ao gráfico de f?
g) Qual é o valor de x quando f(x) = 3?
Solução
a) Domínio de f: D(f) = [-1,4]; Imagem de f: Im(f) = [-1,3]
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
13
b) Corta o eixo x em um ponto; corta o eixo y em um ponto.
c) Igual.
d) Valor máximo de f(x) é 3; valor mínimo de f(x) é -1.
e) O ponto (-1, 1).
f) Sim
g) f(x) = 3 para 1 ≤�≤3
17) Sendo f(x) = -5x + m. determine o valor de m de modo que a intersecção do gráfico de f com o eixo
das abscissas seja o ponto de abscissa 3.
Solução
f(x) = -5x + m
O ponto de abscissa 3 é (3,0), logo: x = 3 e y = 0. Substituindo em f, temos:
-5x + m = 0 ----> -5(3) + m = 0 ----> -15 + m = 0 ----> m = 15
18) O proprietário de uma padaria verificou que, no dia em que ele vende 500 pãezinhos, o custo desses
pães é R$ 97,00, e no dia em que ele vende 700 pãezinhos, o custo é R$ 123,00. Admitindo que o custo C
em função do número n dos pãezinhos produzidos é uma função cujo gráfico é formado por pontos que
pertencem a uma mesma reta, obtenha a sentença que expressa C em função de n.
Solução
Pelo enunciado da questão, temos uma função linear do tipo: f(x) = ax + b.
500 pães ----> R$ 97,00
700 pães ----> R$ 123,00
Se o gráfico é uma reta, então: C(n) = na + b.
97 = 500a + b (I)
123 = 700a + b (II)
Fazendo: (II) + (-I), temos:
123 = 700a + b
-97 = -500a - b
26 = 200a
a = 26/200
a = 0,13
97 = 500a + b (I)
97 = 500(0,13) + b
97 = 65 + b
b = 97 – 65
b = 32
Logo, a sentença que expressa C em função de n é:
+
-------------------
Celso do Rozário Brasil
13
b) Corta o eixo x em um ponto; corta o eixo y em um ponto.
c) Igual.
d) Valor máximo de f(x) é 3; valor mínimo de f(x) é -1.
e) O ponto (-1, 1).
f) Sim
g) f(x) = 3 para 1 ≤�≤3
17) Sendo f(x) = -5x + m. determine o valor de m de modo que a intersecção do gráfico de f com o eixo
das abscissas seja o ponto de abscissa 3.
Solução
f(x) = -5x + m
O ponto de abscissa 3 é (3,0), logo: x = 3 e y = 0. Substituindo em f, temos:
-5x + m = 0 ----> -5(3) + m = 0 ----> -15 + m = 0 ----> m = 15
18) O proprietário de uma padaria verificou que, no dia em que ele vende 500 pãezinhos, o custo desses
pães é R$ 97,00, e no dia em que ele vende 700 pãezinhos, o custo é R$ 123,00. Admitindo que o custo C
em função do número n dos pãezinhos produzidos é uma função cujo gráfico é formado por pontos que
pertencem a uma mesma reta, obtenha a sentença que expressa C em função de n.
Solução
Pelo enunciado da questão, temos uma função linear do tipo: f(x) = ax + b.
500 pães ----> R$ 97,00
700 pães ----> R$ 123,00
Se o gráfico é uma reta, então: C(n) = na + b.
97 = 500a + b (I)
123 = 700a + b (II)
Fazendo: (II) + (-I), temos:
123 = 700a + b
-97 = -500a - b
26 = 200a
a = 26/200
a = 0,13
97 = 500a + b (I)
97 = 500(0,13) + b
97 = 65 + b
b = 97 – 65
b = 32
Logo, a sentença que expressa C em função de n é:
+
-------------------
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
14
C(n) = 0,13n + 32
19) Um laboratório farmacêutico determinou que
a quantidade de um certo medicamento é função
da massa corpórea da pessoa que deve toma-lo.
Para pessoas de 30 a 120 quilogramas foi obtido o
gráfico ao lado. Obtenha a sentença que fornece
a quantidade q do medicamento em função da
massa corpórea m da pessoa.
Solução
Observando o gráfico, temos:
Para uma massa de 30 kg, a quantidade de medicamento é de 35 mg;
Para uma massa de 120 kg, a quantidade de medicamento é de 80 mg.
Como o gráfico é uma reta (logo a função é linear), podemos escrever:
q(m) = am + b
35 = 30a + b (I)
80 = 120a + b (II)
Fazendo: (II) + (-I), temos:
80 = 120a + b
-35 = -30a - b
45 = 90a
a = 45/90
a = 0,5
35 = 30a + b (I)
35 = 30.0,5 + b
35 = 15 + b
b = 35 – 15
b= 20
Logo, a sentença que fornece a quantidade q do medicamento em função da massa corpórea m da pessoa é:
q(m) = 0,5m + 20
20) Determine o ponto de intersecção dos gráficos das funções f e g de R em R dadas por f(x) = x + 2 e
g(x) = 5x – 1.
Solução
----------------
+
Celso do Rozário Brasil
14
C(n) = 0,13n + 32
19) Um laboratório farmacêutico determinou que
a quantidade de um certo medicamento é função
da massa corpórea da pessoa que deve toma-lo.
Para pessoas de 30 a 120 quilogramas foi obtido o
gráfico ao lado. Obtenha a sentença que fornece
a quantidade q do medicamento em função da
massa corpórea m da pessoa.
Solução
Observando o gráfico, temos:
Para uma massa de 30 kg, a quantidade de medicamento é de 35 mg;
Para uma massa de 120 kg, a quantidade de medicamento é de 80 mg.
Como o gráfico é uma reta (logo a função é linear), podemos escrever:
q(m) = am + b
35 = 30a + b (I)
80 = 120a + b (II)
Fazendo: (II) + (-I), temos:
80 = 120a + b
-35 = -30a - b
45 = 90a
a = 45/90
a = 0,5
35 = 30a + b (I)
35 = 30.0,5 + b
35 = 15 + b
b = 35 – 15
b= 20
Logo, a sentença que fornece a quantidade q do medicamento em função da massa corpórea m da pessoa é:
q(m) = 0,5m + 20
20) Determine o ponto de intersecção dos gráficos das funções f e g de R em R dadas por f(x) = x + 2 e
g(x) = 5x – 1.
Solução
----------------
+
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
15
Para descobrir o ponto de intersecção entre as duas retas, basta fazer:
f(x) = g(x)
x + 2 = 5x – 1
x -5x = -1 -2
-4x = -3
x = 3/4
Sendo: f(x) = x + 2, temos:
y = x + 2
y = 3/4 + 2
y = 11/4
Logo, o ponto de intersecção é P (3/4, 11/4)
21) As empresas A e B pagam aos seus vendedores salários que são calculados pela função (S) da venda
(v) efetuada. Em A, o valor de S é dado por S(v) = 400 + 0,2v e em B, S é calculado por
S(v) = 550 + 0,018v.
(a) Calcule os salários de um vendedor de A e de um vendedor de B em um mês em que eles não
efetuem venda alguma;
(b) Qual deve ser o valor da venda para o salário de um vendedor de A ser maior que o salário de
um vendedor de B?
Solução
(a)
Empresa A ----> S(v) = 400 + 0,02v
Empresa B ----> S(v) = 550 + 0,018v
Quando não há nenhuma venda, temos: v = 0
Empresa A: S(v) = 400 + 0,2v ----> S(0) = 400 + 0,02.0 ----> S(0) = R$ 400,00
Empresa B: S(v) = 550 + 0,018v ----> S(0) = 550 + 0,018.0 ----> S(0) = R$ 550,00
(b)
??????
�
>??????
�
400 + 0,02v > 550 + 0,018v
400 – 550 > 0,018v – 0,02v
-150 > -0,02v (-1)
150 < 0,02v
v > 150/0,002
v > 75000
Celso do Rozário Brasil
15
Para descobrir o ponto de intersecção entre as duas retas, basta fazer:
f(x) = g(x)
x + 2 = 5x – 1
x -5x = -1 -2
-4x = -3
x = 3/4
Sendo: f(x) = x + 2, temos:
y = x + 2
y = 3/4 + 2
y = 11/4
Logo, o ponto de intersecção é P (3/4, 11/4)
21) As empresas A e B pagam aos seus vendedores salários que são calculados pela função (S) da venda
(v) efetuada. Em A, o valor de S é dado por S(v) = 400 + 0,2v e em B, S é calculado por
S(v) = 550 + 0,018v.
(a) Calcule os salários de um vendedor de A e de um vendedor de B em um mês em que eles não
efetuem venda alguma;
(b) Qual deve ser o valor da venda para o salário de um vendedor de A ser maior que o salário de
um vendedor de B?
Solução
(a)
Empresa A ----> S(v) = 400 + 0,02v
Empresa B ----> S(v) = 550 + 0,018v
Quando não há nenhuma venda, temos: v = 0
Empresa A: S(v) = 400 + 0,2v ----> S(0) = 400 + 0,02.0 ----> S(0) = R$ 400,00
Empresa B: S(v) = 550 + 0,018v ----> S(0) = 550 + 0,018.0 ----> S(0) = R$ 550,00
(b)
??????
�
>??????
�
400 + 0,02v > 550 + 0,018v
400 – 550 > 0,018v – 0,02v
-150 > -0,02v (-1)
150 < 0,02v
v > 150/0,002
v > 75000
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
16
22) (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a
seguir, por 6 pontos de uma mesma reta. Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção,
pagará por unidade, em Reais, o equivalente a:
(a) 4,50
(b) 5,00
(c) 5,50
(d) 6,00
(e) 6,50
Solução
Pelo gráfico, temos uma função linear do tipo: f(x) = ax + b, logo:
P (5, 150)
↔ 150 = a⋅5+b (I) e
Q (30, 50)
↔ 50 = a⋅30+b (II).
Fazendo (I) - (II):
150 = a⋅5+b
-50 = -a⋅30 - b
---------------
25 a = -100 ↔
a = -4
150 = a⋅5+b (I)
150= (−4)⋅5+b ↔
b = 150+20
b = 170
f(x) = -4x + 170
f(20) = -4 (20) + 170 = 90
90/20 = 4,50
Celso do Rozário Brasil
16
22) (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a
seguir, por 6 pontos de uma mesma reta. Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção,
pagará por unidade, em Reais, o equivalente a:
(a) 4,50
(b) 5,00
(c) 5,50
(d) 6,00
(e) 6,50
Solução
Pelo gráfico, temos uma função linear do tipo: f(x) = ax + b, logo:
P (5, 150)
↔ 150 = a⋅5+b (I) e
Q (30, 50)
↔ 50 = a⋅30+b (II).
Fazendo (I) - (II):
150 = a⋅5+b
-50 = -a⋅30 - b
---------------
25 a = -100 ↔
a = -4
150 = a⋅5+b (I)
150= (−4)⋅5+b ↔
b = 150+20
b = 170
f(x) = -4x + 170
f(20) = -4 (20) + 170 = 90
90/20 = 4,50
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
17
23)
Solução
a) O pai ganhou a corrida, pois, ele chegou aos 100 m em 14 s e o filho, em 17 s; a diferença de tempo
foi de 3 s.
b) Cerca de 70 metros.
c) Cerca de 10 segundos.
24) Uma copiadora cobra de seus clientes R$ 0,10 por página copiada. Caso o número de cópias
ultrapasse 50, o preço será reduzido para R$ 0,08 por cópia excedente. Qual o número mínimo de cópias
que devem ser tiradas para o custo ser superior a R$ 15,00?
Solução
Temos o seguinte esquema:
x = número de cópias excedentes
Celso do Rozário Brasil
17
23)
Solução
a) O pai ganhou a corrida, pois, ele chegou aos 100 m em 14 s e o filho, em 17 s; a diferença de tempo
foi de 3 s.
b) Cerca de 70 metros.
c) Cerca de 10 segundos.
24) Uma copiadora cobra de seus clientes R$ 0,10 por página copiada. Caso o número de cópias
ultrapasse 50, o preço será reduzido para R$ 0,08 por cópia excedente. Qual o número mínimo de cópias
que devem ser tiradas para o custo ser superior a R$ 15,00?
Solução
Temos o seguinte esquema:
x = número de cópias excedentes
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
18
0,10.50 + 0,08x > 15
5 + 0,08x > 15
0,08x > 10
x > 10/0,08
x > 125
Logo, o número de cópias excedentes deve ser 126, e o total de cópias T = 50 + 126 = 176.
25) Considere a função polinomial do 1° grau definida por f(x) = m(x – 1) + 2(3 – x). Determine m de
modo que a função f seja crescente.
Solução
f(x) = m(x – 1) + 2(3 – x)
f(x) = mx – m + 6 – 2x
f(x) = mx – 2x – m + 6
f(x) = (m – 2)x – m + 6
Para que a função seja crescente, devemos ter: a > 0, ou seja:
m – 2 > 0
m > 2
26) Considere f: ℝ→ℝ uma função afim da forma f(x) = mx + n. Considerando que f(120) = 370 e
f(330) = 1000, calcule f(250).
Solução
Devemos ter os seguintes pontos:
(120, 370)
(330, 1000)
Vamos usar o determinante para achar a equação da reta:
330y – 120y + 370x - 1000x + 120000 – 122100 = 0
210y – 630x – 2100 = 0
Para x = 250, devemos ter:
210y – 630.250 – 2100 = 0
210y – 157500 – 2100 = 0
Celso do Rozário Brasil
18
0,10.50 + 0,08x > 15
5 + 0,08x > 15
0,08x > 10
x > 10/0,08
x > 125
Logo, o número de cópias excedentes deve ser 126, e o total de cópias T = 50 + 126 = 176.
25) Considere a função polinomial do 1° grau definida por f(x) = m(x – 1) + 2(3 – x). Determine m de
modo que a função f seja crescente.
Solução
f(x) = m(x – 1) + 2(3 – x)
f(x) = mx – m + 6 – 2x
f(x) = mx – 2x – m + 6
f(x) = (m – 2)x – m + 6
Para que a função seja crescente, devemos ter: a > 0, ou seja:
m – 2 > 0
m > 2
26) Considere f: ℝ→ℝ uma função afim da forma f(x) = mx + n. Considerando que f(120) = 370 e
f(330) = 1000, calcule f(250).
Solução
Devemos ter os seguintes pontos:
(120, 370)
(330, 1000)
Vamos usar o determinante para achar a equação da reta:
330y – 120y + 370x - 1000x + 120000 – 122100 = 0
210y – 630x – 2100 = 0
Para x = 250, devemos ter:
210y – 630.250 – 2100 = 0
210y – 157500 – 2100 = 0
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
19
210y – 159600 = 0
210y = 159600
y = 159600/210
y = 760
27) As grandezas x e y são diretamente proporcionais e a relação de dependência entre elas é y = kx,
onde k representa a constante de proporcionalidade. Observando o gráfico dessa função linear,
responda:
(a) Qual o valor da constante de
proporcionalidade?
(b) Duplicando-se o valor de x o que ocorre
com o valor de y em correspondência?
(c) Reduzindo-se 25% o valor de y, o que
ocorre com o valor de x em
correspondência?
Solução
(a)
Sendo a função:
y = kx
Pelo gráfico temos o ponto:
x = 0,5 e y = 1
Substituindo estes valores na função, temos:
1 = k.0,5
k = 1/0,5
k = 2
(b)
Duplicando-se o valor de x, o valor de y correspondente duplica na mesma proporção (porque as grandezas
são diretamente proporcionais);
(c)
Reduzindo-se 25% o valor de y, o valor de x também reduz-se em 25%.
Celso do Rozário Brasil
19
210y – 159600 = 0
210y = 159600
y = 159600/210
y = 760
27) As grandezas x e y são diretamente proporcionais e a relação de dependência entre elas é y = kx,
onde k representa a constante de proporcionalidade. Observando o gráfico dessa função linear,
responda:
(a) Qual o valor da constante de
proporcionalidade?
(b) Duplicando-se o valor de x o que ocorre
com o valor de y em correspondência?
(c) Reduzindo-se 25% o valor de y, o que
ocorre com o valor de x em
correspondência?
Solução
(a)
Sendo a função:
y = kx
Pelo gráfico temos o ponto:
x = 0,5 e y = 1
Substituindo estes valores na função, temos:
1 = k.0,5
k = 1/0,5
k = 2
(b)
Duplicando-se o valor de x, o valor de y correspondente duplica na mesma proporção (porque as grandezas
são diretamente proporcionais);
(c)
Reduzindo-se 25% o valor de y, o valor de x também reduz-se em 25%.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
20
28) Considere que em uma determinada cidade uma empresa A de táxi cobra R$ 2,00 a bandeirada e
R$ 2,00 por km rodado. Outra empresa B cobra R$ 3,00 por km rodado e não cobra bandeirada.
Quando pegar um táxi pela empresa A é mais econômico?
a) x = 2 km
b) x < 2 km
c) x > 2 km
d) x < 3 km
e) x < 1 km
Solução
Empresa A: f(x) = 2x + 2
Empresa B: g(x) = 3x
Para que a corrida de táxi pela empresa A seja mais econômica, devemos ter:
f(x) < g(x)
2x + 2 < 3x
2x – 3x < -2
-x < -2 (-1)
x > 2 km
29) (UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões
foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A
partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou.
Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão
contidos no gráfico a seguir: (imagem abaixo):
Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e:
a) 20 min
b) 30 min
Celso do Rozário Brasil
20
28) Considere que em uma determinada cidade uma empresa A de táxi cobra R$ 2,00 a bandeirada e
R$ 2,00 por km rodado. Outra empresa B cobra R$ 3,00 por km rodado e não cobra bandeirada.
Quando pegar um táxi pela empresa A é mais econômico?
a) x = 2 km
b) x < 2 km
c) x > 2 km
d) x < 3 km
e) x < 1 km
Solução
Empresa A: f(x) = 2x + 2
Empresa B: g(x) = 3x
Para que a corrida de táxi pela empresa A seja mais econômica, devemos ter:
f(x) < g(x)
2x + 2 < 3x
2x – 3x < -2
-x < -2 (-1)
x > 2 km
29) (UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões
foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A
partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou.
Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão
contidos no gráfico a seguir: (imagem abaixo):
Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e:
a) 20 min
b) 30 min
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
21
c) 35 mim
d) 40 min
e) 50 min
Solução
A questão é de função afim. Podemos encontrar o valor requisitado a partir do coeficiente angular da reta em
dois pontos na reta que vai das 15 às 17 horas.
O coeficiente é dado pela tangente do ângulo destacado na imagem. A tangente é a razão entre o cateto oposto
e o cateto adjacente. Calculado em 2 pontos, temos:
Fazendo "meio pelos extremos", temos:
Portanto, o horário será às 15 horas e 0.5 horas, fazendo a conversão de 0.5hora x (60min/hora) = 30 minutos.
Logo, x = 15h 30 min.
Resposta: B
OUTRO MÉTODO DE RESOLUÇÃO:
Celso do Rozário Brasil
21
c) 35 mim
d) 40 min
e) 50 min
Solução
A questão é de função afim. Podemos encontrar o valor requisitado a partir do coeficiente angular da reta em
dois pontos na reta que vai das 15 às 17 horas.
O coeficiente é dado pela tangente do ângulo destacado na imagem. A tangente é a razão entre o cateto oposto
e o cateto adjacente. Calculado em 2 pontos, temos:
Fazendo "meio pelos extremos", temos:
Portanto, o horário será às 15 horas e 0.5 horas, fazendo a conversão de 0.5hora x (60min/hora) = 30 minutos.
Logo, x = 15h 30 min.
Resposta: B
OUTRO MÉTODO DE RESOLUÇÃO:
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
22
Pelo gráfico, temos os seguintes pontos:
(15, 30.000)
(17, 90.000)
Logo, o determinante formado por estes pontos é:
17y -15y + 30.000x – 90.000x + 1.350.000 – 510.000 = 0
-60.000x + 2y + 840.000 = 0
Fazendo y = 45.000, temos:
-60.000x + 2 . 45.000 + 840.000 = 0
-60.000x + 90.000 + 840.000 = 0
-60.000x + 930.000 = 0
-60.000x = - 930.000 (-1)
60.000x = 930.000
x = 930.000/60.000
x = 15,5
ou
15 horas e 30 minutos
30) (FAAP-SP) Durante um mês, o número y de unidades produzidas de um determinado bem de função
do número x de funcionários empregados é dado de acordo com a lei y = 50√??????. sabendo-se que 121
funcionários estão empregados, o acréscimo de produção com a admissão de 48 novos funcionários é:
(a) 550
(b) 250
(c) 100
(d) 650
(e) 200
Solução
Com 121 funcionários produz
Celso do Rozário Brasil
22
Pelo gráfico, temos os seguintes pontos:
(15, 30.000)
(17, 90.000)
Logo, o determinante formado por estes pontos é:
17y -15y + 30.000x – 90.000x + 1.350.000 – 510.000 = 0
-60.000x + 2y + 840.000 = 0
Fazendo y = 45.000, temos:
-60.000x + 2 . 45.000 + 840.000 = 0
-60.000x + 90.000 + 840.000 = 0
-60.000x + 930.000 = 0
-60.000x = - 930.000 (-1)
60.000x = 930.000
x = 930.000/60.000
x = 15,5
ou
15 horas e 30 minutos
30) (FAAP-SP) Durante um mês, o número y de unidades produzidas de um determinado bem de função
do número x de funcionários empregados é dado de acordo com a lei y = 50√??????. sabendo-se que 121
funcionários estão empregados, o acréscimo de produção com a admissão de 48 novos funcionários é:
(a) 550
(b) 250
(c) 100
(d) 650
(e) 200
Solução
Com 121 funcionários produz
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
23
Com o acréscimo de 48 funcionários terá um total de 121 + 48 = 169 produzirá:
Subtraindo 650-550 = 100 será o acréscimo de produção
Resposta: C
31) Considere a função f: R-R, definida por f(x) = 2x - 1. determine todos os valores de m ∈ ℝ para os
quais é válida a igualdade: f(m²) - 2f(m) + f(2m) =
�
�
.
Solução
(i) Cálculo de f(m²):
f(x) = 2x – 1
f(m²) = 2m² - 1
f(m) = 2m -1
(ii) Cálculo de f(2m):
f(x) = 2x – 1
f(2m) = 2(2m) – 1
f(2m) =2f(m)= 4m -1
(iii) Substituindo os valores encontrados, temos:
f(m²) - 2f(m) + f(2m) =
�
�
.
2m² - 1 – 2(2m -1) + 4m – 1 =
??????
2
4m² - 2 –4(2m -1) + 8m -2 – m = 0
4m² - 2 - 8m + 4 + 8m - 2 – m = 0
4m² - m = 0
m (4m – 1) = 0
Celso do Rozário Brasil
23
Com o acréscimo de 48 funcionários terá um total de 121 + 48 = 169 produzirá:
Subtraindo 650-550 = 100 será o acréscimo de produção
Resposta: C
31) Considere a função f: R-R, definida por f(x) = 2x - 1. determine todos os valores de m ∈ ℝ para os
quais é válida a igualdade: f(m²) - 2f(m) + f(2m) =
�
�
.
Solução
(i) Cálculo de f(m²):
f(x) = 2x – 1
f(m²) = 2m² - 1
f(m) = 2m -1
(ii) Cálculo de f(2m):
f(x) = 2x – 1
f(2m) = 2(2m) – 1
f(2m) =2f(m)= 4m -1
(iii) Substituindo os valores encontrados, temos:
f(m²) - 2f(m) + f(2m) =
�
�
.
2m² - 1 – 2(2m -1) + 4m – 1 =
??????
2
4m² - 2 –4(2m -1) + 8m -2 – m = 0
4m² - 2 - 8m + 4 + 8m - 2 – m = 0
4m² - m = 0
m (4m – 1) = 0
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
24
m = 0
4m – 1 = 0
m = 1/4
Resposta: m = 0 ou m = 1/4
32) (PUC-MG) Suponha-se que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia,
contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função:
�(�)=
���??????
���−??????
Se o número de funcionários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de
moradores que as receberam é:
(a) 25
(b) 30
(c) 40
(d) 45
(e) 50
Solução
f(x)=
300�
150−�
75=
300�
150−�
75(150 - x) = 300x
11250 - 75x = 300x
300x + 75x = 11250
375x = 11250
x = 11250/375
x = 30
Resposta: B
Celso do Rozário Brasil
24
m = 0
4m – 1 = 0
m = 1/4
Resposta: m = 0 ou m = 1/4
32) (PUC-MG) Suponha-se que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia,
contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função:
�(�)=
���??????
���−??????
Se o número de funcionários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de
moradores que as receberam é:
(a) 25
(b) 30
(c) 40
(d) 45
(e) 50
Solução
f(x)=
300�
150−�
75=
300�
150−�
75(150 - x) = 300x
11250 - 75x = 300x
300x + 75x = 11250
375x = 11250
x = 11250/375
x = 30
Resposta: B
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
25
33) O gráfico ao mostra a
evolução da população mundial
no decorrer do tempo e sua
projeção para o fim deste século
(até o ano de 2 100).
Calcule a taxa média de variação
da população, em pessoas/ano, de
1800 a 2011
Solução
A taxa média de variação de uma função é dada por:
T=
∆y
∆x
→T=
y
2−y
1
x
2
−x
1
→
T=
7.000.000.000−1.000.000.000
2011−1800
→
T=
6.000.000.000
211
→T≅28.436.019→??????≅��,�� ����õ��
Observação:
A taxa média encontrada não significa, obrigatoriamente, que a população mundial aumentou 28,44
milhões de pessoas por ano no período considerado. há períodos em que a população cresceu mais devagar
(por exemplo, de 1800 a 1930) e períodos em que a população cresceu mais rápido (de 1999 a 2011, por
exemplo). Porém, quando analisamos globalmente, todas as variações ocorridas equivalem, em média, a um
aumento de 28,44 milhões de pessoas por ano.
Celso do Rozário Brasil
25
33) O gráfico ao mostra a
evolução da população mundial
no decorrer do tempo e sua
projeção para o fim deste século
(até o ano de 2 100).
Calcule a taxa média de variação
da população, em pessoas/ano, de
1800 a 2011
Solução
A taxa média de variação de uma função é dada por:
T=
∆y
∆x
→T=
y
2−y
1
x
2
−x
1
→
T=
7.000.000.000−1.000.000.000
2011−1800
→
T=
6.000.000.000
211
→T≅28.436.019→??????≅��,�� ����õ��
Observação:
A taxa média encontrada não significa, obrigatoriamente, que a população mundial aumentou 28,44
milhões de pessoas por ano no período considerado. há períodos em que a população cresceu mais devagar
(por exemplo, de 1800 a 1930) e períodos em que a população cresceu mais rápido (de 1999 a 2011, por
exemplo). Porém, quando analisamos globalmente, todas as variações ocorridas equivalem, em média, a um
aumento de 28,44 milhões de pessoas por ano.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
26
34) o gráfico mostra o lucro (em milhares de reais) de uma pequena empresa, de 2000 a 2015:
Calcule a taxa média de variação do lucro nos 5 primeiros e nos 5 últimos anos. O que podemos dizer
das taxas de variações médias nesses períodos considerados?
Solução
Conforme vimos anteriormente, a taxa média de variação de uma função é dada por:
T=
∆y
∆x
→T=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
Logo, de 2000 até 2005, temos:
T=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
→T=T=
100−60
2005−2000
→T=
40
5
→??????=�
De 2010 até 2015, temos:
T=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
→T=
115−105
2015−2010
→T=
10
5
→??????=�
Portanto, a taxa de variação nos cinco primeiros anos é o quádruplo da taxa de variação nos cinco
últimos anos.
Celso do Rozário Brasil
26
34) o gráfico mostra o lucro (em milhares de reais) de uma pequena empresa, de 2000 a 2015:
Calcule a taxa média de variação do lucro nos 5 primeiros e nos 5 últimos anos. O que podemos dizer
das taxas de variações médias nesses períodos considerados?
Solução
Conforme vimos anteriormente, a taxa média de variação de uma função é dada por:
T=
∆y
∆x
→T=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
Logo, de 2000 até 2005, temos:
T=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
→T=T=
100−60
2005−2000
→T=
40
5
→??????=�
De 2010 até 2015, temos:
T=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
→T=
115−105
2015−2010
→T=
10
5
→??????=�
Portanto, a taxa de variação nos cinco primeiros anos é o quádruplo da taxa de variação nos cinco
últimos anos.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
27
35) o gráfico mostra a evolução da quantidade de municípios no brasil de 1950 a 2010 (datas dos Censos
Demográficos).
Para a função representada pelo gráfico, determine a taxa média de variação de 1950 a 2010.
Solução
A taxa média de variação de uma função é dada por:
T=
∆y
∆x
→T=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
→T=
5565−1889
2010−1950
→T=
3676
60
→T≅61,26→??????≅��,� �����í����/���
36) Restaurantes self-service podem ser
encontrados em todas as regiões do Brasil. Em
um deles, cobra-se R$ 3,80 por cada 100 g de
comida. Dois amigos serviram-se, nesse
restaurante, de 620 g e 410 g.
(a) Quanto cada um pagou?
(b) O valor (y) pago, em reais, varia de
acordo com a quantidade de comida (x),
em quilogramas. Qual a lei que
relaciona y e x, nesse caso?
Solução
(a) inicialmente, observe que R$ 3,80 por 100 g equivale a R$ 38,00 por kg. Assim, podemos calcular quanto
cada amigo pagou. Quem se serviu de 620 g = 0,62 kg, pagou 0,62.38 = 23,56 Reais; o outro amigo consumiu
410 g (ou 0,41 kg), logo, ele pagou: 0,41.38 = 15,58 Reais.
Celso do Rozário Brasil
27
35) o gráfico mostra a evolução da quantidade de municípios no brasil de 1950 a 2010 (datas dos Censos
Demográficos).
Para a função representada pelo gráfico, determine a taxa média de variação de 1950 a 2010.
Solução
A taxa média de variação de uma função é dada por:
T=
∆y
∆x
→T=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
→T=
5565−1889
2010−1950
→T=
3676
60
→T≅61,26→??????≅��,� �����í����/���
36) Restaurantes self-service podem ser
encontrados em todas as regiões do Brasil. Em
um deles, cobra-se R$ 3,80 por cada 100 g de
comida. Dois amigos serviram-se, nesse
restaurante, de 620 g e 410 g.
(a) Quanto cada um pagou?
(b) O valor (y) pago, em reais, varia de
acordo com a quantidade de comida (x),
em quilogramas. Qual a lei que
relaciona y e x, nesse caso?
Solução
(a) inicialmente, observe que R$ 3,80 por 100 g equivale a R$ 38,00 por kg. Assim, podemos calcular quanto
cada amigo pagou. Quem se serviu de 620 g = 0,62 kg, pagou 0,62.38 = 23,56 Reais; o outro amigo consumiu
410 g (ou 0,41 kg), logo, ele pagou: 0,41.38 = 15,58 Reais.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
28
(b) o valor (y) pago, em Reais, varia de acordo com a quantidade de comida (x), em quilogramas. A lei que
relaciona y e x, nesse caso, é: y = 38x.
37) uma caixa-d'água, de volume 21 m³, inicialmente vazia, começa a receber água de uma fonte à razão
de 15 litros por minuto. Lembre-se de que 1 m³ equivale a 1 000 litros.
(a) Após x minutos de funcionamento da fonte, qual será o volume (y) de água na caixa, em litros?
(b) Quantos litros de água haverá na caixa após meia hora?
(c) Em quanto tempo a caixa estará cheia?
Solução
(a) y = 15x
(b) Fazendo x=30 minutos,temos:
y=15.30→�=��� ������
(c) 21 m³ equivalem a 21.000 litros. Logo:
15 litros....................1 minuto
21000 litros....................x
15x = 21000 ----> x = 21000/15 ----> x = 1400 minutos
Transformando para hora, temos:
1400
60
→23,3̅→23+
1
3
h (
1
3
h=
1
3
.60=�� �������)
Resposta: A caixa estará cheia em 23 horas e 20 minutos.
38) Na figura estão representados os gráficos de duas funções f: ℝ →ℝ definidas por f(x) = 2x + 3 e
g(x) = ax + b. Calcule o valor de g(8).
Celso do Rozário Brasil
28
(b) o valor (y) pago, em Reais, varia de acordo com a quantidade de comida (x), em quilogramas. A lei que
relaciona y e x, nesse caso, é: y = 38x.
37) uma caixa-d'água, de volume 21 m³, inicialmente vazia, começa a receber água de uma fonte à razão
de 15 litros por minuto. Lembre-se de que 1 m³ equivale a 1 000 litros.
(a) Após x minutos de funcionamento da fonte, qual será o volume (y) de água na caixa, em litros?
(b) Quantos litros de água haverá na caixa após meia hora?
(c) Em quanto tempo a caixa estará cheia?
Solução
(a) y = 15x
(b) Fazendo x=30 minutos,temos:
y=15.30→�=��� ������
(c) 21 m³ equivalem a 21.000 litros. Logo:
15 litros....................1 minuto
21000 litros....................x
15x = 21000 ----> x = 21000/15 ----> x = 1400 minutos
Transformando para hora, temos:
1400
60
→23,3̅→23+
1
3
h (
1
3
h=
1
3
.60=�� �������)
Resposta: A caixa estará cheia em 23 horas e 20 minutos.
38) Na figura estão representados os gráficos de duas funções f: ℝ →ℝ definidas por f(x) = 2x + 3 e
g(x) = ax + b. Calcule o valor de g(8).
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
29
Solução
Pelo gráfico, temos:
f(x) = 2x + 3
Fazendo x = 4, temos:
f(4) = 2.4 + 3
f(4) = 8 + 3
f(4) = 11
Logo, o ponto (4, 11) é o ponto de intersecção das retas de f e g.
Note que na reta g, quando x = 0, y = 15, logo: (0, 15) é outro ponto de g.
Com os dois pontos (4, 11) e (0, 15) podemos calcular a equação da reta g através do determinante:
-4y – 15x + 11x + 60 = 0
-4y – 4x + 60 = 0 (Esta é a equação da reta de g)
Fazendo x = 8 e substituindo na equação acima, temos:
-4y – 4.8 + 60 = 0
-4y – 32 + 60 = 0
-4y + 28 = 0
y = -28/-4
y = 7
Logo, f(8) = 7
39) Um vendedor recebe um salário fixo e
mais uma parte variável, correspondente à
comissão sobre o total vendido em um mês. o
gráfico seguinte informa algumas
possibilidades de salário (y) em função das
vendas (x).
(a) Encontre a lei da função cujo gráfico é
essa reta.
(b) Qual é a parte fixa do salário?
(c) Alguém da loja disse ao vendedor que, se
ele conseguisse dobrar as vendas, seu salário
também dobraria. isso é verdade? Explique.
Solução
Celso do Rozário Brasil
29
Solução
Pelo gráfico, temos:
f(x) = 2x + 3
Fazendo x = 4, temos:
f(4) = 2.4 + 3
f(4) = 8 + 3
f(4) = 11
Logo, o ponto (4, 11) é o ponto de intersecção das retas de f e g.
Note que na reta g, quando x = 0, y = 15, logo: (0, 15) é outro ponto de g.
Com os dois pontos (4, 11) e (0, 15) podemos calcular a equação da reta g através do determinante:
-4y – 15x + 11x + 60 = 0
-4y – 4x + 60 = 0 (Esta é a equação da reta de g)
Fazendo x = 8 e substituindo na equação acima, temos:
-4y – 4.8 + 60 = 0
-4y – 32 + 60 = 0
-4y + 28 = 0
y = -28/-4
y = 7
Logo, f(8) = 7
39) Um vendedor recebe um salário fixo e
mais uma parte variável, correspondente à
comissão sobre o total vendido em um mês. o
gráfico seguinte informa algumas
possibilidades de salário (y) em função das
vendas (x).
(a) Encontre a lei da função cujo gráfico é
essa reta.
(b) Qual é a parte fixa do salário?
(c) Alguém da loja disse ao vendedor que, se
ele conseguisse dobrar as vendas, seu salário
também dobraria. isso é verdade? Explique.
Solução
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
30
(a) Como o gráfico da função é uma reta, temos uma função afim. Logo:
y = ax + b
Pelo gráfico, temos os seguintes pontos (5000, 1100) e (8000, 1220). Substituindo os valores na equação,
temos:
1100 = a.5000 + b (I)
1220 = a.8000 + b (II)
Fazendo: (II) – (I), temos:
1220 = a.8000 + b
-1100 = -a.5000 – b
120 = 3000.a
a = 120/3000
a = 0,04
1100 = a.5000 + b (I)
1100 = 0,04.5000 + b
1100 = 200 + b
b = 1100 – 200
b = 900
Logo, a função representada pelo gráfico é:
y = 0,04x + 900
(b) A parte fixa do salário é representada pelo termo independente “b”, logo:
R$ 900,00
(c) Não; pois a parte fixa do salário não dobra (apenas a parte variável dobra).
Façamos um teste:
x = 5 000 -----> y = 1 100 (Vamos dobrar o valor de x)
x = 10 000 -----> y = 0,04 . 10.000 + 900 = 1 300 (O valor de y não dobrou)
40) Uma empresa pretende lançar um modelo novo de smartphone no mercado. Para isso, selecionou
alguns modelos para teste. o gráfico seguinte mostra os resultados de um teste realizado em quatro
modelos (I, II, III e IV) e relaciona o percentual do aparelho carregado e o tempo gasto no
carregamento.
----------------------
---
Celso do Rozário Brasil
30
(a) Como o gráfico da função é uma reta, temos uma função afim. Logo:
y = ax + b
Pelo gráfico, temos os seguintes pontos (5000, 1100) e (8000, 1220). Substituindo os valores na equação,
temos:
1100 = a.5000 + b (I)
1220 = a.8000 + b (II)
Fazendo: (II) – (I), temos:
1220 = a.8000 + b
-1100 = -a.5000 – b
120 = 3000.a
a = 120/3000
a = 0,04
1100 = a.5000 + b (I)
1100 = 0,04.5000 + b
1100 = 200 + b
b = 1100 – 200
b = 900
Logo, a função representada pelo gráfico é:
y = 0,04x + 900
(b) A parte fixa do salário é representada pelo termo independente “b”, logo:
R$ 900,00
(c) Não; pois a parte fixa do salário não dobra (apenas a parte variável dobra).
Façamos um teste:
x = 5 000 -----> y = 1 100 (Vamos dobrar o valor de x)
x = 10 000 -----> y = 0,04 . 10.000 + 900 = 1 300 (O valor de y não dobrou)
40) Uma empresa pretende lançar um modelo novo de smartphone no mercado. Para isso, selecionou
alguns modelos para teste. o gráfico seguinte mostra os resultados de um teste realizado em quatro
modelos (I, II, III e IV) e relaciona o percentual do aparelho carregado e o tempo gasto no
carregamento.
----------------------
---
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
31
Sabe-se que a empresa pretende que o novo modelo de smartphone lançado não leve mais que 20 minutos
para carregar a bateria. Supondo linear a relação entre o percentual e o tempo, determine qual(is)
modelo(s) deve(m) ser descartado(s) nesse teste.
Solução
Resposta: Os modelos I, II e III devem ser descartados.
Celso do Rozário Brasil
31
Sabe-se que a empresa pretende que o novo modelo de smartphone lançado não leve mais que 20 minutos
para carregar a bateria. Supondo linear a relação entre o percentual e o tempo, determine qual(is)
modelo(s) deve(m) ser descartado(s) nesse teste.
Solução
Resposta: Os modelos I, II e III devem ser descartados.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
32
41) o gráfico a seguir mostra o custo total mensal (y), em reais, para se confeccionar x unidades de
camisetas em uma pequena fábrica.
(a) Determine a lei da função que relaciona y e x;
(b) Calcule o custo de confecção de 3 000 camisetas.
Solução
(a) Sabemos que a taxa média de variação de uma função é dada por:
T=
∆y
∆x
→T=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
→T=
29800−14800
5000−2000
→T=
15000
3000
→??????=�
Como T = a = 5 (coeficiente angular da função) e o ponto (2000, 14800) pertence à reta, temos:
y = ax + b
14800 = 5.200 + b
14800 = 10.000 + b
14800 – 10.000 = b
b = 4800
Resposta: A lei da função é: y = 5x + 4800
(b) O custo de confecção de 3 000 camisetas é:
y = 5x + 4800
y = 5.3000 + 4800
y = 15.000 + 4.800
y = R$ 19.800,00
42) O gráfico ao lado mostra a evolução da massa (m) de um
mamífero, em quilogramas, nos primeiros meses de vida.
(a) Com quantos quilogramas esse mamífero nasceu?
(b) Qual era a sua massa com 2 meses de vida?
(c) Mantida essa tendência até o 5° mês, qual seria a massa do
mamífero com 4,5 meses de vida?
Celso do Rozário Brasil
32
41) o gráfico a seguir mostra o custo total mensal (y), em reais, para se confeccionar x unidades de
camisetas em uma pequena fábrica.
(a) Determine a lei da função que relaciona y e x;
(b) Calcule o custo de confecção de 3 000 camisetas.
Solução
(a) Sabemos que a taxa média de variação de uma função é dada por:
T=
∆y
∆x
→T=
y
2
−y
1
x
2
−x
1
→T=
29800−14800
5000−2000
→T=
15000
3000
→??????=�
Como T = a = 5 (coeficiente angular da função) e o ponto (2000, 14800) pertence à reta, temos:
y = ax + b
14800 = 5.200 + b
14800 = 10.000 + b
14800 – 10.000 = b
b = 4800
Resposta: A lei da função é: y = 5x + 4800
(b) O custo de confecção de 3 000 camisetas é:
y = 5x + 4800
y = 5.3000 + 4800
y = 15.000 + 4.800
y = R$ 19.800,00
42) O gráfico ao lado mostra a evolução da massa (m) de um
mamífero, em quilogramas, nos primeiros meses de vida.
(a) Com quantos quilogramas esse mamífero nasceu?
(b) Qual era a sua massa com 2 meses de vida?
(c) Mantida essa tendência até o 5° mês, qual seria a massa do
mamífero com 4,5 meses de vida?
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
33
Solução
(a) Com base no gráfico, vamos calcular a taxa de variação:
T=
75−50
3−1
T=
25
2
??????=��,� ��/�ê�
Assim, com 1 mês de vida o mamífero já tinha 50 kg, ele nasceu com: 50 – 12,5 = 37,5 kg
(b) Após 2 meses há uma variação de: 2.12,5 = 25 kg. Logo:
37,5 + 25 = 62,5 kg (Em 2 meses a massa do mamífero será de 62,5 kg)
(c) Devemos ter: 37,5 + 4,5.12,5 ----> 37,5 + 56,25 -----> 93,75 kg.
43) Em 31/12/2009 uma represa continha 500 milhões de metros cúbicos de água. Devido à seca, a
quantidade de água armazenada nessa represa vem decrescendo, ano a ano, de forma linear, chegando,
em 31/12/2017, a 250 milhões de metros cúbicos de água. Se esse comportamento se mantiver nos anos
seguintes, determine:
a) quantos metros cúbicos de água a represa terá em 31/12/2021.
b) quantos metros cúbicos de água a represa terá em 30/6/2022.
c) em que data (mês e ano) a represa ficaria vazia.
Solução
(a) Do enunciado, sabemos que o volume de água na represa diminuiu 250 milhões de metros cúbicos
(500 - 250 = 250) em 8 anos. Como o decréscimo é linear, por ano ela perde
250/8 = 31,25 (31,25 milhões de metros cúbicos).
De 2017 a 2021 são 4 anos; assim, em 31/12/2021 ela terá 250 – 4 x 31,25 = 250 - 125 = 125 (125
milhões de metros cúbicos).
b) Da data do item a, terá passado 0,5 ano. Assim, em 30/06/2022, serão 125 – 1/2 x 31,25 = 109,375
(109,375 milhões de metros cúbicos).
c) Considerando t = 0 a data de 31/12/2009, a lei que representa o volume (V), em milhões de m³, do
reservatório é: V(t) = 500 - 31,25t, com t em anos.
Daí, V(t) = 0 -----> 500 - 31,25t = 0 -----> -31,25t = -500 -----> t = -500/-31,25 ----> t = 16 anos
2009 + 16 = 2025. Logo, a represa ficaria vazia em dezembro de 2025.
44) o custo C, em milhares de reais, de produção de x litros de certa substância é dado por uma função
afim, com x ≥ 0, cujo gráfico está representado abaixo.
Celso do Rozário Brasil
33
Solução
(a) Com base no gráfico, vamos calcular a taxa de variação:
T=
75−50
3−1
T=
25
2
??????=��,� ��/�ê�
Assim, com 1 mês de vida o mamífero já tinha 50 kg, ele nasceu com: 50 – 12,5 = 37,5 kg
(b) Após 2 meses há uma variação de: 2.12,5 = 25 kg. Logo:
37,5 + 25 = 62,5 kg (Em 2 meses a massa do mamífero será de 62,5 kg)
(c) Devemos ter: 37,5 + 4,5.12,5 ----> 37,5 + 56,25 -----> 93,75 kg.
43) Em 31/12/2009 uma represa continha 500 milhões de metros cúbicos de água. Devido à seca, a
quantidade de água armazenada nessa represa vem decrescendo, ano a ano, de forma linear, chegando,
em 31/12/2017, a 250 milhões de metros cúbicos de água. Se esse comportamento se mantiver nos anos
seguintes, determine:
a) quantos metros cúbicos de água a represa terá em 31/12/2021.
b) quantos metros cúbicos de água a represa terá em 30/6/2022.
c) em que data (mês e ano) a represa ficaria vazia.
Solução
(a) Do enunciado, sabemos que o volume de água na represa diminuiu 250 milhões de metros cúbicos
(500 - 250 = 250) em 8 anos. Como o decréscimo é linear, por ano ela perde
250/8 = 31,25 (31,25 milhões de metros cúbicos).
De 2017 a 2021 são 4 anos; assim, em 31/12/2021 ela terá 250 – 4 x 31,25 = 250 - 125 = 125 (125
milhões de metros cúbicos).
b) Da data do item a, terá passado 0,5 ano. Assim, em 30/06/2022, serão 125 – 1/2 x 31,25 = 109,375
(109,375 milhões de metros cúbicos).
c) Considerando t = 0 a data de 31/12/2009, a lei que representa o volume (V), em milhões de m³, do
reservatório é: V(t) = 500 - 31,25t, com t em anos.
Daí, V(t) = 0 -----> 500 - 31,25t = 0 -----> -31,25t = -500 -----> t = -500/-31,25 ----> t = 16 anos
2009 + 16 = 2025. Logo, a represa ficaria vazia em dezembro de 2025.
44) o custo C, em milhares de reais, de produção de x litros de certa substância é dado por uma função
afim, com x ≥ 0, cujo gráfico está representado abaixo.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
34
a) o que o ponto (0, 4) pertencente à reta indica?
b) Qual é o custo de produção de 1 litro dessa substância?
c) o custo de R$ 7 000,00 corresponde à produção de quantos litros dessa substância?
Solução
(a) Para produzir 0 litro são gastos R$ 4 000,00; assim, o valor 4 000 corresponde ao custo fixo de
produção da empresa.
(b) 5,2 = 4,0 = 1,2; assim, com R$ 1.200,00 são fabricados 8 litros; o custo por litro é 1.200/8 = 150 (150
reais).
(c) 7 000 - 4 000 = 3 000;
3 000 ÷ 150 = 20 (20 litros)
45) No gráfico seguinte está representado o volume de petróleo, em litros, existente em um reservatório
de 26 m³ de capacidade, inicialmente vazio, em função do tempo, em horas, de abastecimento do
reservatório.
a) Determine a taxa média de variação do volume em relação ao tempo.
b) Determine os coeficientes angular e linear dessa reta.
c) Qual é a equação dessa reta?
d) Em quanto tempo o reservatório estará cheio?
Celso do Rozário Brasil
34
a) o que o ponto (0, 4) pertencente à reta indica?
b) Qual é o custo de produção de 1 litro dessa substância?
c) o custo de R$ 7 000,00 corresponde à produção de quantos litros dessa substância?
Solução
(a) Para produzir 0 litro são gastos R$ 4 000,00; assim, o valor 4 000 corresponde ao custo fixo de
produção da empresa.
(b) 5,2 = 4,0 = 1,2; assim, com R$ 1.200,00 são fabricados 8 litros; o custo por litro é 1.200/8 = 150 (150
reais).
(c) 7 000 - 4 000 = 3 000;
3 000 ÷ 150 = 20 (20 litros)
45) No gráfico seguinte está representado o volume de petróleo, em litros, existente em um reservatório
de 26 m³ de capacidade, inicialmente vazio, em função do tempo, em horas, de abastecimento do
reservatório.
a) Determine a taxa média de variação do volume em relação ao tempo.
b) Determine os coeficientes angular e linear dessa reta.
c) Qual é a equação dessa reta?
d) Em quanto tempo o reservatório estará cheio?
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
35
Solução
(a) Considerando, por exemplo, os pontos (0, 0) e (2, 2.600), temos:
T=
2600−0
2−0
→T=
2600
2
→??????=���� ??????/�
(b) O coeficiente angular (a) vale: a = 1300. O coeficiente linear é o valor de b, quando x = 0, logo: b = 0
(pois a reta parte da origem)
(c) y = 1 300x
(d) Como a capacidade do reservatório é de 26 m³ = 26000 litros, temos:
y = 1300x ----> 26000 = 1300x ----> x = 26000/1300 -----> x = 20 horas (logo, o reservatório estará cheio
em 20 horas).
46) (ENEM) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há
necessidade de limpeza do reservatório, toda água precisa ser escoada. o escoamento da água é feito por
seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo
reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas,
quando o reservatório estiver cheio. os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos
do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a
(a) 2
(b) 4
(c) 5
(d) 8
(e) 9
Solução
Por hora, os 6 ralos escoam 900 m³/6 = 150 m³.
Cada ralo escoa: 150 m³/6 = 25 m³ de água por hora.
• No novo reservatório, com capacidade de 500 m³, o escoamento deve ser feito em 4 horas. Como cada ralo
escoa, por hora, 25 m³, em 4 horas cada um terá que escoar 4 x 25 m³ = 100 m³.
Assim, a quantidade de ralos deverá ser: 500 m³/100 m³ = 5 ralos
Resposta: C
47) UERJ O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o
reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados,
no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo,
em horas, representado no eixo x.
Celso do Rozário Brasil
35
Solução
(a) Considerando, por exemplo, os pontos (0, 0) e (2, 2.600), temos:
T=
2600−0
2−0
→T=
2600
2
→??????=���� ??????/�
(b) O coeficiente angular (a) vale: a = 1300. O coeficiente linear é o valor de b, quando x = 0, logo: b = 0
(pois a reta parte da origem)
(c) y = 1 300x
(d) Como a capacidade do reservatório é de 26 m³ = 26000 litros, temos:
y = 1300x ----> 26000 = 1300x ----> x = 26000/1300 -----> x = 20 horas (logo, o reservatório estará cheio
em 20 horas).
46) (ENEM) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há
necessidade de limpeza do reservatório, toda água precisa ser escoada. o escoamento da água é feito por
seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo
reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas,
quando o reservatório estiver cheio. os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos
do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a
(a) 2
(b) 4
(c) 5
(d) 8
(e) 9
Solução
Por hora, os 6 ralos escoam 900 m³/6 = 150 m³.
Cada ralo escoa: 150 m³/6 = 25 m³ de água por hora.
• No novo reservatório, com capacidade de 500 m³, o escoamento deve ser feito em 4 horas. Como cada ralo
escoa, por hora, 25 m³, em 4 horas cada um terá que escoar 4 x 25 m³ = 100 m³.
Assim, a quantidade de ralos deverá ser: 500 m³/100 m³ = 5 ralos
Resposta: C
47) UERJ O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o
reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados,
no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo,
em horas, representado no eixo x.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
36
Determine o tempo �
�
, em horas, indicado no gráfico.
Solução
(i) Temos que encontrar a função que determina o volume de água em cada reservatório. Como a função é
representada por uma reta no gráfico, trata-se de uma função afim. Note que o gráfico da função A, mostra
uma reta decrescente, logo, o coeficiente angular “a” dessa função é negativo (a < 0). Já o gráfico da função
B, mostra uma reta crescente, logo: a > 0 (positivo).
(ii) A forma geral da função afim é: f(x) = ax + b (Onde: “a” = Coeficiente angular e “b” = Coeficiente linear
– Onde o gráfico corta o eixo y. Assim sendo, temos:
RESERVATÓRIO A:
b = 720
a = -10 (Indica a perda de água em litros)
Substituindo na equação geral, temos:
??????
�
(�)= −���+��� (??????
�
=??????����� �� �� �� �)
RESERVATÓRIO B:
b = 60
a = 12
Substituindo na equação geral, temos:
??????
�
(�)= ���+�� (??????
�
=??????����� �� �� �� �).
(iii) De acordo com o gráfico, o ponto de intersecção das duas retas A e B, é o ponto em que suas funções se
igualam. Então: ??????
�
(�)= ??????
�
(�):
Celso do Rozário Brasil
36
Determine o tempo �
�
, em horas, indicado no gráfico.
Solução
(i) Temos que encontrar a função que determina o volume de água em cada reservatório. Como a função é
representada por uma reta no gráfico, trata-se de uma função afim. Note que o gráfico da função A, mostra
uma reta decrescente, logo, o coeficiente angular “a” dessa função é negativo (a < 0). Já o gráfico da função
B, mostra uma reta crescente, logo: a > 0 (positivo).
(ii) A forma geral da função afim é: f(x) = ax + b (Onde: “a” = Coeficiente angular e “b” = Coeficiente linear
– Onde o gráfico corta o eixo y. Assim sendo, temos:
RESERVATÓRIO A:
b = 720
a = -10 (Indica a perda de água em litros)
Substituindo na equação geral, temos:
??????
�
(�)= −���+��� (??????
�
=??????����� �� �� �� �)
RESERVATÓRIO B:
b = 60
a = 12
Substituindo na equação geral, temos:
??????
�
(�)= ���+�� (??????
�
=??????����� �� �� �� �).
(iii) De acordo com o gráfico, o ponto de intersecção das duas retas A e B, é o ponto em que suas funções se
igualam. Então: ??????
�
(�)= ??????
�
(�):
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
37
−10x+720 = 12x+60
12x + 10x = 720 – 60
22x = 660
x = 660/22
x = 30 horas
48) (UNIOESTE) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes
optarem entre um deles. no plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por
minuto de qualquer ligação. no plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por
minuto de qualquer ligação. é correto afirma que para o cliente.
(a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A
(b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A
(c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B.
(d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados
(e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados.
Solução
Temos aqui, uma questão envolvendo função afim. Vamos determinar para cada caso os coeficientes de cada
reta:
(i) Para o plano A, temos:
a = 0,50
b = 27
Logo:
??????
�
(�)=�,���+��
(ii) Para o plano B, temos:
a = 0,40
b = 35
Logo:
??????
�
(�)=�,���+��
(iii) Construindo os gráficos das retas no mesmo plano cartesiano, temos:
Celso do Rozário Brasil
37
−10x+720 = 12x+60
12x + 10x = 720 – 60
22x = 660
x = 660/22
x = 30 horas
48) (UNIOESTE) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes
optarem entre um deles. no plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por
minuto de qualquer ligação. no plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por
minuto de qualquer ligação. é correto afirma que para o cliente.
(a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A
(b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A
(c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B.
(d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados
(e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados.
Solução
Temos aqui, uma questão envolvendo função afim. Vamos determinar para cada caso os coeficientes de cada
reta:
(i) Para o plano A, temos:
a = 0,50
b = 27
Logo:
??????
�
(�)=�,���+��
(ii) Para o plano B, temos:
a = 0,40
b = 35
Logo:
??????
�
(�)=�,���+��
(iii) Construindo os gráficos das retas no mesmo plano cartesiano, temos:
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
38
(iv) Fazendo:
V
A
(x)= V
B
(x)
0,50x+27=0,40x+35
0,50x−0,40x=35−27
0,10x=8 (10)
�=�� minutos
(v) Note pelo gráfico que, a partir de 80 minutos, o plano B é mais vantajoso que o plano A.
Resposta: B.
49) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros,
estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos,
estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda
decorrente da expansão da classe média brasileira.
Celso do Rozário Brasil
38
(iv) Fazendo:
V
A
(x)= V
B
(x)
0,50x+27=0,40x+35
0,50x−0,40x=35−27
0,10x=8 (10)
�=�� minutos
(v) Note pelo gráfico que, a partir de 80 minutos, o plano B é mais vantajoso que o plano A.
Resposta: B.
49) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros,
estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos,
estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda
decorrente da expansão da classe média brasileira.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
39
O gráfico mostra a capacidade (C). a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção
para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da Infraero - Empresa
Brasileira de Infraestrutura Aeronáutica.
De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D)
for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a:
(a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos
(b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos
(c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil
(d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos
(e) sete milhões. cento e oitenta e seis mil.
Solução
Devemos utilizar duas funções do primeiro grau, pois temos duas retas.
f(x) = gráfico de C
g(x) = gráfico de D
CAPACIDADE:
C(x)= ax + b
a=
∆y
∆x
a=
8−4
2014−2010
a=
4
4
�=�
a = (8,0 - 4,0)/(2014-2010)
a = 4/4
a = 1
b = 4,0
C(x) = x + 4
DEMANDA:
D(x) = ax + b
a=
∆y
∆x
a=
7,2−6,7
2014−2010
a=
0,5
4
Celso do Rozário Brasil
39
O gráfico mostra a capacidade (C). a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção
para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da Infraero - Empresa
Brasileira de Infraestrutura Aeronáutica.
De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D)
for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a:
(a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos
(b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos
(c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil
(d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos
(e) sete milhões. cento e oitenta e seis mil.
Solução
Devemos utilizar duas funções do primeiro grau, pois temos duas retas.
f(x) = gráfico de C
g(x) = gráfico de D
CAPACIDADE:
C(x)= ax + b
a=
∆y
∆x
a=
8−4
2014−2010
a=
4
4
�=�
a = (8,0 - 4,0)/(2014-2010)
a = 4/4
a = 1
b = 4,0
C(x) = x + 4
DEMANDA:
D(x) = ax + b
a=
∆y
∆x
a=
7,2−6,7
2014−2010
a=
0,5
4
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
40
�=
�
�
b = 6,7
g(x) =
�
�
x + 6,7
O ponto de intersecção entre f(x) e g(x) ocorre quando a capacidade for igual à demanda: C = D. Logo:
x + 4 =
1
8
x + 6,7
x -
1
8
x = 6,7 - 4
7
8
� = 2,7
x=
2,7
7
8
�=
27
10
÷
7
8
�=
27
10
�
8
7
�=
216
70
??????≅�,����
Substituindo o valor de x na função da capacidade, temos:
C(x) = x + 4
C(x) = 3,0857 + 4
C(x) = 7,0857 milhões de passageiros
Resposta: B.
50) (ENEM) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as
quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do
produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades
de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
Em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. A partir
dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado,
ou seja, quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
(a) 5
(b) 11
(c) 13
(d) 23
(e) 33
Solução
Para que se tenha o equilíbrio, a quantidade de oferta tem que ser igual a de demanda. Então:
Celso do Rozário Brasil
40
�=
�
�
b = 6,7
g(x) =
�
�
x + 6,7
O ponto de intersecção entre f(x) e g(x) ocorre quando a capacidade for igual à demanda: C = D. Logo:
x + 4 =
1
8
x + 6,7
x -
1
8
x = 6,7 - 4
7
8
� = 2,7
x=
2,7
7
8
�=
27
10
÷
7
8
�=
27
10
�
8
7
�=
216
70
??????≅�,����
Substituindo o valor de x na função da capacidade, temos:
C(x) = x + 4
C(x) = 3,0857 + 4
C(x) = 7,0857 milhões de passageiros
Resposta: B.
50) (ENEM) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as
quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do
produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades
de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
Em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. A partir
dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado,
ou seja, quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
(a) 5
(b) 11
(c) 13
(d) 23
(e) 33
Solução
Para que se tenha o equilíbrio, a quantidade de oferta tem que ser igual a de demanda. Então:
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
41
QO = QD
Igualando as equações, temos:
–20 + 4P = 46 – 2P
6P = 66
P = 66/6
P = 11
Resposta: B
51) (VUNESP) Um botânico mede o
crescimento de uma planta, em centímetros,
todos os dias. Ligando os pontos colocados por
ele num gráfico, obtemos a figura ao lado.
Se for mantida sempre essa relação entre
tempo e altura, a planta terá, no 30° dia, uma
altura igual a:
(a) 5 cm
(b) 6 cm
(c) 3 cm
(d) 15 cm
(e) 30 cm
Solução
Inicialmente, determinamos a lei de formação da função f(x) = ax + b, em seguida, calculamos f(30).
Note que f é uma função linear, pois a reta passa pela origem. Dessa maneira, a função é do tipo f(x) = ax.
Como o ponto (5, 1) pertence ao gráfico de f, temos:
f(x) = ax
f(5) = 1
a.5 = 1
a = 1/5
Logo:
f(x)=
1
5
�
Agora, basta calcular f(30):
f(x)=
1
5
�
??????(30)=
1
5
.30
??????(??????)=�
Resposta: No 30° dia a planta terá uma altura de 6 cm.
Celso do Rozário Brasil
41
QO = QD
Igualando as equações, temos:
–20 + 4P = 46 – 2P
6P = 66
P = 66/6
P = 11
Resposta: B
51) (VUNESP) Um botânico mede o
crescimento de uma planta, em centímetros,
todos os dias. Ligando os pontos colocados por
ele num gráfico, obtemos a figura ao lado.
Se for mantida sempre essa relação entre
tempo e altura, a planta terá, no 30° dia, uma
altura igual a:
(a) 5 cm
(b) 6 cm
(c) 3 cm
(d) 15 cm
(e) 30 cm
Solução
Inicialmente, determinamos a lei de formação da função f(x) = ax + b, em seguida, calculamos f(30).
Note que f é uma função linear, pois a reta passa pela origem. Dessa maneira, a função é do tipo f(x) = ax.
Como o ponto (5, 1) pertence ao gráfico de f, temos:
f(x) = ax
f(5) = 1
a.5 = 1
a = 1/5
Logo:
f(x)=
1
5
�
Agora, basta calcular f(30):
f(x)=
1
5
�
??????(30)=
1
5
.30
??????(??????)=�
Resposta: No 30° dia a planta terá uma altura de 6 cm.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
42
52) O valor de determinado tipo de automóvel diminui com o passar do tempo, como mostra o gráfico
abaixo:
Esse carro não terá valor algum, decorrido x anos. Logo, o valor de x é:
(a) 12
(b) 15
(c) 17
(d) 18
(e) 19
Solução
(i) Pelo gráfico, temos os seguintes pontos bem definidos: (0, 25,5) e (8, 13,5). Logo, podemos usar o
determinante para achar a equação desta reta:
8y + 25,5x – 13,5x – 204 = 0
8y +12x – 204 = 0 ÷(4)
2y + 3x – 51 = 0
(ii) Queremos calcular o valor de “x” (tempo) quando y (valor) for zero. Assim sendo, fazendo y = 0 e
substituindo na equação acima, temos:
2y + 3x – 51 = 0
2.0 + 3x – 51 = 0
3x – 51 = 0
3x = 51 -----> x = 51/3 -----> x = 17 anos (Resposta: C)
25,5
13,5
0 8
x (tempo em anos)
y (Preço em milhares de Reais)
x
Celso do Rozário Brasil
42
52) O valor de determinado tipo de automóvel diminui com o passar do tempo, como mostra o gráfico
abaixo:
Esse carro não terá valor algum, decorrido x anos. Logo, o valor de x é:
(a) 12
(b) 15
(c) 17
(d) 18
(e) 19
Solução
(i) Pelo gráfico, temos os seguintes pontos bem definidos: (0, 25,5) e (8, 13,5). Logo, podemos usar o
determinante para achar a equação desta reta:
8y + 25,5x – 13,5x – 204 = 0
8y +12x – 204 = 0 ÷(4)
2y + 3x – 51 = 0
(ii) Queremos calcular o valor de “x” (tempo) quando y (valor) for zero. Assim sendo, fazendo y = 0 e
substituindo na equação acima, temos:
2y + 3x – 51 = 0
2.0 + 3x – 51 = 0
3x – 51 = 0
3x = 51 -----> x = 51/3 -----> x = 17 anos (Resposta: C)
25,5
13,5
0 8
x (tempo em anos)
y (Preço em milhares de Reais)
x
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
43
53) (UFPR - 2012) Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu
assistente encontraram um úmero, um dos ossos do braço humano. Sabe-se que o comprimento desse
osso permite calcular a altura aproximada de uma pessoa por meio de uma função do primeiro grau.
(a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua
altura era 1,90 m, e o úmero de seu assistente media 30 cm e sua altura era 1,60 m.
(b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media 32 cm, qual era a altura aproximada do
indivíduo que possuía esse osso?
Solução
(a)
Sabemos que a função de primeiro grau, que tem o seguinte formato:
f (x) = ax + b
Nesse caso, x é o comprimento do úmero e f(x) é a altura do indivíduo.
Então:
ASISTENTE
1,6 metros = 160 centímetros é a altura do assistente
30 cm é o comprimento do úmero do assistente
Teremos:
30a + b = 160
ARQUEÓLOGO
40 cm é o comprimento do úmero do arqueólogo e sua altura era 190 cm
Logo, a outra equação é para x = 40 cm e f(x) = 1,9 m = 190 cm. Assim, teremos:
40a + b = 190
Temos um sistema com as duas equações:
40a + b = 190 (1)
30a + b = 160 (2)
Fazendo (1) – (2), temos:
40a + b = 190
-30a - b = -160
-------------------
10a = 30
a = 3
Celso do Rozário Brasil
43
53) (UFPR - 2012) Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu
assistente encontraram um úmero, um dos ossos do braço humano. Sabe-se que o comprimento desse
osso permite calcular a altura aproximada de uma pessoa por meio de uma função do primeiro grau.
(a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua
altura era 1,90 m, e o úmero de seu assistente media 30 cm e sua altura era 1,60 m.
(b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media 32 cm, qual era a altura aproximada do
indivíduo que possuía esse osso?
Solução
(a)
Sabemos que a função de primeiro grau, que tem o seguinte formato:
f (x) = ax + b
Nesse caso, x é o comprimento do úmero e f(x) é a altura do indivíduo.
Então:
ASISTENTE
1,6 metros = 160 centímetros é a altura do assistente
30 cm é o comprimento do úmero do assistente
Teremos:
30a + b = 160
ARQUEÓLOGO
40 cm é o comprimento do úmero do arqueólogo e sua altura era 190 cm
Logo, a outra equação é para x = 40 cm e f(x) = 1,9 m = 190 cm. Assim, teremos:
40a + b = 190
Temos um sistema com as duas equações:
40a + b = 190 (1)
30a + b = 160 (2)
Fazendo (1) – (2), temos:
40a + b = 190
-30a - b = -160
-------------------
10a = 30
a = 3
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
44
Substituindo “a” em (1), resulta em:
40.3 + b = 190
120 + b = 190
b = 70
Portanto, f(x) = 3x + 70 é a função que define a altura do indivíduo a partir do úmero.
(b)
Devemos utilizar a mesma função do item anterior: f(x) = 3x + 70
Se x = 32 cm, temos:
f (x) = 3x + 70
f (32) = 3.32 + 70
f (32) = 96 + 70
f (32) = 166 cm
Logo, o indivíduo tem 166 centímetros ou 1,66 metros.
54) (FGV)Nos últimos anos, o salário mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta
básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o
crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005.
Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta
básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1o grau, f (x) =
ax +b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005.
(a) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário mínimo e dos
preços da cesta básica, na região Nordeste.
(b) Em que ano, aproximadamente, um salário mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na
região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.
Solução
Celso do Rozário Brasil
44
Substituindo “a” em (1), resulta em:
40.3 + b = 190
120 + b = 190
b = 70
Portanto, f(x) = 3x + 70 é a função que define a altura do indivíduo a partir do úmero.
(b)
Devemos utilizar a mesma função do item anterior: f(x) = 3x + 70
Se x = 32 cm, temos:
f (x) = 3x + 70
f (32) = 3.32 + 70
f (32) = 96 + 70
f (32) = 166 cm
Logo, o indivíduo tem 166 centímetros ou 1,66 metros.
54) (FGV)Nos últimos anos, o salário mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta
básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o
crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005.
Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta
básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1o grau, f (x) =
ax +b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005.
(a) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário mínimo e dos
preços da cesta básica, na região Nordeste.
(b) Em que ano, aproximadamente, um salário mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na
região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.
Solução
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
45
55) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico seguinte a reta c representa o
custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com
a confecção de x bolsas.
Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender:
(a) no mínimo 2 bolsas.
(b) pelo menos 1 bolsa.
(c) exatamente 3 bolsas.
(d) no mínimo 4 bolsas.
Celso do Rozário Brasil
45
55) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico seguinte a reta c representa o
custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com
a confecção de x bolsas.
Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender:
(a) no mínimo 2 bolsas.
(b) pelo menos 1 bolsa.
(c) exatamente 3 bolsas.
(d) no mínimo 4 bolsas.
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
46
Solução
Observe o gráfico. Por meio dele podemos obter as leis das funções:
c(x) = 8x + 10 e
f(x) = 20
Luiza obterá lucro quando:
f(x) > f(x)
20x > 8x + 10
20x – 8x > 10
12x > 10
x > 10/12
x > 0,8333
Então, Luíza começa a obter lucro para x > 0,8333. Logo, podemos afirmar que ela terá lucro
confeccionando, no mínimo, 1 bolsa.
Resposta: B
56) O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau passa pelos pontos de coordenadas (x, y)
dados abaixo.
Podemos concluir que o valor de k + m é:
(a) 15,5
(b) 16,5
(c) 17,5
(d) 18,5
(e) 19,5
Solução
Como os pontos estão alinhados, podemos concluir que:
O coeficiente angular dado pelo 3º e 4º pontos é igual ao coeficiente angular dado pelo 1º e 3º. Portanto:
Celso do Rozário Brasil
46
Solução
Observe o gráfico. Por meio dele podemos obter as leis das funções:
c(x) = 8x + 10 e
f(x) = 20
Luiza obterá lucro quando:
f(x) > f(x)
20x > 8x + 10
20x – 8x > 10
12x > 10
x > 10/12
x > 0,8333
Então, Luíza começa a obter lucro para x > 0,8333. Logo, podemos afirmar que ela terá lucro
confeccionando, no mínimo, 1 bolsa.
Resposta: B
56) O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau passa pelos pontos de coordenadas (x, y)
dados abaixo.
Podemos concluir que o valor de k + m é:
(a) 15,5
(b) 16,5
(c) 17,5
(d) 18,5
(e) 19,5
Solução
Como os pontos estão alinhados, podemos concluir que:
O coeficiente angular dado pelo 3º e 4º pontos é igual ao coeficiente angular dado pelo 1º e 3º. Portanto:
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
47
O coeficiente angular dado pelo 2º e 3º pontos é igual ao coeficiente angular dado pelo 1º e 3º. Logo:
Portanto:
m + k = 15,5 + 2 ------> m + k = 17,5
Resposta: C
57) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004,
considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número
de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será:
(a) menor que 1 150.
(b) 218 unidades maior que em 2004.
(c) maior que 1 150 e menor que 1 200.
(d) 177 unidades maior que em 2010.
(e) maior que 1 200.
Solução
De acordo com os dados, temos:
Celso do Rozário Brasil
47
O coeficiente angular dado pelo 2º e 3º pontos é igual ao coeficiente angular dado pelo 1º e 3º. Logo:
Portanto:
m + k = 15,5 + 2 ------> m + k = 17,5
Resposta: C
57) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004,
considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número
de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será:
(a) menor que 1 150.
(b) 218 unidades maior que em 2004.
(c) maior que 1 150 e menor que 1 200.
(d) 177 unidades maior que em 2010.
(e) maior que 1 200.
Solução
De acordo com os dados, temos:
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
48
(i) Note que em 6 anos (2004 a 2010) houve um aumento de: 968 – 750 = 218 favelas.
(ii) Seja “n” o número de favelas em 2016. Como o aumento é linear, teremos de 2010 a 2016 o mesmo
aumento no período anterior. Logo:
n = 968 + 218 -----> n = 1196 favelas
Logo, o número de favelas em 2016 será: Maior que 1150 e menor que 1200.
Resposta: C
Celso do Rozário Brasil
48
(i) Note que em 6 anos (2004 a 2010) houve um aumento de: 968 – 750 = 218 favelas.
(ii) Seja “n” o número de favelas em 2016. Como o aumento é linear, teremos de 2010 a 2016 o mesmo
aumento no período anterior. Logo:
n = 968 + 218 -----> n = 1196 favelas
Logo, o número de favelas em 2016 será: Maior que 1150 e menor que 1200.
Resposta: C
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
49
58) Existem várias formas de evitar o desperdício de água, como verificar se as torneiras estão bem
fechadas após o uso. O gráfico a seguir representa a quantidade de água desperdiçada por uma torneira
gotejando 25 gotas por minuto.
Se essa torneira permanecer gotejando, quantos litros de água serão desperdiçados em 30 dias?
Solução
Observando o gráfico, notamos que a reta passa pela origem, logo, é uma função linear do tipo y = ax.
Como o ponto (5, 100) pertence ao gráfico, temos:
y = ax
100 = a.5
a = 100/5
a = 20
Logo:
y = 20x
Em 30 dias, teremos:
y = 20.30 -----> y = 600 litros.
59) A temperatura de um paciente, depois de receber um remédio é dada pela função:
em que a temperatura do paciente está em função do tempo medido em horas, a partir do momento em
que o paciente é medicado. Se um paciente é medicado às 23h 15 min (x = 0), então quando que sua
temperatura deverá ser aproximadamente de 36,2°?
(a) 5h
b) 5h 30min
c) 5h 45min
d) 4h 15min
e) 4h 45min
Celso do Rozário Brasil
49
58) Existem várias formas de evitar o desperdício de água, como verificar se as torneiras estão bem
fechadas após o uso. O gráfico a seguir representa a quantidade de água desperdiçada por uma torneira
gotejando 25 gotas por minuto.
Se essa torneira permanecer gotejando, quantos litros de água serão desperdiçados em 30 dias?
Solução
Observando o gráfico, notamos que a reta passa pela origem, logo, é uma função linear do tipo y = ax.
Como o ponto (5, 100) pertence ao gráfico, temos:
y = ax
100 = a.5
a = 100/5
a = 20
Logo:
y = 20x
Em 30 dias, teremos:
y = 20.30 -----> y = 600 litros.
59) A temperatura de um paciente, depois de receber um remédio é dada pela função:
em que a temperatura do paciente está em função do tempo medido em horas, a partir do momento em
que o paciente é medicado. Se um paciente é medicado às 23h 15 min (x = 0), então quando que sua
temperatura deverá ser aproximadamente de 36,2°?
(a) 5h
b) 5h 30min
c) 5h 45min
d) 4h 15min
e) 4h 45min
Função Afim
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50
Solução
Resposta: E
60)
Os gráficos acima representam as funções de custo total C(x) e receita R(x) de uma confecção que
produz camisetas. Eles mostram que o valor da receita é igual ao do custo quando é vendido
exatamente 350 camisetas.
Com estas informações, encontre o lucro obtido na venda de 10.000 camisetas.
Solução
Celso do Rozário Brasil
50
Solução
Resposta: E
60)
Os gráficos acima representam as funções de custo total C(x) e receita R(x) de uma confecção que
produz camisetas. Eles mostram que o valor da receita é igual ao do custo quando é vendido
exatamente 350 camisetas.
Com estas informações, encontre o lucro obtido na venda de 10.000 camisetas.
Solução
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
51
Celso do Rozário Brasil
51
Função Afim
Celso do Rozário Brasil
52
61) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do Equador) em
função da profundidade:
Admitindo que a variação de temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas medições feitas
para profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400m é:
(a) 16ºC
(b) 14ºC
(c) 12,5ºC
(d) 10,5ºC
(e) 8ºC
Solução
(i) Note que quer se saber a temperatura a profundidade 400 m (este valor está entre e 100 e 500 metros).
Logo, vamos usar os seguintes pontos: (100, 21) e (500, 7) e representa-los num gráfico:
(ii) Com base no gráfico acima, vamos calcular a taxa de variação de temperatura a cada 100 metros:
T
V
=
∆�
∆�
→T
V
=
500−100
21−7
→T
V
=
400
14
÷
4
4
→??????
??????
=
���
�,�
(iii) Logo, a cada 100 metros a temperatura aumenta 3,5°C. Assim sendo:
De 7° para “t” teremos: 7° + 3,5° = 10,5°C
Reposta: D
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52
61) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do Equador) em
função da profundidade:
Admitindo que a variação de temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas medições feitas
para profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400m é:
(a) 16ºC
(b) 14ºC
(c) 12,5ºC
(d) 10,5ºC
(e) 8ºC
Solução
(i) Note que quer se saber a temperatura a profundidade 400 m (este valor está entre e 100 e 500 metros).
Logo, vamos usar os seguintes pontos: (100, 21) e (500, 7) e representa-los num gráfico:
(ii) Com base no gráfico acima, vamos calcular a taxa de variação de temperatura a cada 100 metros:
T
V
=
∆�
∆�
→T
V
=
500−100
21−7
→T
V
=
400
14
÷
4
4
→??????
??????
=
���
�,�
(iii) Logo, a cada 100 metros a temperatura aumenta 3,5°C. Assim sendo:
De 7° para “t” teremos: 7° + 3,5° = 10,5°C
Reposta: D
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